Controlador adaptativo por modelo de referência e estrutura variável aplicado ao controle de ângulo de carga e fluxo de campo de um gerador síncrono

(1)

Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆ

encia e

Estrutura Vari´

avel Aplicado ao Controle de ˆ

Angulo

de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador S´ıncrono

Marcus Vinicius Ara´

ujo Fernandes

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lúcio de Araújo Ribeiro

(2)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão

Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆ

encia e

Estrutura Vari´

avel Aplicado ao Controle de ˆ

Angulo

de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador S´ıncrono

Marcus Vinicius Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão da Universidade Fe-deral do Rio Grande do Norte (área de con-centra¸cão: Automa¸cão e Sistemas) como parte dos requisitos para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lúcio de Araújo Ribeiro

(3)

Fernandes, Marcus Vinicius Ara´ujo.

Controlador Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável Aplicado ao Controle de Ângulo de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador S´ıncrono / Marcus Vinicius Araújo Fernandes. - Natal, RN, 2008

94 f.

Orientador: Aldayr Dantas de Ara´ujo.

Co-orientador: Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro.

Disserta¸cão (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecno-logia. Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão.

1. Controle Adaptativo Robusto - Disserta¸cão. 2. Sistemas com Estrutura Variável -Disserta¸cão. 3. Desacoplamento - -Disserta¸cão. 4. Gerador S´ıncrono - -Disserta¸cão. I. Araújo, Aldayr Dantas de. II. Ribeiro, Ricardo Lúcio de Araújo. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. T´ıtulo.

(4)

Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆ

encia e

Estrutura Vari´

avel Aplicado ao Controle de ˆ

Angulo

de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador S´ıncrono

Marcus Vinicius Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸c˜ao de Mestrado aprovada em 23 de Outubro de 2008 pela banca axaminadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Aldayr Dantas de Ara´ujo (orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro (co-orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Jos´e ´Alvaro de Paiva CEFET/RN

(5)

(6)

Agradecimentos

Ao Professor Aldayr Dantas de Araújo pelos ensinamentos e orienta¸cões acadêmicas desde a Inicia¸cão Cient´ıfica ao Mestrado.

Ao Professor Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro pelos ensinamentos e ajuda na sua especialidade estudada neste trabalho.

A todos os meus familiares e amigos, que me incentivaram e me apoiaram nessa etapa de minha vida. Em especial a minha mãe Denise; meu pai Nivaldo; meu irmão Luiz; aos meus amigos: Bruno, Pedro, Rafael e André; e minha namorada Camila que me acompanharam e me apoiaram em todos os momentos.

Aos companheiros e amigos do LACI, entre eles: Kurios, Érico, Liviane, Marcelo e Iuri pelas ávidas discussões acadêmicas e não-acadêmicas.

A todos os professores do PPGEEC que me transmitiram seus conhecimentos e ex-periˆencias profissionais durante este per´ıodo.

(7)

Nesta disserta¸cão de mestrado é apresentada uma aplica¸cão do Controlador Adapta-tivo por Modelo de Referência e Estrutura Variável em um Gerador S´ıncrono conectado a um barramento infinito, para o controle do ângulo de carga e fluxo de campo deste gerador. Uma teoria de desacoplamento é usada no modelo do Gerador S´ıncrono para se obter dois subsistemas, onde o ângulo de carga e o fluxo de campo podem ser controlados independentemente. A avalia¸cão da estratégia de controle proposta será realizada através de simula¸cões para o modelo desacoplado do Gerador S´ıncrono. Também será feita uma compara¸cão com os controladores Proporcional Derivativo aplicado ao Gerador S´ıncrono desacoplado e Proporcional Integrativo Derivativo aplicado ao Gerador S´ıncrono aco-plado, sendo este último, o sistema vigente hoje no Brasil. Os resultados das simula¸cões comprovarão a eficiência e robustez desta estratégia de controle.

(8)

Abstract

In this dissertation an application of a Variable Structure Model Reference Adaptive Controller on a Synchronous Generator connected to an infinite-bus power system to control the generator’s load angle and field flux is presented. A decoupling theory is used on the Synchronous Generator model to obtain two subsystems, where load angle and field flux can be controlled independently. This control strategy evaluation shall be attained through simulations for the decoupled Synchronous Generator model. Then the control strategy proposed will be compared with the Proportional Derivative Controller applied for the decoupled Synchronous Generator model and the Proportional Integrative Derivative Controller applied for the coupled one, being this last one, the system used in Brazil nowadays. Simulation are used to verify the eﬃciency and robustness of this control strategy.

(9)

Lista de Figuras v

Lista de Tabelas vi

Gloss´ario de Termos vii

Lista de S´ımbolos viii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao e Objetivos . . . 1

1.2 Sistemas de Potˆencia . . . 2

1.2.1 Gerador S´ıncrono . . . 3

1.2.2 Sistema de Controle . . . 4

1.3 Controladores Adaptativos Robustos . . . 5

1.4 Estrutura da Disserta¸c˜ao . . . 7

2 Modelo Desacoplado do Gerador S´ıncrono 9 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 9

2.2 Modelo do Gerador S´ıncrono . . . 10

2.3 Acoplamento . . . 13

2.4 Desacoplamento de um Sistema . . . 13

2.4.1 Algoritmo de Invers˜ao . . . 16

2.5 Modelo Desacoplado do Gerador S´ıncrono . . . 20

3 Controlador Adaptativo Robusto 24 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 24

(10)

3.1.1 Sistemas de Controle . . . 24

3.1.2 Controle Cl´assico . . . 25

3.1.3 Controle Adaptativo . . . 26

3.2 Controle Adaptativo por Modelo de Referˆencia . . . 28

3.3 Sistemas com Estrutura Vari´avel . . . 33

3.3.1 Descri¸c˜ao Geral . . . 35

3.4 Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆencia e Estrutura Vari´avel . . 36

4 Resultados das Simula¸c˜oes 42 4.1 Projeto dos Controladores . . . 42

4.1.1 Controle do Fluxo de Campo . . . 42

4.1.2 Controle do ˆAngulo de Carga . . . 44

4.2 Simula¸c˜oes . . . 45

4.2.1 Resultados das Simula¸c˜oes . . . 48

5 Conclus˜oes e Perspectivas 53 5.1 Conclus˜oes . . . 53

5.2 Perspectivas . . . 54

Apˆendices 55 A Conceitos sobre Sistemas 55 A.1 Representa¸c˜ao de um Sistema . . . 55

A.2 Fun¸c˜ao de Transferˆencia . . . 56

A.3 Polinˆomios Coprimos . . . 56

B Conceitos sobre Estabilidade 59 B.1 Defini¸c˜ao de Estabilidade . . . 59

B.2 M´etodo Direto de Lyapunov . . . 60

B.2.1 Fun¸c˜oes Definidas Positivas e Negativas . . . 60

B.2.2 Transla¸c˜ao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . 60

B.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . 61

(11)

C.1.2 Avalia¸c˜ao do Comportamento Transit´orio . . . 64

C.2 Robustez do Sistema de Controle . . . 64

C.2.1 Limita¸c˜ao da Resposta do Atuador . . . 65

C.2.2 Perturba¸c˜oes . . . 65

C.2.3 Atraso de Transporte . . . 66

C.2.4 Varia¸c˜oes Param´etricas . . . 66

C.2.5 Dinˆamica n˜ao Modelada . . . 67

C.2.6 Ru´ıdos de Medi¸c˜ao . . . 67

D Algoritmos 68 D.1 Controlador PI Aplicado ao Gerador S´ıncrono Acoplado . . . 68

D.2 Controlador PD Aplicado ao Gerador S´ıncrono Desacoplado . . . 71

D.3 VS-MRAC Aplicado ao Gerador S´ıncrono Desacoplado . . . 75

Bibliograﬁa 87

(12)

Lista de Figuras

2.1 Esquema do modelo matem´atico do gerador s´ıncrono. . . 10

2.2 Sistema multivari´avel (MIMO) com duas vari´aveis de entrada e sa´ıda. . . . 13

2.3 Sistema inverso `a esquerda. . . 14

2.4 Sistema inverso `a direita. . . 14

2.5 Sistema multivari´avel (MIMO) com desacoplador. . . 15

2.6 Dois Subsistemas Monovari´aveis (SISO). . . 15

2.7 Diagrama de Blocos do Sistema. . . 15

3.1 Sistema de Controle. . . 24

3.2 Controlador PID. . . 26

3.3 Estrutura de um Controlador Adaptativo. . . 27

3.4 MRAC direto. . . 30

3.5 Superf´ıcie de deslizamento em um sistema com estrutura vari´avel. . . 35

3.6 Diagrama de Blocos do VS-MRAC para plantas com grau relativo maior que 1. . . 37

4.1 Diagrama de Blocos Completo do Sistema Simulado. . . 43

4.2 Controle de um Gerador S´ıncrono Desacoplado com Varia¸c˜ao Param´etrica usando VS-MRAC. . . 49

4.3 Controle de um Gerador S´ıncrono Desacoplado com Perturba¸c˜ao na En-trada usando VS-MRAC. . . 50

4.4 Controle de um Gerador S´ıncrono Acoplado com Varia¸c˜ao Param´etrica usando Controladores PID. . . 50

4.5 Controle de um Gerador S´ıncrono Acoplado com Perturba¸c˜ao na Entrada usando Controladores PID. . . 51

(13)

trada usando Controladores PD. . . 52

(14)

Lista de Tabelas

3.1 Algoritmo do controlador MRAC convencional. . . 34 3.2 Algoritmo do controlador VS-MRAC compacto. . . 40

(15)

APPC Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adaptativo por Posi-cionamento de P´olos)

DMAC Dual Model Adaptive Controller (Controlador em Modo Dual Adapta-tivo)

DMARC Dual Mode Adaptive Robust Controller (Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto)

ERP Estritamente Real Positivo

IVS-MRAC Indirect Variable Structure Adaptive Model Reference Controller (Con-trolador Adaptativo Indireto por Modelo de Referˆencia e Estrutura Vari´avel)

MIMO Multiple Input, Multiple Output (Multivari´avel) MIT Massachusetts Institute of Technology

MRAC Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adaptativo por Mo-delo de Referˆencia)

MRC Model Reference Controller (Controlador por Modelo de Referˆencia) PID Proporcional Integrativo Derivativo (controlador)

SISO Single Input, Single Output (Monovari´avel)

VS-APPC Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adaptativo por Posicionamento de P´olos e Estrutura Vari´avel)

VS-MRAC Variable Structure Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆencia e Estrutura Vari´avel)

VSMFC Variable Structure Model-Following Controller (Controlador Seguidor de Modelo e Estrutura Vari´avel)

(16)

Lista de S´ımbolos

Sistema de Potˆ

encia

Parˆ

ametros do Modelo do Gerador S´ıncrono Conectado a um

Barramento Inﬁnito

d constante de amortecimento (s)

H constante de in´ercia (s)

xd reatˆancia de armadura de eixo direto (p.u.)

xq reatˆancia de armadura de eixo em quadratura (p.u.)

x′

d reatˆancia transit´oria de eixo direto (p.u.)

xaf reatˆancia m´utua de eixo direto (p.u.)

xt reatˆancia da linha de transmiss˜ao (p.u.)

xf reatˆancia de campo (p.u.)

rf resistˆencia de campo (p.u.)

Te constante de tempo da excita¸c˜ao de campo (s)

ke ganho da excita¸c˜ao de campo (adimensional)

Tt constante de tempo da turbina (s)

Tg constante de tempo da governadora (s)

ω0 velocidade s´ıncrona (rad/s)

f freq¨uˆencia (Hz)

V voltagem no barramento infinito (p.u.)

(17)

δ ˆangulo rot´orico (rad)

ω perturba¸cão na freqüência (rad/s) Ψf fluxo de campo (p.u.)

Ef d voltagem de campo (p.u.)

Pm potˆencia mecˆanica no eixo (p.u.)

Pg potˆencia mecˆanica de sa´ıda da governadora (p.u.)

ue sinal atuando na excita¸c˜ao de campo (p.u.)

ug sinal atuando na v´alvula do regulador de velocidade (p.u.)

Pe potˆencia el´etrica gerada (p.u.)

Vt tens˜ao terminal (p.u.)

Sistema de Controle

Desacoplador

nin n´umero de entradas do sistema

nout n´umero de sa´ıdas do sistema

ˆ

u vetor de entradas do desacoplador

u1 entrada do desacoplador para o fluxo de campo (p.u.)

u2 entrada do desacoplador para o ˆangulo de carga (rad) ˆ

y sa´ıda do desacoplador

β ordem de rastreamento

(18)

Controlador

d grau do denominador da planta

dm denominador do modelo de referˆencia

dp denominador do modelo da planta

ea erro aumentado

e0 erro entre a sa´ıda da planta e a sa´ıda do modelo de referˆencia

e′

erro auxiliar

fi fun¸cão de modula¸cão do reléi

fN fun¸cão de modula¸cão do reléN

F−1

filtro passa baixa

G(s) modelo da planta

h passo de integra¸c˜ao

km ganho do modelo de referˆencia

kp ganho da planta

L(s) polinˆomio usado para tornar o produto M(s)L(s) ERP

M(s) modelo de referˆencia

n grau do numerador da planta

nm numerador do modelo de referˆencia

np numerador do modelo da planta

n∗

grau relativo

r sinal de referˆencia

ui sinal de controle do rel´e i

unom sinal de controle obtido do vetor de parˆametros nominais Θnom

(ui)_eq sinal de controle equivalente

v1 filtro de entrada

v2 filtro de sa´ıda

ya predi¸c˜ao do erro

ym sa´ıda do modelo de referˆencia

(19)

Θ∗

vetor de parˆametros na condi¸c˜ao dematching Θ2n+1 estimativa para (Θ∗2n)

−1

Θnom vetor de parˆametros nominais

κ parˆametro auxiliar

κ∗

parˆametro auxiliar na condi¸c˜ao dematching

κnom parˆametro auxiliar nominal

χ vetor filtrado de entrada

ω vetor regressor

(20)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao e Objetivos

O grande avan¸co verificado na tecnologia analógica e digital nos últimos anos tem possibilitado o desenvolvimento de leis de controle bastante complexas, com a utiliza¸cão de algoritmos não lineares. Como uma conseqüência direta do desenvolvimento dessas leis, tem-se a possibilidade de representar o sistema que se deseja controlar, através de um modelo não linear bastante real´ıstico, em uma ampla região do espa¸co de estado.

Entretanto, a maior parte das leis de controle, já implementadas, ainda foram dedu-zidas a partir da lineariza¸cão do sistema em torno de um ponto de opera¸cão nominal. Embora funcionem de uma forma bastante satisfatória nas aplica¸cões normalmente pre-vistas, apresentam limita¸cões que, para determinadas situa¸cões, podem comprometer o desempenho do sistema.

Estas limita¸cões devem-se ao fato de que o modelo do sistema só é válido em uma certa vizinhan¸ca do ponto de opera¸cão nominal e que, para certos sistemas fortemente não lineares e com alto grau de acoplamento, esta vizinhan¸ca é bastante reduzida. Grandes perturba¸cões no sistema e/ou a necessidade de grandes manobras, podem ultrapassar esta vizinhan¸ca. Além disso, para o caso em que há a necessidade de uma análise mais acurada do comportamento do sistema, o modelo linearizado pode não apresentar resultados muito satisfatórios, tendo em vista que, na realidade, é uma simplifica¸cão de um modelo mais elaborado.

(21)

(sistema) com uma modelagem bastante real´ıstica é controlado por um controlador adap-tativo robusto, o que diminui consideravelmente as limita¸cões de utiliza¸cão de um modelo linearizado. As leis de controle deduzidas baseiam-se em um algoritmo não linear e apre-sentam uma grande flexibilidade para melhorar o desempenho dinâmico do sistema.

1.2 Sistemas de Potˆ

encia

Energia elétrica é uma forma de energia baseada na gera¸cão de diferen¸cas de potencial elétrico entre dois pontos, que permitem estabelecer uma corrente elétrica entre ambos. É uma das formas de energia que o homem mais depende e utiliza na atualidade, gra¸cas a sua facilidade de transporte e baixo ´ındice de perda energética durante conversões. Mediante a transforma¸cão adequada é poss´ıvel que tal energia mostre-se em outras formas finais de uso direto, em forma de luz, movimento ou calor, segundo as leis de conserva¸cão da energia.

A fun¸cão de um sistema elétrico de energia, ou sistema de potência, é converter energia de uma das formas naturais dispon´ıveis para a forma elétrica e transportá-la até os pontos de consumo. Um sistema de potência é constitu´ıdo por uma rede interligada por linhas de transmissão (transporte). Nessa rede estão ligadas as cargas (pontos de consumo de energia) e os geradores (pontos de produ¸cão de energia).

Idealmente, as cargas devem ser supridas com confiabilidade, além de tensão e freq¨ uên-cia constantes em todos os instantes. É também necessário que os geradores não percam o sincronismo após a ocorrência de uma falta no sistema. Impactos de potência aleatórios podem ocorrer durante a opera¸cão de um sistema de potência e esta varia¸cão de demanda deve ser suprida pelos geradores. Com o intuito de manter a estabilidade, diversos n´ıveis de controle atuam no sistema para manter essas caracter´ısticas [1].

(22)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 3

O objetivo da turbina é transformar a energia cinética em energia mecânica para que a máquina elétrica, acoplada ao seu eixo, possa gerar a diferen¸ca de potencial necessária para o aparecimento de uma corrente elétrica em uma certa potência. O sistema condicionador de potência tem composi¸cões diversas que dependem da fonte primária de energia utilizada e do tipo de máquina elétrica. Em uma hidrelétrica, por exemplo, esse sistema é composto por transformadores de potência que irão condicionar a tensão para a transmissão e por outros dispositivos para sincroniza¸cão, prote¸cão e supervisão do sistema [2].

O sistema de controle atua com o objetivo de manter valores nominais de sa´ıda para o sistema, mantendo, por exemplo, tensão e freqüência constantes. Para tanto, são usados dois reguladores: o de tensão que controla a tensão nos terminais do gerador, atuando na tensão aplicada (e, portanto, na corrente) no enrolamento do rotor (enrolamento de excita¸cão), e o de velocidade que controla a freqüência, através da varia¸cão de potência, atuando na válvula de entrada de água da turbina. O regulador de velocidade também pode ser conhecido como governadora.

1.2.1 Gerador S´ıncrono

O Gerador S´ıncrono é o tipo de máquina elétrica predominante nos sistemas de gera¸cão de energia elétrica. O nome s´ıncrono se deve ao fato de esta máquina operar com uma velocidade de rota¸cão constante sincronizada com a freqüência da tensão elétrica alternada presente nos terminais da mesma. Com o mesmo pode-se controlar a gera¸cão de potência ativa e reativa independentemente e é importante devido às suas caracter´ısticas de controle de tensão.

(23)

1.2.2 Sistema de Controle

O problema de controle de freqüência e tensão em geradores s´ıncronos em sistemas de potência interligados é bastante complexo tendo em vista a caracter´ıstica multivariável (MIMO - Multiple Input, Multiple Output), imprecisão no conhecimento dos parâmetros dos modelos das máquinas, presen¸ca de não linearidades e alto grau de acoplamento entre as variáveis [3].

Este acoplamento pode ser percebido ao se tentar controlar a freqüência, através do regulador de velocidade, e observar uma varia¸cão também na tensão terminal desse gerador s´ıncrono. Assim como, ao se controlar a tensão terminal, através do regulador de tensão (excitatriz), observar uma varia¸cão na variável de freqüência. Apesar da presen¸ca de acoplamento das variáveis do gerador s´ıncrono, ao se realizar o seu controle nas usinas geradoras de energia hoje no Brasil, este fato é desconsiderado.

O modelo utilizado para cada máquina é normalmente um modelo linearizado em torno do ponto de opera¸cão em regime permanente e, conseqüentemente, não é adequado para grandes perturba¸cões no sistema. É claro que um único controlador para a excita¸cão de campo e para o regulador de velocidade de cada máquina, utilizando um modelo mais completo do sistema, tornaria bem melhor o desempenho deste.

Tradicionalmente, o controle de um sistema de potência é feito da seguinte forma. Para cada máquina, considera-se o restante do sistema como um barramento infinito e, por simplicidade, projeta-se o controlador da excita¸cão de campo independentemente do regulador de velocidade. Assumindo torque mecânico de entrada constante, projeta-se o controlador da excita¸cão de campo para regular a tensão terminal e aumentar o dom´ınio de estabilidade do gerador. Assumindo fluxo de campo constante, projeta-se o controlador para o regulador de velocidade, regulando a potência e a freqüência simultaneamente.

(24)

Uma estratégia alternativa de controle é apresentada nesta disserta¸cão, na qual as mesmas variáveis de entrada usadas nas estratégias de controle padrão (tensões aplicadas na excitatriz e no regulador de velocidade) são usadas para controlar diretamente dife-rentes variáveis de sa´ıda do gerador s´ıncrono (ângulo de carga e fluxo de campo) com um controlador adaptativo robusto ([4], [5] e [6]). Assim, como resultado dessa estratégia, é esperado um aumento do dom´ınio de estabilidade, devido ao controle do ângulo de carga diretamente, mantendo o sincronismo do sistema de potência, assim como, indiretamente, a tensão e a freqüência em seus valores nominais. Será ainda aplicada uma teoria de desacoplamento e sistema inverso para sistemas não lineares ([7], [8], [9] e [10]).

Em [11] e [12], diferentes estratégias de controle são testadas em geradores s´ıncronos e comparadas ao controlador PID, todos na estratégia padrão de controle (excitatriz e regulador de velocidade controlam tensão terminal e fluxo de potência [1]).

Os artigos a seguir aplicaram uma teoria de desacoplamento em um gerador s´ıncrono. Em [13], o uso de controladores adaptativos é ressaltado como essencial para o controle de grandes sistemas de potência apresentando um rápido transitório e melhorando o de-sempenho. Uma técnica de desacoplamento através do Método da Perturba¸cão Singular é usada em [14] e [15], particionando o sistema em dois subsistemas com diferentes escalas de tempo para o controle do gerador s´ıncrono.

Em [10] e [16], uma fun¸cão de reprodutibilidade assintótica é aplicada ao modelo de um gerador s´ıncrono, através de uma técnica de desacoplamento ([7], [8] e [9]). Em [17] e [18], é apresentado um esquema de controle de um robô móvel com desacoplamento, similar ao usado nesta disserta¸cão. Em [19] e [20], o gerador s´ıncrono é desacoplado através do acionamento vetorial orientado pelo fluxo estatórico.

1.3 Controladores Adaptativos Robustos

(25)

aplica¸cões bem sucedidas ([26], [27] e [28]). Nos trabalhos [23] e [29] demonstrou-se que os controladores MRAC poderiam ser instáveis na presen¸ca de pequenos distúrbios, fato esse somente corrigido com a proposta dos controladores adaptativos robustos ([23], [30] e [31]).

Nos dias de hoje, ainda se busca um controlador adaptativo robusto, com um bom comportamento tanto no transitório como em regime permanente. Tem-se obtido bons resultados integrando-se duas ou mais técnicas distintas, explorando o que cada uma tem de melhor. Em [32] e [33], controladores adaptativos são testados e afirmados como uma alternativa confiável à solu¸cão usual de controle PID.

Um exemplo bem sucedido de associa¸cão de técnicas distintas é o Controlador Adapta-tivo por Modelo de Referência e Estrutura Variável ([34], [35], [36], [37] e [38]) (VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Controller), o qual associa a estrutura variável [39] do Controlador por Estrutura Variável [40] (VSC -Variable Structure Con-troller) com modos deslizantes a uma estrutura do MRAC.

O controlador MRAC convencional usa leis integrais de adapta¸cão e faz com que a sa´ıda da planta siga a sa´ıda de um modelo de referência especificado ([4], [5], [6] e [41]). Em geral o MRAC possui um transitório lento e oscilatório. Então, em [34] foi proposto o controlador VS-MRAC que utiliza a estrutura do MRAC, substituindo as leis integrais de adapta¸cão por leis chaveadas, assim resultando em um sinal de controle chaveado, como nos sistemas a estrutura variável ([38], [42] e [43]). Apesar do bom desempenho transitório, em geral tem-se a presen¸ca do fenômeno de chaveamento em alta freqüência, também conhecido como chattering.

(26)

Placement Controller) e Controlador Adaptativo Backstteping [50], respectivamente. Em [51] e [52] o Controlador Seguidor de Modelo e Estrutura Vari´avel (VSMFC - Variable Structure Model-Following Controller) ´e apresentado e aplicado.

Para utilizar o que havia de melhor entre as técnicas adaptativas da literatura, foram propostos controladores que utilizavam a união de duas técnicas adaptativas. Em [53] foi proposta uma estrutura de Controle em Modo Dual Adaptativo (DMAC - Dual Model Adaptive Controller) para uma classe de sistemas não lineares, a qual utiliza uma rede neural para adaptativamente compensar a não linearidade da planta. A estratégia de aprendizado da rede neural é baseada na combina¸cão entre os parâmetros de adapta¸cão do aprendizado e um controle por estrutura variável.

O Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto ([54], [55] e [56]) (DMARC -Dual Mode Adaptive Robust Controller) que foi proposto em [54] faz um liga¸cão entre o MRAC convencional e o VS-MRAC. O objetivo é conseguir um sistema robusto, com desempenho transitório rápido e pouco oscilatório (caracter´ısticas do VS-MRAC), e sinal de controle suave em regime permanente (caracter´ıstica do MRAC). A transi¸cão entre as duas estratégias de controle é feita, em tempo real, através de um parâmetro que varia em fun¸cão do erro entre a sa´ıda da planta e a sa´ıda do modelo de referência (ou de um erro auxiliar para o caso de plantas com grau relativo maior que 1).

Técnicas de Estrutura Variável com Modo Observador são usadas para o controle de um gerador s´ıncrono com o método da Perturba¸cão Singular ([14], [15], [57], [58], [59] e [60]) e com o Princ´ıpio do Bloco de Controle ([57], [58], [59] e [60]). Em [52], o controle da excitatriz de um gerador s´ıncrono é investigado por diversos controladores: MRAC, VSMFC e PI. Em [17] e [18], é apresentado um esquema de controle de um robô móvel com desacoplamento utilizando dois DMARCs independentes para cada subsistema desacoplado, de uma forma similar à estratégia apresentada nesta disserta¸cão.

1.4 Estrutura da Disserta¸

c˜

ao

(27)

formando o modelo desacoplado do gerador s´ıncrono.

No cap´ıtulo 3 são apresentados os controladores adaptativos e clássicos utilizados na disserta¸cão, entre eles: PID, MRAC e VS-MRAC.

No cap´ıtulo 4 são apresentadas as simula¸cões dos controladores aplicados ao modelo do gerador s´ıncrono desacoplado e são realizadas compara¸cões com a estrutura clássica do controlador PID aplicada ao modelo do gerador s´ıncrono desacoplado..

(28)

Cap´ıtulo 2

Modelo Desacoplado do Gerador

S´ıncrono

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Na máquina s´ıncrona operando como gerador, a energia mecânica é suprida pela aplica¸cão de um torque ao seu eixo. Esta fonte de energia mecânica pode ser, por exem-plo, uma turbina hidráulica, a gás ou a vapor. Para que a máquina s´ıncrona seja capaz de efetivamente converter a energia mecânica aplicada ao seu eixo, é necessário que o enrolamento de campo localizado no rotor da máquina seja alimentado por uma fonte de tensão cont´ınua de forma que, ao girar o campo magnético gerado pelos pólos do rotor, exista um movimento relativo aos condutores dos enrolamentos do estator.

Devido a esse movimento relativo entre o campo magnético dos pólos do rotor e o estator, a intensidade do campo magnético que atravessa os enrolamentos do estator irá variar no tempo, e assim teremos pela lei de Faraday uma indu¸cão de tensões nos terminais dos enrolamentos do estator. Devido a distribui¸cão e disposi¸cão espacial do conjunto de enrolamentos do estator, as tensões induzidas em seus terminais serão alternadas senoidais trifásicas [61].

(29)

ge-radores interligados, a excita¸cão do campo irá controlar a potência reativa gerada. Uma vez estando o gerador ligado à rede elétrica, sua rota¸cão é ditada pela freqüência da rede, pois a freqüência da tensão trifásica depende diretamente da velocidade da máquina [1].

O modelo utilizado para cada máquina s´ıncrona é normalmente, um modelo lineari-zado em torno do ponto de opera¸cão em regime permanente e, conseqüentemente, não é adequado para grandes perturba¸cões no sistema. Perturba¸cões, tais como, desligamento de linhas, sa´ıda de geradores e mudan¸cas de carga, podem afetar seriamente o comporta-mento do sistema, e para isso, um modelo não linear se faz necessário.

Nesta disserta¸cão, considera-se o controle de sistemas de potência submetidos a faltas severas que é considerado um problema de grande importância [1]. Para isso, utiliza-se um modelo não linear que inclui o efeito de pólos salientes no desempenho da máquina s´ıncrona, e que considera a varia¸cão do fluxo de campo no per´ıodo transitório. Ademais, uma teoria de desacoplamento e sistema inverso à direita para sistemas não lineares ([7] e [8]) é usada no modelo do gerador s´ıncrono [9], para que dois subsistemas independentes sejam obtidos [10].

2.2 Modelo do Gerador S´ıncrono

O modelo matemático de um sistema de potência ligado a um barramento infinito é similar ao usado em [9] e pode ser representado através da Figura 2.1. Os parâmetros e variáveis são definidos em [62].

(30)

Cap´ıtulo 2. Modelo Desacoplado do Gerador S´ıncrono 11

A m´aquina s´ıncrona (2.1) ´e representada por ¨

δ=p1sin 2δ−p2δ˙−p3Ψfsinδ+p4Pm

˙

Ψf =p5cosδ−p6Ψf +p7Ef d

(2.1)

onde δ é o ângulo rotórico, Ψf é o fluxo de campo, Pm é a potência mecânica no eixo e

Ef d ´e a voltagem de campo.

O sistema de excita¸c˜ao (2.2) ´e dado por

TeE˙f d =−Ef d+keue (2.2)

onde Te é a constante de tempo da excita¸cão de campo, ke é o ganho da excita¸cão de

campo eue ´e o sinal atuando na excita¸c˜ao de campo.

A turbina (2.3) e o regulador de velocidade (2.4) s˜ao representados por

TtP˙m =−Pm+Pg (2.3)

onde Tt é a constante de tempo da turbina e Pg é a potência mecânica de sa´ıda da

governadora.

TgP˙g =−Pg+ug (2.4)

onde Tg é a constante de tempo da governadora e ug é o sinal atuando na válvula do

regulador de velocidade.

Os parˆametros do gerador s´ıncrono [62] s˜ao

p1 =

ω0V2(xq−x′d)

4H(xt+x′d) (xt+xq)

p2 =

ω0d

2H p3 =

ω0V xaf

2Hxf(xt+x′d)

p4 =

ω0

2H p5 =

ω0rfV xaf

xf(xt+x′d)

p6 =

ω0rf(xt+xd)

xf (xt+x′d)

p7 =

ω0rf

xf

x′

d =xd−

x2_af xf

ω0 = 2πf

As sa´ıdas escolhidas para serem controladas s˜ao o fluxo de campo Ψf e o ˆangulo de

carga δ, pois além de facilitarem a modelagem do sistema para o desacoplamento, têm um importante papel na análise de estabilidade de um sistema de potência. Escrevendo as equa¸cões do gerador s´ıncrono na forma vetorial segue

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙

x(t) =A(x) +Bu, x∈R6

y(t) = C(x) = ⎡

⎣

ψf

δ

⎤

⎦, y(t)∈R2

(31)

onde x= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ δ ω Ψf

Ef d

Pm Pg ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.6) u= ⎡ ⎣ ue ug ⎤

⎦, u∈R2 (2.7)

A(x) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a1 a2 a3 a4 a5 a6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ω

p1sin 2δ−p2ω−p3ψfsinδ+p4Pm

p5cosδ−p6ψf +p7Ef d

−Ef dTe−1

−(Pm+Pg)T −₁ t

−PgT −₁ g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.8) B = ⎡ ⎣

0 0 0 keTe−1 0 0

0 0 0 0 0 T−₁ g

⎤

⎦

T

(2.9)

eω = ˙δ é a perturba¸cão na freqüência.

A partir das variáveis escolhidas para serem controladas (fluxo de campo e ângulo de carga) é poss´ıvel calcular a potência elétrica geradaPe e a tensão terminal Vt [62]

Pe =

−p1sin 2δ+p3Ψfsinδ

p4

(2.10)

Vt=

V xqsinδ

xq+xt

2 +

V x′ dcosδ

x′ d+xt

+ xafxtΨf (x′

d+xt)xf

2

(32)

2.3 Acoplamento

Freqüentemente dois ou mais sistemas f´ısicos interagem entre si, tornando imposs´ıvel a solu¸cão independente de qualquer um destes sistemas sem que as solu¸cões dos demais sejam simultaneamente consideradas. Tais sistemas são denominados acoplados, sendo a intensidade do acoplamento fun¸cão do grau de intera¸cão entre os sistemas componentes.

Formula¸cões de sistemas acoplados são aquelas aplicáveis a variáveis dependentes e dom´ınios múltiplos, os quais usualmente (mas não necessariamente) descrevem diferentes fenômenos f´ısicos e nos quais nenhum dos dom´ınios pode ser resolvido de forma separada dos demais; ou nenhum conjunto de variáveis pode ser explicitamente eliminado ao n´ıvel de equa¸cões diferenciais, caso do gerador s´ıncrono. Na análise de sistemas acoplados é usual que um ou mais dos dom´ınios considerados possuam comportamento não linear, comportamento esse que deve ser considerado de forma apropriada.

As variáveis do modelo das máquinas s´ıncronas possuem um alto grau de acoplamento (Figura 2.2). O problema do acoplamento acontece quando a altera¸cão de qualquer uma das entradas interfere nas suas sa´ıdas simultaneamente. Por exemplo, alterando-se o sinal na excitatriz ue, interfere-se no fluxo de campo Ψf e no ângulo de carga δ e alterando-se

o sinal no regulador de velocidade ug, interfere-se no fluxo de campo Ψf e no ˆangulo de

cargaδ. Como solu¸cão para este problema será aplicada uma teoria de desacoplamento e sistema inverso para sistemas não lineares ([7] e [8]).

Figura 2.2: Sistema multivari´avel (MIMO) com duas vari´aveis de entrada e sa´ıda.

2.4 Desacoplamento de um Sistema

(33)

uma certa sa´ıda desejada e por isso serve como um controlador, for¸cando a sa´ıday(t) do sistema original a seguir o sinal desejado [8].

Figura 2.3: Sistema inverso `a esquerda.

Figura 2.4: Sistema inverso `a direita.

O método de inversão de sistemas não lineares transforma um sistema originalmente multivariável (MIMO - Multiple Input, Multiple Output) em um grupo de sistemas mo-novariáveis (SISO - Single Input, Single Output). O desacoplamento do sistema é feito por uma técnica de inversão de sistemas não lineares. Para garantir que se tenha um sistema inverso estável, o sistema em discussão deve ser de fase m´ınima (Apêndice A) com a dinâmica de estado nulo, se existente, assintoticamente estável.

Devido ao alto grau de acoplamento entre as variáveis do modelo das máquinas s´ıncronas, uma teoria de desacoplamento ([7] e [8]) para sistemas não lineares é usada [9]. Para o uso deste algoritmo de desacoplamento no gerador s´ıncrono, um sistema in-verso é obtido de forma que apenas uma das entradas atue no ângulo de carga e a outra, apenas no fluxo de campo. É necessário também que os parâmetros do gerador s´ıncrono sejam conhecidos com exatidão, mas, comumente estes parâmetros são conhecidos com incertezas [10].

O desacoplador para o gerador s´ıncrono ´e um sistema de duas entradas (nin = 2) e

duas sa´ıdas (nout = 2) com as sa´ıdas ligadas como entradas do gerador. Ao se alterar uma

(34)

alterando-se u1, s˜ao gerados ue e ug de forma que apenas Ψf seja alterada. Da mesma

forma, alterando-se u2, s˜ao gerados ue e ug de forma que apenas δ seja alterada (Figura

2.5). Para o gerador, um sistema inverso será obtido de forma que apenas uma das entradas atue no ângulo de carga e a outra entrada atue no fluxo de campo do rotor, obtendo-se, então, dois sistemas monovariáveis (SISO) independentes (Figura 2.6).

Figura 2.5: Sistema multivari´avel (MIMO) com desacoplador.

Figura 2.6: Dois Subsistemas Monovari´aveis (SISO).

Nesta disserta¸cão é usada a técnica do sistema inverso à direita para o modelo do gerador s´ıncrono desacoplado ligado ao barramento infinito. Isso é alcan¸cado de forma que cada sa´ıda do gerador s´ıncrono seja modificada apenas por uma entrada do sistema inverso à direita. Na Figura 2.7, o diagrama de blocos completo do sistema de controle é apresentado.

A caixa tracejada (Figura 2.7) indica os modelos usados para a planta desacoplada nas simula¸cões. O algoritmo de desacoplamento ([7] e [8]) consiste na deriva¸cão do vetor de sa´ıda consecutivamente até que se encontre uma matriz Dβ (onde β é a ordem de

rastreamento) que admita pseudo-inversa. Logo, as entradas do sistema inverso à direita são essas derivadas das sa´ıdas do gerador s´ıncrono e, quando é considerado como um

(35)

sistema, o sistema inverso `a direita conectado ao gerador s´ıncrono (caixa tracejada) ´e formado por dois sistemas desacoplados compostos por integradores puros.

Devido aos parâmetros do gerador s´ıncrono serem, em geral, conhecidos com incerte-zas [13], o desacoplamento não gera integradores puros. Esta é uma razão a mais para determinar o uso de um controlador adaptativo. Se as equa¸cões usadas como fun¸cão de transferência dos subsistemas para cálculo dos parâmetros dos controladores forem inte-gradores puros (o que significa que o desacoplamento é completo), as demais dinâmicas geradas no sistema inverso à direita acoplado ao gerador s´ıncrono são tratadas como dinâmicas não modeladas (Apêndice C).

2.4.1 Algoritmo de Invers˜

ao

Considerando uma classe de sistemas n˜ao lineares da forma ⎧

⎨

⎩ ˙

x(t) = A(x(t)) +B(x(t))u(t); x∈M

y(t) = C(x(t)) (2.12)

ondeM ⊂ ℜn _{(espa¸co euclidiano de dimens˜ao}_n_{) ´e o espa¸co de estado,}_{A, B}

1, . . . , Bm s˜ao

fun¸c˜oes vetoriais anal´ıticas reais em M e u = [u1, . . . , ui], onde ui e i = 1, . . . , m ´e uma

fun¸c˜ao anal´ıtica real de [0,∞) emℜ.

Para o sistema 2.12 pode-se associar inversibilidade à esquerda e/ou à direita. A seguir, o algoritmo original para inversão de sistemas não lineares multivariáveis desenvolvido em [7] e [8] será apresentado de uma forma mais simples, utilizando os conhecimentos usuais da álgebra matricial e da resolu¸cão de equa¸cões diferenciais.

Defini¸cão 2.4.1 O sistema não linear é invers´ıvel à direita se, para qualquer sa´ıda de-sejável y∗

(·) = f(·) definida em [0,∞), existe um controle u(·) e uma escolha de x0, tal quey(t) =y∗

(t) =f(t) para todo t∈[0,∞).

(36)

O algoritmo de inversão será aplicado ao caso em estudo nesta disserta¸cão, no qual o número de sa´ıdas do sistema nout é igual ao número de entradas nin. Para aplicar o

algoritmo será necessário derivar o sinal de sa´ıda y(t) do sistema 2.12, consecutivamente, obtendo uma seqüência de sistemas. O primeiro passo é

dy dt =y

(1)₌ dC(x)

dt =C

1₍_x_{) +}_D1₍_x₎_u _(2.13)

e este procedimento continuar´a at´e que se obtenha uma matrizDβ(x) que seja invers´ıvel.

Derivando-se o sinal de sa´ıda do sistema 2.12, obt´em-se Sistema 1:

⎧ ⎨

⎩ ˙

x(t) =A(x) +B(x)u; x∈M1 ⊂M

z1 =C1(x) +D1(x)u

(2.14)

onde

z1 =R0

dy dt C1(x) =R0C1(x)

D1(x) = R0D1(x)

eR0 ´e uma matriz elementarnout×nin que reordena as linhasD1(x), tal que as primeiras

r1 linhas sejam linearmente independentes para algum x∈M1. Denomina-ser1 de ´ındice de inversibilidade do sistema 1.

Constrói-se, então, indutivamente uma seqüência de sistemas não lineares, tal que o k-ésimo sistema seja

Sistema k:

⎧ ⎨

⎩ ˙

x(t) = A(x) +B(x)u; x∈Mk ⊂M

zk =Ck(x) +Dk(x)u

(2.15)

onde Mk ´e um subconjunto de M, Ck(x) e Dk(x) s˜ao matrizes nout ×1 e nout × nin,

respectivamente, cujos elementos s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas reais emMk, e

Dk(x) =

⎡

⎣

Dk1(x)

0 ⎤

⎦

com Dk1 sendo a matrixrk×nin de posto rk para todox∈Mk.

Na constru¸cão acima, é produzida uma seqüencia de inteiros não negativosr1, r2, . . . , rk

onde rk é denominado ´ındice de inversibilidade do k-ésimo sistema. Por constru¸cão 0≤

(37)

Defini¸cão 2.4.2 A ordem de rastreamento β do sistema 2.12 é definida como o m´ınimo inteiro k tal que rk =nout ou β =∞ se rk < nout para todo k >0 [8].

Para continuar o desenvolvimento da teoria de inversão de sistemas, deve-se garan-tir que a sa´ıda zk do k-ésimo sistema, para todo k > 0, é dependente da entrada u(·)

implicitamente e n˜ao explicitamente.

Teorema 2.4.1 Seja o sistema n˜ao linear 2.12 com ordem de rastreamento β <∞, ou seja, finita.

Se β ≥2 e

BiAjRk(·)≡0emM (2.16)

para 0≤k ≤β−2, 0≤j ≤β−2−k, ei= 1, . . . , nin, ent˜ao, a sa´ıda do k-´esimo sistema

2.12 pode ser decomposta como

zk=

⎡ ⎣ ¯ zk ˆ zk ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

Hk(x)

Jk(x)

⎤

⎦yk =Kk(x)yk (2.17)

onde yT k =

(y(1)₎T _{. . .} ₍_y(k)₎T _e _y(i)₌ dy

i

dti.

Isto significa dizer que a sa´ıda zk do k-´esimo sistema, k = 1, . . . , β, ´e dependente

implicitamente da entradau(·). Tem-se, ent˜ao,

zk(x) =

⎡

⎣

Hk(x)

Jk(x)

⎤

⎦yk =

⎡

⎣ ¯

Ck(x)

ˆ

Ck(x)

⎤

⎦+ ⎡

⎣

Dk1(x) 0

⎤

⎦u(t) (2.18) Observa-se, que para β <∞, o β-´esimo sistema ´e dado por

Sistemaβ:

⎧ ⎨

⎩ ˙

x=A(x) +B(x)u; x∈Mβ

zβ =Cβ(x) +Dβ(x)u

(2.19)

onde a matriz Dβ(x)nout×nin de posto nout tem a inversaD −1

β (x) em Mβ

zβ =Kβ(x)yβ =Hβ(x)yβ

onde Hβ(x) ´e uma matriz nout×βnout.

(38)

Em [8] ´e desenvolvida uma condi¸c˜ao suficiente para a reprodutibilidade funcional.

Teorema 2.4.2 Seja o sistema não linear 2.12 com ordem de rastreamento β < ∞ e, para β ≥2, supõe-se que a condi¸cão 2.16 seja satisfeita.

Seja f(t) uma fun¸c˜ao anal´ıtica real e o estado inicial x(0) =x0 ∈ Mβ. Ent˜ao, f(·) =

y(·, u, x0) para algum controle admiss´ıvel u, se e somente se,

f(0) =C(x0) e

Jk(x0)Fk(0) = ˆCk(x0), parak= 1, . . . , β−1

onde

Fk(t) =

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

f(1)₍_t₎ ...

f(k)₍_t₎ ⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Corolário 2.4.1 Seja o sistema não linear 2.12 com ordem de rastreamento β < ∞ e, para β ≥2, supõe-se que a condi¸cão 2.16 seja satisfeita. Então, o sistema

⎧ ⎨

⎩ ˙ˆ

x= ˆA(ˆx) + ˆB(ˆx) ˆu; xˆ∈Mβ, xˆ(0) =x0 ˆ

y= ˆC(ˆx) + ˆD(ˆx) ˆu

(2.20)

com

ˆ

A(ˆx) =A(ˆx)−B(ˆx)D∗

β(ˆx)Cβ(ˆx)

ˆ

B(ˆx) =B(ˆx)D∗

β(ˆx)Hβ(ˆx)

ˆ

C(ˆx) = −D∗

β(ˆx)Cβ(ˆx)

ˆ

D(ˆx) =D∗

β(ˆx)Hβ(ˆx)

D∗

β(ˆx) =D T β

DβDTβ

−₁

(2.21)

atua como um sistema inverso à direita para o sistema 2.12 [8], onde uê yˆsão a entrada e a sa´ıda do sistema inverso à direita, respectivamente.

Em particular, se f(·) pode ser reproduzida por y(·, u, x0) para algum u e x0 ∈ Mβ,

ent˜ao, f(·) = y(·, uf, x0) onde uf = ˆy(·, Fβ, x0). Em [10], o algoritmo de invers˜ao ([7]

(39)

2.5 Modelo Desacoplado do Gerador S´ıncrono

Ao sistema 2.5, aplica-se a técnica de inversão à direita desenvolvida em [7] e [8], resultando em dois sistemas desacoplados e, assim, é poss´ıvel projetar um controlador para cada um dos subsistemas resultantes.

O n´umero de entradas e sa´ıdas (nin =nout) ´e igual a 2, e foi aplicado o algoritmo de

inversão ([7] e [8]), previamente detalhado. O resultado após a aplica¸cão do algoritmo, para este caso, será uma seqüencia de quatro sistemas (ordem de rastreamento β = 4) compostos pelas derivadas dos sinais de sa´ıda de uma maneira similar à forma mostrada nas equa¸cões 2.20 e 2.21. A constru¸cão do primeiro sistema é obtida derivando-se o sinal de sa´ıda y em rela¸cão ao tempo.

Sistema 1

z1 = ˆz1 = ˙y= ⎡

⎣ Ψ(1)_f

δ(1)

⎤

⎦=C1(x(t)) +D1u(t) = ⎡ ⎣ a3 ω ⎤ ⎦ onde

C1 = ˆC1 = ⎡

⎣

a3

ω

⎤

⎦ D1 = ⎡ ⎣ 0 0 0 0 ⎤ ⎦ e

R0(x) =R0 =I(2×2) (matriz identidade de ordem 2)

r1 = 0

K1(x) = K1 =J1 = ⎡ ⎣ 1 0 0 1 ⎤ ⎦

Para o segundo sistema, deriva-se o sinal z1 em rela¸c˜ao ao tempo.

Sistema 2

z2 = ⎡ ⎣ ¯ z2 ˆ z2 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ Ψ(2)f

δ(2)

⎤

⎦=C2(x(t)) +D2u(t) =

= ⎡ ⎣ ˙ a3 ˙ ω ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

−p5ωsinδ−p6a3+p7a4+ (p7ke)Te−1

a2

⎤

(40)

onde

C2 = ⎡ ⎣ ¯ C2 ˆ C2 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

−p5ωsinδ−p6a3+p7a4

a2

⎤

⎦ (2.22)

D2 = ⎡

⎣

(p7ke)Te−1 0

0 0

⎤

⎦

e

R1(x) =R1 =I(2×₂₎

r2 = 1

K2(x) = K2 = ⎡ ⎣ H2 J2 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

0 0 1 0 0 0 0 1

⎤

⎦

Nota-se que para o fluxo de campo Ψf, o objetivo do algoritmo de invers˜ao foi

al-can¸cado, logo, não é mais necessária a deriva¸cão dos termos correspondentes ao fluxo de campo. Para o terceiro sistema, deriva-se o sinal ˆz2 em rela¸cão ao tempo.

Sistema 3

z3 = ⎡ ⎣ ¯ z3 ˆ z3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ Ψ(2)_f

δ(3) ⎤

⎦=C₃(x(t)) +D₃u(t) =

= ⎡ ⎣ ˙ a3 ˙ a2 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

−p5ωsinδ−p6a3+p7a4+ (p7ke)T −₁ e

2p1ωcos 2δ−p2a2−p3(a3sinδ+ωΨf cosδ) +p4a5 ⎤

⎦

onde

C3 = ⎡ ⎣ ¯ C3 ˆ C3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ ¯ C2

2p1ωcos 2δ−p2a2−p3(a3sinδ+ωΨfcosδ) +p4a5 ⎤

⎦ (2.23)

D3 =D2 e

R2(x) =R2 =I(2×₂₎

r3 = 1

K3(x) =K3 = ⎡ ⎣ H3 J3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

⎤

⎦

(41)

Sistema 4

z4 = ¯z4 = ⎡

⎣ Ψ(2)f

δ(4)

⎤

⎦=C4(x(t)) +D4u(t) = ⎡ ⎣ ˙ a3 ˙ˆ C3 ⎤ ⎦ onde

C4 = ¯C4 = ⎡ ⎣ ¯ C2 ˜ C4 ⎤ ⎦ (2.24) ˜

C4(x) = 2p1(a2cos 2δ−2ω2sin 2δ)−p2Cˆ3 −p3 _¯

C2−Ψfω2

sinδ+ + (2ωa3+ Ψfa2) cosδ] +p4(−a5+a6)T

−₁ t

(2.25)

D4 = ⎡

⎣

p7keT −₁

e 0

−p3p7kesinδTe−1 p4(TtTg) −₁

⎤

⎦ (2.26)

e

R3(x) = R3 =I(2×₂₎

r4 = 2

K4(x) = K4 =H4 = ⎡

⎣

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

⎤

⎦ (2.27)

Nota-se queD∗

4 =D

−₁

4 , e

D−₁

4 = ⎡

⎣

Te(p7ke) −1

0

p3p

−₁

4 TtTgsinδ p −₁

4 TtTg

⎤

⎦ (2.28)

Como o sistema 4 possui ordem de rastreamento β = 4 e sua sa´ıda ´e dependente implicitamente da entradauT = ue ug

, ent˜ao o sistema ˆ

A(ˆx) =A(ˆx)−B(ˆx)D∗

4(ˆx)C4(ˆx) ˆ

B(ˆx) =B(ˆx)D∗

4(ˆx)H4(ˆx) ˆ

C(ˆx) =−D∗

4(ˆx)C4(ˆx) ˆ

D(ˆx) =D∗

4(ˆx)H4(ˆx)

D∗

4(ˆx) =DT4

D4DT4 −₁

(2.29)

atua como sistema inverso à direita do sistema 2.5. É importante destacar que o vetor de tensãou é obtido a partir do vetor de sa´ıda ˆy do sistema inverso.

(42)

adaptativo robusto que, mesmo na presen¸ca de incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas (Apêndice C), deve levar as sa´ıdas do gerador s´ıncrono ao seu estado de equil´ıbriox∗

= (Ψ∗ f, δ

∗

)T_.

As sa´ıdas do sistema inverso `a direita (e, consequentemente, as entradas do gerador s´ıncrono) seguem

u= ⎡

⎣

ue

ug

⎤

⎦= ⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Te

−C¯2(ˆx) +u1(t)

(p7ke) −1

p3TtTgsin

ˆ

δ−C¯2(ˆx) +u1(t)

p−1

4 + +TtTg

−C˜4(ˆx) +u2(t)

p−₁

4 ⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(2.30)

(43)

Controlador Adaptativo Robusto

3.1 Introdu¸

c˜

ao

3.1.1 Sistemas de Controle

Um sistema a ser controlado pode ser representado, de forma simplificada, conforme a Figura 3.1

Figura 3.1: Sistema de Controle.

O sistema a ser controlado é chamado de processo ou planta (Apêndice A). O sinal aplicado na(s) entrada(s) de controleué chamado sinal de controle, e também é conhecido como variável manipulada. O sinal de sa´ıda do processoyé chamado de variável contro-lada ou variável de processo, e é a variável cujo comportamento se deseja controlar. Além disso, o sistema está, em geral, sujeito à a¸cão de sinais exógenos chamados de perturba¸cões (Apêndice C), que são sinais de entrada cujos valores não podem ser manipulados [63].

(44)

reali-Cap´ıtulo 3. Controlador Adaptativo Robusto 25

mentado para compara¸cão com o sinal de entrada. No controle em malha fechada, o sinal de erro atuante, que é a diferen¸ca entre o sinal de entrada e o sinal realimentado (que pode ser o próprio sinal de sa´ıda ou uma fun¸cão do sinal de sa´ıda e suas derivadas), é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a sa´ıda do sistema a um valor desejado. As desvantagens dos sistemas a malha aberta, especificamente a sensibi-lidade a perturba¸cões e a incapacidade de corrigir os efeitos destas perturba¸cões, podem ser superadas no sistema a malha fechada.

O controlador é um dispositivo que realiza determinadas opera¸cões matemáticas sobre o sinal de erro a fim de produzir uma a¸cão de controle que, ao ser aplicado ao processo, faz com que sejam satisfeitos determinados objetivos de desempenho do sistema de controle. A estas a¸cões matemáticas dá-se o nome de a¸cões de controle [63].

O cálculo do sinal de controle pode ser realizado baseado somente na sa´ıda, ou nas variáveis de estado do sistema. Nesta disserta¸cão é suposto que é mensurado apenas a sa´ıda do sistemay. A forma de calcular as a¸cões de controle depende da teoria de controle utilizada.

3.1.2 Controle Cl´

assico

Dentro da teoria de controle clássico, a a¸cão de controle pode ser calculada de diversas formas. As principais formas são: através da combina¸cão da a¸cão proporcional, integral e derivativa (PID) [70], do posicionamento de pólos, de um compensador em atraso, em avan¸co e da realimenta¸cão de estados.

Estes controladores possuem uma estrutura fixa, ou seja, seus parâmetros são estáticos no tempo, são sintonizados para um ponto ou uma região de opera¸cão de um processo e essa sintonia não é modificada automaticamente caso seja necessário. Assim, a modelagem do processo é uma etapa importante para uma boa sintonia do controlador.

(45)

configura¸cões utilizadas são: P, PD, PI e PID, sendo admiss´ıvel utilizar as a¸cões separadas em uma malha ou em diferentes malhas do sistema.

O sinal de controle, em um controlador PID, ´e calculado em fun¸c˜ao do sinal de erro, e a estrutura, em diagrama de blocos, mais utilizada, pode ser vista na Figura 3.2.

Figura 3.2: Controlador PID.

Nas usinas geradoras de energia, para o controle de tensão e freqüência dos geradores s´ıncronos são usados controladores PID. Mais precisamente, para a malha da excitatriz é utilizado um PI e para a malha do regulador de velocidade, um PID com uma parte derivativa bem pequena. Estes controladores são ajustados através de modelos lineariza-dos e parâmetros fornecilineariza-dos pelo fabricante. Devido aos motivos expostos acima, pode ser notado que este tipo de controle pode não ser a melhor alternativa. Nesta disserta¸cão, um controlador adaptativo robusto é proposto em substitui¸cão ao PID clássico.

3.1.3 Controle Adaptativo

O projeto de um controlador, na maioria dos casos, depende do modelo da planta em uma determinada condi¸cão de opera¸cão. Porém, a modelagem pode apresentar grande dificuldade, além de, em diversos processos, alguns parâmetros da planta serem desco-nhecidos ou parcialmente codesco-nhecidos (codesco-nhecidos com incertezas). Assim, surgiu a neces-sidade de técnicas de estima¸cão desses parâmetros com o intuito de melhor entender o comportamento da planta.

(46)

Cap´ıtulo 3. Controlador Adaptativo Robusto 27

linear e conceitualmente variante no tempo [4].

O final dos anos 70 marcou significativamente o progresso da teoria do controle adap-tativo, em termos de obten¸cão de provas de estabilidade assintótica global (Apêndice B) e unifica¸cão dos diversos algoritmos adaptativos ([23], [24] e [25]). Todas as provas de estabilidade elaboradas, nesta época, têm em comum uma hipótese bastante restritiva. A hipótese assume que o grau relativo n∗

do sistema, que é a diferen¸ca entre o grau do denominador e do numerador, é conhecido, além da necessidade de excita¸cão rica em freqüências. Apesar da existência de provas de estabilidade para os sistemas de controle adaptativo, em [23] e [29] foi mostrado que vários algoritmos podem tornar-se instáveis quando algumas suposi¸cões requeridas pela prova de estabilidade não são satisfeitas [6].

Uma estrutura de controle adaptativo, em geral, contém uma malha de realimenta¸cão, um estimador de parâmetros e um controlador com ganhos ajustáveis, como mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3: Estrutura de um Controlador Adaptativo.

A estima¸cão de parâmetros pode ser feita off-line, ou seja, após um certo tempo os parâmetros são estimados através do processamento dos dados armazenados, ou a es-tima¸cão pode ser feita on-line, onde periodicamente os parâmetros são atualizados com base em estimativas anteriores e novos dados e, assim, esta estima¸cão é executada con-correntemente com o sistema de controle.

(47)

da entrada e da sa´ıda da planta, e usar este modelo para projetar um controlador [5]. A estrutura de controle adaptativo é classificada em indireta e direta. No controle adaptativo indireto (também chamado de controle adaptativo expl´ıcito) os parâmetros da planta são estimadoson-line e usados para calcular os parâmetros do controlador. No con-trole adaptativo direto, o modelo da planta é parametrizado em termos dos parâmetros do controlador, os quais são estimados diretamente sem cálculos intermediários envol-vendo estimativas dos parâmetros da planta. É também chamado de controle adaptativo impl´ıcito por ser baseado na estima¸cão de um modelo impl´ıcito da planta [4]. Em ambas as estruturas, os cálculos dos parâmetros do controlador são feitos por leis de adapta¸cão. As principais técnicas de controle adaptativo são: PID adaptativo, Controlador Adap-tativo por Modelo de Referência (MRAC - Model Reference Adaptive Controller), Con-trolador Adaptativo por Posicionamento de Pólos (APPC - Adaptive Pole Position Con-troller), Controlador Adaptativo Auto Oscilatório e Controlador com Ganhos Ajustáveis (Gain Scheduling) ([4], [5] e [41]).

Devido à exigência de parâmetros exatos para a aplica¸cão da teoria de desacoplamento para sistemas não lineares, faz-se necessária a aplica¸cão de controladores adaptativos robustos ao modelo desacoplado do gerador s´ıncrono. O primeiro subsistema é referente ao fluxo de campo e seu modelo é de grau relativo 2. O segundo subsistema é referente ao ângulo de carga e seu modelo é de grau relativo 4. Então, podem ser usados modelos e controladores diferentes, para cada subsistema do gerador s´ıncrono.

3.2 Controle Adaptativo por Modelo de Referˆ

encia

O MRAC convencional usa leis integrais de adapta¸cão e a sa´ıda da planta segue um modelo de referência especificado [4]. O erroe0 entre a sa´ıda da planta e a sa´ıda do mo-delo de referência é utilizado por um algoritmo de adapta¸cão para ajustar os parâmetros do controlador. Assim, a dinâmica da planta é for¸cada a seguir a dinâmica do modelo. O algoritmo convencional apresenta problemas de estabilidade sob condi¸cões não ideais e mesmo com as modifica¸cões para aumentar a robustez (Apêndice C) do algoritmo con-vencional [4], em geral o transitório é lento e oscilatório.

(48)

Control). No MRC, um bom conhecimento da planta e dos parâmetros de desempenho fornecem ao projetista as ferramentas necessárias para se obter o modelo, chamado de modelo de referência, que descreve as propriedades de entrada/sa´ıda requeridas da planta em malha fechada. O objetivo do MRC é obter a lei de controle que modifica a estrutura e a dinâmica da planta para que suas propriedades de entrada/sa´ıda sejam exatamente como as do modelo de referência. A fun¸cão de transferênciaM(s) do modelo de referência é escolhida para que um dado sinal de entrada r(t) leve sua sa´ıda ym(t) a apresentar a

resposta desejada da sa´ıda da planta y(t).

O controlador é escolhido tal que seus sinais sejam uniformemente limitados e a sa´ıda da fun¸cão de transferência (Apêndice A) da planta em malha fechada siga a sa´ıda do modelo de referência. Essa condi¸cão de igualdade garante que para uma dada referência, o erro de sa´ıda, que representa a diferen¸ca entre o sinal de sa´ıda da planta e a sa´ıda do modelo, convirja à zero. A condi¸cão de igualdade entre as fun¸cões de transferência do modelo de referência e do sistema em malha fechada é conseguida através do cancelamento de zeros da fun¸cão transferência da planta e substitui¸cão dos mesmos por aqueles presentes no modelo. O cancelamento dos zeros da planta, então, faz com que a planta seja de fase não m´ınima (Apêndice A). Se algum zero da planta estiver no semiplano direito, seu cancelamento pode levar a sinais não limitados.

O projeto do controlador requer o conhecimento dos coeficientes da fun¸cão de trans-ferência da planta. Quando esses coeficientes são desconhecidos, ou conhecidos com in-certezas, o MRC não pode ser implementado. Uma maneira de tratar com o caso dos parâmetros desconhecidos é usar métodos de estima¸cão de parâmetros que substituam os parâmetros desconhecidos na lei de controle, obtidos pelo método direto ou indireto. Tem-se, então, o MRAC (Figura 3.4).

(49)

Figura 3.4: MRAC direto.

são ajustados através do erro entre a sa´ıda da planta e a sa´ıda do modelo de referência. Considere uma planta linear, monovariável, com incertezas paramétricas e invariante no tempo com fun¸cão de transferência

G(s) =kp

np(s)

dp(s)

(3.1) sendo u o sinal de entrada e y o sinal de sa´ıda. Considere, tamb´em, um modelo de referˆencia, que possui r como sinal de entrada e ym como sinal de sa´ıda

M(s) =km

nm(s)

dm(s)

(3.2) O objetivo ´e encontrar uma lei de controle u(t) para que o erro de sa´ıda e0

e0 =y−ym

tenda para zero assintoticamente, para condi¸c˜oes iniciais quaisquer e sinais de referˆencia

r(t) cont´ınuos por partes e uniformemente limitados. As seguintes hip´oteses s˜ao assumidas:

a. np(s) edp(s) são polinômios mônicos (Apêndice A) de grau [dp(s)] = ne grau [np(s)] =

m;

b. nm(s) edm(s) são polinômios mônicos de mesmo grau relativo que a planta (em geral,

(50)

c. A planta deve ser controlável e observável, ou seja,np(s) edp(s) são coprimos (Apêndice

A);

d. kp e km (ganhos de alta freq¨uˆencia) com o mesmo sinal. Em geral,kp >0 e km >0;

e. A planta ´e de fase m´ınima;

f. Somente a entrada e a sa´ıda da planta s˜ao mensur´aveis.

Como o número de parâmetros da planta é igual a 2n, e os sinais dispon´ıveis são r

e y, são necessários 2n−2 sinais adicionais para gerar o sinal de controle u. Utiliza-se, então, sinais filtrados da entrada e sa´ıda, como segue

⎧ ⎨

⎩ ˙

v1 = Λv1+gu, v1 ∈ ℜn−1 ˙

v2 = Λv2+gy, v2 ∈ ℜn−1

(3.3)

onde Λ ´e escolhido tal quenm(s) seja um fator de det (sI−Λ). O vetor regresor ´e definido

como ω= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v1 y v2 r ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

e o sinal de controleu

u= ΘTω

onde

Θ(t) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Θv1 Θn

Θv2 Θ2n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

´e o vetor de parˆametros adaptativos [41].

Baseado nas hip´oteses anteriores, segundo [4], existe um ´unico vetor constante Θ∗

tal que a fun¸c˜ao de transferˆencia da planta em malha fechada (comu= Θ∗T_ω_{)) se comporte}

exatamente como o modelo de referˆencia M(s) (condi¸c˜ao de matching). Obviamente Θ∗

somente pode ser conhecido se a planta for conhecida, o que é bastante dif´ıcil na prática. Quando isto não é o caso, Θ(t) é adaptado até que e0(t)→ 0 quando t → ∞ e, eventualmente sob alguma condi¸cão de riqueza de sinal, Θ(t)→Θ∗

(51)

Seja A b hT _{uma realiza¸c˜ao m´ınima da planta, e} _x _{∈ ℜ}n _{o respectivo vetor de}

estado. Ent˜ao, a planta com os filtros podem ser representados como ⎧

⎨

⎩ ˙

xc =A0xc+b0u

y=hT cxc

(3.4)

onde

xc =

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x v1 v2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, xc ∈ ℜ3n−2, A0 = ⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

A 0 0

0 Λ 0

ghT _{0 Λ}

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, b0 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ b g 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, hT c =

hT _{0 0}

Nota-se queω = Λxc+brr com

Λ = ⎡ ⎣ Λc 0 ⎤

⎦ Λc =

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 I 0

hT 0 0 0 0 I

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

br =

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Tem-se, ent˜ao, ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ˙

xc =Acxc+

bc

Θ∗

2n

u−Θ∗T_ω +bcr

y=hT cxc

(3.5)

onde Ac = A0 +b0Θ∗rTΛc, Θ ∗_T

r =

Θ∗

1 . . . Θ

∗

2n−₁

, xc ∈ ℜ3n −₂

, bc = Θ ∗

2nb0 e Θ∗2n =

km

kp

>0.

Ac bc hTc

é uma realiza¸cão não m´ınima e estável de M(s) [6], ou seja, o modelo de referência pode ser representado como

⎧ ⎨

⎩ ˙

xcm=Acxcm+bcr, xcm∈ ℜ3n−2

ym =hTcxcm

(3.6)

Definindo o vetor de erro por e=xm−xcm, tem-se a seguinte equa¸c˜ao do erro

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ˙

ecm=Ace+

bc

Θ∗

2n

u−Θ∗T_ω

e0 =hTce

(3.7)

e, na forma entrada/saida

e0 = 1 Θ∗

2n

M

u−Θ∗T_ω

(52)

Considere um polinˆomio L(s) de grau N = n∗

− 1, de forma que M(s)L(s) seja Estritamente Real Positivo (ERP). Seja um sinal auxiliar, interpretado como predi¸c˜ao do erro e0 [64],

ya =M LΘ2n+1

L−₁

u−ΘTL−₁

ω

(3.9) onde Θ2n+1 e Θ s˜ao estimativas para Θ∗2n

−₁

e Θ∗

(parˆametros de matching), respectiva-mente. O erro aumentado ´e definido como

ea= (y−ym)−ya=e0−ya (3.10)

Em [65] foi proposta uma modifica¸c˜ao em ya, com a inten¸c˜ao de tornar o sistema

adaptativo globalmente est´avel. Tem-se, ent˜ao,

ya=M L

Θ2n+1

L−₁

ΘT −ΘTL−₁

ω+αea

L−₁

ωT

L−₁

ω

, α >0 (3.11) As seguintes leis integrais de adapta¸c˜ao s˜ao utilizadas para atualizar Θ(t) e Θ2n+1(t)

˙

Θ =−ea

L−₁

ω

(3.12) ˙

Θ2n+1 =ea

L−₁

ΘT −ΘTL−₁

ω (3.13)

A Tabela 3.1 resume o algoritmo de um controlador MRAC convencional.

O algoritmo MRAC para ser globalmente estável (Apêndice B) na presen¸ca de per-turba¸cões necessita da introdu¸cão de normaliza¸cão, o que pode levar os transitórios de adapta¸cão a serem demasiadamente lentos. Mesmo com a excita¸cão rica em freqüências, a qualidade do transitório de adapta¸cão (quando Θ está distante de Θ∗

) não é uniforme e a convergência dos parâmentros adaptativos é muito lenta. Apesar do comportamento transitório não ser totalmente aceitável, em algumas situa¸cões, o sinal de controle é suave, tornando-o adequado para a condi¸cão de regime permanente.

3.3 Sistemas com Estrutura Vari´

avel

(53)

Tabela 3.1: Algoritmo do controlador MRAC convencional.

Inicializa¸c˜ao de vari´aveis:

Constantes: g, Λ,α

Vari´aveis: Θ(0), Θ2n+1(0), ω(0), ym(0),ea(0),ya(0)

Composi¸c˜ao do vetor regressorω: ˙

v1 = Λv1+gu

y = Gu ˙

v2 = Λv2+gy

r

C´alculo do erro de sa´ıda e0:

ym = M r

e0 = y−ym

C´alculo do erro de predi¸c˜aoya:

˙

Θ2n+1 = ea

L−1_ΘT ₋_ΘT

L−1

ω ya = M L

Θ2n+1

L−1_ΘT ₋_ΘT_L−1

ω+αea

L−1_ωT

L−1_ω

C´alculo do erro aumentado ea:

ea = e0−ya

C´alculo do vetor de parˆametros adaptativos: ˙

Θ = −eaL−1ω

C´alculo do sinal de controle u: u = ΘT_ω

e manter-se na superf´ıcie de deslizamento, tornando-se, ent˜ao, insens´ıveis `as incertezas da planta.

As principais caracter´ısticas de um controle adaptativo com estrutura variável são a rapidez no transitório e a robustez a varia¸cões paramétricas e perturba¸cões, dentro de uma certa faixa de tolerância. Contudo, tem também como caracter´ıstica, um chaveamento em alta freqüência no sinal de controle e, ou em variáveis onde este método é aplicado, fenômeno conhecido como chattering.

(54)

3.3.1 Descri¸

c˜

ao Geral

Para as demonstra¸c˜oes ser´a considerado o seguinte sistema de segunda ordem ⎧

⎨

⎩ ˙

x1 =x2 ˙

x2 =a1x1+a2x2+u

(3.14)

com a1 ea2 conhecidos com incertezas.

Define-se uma superf´ıcie de chaveamento s como

s=

x∈R2 |s(x) = cx1+x2 = 0, c >0

(3.15) na qual deseja-se que permane¸cam as variáveis de estado x1 e x2 (dinâmica do sistema). Deve ser satisfeita a condi¸cão ss <˙ 0 para se ter o comportamento ilustrado na Figura 3.5.

Figura 3.5: Superf´ıcie de deslizamento em um sistema com estrutura vari´avel.

Em um problema de estabiliza¸c˜ao deve-se ter: lim

t→∞x1(t) = 0 e limt→∞x2(t) = 0.

Utiliza-seu(x) = Θ1x1+ Θ2x2 de forma que

u(x) = ⎧ ⎨

⎩

u+₍_x₎_, _se _s₍_x₎_>₀

u−

(x), se s(x)<0 (3.16) Obt´em-se a convergencia das trajet´orias para s(x) = 0 com

Θ1 =−Θ1sgn (¯ sx1), Θ1¯ >|a1| Θ2 =−Θ2sgn (¯ sx2), Θ2¯ >|c+a2|

(3.17)