Fundação Getúlio Vargas
Escola de Pós-Graduação em Economia
RISCO SOBERANO E PROBABILIDADE DE
DEFAULT
IMPLÍCITA EM
SWAPS
DE CRÉDITO
Bruno Melo Caratori
Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida, D.Sc.
RISCO SOBERANO E PROBABILIDADE DE
DEFAULT
IMPLÍCITA EM
SWAPS
DE CRÉDITO
Bruno Melo Caratori
Dissertação submetida ao corpo docente da Escola de Pós-Graduação em
Economia, da Fundação Getúlio Vargas, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de Mestre.
Aprovada por:
___________________________________ - Presidente da Banca
Caio Ibsen Rodrigues de Almeida, D. Sc. - Orientador (EPGE/FGV)
___________________________________
José Valentim Vicente, D. Sc. (Banco Central do Brasil)
___________________________________
Alexandre Lowenkron, D. Sc. (Banco BBM)
Rio de Janeiro
AGRADECIMENTOS
A Alexandre Lowenkron e José Valentim, pelo interesse em meu trabalho e por
cordialmente aceitarem participar da minha banca de avaliação.
Ao meu orientador Caio Ibsen, pelo direcionamento que me foi dado no início
deste estudo, pelas contribuições valiosas ao longo do desenvolvimento e, acima de
tudo, pela enorme confiança que sempre demonstrou em meu trabalho.
A todos os meus amigos, pela profunda demonstração de amizade ao
entenderem a ausência ocasionada por este trabalho e por continuarem sempre me
incentivando.
À RiskControl, por ter sido para mim uma verdadeira escola, contribuindo
enormemente para esta e outras conquistas.
À toda minha família, pela torcida e apoio neste desafio e por serem minha
maior inspiração.
À minha namorada, “Maricota”, que em uma feliz coincidência encarou seu
projeto de dissertação de mestrado junto comigo. Agradeço profundamente pelo
carinho, apoio, companheirismo e principalmente por me dar a chance de ser objeto
RESUMO
CARATORI, Bruno Melo. Risco Soberano e Probabilidade de Default
Implícita em Swaps de Crédito. Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida. Rio
de Janeiro: FGV/EPGE, 2008. Dissertação.
Este trabalho propõe um modelo de forma reduzida livre de arbitragem para a
extração de probabilidades de default a partir de spreads de Swaps de Crédito e
aplica-o realizando uma análise da percepção de risco da dívida soberana brasileira
confrontando dois momentos com contextos econômicos distintos. É utilizada uma
modelagem paramétrica da estrutura temporal das probabilidades condicionais de
default para a qual se testa duas formas funcionais distintas: Constante por Partes e
Linear por Partes. Os resultados fornecem evidências que corroboram a
aplicabilidade do modelo e indicam uma clara vantagem da modelagem Linear por
Partes, por se ajustar melhor aos dados e possuir implicações convenientes na
ABSTRACT
CARATORI, Bruno Melo. Risco Soberano e Probabilidade de Default
Implícita em Swaps de Crédito. Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida. Rio
de Janeiro: FGV/EPGE, 2008. Dissertação.
The present study introduces a reduced-form and arbitrage-free model for
extracting default probabilities from Credit Default Swap spreads and applies it by
analyzing the risk perception of Brazil’s sovereign debt comparing the model’s
implications in two distinct economic moments. A parametric approach is used for the
term structure of conditional default probabilities in which two different function
shapes are tested: Piecewise Constant and Piecewise Linear. The results present
evidences supporting the model’s applicability and highlight a clear advantage in the
Piecewise Linear approach for its estimates yield a better fit to the data and its
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Taxas de Swaps e Spreads de CDS ... 26
Tabela 2: Taxas de Juros Livres de Risco ... 26
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Probabilidades Condicionais de Default ... 27
Figura 2: Estrutura a Termo dos Spreads ... 28
Figura 3: Resultados - Probabilidades Condicionais de Default ... 28
Figura 4: Resultados - Probabilidades Acumuladas de Default ... 29
LISTA DE SIGLAS
CDS Credit Default Swap
ISDA International Swaps and Derivatives Association
Libor London Interbank Offer Rate
SUMÁRIO
1 Introdução ... 1
1.1 Motivação e objetivos ... 1
1.2 Modelagem na forma reduzida do risco de crédito ... 3
1.3 Swaps de Crédito e probabilidades de default ... 4
1.4 Organização da Dissertação ... 5
2 Referencial Teórico ... 7
2.1 Apreçamento de ativos sujeitos a risco de crédito ... 7
2.2 Utilização de spreads de CDS na estimação da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default ... 9
2.3 A forma funcional da estrutura temporal de probabilidades condicionais de default ... 10
2.3.1 O modelo Constante por Partes... 11
2.3.2 O modelo Linear por Partes ... 13
3 Dados e Metodologia ... 15
3.1 Processo de estimação ... 15
3.2 Conjunto de dados ... 16
4 Resultados ... 19
4.1 Comparação entre modelos ... 19
4.2 Comparação entre datas ... 20
Referências Bibliográficas ... 24
1 Introdução
1.1 Motivação e objetivos
Nos primeiros anos da década de 90 os mercados internacionais de capitais
novamente acolheram as economias emergentes e o mercado de títulos de dívida
soberana destes países cresceu consideravelmente, tornando estes ativos uma das
alternativas de investimento mais populares. Acompanhando esta popularidade
estava a necessidade de identificar as fontes de risco deste tipo de investimento e
fazer desta informação um insumo central nas tomadas de decisões de investidores,
emissores e órgãos reguladores.
Nos últimos anos os fatos e tendências deste mercado sofreram algumas
mudanças. Conforme publicado pela The Economist (2007), nunca a percepção de
risco embutida nos preços dos títulos de dívida soberana foi tão favorável às
economias emergentes. Muitos governos engajaram-se em campanhas de recompra
de seus títulos, com a intenção de reduzir seus prêmios de risco e atrair ainda mais
o capital externo. Outra tendência é a desdolarização das dívidas. No intuito de
protegerem-se da contaminação de crises cambiais em suas dívidas, governos de
países emergentes têm dado preferência a emissões em suas próprias moedas.
Esta redução do estoque disponível de dívidas de emergentes retirou dos
investidores o acesso abundante a esta opção de investimento. Por conseqüência,
estes passaram a utilizar cada vez mais os derivativos de crédito em suas
estratégias de risco de países emergentes. No entanto, não há evidências fortes o
bastante de que esta tendência seja permanente (The Economist, 2007)1. A
1 O movimento de aumento dos prêmios de risco destes ativos observado após agosto de 2007
possibilidade de retorno a uma situação em que países emergentes precisem de
maior crédito internacional, perdendo os poderes de barganha que permitiram a
diminuição de seus prêmios de risco e a desdolarização de suas dívidas não pode
ser ignorada.
Neste contexto de mudanças consideráveis no mercado de dívida soberana de
economias emergentes acompanhadas pela sofisticação dos instrumentos utilizados
e pelo aumento da demanda por ativos que ofereçam maiores rentabilidades,
torna-se oportuno revisitar o tema da análitorna-se de risco destes mercados, na tentativa de
fornecer modelos e ferramentas cada vez mais precisos, com abordagens simples e
intuitivas e que se apliquem a todas as particularidades aqui mencionadas.
Este trabalho propõe um modelo de estrutura a termo de taxas de juros que
permite a extração de probabilidades de default implícitas em spreads de Swaps de
Crédito. A modelagem proposta baseia-se em uma estrutura introduzida por Duffie e
Singleton (1999) que é compatível com ausência de possibilidades de arbitragem,
em contraste com outros modelos tradicionais de taxas de juros como os formulados
por Nelson e Siegel (1987) e Svensson (1994).
A utilização de Swaps de Crédito (ou simplesmente CDS, do termo em inglês
Credit Default Swap) vem crescendo consideravelmente desde o final da década de
90 e o valor nocional total de contratos em aberto superava 40 trilhões de dólares
em junho de 20072. Conforme observado por Blanco, Brennan e Marsh (2005), os
títulos de dívida soberana são destaque entre os ativos que recentemente se
beneficiaram da comercialização destes contratos. As probabilidades de default
associadas aos emissores de dívida são insumo essencial para o apreçamento e o
monitoramento do risco de Swaps de Crédito.
No modelo proposto, as probabilidades condicionais de default e a fração de
recuperação na ocasião do default são fixas. As intensidades3 de default são
descritas por estruturas temporais que tomam a forma de funções (i) constantes por
partes, seguindo a abordagem proposta por Meres e Almeida (2006) em um estudo
similar aplicado a títulos de dívida, e (ii) lineares por partes, objetivando flexibilizar
ainda mais o modelo4. Há evidências concretas de que esta flexibilização torna o
modelo ainda mais adequado à análise, além de implicar em formas mais suaves da
estrutura a termo dos spreads sobre a taxa de juros livre de risco5. O modelo é
aplicado em um exercício empírico utilizando dados de Swaps de Crédito da dívida
soberana brasileira. No intuito de se testar a aplicabilidade do mesmo, o exercício de
extração de probabilidades de default é feito para duas datas, permitindo a
comparação dos parâmetros implicados em contextos econômicos distintos.
1.2 Modelagem na forma reduzida do risco de crédito
Conforme proposto por Chako et al. (2006), modelos de forma reduzida (em
contraste com os modelos estruturais) abordam o risco de crédito tratando a
3 Os termos “intensidade de default” e “probabilidade condicional de default” são utilizados ao longo
do texto de forma equivalente. Para maiores informações, consultar Hull (2005).
4 Ao longo desta redação o termo “linear” é utilizado em um sentido mais amplo, designando funções
representadas por retas que não necessariamente passam pela origem.
5 O
spread entre duas taxas de juros é a diferença absoluta entre elas. Na comparação entre duas
curvas de juros torna-se conveniente utilizar uma curva de spreads. Deve-se atentar para o uso deste
termo ao longo do texto, que pode também estar representando o prêmio dos contratos CDS, que os
ocorrência de defaults como exógena, ou seja, independente de informações
estruturais dos emissores. Nesta abordagem, defaults são, por definição, eventos
aleatórios abruptos e suas ocorrências atribuídas a sinais arbitrários.
A literatura a respeito da modelagem na forma reduzida do risco de crédito é
bastante vasta e foi introduzida nos trabalhos de Litterman e Iben (1991), Jarrow e
Turnbull (1995) e Jarrow et al. (1997). Duffie e Singleton (1999) apresentam
resultados gerais em modelos de forma reduzida aplicados a estruturas a termo de
títulos sujeitos a risco de crédito.
1.3 Swaps de Crédito e probabilidades de default
Conforme documentado por Hull e White (2000), um Swap de Crédito é um
contrato que fornece um seguro contra o risco de default de uma dada referência.
Swaps de Crédito são firmados com uma grande variedade de características, sendo
as mais importantes a definição dos eventos de crédito que caracterizam a
ocorrência de um “sinistro” e os termos e condições das devidas transferências na
eventual ocorrência dos eventos (entrega física de títulos ou cash settlement6).
Chako et al. (2006) exploram detalhadamente as variações mais comuns de
contratos CDS (Digital CDS, Basket CDS, Portfolio CDS, CDS Indices e etc.).
Oportunamente, Pan e Singleton (2006) constatam a utilidade dos dados
provenientes de informações de mercado de spreads CDS na análise do risco de
crédito de emissores soberanos. Menciona-se a contribuição da padronização dos
contratos promovida pela International Swaps and Derivatives Association (ISDA),
tornando os dados mais uniformes, assim como a existência significativa de
6 Denomina-se cash settlement a simples transferência monetária que produza o mesmo efeito líquido
negociações de CDS de referências soberanas para vários prazos. Estes vários
prazos fornecem uma estrutura a termo completa de spreads CDS para países
emergentes, contribuindo na inferência da estrutura temporal de probabilidades de
default e taxas de recuperação.
Naturalmente, os modelos de forma reduzida se apresentam como uma
alternativa para o apreçamento e análise do risco de contratos CDS. No mesmo
estudo, Pan e Singleton (2006) exploram as propriedades econométricas da
intensidade dos eventos de crédito. A análise fornece fortes evidências empíricas de
que há nos spreads CDS um prêmio de risco associado a variações futuras da
intensidade dos eventos de crédito. O exercício foi realizado com dados de spreads
CDS de três referências emergentes (México, Rússia e Turquia).
Em um estudo com algumas similaridades, Christensen (2007) explora a
separação entre taxas de recuperação e intensidades de default utilizando dados de
contratos CDS. Construindo um modelo que permite variação estocástica destes
dois parâmetros assim como da taxa de juros livre de risco e aplicando-o aos
spreads CDS da referência Ford Motor Co., é encontrada evidência de que uma
estimação conjunta destes parâmetros é sim possível.
Em outra aplicação de modelos de forma reduzida no apreçamento de
contratos CDS, Houweling e Vorst (2005) propõem que esta abordagem domina com
folga a que se utiliza de spreads de títulos.
1.4 Organização da Dissertação
A dissertação está estruturada da seguinte forma:
O Capítulo 2 contém o referencial teórico empregado na obtenção dos
default a partir de dados de títulos de dívida. Em seguida, são abordadas a
adaptação do modelo para a utilização de dados de Swaps de Crédito e a
parametrização da estrutura temporal de intensidades de default.
O Capítulo 3 apresenta a metodologia de estimação dos parâmetros de
interesse e a descrição detalhada dos dados utilizados.
No Capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos no exercício empírico
acompanhados da análise de suas implicações.
O Capítulo 5 conclui com uma síntese da dissertação e apresenta as
2 Referencial Teórico
2.1 Apreçamento de ativos sujeitos a risco de crédito
O modelo utilizado deriva da estrutura proposta por Duffie e Singleton (1999),
mais especificamente do modelo motivacional discreto no tempo apresentado no
início do artigo, assumindo parâmetros não-estocásticos.
Considere um ativo que fornece ao detentor o direito de receber em um
instante no futuro um valor fixo , sujeito ao risco de crédito. Assuma que
denota o instante presente e que para qualquer instante :
• é a probabilidade condicional, sob uma medida de probabilidade neutra ao risco , da ocorrência de um default entre os instantes e (condicional a
informação disponível em e a não ocorrência de um default até );
• é o valor recuperado, no numerário de , na ocorrência de um default em ;
• é a taxa de juros livre de risco vigente entre os instantes e .
Neste contexto, é intuitivo propor que o valor em de um ativo sujeito ao risco de
crédito, como função de seu valor no instante , pode ser escrito como uma
soma de dois termos: O primeiro correspondendo ao valor de recuperação na
ocorrência de um default entre e ; e o segundo sendo seu valor em
descontado pela taxa de juros livre de risco, na não-ocorrência de um default no
período, conforme a expressão a seguir:
(1)
Duffie e Singleton (1999) demonstram que expandindo recursivamente esta
equação até a data de vencimento do ativo, seu valor pode ser equivalentemente
! " !#$ %&
' (
(%&
)
* "!#$ ! ' (
(%&
+
(2)
Motivados pela dificuldade de se utilizar a Equação 2 eles obtêm um importante
resultado: A Equação 2 pode ser simplificada ao assumir-se que o valor esperado,
sob a medida , do valor de recuperação no instante , na ocorrência de um default
em é uma fração do valor do ativo no instante , na não-ocorrência de um
default7. Eles propõem que:
, (3)
Onde , é a fração de perda do valor do ativo na ocorrência de um default entre e
.
Substituindo-se a Equação 3 na 2, pode-se escrever o valor do ativo no
instante como:
, - /01!#$. ! 2 (4)
Onde
. , (5)
Simplificando ainda mais o modelo, os autores observam que para taxas
anualizadas e intervalos de tempo pequenos, a taxa de juros ajustada pelo risco
pode ser escrita como a soma da taxa de juros livre de risco 345 e do produto entre a
taxa de perda , e a probabilidade condicional de default no instante :
7 O apreçamento através da Equação 2 requer a modelagem da distribuição conjunta de , e ,
6 , (6)
Duffie e Singleton (1999) salientam a contribuição deste modelo ao propor que
“o valor de um ativo com risco de default pode ser expresso como o valor presente
de um pagamento futuro, tratado como se estivesse imune ao risco de default,
descontado por uma taxa de juros ajustada pelo risco”.
2.2 Utilização de spreads de CDS na estimação da estrutura temporal de
probabilidades condicionais de default
A adaptação do modelo apresentado na Seção 2.1 objetivando a utilização de
dados de Swaps de Crédito é realizada de forma bastante intuitiva. Neste ponto o
leitor deve estar ciente de que o modelo proposto na seção anterior permite o
apreçamento de títulos com pagamentos pré-fixados dadas as estruturas temporais
da intensidade de default e da taxa de perda aplicáveis aos ativos. Utiliza-se um
modelo de apreçamento livre de arbitragem de CDS que relaciona seus spreads a
preços de títulos de dívida com pagamentos de juros flutuantes8 e através de swaps
de taxas de juros9 transformam-se estes em títulos pré-fixados.
8 No mercado de renda fixa americano, estes títulos são indexados a Libor em dólares e pagam juros
periódicos (geralmente a cada 3, 6 ou 12 meses) fixados no decorrer da vida do título. A taxa de juros
aplicável a um pagamento é determinada na ocasião do pagamento anterior (ou na emissão do título,
no caso do primeiro pagamento). Para mais informações, consultar Fabozzi (2005).
9 Swaps de taxas de juros convencionais são contratos financeiros em que as partes concordam em
trocar uma seqüência de pagamentos pré-fixados por pagamentos indexados a alguma taxa de juros
de referência. As finalidades mais comuns destes contratos são a imunização de exposições às taxas
de juros e a especulação sobre o movimento das taxas. No mercado americano, estes swaps
prevêem a troca de pagamentos fixos por pagamentos indexados a taxa Libor em dólares. Para mais
Schönbucher (2003) aborda este tema de forma detalhada. O autor propõe as
seguintes simplificações: (i) Na ocorrência de um default, todos os devidos
pagamentos e transferências ocorrem no mesmo instante; (ii) a influência da opção
de entrega nos spreads de CDS pode ser ignorada; (iii) um evento de crédito ocorre
em todos os defaults da referência do CDS (e somente nestes casos), não havendo
risco legal10; e (iv) todos os ativos envolvidos no modelo têm datas de pagamento
coincidentes, abstraindo-se de convenções de contagem de dias. Nestas condições,
Schönbucher (2003) propõe que na ausência de possibilidades de arbitragem, um
título remunerando os investidores a taxa de juros flutuante livre de risco acrescida
do spread do CDS11 para o mesmo vencimento do título deverá estar ao par, ou
seja, seu valor justo é seu valor de face somado aos juros acumulados.
2.3 A forma funcional da estrutura temporal de probabilidades condicionais
de default
Uma questão central no desenvolvimento desta dissertação diz respeito à
forma paramétrica atribuída à estrutura temporal de probabilidades de default. Esta
definição deve atender a alguns requisitos de forma a tornar sua aplicação
adequada.
10 Neste caso, por risco legal deve-se entender o risco de especificação que pode prevenir que algum
default seja considerado um evento de crédito.
11 Em um CDS convencional, na ocorrência de um
default o comprador do seguro recebe apenas o
principal nocional do contrato, desconsiderando juros acumulados em títulos da entidade de
referência. Schönbucher (2003) introduz um ajuste no principal nocional do CDS com o objetivo de
A forma assumida para estas curvas deve ser passível de ser intuitivamente
associada à dinâmica de acontecimentos do mercado de títulos de dívida sujeitos ao
risco de crédito, podendo ser associada aos fundamentos dos emissores das
dívidas12. Outro requisito importante é que a forma da estrutura a termo das taxas de
juros ajustadas ao risco implicadas pela escolha nas intensidades sejam razoáveis.
Mais um requisito do qual não se pode prescindir é a viabilidade da adoção da forma
paramétrica nos exercícios de estimação, ressaltando-se a importância da
simplicidade sempre que possível.
Os gráficos da Figura 1 contêm exemplos de curvas de intensidades de default
que atendem a todos os requisitos mencionados e que são justamente as formas
utilizadas neste estudo. O exercício de estimação é realizado para curvas de
intensidades Constantes por Partes e Lineares por Partes.
2.3.1 O modelo Constante por Partes
Conforme proposto por Meres e Almeida (2006), no modelo Constante por
Partes a estrutura temporal das intensidades de default é parametrizada de acordo
com a expressão a seguir:
75
8
%
9: ; ; < (7)
Onde 9 denota a função indicador, que assume valor unitário se pertencer ao
intervalo indicado e zero no caso contrário.
12 A título de exemplo, uma curva que apresente a forma de uma senóide dificilmente pode ser
associada a fundamentos de emissores de dívida enquanto que uma curva com intensidades
menores no início e maiores no final pode ser facilmente associada a incertezas a respeito da postura
Eles conduzem uma análise interessante ao questionarem a implicação da
escolha desta forma funcional na estrutura a termo das taxas de juros ajustadas ao
risco. Os autores respondem a questão considerando o valor presente de um ativo
com valor unitário em seu vencimento =:
> ? = @ "# 1 B A" - "# 1 B "2
@- D"#1C": " "01< CD 1E D2>(FG H5IH5 F JK ? =
(8)
Onde L é tal que M; = ; M e >(FG H5IH5 F JK ? = denota o preço no instante
de um ativo livre de risco de crédito com valor unitário em =.
Meres e Almeida (2006) observam que esta modelagem da curva de
intensidades de default implica em um modelo paramétrico para a estrutura a termo
das taxas de juros ajustadas pelo risco de default, conforme definido pela expressão
a seguir:
6 = 6(FG H5IH5 F JK = =, 7 : < 7M = M
M
%
) (9)
Eles constatam que “a estrutura a termo é composta por uma curva de juros
livre de risco somada de uma constante e uma função hiperbólica que tem sua
curvatura alterada de acordo com os diferentes níveis de probabilidades condicionais
de default”.
No primeiro gráfico da Figura 2 é apresentado um exemplo de estrutura a
termo dos spreads sobre a curva de juros livre de risco para uma taxa de perda fixa
, N?O e para níveis de probabilidades condicionais de default 7 N?NP; 7Q N? N
2.3.2 O modelo Linear por Partes
No modelo Linear por Partes a expressão paramétrica da estrutura temporal
das intensidades de default é dada por:
7& T5 M
%
: < TM M (10)
Onde L é tal que M; ; M .
Conforme apresentado no gráfico da Figura 1, neste modelo a curva de
intensidades de default é uma função contínua composta por uma seqüência de
retas com inclinações diferentes, definidas pelos T U , com um termo constante, 7&,
permitindo que a função assuma em N um valor diferente de zero.
Em uma análise equivalente à realizada por Meres e Almeida (2006), é
possível constatar a implicação desta escolha de forma funcional da estrutura de
probabilidades condicionais de default na estrutura a termo das taxas de juros
ajustadas ao risco. Constata-se que o modelo paramétrico desta estrutura é dado
pela seguinte expressão13:
6 = 6(FG H5IH5 F JK =
,
= V WS X7& Y% TY Y Y Z T : <[
: <
S
M
%
\S ]7& TY Y Y
M
Y% ^ TM = M _
= M
S `
(11)
Onde L é tal que M; = ; M .
13 Para se obter esta expressão basta colapsar o somatório presente no último termo da Equação 4
em uma integral e usar as áreas dos trapézios sob a curva de intensidades de default no cálculo
Neste modelo o spread sobre a taxa de juros livre de risco é dado pela soma
de uma constante, uma função linear e uma função hiperbólica cuja curvatura se
altera de acordo com as diferentes inclinações da estrutura a termo das intensidades
de default.
No segundo gráfico da Figura 2 é apresentado um exemplo de curva de
spreads para este modelo, para um taxa de perda fixa , N?O; 7& N?NO e
inclinações T N?NNaN; TQ N?NNbN e TR N?NN O vigentes em intervalos definidos
por & N; O; Q N e R SN.
A simples inspeção visual do segundo gráfico da Figura 2 sugere que a
estrutura a termo dos spreads seja uma curva suave, definida por uma função
contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio. Uma análise mais
detalhada da Equação 11 confirma este fato. A função apresentada no gráfico é uma
reta até o instante 5. A alteração da inclinação da intensidade de default neste ponto
altera a inclinação da reta e soma a esta uma hipérbole de forma que a derivada da
função no ponto 5 não deixe de existir14. Isto garante a suavidade da curva de
spreads tornando esta escolha de forma para a estrutura temporal das
probabilidades condicionais de default bastante razoável.
14 As alterações subseqüentes nas inclinações da estrutura de intensidades de default produzem a
mesma dinâmica na curva de spreads, de alteração da inclinação da reta e da curvatura da hipérbole,
de forma que a curva permaneça suave. O mecanismo pelo qual isto ocorre é simples: As alterações
nas inclinações das retas são localmente anuladas pelas alterações nas curvaturas das hipérboles de
3 Dados e Metodologia
3.1 Processo de estimação
Utilizando a adaptação proposta na Seção 2.2, constroem-se, a partir de taxas
de swaps de juros e de spreads de CDS para c vencimentos, títulos sintéticos com
pagamentos periódicos de juros pré-fixados com valores justos ao par por
construção. A fórmula a seguir exprime esta igualdade:
\ def?E" ghi?E"] def?ES ^_"
j .:"?!<k "?!l
8"
Y%
.:E"<kE" l (12)
Onde m é a quantidade de pagamentos de juros do n o pcq título sintético,
definida pelo seu vencimento = e pela quantidade de pagamentos por ano j;
def?E" é a taxa do swap de juros para o vencimento = no instante ; ghi?E" é o
spread de CDS também para o vencimento = no instante ; ?Y é o instante do
r o pcq pagamento de juros do n o pcq título sintético ( ?8"55 5=); e 6: ?Y< é a
taxa de juros ajustada ao risco de inadimplência da entidade de referência do CDS
para o instante ?Y. O termo - stuv?B"Q 2 que multiplica o spread de CDS está
associado à correção devida ao fato de o CDS não proteger juros acumulados15.
Assumindo que os spreads de CDS e as taxas de swaps de juros são
observados com erro e que 6 w é parametrizada pelas equações 9 e 11, aplica-se
uma minimização não-linear do somatório dos erros quadráticos dos preços dos c
títulos sintéticos para se estimar os valores dos parâmetros de interesse: 7F? p
? x ? L para a modelagem de intensidades Constantes por Partes; e 7& e TF? p
? x ? L para a modelagem Linear por Partes.
Foram adotados três intervalos de vigência de cada parâmetro nos dois
modelos estimados, definidos por & N; O; Q N e R SN (ou seja, L5 5y).
Com esta escolha, busca-se dar ao modelo a capacidade de capturar percepções
diferentes sobre as probabilidades de default de acordo com os prazos.
No que concerne o parâmetro que representa a fração de perda na ocorrência
de um default, o modelo apresenta uma deficiência clara por não permitir a
estimação conjunta deste e das probabilidades condicionais de default, deficiência
esta que é compartilhada por outros modelos relacionados. Os praticantes do
mercado superam esta limitação assumindo que a fração de perda na ocasião do
default é um valor constante associado à classificações mais genéricas do emissor
(mercados emergentes ou desenvolvidos, emissores com ou sem grau de
investimento e etc). Para a dívida soberana brasileira, geralmente se assume
frações de perda entre 70% e 80% do valor de face. Tendo em vista que a
determinação precisa deste parâmetro foge do escopo deste estudo, decidiu-se
utilizar uma fração de perda constante no tempo , N?O, resultante de uma hipótese
fraca a respeito do valor de mercado do título na ocorrência de um default
(assumindo que um título valha metade de seu valor de face às vésperas de um
default, uma fração de perda de 50% implicaria em uma perda de 75% do valor de
face, em linha com os valores comumente utilizados).
3.2 Conjunto de dados
No intuito de testar a capacidade do modelo para revelar a percepção dos
exercícios foram realizados para duas datas em momentos economicamente
distintos para o país. Em maio e junho de 2007 o Brasil experimentava indicadores
de risco em seus níveis históricos mais baixos e em apenas alguns meses, estes
indicadores sofreram pioras significativas refletindo a degradação do cenário
econômico mundial que se seguiu após o estouro da crise das hipotecas de alto
risco nos Estados Unidos e a incerteza a respeito da saúde da economia americana
e mundial de forma geral. Em fevereiro de 2008 os indicadores de risco do Brasil se
encontravam em patamares inéditos desde 2006, ano em que o Brasil ainda estava
no final de sua recuperação da crise de 2002 e em que ocorreu um evento de
nervosismo na economia mundial (durante os meses de maio e junho) com efeito
significativo sobre os preços de ativos arriscados. As datas escolhidas para os
exercícios foram 31 de maio de 2007 e 11 de fevereiro de 2008.
Foram utilizados spreads de CDS com referência nos títulos globais da dívida
soberana brasileira16 e taxas de
swaps de juros pré-fixados contra a taxa Libor em
dólares com dois pagamentos anuais para 13 prazos diferentes entre um e vinte
anos17. As curvas de juros livres de risco foram obtidas através das taxas
Libor para
prazos até um ano e pelas taxas de swaps de Libor para prazos entre um e vinte
16 Títulos Globais (
Global Bonds) são títulos de dívida soberana emitidos por governos centrais para
diversos prazos negociados nos mercados americano e europeu.
17
Swaps de Libor e CDS emitidos na mesma data possuem datas de pagamentos coincidentes. Um
ajuste adicional se fez necessário nos valores dos spreads de CDS dado que nestes contratos o
cálculo dos prêmios aplicáveis a cada pagamento utiliza o calendário ACT/360 enquanto os swaps
anos18. Todos os dados foram coletados em um terminal Bloomberg, sendo
utilizadas as cotações dos provedores padrão para cada classe de informações19. A
Tabela 1 apresenta os valores de spreads CDS e de taxas de swaps de juros
utilizados. A Tabela 2 contém as curvas de juros livres de risco.
18 A extração de taxas spot a partir de taxas de swaps foi realizada através de um bootstrapping. Para
mais informações, consultar Fabozzi (2005).
4 Resultados
O exercício empírico consistiu na realização de quatro estimações diferentes,
combinando as duas datas e os dois modelos paramétricos da estrutura temporal
das intensidades de default. A Tabela 3 apresenta os resultados em um arranjo
conveniente para a análise dos mesmos.
Para a estimação de cada modelo são apresentados os parâmetros estimados
e a raiz dos erros médios quadrados (RMSE). Acompanhando os parâmetros estão
as probabilidades acumuladas de default implicadas pelas estimativas, para os
intervalos selecionados20. Os gráficos da Figura 3 apresentam as estruturas a termo
das probabilidades condicionais de default dos modelos Constante por Partes e
Linear por Partes respectivamente, para ambas as datas. Os gráficos da Figura 4
apresentam as probabilidades acumuladas de default implicadas pelas estimativas
de cada modelo, também para ambas as datas. Fornecendo ainda mais informações
a fim de se proceder com a análise dos resultados, são apresentados na Figura 5
gráficos das estruturas temporais dos spreads sobre as curvas de juros livres de
risco implicados pelos parâmetros estimados no exercício.
4.1 Comparação entre modelos
As estimações de ambos os modelos convergiram quando as alterações nos
parâmetros de interesse foram superadas pela tolerância definida. Os RMSE obtidos
no intervalo zN? S{| 5N?O}{~ podem ser considerados satisfatórios.
20 A probabilidade acumulada de default até o instante , , é calculada através da fórmula
• € • ‚•$ , onde ƒ „ é a probabilidade condicional de default. Para mais informações,
A comparação entre os modelos através dos RMSE sugere que a modelagem
Linear por Partes fornece resultados mais precisos principalmente no exercício para
o dia 11 de fevereiro de 2008 quando esta apresentou um RMSE de N? S{ contra
um RMSE de N?O}{ da modelagem Constante por Partes.
Esta vantagem do modelo Linear por Partes é explicada pela maior flexibilidade
que o mesmo fornece para a estrutura a termo dos spreads sobre curva de juros
livres de risco. Os gráficos das estruturas temporais destes spreads evidenciam esta
vantagem (Figura 5). Conforme mencionado na Seção 2.3.2, é possível observar
que a curva de spreads implicada pelo modelo Linear por Partes apresenta um
padrão suave, intuitivamente mais razoável e capaz de capturar com maior precisão
as propriedades destes spreads.
4.2 Comparação entre datas
Os gráficos das figuras 3, 4 e 5 fornecem claras evidências a respeito da
distinção entre as percepções do risco da dívida soberana brasileira em maio de
2007 e fevereiro de 2008.
Na análise das curvas de intensidades de default, chama a atenção não
somente a diferença de patamar entre as datas como também a percepção mais
elevada do risco de default no médio prazo, entre 5 e 10 anos, quando comparada
ao longo prazo, entre 10 e 20 anos, para a estimação de fevereiro de 2008.
As curvas de probabilidades acumuladas implicadas pelos parâmetros
estimados também salientam a diferença entre as percepções. As curvas obtidas
através das duas modelagens são bastante similares e indicam que a probabilidade
da ocorrência de um evento de crédito em até 20 anos passou do nível de 0,48 para
As curvas de spreads sobre as taxas de juros livres de risco fornecem uma
quantificação bastante conveniente do aumento do risco de crédito da dívida
soberana brasileira de uma data para a outra. Concentrando a análise nos
resultados obtidos através do modelo Linear por Partes, constata-se que o prêmio de
risco exigido pelos investidores elevou-se para todos os prazos da curva, com
aumentos de aproximadamente 30 bps na parte curta da curva até aumentos ao
redor de 90 bps na parte longa, passando por aumentos no patamar de 120 bps para
5 Conclusão
O objetivo principal do estudo foi propor um modelo livre de arbitragem para
extração de probabilidades de default implícitas em spreads de Swaps de Crédito.
Para tanto foi utilizado um modelo de forma reduzida que é uma adaptação do
modelo discreto no tempo proposto por Duffie e Singleton (1999).
Esta dissertação tem como contribuição a utilização de dados de CDS e a
introdução de uma modelagem paramétrica mais flexível para a estrutura a termo
das probabilidades condicionais de default, permitindo que estas tomem a forma de
retas com inclinações não-nulas em intervalos arbitrários. Demonstrou-se que esta
escolha possui uma implicação bastante conveniente na curva dos spreads sobre as
taxas de juros livres de risco, fazendo com que a mesma apresente uma forma
funcional suave e, principalmente, mais flexível.
Foi realizado um exercício empírico no qual foram feitas estimações dos
parâmetros de cada modelo (Constante por Partes e Linear por Partes) para duas
datas com contextos distintos no que tange o risco da dívida soberana do Brasil. Os
resultados evidenciaram uma clara vantagem da modelagem Linear por Partes da
curva de intensidades de default e se mostraram capazes de fornecer bases de fácil
interpretação para a avaliação dos riscos (probabilidades de default e spreads sobre
as taxas de juros livres de risco).
Ao prover um modelo simples de extração de probabilidades de default de um
dado emissor de dívida utilizando somente dados de CDS este estudo se revela
como uma alternativa no processo de apreçamento destes contratos. Os modelos
mais utilizados pelos praticantes do mercado demandam informações de títulos de
um procedimento eminentemente mais impreciso que a estimação paramétrica das
probabilidades acumuladas21.
Uma extensão natural deste estudo seria a aplicação do modelo de
apreçamento específico para CDS proposto por Duffie e Singleton (2003) na
extração paramétrica das probabilidades de default, de forma similar ao que fora
realizado nesta dissertação, mas relaxando a hipótese de recuperação de fração do
valor de mercado. Esta atividade forneceria uma alternativa ainda mais precisa para
a extração das probabilidades acumuladas de default implícitas em spreads de CDS
permitindo a utilização da recuperação do valor de face, prática comumente utilizada
pelos participantes do mercado.
21 O modelo de apreçamento de CDS do JP Morgan desempenha esta tarefa realizando um
bootstrapping com a curva de spreads (para mais informações, consultar o material disponível em
www.morgancredit.com), obrigando o usuário a interpolar spreads para vértices sem dados e
ignorando o erro contido nos spreads de mercado. O modelo de Hull e White (2000) utiliza preços de
títulos de dívida para calcular as probabilidades de default necessárias no processo de apreçamento
de CDS, realizando também um processo de bootstrapping. Ambos os modelos são amplamente
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Apêndices
Tabela 1: Taxas de Swaps e Spreads de CDS
31-Mai-07 11-Fev-08
Prazo [Anos] Taxa de Swap Spread CDS [bps] Taxa de Swap Spread CDS [bps]
1 5.4148% 19 2.6065% 53
2 5.3383% 29 2.6989% 87
3 5.3178% 37 2.9616% 113
4 5.3263% 49 3.2373% 140
5 5.3473% 61 3.4895% 163
6 5.3675% 68 3.7040% 177
7 5.3903% 75 3.8936% 185
8 5.4118% 80 4.0481% 192
9 5.4345% 88 4.1802% 198
10 5.4560% 95 4.2923% 204
12 5.4985% 101 4.4698% 207
15 5.5510% 126 4.6564% 212
20 5.5959% 133 4.8080% 220
Tabela 2: Taxas de Juros Livres de Risco
Prazo [Anos] 31-Mai-07 11-Fev-08 Prazo [Anos] 31-Mai-07 11-Fev-08 0.5 5.4012% 2.9729% 10.5 5.4158% 4.4286%
1 5.3354% 2.7423% 11 5.4289% 4.4817%
1.5 5.2963% 2.5799% 11.5 5.4421% 4.5313%
2 5.2661% 2.6795% 12 5.4551% 4.5780%
2.5 5.2492% 2.8206% 12.5 5.4677% 4.6221%
3 5.2456% 2.9471% 13 5.4798% 4.6635%
3.5 5.2482% 3.0863% 13.5 5.4915% 4.7024%
4 5.2552% 3.2310% 14 5.5025% 4.7387%
4.5 5.2661% 3.3677% 14.5 5.5129% 4.7723%
5 5.2782% 3.4942% 15 5.5226% 4.8032%
5.5 5.2894% 3.6115% 15.5 5.5315% 4.8315%
6 5.3006% 3.7223% 16 5.5397% 4.8572%
6.5 5.3132% 3.8286% 16.5 5.5472% 4.8804%
7 5.3262% 3.9275% 17 5.5540% 4.9014%
7.5 5.3385% 4.0164% 17.5 5.5601% 4.9202%
8 5.3508% 4.0974% 18 5.5656% 4.9370%
8.5 5.3639% 4.1733% 18.5 5.5704% 4.9519%
9 5.3773% 4.2445% 19 5.5747% 4.9650%
Tabela 3: Resultados
Parâmetros 31-Mai-07 11-Fev-08
C o n st a n te p o r P a rt e s E st im a çõ e
s 7
0.0102 0.0291
7Q 0.0299 0.0598
7R 0.0449 0.0542
RMSE 0.30% 0.59%
P ro b a b il id a d e s A cu m u la d a
s 0 - 5 anos 0.0496 0.1354
5 - 10 anos 0.1319 0.2233 10 - 20 anos 0.2959 0.2685
Li n e a r p o r P a rt e s E st im a çõ e s
7& 0.0026 0.0081
T 0.0037 0.0100
TQ 0.0035 -0.0013
TR 0.0011 0.0011
RMSE 0.23% 0.12%
P ro b a b il id a d e s A cu m u la d a
s 0 - 5 anos 0.0583 0.1523
5 - 10 anos 0.1314 0.2033 10 - 20 anos 0.2908 0.2800
Figura 1: Probabilidades Condicionais de Default
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12
0.13 Constante por Partes
Maturidade [Anos] In te ns id ad e an ua liz ad a
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12
0.13 Linear por Partes
Figura 2: Estrutura a Termo dos Spreads
Figura 3: Resultados - Probabilidades Condicionais de Default
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
250 300 350 400 450 500
550 Constante por Partes
Maturidade [Anos] S pr ea d [b ps ]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
250 300 350 400 450 500
550 Linear por Partes
Maturidade [Anos] S pr ea d [b ps ]
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0.07 Constante por Partes
Maturidade [Anos] In te ns id ad e A nu al iz ad a 31-Mai-07 11-Fev-08
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0.07 Linear por Partes
Figura 4: Resultados - Probabilidades Acumuladas de Default
Figura 5: Resultados - Estrutura a Termo dos Spreads
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7 Constante por Partes
Maturidade [Anos] P ro b. A cu m ul ad a de D ef au lt 31-Mai-07 11-Fev-08
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7 Linear por Partes
Maturidade [Anos] P ro b. A cu m ul ad a de D ef au lt 31-Mai-07 11-Fev-08
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250
300 Constante por Partes
Maturidade [Anos] S pr ea d [b ps ] 31-Mai-07 11-Fev-08
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 50 100 150 200 250
300 Linear por Partes
