Espaços-tempos assintoticamente planos

Espa¸

cos-tempos assintoticamente planos

Eder Santana Annibale

DISSERTAC¸ ˜AO APRESENTADA

AO

INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA

DA

UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO

PARA

OBTENC¸ ˜AO DO GRAU DE MESTRE

EM CIˆENCIAS

´

Area de Concentra¸c˜

ao:

Matem´

atica Aplicada

Orientador:

Prof. Dr. Michael Forger

Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho o autor recebeu apoio financeiro do CNPq

-Espa¸

cos-tempos assintoticamente planos

Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao final da disserta¸c˜ao devidamente corrigida e defendida por Eder Santana Annibale e aprovada pela comiss˜ao julgadora.

S˜ao Paulo, 02 de mar¸co de 2007.

COMISS ˜AO JULGADORA

• Prof. Dr. Frank Michael Forger (orientador) – IME-USP

• Prof. Dr. Elcio Abdalla – IF-USP

Resumo

Neste trabalho investigamos a base matem´atica de uma nova t´ecnica para relacionar duas m´etricas em uma dada variedade que propomos chamar de “reescalonamento con-forme anisotr´opico” e que tem sido usada na literatura recente para dar uma nova e mais geom´etrica defini¸c˜ao da no¸c˜ao de espa¸cos-tempos assintoticamente planos em Relativi-dade Geral.

Abstract

Agradecimentos

Conte´

udo

Introdu¸c˜ao 1

1 Reescalonamento conforme 7

1.1 A no¸c˜ao de completamento . . . 7

1.2 Reescalonamento conforme isotr´opico . . . 9

1.3 Reescalonamento conforme anisotr´opico . . . 10

1.4 Espa¸cos-tempos assintoticamente planos . . . 25

2 Solu¸c˜oes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstr¨om 31 2.1 Solu¸c˜oes exatas com simetria esf´erica . . . 31

2.2 Completamento conforme anisotr´opico . . . 35

Conclus˜ao 41

Bibliografia 43

Introdu¸

c˜

ao

A presente disserta¸c˜ao trata do problema de apresentar uma defini¸c˜ao adequada do con-ceito de um espa¸co-tempo assintoticamente plano, tema que desempenha um papel im-portante na relatividade geral, pois descreve o campo gravitacional gerado por uma dis-tribui¸c˜ao de massa localizada em uma regi˜ao limitada do espa¸co. De fato, as fontes gravitacionais usuais da astrof´ısica, tais como o nosso sistema solar ou como qualquer outro corpo astronˆomico (por exemplo, uma estrela normal, uma estrela de nˆeutrons ou mesmo um buraco negro formado por colapso gravitacional), ocupam regi˜oes limi-tadas do espa¸co e ´e razo´avel imaginar que, dentro e nas proximidades de tais fontes, o espa¸co-tempo ´e curvo, enquanto que, `a medida que nos afastamos da fonte, a curvatura decresce e a m´etrica do espa¸co-tempo aproxima-se da m´etrica plana do espa¸co-tempo de Minkowski.

Para caracterizar este tipo de situa¸c˜ao de forma tecnicamente correta, precisamos, antes de mais nada, especificar como quantificar o conte´udo da express˜ao “afastar-se da fonte”. O procedimento mais direto, adotado quase universalmente durante muito tempo, inclusive no trabalho famoso de Arnowitt, Deser & Misner [1] sobre a defini¸c˜ao da “massa ADM” (ou mais exatamente, do vetor de energia-momento total) de um espa¸co-tempo assintoticamente plano consiste em introduzir um sistema de coordenadas contendo uma “vari´avel radial”re impor condi¸c˜oes de decaimento apropriadas sobre as componentes do tensor m´etrico (ou mais exatamente, sobre as diferen¸cas entre as componentes do tensor m´etrico e do tensor m´etrico plano de Minkowski), assim como sobre as suas derivadas, `a medida em que r → ∞. O problema principal com esta defini¸c˜ao de um espa¸co-tempo assintoticamente plano ´e que ela depende do sistema de coordenadas empregado. Assim, ´e necess´ario formular condi¸c˜oes geom´etricas, invariantes sob transforma¸c˜oes de coorde-nadas, que garantam a existˆencia de um tal sistema de coordenadas e de encontrar um algoritmo para construi-lo. A rigor, nem ´e claro “a priori” qual ´e o significado geom´etrico da “vari´avel radial”r e, logo, o do limite r→ ∞.

Quanto `a ´ultima quest˜ao, podemos tentar uma resposta simples e direta: este limite significa que a distˆancia entre a fonte e o observador tende ao infinito. Contudo, ao contr´ario de uma m´etrica riemanniana, onde “distˆancia” significa simplesmente “distˆancia geod´esica”, essa interpreta¸c˜ao do referido limite pode, no caso de uma m´etrica lorentziana, deixar de ser adequada, uma vez que h´a pontos cuja distˆancia geod´esica ´e zero, pois podem ser ligados por geod´esicas tipo-luz.

Geod´esicas em variedades lorentzianas podem ser divididas naturalmente em trˆes tipos: geod´esicas tipo-tempo, geod´esicas tipo-espa¸co e geod´esicas tipo-luz (ou nulas), pois segue da equa¸c˜ao geod´esica,

d2

xa dλ2 + Γ

a bc(x)

dxb dλ

dxc

dλ = 0 , (1)

a qual fixa inclusive o parˆametroλa menos de uma transforma¸c˜ao afim, motivando assim a denomina¸c˜ao “parˆametro afim”, que o vetor velocidade com respeito a este parˆametro tem comprimento constante ao longo de qualquer geod´esica,

d dλ

gab(x)

dxa dλ

dxb dλ

= 0 , (2)

e portanto, uma geod´esica cujo vetor tangente inicial ´e tempo, espa¸co ou tipo-luz ter´a vetor tangente tipo-tempo, tipo-espa¸co ou tipo-tipo-luz ao longo de toda a trajet´oria. Quando lidamos com curvas tipo-tempo ou tipo-espa¸co, a equa¸c˜ao (2) pode ser usada como defini¸c˜ao alternativa do conceito de “parˆametro afim”, sendo que o parˆametro afim natural para curvas tipo-tempo ´e o tempo pr´oprio τ e para curvas tipo-espa¸co ´e o

comprimento de arco l. Vale observar que estes parˆametros podem ser definidos para curvas arbitr´arias (geod´esicas ou n˜ao), a partir de um parˆametro arbitr´ario λ, atrav´es das equa¸c˜oes1

τ(λ) = 1

c Z λ

dλ′ r

−gab(x)dx

a dλ′

dxb

dλ′ , (3)

l(λ) =

Z λ dλ′

r

gab(x)dx

a dλ′

dxb

dλ′ . (4)

Assim, torna-se poss´ıvel definir de forma precisa o que, em uma variedade lorentziana (orientada no tempo), significa “ir ao infinito” ao longo de dire¸c˜oes temporais (para o passado ou para o futuro) e ao longo de dire¸c˜oes espaciais, mas n˜ao ao longo de dire¸c˜oes nulas (para o passado ou para o futuro). Em particular, a no¸c˜ao de distˆancia geod´esica ´e inadequada para estudar o comportamento assint´otico (condi¸c˜oes de decaimento) de radia¸c˜ao – seja eletromagn´etica, seja gravitacional.

1

Introduc¸ ˜ao 3

Um m´etodo alternativo para abordar o problema, originalmente proposto por Penrose [2], consiste em acrescentar ao espa¸co-tempo uma fronteira representando o “infinito”, o que permite formular, de maneira manifestamente independente da esco-lha de coordenadas espec´ıficas, condi¸c˜oes sobre o comportamento assint´otico do campo gravitacional, assim como de todos os demais campos, em termos de continuidade ou at´e mesmo de diferenciabilidade perto da fronteira. Mais especificamente, Penrose usou a t´ecnica do “completamento conforme”, baseada na introdu¸c˜ao de uma m´etrica auxiliar, n˜ao-f´ısica, mas conformemente equivalente `a m´etrica f´ısica, que permite uma extens˜ao na-tural a uma fronteira que consiste de duas componentes conexas, o “infinito nulo futuro”

J+ _{e o “infinito nulo passado” J}−_.

Esta constru¸c˜ao ´e descrita em v´arios livros texto da ´area [3, 4], mas como j´a pode ser visto no caso do “completamento conforme” do espa¸co-tempo plano de Minkowski, apresenta um defeito s´erio: descreve bem o “infinito nulo” (futuro e passado), mas n˜ao o “infinito temporal” (futuro e passado) e, o que ´e pior, nem o “infinito espacial”, que s˜ao representados, cada um, por apenas um ponto, denotados por i+_{, i}− _{e i}0_, respec-tivamente. Este defeito ´e compartilhado nas abordagens de Geroch [5] e de Ashtekar & Hansen [6], que tamb´em usam o m´etodo de “completamento conforme” para chegar, respectivamente, a uma descri¸c˜ao do infinito espacial e de uma unifica¸c˜ao do infinito nulo e espacial: em ambos os casos, o infinito espacial ´e comprimido em um ´unico ponto, fato que ´e repons´avel por grande parte das dificuldades inerentes destas abordagens.

Uma an´alise mais aprofundada das origens do problema revela que se trata de uma dificuldade fundamental, cuja dimens˜ao e extens˜ao parece ter sido subestimada durante d´ecadas. Na verdade, como observado por Persides em [7], ela aparece n˜ao apenas no ˆambito da geometria lorentziana mas, da mesma forma, no da geometria riemanniana, onde j´a pode ser apreciada considerando-se o exemplo mais simples poss´ıvel: a quest˜ao de descrever o “infinito” para o espa¸co euclideano _R3_.

A fim de preservar a simetria rotacional, consideremos o espa¸co euclideano com a origem removida, M =_R3_{\ {0}, em coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ):}

x = r sinθ cosϕ

y = r sinθ sinϕ (5)

z = r cosθ

Nestas coordenadas a m´etrica do espa¸co euclideano assume a forma

ds2 = dr2 + r2 dθ2 + sin2θ dϕ2

. (6)

´

E natural considerar o “infinito” como sendo a fronteira de umcompletamento2 _M¯ _deM, obtida tomando-se o limite r → ∞, com θ e ϕ constantes. Para formalizar esta id´eia,

2

introduzimos uma nova coordenada radial, Ω = 1/r, e estendemos M de forma a incluir os pontos onde Ω se anula. Nas novas coordenadas esf´ericas (Ω, θ, ϕ), a m´etrica do espa¸co euclideano assume a forma

ds2 = Ω−4dΩ2 + Ω−2 dθ2 + sin2θ dϕ2

. (7)

Obviamente, esta m´etrica diverge no limite Ω → 0, sendo que os pontos de M com coordenada radial Ω formam uma esfera S2

com ´area total 4π/Ω2

, a qual tende para ∞

quando Ω→0. Contudo, se efetuarmos um “reescalonamento conforme”

ds2

−→ ds˜2

= Ω4

ds2

, (8)

a nova m´etrica

d˜s2

= dΩ2 + Ω2

dθ2

+ sin2

θ dϕ2

(9)

converge no limite Ω →0 e portanto pode ser estendida a uma m´etrica regular em ¯M. O problema com este procedimento ´e que, nesta nova m´etrica, os pontos de M com coordenada radial Ω formam uma esfera S2

com ´area total 4πΩ2

, a qual tende para 0 quando Ω→0. Isso significa que a fronteira de ¯M tem ´area total 0 e portanto, se reduz a um ´unico ponto: estamos lidando com a compactifica¸c˜ao de um ponto, ao inv´es de uma compactifica¸c˜ao que represente o “infinito” por uma esfera S2

. Podemos dizer que o simples reescalonamento conforme provoca um “encolhimento exagerado” das esferas no limite Ω→0.

A solu¸c˜ao do problema, neste caso, ´e ´obvia: consiste em abandonar o precon-ceito de que a nova m´etrica deva ser obtida a partir da m´etrica original por um simples reescalonamento conforme e trabalhar com a m´etrica

dsˆ2 = dΩ2 + dθ2 + sin2θ dϕ2

(10)

que tamb´em converge no limite Ω → 0 e portanto pode ser estendida a uma m´etrica regular em ¯M, mas com o m´erito adicional que agora, os pontos de M com coordenada radial Ω formam uma esfera S2 _{com ´area total 4π, a qual tende a um valor finito e} n˜ao-nulo (4π, no caso) quando Ω→0. O pre¸co a pagar ´e que a rela¸c˜ao entre a nova m´etrica e a m´etrica original ´e mais complicada, sendo que dsˆ2

´e obtida de ds2

reescalonando-se as suas componentes tangenciais e normais `as superf´ıcies Ω = const. por potˆencias diferentes de Ω: escrevendo

ds2

= ds2

⊥ + ds

2

k , dsˆ

2

= dˆs2

⊥ + dsˆ

2

k , (11)

temos

dsˆ2

⊥ = Ω

4_ds2

⊥

dsˆk = Ω2ds2k

Introduc¸ ˜ao 5

´

E por isso que nos referiremos `a passagem

ds2

−→ dsˆ2

(13)

como um “reescalonamento conforme anisotr´opico”.

Como mostra este exemplo, uma descri¸c˜ao geom´etrica do “infinito espacial”, atrav´es de um completamento que leve a uma variedade com bordo, cujo interior ´e igual `a variedade original, mas munida de uma m´etrica diferente da original, requer o reesca-lonamento das componentes tangenciais e transversais da m´etrica original por potˆencias

diferentes da “vari´avel radial” Ω e portanto, n˜ao pode ser baseada na id´eia do comple-tamento conforme. Este problema s´o n˜ao aparece no caso lorentziano quando a dire¸c˜ao transversal `a fronteira ´e tipo-luz, e ´e por isso que o completamento conforme permite tratar o “infinito nulo” mas n˜ao o “infinito espacial” ou “infinito temporal”.

A inadequa¸c˜ao do completamento conforme usual para tratar do “infinito es-pacial” j´a foi percebida nos anos 70 e exposta em v´arios trabalhos, levando inclusive a tentativas de abordagens alternativas tais como o completamento projetivo proposto em [8] e as expans˜oes da m´etrica elaboradas em [9]. O passo decisivo, no entanto, s´o foi tomado nos anos 90, com o trabalho pioneiro de Ashtekar e Romano [10] e as melhorias introduzidas por Perng [11].

Em [10] ´e apresentada uma defini¸c˜ao geom´etrica do conceito de um espa¸co-tempo assintoticamente plano no infinito espacial que realiza o “infinito espacial” com o devido grau de regularidade, a saber, como uma variedade tridimensional constituindo o bordo do espa¸co-tempo em suas dire¸c˜oes espaciais (algumas ou todas elas). Os autores tamb´em deduzem uma s´erie de conseq¨uˆencias de sua defini¸c˜ao, inclusive a constru¸c˜ao de quan-tidades conservadas associadas a simetrias assint´oticas, tais como energia-momento e momento angular, a partir de express˜oes para certos campos tensoriais que descrevem, em primeira ordem, o comportamento assint´otico do campo gravitacional no infinito espacial. Em [11], a defini¸c˜ao de [10] ´e ligeiramente modificada, de modo a incluir o importante caso da solu¸c˜ao de Reissner-Nordstr¨om, e a expans˜ao assint´otica de campos f´ısicos ´e sistematizada e levada a ordens superiores, o que permite deduzir um conjunto completo de poss´ıveis quantidades conservadas.

da m´etrica f´ısica segundo uma receita espec´ıfica, admita uma extens˜ao suave (i.e., n˜ao apenas cont´ınua) ao bordo imp˜oe todo um conjunto de restri¸c˜oes sobre a m´etrica f´ısica original e todas as suas derivadas. A mesma condi¸c˜ao ´e imposta sobre todos os outros campos tensoriais f´ısicos, desde que devidamente reescalonados. Esta condi¸c˜ao universal ser´a a ´unica condi¸c˜ao de continuidade/diferenciabilidade a ser exigida em todo o for-malismo, substituindo todas as outras e assim eliminando a necessidade de introduzir condi¸c˜oes de diferenciabilidade estranhas ou “limites com dependˆencia direcional” para descrever o comportamento de campos f´ısicos no bordo, o que ´e inevit´avel quando se representa o “infinito espacial” por um ´unico pontoi0_{, como no caso do completamento} conforme. (Veja, por exemplo, [4, pp. 276-277].)

Este trabalho est´a dividido em dois cap´ıtulos principais. No primeiro cap´ıtulo apresentamos a defini¸c˜ao de completamento de uma variedade, a qual ´e fundamental para definirmos o infinito espacial como sendo obordo de um espa¸co-tempo. Em seguida desenvolvemos o conceito de reescalonamento conforme anisotr´opico, m´etodo que ge-neraliza o reescalonamento conforme usual (que chamaremos de “isotr´opico”) e, como este, relaciona duas m´etricas: uma delas ´e a “m´etrica f´ısica” que define a geometria do espa¸co-tempo mas cujas componentes podem divergir no bordo da variedade, enquanto que a outra, que chamaremos de “m´etrica n˜ao-f´ısica”, ´e um tensor m´etrico auxiliar que, em geral, n˜ao ter´a nenhum significado f´ısico mas apresenta a vantagem de que as suas componentes permanecem finitas e regulares (i.e., suaves) no bordo da variedade.3 _Este m´etodo permite estabelecer rela¸c˜oes entre as componentes de v´arios outros “campos f´ısicos”, entre eles o tensor de Einstein derivado da m´etrica f´ısica, que novamente podem divergir no bordo, e as componentes dos correspondentes “campos n˜ao-f´ısicos”, entre eles o tensor de Einstein derivado da m´etrica n˜ao-f´ısica, que por constru¸c˜ao permane-cem finitas e regulares (i.e., suaves) no bordo. Usando tais rela¸c˜oes, apresentamos a defini¸c˜ao de um espa¸co-tempo assintoticamente plano no infinito espacial. Finalmente, analisamos algumas conseq¨uˆencias desta defini¸c˜ao e comparamos-na com as defini¸c˜oes propostas em [10, 11]. No segundo cap´ıtulo, apresentamos as caracter´ısticas b´asicas das solu¸c˜oes de Schwarzschild e de Reissner-Nordstr¨om e aplicamos o formalismo desenvol-vido no primeiro cap´ıtulo a estas solu¸c˜oes para concluir que a nossa defini¸c˜ao engloba estes dois importantes exemplos. Como conclus˜ao do trabalho, mencionamos algumas quest˜oes adicionais e problemas em aberto que poderiam e deveriam ser tratados no ˆambito da abordagem aqui proposta.

3

Lembramos que segundo os princ´ıpios da Relatividade Geral, a m´etrica se destaca dentre os diver-sos tipos de campos que existem no espa¸co-tempo pelo fato de que ela codifica a sua geometria – em particular, a sua estrutura causal (veja, por exemplo, a discuss˜ao em [3, Cap´ıtulo 3.2, pp. 59-64]), sem permitir a existˆencia de algum tipo de “geometria a priori” (veja, por exemplo, a discuss˜ao em [12,

Cap´

ıtulo 1

Reescalonamento conforme

isotr´

opico e anisotr´

opico

1.1

A no¸

c˜

ao de completamento

Come¸camos por um resumo daqueles aspectos da no¸c˜ao de “completamento” que inde-pendem da natureza espec´ıfica da rela¸c˜ao entre as duas m´etricas envolvidas – a m´etrica “f´ısica” g e a m´etrica “n˜ao-f´ısica” ¯g.

Defini¸c˜ao 1.1 Um completamentode uma variedadeM ´e um par( ¯M,Ω), ondeM¯ ´e uma variedade com bordo ∂M¯ tal que a variedadeM pode (atrav´es de um difeomorfismo escolhido de uma vez por todas) ser identificada com o interior M¯ \∂M¯ de M¯ e Ω ´e uma fun¸c˜ao sobre M¯ que serve como coordenada transversal ao bordo de M¯, isto ´e, que satisfaz

Ω>0 sobre M , Ω = 0 sobre ∂M ,¯ (1.1)

e

dΩ6= 0 sobre ∂M .¯ (1.2)

Mais especificamente, exigimos a existˆencia de uma vizinhan¸ca colar1 _{de ∂M}¯ _{em M}¯_,

isto ´e, de uma vizinhan¸ca aberta de ∂M¯ em M¯ da forma

¯

Uǫ = {x∈M¯ | Ω(x)< ǫ} , (1.3) com ǫ >0, tal que

dΩ6= 0 sobre Uǫ¯ . (1.4)

1

No uso deste termo, seguimos [13].

´

E claro que, nestas hip´oteses, as superf´ıcies de n´ıvel de Ω

Sρ = {x∈M¯ | Ω(x) =ρ} , (1.5)

com 06ρ < ǫ, s˜ao subvariedades de ¯M (e, para ρ >0, deM, enquanto que S0 =∂M¯) que providenciam uma folhea¸c˜ao da vizinhan¸ca colar ¯Uǫ:

¯

Uǫ = [˙ 06ρ<ǫ

Sρ . (1.6)

Escrevemos, ainda,

Uǫ = [˙ 0<ρ<ǫ

Sρ . (1.7)

Assim, ¯Uǫ ´e a uni˜ao disjunta de ∂M¯ eUǫ:

¯

Uǫ = ∂M¯ ∪˙ Uǫ . (1.8)

Tamb´em notamos que a existˆencia de uma vizinhan¸ca colar de∂M¯, que ´e uma vizinhan¸ca aberta de ∂M¯ de “espessura constante ao longo de ∂M¯” (ǫ, no caso) ´e automaticamente garantida pelas hip´oteses anteriores se ∂M¯ for compacto.

Passando a incluir m´etricas, adotaremos a seguinte terminologia.

Defini¸c˜ao 1.2 Um completamento de uma variedade pseudo-riemanniana (M, g) ´e uma tripla ( ¯M ,¯g,Ω), onde ( ¯M ,¯g) ´e uma variedade pseudo-riemanniana do mesmo tipo, mas com bordo∂M¯, e ( ¯M ,Ω)´e um completamento deM como na defini¸c˜ao anterior, tal que, sobre cada uma das superf´ıcies de n´ıvelSρdeΩ, com 0< ρ < ǫ, as m´etricas sobreSρ induzidas por g, g|Sρ, e por g,¯ ¯g|Sρ, assim como os campos vetoriais normais unit´arios n para g e ¯n para g, s˜¯ ao proporcionais, sendo que, para garantir que na regi˜ao Uǫ, g¯ seja completamente determinado por g e Ω e, reciprocamente, que g tamb´em seja com-pletamente determinado por g¯ e Ω, os respectivos fatores de proporcionalidade podem ser escritos como fun¸c˜oes de Ω (e portanto s˜ao constantes ao longo de cada uma das superf´ıcies de n´ıvel Sρ de Ω, com 0< ρ < ǫ).

Reescalonamento conforme isotr´opico 9

1.2

Reescalonamento conforme isotr´

opico

Dada uma variedade pseudo-riemanniana qualquer, a maneira mais simples de acrescen-tar uma fronteira representando pontos “no infinito” ´e atrav´es de um “completamento conforme”, isto ´e, supondo que a m´etrica n˜ao-f´ısica (que neste caso denotaremos por ˜g) ´e obtida a partir da m´etrica f´ısica g por um simples reescalonamento conforme.

Seja M uma variedade munida de uma m´etrica pseudo-riemanniana g. No que segue, estaremos interessados em dois casos distintos: m´etricas riemannianas e m´etricas lorentzianas. Dada uma fun¸c˜ao Ω estritamente positiva sobre M, que escrevemos na forma Ω = exp(ω), podemos introduzir uma nova m´etrica ˜g sobre M atrav´es de

˜

g = exp(2ω)g . (1.9)

Dizemos que a m´etrica ˜g ´e obtida da m´etrica g por um reescalonamento conforme ou, mais precisamente, por um reescalonamento conforme isotr´opico, para distingui-lo do reescalonamento conforme anisotr´opico que ser´a introduzido mais tarde. Entende-se que a f´ormula (1.9) aplica-se aos tensores covariantes, enquanto que para os tensores con-travariantes vale uma rela¸c˜ao an´aloga com a potˆencia inversa de Ω, ou seja, temos em componentes:

˜

gab = exp(2ω)gab , g˜ab = exp(−2ω)gab . (1.10) Quanto aos s´ımbolos de Christoffel das respectivas conex˜oes de Levi-Civita, observa-mos que estes s˜ao invariantes por reescalonamentos conformes globais (ω ´e constante), enquanto que no caso de reescalonamentos locais (ω ´e uma fun¸c˜ao), obtemos a rela¸c˜ao

˜

Γc_ab = Γc_ab+ δ_ac∂_bω+δ_bc∂_aω−g_abgcd∂_dω

. (1.11)

Logo, valem as seguintes rela¸c˜oes entre os respectivos tensores de Riemann

˜

Ra_bcd = Ra_bcd − δa_c ∇_d∂_bω−δa_d∇_c∂_bω

+ g_bcgae∇_d∂_eω−g_bdgae∇_c∂_eω) + δ_ca∂_dω ∂_bω−δ_da∂_cω ∂_bω

− g_bcgae∂_dω ∂_eω−g_bdgae∂_cω ∂_eω

(1.12)

− δ_cag_db−δ_dag_cb

(∂ω)2 ,

entre os respectivos tensores de Ricci

˜

R_ab = R_ab − (n−2)∇_b∂_aω − g_ab∂2ω + (n−2)∂_aω ∂_bω − (n−2)g_ab(∂ω)2 (1.13) e entre as respectivas curvaturas escalares

˜

R = exp(−2ω) R−2(n−1)∂2ω−(n−1)(n−2)(∂ω)2

, (1.14)

Tamb´em vale observar que, no caso lorentziano, reescalonamentos conformes pre-servam geod´esicas nulas, a menos de uma reparametriza¸c˜ao. De fato, sejaxuma geod´esica para a m´etrica g com parˆametro afim λ. Ent˜ao, se introduzirmos um novo parˆametro ˜λ

dado por simples integra¸c˜ao da rela¸c˜ao

dλ˜

dλ = exp(2ω(x)), (1.15)

a mesma curva considerada como fun¸c˜ao de ˜λ ser´a uma geod´esica para a m´etrica ˜g com parˆametro afim ˜λ, desde que

gab(x) dxa

dλ dxb

dλ = 0 , (1.16)

pois

dxa

d˜λ = exp(−2ω(x)) dxa

dλ (1.17)

e

d2_xa

dλ˜2 = exp(−4ω(x))

d2_xa

dλ2 − 2(∂cω)(x)

dxc dλ

dxa dλ

(1.18)

e portanto, conforme a equa¸c˜ao (1.11),

d2

xa dλ˜2 + ˜Γ

a bc(x)

dxb dλ˜

dxc dλ˜

= exp(−4ω(x))

d2_xa

dλ2 + Γ

a bc(x)

dxb dλ

dxc dλ − (g

ab_∂

bω)(x)gcd(x) dxc

dλ dxd

dλ

.

1.3

Reescalonamento conforme anisotr´

opico

Um outro m´etodo de reescalonamento, que n´os chamaremos de anisotr´opico, usa a decomposi¸c˜ao dos espa¸cos tangentes ao espa¸co-tempo em sua parte tangencial e sua parte normal `as hipersuperf´ıcies de n´ıvel da pr´opria fun¸c˜ao de reescalonamento Ω. Para descrevˆe-lo, considere primeiro uma variedade pseudo-riemanniana (M, g) munida de uma fun¸c˜ao Ω tal que dΩ 6= 0 sobre M e, mais especificamente, no caso em que g

n˜ao for definida positiva, tal que o gradiente (dΩ)♯_{de Ω ´e um campo vetorial tipo-espa¸co}

sobre M. Sob estas hip´oteses, as superf´ıcies de n´ıvel de Ω definem uma folhea¸c˜ao de M

em hipersuperf´ıcies que s˜ao pseudo-riemannianas em rela¸c˜ao `a m´etrica q induzida sobre cada uma pela m´etrica originalg. Definimos ent˜ao o campo vetorial unit´ario n normal a esta folhea¸c˜ao por n♭ _=F−1/2

(dΩ)♯_{, ou seja,} na = F−1/2

Reescalonamento conforme anisotr´opico 11

e a correspondente 1-forma unit´aria n♭ _{por n}♭_=F−1/2_{dΩ , ou seja,}

n_a = F−1/2

∂_aΩ , (1.20)

onde

F = gab∂_aΩ∂_bΩ, (1.21)

de modo que vale

g_abnanb = 1 = gabn_an_b . (1.22)

Assim, podemos decompor a m´etrica g em duas partes: um tensor sim´etrico q que des-creve a sua parte tangencial e um tensor sim´etrico proporcional a dΩ⊗dΩ , ou n♭_⊗n♭_,

que descreve a sua parte normal:

g_ab = q_ab + n_an_b , gab = qab + nanb . (1.23)

Vale ent˜ao

q_abnb = 0 , qabn_b = 0 , q_acqcb = P_ab , (1.24) onde P ´e o projetor ortogonal de T M sobre ker(dΩ):

P_ab = δb_a − n_anb . (1.25)

Valem ainda as seguintes rela¸c˜oes:

P_abP_bc = P_ac , P_abn_b = P_abna = 0. (1.26) O tensor sim´etrico q, tamb´em chamado de primeira forma fundamental, descreve a m´etrica induzida sobre cada uma das superf´ıcies de n´ıvel de Ω. Outro tensor sim´etrico muito importante, aqui denotado por K, ´e a segunda forma fundamental, que descreve a curvatura extr´ınseca das superf´ıcies de n´ıvel de Ω como subvariedades de M e que pode ser definida de v´arias formas, por exemplo como a derivada covariante do campo normal n (mais exatamente, da 1-forma normal n♭_{) em dire¸c˜oes tangenciais,}

K_ab = P_acP_bd∇_cn_d , (1.27)

que, no presente caso, ´e simplesmente a parte tangencial das segundas derivadas (covariantes) da fun¸c˜ao Ω,

K_ab = F−1/2

P_acP_bd∇_c∂_dΩ , (1.28)

ou como a derivada de Lie da m´etrica induzida ao longo do campo unit´ario normal,

K_ab = 1

Observe que K ´e sim´etrico, Kba =Kab, como pode ser visto, por exemplo, calculando-se, para quaisquer dois campos vetoriais X e Y com proje¸c˜oes tangenciais P X eP Y,

K(X, Y)−K(Y, X) = g(∇_{P X}n, P Y)−g(P X,∇_{P Y}n)

= L_{P X}g(n, P Y) − g(n,∇_{P X}P Y) − L_{P Y}g(P X, n) + g(∇_{P Y}P X, n) = − g(n,[P X, P Y]) = 0.

A mesma afirma¸c˜ao tamb´em segue da equa¸c˜ao (1.28), usando que a tor¸c˜ao de ∇´e zero, e ´e ´obvia a partir da equa¸c˜ao (1.29).

1.3.1

Equa¸

c˜

oes de Gauss-Codazzi

Para os c´alculos a serem efetuados nesta se¸c˜ao, precisaremos de uma s´erie de f´ormulas que relacionam diversas quantidades que aparecem naturalmente quando consideramos uma folhea¸c˜ao de uma variedade lorentziana pelas hipersuperf´ıcies de n´ıvel de uma fun¸c˜ao, dentre elas as bem conhecidas equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi. Mantendo a nota¸c˜ao j´a in-troduzida, observamos primeiro que combinando as equa¸c˜oes

nb∇_an_b = gbcn_c∇_an_b = n_c∇_anc

e

nb∇_an_b + ∇_anb n_b = ∂_a nbn_b

= 0

obtemos as seguintes importantes identidades:

nb∇_an_b = 0 , n_b∇_anb = 0 . (1.30)

Logo, vemos como deduzir a equivalˆencia entre as equa¸c˜oes (1.27) e (1.29):

L_nq_ab = nc_∇

cqab + qac∇bnc + qcb∇anc

= − nc∇_c n_an_b

+ g_ac−n_an_c

∇_bnc + g_cb−n_cn_b

∇_anc

= ∇_an_b − n_anc∇_cn_b + ∇_bn_a − nc∇_cn_an_b

= δc

a − nanc

δd

b − nbnd

∇_cn_d − δc

b − nbnc

δd

a − nand

∇_cn_d

= K_ab+K_ba .

Note tamb´em que devido `a rela¸c˜ao (1.30), a divergˆencia do campo vetorial unit´ario n ´e igual ao tra¸co K =gab_K

ab =qabKab da segunda forma fundamental:

Reescalonamento conforme anisotr´opico 13

Por outro lado, as defini¸c˜oes da m´etrica induzida q e do projetor P implicam que

∇_aq_bc = − ∇_an_b

n_c − ∇_an_c

n_b (1.32)

e

∇_aP_bc = − ∇_an_b

nc − n_b ∇_anc

. (1.33)

Quanto `as derivadas da fun¸c˜aoF, a derivada normal ´e dada por

L_nF = na∂_a gcd∂_cΩ∂dΩ

= nagcd (∇_a∂_cΩ)∂_dΩ + ∂_cΩ (∇_a∂_dΩ) ,

ou seja,

LnF = 2F1/2ncnd∇_c∂_dΩ, (1.34)

enquanto que para as derivadas tangenciais, temos

Pab∂bF = Pab∂b gcd∂cΩ∂dΩ

= Pabgcd (∇b∂cΩ)∂dΩ + ∂cΩ (∇b∂dΩ)

= 2F1/2

Pb

anc∇b∂cΩ = 2F

1/2

Pb

anc∇c∂bΩ = 2F

1/2

Pb

anc∇c F

1/2

n_b

= 2F P_abnc∇_cn_b = 2F δb_a−n_anb

nc∇_cn_b = 2F nc∇_cn_a ,

ou seja,

Pb

a∂bF = 2F

1/2

Pb

anc∇c∂bΩ = 2F Pabnc∇cnb = 2F nc∇cna . (1.35)

Reciprocamente, temos

∇_an_b = P_ac+n_anc

∇_cn_b = P_ac P_bd+n_bnd

∇_cn_d + n_anc∇_cn_b

e portanto

∇_an_b = Kab + n_anc∇_cn_b = Kab + 1 2F

−1

∂_cF P_bcn_a . (1.36) Finalmente, consideraremos ainda a derivada de Lie da segunda forma fundamental ao longo do campo unit´ario normal, relacionada com a sua derivada covariante normal pela f´ormula

LnKab = nc∇cKab + Kac∇bnc + Kcb∇anc ,

a qual implica

na_L

nKab = nanc∇cKab + Kabnc∇cna = nc∇c naKab

= 0 , nb_L

nKab = nbnc∇cKab + Kabnc∇cnb = nc∇c nbKab

mostrando que L_nK_ab, como q_ab e K_ab = 1

2 Lnqab, ´e um tensor puramente tangencial.

Reciprocamente, temos

L_nK_ab = nc∇_cK_ab + K_ac∇_bnc + K_cb∇_anc

= nc∇_cK_ab + qcd+ncnd

K_ac∇_bn_d + qcd+ncnd

K_cb∇_an_d

= nc∇_cK_ab + qcdK_ac P_be+n_bne

∇_en_d + qcdK_cb P_ae+n_ane

∇_en_d

= nc∇_cK_ab + 2qcdK_acK_bd + qcd K_acn_b+K_cbn_a

ne∇_en_d ,

o que, em combina¸c˜ao com a equa¸c˜ao (1.35), leva `a seguinte decomposi¸c˜ao da derivada covariante normal da segunda forma fundamental em uma parte puramente tangencial e uma parte mista (sendo que a parte puramente normal se anula):

nc∇_cK_ab = L_nK_ab − 2qcdK_acK_bd − 1 2q

cd_F−1

∂_cF K_dan_b+K_dbn_a

. (1.37)

Passamos agora a deduzir algumas rela¸c˜oes entre objetos quadridimensionais e tridimensionais. Em cada superf´ıcie de n´ıvel de Ω temos uma derivada covariante tri-dimensional, que denotaremos porD_a, os correspondentes tensores de Riemann e de Ricci tridimensionais, que denotaremos por Ra

bcd e Rab, respectivamente, e a correspondente

curvatura escalar tridimensional, que denotaremos por R. Primeiro, notamos que o operador D ´e definido pela exigˆencia de que para quaisquer dois campos vetoriais Z e

X tangentes `as superf´ıcies de n´ıvel de Ω, D_ZX ser´a a proje¸c˜ao tangencial de ∇_ZX, ou seja, para campos vetoriais X quaisquer, vale

D_aXb = P_acP_db∇_cXd , (1.38)

e dualmente, para 1-formasα quaisquer, vale

D_aα_b = P_acP_bd∇_cα_d . (1.39)

Ent˜ao

Rc_dabXd = D_aD_bXc − D_bD_aXc (1.40)

e dualmente

Rc_dabα_c = D_bD_aα_d − D_aD_bα_d . (1.41)

Provaremos agora, como exerc´ıcio, asequa¸c˜oes de Gauss-Codazzi,

Rc_dab = P_gcP_dhP_aeP_bfRg_hef + K_acK_bd − K_bcK_ad . (1.42)

Reescalonamento conforme anisotr´opico 15

De fato, se X ´e tangencial `as superf´ıcies de n´ıvel de Ω, temos n_eXe _{= 0 e X}e_=Pe gXg

e portanto

D_aD_bXc = Da PbdPec∇dXe

= P_afP_bgP_hc∇_f P_gdP_eh∇_dXe

= P_afP_bgP_ec∇_f δ_gd−n_gnd

∇_dXe + P_afP_bdP_hc∇_f δ_eh−n_enh

∇_dXe

+ P_afP_bdP_ec∇_f∇_dXe

= − P_afP_bgP_ec ∇_fn_g

nd∇_dXe − P_afP_bdP_hcn_e ∇_fnh

∇_dXe

+ Pf

aPbdPec∇f∇dXe

= − K_abP_ecnd∇_dXe + K_caP_bd ∇_dn_e

P_geXe + P_aeP_bfP_gc∇_e∇_fXg

= − K_abP_ecnd∇_dXe + K_caKbgXg + P_aeP_bfP_gc∇_e∇_fXg .

Antisimetrizando em a e b e usando a f´ormula (1.40), obtemos a equa¸c˜ao (1.42). Para provar a equa¸c˜ao (1.43), calculamos

qbcDcKab = qbcPad∇cKdb = qbcPad∇c PdePbf ∇enf

= qbcP_ad∇_c (δ_de−n_dne)(δ_bf −n_bnf)∇_en_f

= qbcPad∇c∇dnb − qbcPadne ∇cnd ∇enb

= qbcP_ad∇_c∇_dn_b − qbcP_adneF−1/2 ∇_c∂_dΩ∇_en_b

e

qbcD_aK_cb = qbcP_ad∇_dK_cb = qbcP_ad ∇_d P_ceP_bf∇_en_f

= qbcP_ad∇_d (δ_ce−n_cne)(δ_bf −n_bnf)∇_en_f

= qbcP_ad∇_d∇_cn_b − qbcP_adne ∇_dn_c ∇_en_b

= qbcP_ad∇_d∇_cn_b − qbcP_adneF−1/2 ∇_d∂_cΩ∇_en_b .

Logo, vale

qbcD_cK_ab − qbcD_aK_cb = qbcP_ad ∇_c∇_d− ∇_d∇_c n_b

= − qbcP_adRe_bcdn_e

= − gbc−nbnc

P_adR_ebcdne

= P_adneR_de ,

como desejado. Note ainda que contra¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.42) com Pa

c leva `a seguinte

rela¸c˜ao envolvendo o tensor de Ricci quadridimensional e o tensor de Ricci tridimensional:

Pc

aPbdnenfRecf d = PacPbdδefRecf d − PacPbdPefRecf d

= Pc

aPbdRcd − Rab + KKab − qcdKacKbd .

Tamb´em temos, para qualquer fun¸c˜ao F,

D_aD_bF = P_acP_bd∇_c P_de∂_eF

= P_acP_bd∇_c∂_dF − P_acP_bd ∇_cn_d

ne∂_eF − P_acP_bdn_d ∇_cne ∂_eF ,

ou seja

DaDbF = PacPbd∇c∂dF − LnF

Kab , (1.45)

de modo que, em particular,

P_acP_bd3 4 F

−2

∂_cF ∂_dF

− 1 2F

−1

∇_c∂_dF

+ 1 2F

−1

L_nF K_cd

= F1/2 _D

aDbF−1/2

.

(1.46)

Agora podemos usar as equa¸c˜oes (1.27), (1.30), (1.33), (1.35), (1.36) e (1.44) para calcular a derivada normal covariante da segunda forma fundamental como segue:

nc∇_cK_ab = nc∇_c P_adP_be∇_dn_e

= − nc ∇cna

ndPbe ∇dne

− ncna ∇cnd

Pbe ∇dne

− ncP_adn_b ∇_cne

∇_dn_e

+ P_adP_benc ∇_d∇_cn_e

− P_adP_bencRf_ecdn_f

= − 1

4P

c aPbdF−

2

∂_cF ∂_dF

− 1 2q

dc_F−1

∂_cF

n_aP_be Kde + 1 2F

−1

∂_fF

P_efn_d

− 1 2q

ec_F−1

∂cF

nbPad Kde + 12F

−1

∂fF

Pefnd

+ P_adP_be∇_d nc∇_cn_e

− P_adP_be ∇_dnc

∇_cn_e

− P_acP_bdn_enf Re_{df c}

= − 1

4P

c aPbdF−

2

∂_cF ∂_dF

− 1 2q

cd_F−1

∂cF

Kbdna + Kadnb

+ P_adP_be∇_d1 2F

−1

P_ec ∂_cF

− P_adP_beK_dc + 1 2F

−1

∂_fF

qf cn_dKce + 1 2F

−1

∂_fF

P_efn_c

Reescalonamento conforme anisotr´opico 17

= − 1

4P

c aPbdF−

2

∂_cF ∂_dF

− 1 2q

cd_F−1

∂_cF

K_bdn_a + K_adn_b

− 1₂PadPbcF−

2

∂cF

∂dF

− 1₂ PadPbe ∇dne

ncF−1 ∂cF

+ 1 2P

d aPbcF−

1

∇_d∂_cF

− K_bcK_ac

− P_acP_bdR_cd + R_ab − KK_ab + qcdK_acK_bd .

Assim, usando a equa¸c˜ao (1.46), obtemos

nc_∇

cKab = −

1 2q

cd_F−1 _∂

cF

K_bdn_a + K_adn_b

− F1/2

D_aD_bF−1/2

− Pc

aPbdRcd + Rab − KKab ,

(1.47)

e usando a equa¸c˜ao (1.37), conclu´ımos que

L_nK_ab = −F1/2

D_aD_bF−1/2

− P_acP_bdR_cd + R_ab − KK_ab + 2qcdK_acK_bd , (1.48) sendo que estas f´ormulas se tornar˜ao ´uteis a seguir.

1.3.2

A m´

etrica n˜

ao-f´ısica

O passo fundamental para efetuar um reescalonamento conforme anisotr´opico consiste na introdu¸c˜ao de uma nova m´etrica ˆg sobre M por

ˆ

g_ab = Ω2s_q

ab + Ω

2t_n

anb , gˆab = Ω−

2s_qab _{+ Ω}−2t_na_nb _{, (1.49)}

onde s e t s˜ao parˆametros reais a serem fixados posteriormente. Assim, se definirmos

ˆ

na = ˆF−1/2 ˆ

gab∂_bΩ (1.50)

e

ˆ

n_a = ˆF−1/2

∂_aΩ , (1.51)

onde

ˆ

F = ˆgab∂_aΩ∂_bΩ, (1.52)

de modo que vale

ˆ

g_abnˆa_nˆb _{= 1 = ˆg}ab_nˆ

anˆb (1.53)

e se escrevemos

ˆ

como antes, ent˜ao temos que

ˆ

qab = Ω

2s_q

ab , qˆab = Ω−

2s_qab _{, (1.55)}

ˆ

na = Ω−tna , nˆ_a = Ωtn_a , (1.56)

ˆ

F = Ω−2tF (1.57)

e

ˆ

Pab = Pab . (1.58)

Neste caso, diremos que a m´etrica ˆg ´e obtida da m´etrica g por um reescalonamento conforme anisotr´opico.

Para calcular as rela¸c˜oes entre os s´ımbolos de Christoffel e tensores de Riemann das duas m´etricas, faremos uso da f´ormula geral para a diferen¸ca dos s´ımbolos de Christoffel associados a duas m´etricas quaisquer g e ˆg,

ˆ

Γcab = Γcab + Cabc , (1.59)

onde

C_abc = 1 2ˆg

cd _∇

agˆbd+∇bgˆad− ∇dgˆab

(1.60)

e

ˆ

Rd_cab = Rd_cab + ∇_aC_bcd − ∇_bC_acd + C_aedC_bce − C_bedC_ace . (1.61) O modo mais f´acil para provar as ´ultimas duas f´ormulas baseia-se na observa¸c˜ao de que ambos os lados s˜ao tensores e portanto ´e suficiente demonstr´a-las, separadamente, em cada ponto da variedade e ainda apenas em algum sistema especial de coordenadas, sendo que elas se reduzem a equa¸c˜oes bem conhecidas, tais como

ˆ

Rd_cab−Rd_cab = ∂_a(ˆΓd_bc−Γd_bc) − ∂_b(ˆΓd_ac−Γd_bc) + ˆΓd_aeΓˆe_bc − Γˆd_beΓˆ_ace − Γd_aeΓe_bc + Γd_beΓe_ac ,

quando consideradas em coordenadas normais para a m´etrica g (nas quais os s´ımbolos de Christoffel Γc

ab se anulam e as derivadas covariantes ∇a coincidem com as derivadas

parciais∂_a). Para calcular o tensor C, reescrevemos a equa¸c˜ao (1.49) na forma ˆ

Reescalonamento conforme anisotr´opico 19

2C_abc = Ω−2sgcd + Ω−2t−Ω−2s ncnd

×

∇_aΩ2s_g

bd + Ω

2t_−Ω2s n_bn_d

+ ∇_bΩ2sg_ad + Ω2t−Ω2s n_an_d

− ∇_dΩ2s_g

ab + Ω

2t_−Ω2s n_an_b

= Ω−2s_qcd _{+ Ω}−2t_nc_nd

×

2sΩ2s−1

F1/2

n_ag_bd + 2tΩ2t−1

− 2sΩ2s−1 F1/2

n_an_bn_d

+ Ω2t_−Ω2s

(∇_an_b)n_d + n_b(∇_an_d)

+ 2sΩ2s−1F1/2n_bg_ad + 2tΩ2t−1 − 2sΩ2s−1

F1/2n_an_bn_d

+ Ω2t_−Ω2s

(∇_bn_a)n_d + n_a(∇_bn_d)

− 2sΩ2s−1

F1/2

n_dg_ab − 2tΩ2t−1

− 2sΩ2s−1 F1/2

n_an_bn_d

− Ω2t_−Ω2s

(∇_dn_a)n_b + n_a(∇_dn_b)

= 2sΩ−1

F1/2

P_bcn_a + 2sΩ2s−2t−1

F1/2

n_an_bnc

+ 2t − 2sΩ2s−2t

Ω−1

F1/2

n_an_bnc

− 1−Ω2t−2s

qcdnb(∇and) + 1−Ω

2s−2t

(∇anb)nc

+ 2sΩ−1

F1/2

P_acn_b + 2sΩ2s−2t−1

F1/2

n_an_bnc

+ 2t − 2sΩ2s−2t

Ω−1F1/2n_an_bnc

− 1−Ω2t−2s

qcdna(∇_bn_d) + 1−Ω2s−2t

(∇_bn_a)nc

− 2sΩ2s−2t−1F1/2g_abnc − 2t − 2sΩ2s−2t

Ω−1F1/2n_an_bnc

+ 1−Ω2t−2s

qcd (∇_dn_a)n_b + n_a(∇_dn_b)

− 1−Ω2s−2t

nd(∇_dn_a)n_bnc + n_and(∇_dn_b)nc

= 2sΩ−1F1/2 P_acn_b+P_bcn_a

+ 2tΩ−1F1/2n_an_bnc − 2sΩ2s−2t−1F1/2q_abnc

+ 1−Ω2t−2s

qcd ∇_dn_a− ∇_an_d

n_b + n_a ∇_dn_b− ∇_bn_d)

+ 1−Ω2s−2t

= 2sΩ−1

F1/2

P_acn_b+P_bcn_a

+ 2tΩ−1

F1/2

n_an_bnc

− 2sΩ2s−2t−1F1/2q_abnc + 2 1−Ω2s−2t K_abnc

− 1−Ω2t−2s

qcd n_dne(∇_en_a) − n_ane(∇_en_d) n_b

+ n_a n_dne(∇_en_b) − n_bne(∇_en_d)

ou seja,

Cc

ab = sΩ−

1

F1/2

Pc

anb +Pbcna

+ tΩ−1

F1/2

nanbnc

− sΩ2s−2t−1_F1/2_q

abnc + 1−Ω

2s−2t K_abnc

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1 _∂

dF

qcd_n anb .

(1.63)

Como corol´ario, notamos que

ˆ

K_ab = ˆP_acPˆ_bd∇ˆ_cnˆ_d = ˆP_acPˆ_bd∇_c Ωtn_d

− C_cde Ωtn_e

= Ωt_Pc

aPbd∇cnd + sΩ

2s−t−1

F1/2

q_ab − Ωt _1−Ω2s−2t K_ab ,

o que leva `a seguinte f´ormula para a rela¸c˜ao entre as segundas formas fundamentais das duas m´etricas:

ˆ

K_ab = Ω2s−tK_ab + sΩ2s−t−1F1/2q_ab . (1.64) Para calcular a rela¸c˜ao entre os tensores de Ricci e, posteriormente, as curvaturas escalares e os tensores de Einstein das duas m´etricas, come¸camos por contrair os ´ındices

a e d na equa¸c˜ao (1.61) para obter ˆ

R_ab = R_ab + ∇_cC_bac − ∇_bC_cac + C_cdc C_bad − C_bdc C_cad . (1.65) Inserindo a equa¸c˜ao (1.63) e usando as equa¸c˜oes (1.31)-(1.33), vem

∇_cCc

ba = ∇c

sΩ−1

F1/2

Pc

bna+Pacnb

+ tΩ−1

F1/2

n_an_bnc _{− sΩ}2s−2t−1

F1/2

q_abnc

+ 1−Ω2s−2t

K_abnc − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1 ∂_dF

qcdn_an_b

= − sΩ−2

∂_cΩ F1/2

P_bcn_a − sΩ−2

∂_cΩ F1/2

P_acn_b

+ 1 2sΩ

−1

F−1/2 ∂_cF

P_bcn_a + 1 2sΩ

−1

F−1/2 ∂_cF P_acn_b

− sΩ−1

F1/2

∇_cn_b

ncn_a − sΩ−1

F1/2

K n_an_b + sΩ−1

F1/2

P_bc ∇_cn_a

− sΩ−1F1/2 ∇_cn_a

ncn_b − sΩ−1F1/2K n_an_b + sΩ−1F1/2P_ac ∇_cn_d

− tΩ−2

F n_an_b + 1 2tΩ

−1

F−1/2

∂_cF

n_an_bnc

+ tΩ−1

F1/2

∇_cn_a

n_bnc + tΩ−1

F1/2

∇_cn_b

n_anc + tΩ−1

F1/2

Reescalonamento conforme anisotr´opico 21

− s(2s−2t−1) Ω2s−2t−2

F q_ab − 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2

∂_cF q_abnc

+ sΩ2s−2t−1F1/2 ∇cna

nbnc + sΩ

2s−2t−1

F1/2 ∇cnb

nanc

− sΩ2s−2t−1

F1/2

K q_ab − (2s−2t) Ω2s−2t−1

F1/2

K_ab

+ 1−Ω2s−2t

∇_cK_ab

nc _{+ 1−Ω}2s−2t KK_ab

+ (t−s) Ω2t−2s−1

∂_cΩ F−1

∂_dF

qcdn_an_b

+ 1

2 1−Ω 2t−2s

F−2

∂_cF ∂_dF

qcdn_an_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∇_c∂_dF

qcdn_an_b

+ 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

K n_an_bnd

+ 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

gde ∇_cn_e

ncn_an_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

qcd ∇_cn_a n_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

qcd ∇_cn_b n_a .

Observamos que os termos na primeira e na d´ecima primeira linha se anulam e que devido `a equa¸c˜ao (1.35), os termos na segunda linha cancelam os primeiros termos na terceira e na quarta linha. Usando as equa¸c˜oes (1.35) e (1.36) para reescrever os termos contendo derivadas covariantes de n, obtemos

∇_cC_bac = − (2s−t) Ω−1

F1/2

K n_an_b + 2sΩ−1

F1/2

K_ab

− tΩ−2

F n_an_b + 1 2tΩ

−1

F−1/2

L_nF n_an_b

+ 1 2tΩ

−1

F−1/2

∂_cF

P_acn_b+P_bcn_a

− s(2s−2t−1) Ω2s−2t−2F q_ab − 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2 L_nF q_ab

+ 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2

∂_cF

P_acn_b+P_bcn_a

− sΩ2s−2t−1F1/2K q_ab − (2s−2t) Ω2s−2t−1F1/2K_ab

+ 1−Ω2s−2t

KK_ab + 1−Ω2s−2t

nc ∇_cK_ab

+ 3

4 1−Ω 2t−2s

F−2

∂_cF ∂_dF

qcdn_an_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∇_c∂_dF

qcdn_an_b

+ 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

LnF

K n_an_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

qcd K_acn_b+K_bcn_a .

De maneira an´aloga,

∇_bC_cac = ∇_bsΩ−1

F1/2

P_ccn_a+P_acn_c

+ tΩ−1

F1/2

n_an_cnc − sΩ2s−2t−1

F1/2

q_acnc

+ 1−Ω2s−2t

K_acnc − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_dF

= (3s+t)∇_bΩ−1F1/2n_a

= − (3s+t) Ω−2

F n_an_b + 1

2 (3s+t) Ω

−1

F−1/2

∂_cF

P_bc+n_bnc n_a

+ (3s+t) Ω−1F1/2 ∇_bn_a

= − (3s+t) Ω−2F n_an_b + 1

2 (3s+t) Ω

−1

F−1/2 ∂_cF

P_acn_b+P_bcn_a

+ 1

2(3s+t) Ω

−1

F−1/2

L_nF

n_an_b + (3s+t) Ω−1

F1/2

K_ab .

Finalmente, temos

C_cdc C_bad = sΩ−1F1/2 P_ccn_d+P_dcn_c

+ tΩ−1F1/2n_cn_dnc − sΩ2s−2t−1F1/2q_cdnc

+ 1−Ω2s−2t

K_cdnc − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_eF

qecn_cn_d

×sΩ−1F1/2 P_bdn_a+P_adn_b

+ tΩ−1F1/2n_an_bnd − sΩ2s−2t−1F1/2q_abnd

+ 1−Ω2s−2t

K_abnd − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1 ∂fF

qf dn_an_b

= (3s+t) Ω−1F1/2n_d

×sΩ−1

F1/2

P_bdn_a+P_adn_b

+ tΩ−1

F1/2

n_an_bnd − sΩ2s−2t−1

F1/2

q_abnd

+ 1−Ω2s−2t

K_abnd − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_fF

qf dn_an_b

= t(3s+t) Ω−2F n_an_b − s(3s+t) Ω2s−2t−2F q_ab

+ (3s+t) Ω−1

1 − Ω2s−2t F1/2

K_ab ,

e

C_bdc C_cad = sΩ−1F1/2 P_bcn_d+P_dcn_b

+ tΩ−1F1/2n_bn_dnc − sΩ2s−2t−1F1/2q_bdnc

+ 1−Ω2s−2t

K_bdnc − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

∂_eF

qecn_bn_d

×sΩ−1

F1/2

Pd

cna+Padnc

+ tΩ−1

F1/2

n_an_cnd _{− sΩ}2s−2t−1

F1/2

q_acnd

+ 1−Ω2s−2t

K_acnd − 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1 ∂_fF

qf dn_an_c

= (3s2+t2) Ω−2F nanb − 2s

2

Ω2s−2t−2F qab + 2s Ω−

1

1−Ω2s−2t

F1/2Kab

− 1 2 sΩ

−1

1−Ω2s−2t F−1/2

∂_cF

P_acn_b+P_bcn_a

− 1

2 1−Ω 2s−2t

1−Ω2t−2s F−1

∂_cF

Reescalonamento conforme anisotr´opico 23

Combinando estes resultados, obtemos

ˆ

R_ab = R_ab − (2s−t) Ω−1

F1/2

K n_an_b − 3s(s−t−1) Ω−2

F n_an_b

− 3 2 sΩ

−1

F−1/2

L_nF n_an_b

+ 3

4 1−Ω 2t−2s

F−2 ∂_cF ∂_dF

qcdn_an_b

− 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1 ∇_c∂_dF

qcdn_an_b

+ 1

2 1−Ω 2t−2s

F−1

LnF

K n_an_b

+ 1

2 1−Ω 2s−2t

F−1

∂_cF

qcd _K

adnb +Kbdna

− sΩ−1

F−1/2

∂_cF

P_acn_b +P_bcn_a

− s(3s−t−1) Ω2s−2t−2

F q_ab − 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2

L_nF q_ab

− sΩ2s−2t−1

F1/2

K q_ab − (3s−t) Ω2s−2t−1

F1/2

K_ab

+ 1−Ω2s−2t

KK_ab + 1−Ω2s−2t nc _∇

cKab

.

Inserindo as equa¸c˜oes (1.46) e (1.47) e separando as componentes puramente normais, mistas e puramente tangenciais, conclu´ımos que

ˆ

R_ab = ncndR_cd − (2s−t) Ω−1

F1/2

K − 3s(s−t−1) Ω−2

F

− 3 2sΩ

−1

F−1/2

L_nF

+ 1−Ω2t−2s

qcdF1/2

D_cD_dF−1/2 n_an_b

+R_cd − sΩ−1F−1/2 (∂_cF)n_d + (∂_dF)n_c

P_acn_bnd+P_bdn_anc

(1.66)

+Ω2s−2t_R

cd + 1−Ω

2s−2t

R_cd − s(3s−t−1) Ω2s−2t−2

F q_cd

− 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2

L_nF

q_cd − sΩ2s−2t−1

F1/2

K q_cd

− (3s−t) Ω2s−2t−1

F1/2

K_cd − 1−Ω2s−2t F1/2

D_cD_dF−1/2

P_acP_bd .

Agora ´e f´acil deduzir a rela¸c˜ao an´aloga entre os correspondentes tensores de Einstein ˆG_ab

e G_ab, usando que ˆ

nanˆbGˆ_ab = ˆnaˆnb Rˆ_ab − 1 2Rˆgˆab

= ˆnanˆbRˆ_ab − 1

2Rˆ = ˆn

a_ˆnb_Rˆ ab −

1 2gˆ

ab_Rˆ ab

= ˆnaˆnbRˆab −

1 2 ˆn

a_ˆnb_{+ ˆq}abˆ Rab =

1 2 nˆ

a_nˆb_Rˆ

ab − qˆabRˆab

,

ˆ

P_acPˆ_bdGˆ_cd = ˆP_acPˆ_bd Rˆ_cd − 1 2Rˆgˆcd

= ˆP_acPˆ_bdRˆ_cd − 1

2Rˆqˆab = ˆPacPˆbdRˆcd −

1 2ˆg

cd_Rˆ cdqˆab

= ˆP_acPˆ_bdRˆ_cd − 1 2 nˆ

c_nˆd_Rˆ

cd + ˆqcdRˆcd

ˆ

Assim,

ˆ

nanˆbGˆ_ab = 1 2

Ω−2tnanbR_ab − (2s−t) Ω−2t−1F1/2K − 3s(s−t−1) Ω−2t−2F

− 3 2sΩ

−2t−1

F−1/2

L_nF

+ Ω−2t_−Ω−2s F1/2

qab D_aD_bF−1/2

− Ω−2tqabR_ab − Ω−2s−Ω−2t

R + 3s(3s−t−1) Ω−2t−2F

+ 3 2sΩ

−2t−1

F−1/2 LnF

+ (6s−t) Ω−2t−1F1/2K

+ Ω−2s−Ω−2t

qabF1/2 D_aD_bF−1/2 ,

e analogamente

ˆ

P_acPˆ_bdGˆ_cd= Ω2s−2t_Pc

aPbdRcd + 1−Ω

2s−2t

R_ab − s(3s−t−1) Ω2s−2t−2

F q_ab

− 1 2sΩ

2s−2t−1

F−1/2

L_nF

q_ab − sΩ2s−2t−1

F1/2

K q_ab

− (3s−t) Ω2s−2t−1F1/2K_ab − 1−Ω2s−2t

F1/2 D_aD_bF−1/2

− 1

2 Ω

2s_Ω−2t_nc_nd_R

cd − (2s−t) Ω−

2t−1

F1/2

K − 3s(s−t−1) Ω−2t−2

F

− 3 2sΩ

−2t−1

F−1/2

L_nF

+ Ω−2t_−Ω−2s F1/2

qcd D_cD_dF−1/2

+ Ω−2t_qcd_R

cd + Ω−

2s_−Ω−2t

R − 3s(3s−t−1) Ω−2t−2

F

− 3 2sΩ

−2t−1

F−1/2

L_nF

− (6s−t) Ω−2t−1

F1/2

K

− Ω−2s_−Ω−2t

qcdF1/2

D_cD_dF−1/2 q_ab .

O resultado ´e

ˆ

na_nˆb_Gˆ

ab = Ω−

2t_na_nb_G ab −

1 2 Ω

−2s_−Ω−2t

R

+ 2s Ω−2t−1

F1/2

K + 3s2

Ω−2t−2

F

(1.67)

e

ˆ

Pc

aPˆbdGˆcd = Ω2s−2tPacPbdGcd + 1−Ω2s−2t

R_ab − 1 2 Rqab

− (3s−t) Ω2s−2t−1_F1/2 _K

ab − Kqab

+ s(3s−2t−2) Ω2s−2t−2_{F q}

ab + sΩ2s−2t−1F−1/2 LnF

q_ab

− 1−Ω2s−2t

F1/2 _D

aDbF−1/2

− qcd_F1/2 _D

cDdF−1/2

q_ab

Espac¸os-tempos assintoticamente planos 25

Ainda podemos reescrever as rela¸c˜oes deduzidas acima exclusivamente em termos de quantidades que permanecem regulares no limite Ω → 0. Para tanto, usamos que os argumentos utilizados e os c´alculos efetuados at´e agora s˜ao sim´etricos sob a troca g ↔gˆ das duas m´etricas e de todas as quantidades derivadas, acompanhada por uma mudan¸ca de sinal dos parˆametross et. Assim, temos como rec´ıproca da equa¸c˜ao (1.66),

R_ab = nˆcnˆdRˆ_cd + (2s−t) Ω−1_ˆ

F1/2 _ˆ

K − 3s(s−t+ 1) Ω−2_ˆ

F

+ 3 2sΩ

−1_ˆ

F−1/2 LnˆFˆ

+ 1−Ω2s−2t

ˆ

qcdFˆ1/2 Dˆ_cDˆ_dFˆ−1/2

ˆ

n_anˆ_b +Rˆ_cd + sΩ−1_ˆ

F−1/2

(∂_cFˆ) ˆn_d + (∂_dFˆ) ˆn_{c ˆ}

P_acˆn_bnˆd + ˆP_bdˆn_aˆnc

(1.69)

+Ω2t−2s_Rˆ

cd + 1−Ω

2t−2s ˆ

R_cd − s(3s−t+ 1) Ω2t−2s−2_ˆ

F qˆ_cd + 1

2sΩ

2t−2s−1_ˆ

F−1/2

LnˆFˆ

ˆ

q_cd + sΩ2t−2s−1_ˆ

F1/2 _ˆ

Kqˆ_cd + (3s−t) Ω2t−2s−1 ˆ

F1/2 ˆ

K_cd − 1−Ω2t−2s ˆ F1/2 ˆ

D_cDˆ_dFˆ−1/2 ˆ P_acPˆ_bd .

De maneira semelhante, temos como rec´ıproca da equa¸c˜ao (1.67)

nanbG_ab = Ω2t_ˆna_ˆnb_Gˆ ab −

1 2 Ω

2s_−Ω2t ˆ

R

− 2sΩ2t−1_Fˆ1/2_Kˆ _{+ 3s}2_Ω2t−2_Fˆ (1.70) e como rec´ıproca da equa¸c˜ao (1.68)

Pc

aPbdGcd = Ω

2t−2s_Pˆc

aPˆbdGˆcd + 1−Ω

2t−2s ˆ

R_ab − 1 2 Rˆqˆab

+ (3s−t) Ω2t−2s−1 ˆ

F1/2 ˆ

K_ab − Kˆqˆ_ab

+ s(3s−2t+ 2) Ω2t−2s−2_Fˆ_qˆ

ab − sΩ

2t−2s−1_Fˆ−1/2 _L ˆ

nFˆ

ˆ

q_ab

− 1−Ω2t−2sˆ F1/2 _Dˆ

aDˆbFˆ−

1/2

− qˆcd_Fˆ1/2 _Dˆ

cDˆdFˆ−

1/2

ˆ

q_ab

(1.71)

1.4

Espa¸

cos-tempos assintoticamente planos

Defini¸c˜ao 1.3 Dizemos que um espa¸co-tempo (M, g) admite uma fronteira assin-toticamente plana ou um bordo assintoticamente plano no infinito espacial

se existe um completamento ( ˆM ,g,ˆ Ω) de (M, g) com as seguintes propriedades:

1. Numa vizinhan¸ca colar de∂Mˆ, a m´etrica n˜ao-f´ısicagˆe a m´etrica f´ısicag s˜ao rela-cionadas por um reescalonamento conforme anisotr´opico, como nas equa¸c˜oes (1.23) e (1.49), com s= 1 e t = 2:

g_ab = q_ab + n_an_b , gˆ_ab = Ω2_q

ab + Ω4nanb gab _{= q}ab _{+ n}a_nb _{, ˆg}ab _{= Ω}−2

qab _{+ Ω}−4

na_nb . (1.72)

2. O tensor de Einstein f´ısico satisfaz condi¸c˜oes de decaimento ao infinito no sentido que os limites

lim Ω→0 nˆ

a_nˆb_G

ab (1.73)

lim Ω→0 Ω

−1 _ˆ

P_acnˆdG_cd (1.74)

lim Ω→0 Ω

−2 _ˆ

P_acPˆ_bdG_cd (1.75)

existem e s˜ao suaves.

Dizemos ainda que o espa¸co-tempo (M, g) ´e assintoticamente plano no infinito espacial se este completamento pode ser escolhido de modo que a fronteira ∂Mˆ ´e difeo-morfa a R×S2 _{e que ´e assintoticamente minkowskiano no infinito espacialse,}

al´em disso, a fronteira ∂Mˆ for geodesicamente completa na m´etrica induzida qˆ ∂_Mˆ. As diferen¸cas principais entre nossa defini¸c˜ao de uma fronteira assintoticamente plana no infinito espacial e as defini¸c˜oes encontradas nos dois trabalhos j´a citados (onde tal fronteira ´e chamada de “asymptote at spatial infinity”) s˜ao as seguintes:

• As condi¸c˜oes de decaimento para o tensor de Einstein coincidem com as de [11] mas s˜ao mais fracas que as de [10]. O motivo ´e que as primeiras s˜ao adequadas enquanto que as ´ultimas s˜ao fisicamente inaceit´aveis. Para justificar esta afirma¸c˜ao, notamos que as condi¸c˜oes corretas devem valer para todos os tensores de energia-momento conhecidos da f´ısica que descrevem fontes do campo gravitacional localizadas em regi˜oes limitadas, e estes apresentam diversas taxas de decaimento, sendo que a mais lenta ´e a do campo eletrost´atico, com potencial de Coulomb ∼ 1/r, campo

Espac¸os-tempos assintoticamente planos 27

solu¸c˜ao de Reissner-Nordstr¨om, e como observado em [11] e demonstrado explici-tamente no pr´oximo cap´ıtulo, as condi¸c˜oes de [10] n˜ao s˜ao satisfeitas neste caso. (Diga-se de passagem que os autores de [10] consideram como exemplo principal de toda a sua metodologia do completamento por reescalonamento conforme ani-sotr´opico apenas a solu¸c˜ao de Schwarzschild que, sendo uma solu¸c˜ao de v´acuo, ´e totalmente improdutiva para analisar a quest˜ao das condi¸c˜oes de decaimento do tensor de energia-momento: assim, a inadequa¸c˜ao da defini¸c˜ao por eles proposta passou despercebida.) O que ainda falta ´e verificar se as condi¸c˜oes de [11] tamb´em valem para a solu¸c˜ao de Kerr-Newman.

• A defini¸c˜ao adotada em [11] inclui duas restri¸c˜oes adicionais que n´os omitimos na nossa defini¸c˜ao e que tˆem o car´ater de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao ou de “calibra-gem”. Na nota¸c˜ao usada aqui, s˜ao

ˆ

F = 1 em ∂M ,ˆ (1.76)

e

L_Fˆ1/2nˆ Fˆ

−1 ˆ

qab

= 0 em ∂M .ˆ (1.77)

Optamos por n˜ao incluir estas restri¸c˜oes desde o in´ıcio por motivos a serem discu-tidos logo adiante.

Para facilitar a compara¸c˜ao, apresentamos na tabela abaixo uma lista de correspondˆencias entre objetos na nota¸c˜ao de [10, 11] e na nossa nota¸c˜ao, que acreditamos ser mais siste-m´atica e portanto mais f´acil de memorizar.

Na pr´atica, a defini¸c˜ao de um espa¸co-tempo assintoticamente plano ou assintoti-camente minkowskiano n˜ao ´e f´acil de se verificar, pois pode estar longe de ser ´obvio como construir uma fun¸c˜ao Ω com as propriedades desejadas. (Por exemplo, pode acontecer que a escolha mais “natural” deixa de providenciar uma extens˜ao suave, como mostra o exemplo da solu¸c˜ao de Schwarzschild e de Reissner-Nordstr¨om apresentado no pr´oximo cap´ıtulo.) Al´em disso, a fun¸c˜ao Ω est´a longe de ser ´unica e portanto ´e preciso ter um crit´erio para decidir quais fun¸c˜oes levam a completamentos equivalentes. Nesta dire¸c˜ao, note primeiro que se Ω e Ω′ _{s˜ao duas fun¸c˜oes na mesma variedade ˆM tais que ( ˆM ,ˆg,Ω)}

e ( ˆM,ˆg′_,Ω′_{) s˜ao completamentos do mesmo espa¸co-tempo f´ısico (M, g), conforme a}

Defini¸c˜ao 1.3, ent˜ao devemos ter Ω′ _{=αΩ com uma fun¸c˜ao suaveαestritamente positiva}

em ˆM,2 _{e como ambas as fun¸c˜oes ˆF e ˆF}′ _{e ambos os campos vetoriais normais ˆn e ˆn}′

2

Se α tivesse um zero no interiorM de ˆM, n˜ao valeria Ω′ _{>0 em M, e seα tivesse um zero no}