O Estudo de Colis~oes atraves do Som
Marisa AlmeidaCavalante, Elias daSilva,Reginaldodo Prado
GoPEF-PUC/SP,PontifiaUniversidadeCatoliadeS~aoPaulo,Departamentode Fsia
RuaMarquesdeParanagua111,CEP01306-000, S~aoPaulo,SP
marisapusp.br
Rafael Hagg
Institutode Fsia, UniversidadeFederaldo RioGrandedoSul
CaixaPostal15051, 91501-970,PortoAlegre,RS
haagif.ufrgs.br
Reebidoem3deabril,2002. Aeitoem29deabril,2002.
O experimentoproposto nesteartigo permiteao professorde Fsia estabeleerumametodologia
omputaional parao estudo demovimentose,partiularmente, dooeientederestitui~ao em
olis~oesatravesdoespetrosonoroemitidoporimpatossuessivosdeumaesferaemumasuperfie
plana. Ometododemedidasugerido,alemderequererumequipamentodefailaesso,propiia
adequadapreis~ao,omorevelamosdadosobtidos,jaqueaaquisi~aoerealizadaatravesdeplaas
de somdemiroomputadorespessoais, omtempos deresolu~ao, hoje, daordemde23 spara
taxas de amostragem deate 44 Khz. Utilizamos um software deanalise doespetro sonoro que
apresentaosinalnaformadegraodefrequ^eniaversustempo,livrementedisponvelnaInternet
eomumaampladisponibilidadedereursos.
This artile presentsanexperiene thatallows determiningthe restitutionoeÆient inollisions
usingspetrumofthesoundemittedbysuessiveimpatsofasphereinaplanesurfae. Thedata
are aquiredthroughPCsoundard,withtimesofresolutionoforderof22sandsamplingrates
of upto 44KHzandthatallows toobtainresultswithagoodpreisionasit anbeseenthrough
the resultsobtainedinthiswork. Thespetrumofthesoundis analyzedwithsharewaresoftware
that presentsthesigninthegraphi formof frequenyversustimeandthat hasmanyresoures.
Theequipmentusedinthisexperimentisfoundeasily,aswellasthesoftwaretoanalyzethesound
sign.
I Modelo
Quandoumaesferaesoltadeumadeterminadaaltura
eolideomumasuperfieplanaelisa,possivelmente
voltaraa subir ate uma altura menor que a iniial e
novamente olidiraomo piso. Estemovimento pode
se repetiralgumas vezes ate omomento em que a
es-feran~aomaisdeixaraosoloepermaneeraemrepouso
tendo perdido toda energia de movimento.
Denomi-namos de oeiente de restitui~ao, ", a rela~ao entre
osmodulosdas veloidadesantes e aposum impato.
Umaolis~ao elastiaearaterizadapor"=1,
m
2
m
1
=0
diferentemente uma olis~ao ompletamente inelastia
possuira"=0. Ummodelosimpliado[1℄,masque
e-ientemente podeserusadopara representar aolis~ao
Figura 1. Um modelo de olis~ao entre uma massa m
1 de
onstanteelastiak
1
eumamassam
2
deonstanteelastia
k
2
. Asveloidadesimediatamenteantes,(v
2
)eapos(V
2 )a
olis~aoest~aomostradasaima.
estaguraparadesrevernossoexperimento,asmassas
m
1 em
2
respetiva-impatoedadaporv
2
e,logoaposperderoontatoom
asuperfie,seraV
2
. Assumimos,noexperimentoquea
massam
1
possuiumvalormuitograndeseomparada
amassadaesfera,m
2
. Usando-seasleisdeonserva~ao
do momentum linear, epossvelveriar que amassa
m
1
permaneeemrepousoaposohoqueomamassa
m
2
, oque esta de aordoomo senso omum. Neste
modelodeolis~ao,adeforma~aoque asuperfiee/ou
esfera sofreemvirtudedoimpato pode sermaisbem
entendidaaoplando-semolasdeonstanteselastiask
1
ek
2
nasuperfieenaesfera,respetivamente.
Duranteoimpato,exatamentenoinstanteemque
aveloidadedaesferatorna-senula,seadmitirmosque
n~ao ha perda de energiaate este momento (uma boa
aproxima~ao), logo toda a energia inetia existente
antesdaolis~aoseraonvertidaemenergiapotenial
ar-mazenadanasmolas.Seatotalidadedessaenergiafosse
novamente transformada em energiade movimento ("
=1),veramosaesferaretornarateaalturaemquefoi
solta (admitindo um movimento unidimensional). Na
realidade isto n~ao oorre, pois parte ou a totalidade
(olis~aoompletamenteinelastia)destaenergiae
per-dida. Ooeientederestitui~aoestaintimamente
rela-ionadoomaenergiaonsumidaduranteessaef^emera
deforma~ao e depende da ombina~ao dos valores de
k
1 e k
2
[2℄. Explorando este modelo de olis~ao om
maisaten~ao, observamosque,quandoumaesfera
ol-ide omuma superfie muitorgida(k
1 >>k
2 ),
ape-nasaesfera sofreradeforma~aoduranteoimpato.
As
vezesestadeforma~aopodeserirreversvel. Issooorre
quandoumaesferaomgrandeenergiainetiainiial,
E
i
, e k elevado, olide om uma superfie ujo
oe-iente de deforma~ao, k, failmente passa do regime
elastiopara oplastio 1
, porexemplo, ertostipos de
madeira. Seobservarmos omaten~ao, notaremosque
asolis~oesnasondi~oesdesritasaimaproduzem
pe-quenas \maras" na madeira e esta energia gasta na
deforma~aoprovoaumaredu~aodovalornumeriodo
oeiente de restitui~ao. As dimens~oes da superfie
edaesferatambemafetamooeiente derestitui~ao,
partiularmenteseadura~aodoimpulsoforomparavel
omoperododevibra~aodosobjetosenvolvidosno
im-pato[3℄. Outraomplia~aonoestudodadin^amiada
olis~aoresidenofatodequek
1 ek
2
n~aos~aoonstantes
durante o hoque e, alem disto, possuem
omporta-mento n~ao-linear [1℄-[2℄. Por isso, e muito omplexo
desreveros proessosenvolvidosna perda de energia
durante aolis~ao[4℄. Apesardisto- felizmente-
pode-mosextrairvariasinforma~oesrelevantesparaoestudo
de olis~oes entre a esfera e a superfie, apenas
anal-isandoosinalsonoroproduzidoduranteosimpatos.
II Introdu~ao
Nossapropostautilizareursosomputaionaisparaa
oletadedados,quedispensaousodeinterfaes
onver-sorasexternas, reorrendo as espeas omoa plaa
de som que, normalmente, aompanha os
miroom-putadores atuais. Talproedimento nos permite riar
novasperspetivas para ainser~aoda experimenta~ao
assistidaporomputador no ensino deCi^enias, visto
quepromovefailidadesomo:
usto zeropara aimplementa~aodesistemas de
me-dida;
afastaaneessidadede onheimentosem eletr^onia
paraaonstru~aodeinterfaesonversoras;
n~aoeneessariodominarnenhumalinguagemde
pro-grama~aoparainiiarumtrabalhonestaarea.
Trabalhosnaionaisreentes,Haag[5℄,Montarroyos
[6℄eAguiar[7℄,apontamgrandes possibilidadesde
re-nova~aonasteniasemmedidasfsiasparaum
labo-ratoriodidatio.
Dentreasinumeraspossibilidades,optamospor
uti-lizaraplaadesomdeumPCparaaoletadedados,
porvariasraz~oes:
a)simpliidadenosequipamentos neessariospara
de-senvolveroexperimento;
b)altapreis~aonosresultadosobtidos, jaqueos
tem-posderesolu~aonamaioriadasplaasdesomdosPCs
podemsert~aopequenosquanto23seg(parataxasde
amostragemde44KHz).
Existemvariossoftwareslivresdisponveisna
Inter-net[8℄quepermitemusarasentradasesadasdeaudio
daplaa desompara simular e,tambem, transformar
o miroomputador em instrumento de medida, om
umexelentedesempenho. Nestetrabalhoutilizaremos,
paraobten~aoeanalisede espetrosonoro,o
Spetro-gram[9℄, queapresenta osinalnaforma degraode
frequ^eniaversustempo.
A propostaonsisteemobter oregistroemum
ar-quivowavdosomemitido, nosimpatossuessivosde
uma esfera solta de uma altura h em uma superfie
plana.
Durante o impato da esfera om a superfie de
apoio, um som e irradiado, ujo registro e efetuado
atravesdeummirofoneonetadoaentradadaplaa
desomdoPC.Apartirdosinalsonoro,faz-seuma
re-produ~aograadotempoobtidoentreolis~oes
sues-sivaseomisso varias informa~oes, tanto inematias
quantodin^amiaspodemserfailmenteobtidas.
1
Caraterizamosporregimeelastioumsistemaqueadmiteexpans~ao/ompress~aoreversvel,emqueovalordaonstanteelastia,k,
III Determina~ao do Coeiente
de Restitui~ao
O trabalho reentemente publiado por I. Stensgaard
eE.Laegsggard[10℄ desreveateniademedidaque
utilizaremosparaobterinforma~oessobre ooeiente
derestitui~ao naintera~aoentreuma esferaeuma
su-perfiehorizontal.
Oprinpiodestemetodo,quepodeserenontrado
em detalhes no artigo de Alan Bernstein [11℄
publi-adoem 1977edepoisatualizadoporP.A Smith,C.D
Spener, eD. E. Jones [12℄ nadeadade 80, onsiste
basiamente noregistro, atravesde um mirofone, do
somproduzidopelosimpatossuessivosdeumaesfera,
solta de uma altura H
1
ontra uma superfie plana,
onformeindiaoesquemaabaixo.
Impacto 1 Impacto 2 Impacto 3 Impacto 4
microfone
computador
Som emitido no impacto
H
1
H
2
H
3
H
4
Figura2.Diagramadoexperimento.
freqüência
tempo
Figura3. Representa~aovisualdosinalsonoroobtidoatravesdosoftwareSpetrogram.
Osintervalosdetempoentreosimpatossuessivos
podem ser failmente obtidos diretamente pelo
obser-vador,onformeindiaaFig. 3.
Aadaimpatodaesferaontraasuperfie,oorre
maximaque ela pode atingir no seuretorno (H
n+1 <
H
n
). Agrandezaquedeterminaestafra~aodeperdae
ooeientederestitui~ao",quepodeserdeterminado
atravesdarela~ao entre asveloidades,depoiseantes
Torna-se muito util denirmos um fator de perda
de energiainetia,f, aposaolis~aoentreaesferaeo
piso.
f =(E
i E f )=E i = 1 2 m 2 v 2 2 1 2 m2V 2 2 ) = 1 2 m 2 v 2 2 =v 2 2 V 2 2 =v 2 2 (1) d
onde Ei india aenergia inetiainiial, antes da
o-lis~ao,eEfaenergiainetiaaposaolis~ao.
Lembrando-seque"=V
2 =v
2
, ent~ao,f,torna-se:
f =(1 " 2
) (2)
Numa olis~ao perfeitamente elastia,temos " =1,
assimf =0,ouseja,nenhumaenergiainetiasera
per-didaduranteaolis~ao. Nestasitua~aoteoria,podemos
determinar failmente oomportamento daesfera que
estaolidindoomopiso. Enontramosasequa~oesque
desrevemomovimentodaesferaomalgumaspouas
manipula~oes algebrias, eos resultadosmostram que
a esfera, apos a olis~ao, voltara ate o ponto de onde
foi solta. Este resultado jamais sera visualizado, pois
sempreaolis~aoentreaesferaeasuperfiesera
aom-panhadade uma perda de energia fazendo omque a
altura maxima alanada pela esfera apos o impato
sejasempre menor que a altura iniial.
E fail notar
que quanto menor o oeiente restitui~ao na olis~ao
esfera-superfie maior e ataxa de redu~ao nos
inter-valos de tempo entre os impatos. Esta depend^enia
podeservistanograodaFig. 4paraduasintera~oes
distintas, esfera de vidro olidindo om superfie de
madeiraeuma superfiedepedra.
Figura 4. O grao mostraa taxa oma qual o intervalo de tempo entre olis~oes suessivas diminui paradois tipos de
intera~oes distintas,indiandoque,paraaintera~aovidroxpedra,ooeientederestitui~aoapresentaummaiorvalor.
Para uma intera~ao esfera { superfie, a rela~ao
entre o valor da omponente vertial das veloidades
antesedepoisdoimpatoforneeovalordooeiente
derestitui~ao.
Supondoque afra~ao deperda de energiainetia
e onstante, independendo do valor da veloidade de
impato daesferademassa m
2
, teremosque:
"= v n+1 v n (3)
ondenrepresentaondieassoiadoaoimpato.
podeserobtidopelarela~ao:
v
n =
gtn
2
; ondet
n
eointervalo detempoentre
impatossuessivos.
Substituindo os valores das omponentes vertiais
develoidadenaequa~ao2,teremos;
"= t n+1 t n ; (4)
ondenrepresentaondieassoiadoaoimpato.
Propomos, neste artigo,que o oeiente de
daretanograot
n+1
t
n
:Comoobjetivode
de-terminaruma media,para ooeientede restitui~ao,
varios lanamentos foram efetuados de diferentes
al-turas (h=100, 75, 50 e 25 m) para ada tipo de
in-tera~ao.
Osgraosabaixomostramalgunsresultados
obti-dos:
Figura7. Intera~aoaomadeira,oeientederestitui~aoe=0;58:
IV Determina~ao das alturas de
lanamento
Supondoqueafra~aode perda de energiainetia, f,
eonstante,paraumadadaintera~ao,podemos
deter-minar aaltura daqualuma esferafoi abandonadaem
rela~aoasuperfie.
Paraompreender de que maneirapodemos
deter-minar a altura de lanamento da esfera, onsidere-se
t
n;m
omo o intervalo de tempo para um dado
im-pato n e lanamento m. A omponente vertial de
veloidadede uma esfera que alana a altura H
2 da
Fig. 2edadapelarela~ao:
v
depois =
gt
1;1
2
; (5)
onde t
1;1
representa odo intervalo detempoentre o
primeiro e segundo impato para o lanamento 1. A
veloidadeomaqualaesferaatingeosoloe
v
antes =
p
2gh
iniial
: (6)
Poroutro lado, o oeiente de restitui~ao e dado
por:
v
depois
v
antes
=": (7)
Generalizando,para qualquerlanamento m e
im-paton,aalturaatingidaomparadaaolanamento1,
ujaalturainiialeonheida,temos:
t
n;1
p
H
iniial;1 =
t
n;m
p
H
iniial;m
=" (8)
e
t
n;1
t
n;m =
s
H
iniial;1
H
iniial;m
: (9)
Assim,podemosobterfailmentearela~aoentreas
alturasiniiaisdediferenteslanamentos.
Os graos abaixo mostram laramente a rela~ao
linear,ujovalordeinlina~aoforneearaizquadrada
da rela~ao entre as alturas iniiais estabeleidas em
adaaso.
Figura8. Fixamosumlanamentodealturainiial
onhe-idapara oeixo x(H=100m)e paraoeixo y inserimos
osvalores dosintervalosdetempodosimpatos
orrespon-dentesasalturasqueonsideramosdesonheidas.
Apartirdainlina~aodasretasobtidasdaeq. (9),
databela1
Tabela1
Inlina~aodareta 0,54 0,70 0,89
Alturaobtidaemm 29,2 49,0 79,2
Osvaloresxadospara estasalturas foram30 m,
50me80maproximadamente,emboaonord^ania
omosvaloresobtidos.
V Determina~ao da aelera~ao
da gravidade
Ao onsiderarmos onstante a fra~ao de perda de
en-ergia inetia da esfera nos impatos suessivos de
uma esfera om uma dada superfie, estabeleemos
as ondi~oes de ontorno neessarias para determinar
ovalor daaelera~aodagravidade.
Para ompreender de quemaneira podemos
deter-minar ovalordaaelera~aodagravidade,onsidere-se
queovalor daveloidadevertialda esferasolta a
al-tura h, antes da olis~ao om uma superfie plana, e
dadapor:
v
antes =
p
2gh (10)
Poroutro lado, ovalor da omponente vertialda
veloidadedepoisdaolis~aoedadapor:
v
depois =
gt
1
2
(11)
Assimtemosque:
" 2
= gt
2
1
8h
(12)
Substituindo-se o valor de " pela rela~ao entre os
intervalosdetempo,indiadonaequa~ao3,temos;
g= 8ht
2
2
t 4
1
(13)
Sendo h,aaltura dequeaesferaesolta,t
2 o
in-tervalo detempoobtidoentre oimpato 3e 2da Fig.
2et
1
,eintervalodetempoobtidoentreoimpato2
e1(Fig. 2).
Seonsideremosonstanteovalordooeientede
restitui~ao, a rela~ao da Eq. 12 deve ser obedeida,
paraqualquerintera~ao,oquepermiteobterovalorda
aelera~aodagravidade.
Varioslanamentosforamrealizadospara distintas
intera~oesesfera superfie,obtendo-seograo
repre-Figura9. graomostraarela~aolinearobtidaparavarios
lanamentos om diferentes pares superfie esfera. O
valor dainlina~ao da reta fornee a aelera~ao da
gravi-dade.
O valor obtido para a aelera~ao da gravidade,
onsiderando-se a propaga~ao de erros sistematios e
estatstios [15℄, foi de (1038;749;6) m/s 2
, valor
estebastantesatisfatorio.
VI Conlus~ao
Neste artigo mostramos um modo experimental para
obteralgunspar^ametrosfsiosenvolvidosnumaolis~ao
entre esferas e superfies de diferentes materiais,
us-andooespetrosonoroirradiadodurante aolis~ao. Os
resultados obtidos revelam que a preis~ao do
experi-mentoeadequadaequeele podeserfailmente
imple-mentado, pratiamente sem ustos, emqualquer
labo-ratoriodidatiodefsiaquepossuaumPComplaa
desom.
Ovalor obtidopara aaelera~aodagravidade
per-miteassegurar,omumgraudeseguranaonsideravel,
aapliabilidadedeste metodo,jaqueovaloresperado
estaontempladonointervaloobtido.
A inviabilidade deste metodo esta assoiada a
garantiaexperimentaldemanteronstanteafra~aode
perdade energiainetianosimpatos suessivos.
As-sim, desaonselhamos que se proeda a intera~oes em
que deforma~oes no impato s~ao fortemente
evideni-adas,porexemplo,olis~oesomsuperfiesdemadeira.
Quanto maior o valor para o oeiente de
resti-tui~ao melhor sera a onverg^enia dos resultados e
menordevemserosdesviosexperimentais obtidos.
Oprofessor interessado pode ir alem e sugerir aos
alunosompararosdadosobtidosnoexperimentoom
os previstos atraves de proessos de modela~ao
om-putaional [13℄ que failmente s~ao exeutados om o
Refer^enias
[1℄ CROSS,R.Theboune ofaball.Am.J.Phys.67(4),
Marh1999, pp.222{227.
[2℄ CROSS,R.The oeÆient ofrestitution forollisions
of happyballs,unhappyballs,andtennis balls.Am.J.
Phys.68(12),November2000,pp.1025{1031.
[3℄ KHARAZ,A. H., GORHAM,D. A. ANDSALMAN,
A.D., Anexperimental studyof theelastireboundof
spheres.PowderTehnology,120,2001,pp.281{291.
[4℄ GUGAN,D.InelastiollisionandtheHertztheoryof
impat.Am.J.Phys.
68(11),Otober2000,pp.920{924.
[5℄ HAAG,R.UtilizandoaPlaadeSomdoMiroPCno
LaboratoriodidatiodeFsia;Rev.Bras.deEnsinode
Fsia,Vol.23,no.2,Junhode2001,pp176-183.
[6℄ MONTARROYS, E. e MAGNO,W. C. Aquisi~ao de
Dados om a Plaa de Som do Computador. Revista
Brasileira deEnsino deFsia, Vol. 23, no. 1, Maro
de2001,pp.57-62.
[7℄ http://www.if.ufrj.br/arlos/ensino.html ultimo
aessoemabrilde2002.
[8℄ http://www.if.ufrgs.br/tex/s01043 ultimo aesso em
dezembrode2001
[9℄ http://www.monumental.om/rshorne/gram.html
ultimoaessoemdezembrode2001
[10℄ STESGAARD,I.andLAEGSGAARD,E.Listeningto
theoeÆientof restitution-revisited.Am.J.Phys.69
(4),Marh2001,pp.301-305.
[11℄ BERNSTEIN, A. D. Listening to the oeÆient of
restitution.Am.J.Phys.,45(1),January1977,
pp.41-43.
[12℄ SMITH, A P., SPENCER, D. C.and JONES, E. D.
Miroomputer listen to the oeÆient of restitution.
Am.J.Phys.,49(3), Feb1981,pp.136-40.
[13℄ VEIT,E.A.eTEODORO,V.-trabalhosubmetidoa
RevistaBrasileiradeEnsinodeFsia.
[14℄ http://www.mathworks.om. ultimo aesso em
dezembrode2001
[15℄ VUOLO, H. J Fundamentos da Teoria de Erros {
