Uma análise de políticas fiscais: modelo DSGE novo-keynesiano com armadilha da liquidez

(1)

FUNDAC

¸ ˜

AO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM ECONOMIA

Felipi Bruno da Silva

UMA AN ´

ALISE DE POL´

ITICAS FISCAIS:

MODELO DSGE NOVO-KEYNESIANO

COM ARMADILHA DA LIQUIDEZ

(2)

Felipi Bruno da Silva

UMA AN ´

ALISE DE POL´

ITICAS FISCAIS:

MODELO DSGE NOVO-KEYNESIANO

COM ARMADILHA DA LIQUIDEZ

Disserta¸cão submetida a Escola de Pós-Gradua¸cão em Economia como requesito parcial para a obten¸cão do grau de Mestre em Economia.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Teoria Econˆomica

Orientador: Tiago Couto Berriel

(3)

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV

Silva, Felipi Bruno da

Uma análise de políticas fiscais : modelo DSGE novo-keynesiano com armadilha da liquidez / Felipi Bruno da Silva. – 2013.

30 f.

Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós-Graduação em Economia.

Orientador: Tiago Couto Berriel. Inclui bibliografia.

1. Política tributária – Modelos econométricos. 2. Equilíbrio econômico. 3. Liquidez (Economia). 4. Economia keynesiana. I. Berriel, Tiago Couto. II. Fundação Getulio Vargas. Escola de Pós-Graduação em Economia. III. Título.

(4)

(5)

Resumo

Neste artigo, é analisado, por meio de um modelo DSGE novo-keynesiano, o efeito da redu¸cão do imposto sobre o consumo, tal como os impactos das eleva¸cões da tarifa incidente sobre a renda do trabalho e dos gastos do governo, sobre o produto e o déficit público em uma economia com armadilha da liquidez. Ao permitir que a dura¸cão da armadilha da liquidez seja determinada endogenamente é poss´ıvel con-cluir que os efeitos marginais dependem da magnitude do choque dado e de quais instrumentos de pol´ıtica fiscal estão sendo usados. Desta forma, para avaliar o im-pacto desses instrumentos torna-se necessário observar os seus efeitos médios. Com base nessa medida e na economia em questão, uma pol´ıtica fiscal pode apresentar os maiores efeitos marginais para cada dura¸cão da armadilha da liquidez, mas não necessariamente será aquela que causará os maiores impactos sobre o produto e o déficit público.

(6)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 5

1.1 Literatura Relacionada . . . 6

2 Modelo 7 2.1 Fam´ılias . . . 7

2.2 Firmas . . . 8

2.2.1 Firmas produtoras do bem final . . . 8

2.2.2 Firmas produtoras dos bens intermedi´arios . . . 8

2.3 Pol´ıtica Monet´aria . . . 9

2.4 Governo . . . 10

2.5 Equil´ıbrio . . . 10

3 Calibra¸c˜ao 12

4 Resultados 13

5 Conclus˜ao 21

(7)

1 Introdu¸

c˜

ao

Com o advento da crise de 2008, os bancos centrais dos principais pa´ıses desenvolvidos passaram a cortar suas taxas de juros a praticamente zero, enquanto que os governos elevaram os seus gastos como forma de estimular a economia. Porém, devido à fraca recupera¸cão da economia global, muito desses pa´ıses se viram com d´ıvidas elevadas. Com isso, o foco passou a ser o equacionamento dos seus déficits públicos, via, principalmente, medidas de austeridades econômicas. No entanto, a literatura recente - tais como,Denes et al.(2013),Erceg and Lindé(2012),Christiano et al.(2011), entre outros -, utilizando-se de modelos DSGE novo-keynesianos, tem mostrado que em economias cuja taxa de juro nominal se encontra restrita pelo seu limite inferior em zero, os efeitos dos instrumentos de pol´ıtica fiscal, tanto sobre o produto, quanto sobre o déficit, podem diferir de maneira significante dos impactos dessas variáveis quando a taxa de juros não possui a sua restri¸cão ativa.

Dessa forma, o objetivo deste artigo será entender melhor esses efeitos em um ambiente no qual a economia está em uma armadilha da liquidez. Para tal, será construindo um modelo DSGE novo-keynesiano simples no qual o número de per´ıodos em que a restri¸cão sobre a taxa de juros se encontra ativa é determinado endogenamente.

Assim como encontrado na literatura recente, os resultados deste artigo mostram que aumentos dos gastos públicos e diminui¸cões do tributo sobre o consumo possuem efeitos marginais maiores sobre o produto em uma economia com armadilha da liquidez. E, em consequência desses efeitos sobre o produto, essas pol´ıticas podem ser autofinanciáveis, isto é, podem possuir um impacto negativo sobre o déficit público. Além dessas pol´ıticas, uma eleva¸cão no imposto sobre a renda do trabalho pode ter um grande impacto marginal negativo sobre a d´ıvida pública, assim como um efeito positivo sobre o PIB, em uma economia onde a taxa de juro é igual a zero por muitos per´ıodos.

No entanto, ao endogenizar a dura¸cão da armadilha da liquidez, temos que o número de per´ıodos no qual a taxa de juros é igual a zero é encurtado com o aumento da magnitude em que esses instrumentos de pol´ıtica fiscal são usados, com isso os seus efeitos marginais tanto sobre o produto quanto sobre o déficit público convergem para os seus n´ıveis de quando a taxa de juros é estritamente positiva. Assim, quando a taxa de juros está limitada existe um impacto no uso de um instrumento sobre os demais, pois ao encurtar o número de per´ıodos da armadilha da liquidez, não só os efeitos marginais da pol´ıtica usada convergem, como também, os efeitos marginais dos outros instrumentos. Além disso, é mostrado que um mesmo choque como propor¸cão do PIB em diferentes instrumentos pode gerar encurtamentos distintos da armadilha da liquidez.

(8)

A principal contribui¸cão deste artigo é mostrar, por meio do modelo proposto mais adiante, que um instrumento de pol´ıtica fiscal pode apresentar os maiores efeitos margi-nais para cada dura¸cão da armadilha da liquidez, porém, não necessariamente os maiores efeitos médios. Desta forma, para a economia estudada neste artigo, apesar do gasto do governo possuir os maiores multiplicadores marginais sobre o produto, em decorrência do fato de que cada extensão da armadilha da liquidez suportar menos choques nessa variável, os seus multiplicadores diminuem mais rápido do que os do demais instrumen-tos e, em consequência disso, o seu multiplicador médio é menor do que o multiplicador médio da redu¸cão do imposto sobre o consumo. Assim, com base nos efeitos médios dos instrumentos de pol´ıtica fiscal analisados, caso o governo tenha como único objetivo aumentar o PIB, a melhor pol´ıtica para tal é a diminui¸cão da tarifa sobre o consumo. No entanto, caso o objetivo seja diminuir a sua d´ıvida, o governo deve aumentar o imposto sobre a renda do trabalho, dado que esse instrumento apresenta o impacto médio mais negativo sobre o déficit público. Além disso, é mostrado que a redu¸cão do imposto sobre o consumo possui um impacto médio sobre o déficit público menor do que a eleva¸cão dos gastos. Portanto, para qualquer pol´ıtica que tenha como objetivo elevar o PIB ou reduzir a d´ıvida do governo, ou mesmo uma combina¸cão desses dois, a diminui¸cão da tarifa sobre o consumo se apresenta como um instrumento mais eficiente, no sentido de melhor atingir esses objetivos, do que o aumento dos gastos. Logo, o uso da eleva¸cão do dispêndio público não é recomendado para esta economia.

1.1 Literatura Relacionada

Este artigo faz a conexão entre as pol´ıticas fiscais analisadas em Denes et al. (2013) e a abordagem de endogeniza¸cão da armadilha da liquidez utilizada em Erceg and Lindé

(2012).

No primeiro, por meio de um modelo DSGE novo-keynesiano simples é mostrado que em uma economia com armadilha da liquidez, o aumento dos gastos do governo e dos impostos sobre o salário, tal como uma redu¸cão da tributa¸cão sobre o consumo, possuem efeitos maginais positivos sobre o produto maiores do que quando a restri¸cão da taxa de juros não está ativa. E, em consequência desses impactos sobre o PIB, a eleva¸cão do dispêndio do governo e a diminui¸cão do imposto sobre o consumo reduzem o déficit público. Além disso, é mostrado que o aumento do imposto sobre a renda do trabalho ao combinar uma maior tarifa, juntamente com um crescimento do produto, tem como consequência uma grande redu¸cão marginal da d´ıvida do governo.

(9)

gasto do governo. E, além disso, é explicitado que os multiplicadores marginais sobre o produto e o déficit dependem da magnitude do dispêndio público.

Este artigo está organizado do seguinte modo. Na se¸cão 2 é descrito o modelo. A se¸cão 3 apresenta a calibra¸cão. Na se¸cão 4 é exposto o experimento e os resultados e na se¸cão 5 a conclusão.

2 Modelo

O modelo adotado neste trabalho é uma versão estendida do modelo básico utilizado por

Erceg and Lindé (2012), ao qual são incorporados os impostos sobre o salário e sobre o consumo.

2.1 Fam´ılias

Existe um cont´ınuo de fam´ılias de medida 1, indexadas por j. O consumidor representa-tivo maximiza a seguinte fun¸c˜ao utilidade:

Et

∞ X

t=0

βt

1

1− 1_σ (Ct−Cvt) 1−1

σ − N

1+χ t

1 +χ +µ0F

M Bt+1

Pt

(1)

onde β ∈(0,1) é o fator de desconto. A fun¸cão depende positivamente dos desvios do consumoCtem rela¸cão a um “n´ıvel de referência”Cvt, ondevtrepresenta um choque nas

preferˆencias, tal que, para um dado n´ıvel de consumo, um choque positivo emvtfaz com

que a utilidade marginal do consumidor aumente. A utilidade depende negativamente do termo N

1+χ t

1+χ , onde Nt s˜ao as horas trabalhadas e χ ´e o inverso da elasticidade Frisch

de substitui¸cão da oferta de trabalho. Tal como em Eggertsson and Woodford (2003), será assumido que a fun¸cão dos saldos reais de moeda, F M Bt+1

Pt

, possui um ponto de saciedade M B

P . A inclus˜ao da moeda se faz necess´aria para dar racionalidade ao limite

inferior em zero para a taxa de juros nominal. No entanto, ser´a assumido que µ0 ´e

arbitrariamente pequeno, desta forma mudan¸cas nos saldos reais de moeda possuem um efeito neglig´ıvel para a senhoriagem. Assim, os impactos dos n´ıveis de moeda sobre o produto e a d´ıvida do governo podem ser desconsiderados. Além disso, será assumido que o choquevt em sua forma log-linearizada segue um processo AR(1) com persistência

ρ.

A restri¸cão or¸camentária das fam´ılias no per´ıodo t é dada por:

Pt(1 +τtc)Ct+BG,t+M Bt+1 = (1−τtn)WtNt+M Bt+ (1 +it−1)BG,t−1+ Γt−Tt (2)

Logo, temos que as fam´ılias compram o bem final Ct, a um pre¸co Pt acrescido do

imposto sobre o consumoτc

(10)

BG,t, e em moeda,M Bt+1. Os seus ganhos prov´em da renda do trabalho descontando-se o

imposto sobre o sal´ario,WtNt(1−τtn), do estoque de moedaM Bt, dos t´ıtulos do governo

BG,t−1 corrigidos pela taxa de juros, it−1, e dos dividendos das firmas Γtmenos o imposto lump-sum Tt.

Desta forma, temos que o problema do consumidor representativo é maximar a fun¸cão utilidade (1) sujeito a restri¸cão or¸camentária (2).

2.2 Firmas

2.2.1 Firmas produtoras do bem final

As firmas produtoras do bem final produzem o bem Yt a partir de um cont´ınuo de

bens intermedi´arios yt(f), por meio de uma tecnologia de transforma¸c˜ao com retornos

constantes de escala da forma Dixit-Stiglitz:

Yt=

 

1

Z

0

yt(f)

1 1+_θp _df

 

1+θp

, (3)

onde θp >0.

Essas firmas são perfeitamente competitivas tanto no mercado de bens como no de insumos. Portanto, o problema dessas firmas será minimizar os custos de produ¸cão para um dado n´ıvel de produto tomando os pre¸cos dos insumospt(f) como dados. Da resolu¸cão

desse problema1_{, temos que o pre¸co do bem final e a curva de demanda pelos bens}

intermedi´arios podem ser escritos, respectivamente, como:

Pt=

 

1

Z

0

Pt(f)

−1 θp _df

 

−θp

(4)

e

yt(f) =

pt(f)

Pt

−1+θp

θp

Yt (5)

2.2.2 Firmas produtoras dos bens intermedi´arios

Existe um cont´ınuo de firmas de medida 1 em competi¸cão monopol´ıstica no mercado de bens intermediários diferenciados, indexadas por f. Elas possuem uma tecnologia de transforma¸cão com retornos constantes de escala dada por uma fun¸cão Cobb-Douglas. Por hipótese será assumido que o estoque de capital da economia é fixo em K, deste modo, temos que o produto agregado é dado por:

1

(11)

Yt=KαNt1

−α

, (6)

onde α ∈(0,1).

Além disso, seguindo Calvo(1983), é assumido que em cada per´ıodo todas as firmas tem a mesma probabilidade(1−ξp) de otimizar os seus pre¸cos. Em rela¸cão às firmas que

não podem realizar a otimiza¸cão, será assumido que seus pre¸cos são dados de acordo com a seguinte fórmula:

˜

Pt= (1 +π)Pt−1, (7)

onde π é a infla¸cão no estado estacionário e ˜Pt é o pre¸co ajustado.

Assim, o problema de uma firma f , que pode otimizar o seu pre¸co pt(f), pode ser

escrito como:

max

pt(f)

E

∞ X

j=0

ξjψt,t+j

h

(1 +π)jpt(f)−M Ct+j

i

yt+j(f) (8)

s.a.

          

M Ct+j =

Wt+j

(1−α)KαN1−α t+j

yt+j(f) =

pt(f)

Pt+j

−

1+_θp

θp

Yt+j

ψt,t+j =βjEt λt+j

λt

, (9)

onde ψt,t+j ´e o fator estoc´astico de desconto do consumidor representativo entre t e

t+j e λt+j é o multiplicador de lagrange associado à restri¸cão or¸camentária das fam´ılias

no per´ıodot+j. Tal como emDenes et al.(2013), foi assumido que o pre¸co definido pela firma intermedi´aria ´e exclusivo do imposto sobre o consumo.

2.3 Pol´ıtica Monet´

aria

A taxa de juros nominal ´e definida pelo banco central por meio de um regra de Taylor sujeita ao limite inferior em zero:

bit=max{−¯i, γπbπt+γyxt} (10)

onde bit e bπt são os desvios da taxa de juros nominal e da infla¸cão em rela¸cão aos

seus respectivos estados estacion´arios ¯i e π, e xt ´e o hiato de produto, definido como a

(12)

2.4 Governo

O governo determina de maneira exógena os seus gastos e os impostos sobre salário e consumo. Além disso, ele não precisa equilibrar o seu or¸camento em cada per´ıodo, podendo emitir t´ıtulos para tal. A sua restri¸cão or¸camentária é dada por:

BG,t= (1 +it−1)BG,t−1+PtGt−τ

c

tPtCc −τtnWtNt−Tt−M Bt+1+M Bt (11)

O governo obtém suas receitas por meio dos impostos sobre a renda do trabalho e do consumo, do imposto lump-sum, Tt, e através da senhoriagem M Bt+1. Será assumido,

porém, que o termo da senhoriagem é pequeno, podendo assim ser desconsiderado. E, como forma de simplificar o modelo, será assumido que apenas o imposto lump-sum se ajusta para controlar o endividamento do governo, possuindo a seguinte dinâmica em sua forma log-linearizada:

b

τt=ϕbbbG,t−1 (12)

onde bbG,t−1 é a rela¸cão d´ıvida/PIB do governo no per´ıodo t −1 em sua forma log-linearizada. Dado que os agentes são Ricardianos, temos então que os impactos dos instrumentos de pol´ıtica fiscal sobre a evolu¸cão do imposto lump-sum e da d´ıvida pública não possuem nenhum efeito sobre as demais variáveis macroeconômicas. No estado es-tacionário será assumido que a d´ıvida do governo é zero, assim os gastos do governo no longo prazo serão financiados apenas pelos impostos sobre consumo e salário.

Tal como foi definido para o choque vt, ser´a assumido que as formas log-lizearizadas

dos instrumentos de pol´ıtica fiscal seguem um processo AR(1), todos com persistˆencia ρ. Portanto:

b

gt=ρbgt−1+εg,t (13)

b

τtc =ρτbtc−1 +ετc,t (14)

b

τ_tn =ρ_bτ_tn−1+ετn,t (15)

onde bgt, bτtc e bτtn s˜ao os desvios percentuais dos instrumentos de pol´ıtica fiscal em

rela¸c˜ao aos seus respectivos n´ıveis de estado estacion´ario.

2.5 Equil´ıbrio

(13)

Yt=Ct+Gt (16)

isto é, o produto da economia é consumido ou pelo governo ou pelo setor privado. Portanto, o equil´ıbrio desta economia constitui-se de uma cole¸cão de processos es-tocásticos:

{Ct, Yt, Nt, Wt, Pt, yt(f), Nt(f), Kt(f), pt(f), it, πt, Bt+1}

tal que para um dado vetor de choques {vt, gt, τtc, τtn}, as fam´ılias e as firmas

solu-cionam os seus problemas, a restri¸cão or¸camentária do governo á satisfeita, a regra de Taylor é atendida, market clear e a restri¸cão de recursos da economia é respeitada.

Para resolver o equil´ıbrio as equa¸cões do modelo são log-linearizadas em torno do estado estacionário não-estocástico. Assim, o sistema de equa¸cões que descrevem esta economia é dado por2_:

• Curva IS:

b

yt =Etbyt+1−bσ

bit−Ebπt+1

−gy(bgt+1−bgt)−cyvEt∆bvt+1+bσ

τc

1 +τcEt∆bτ c

t+1 (17)

• Curva de Phillips:

b

πt=βEtbπt+1+κp

φmcbyt−

gybgt

b

σ −

cy

b

σvbvt+ τn

1−τnbτ n t +

τc

1 +τcbτ c t

(18)

• Pol´ıtica Monet´aria:

bit=max

−¯i, γππbt+γy ybt−ybpott (19)

• D´ıvida do Governo:

bbG,t =

1 β −ϕb

bbG,t+gybgt−cyτc

ˆ

τc t +

b

yt−g_y_bg_t

cy

...

...−snτn

n b

τn

t +φmcbyt−gy_σ_bgbt − cy_b_σvbvt + τ

n

1−τnbτ

n t +

τc

1+τcbτ_tc

o (20)

• Produto potencial:

b

y_tpot = 1

φmcσb

gybgt+cyvbvt−bσ

τn

1−τnbτ

n t −bσ

τc

1 +τcbτ

c t

(21)

• Taxa de juro potencial:

b

rpot_t = _σ1_b_φ1 mcσb −1

[gy(gt+1−gt) +cyv(bvt+1−bvt)]...

...− 1_b_σ_φ1

mcbσ −bσ

τc

1+τc τb_tc₊₁−τb_tc

− _σ1_b_φ1

mc

τn

1−τn bτ

n

t+1−τbtn

(22)

2

(14)

onde _bσ,κp e φmc so parˆametros definidos como:

b

σ=cyσ(1−v)

κp =

(1−ξp) (1−βξp)

ξp

φmc =

χ

1−α + α

1−α +

1 b

σ

3 Calibra¸

c˜

ao

O modelo é calibrado em uma frequência trimestral, em que os valores dos parâmetros refletem uma escolha de acordo com a literatura. O fator de desconto,β, é igual a 0,995 e a infla¸cão no estado estacionário, ¯π, é 0,05 , o que implica em uma taxa de juros no estado estacionário ¯i = 1%, isto é, 4% em taxas anualizadas. Tal como em Erceg and Lindé(2012), será assumido que:

σ = 1, α= 0,3, 1

χ = 0,4, v = 0,01,

onde σ é a elasticidade de substitui¸cão intertemporal , α é a participa¸cão do capital na fun¸cão de produ¸cão , 1

χ é a elasticidade Frisch da oferta de trabalho ev é o parâmetro

que escala o choque de preferˆencia.

No estado estacion´ario temos que a participa¸c˜ao dos gastos do governo no produto,

gy, ´e de 0,2 , o que implica em uma participa¸c˜ao do consumo, cy, de 0,8 , enquanto

o imposto sobre renda do trabalho, ¯τn_{, e a rela¸c˜ao (d´ıvida do governo/PIB),} BG

P Y, s˜ao

respectivamente 25% e 0% , acarretando, assim, em um imposto sobre o consumo, τc, igual a 5,11%.

A probabilidade de uma firma não otimizar o seu pre¸co em um per´ıodo qualquer é dada por ξp = 0,8, ou seja, as firmas intermediárias otimizam os seus pre¸cos em média

uma vez a cada cinco trimestres. O mark-up dos pre¸cos das firmas intermedi´arias, θp, ´e

de 0,1. Os parˆametros γy e γπ da regra de Taylor s˜ao definidos como sendo 0,25 e 1,5

respectivamente.

O parâmetro que dita a evolu¸cão do imposto lump-sum com rela¸cão ao déficit público,

ϕb, ´e igual a 0,01 , ou seja, praticamente toda a varia¸c˜ao das receitas do governo

(15)

4 Resultados

Nesta se¸cão, serão analisados os efeitos dos choques nos gastos do governo e nos impostos sobre o produto e o déficit público em um ambiente no qual a restri¸cão em zero da pol´ıtica monetária está ativa.

Será considerado o seguinte experimento. Inicialmente a economia se encontra no estado estacionário. No per´ıodo t = 1, ocorre um choque negativo nas preferências dos consumidores, ocasionado pela variável vt, o que acarreta em uma queda do produto e

da infla¸c˜ao e a redu¸c˜ao da taxa de juro nominal para zero. Esses efeitos decorrem do fato de um choque negativo emvt diminuir a utilidade marginal do consumo, o que induz

a um corte nos gastos das fam´ılias e a um aumento na poupan¸ca. No entanto, como na economia em questão não há investimentos (o estoque agregado de capital é fixo), a quantidade poupada não pode mudar em equil´ıbrio, logo o juro nominal diminui de forma a fazer com que a taxa de juro real caia e, assim, haja um desest´ımulo à poupan¸ca. Porém, quando o choque negativo nas preferências é muito grande, pode ser o caso da taxa de juro nominal ter que ficar abaixo de zero para equilibrar a economia, como isso não é poss´ıvel, a única maneira de desestimular a poupan¸ca é ocorrendo uma diminui¸cão do PIB. No entanto, o encolhimento do produto acarreta em uma queda da infla¸cão, o que implica em uma eleva¸cão da taxa de juros real, que tem como corolário um novo aumento da poupan¸ca. Logo, para que a economia retorne ao equil´ıbrio a queda necessária no PIB deve ser maior do que a redu¸cão inicial.

Na economia considerada neste artigo, o choque adverso emvtser´a grande o suficiente

para que o limite inferior em zero da taxa de juros seja uma restri¸c˜ao ativa do per´ıodo 1 at´eT. Onde,

T = minnt:bit>−i

o

(23)

Para resolver a simula¸cão do modelo foi utilizado um algoritmo de indu¸cão retroativa, a come¸car pelo último per´ıodo no qual a economia se encontra na armadilha da liquidez, isto é, T, tal como em Bodenstein et al. (2009) e emJung et al. (2005)3_.

Como enfatizado em Erceg and Lindé (2012), os efeitos das pol´ıticas fiscais em um ambiente no qual a restri¸cão sobre a taxa de juros está ativa, dependem primordialmente da percep¸cão dos agentes sobre a dura¸cão da armadilha da liquidez, sendo esta uma fun¸cão dos parâmetros que governam a pol´ıtica monetária, dos choques que fazem com que a restri¸cão seja ativa e da resposta da pol´ıtica fiscal implementada pelo governo.

Na figura 1 são mostrados os efeitos dos diferentes instrumentos de pol´ıtica fiscal sobre a taxa de juros em um economia cuja o choque nas preferências dos consumidores gera uma armadilha da liquidez que dura 8 trimestres. Com base nela, é poss´ıvel observar que um choque positivo nos gastos do governo ou no imposto sobre a renda do trabalho

3

(16)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Trimestres

T

x

.

d

e

Ju

ro

s

An

u

al

iz

ad

a

Taxa de Juros

taxa de juros nominal restrita choque nas preferˆencias choque nos gastos do governo choque no imposto sobre o consumo choque no imposto sobre o sal´ario

Figura 1

deslocam a taxa de juros irrestrita4 _{para a esquerda. J´a um choque positivo no imposto}

sobre o consumo acarreta uma diminui¸cão da taxa de juros, isto é, um deslocamento para a direita. De forma análoga, choques negativos nessas variáveis tem como corolário o efeito inverso. Desta maneira, a depender da magnitude desses choques a dura¸cão da armadilha da liquidez pode ser encurtada ou prolongada.

Os efeitos sobre o número de per´ıodos em que a restri¸cão da taxa de juros está ativa podem ser observados na figura 2. Com base nela, é poss´ıvel notar que um choque que aumenta os gastos do governo faz com que haja um encurtamento na dura¸cão da armadilha da liquidez maior do que o mesmo choque no imposto sobre o consumo, que por sua vez é maior do que o encurtamento causado por esse choque no tributo sobre a renda do trabalho. Desta forma, caso o governo utilize apenas a eleva¸cão do seu dispêndio para combater a armadilha da liquidez, ele terá que dar um choque inicial nessa variável de aproximadamente 9% do PIB. Enquanto que, caso opte por usar uma eleva¸cão da tarifa sobre a renda do trabalho, ou uma redu¸cão do imposto sobre o consumo, os choques iniciais nas arrecada¸cões dessas variáveis devem ser aproximadamente de 27% e 12% do PIB respectivamente.

4

(17)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0

2 4 6 8 10

Diminui¸cão da arrecada¸cão do Imposto sobre o Consumo em rela¸cão ao PIB

D

u

ra

¸c˜a

o Imposto sobre o Consumo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 10

Aumento dos gastos do governo em rela¸c˜ao ao PIB

D

u

ra

¸c˜a

o Gastos do Governo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0 2 4 6 8 10

Aumento da arrecada¸cão do Imposto sobre o Salário em rela¸cão ao PIB

D

u

ra

¸c˜a

o Imposto sobre o Sal´ario

Figura 2

Os impactos desses instrumentos sobre as principais vari´aveis do modelo considerando-se uma economia cuja armadilha da liquidez dura 8 trimestres podem considerando-ser obconsiderando-servados na figura 3.

(18)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 −4

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5

Trimestres

T

x

.

d

e

Ju

ro

s

An

u

al

iz

ad

a

Juros

choque nas preferˆencias choque nos gastos do governo choque no imposto sobre o consumo choque no imposto sobre o sal´ario

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−20 −15 −10 −5 0

Trimestres

D

es

v

io

em

re

la

¸c˜a

o

ao

s.

PIB

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

10 20 30 40

Trimestres

D

´efi

ci

t/

P

IB

D´eficit

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−30 −20 −10 0

Trimestres

In

fl

a¸c

˜ao

An

u

al

iz

ad

a

Infla¸c˜ao

(19)

Porém, tal com demonstrado em Erceg and Lindé (2012) para os gastos do governo, os efeitos marginais dos instrumentos de pol´ıtica fiscal sobre o produto e o déficit público dependem da dura¸cão da armadilha da liquidez.

Como pode ser visto na figura 45_{, o multiplicador dos gastos do governo,}1 gy

dybt

dbgt, é de-crescente no dispêndio público. Isso ocorre, pois quanto maior os gastos, menos per´ıodos a taxa de juros se encontra com a restri¸cão ativa e, como fora da armadilha da liqui-dez o multiplicador é menor, em virtude da possibilidade de eleva¸cão da taxa de juros pela autoridade monetária, o multiplicador decresce com o aumento dos gastos. Desta forma, em consequência do menor crescimento da base dos impostos, o efeito marginal do dispêndio do governo sobre o déficit público,_g1_ydbbG,t

dbgt , se torna menor à medida que os gastos se elevam, até que em um determinado ponto, o crescimento das receitas do governo não são suficientes para compensar a eleva¸cão do dispêndio, de tal forma a fazer com que um aumento marginal dos gastos amplie o déficit público.

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

M u lt ip li ca d or d os ga st os d o go ve rn o

Gastos do Governo vs. Multiplicador

1

gy

dyb dbg

1

gy ∆_by

∆_bg

0 2 4 6 8 10

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Im p ac to m ar gi n al so b re o D ´efic it /P IB

Gastos do Gov. vs. D´eficit/PIB marginal

1

gy

dbbG

dbg

1

gy ∆bbG

∆g_b

Figura 4

Com o imposto sobre a renda do trabalho ocorre uma dinâmica semelhante. Inicial-mente, com uma armadilha da liquidez de longa dura¸cão, um penqueno choque que amplie esse imposto possui um efeito marginal elevado sobre a infla¸cão, o que resulta em uma

5

Onde _g1

y ∆y_b

∆_bg e

1

gy ∆bbG

(20)

diminui¸cão da taxa de juros real e tem como corolário um aumento do produto de modo a mais do que compensar o efeito adverso do imposto sobre o PIB. Logo, o multiplicador do imposto sobre o salário, 1

sNτn

dbyt

dbτn t

6_{, ´e positivo e com isso o seu impacto marginal sobre}

a d´ıvida p´ublica, _s 1 Nτn

dbbG,t

dbτn

t , ´e bastante negativo, tal como pode ser notado na figura 5

7_.

No entanto, com a eleva¸cão da magnitude do imposto, a dura¸cão da armadilha diminui e como fora dela o efeito do imposto sobre a infla¸cão é menor, à medida que se aumenta a carga do imposto, menor é a redu¸cão da taxa de juros real e, consequentemente, o efeito marginal sobre o PIB também diminui, até que em um determinado momento o impacto negativo da eleva¸cão do tributo sobre o salário sobrepõe o efeito positivo decorrente da diminui¸cão da taxa de juros real. Logo, a partir deste ponto o impacto marginal sobre o produto de um aumento da taxa¸cão da renda do trabalho se torna negativo. E, em virtude dessa dinâmica, a consequência de uma eleva¸cão marginal desse imposto sobre o déficit público se torna cada vez menos negativa à medida em que a magnitude do tributo aumenta.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

M u lt ip li ca d or d o Im p os to

Imposto sobre o sal´ario vs. Multiplicador

1

sNτn

d_by d_bτn 1

sNτn ∆y_b

∆τ_bn

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

D efi ci t/ P IB m ar gi n al

Imposto sobre o sal´ario vs. Deficit/PIB marginal

1

sNτn

dbbG

dbτn 1

sNτn ∆bbG ∆τ_bn

Figura 5

6

sN = W N_{P Y} ,i.e., a renda do trabalho como propor¸c˜ao do PIB no estado estacion´ario.

7

Onde 1

sNτn ∆_by

∆_bτn e 1

sNτn ∆bbG

∆_bτn representam os impactos médios sobre o produto e o déficit público,

(21)

Com rela¸cão ao imposto sobre a consumo, ao contrário do que ocorre com os demais instrumentos, é a sua diminui¸cão que encurta a armadilha da liquidez. Isso ocorre, pois ao reduzir temporariamente essa tarifa, o governo incentiva a demanda das fam´ılias pelo bem final, o que eleva o produto e aumenta a infla¸cão. Como a taxa de juros nominal está fixa em zero, a taxa de juros real diminui, o que incentiva ainda mais o consumo e, consequentemente, uma nova eleva¸cão do PIB. Com isso, apesar da redu¸cão do imposto, o impacto marginal sobre a d´ıvida pública,−_c1

yτc

dbbG,t

dτbc

t , é negativo. No entanto, à medida que a magnitude da diminui¸cão da tarifa se torna maior, a dura¸cão da armadilha da liquidez se encurta. E, como o multiplicador do produto advindo de uma redu¸cão do imposto sobre o consumo, −_c_y1_τc

dbyt

dbτc

t , é menor fora da armadilha da liquidez, temos que o efeito da redu¸cão do imposto sobre o PIB, assim como o seu impacto negativo sobre o déficit público, também se torna menor, como pode ser observado na figura 68_.

0 3 6 9 12 15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

M u lt ip li ca d or d o Im p os to

Imposto sobre o consumo vs. Multiplicador

−

_c_y1_τc dby

d_bτc

−

_c_y1_τc ∆by ∆τ_bc

0 3 6 9 12 15

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

D efi ci t/ P IB m ar gi n al

Imposto sobre o consumo vs. Deficit/PIB marginal

−

_c1

yτc

dbbG

dτbc

−

_c_y1_τc∆

bbG ∆_bτc

Figura 6

Assim, vale observar que, diferentemente do que ocorre fora da armadilha da liquidez, quando a taxa de juros est´a fixa em zero, o uso de um instrumento pode acarretar n˜ao

8

Onde − 1

cyτc ∆y_b

∆τ_bc e − 1

cyτc ∆bbG

∆_bτc representam respectivamente os efeitos m´edios sobre o produto e o

(22)

somente em menores multiplicadores marginais sobre o produto e o déficit público do próprio, como também das demais pol´ıticas fiscais, pois ao encurtar o número de per´ıodos em que a taxa de juros é igual a zero os efeitos marginais de todos os instrumentos diminuem. Deste modo, um estudo que não considera esses efeitos entre os instrumento pode levar a escolhas ineficientes. Além disso, como pôde ser observado na figura 2, para uma dada propor¸cão do PIB utilizada pelos diferentes instrumentos individualmente, temos dura¸cões da armadilha da liquidez distintas, portanto, se faz importante não só comparar os diferentes efeitos marginais para cada extensão da armadilha da liquidez, como também a magnitude dos choques que cada dura¸cão suporta.

Logo, para entender o efeito total de um choque nos instrumentos de pol´ıtica fiscal sobre o produto e o déficit público, é preciso analisar o “multiplicador médio”, isto é, a varia¸cão média sobre essas variáveis causadas pelos choques nos instrumentos. Com base na figura 7, é poss´ıvel notar que o aumento do imposto sobre a renda do trabalho apre-senta multiplicadores marginais significativamente menores que os demais instrumentos e, em virtude disso, o multiplicador médio dessa tarifa, _s 1

Nτn

∆byt

∆bτn

t , é o de menor efeito médio sobre o PIB. Já o aumento dos gastos públicos, apesar de apresentar multiplica-dores marginais sobre o produto um pouco maiores do que a redu¸cão do tributo sobre o consumo, possui um multiplicador médio,_g1_y∆byt

∆bgt, menor do que o da diminui¸c˜ao desse imposto ,−_c_y1_τc

∆byt

∆bτc

t. Isso ocorre, pois a eleva¸cão do dispêndio público causa um encurta-mento maior na dura¸cão da armadilha da liquidez e, com isso, os seus multiplicadores decrescem mais rápido. Assim, caso o governo tenha como único objetivo aumentar o produto desta economia, a pol´ıtica ótima para tal é a redu¸cão do imposto sobre o con-sumo. No entanto, caso o objetivo seja diminuir a d´ıvida pública, a sua melhor estratégia é aumentar os impostos sobre o salário, dado que o impacto médio desse instrumento sobre o déficit público,_s 1

Nτn

∆bbG,t

∆bτn

t , é o menor entre as três pol´ıticas analisadas. Além disso, com base na figura 7, é poss´ıvel observar que a redu¸cão do imposto sobre o consumo possui um menor impacto médio sobre o déficit público,−_c_y1_τc

∆bbG,t

∆τbc

t , do que a eleva¸c˜ao dos gastos do governo,_g1

y

∆bbG,t

(23)

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 −1 0 1 2 3 4

Magnitude do choque em rela¸c˜ao ao PIB

M u lt ip li ca d or so b re o p ro d u to

Multiplicador Marginal sobre o Produto

Aumento de g Diminui¸c˜ao de τc

Aumento deτn

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

M u lt ip li ca d or so b re o p ro d u to

Multiplicador M´edio sobre o Produto

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Im p ac to so b re o d ´efi ci t

Impacto M´edio sobre o D´eficit

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Im p ac to so b re o d ´efi ci t

Impacto Marginal sobre o D´eficit

Figura 7

5 Conclus˜

ao

Neste trabalho foi estudado como diferentes instrumentos de pol´ıtica fiscal em um modelo DSGE novo-keynesiano simples afetam o PIB e o déficit público em uma economia na qual a a taxa de juros está restrita em zero por um número endógeno de per´ıodos.

(24)

tamanho dos choques dados, podendo inclusive vir apresentar sinais opostos em alguns casos. Em virtude disso, a melhor forma de se avaliar o impacto desses instrumentos é observando o multiplicador médio. Com base nele conclu´ımos que caso o governo tenha como objetivo apenas aumentar o produto, a melhor forma de se fazê-lo é por meio da redu¸cão do imposto sobre o consumo, porém, caso a meta seja diminuir o seu endividamento, o melhor instrumento para tal é a eleva¸cão da tarifa sobre a renda do trabalho. Além disso, por meio do multiplicador médio pôde ser conclu´ıdo que, para a economia em questão, a redu¸cão da tarifa sobre o consumo é um melhor instrumento de pol´ıtica fiscal em compara¸cão com o aumento dos gastos público quando o governo tem como metas aumentar o PIB e diminuir o déficit público e, desta forma, qualquer pol´ıtica que tenha como objetivo esses fatores, deve usar apenas a redu¸cão dessa tarifa e o aumento do imposto sobre a renda do trabalho para atingi-lo, não usando, assim, a eleva¸cão dos dispêndio público.

No entanto, vale destacar que, caso o governo possua outros objetivos, o uso da eleva¸cão dos gastos públicos não deve ser necessariamente desconsiderado. Deste modo, esse resultado deve ser usado com a devida ressalva.

(25)

Referˆ

encias

Bodenstein, M., C. Erceg, and L. Guerrieri (2009). The effects of foreign shocks when interest rates are at zero. International Finance Discussion Papers 983, Board of

Governors of the Federal Reserve System. 13

Christiano, L., M. Eichenbaum, and S. Rebelo (2011). When is the government spending multiplier large? Journal of Political Economy 119(1). 5,22

Christiano, L. J., M. Eichenbaum, and C. L. Evans (2005). Nominal rigidities and the dynamic effects of a shock to monetary policy. Journal of political Economy 113(1), 1–45. 22

Denes, M., G. B. Eggertsson, and S. Gilbukh (2013). Deficits, public debt dynamics and tax and spending multipliers. The Economic Journal 123(566), 133–163. 5, 6,9

Eggertsson, G. B. and M. Woodford (2003). Zero bound on interest rates and optimal monetary policy. Brookings Papers on Economic Activity 2003(1), 139–233. 7

Erceg, C. and J. Lind´e (2012). Is there a fiscal free lunch in a liquidity trap? Internatio-nal Finance Discussion Papers No. 1003r. Board of Governors of the Federal Reserve

System.. 5, 6,7, 12, 13, 17

(26)

Apˆ

endice A - Resolu¸

c˜

ao do Modelo

Este apêndice expõe de modo mais detalhado como são encontradas as equa¸cões que descrevem o equil´ıbrio do modelo utilizado neste artigo.

Fam´ılias

Como mencionado na Se¸c˜ao 2 o problema do consumidor representativo ´e:

max

{Ct,Nt,BG,t}

∞ t=0 Et ∞ X t=0 βt 1

1− _σ1 (Ct−Cvt) 1−1

σ − N

1+χ t

1 +χ +µ0F

M Bt+1

Pt

s.a.

Pt(1 +τtc)Ct+BG,t+M Bt+1 = (1−τtn)WtNt+M Bt+ (1 +it−1)BG,t−1 + Γt−Tt

A fun¸c˜ao de Lagrange associada a este problema ´e dada por :

L=Et

∞ X t=0 βt        1 1−1

σ

(Ct−Cvt)1

−1 σ −N

1+χ t

1+χ +µ0F

M Bt+1

Pt

+λt

"

(1−τn

t)WtNt+M Bt+ (1 +it−1)BG,t−1 +Γt−Tt−Pt(1 +τtc)Ct−BG,t−M Bt+1

#        (24)

onde λté o multiplicador de Lagrange associado a restri¸cão or¸camentária.

As condi¸c˜oes de primeira ordem de Ct, Ct+1, Nt e BG,t s˜ao respectivamente:

(Ct−Cvt) −1

σ = Λ

t(1 +τtc), (25)

onde Λt =λtPt .

(Ct+1−Cvt+1) −1

σ = Λ

t 1 +τtc+1

, (26)

N_tχ = Λt

Pt

(1−τ_tn)Wt, (27)

e

Et

βΛt+1

(1 +it)

(1 +πt)

= Λt (28)

Substituindo as equa¸c˜oes (25) e (26) em (28) obtemos a equa¸c˜ao de Euler para o consumo:

(Ct−Cvt) −1

σ (1 +τc

t)

=βEt

"

(1 +it)

(1 +πt)

(Ct+1−Cvt+1) −1

σ

1 +τc t+1

#

(27)

Substituindo (25) em (27) encontramos a equa¸c˜a da oferta de trabalho:

Ntχ

(Ct−Cvt) −1

σ

= (1−τ

n t)

(1 +τc t)

Wt

Pt

(30)

Firmas produtoras do bem final:

Como descrito na se¸c˜ao 2, o problema das firmas produtoras do bem final pode ser escrito como:

min

Z 1

0

yt(f)pt(f)df (31)

s.a.

Z 1

0

yt(f)

1 1+θp _df

1+θp

>Yt (32)

Onde a fun¸c˜ao de Lagrange associada a este problema ´e:

L =−

Z 1

0

yt(f)pt(f)df+µt

Z 1

0

yt(f)

1 1+_θp _df

−Yt

(33)

A condi¸c˜ao de primeira ordem ´e dada por:

∂L ∂yt(f)

=−pt(f) +µt(1 +θp)

Z 1

0

yt(f)

1 1+_θp _df

θp

1 1 +θp

yt(f)

1

1+_θp−1 _{= 0} ₍₃₄₎

⇒yt(f) =

pt(f)

µt

−

1+_θp

θp

Yt (35)

Substituindo (35) na equa¸c˜ao (3), temos:

Yt=

   Z 1 0 

pt(f)

µt

−1+θp

θp Yt   1 1+θp df   

1+θp

(36)

⇒µt=

Z 1

0

pt(f)

−1 θp _df

−θ_p

. (37)

Definindo, hR₀1pt(f)

−1 θp _df

i

≡ Pt , (4), temos que µt = Pt. Logo, substituindo essa

rela¸cão em (35), temos que a demanda pelo bem intermediário é dada por:

yt(f) =

pt(f)

Pt

−1+θp

θp

(28)

Firmas produtoras dos bens intermedi´

arios

Apesar do estoque agregado de capital ser fixo, as firmas podem alocar parcelas do do estoque livremente, desta forma temos que essas firmas possuem custos marginais idˆenticos e iguais a:

M Ct =

Wt

(1−α)N−α

t K

α. (39)

Dada a fun¸cão de demanda pelos bens intermediários e a equa¸cão do ajustamento de pre¸cos para as firmas as quais não é permitido a otimiza¸cão, como descrito na se¸cão 2, o problema das firmas que otimizam o seu pre¸co pt(f) é:

max

pt(f)

Et

∞ X

j=0

ξ_pjψt,t+j

h

(1 +π)jpt(f)−M Ct+j

i

yt+j(f)

s.a.           

M Ct+j =

Wt+j

(1−_α)_Kα_N1−α t+j

yt+j(f) =

pt(f)

Pt+j

−1+θp

θp

Yt+j

ψt,t+j =βjEtλ_λt+j

t

,

Da condi¸c˜ao de primeira ordem deste problema obtemos que:

Et

∞ X

j=0

(βξp) j

λt+jyt+j(f)

" 1 1 +θp

(1 +π)j

Qj

i=1(1 +πt+i)

p∗

t(f)

Pt

− M Ct+j Pt+j

#

= 0, (40)

onde p∗

t(f) ´e o pre¸co otimizado.

Dado que todas as firmas se deparam com os memos custos de capital e trabalho, temos que os pre¸cos otimizados ser˜ao os mesmos entre elas, i.e.,p∗

t(f) =p

∗

t,∀f ∈(0,1).

Das equa¸c˜oes (4), hR₀1pt(f)

−1 θp _df

i

≡ Pt , e (7), ˜Pt = (1 +π)Pt−1, temos que a equa¸c˜ao do pre¸co do bem final ´e dada por:

Pt=

h

(1−ξp)p

∗

t +ξp((1 +π)Pt−1)

−1

θp

iθp

. (41)

Rearranjando essa equa¸c˜ao, encontramos:

1 = (1−ξp)

p∗ t Pt −1 θp +ξp

(1 +π) 1 +πt

−1

θp

(42)

Governo:

A restri¸cão or¸camentária do governo é dada por:

BG,t = (1 +it−1)BG,t−1+PtGt−τ

c

(29)

Dividindo essa equa¸c˜ao por PtY e definindo bG,t ≡ BG,t

PtY eτ ≡

Tt

PtY , obtemos:

bG,t =

(1 +it−1) (1 +πt)

bG,t−1+

Gt

Y −τ

c t

Ct

Y −τ

n t

WtNt

PtY

−τt−

(M Bt+1−M Bt)

PtY

(43)

Restri¸

c˜

ao de recursos da economia:

Como mencionado na se¸cão 2, a restri¸cão de recursos da economia é:

Yt =Ct+Gt,(16),

onde Yt=N1

−_α

t K α

,(6).

Aproxima¸

c˜

ao log-linear do modelo:

Exceto para os casos da d´ıvida pública e do imposto lump-sum, nos quais as log-lineariza¸cões em torno do estado estacionário são dadas por dZt, as demais log-lineariza¸cões são

defi-nidas como:

b

zt=

dZt

Z ,

ondeZ é o estado estacionário da variávelZ. Além disso, para a taxa de juros e a infla¸cão, em virtude dessas variáveis serem pequenas, foi usado a aproxima¸cão log(1 +Zt)≈Zt .

Desse modo, temos que as equa¸c˜oes: (29), (30), (39),(40), (42), (43), (16) e (6), em suas formas log-linearizadas podem ser escritas como:

b

ct

σ(1−v) =Et b

ct+1

σ(1−v)−

bit−Etπbt+1

− v

σ(1−v)Et∆bvt+1+

τc

1 +τcEt∆bτ c

t+1; (44)

b

wt =χnbt+

(_bct−vbvt)

σ(1−v) +

τn

1−τnbτ n t +

τc

1 +τcτb c

t, (45)

onde wb´e o sal´ario real;

c

mct =wbt−ybt+bnt, (46)

onde mc_c ´e a log-lineariza¸c˜ao do custo marginal real;

b

pt−βξpEtpbt+1 =Et[(1−βξp)mcct+βξpbπt+1] ; (47)

b

pt=

ξp

1−ξpb

(30)

1

βbbG,t−1+gygbt=bbG,t+ϕbbbG,t−1+cyτ

c

(τb_tc+bct)+snτn(bτtn+wbt+bnt)+mby

Etmbct+1−mbct

,

(49) por hip´otese ser´a assumido que o termo mby = 0;

b

yt =cybct+gybgt;e, (50)

b

yt= (1−α)bnt. (51)

Escrevendo esse sistema em fun¸c˜oes de ybt, bπt,bit,bbG,t e dos choques nos instrumentos

de pol´ıtica fiscal, temos exatamente as equa¸cões que descrevem a economia sob pre¸cos r´ıgidos encontradas na se¸cão 2. Enquanto que o sistema análogo que descreve a economia sob pre¸cos flex´ıveis é dado por:

b

cpott

σ(1−v) =Et b

cpot_t₊₁

σ(1−v) − br

pot t

− v

σ(1−v)Et∆bvt+1+

τc

1 +τcEt∆τb c

t+1; (52)

b

wpott =χbn pot t +

b

cpot_t −v_bvt

σ(1−v) +

τn

1−τnτb n t +

τc

1 +τcbτ c

t; (53)

b

w_tpot−by_tpot+nbpot_t = 0; (54)

b

y_tpot =cybctpot+gybgt;e, (55)

b

ypot_t = (1−α)_bnpot_t . (56)

Escrevendo esse sistema em fun¸c˜ao de _bytpot ebr pot

t encontramos as equa¸c˜oes do produto

potencial e da taxa de juros potencial descritas na se¸c˜ao 2.

Apˆ

endice B - Algoritmo

Este apêndice descreve o algoritmo utilizado para calcular o equil´ıbrio deste artigo. As-sumindo que os choques nas preferências dos consumidores geram uma armadilha da liquidez do per´ıodo 1 aoT, seja o sistema linear que representa as condi¸cões de equil´ıbrio dessa economia para t≥T + 1 dado por:

(31)

onde s é um vetor N ×1 contendo as N variáveis do modelo, e ε é um vetor M ×1 contendo os choques. A, B e C são matrizes N ×N eD é uma matrizN ×M.

Para 1 ≤t≤T, as condi¸c˜oes de equil´ıbrio s˜ao representadas por:

AEtst+1+B

∗

st+Cst−1+Dεt+d= 0,

onde B∗é uma matriz N ×N e d é um vetor N ×1.Além disso, dado que os choques ocorrem apenas no periodo t=1, εt= 0,∀t >1.

As matrizes B e B∗diferem em apenas umas das suas entradas. Sem perda de gene-ralidade, suponha que a n-ésima linha de cada uma dessas duas matrizes representam a rela¸cão entre a taxa de juros nominal e a infla¸cão e o produto, assim:

Bst=

"

. .. ... ... ...

· · · −γy −γπ 1

#      

... b

yt−ybtpot

b

πt

bit

    

eB

∗

st =

"

. .. ... ... ...

· · · 0 0 1 #

     

... b

yt−bytpot

b

πt

bit

    

.

Enquanto que o vetordé zero em todas as entradas menos na n-ésima linha, onde esse é igual a i. Dessa maneira, para t≥T + 1 ,bit =γπbπt+γy byt−bytpot

e, para 1≤t ≤T ,

bi=−i.

Para calcular a dinˆamica do modelo fora da armadilha da liquidez foi usado o algoritmo AIM (ver Anderson e Moore, 1985), o qual resulta na seguinte solu¸c˜ao em sua forma reduzida:

st=P st−1+Qεt

Equanto que para 1 ≤ t ≤ T , a solu¸cão é derivada utilizando-se o seguinte método de indu¸cão retroativa: no último per´ıodo no qual a economia se encontra na armadilha da liquidez as variáveis endógenas são computadas usando-se o fato de que s_T₊₁ =P s_T,

isto ´e, para t=T,

s_T =−AP +B∗

−1

Cs_T−1−

AP +B∗

−1

d

s_T =G(1)s_T−1+h

(1)_. ₍₅₇₎

para 2≤t < T,

st=Ast+1+Cst−1+d, (58)

(32)

s1 =As2+Cs0+d+Dε1, (59)

onde X =−B∗

−1

X.

Combinando (57),(58) e (59) temos:

st=G(T

−t+1)

st−1+h(

T−t+1)

, para2≤t ≤T ,

s1 =G(T)s0+h(T) +

I−AG(T−1) −1

Dε1,

onde G(T−t) e

h(T−t)s˜ao gerados recursivamentes da seguinte forma:

G(T−t+1) =

I −AG(T−t) −1

C,

h(T−t+1) =

I−AG(T−t) −1

Ah(T−t) +

d.

onde,

G(1) =−AP +B∗

−1

C,

h(1) =−AP +B∗

−1

d.

Dado s0 =−→0 , temos que:

s1 =

I−AG(T−1) −1

Dε1+h(T),

E, para 2 ≤t≤T ,

st= t−1 Y

i=1

G(T−i) !

s1+ t−1 X

j=1 t−1 Y

i=1

G(T−i) !

h(T−j)

,

onde Qt−1

i=1G( T−_i) =