Um sistema automático para geração de malhas adaptativas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓSfGRÀDUAÇÃO EH ENGENHARIA ELETRICA

(¬

UK SISTEMA AUTOMÁTICO PARA GERAÇÃO DE HALHAS ADÀPTÀTIVÀS

DISSERTÀÇÃO SUBMETIDÀ À UNIVERSIDÀDE'FEDERÀL DE SANTA CÀTÀRINÀ PARA À

OBTENCÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA ELETRICA -

MARCELO GRAFULHÀ VÀNTI

\

Un Sistena Automático para Geração de Malhas Àdaptativas

Marcelo Grafulha Vanti

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do titulo de Mestre em Engenharia. especialidade Engenharia

Elétrica. e aprovada na sua forma _final pelo curso de pós-

graduação em Engenharia Elétrica.

I /

Prof. João Pedro Assumpção Bastos

Orientador

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Prof. João Pedro Àssumpção Bastos

Coordenador do Curso de Pós-graduação em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora :

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Prof. _{Carlos Àlber de} pos Selke. Ph.D.

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Prof. Renato Carlson. Doutor

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Ao professor Joao Pedro Àssumpçao Bastos pela orientação deste trabalho;

À minha Família;

A Márcia;

Ao Professor Adroaldo Raizer por sua ajuda e incentivo;

Aos amigos;

... Ill

\

Resumo

Neste trabalho são descritos o estudo e a implementação de um sistema automático para geração de malhas adaptativas versão h.

A análise dos valores de campo pode ser utilizada como um meio eficaz para estimativa de erros no método de elementos finitos. e neste trabalho très estimadores de erros baseados em valores de campo são apresentados e discutidos. Em um dos critério propõe-se que a quantificação da descontinuidade do campos nos contornos interelsmentos seja utilizada como medida do erro. En seguida. são analisados os aspectos computacionais da implementação do sistema descrito.

Finalmente, são apresentado alguns resultado obtido e. uma analise

/

IV

Abstract

In this work. the study and implementation of an automatic system to

adaptive mesh generation(h-version) is reported.

The field quantities analysis can be used as a efioient method for error estimation and three error estimators based in fields values are presented. In one of the estimators, the proposed error measure is the quantifying of the field disoontinuity at the edges of the elements. Àftervords, the computational aspects of the system implementation is

analysed.

Finally, some results obtained are presented. and the oonparative analysis among the estimators is performed. .

Indice

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1

Capitulo I Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3

1.1 1.2 1 1 1 1.3 1 1 1 1 1.4 Capitulo 2.1 2.2 2.3 2 2 canpos. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3 Equações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3 2. 2. 2. À formulação variacional para um prob. magnetostático . . . ..7

3. 3. 3. 3. À precisão da solução aproximada(&) . . . . . . . . . . ..15

1 Condições de contorno nos limites dos materiais . . . . . . . ..S 2 O potencial escalar na solução de prob. magnetostáticos.5 3 0 potencial vetor na solução de prob. magnetostáticos...6

1 0 problema a ser resolvido . . . . . . ..7

2 A formulação variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..10

3 0 método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

4 O método dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

II - Estimativas de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..18

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..18

Processos auto-adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . ..20

Critérios para estimação 'a _{psteriori' de erros} . . . . . . . . . ..20

3.1 Critérios baseados em formulações complenentares . . . . . ..21

3.2 Critérios baseados na regularidade da solucão ou dos ....~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25

2 3.2 a) Critério baseado nas descontinuidades dos canpos..26

2.3.2.b) Critério dos teoremas de Ampére e Green locais....28

2.3.2.c) Critério da perturbação dos campos . . . . . . . . . . . . . . ..30

Capitulo III - Estratégias de refinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..32

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..32

Geração automática de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..32

À geometria dos elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..33

Os elementos a serem refinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..35

Refino da malha . . . . . .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..37

Condições de contornoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..38

Estruturas de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..39

Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..39

Capitulo IV - Resultados e comparações entre os critérios de erros42 ¡.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .._ . . . . . . . . .; . . . ..42

4.2 Eletroinã de um contactar

" S

4.3 Inas prmanentes . . . . . . . ._

Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referências bibliográficas . . . . ..

Introdução

Atualmente, a análise de dispositivo eletromagnético como máquinas elétricas. transformadores, contactores, etc. é viável. com alto grau de precisão. graças ao suporte de pacotes computacionais especializados.

Antes disso. ou seja, da disponibilidade destes programas, o comportamentc› desses dispositivos e dos campos circundantes. os quais obedecem as equações de Maxwell, era calculado através de técnicas que envolvem elaborados recursos e conceitos matemáticos, tais como expansão em série, separação de variáveis, polinômios de Legendre, funções« de Bessel. etc. Desta forma, a análise de .dispositivos com estruturas complexas tornava-se extremamente complicada e laboriosa. necessitando-se muitas vezes de considerações fortemente simplificadoras que fizessem com que a resolução de certo problemas fosse viável, embora simultaneamente empobrecessem exageradamente a qualidade da solução.

Após o advento dos computadores digitais. várias técnicas númericas foram aplicadas a problemas de mapeamento de camps, como por exemplo o conhecido método das diferenças finitas.

Na década de 70, o método dos elementos finitos. que vinha sendo utilizado em problemas de engenharia mecânica já ha muitos anos. começou a ser aplicado também a problemas eletromagnéticos. permitindo que estruturas geometricamente mais .complexas pudessem ser analisadas.

0 método de elementos finitos é uma técnica geral para solução de problemas de equações diferenciais com valores de contorno. 0 seu princípio basico consiste na discretização do domínio de estudo em um certo número de regiões elementares chamadas de elementos finitos. caracterizadcs por pontos definidos em seus vértices e/ou fronteiras. chamados de nós. A coleção de no é conhecida como malha de elementos finitos. A equação diferencial é então aproximada dentro de cada elemento como uma combinação, geralmente linear ou quadratica. das variaveis da equação. definidas em cada nó.

A utilização deste método tornou possivel a construção de poderosas ferramentas de cálculo e projeto de dispositivos através de computadores. e seu raio de ação estende-se atualmente a problemas bi e tri- dimensionais, lineares e não lineares. etc.

Entretanto, a solução obtida por este método é apenas uma aproximação da solução real. e a precisão da solução calculada pode, variar

2

consideravelmente en uma mesma estrutura. Por isso. o conhecimento de 'quanto' a solução calculada afasta-se da solução exata 6 geralmente um parâmetro realmente muito importante. Nos último anos. muito trabalhos foram desenvolvidos nos campos de avaliação e redução de erros na solução obtida com a técnica de elementos finitos. É muito conhecido o fato segundo o qual bons resultados são atingidos neste sentido, aumentando-se o número de nos ou elementos da malha. Sabe-se tambem. que ao refinar-se a malha apenas nas regiões em que o erro é importante obtem-se melhores taxas de convergência do que refinando-se a malha uniformemente. Assim. frequentemente, o usuário de um sistema computacional de calculo de campos defronta-se com a dificuldade em determinar o grau de exatidão da solução obtida no que tange à escolha da malha de elementos finitos. bem como otimiza-la nas regiões corretas efetuando sucessivas tentativas.

O objetivo deste trabalho é apresentar um sistema automatico capaz de localizar regiões nas quais ca erro na solução calculada é critico. e otimizar a malha iterativamente, melhorando a qualidade da solução de maneira que seja desnecessária qualquer intervenção externa do usuário. Um sistema deste tipo é conhecido por sistema gerador de malhas adaptativas, ou sistema auto-adaptativo.

No capítulo I são abordados alguns conceitos fundamentais sobre

eletronagnetisno, e também sobre a solução de problemas estáticos pelo método de elementos finito. No capitulo II são analisadas as técnicas empregadas para cálculo de erros na solução ao longo do dominio de estudo. No capitulo III são apresentadas as estratégias de refinamento de malha utilizadas. ben como as técnicas informáticas necessarias. Finalmente. no capitulo IV são apresentados e discutido alguns resultados da aplicação do sistema gerador de malhas adaptativas a casos estáticos.

1.1

preensão da natureza do erro no método de elementos finitos.

gnetismo. Em seguida, estuda-se a formulação variacional para um problema

a ser resolvido,o método de elementos finitos e a çmecisão da solução Capítulo I - Conceitos Básicos

~.

Neste capítulo são

abrdados

os conceitos básicos para a com- Inicia1mente,são revisadas as equações fundamentais do eletroma-

obtida por este métdo.

1.2

Em~

As equações fundamentais do eletromagnetismo são as equações Maxwell: Rot E + SB/õt = O Rot H - SD/Gt = _J Div _B I _O Div D I _P onde E _ B _ 3 _ D _ J _ P _

relações constitutivas,as quais dependem dos meios onde existe o campo vetor campo elétrico

vetor indução magnética vetor canpo magnético vetor indução elétrica

vetor densidade superficial de corrente densidade volumétrica de carga elétrica

À estas equações são acrescidas relações adicionais.denoninadas

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

3.

J = _I

onde

|;z|n + B1» ‹1.e›

|8| - tensor permissividade elétrica do meio Ipl - tensor permeabilidade magnética do meio IOI - tensor condutividade elétrica do meio

Br - indução magnética remanente

A indução magnética remanente é acrescentada para que sejam t1a~ tados imãs permanentes. caso estes existam no domínio.

Considerando-se que os meios sao isotrópicos,os tensores av ISI. _p

IOI são reduzidos aos escalares €,fl e, 0.

o|E (1.7)

Desta maneira, as relações (1.5), (1.6) e (1.7) tornam-se:

D = _{SE (1.8)}

B=¡m+Br

(1.9›

J-=aE

Neste estudo estamos interessados em fenômenos eletromagnéticos estáticos,ou seja, fenômeno onde não existe (ou é desprezível) variação

temporal das grandezas envolvidas.

Assin,podemos modificar as equaçoes (1.1) e (1.2) e reescrever o conjunto das equações de Maxwell da seguinte forma(Basto 1989 Silvester. 1968): Rot Rot Div Div E = O 5 . 3 = D . (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14)

S

1.2.1~

_{Nas fronteiras entre dois meios com características constitutivas}

diferentes verificam-se as seguintes condições de contorno (Bastos. 19B9;Silvester. 1968), admitindo-se como hipótese que não existem cargas elétricas ou correntes superficiais nos limites entre os meios 1 e 2:

D¡.n = _{D2.n (1.15)}

E1 x n = E2 x n (1 16)

Brn

=

Brn

_{(1 17)}

HI x n = B2 x n (1.18)

onde

n - vetor normal á superfície entre os dois meios f

. - produto escalar

x - produto vetorial

1 e 2 - representam dois meios adjacentes

As equações (1 15) e (1.17) estabelecem que a componente normal das induções magnética e elétrica são contínuas na interface entre dois meios diferentes.às equações (1.16) e (1.18) estabelecem que a componente tangencial dos campos elétrico e magnético são contínuas na

interfam

entre dois meios diferentes.

Quanto as condições de contorno aplicadas ao limites, são consideradas neste trabalho as condições de contorno de Dirichlet.onde o valor do potencial é especificado e as condições de contorno de Neumann(Bastos,19B9).

1.2.2

es-6

tudo,podemo definir uma função potencial escalar magnético ¢.do qual 6 obtido o campo H.

Ba - Grad ¢ (l.19)

~

Esta relaçao tem sua validade verificada substituindo¬a em (1.12) com J igualado a zero.

De (1 13) e com as relação (1.9) e (1.19) tem-se:

mv

B = o

nim.-3 + Bm) = o

nà‹.'(-,~z<;zaâ 4» + Bz›=n

n1z‹(_ficzzzó zp) = Div Br (1.2o)

que é a equação de Poisson para o campo magnético ou. com Br = O temos a equação da Laplace para o campo magnético.

1.2.3

Para abordar um problema no qual existem correntes no dominio de estudo.utilizamos a função potencial vetor À.tal que:

B I _{Rot A (1 21)}

cuja validade é verificada substituindo-se (1 21) em (1.13).

av

Agora. substituindo (1.2l) em (1.12). com a relaçao constitutiva

(1.9) e fazendo Br = ₀

RotyB-J

7

onde ₇ 6 a relutividade magnética, tal que:

1-1/fl

A equação (1 22) é a equação de Poisson relativa ao potencial vetor magnético.

1.3 .

O objetivo nesta seção é estabelecer uma formulação fraca para o problema (1.20). a qual pode ser enunciada como segue: Ache-se uma função ¢ tal que a equação diferencial (1 20) com apropriadas condições de contorno seja satisfeita em um sentido de 'médias ponderadas'. Ja a formulação variacional de (1.20) representa a caracterização de uma função ¢ que minimiza um certo funcional energético para o problema.

Entretanto, considerando-se que os operadores envolvido em (1.20)

sejam sinétrioos, como é o caso presente, a formulação fraca e a

formulação variacional são equivalentes(Becker et All, 1981), de modo que

a última expressão será. por conveniência. mantida neste texto.

1.3.1~.

Considerando que no domínio de estudo não haja correntes.a equação

a ser solucionada é a (1.20)(fig.1.1):

niv‹pcraa ¢) = Div Br

Esta equação descreve o comportamento do camp nos pontos regulares do domínio de estudo Q, ou seja, nos pontos em que as propriedades constitutivas do meio sejam contínuas. Entretanto.existem pontos de descontinuidade na permeabilidade magnética #.Nesses pontos.são válidas as relações (1.17) e (1.18)(Mesquita.199D), isto é:

[-#Grad _Q +

B].n

= O (1.23)

onde

[1 significa o salto ou descontinuidade da derivada no limite onde existe

T1 .

R1 .Q2 r2

. nz nl

K1 r¡

_R2

Figura 1.1.Dominio bidimensional con duas

regios con permeabilidades magnéticas di- ferentes( 111 e 9,2 )_

a descontinuidade.

À equação (1.23) implica na descontinuidade da componente normal de H na interface entre dois meios de diferentes permeabilidades.À equação

(1.24), da mesma forma. implica na continuidade da componente tangencial

de H. Esta condição é automaticamente satisfeita para um potencial Q con

continuidade C°(Hesquita,1990,Penman and Fraser.1982)

Aqui. una função qualquer V é dita pertencer a classe C@(Q) se 8 e

suas derivadas parciais de ordem igual ou menor a 'n' são continuas en todos os pontos do dominio Q. _{Logo. $ POSSui} continuidade C° _{se 6}

continua con derivadas parciais descontinuas.

Na fronteira do domínio fl temo ainda as seguintes condições de

contorno:

a)Condição de contorno de Dirichlet

.

¢=¢°°®¡`z

(1.2s›

b)Condição de contorno de Neumann, onde a indução normal é fixa(g)

-#5¢/õn + Br = _{g em F2 (1.26)}

De acordo com a maior parte dos caso reais tratado, é utilizada neste trabalho a condição de contorno de Neumann homogênea.isto 6:

onde

9

_¡¿5¢/ôn+Br-O

l`¡-Parcela de I' onde são impostas condições de contorno de Dirichlet

l`¡-Parcela de I` onde são impostas condições de contorno de Neumann.

e

l"=I`1 _{U F2}

0 problema a ser solucionado entao é o seguinte:

Achar o potencial gb que satisfaz

1) À equação diferencial parcial (1.2U) nos pontos regulares do

dominio,isto é. nos pontos onde não existem descontinuidade.-ss.

meios

Div(¡hlGrad §›) = Div Br enflllz

2) À condição de contorno (1.25)

Q I (to em F1

3) A condição da contorno (1.2ô) hómgêzzzz

-#53/ôn + Br = 0 em F2

4)a condição de descontinuidade (1.23) na interface entre os dois

xo

1.3.2~

A formulação variacional é obtida a partir da definição do resi- dual r.tal que:

r = _{Div(-#Grad Q + Br) (1.27)}

em cada dominio regular de Q.

Multiplica-se agora r por uma função suficientemente regular, chamada função de teste v, integra-se sobre cada sub-dominio no qual rv é

regular(Q¡_2) e faz-se a média ponderada resultante igual a zero(Becker et

al, 1981).

ƒrvdn - _{o (1.2e)}

Q

OU

I-nivqzcmd

¢ +

Brwda

+ __f-nivqzcrzú _{¢ +}

Bzwân

- _{0 ‹1.2e)}

Q, 9,,

integrando por partes sobre cada subdominio e aplicando o teorema da divergência

fama

vgzcmú _¢ - _{arms? + faraó vçucrad ¢} - _{arms) +}

QI Q2 .

j`(-¡zcmz1 _¢ + ar).zz,z›ú1' + ƒ(-,asma ¢ + Br)n,zzà1' = o

691 sn,

Onde 691 e ãfiz são as fronteiras das regiões 1 e 2 e _n, e _nz são

vetores unitários normais às respectivas fronteiras. Somando-se as contribuiçõs nos dois subdomínios

H

ƒczaa v‹;zcma ¢ - Br)óQ +

ƒ(-pena

¢ + Br) .zz,z›dI' +

Q

sn,

ƒ(-,asma qa + Bnnzvúl' = o (1.3o)

592

As fronteiras ÔQ1 e ÔQ2 consistem de duas partes: uma que coincide

com a interface fm. .e outra que não coincide com Tm(&Q¡-Fm,öQ¡-fm).

Decompondo as integrais de contorno em (1.30) nessas duas partes obtemos

faraó z›‹,zzez~aú zp - Br)úQ + ƒ(-pcraú ¢ + Bz~).zz1z›dl` +

Q Fm

ƒ(-pcraà _¢ + Bfinzvàl' + ƒ(-,zzcrazi gp + Br).zz1wz11¬ +

ƒ(-gema

¢ + Br)zz3z›z1I'

Fm 691-rm 692-rm

= ₀ _

Pode-se reescrever a soma das duas integrais cujas fronteiras coincidem com fm como

ƒ[(-pcraà ¢ + Bz~›.zz1 + (-pcraà _¢ + Br›.zz,1z»âr (1.31›

rm

Em Fm n¡ = -nz. e para que (1 23) seja verificada.(1.31) deve de- saparecer. Então

faraó z›(;z‹;md _{¢ -} Br)à§z + ƒ(¬‹zcz~zz‹1 _¢ + Bz~)zzz›dr - 0 ‹1.a2›

Q

1'

onde

rzzôo, - rn U

mz

_ rm

Aplicando-se a condição de contorno (1.26) homogênea. o termo refe- rente a fronteira f¡ desaparecerá. Além disso. a função teste v 6

escolhida como pertencente a uma classe de funções de teste tal que v I 0

12

ƒcmó

vgzcmà _¢ -

_arma

- _{o ‹1.a3›}

Q

1.3.3

~

av vv

Na seçao anterior foi obtida a formulaçao variacional para o pro- blema.ou seja. a equação (1 33)

JkGrad ¢.Grad vdQ -_ƒBr.Grad vdQ= O Para qualquer V em Ho

Q Q

onde Ho é definido como classe de funções de teste para' _{o problema} e contém somente as funções que se anulam no contorno F1 e cuja primeira

derivada tenha seu quadrado integrável. Ja a classe de funções admissíveis a qual pertence a solução _{¢ é composta por funções cuja} primeira derivada tem seu quadrado integrável tal que ¢=¢0 em f¡( Becker

et all. 1981; Strang and Fix, 1983; Hesquíta,199U). À solução _{$ e a}

função teste v são linearmente independentes e pertencem a conjuntos de

dimensão infinita, logo,a procura da solução de (1 33) torna-se extre-

mamente dificil.

O método de Galerkin consiste em procurar uma solução aproximada para (1.33) em uma classe de dimensão finita. Desta maneira, utilizamos apenas um número finito n de termo linearmente independentes. Obtendo uma aproximação ¢n de ¢.

gn -

Z

_{ainiu-1.n) ‹1.3‹)}

Onde N¿ 6 a 'função de base' associada ao nó i. c¿ são constantes

desconhecidas e n é a dimensão do espaço.

Estabelecendo um sub-conjunto de _Ho com dimensão n tem-se

zm-

Z

_aini (i=1,n) ‹1.3s›

1.a.‹~

O método de Galerkin fornece uma atraente estratégia para obtenção da solução aproximada do problema de contorno.mas não

fornee

uma maneira

13

sistemática para a construção das

funçõs

'base' Ni para a função teste Il!! .

Esta situação torna-se critica quando o domínio 6 bi ou tridimen- siona1,com as funções Hi tendo que satisfazer as

condiçõs

de contorno em regiões com geometrias complexas. Estas dificuldades podem ser resolvidas usando~se o método de elemento finitos.

Na aplicação deste método o dominio é discretizado em subregiões denominadas elementos finitos. Dentro de cada elemento são definidos certos pontos chamados de nós ou pontos nodais.

i

_

Assim, as funções base são geradas por simples funções definidas 'elemento por elemento'(em gera1,polinômios de baixa ordem)sobre a malha de elementos finitos.0s pontos nodais são escolhidos de modo que as funções de base Ni são contínuas nas fronteiras entre os elementos.

Neste trabalho é utilizado o elemento finito bi-dimensional com funções base lineares obtidas por polinômios de Lagrange com continuidade

C°.

Considera-se então o seguinte elemento finito(fig. 1.2)

Nó 3(x,y)

Nó 2(x.Y) Nó 1(x.Y)

Figura 1.2.Elemento finito triangular com très nós(elemento linear).

no qual _Q varia linearmente em seu interior.ou seja:

g(x,y) = _{al + azx + aay (1.36)}

A equação (1.36) deve ser satisfeita nos três nós do elemento.1ogo

¢x ' ai + azxi + aayi

3: ' 51 * 5232 * °3Y2

I4

resolvendo o sistema para a¡,a2 e a, e substituindo os coeficientes

em (1.36). achamos

¢(x.Y) = _{N¡¢¡ +N2&2 +N3¢3 (1.37)}

onde

1

N¡ _ `2¡[(xzY3"x3Yz) + (yz"Y3)x + (x3_xz)Y]

R2 ' ë!¡[(x3Y¡_"x]_Y3) + (Y3"Y1)x + (x1"x3)Y]

1

N, = ¶[(×,v,-Xzvl) + (vi-v,)× + (X,-×1)v]

e

Ni = _{1 se está sobre o nó i e}

Ni = 0 se está sobre outro nó.

A é a área do elemento.

L aproximação de (1 33) por elementos finitos é finalmente obtida

ƒpcmú

g.‹;z~‹‹.›.â

mn

-

ƒnzcmà

z›àQ=- o (1.a9›

Q

Q

onde _Q 6 a _{solução aproximada de ¢} dada por

. _ _ /f\A0 Qj¿¡n¿fÚ4

g - _{:Eyznz (1-1.mz0)}

(110)

onde nno é o número de nós do elemento e ¢i é o valor de Q no no i.

Substituindo (1 40) em (1.39)

ƒ;z2(Gzaà n1)¢i.cmà van - _Í`Br.<;mà van ‹= _o (1.‹1)

IS

escolhendo a função teste v de forma que vj ' Rj e substituindo em

(1.41)

ƒ;zE(‹;mz1 n1)¢i.craz1 njún -

ƒnzcraú

njàn - o (1.42)

Q Q

Retirando-se o somatório para fora da integral, (1.42) transforma-

SOBE

2[ƒ;z{craà ni›.‹;raâ njwiàn] - _]'Bz~.czz.à njzm - _{o (1.‹a›}

Q Q ~

que representado na forma matricial torna-se:

Í¡<àj¢j = F1 _(1.u)

Aqui. Kij é a matriz de contribuição local. _{e Fi} é a matriz fonte.

sendo ambas especificadas abaixo

xij -

ƒmcraú ui›.cmà

njón (1.‹s)

Q

.

Fi .

ƒazcma

njúfl

(146)

Q

Finalmente, as matrizes de contribuições locais são "condensadas' en un sistema matricial global onde todo os nós da malha são conside-

rado.

Àssim. este sistema é resolvido por um método de resolução de sistemas lineares.

1.4

~

(skl

As funções de base Ni, como já foi dito. são funções do tipo C°

sendo regulares dentro de cada elemento, mas cujas derivadas são des- oontinuas nas interfaces entre os mesmos. Q

Assim. (1.31) não desaparece mas

I6

_Í[(-,asma v + Br›.zz, + (-pena _¢ + az~).n,1v‹1r z _ƒszzúr

(147)

rã FI

onde Jn é o 'salto' ou descontinuidade na componente normal de B nos contornos inter-elementos.

Além disso,_a solução de (1 33) é única (Jackson,1962; Hoole.1989; Hesquita.1990). logo ¢ e Q não são iguais. e em geral (Kelly.198()

Div(pGrad ú) - DivBr I r (1.43)

Agora. voltando-se a (1.42) tem-se que

ƒpíícrad Ni)¢i.‹;z~aà njàn - ƒBr.‹;mú ujún + ƒJzzd1'- _ƒriàfi

ni Qi 1”, _Qi

(1.49)

Logo, o erro pode ser dividido em

a)ri 6 a componente regular do erro interna ao elemento i

b)Jn 6 a descontinuidade 'concentrada' nas interfaces dos elementos

'À _{existência deste residual(r¿ e Jn) pode ser melhor coaprendida}

observando-se a fig.1.3 onde está traçada a _{solucao 9 ben como a sua} aproximação por elemento finito _Q de um hipotético problema unidinen- sional. Aqui. o dominio de estudo está dividido em pequenas sub-regiões (elementos finito) no interior _{das quais Q} é interpolado linearmente. Nota-se que com um aumento do número de elementos na região onde _{$ varia} marcadamente e um consequente menor comprimento dos mesmos obteria-se uma aproximação melhor com enfraquecimento de Jn na interface entre os elementos e un menor ri no seu interior.

i J 1 \` 1 O "" *Q ` *s s r ø'¢\\ ø".' 'D J \ V 1.1 '›.2°ba"

M

*

Figura 1.3.IdentificaÇã0 do residual r Q

da descontinuidade de[Grad ¢).n ea un `

sis-

tema unidinensiona1(hi é o cxmmmilento do

elemento 1).

Será objeto de estudo dos próximos capítulos a analise d estes erros no método' de elementos finitos, bem como a construção de um sistema automático de refinamento de malhas com funcionamento adaptativt› para minimização dos mesmos.

Capitulo II - Estimativas de Erro

2.1 Introdução

Neste capítulo serão analisados os estimadores de erro utilizados em um sistema adaptativo de refinamento de malha.

No capítulo anterior foi constatada a existência de erros devidos a

incapacidade das funções de forma Ni satisfazerem as condições de fronteira(1.23), além do fato que a solução obtida é apenas uma aproximação da solução real. Na realidade, existem diferentes fontes de erros na solução obtida com este método, sendo que entre elas pode-se citar:

- _{A aproximação do} potencial por uma função de interpolação de determinada ordem p.

- _{A deficiente aproximação nas fronteiras} do elemento originando descontinuidades que violam as condições de contorno nas interfaces entre

os elementos. _

- A discretização do domínio.

- _{0 residual resultante} na solução do sistema de equações. Este erro depende do método usado na solução do sistema e da precisão alcançada pelo computador utilizado.

Para que o erro devido aos très primeiros caso seja minimizado. 6 necessário que um método de estimação de erros seja disponível.

Em uma malha de elementos finitos.o erro ponto a ponto

pde

ser definido como:

e = _Ç - _{Q (2.1)}

Considerando-se que a solução de elementos finitos é a função que minimiza um funcional energético, uma medida global do erro pode ser naturalmente obtida através da norma de energia abaixo(KellY. Gago.

Zienkiewicz and Babuska, 1983):

||‹=›||,.,2 -= ƒ‹‹='›2+e2›‹1r2 ‹2.2›

Q onde

19

pode-se mostrar que(Strang and Fix, 1983):

I|¢|I,-za - IIÀHIE* '= IM*-flllzz

(2.3)

IIe|I¡2 = Ú somente se e = 0

Aqui. um limite superior para (2.2) pode ser definido como(Babuska and

Szabo, 1982):

||zz||

mà

‹2.4›

onde “

N - N9 de graus de liberdade ou R9 de nos da malha.

0 - Taxa de convergência. a qual é função do método pelo qual N é incrementado, e

C é uma constante dependente do problema particular.

À relação (2.4) fornece uma estimativa de erro 'a-priori', pois pode

ser~ obtida sem ca conhecimento prévio da solução. Observando-se (2.4)

nota-se que a norma do erro tende para zero a medida que N se aproxima do

infinito. 4

Estimativas 'a-priori' predizem a convergência que pode ser obtida com uma determinada malha, mas informam pouco sobre o erro na solução para um problema físico particular.

Estimativas 'a-posteriori', as quais indicam o grau de presisão em uma dada solução obtida com o método de elementos finitos, são ferramentas imprescindíveis na construção de um sistema auto-adaptativo(Babuska and

Rheinboldt, 1978). _

Por sistema auto-adaptativo entende-se um sistema que opere sem a

interferência do usuário da seguinte forma:

1) Definir uma malha inicial Qh.

2) Calcular uma solução aproximada Q nesta malha. 3) Estimar o erro na solução.

4) Se o erro estiver dentro de limites aceitáveis parar o processamento.

_

20

2.2

~

0 aumento do n9 de graus de liberdade com vistas a atingir uma maior convergência pode ser efetuado através de vários procedimentos, sendo que os mais frequentes na literatura são:

-Versão h

Neste procedimento, a ordem da função de interpolação é mantida constante enquanto o tamanho dos elementos é progressivamente diminuído. Com esta estratégia consegue-se aumentar o número de elementos em regiões específicas da malha, reduzindo desta forma o erro. Usualmente a ordem das funções de interpolação é baixa, com p=1(linear) ou p=2(quadrática).

-Versão p.

Este procedimento consiste em aumentar a ordem p das funções de interpolação em uma mesma malha. Desta maneira atinge-se em geral taxas de convergência mais altas que as obtidas com a versão h. Entretanto.

quando singularidades estão presentes no domínio(regiões em que a solução

é muito pouco regular) pode-se esperar que o refinamento h da malha seja mais eficiente que o procedimento com a versão p(Gago et all, 1982)

-Versão combinada(p-h).

Esta versão combina a técnica de refinamento seletivo da malha(versão

h) com o aumento da _{ordem p das} funções de interpolação(versão p).

2.3

Um gerador de malhas auto-adaptativo utiliza erro locais na solução calculada em 'uma malha inicial(geralmente grosseiramente discretizada)

para identificar regiões que requerem posteriores refinamentos. A figura

(2.l) ilustra a utilização de um sistema deste tipo onde é estimado o

erro em um clássico problema eletromagnético com uma região em forma de L na qual a malha é iterativamente refinada.

Existem na literatura diferentes critérios para estimação de erros, os quais estão em grande parte divididos em dois grupos: métodos baseados em formulações complementares(Cendes and Shenton, 1983) e métodos baseados na regularidade dos campos e/ou do potenciais(Babuska and Rheinboldt.

1978; Coulomb, 1989; Fernandes, Girdino, Molinari, and Reppeto, 1990;

Hoole, 1988; Raizer et all. 1989).

2!

2.3.1

Este critério utiliza os princípios variacionais oomplementares(Pennan and Fraser, 1982; Rikabi, 1988) para obter duas soluções aproximadas para o problema. A diferença entre as duas soluções provê uma medida de erro que pode ser calculada elemento por elemento.

Para que este procedimento seja ilustrado, considere-se um problema magnetostático em uma região livre de correntes.

Div B = O _{(2 S)} Rot H = O (2 6) B =¿zn (2.7)

Á

~

äë

Wmmäwää

Fig.2.1a)Halha inicial \/¿À\Á

V

Mk

_\/[XX

Q

šàw

âêëšàšëv

flã

âá%@w\%k

Fig.2.1.b)E1ementos que serão refinados

\.

_B0

“if 'â'.#.'»›^\'4›¢¿;=*=°'

Wmv

¡afã!

_Y

\ 1

1?1¢155.ãí5íÊ4(

v¿YA`Y`v1fl§vÀ%vã

*gv

_V

_5?

_V

_Q

N

/É

YZ

¶

/

À/

\¬~š 1

L

.À

«AL

Ê

Q

âãêâ

23

Existem dois métodos para se atingir a solução deste problema:

a)Introduzir _{o potencial escalar magnético ¢} e subtitui-lo em (2.5)

resultando em:

Div.pGrad _{¢ =O} (2.8)

b)Repetindo o processo anterior com a introdução do potencial vetor A e substituindo em (2.6), tem-se:

Rotina

A - 0 ‹2.9)

A dualidade existente entre estes dois métodos torna-se evidente a partir dos dois seguintes teoremas(Cendes and Shenton, 1985):

Teorema 1) 0 erro na solução das equações (2.5)-(2.7) pelo método 1 é

ortogonal em um sentido energético ao erro na solução atingida com o método 2.

Prova.

À energia armazenada em um campo magnético(caso linear) é dada por:

w(H,B) -=

šƒmsàn

(2.1o)

Q

À energia do erro pode ser representada na seguinte forma:

1

w‹fl-11.12-B) = -¡_|'(n-H) . (3fB)‹1Q ‹2.11)

Q

onde _H e

_B

são obtidos através do método de elementos finitos. Substituindo-se (1.19) e (1 21) em (2.1l) obtem-Se:

1

w = _{íƒcraúwz-¢).Raz(A-à)a9}

_ (2.12)

24

Utilizando-se uma conhecida identidade vetoria1(Hoo1e. 1989) e o teorema da divergéncia,(2.12) resulta em: -

9 ==

šƒm-à)

z Gmó‹¢-¢›.zzz11' ‹2.1a)

1'

Como o lado direito de (2.13) desaparece em todo o contorno devido a

aplicaâo

das condições de contorno(Cendes and Shenton, 1985). segue-se que

U(H-›H,B-B) = O _(2.14)

Teorema 2) A energia da diferença entre as soluções obtidas nos

métodos 1 e 2 é um limite superior para as energias do erro em cada

solução aproximada.

Prova2

Seja ,H¡ o campo magnético obtido pelo método 1 e E3 I 'âflz o campo

magnético obtido pelo método 2. Logo.

%_|';z(n,-n)2úQ z o ‹2.1s›

Q

e. pelo teorema 1

.Í›‹‹n,-H›‹n2-uma -z _u ‹z.1s›

Q

Adicionando-se (2.15) e (2.16) e desenvolvendo resulta:

- _{£,zz1¶,n2z1Q + äzzflzflzàn z -šI;;z11,HúQ + Ê-ƒ,zzH.nz1§2 (2.17)}

Q

Finalmente, adicionando-se' 'šJ.;tH12dQ a ambos os lados e fatorando, o

Q

25

A(H¡.Hz) 2 _A(H¡.H) (2.18)

Da 'mesma forma. demonstra-se que:

A‹g1.§2› 2 A‹H..112› ‹2.19›

onde

A(x.Y) -

_{šƒmx-v)2àQ}

Q

Embora este critério estabeleça de forma elegante um limite superior para o erro na malha. existem alguns inconvenientes na' _{sua utilização em}

cálculo de erros, tais como: a necessidade de se resolver dois sistemas de equações bem como a dificuldade de implementação em problemas não Laplacianos.

2.3.2EZ1LÉrias_EEsfiuhE_1a_resu1ari1aiE_ia_aaluQša_an_ias_cammas

Estes critérios baseiam-se na regularidade da solução aproximada e/ou na análise do comportamento dos campos eletromagnéticos( derivadas da solução) como indicação da exatidão alcançada.

Uma tecnica simples e bastante aplicada é o estudo do gradiente da solução como

indicaäo

das regiões nas quais o refinamento deve ser efetuado. Neste caso calcula-se em cada elemento o seguinte indicador:

na = ƒ|ezaà z|2àQ (2.zo›

Qi

onde Qi é a área interna ao elemento 'i'

Nas regiões em que na possui um alto valor. tal como entreferros de máquinas elétricas, os elementos são subdivididos.

A regularidade do vetor campo magnético foi utilizada como medida de erro por Hoole(Hoole. Yoganathan, Jayakumaran. 1986) onde o angulo entre o vetor campo calculado e o real na interface entre dois elementos fornece a indicação de erro desejada. 0 ângulo com o qual a indução

26

magnética é desviada na interface entre duas regiões de perneabilidades diferentes 6 dado por:

= _Êz.i§zz.\_(£z:1¿z.L

Tan 0

(¡"zB:12'¡*I›¿1Bn12)

(211)

onde Bni e Bci são as componentes normais e tangenciais, respectivamente,

a um lado do elemento 1. _#1 é a permeabilidade relativa ao elemento 1 e _#2

é a permeabilidade relativa ao elemento vizinho 2.

À eq. (2 21) prevê o ângulo de desvio que o vetor B deve estar sujeito

ao passar de um elemento com permeabilidade _#1 para o elemento vizinho con permeabilidade #2. À diferença entre o desvio de B calculado e o

desvio previsto por (2.21) fornece uma indicação de erros para meios não homogêneos.

Neste trabalho foram usado très critérios para estimativas de erros, a saber:

a) Critério baseado na descontinuidade das componentes normais e tangenciais de B e E respectivamente. nos contornos interelementos.

b) Critério baseado na aplicação dos teoremas de Ampére ou Green locais.

c) Critério

basedo

na perturbação do campos quando a nalha é refinada.

B)

Un problema magnetostático, potencial~ escalar, é definido pelas seguintes equações:

Div B = _{0 (2.S)}

Rot H = _{O (2.6)}

B = _{pH (2.7)}

Define-se a função potencial escalar ¢, tal que:

H I - _{Grad Ç (2 22)}

27

continuidade C°. Entretanto, o nesmo não

acontee

com con (2.S) como já foi visto no capitulo I, de modo que:

Div B I _{r # O (2.23)}

Já em potencial vetor. o problema é definido como segue:

Rot H - _{J (2.24)}

Div B = O (2.5)

Definindo-se o ptencial vetor A de forma que

B = _{Rot A (2.2S)}

(2.5) é automaticamente satisfeita com a continuidade C° _{de A, o que não}

ocorre em (2.24) resultando em:

Rot E - J - _{r $ 0 (2.26)}

Ainda. aplicando-se (2.5) e (2.24) na interface entre duas regiões quaisquer.desprovidas de densidade de corrente superficial. obtem-se as seguintes condições de fronteira(fig. 2.2)

Bm

- an,

(227)

11,, - 11,, (2.2e)

z

Estas equações deveu ser satisfeitas na interface entre duas sub- regiões ou, em uma malha de elementos finitos. na interface entre dois

elementos quaisquer. Entretanto. considerando-se (2.23) e (2.26) tem-

se:

Bnl - Bnz ~ ABn (2.29)

Hu

-

Hu

'I AH, (2.30)

28

AB" - 'salto' ou descontinuidade na componente normal de B na interface entre os elementos 1 e 2.

AH, - 'salto'ou descontinuidade na componente tangencial de H na interface entre os elementos 1 e 2.

il M2 1 1 Bz1 Inc 2 Bn1 nl

Êú

_nz

¬._

Fig 2.2.Condicões de fronteira entre dois elementos adjacentes.

Assim, os seguintes indicadores locais de erro são definidos:

a) Potencial escalar na = ¡{axj=1'3 (z_31) 1 b)Potencial vetor Q ._ . na Haxj=1.a

|'Í-(-L

_zgi, dr| (2.32)

O erro em cada elemento é `dado _{então pela maior descontinuidade}

existente entre cada

b)~

elemento e os de sua vizinhança

b.1) Potencial vetor

Neste caso, o,residuo em (2.26) é estimado atraves da forma integral

de ‹2.2‹›. ou seja(R¢1zer ez A11. 1989): '

_I'11à1 -z

ƒaàn

‹2.sa›

29

onde F 6 o contorno e Q uma supeficie qualquer

0

torema

de Ampere é aplicado sobre o contorno F1 e a superfície Q¡

do elemento i(fig 2.3). Logo, sobre este elemento temos:

ƒnt,ú1, + _]'nt,ó12 + ƒnuàl, - ƒJz1Q = na (2.3‹)

rl F2 T3 Qi

3

ali/ `<h¡ 2

"°°/

'W

Fig 2.3.Àpliea¢â'o do teorena de Ãnpère

ao elenento I e sua vizinhança J'1.2.3.

b.2) potencial escalar

Aqui. o resíduo em (2 23) é obtido através da forma integral de (2 S).

ou seja:

fada

- _{0 (2.3s)}

Q

onde Q é uma superfície qualquer. e ds é o vetor normal a mesma. Como anteriormente. (2.35) é aplicado ao elemento resultando en:

ƒnmúnl

+

_ƒamdfiz

+ _fBn3dQ3 = _{na (2.3ô›}

30 3

ma

'mz

Bn2 d dfl Bnl 1 -

Fig 2.4.ÀplicaÇão do teorema de

Green ao elemento i e sua vizi-

nhança j-1.2.3

0)

Este critério analisa as variações no módulo da indução magnética em un mesmo elemento, durante o processo iterativo(Hoole et All. 1988). Após obter a solução em uma malha inicial, sem que exista uma solução referente a uma malha anterior para que a variação de IBI possa ser

quantificada. a seleção dos elementos a Serem refinados 6 efetuada comparando-se o valor de IBI em um elemento com a média calculada nos

elementos vizinhos. ou seja. inicialmente o erro é estimado a partir de:

|ne| ' |B¡ -

ÃJ

(237)

onde

B¡ - IBI no elemento i

e

¡ 3 ... Qu , . . .

BM = B +B`§¡ + é a media de |B| nos H elementos vizinhos.

depois que os elementos tenham sido subdivididos uma vez. o erro passa a ser estimado por:

\

3!

onde

Bk é a indução magnética calculada na kt" iteracão no elemento i.

Neste procedimento é considerado que os nós da malha corrente são conectados igualmente como na malha anterior. Entretanto. isto é apenas uma aproximação, pois algumas vezes os nós são reconectados de forma a evitar que surjam elementos com ângulos muito pequenos entre os lados adjacentes de um elemento.

32

Capitulo III - Estratégias de Refinamento

3.1 _Intmdiiszão

Neste capítulo serão tratados aspectos importantes no que tange a construção de um sistema auto-adaptnativo. _{Inicialmente é explicado o}

procedimento adotado na discretizacão de domínio utilizado no sistema informático EFCAD(Basto. 1989). Em seguida. são tratados tópicos operacionais e informáticos ou seja, a geometria da malha. a estratégia utilizada para efetuar o refinamento e o carregamento das condições de contorno.

3 . 2 Qeragão automa' ti ça de malha.

À geracao automática é o mecanismo que permite ao computador. após a estrutura ter sido fornecida pelo operador. discretizar o dominio de estudo construindo um modelo numérico do problema físico automaticamente.

Existe um alto nível de sofisticação nos algoritmos capazes de efetuar este trabalho, pois entre outras coisas deseja-se que a malha adapte-se perfeitamente a região fornecida pelo operador sem que no entanto existam elementos distorcidos. como será dicutido adiante.

Para compreender o algoritmo utilizado no sistema EFCAD deve-se observar a figura 3.1. 0 primeiro passo consiste na obtenção de un segmento padrão e na divisão do perímetro de R ea segmentos de oomprimento igual ou muito próximo ao comprimento padrão (3.1a). Em seguida. são fechados os ângulos agudos existentes (3.1b) iniciando

assim a triangularizacão. Quando todos os ângulos agudos estão fechados. é procurada alguma concavidade existente em R. Se encontrada. a região R

é subdividida em duas novas regiões Rlie R2 no ponto da concavidade

(3.1c).

Novamente são procurados e f ehados novos ângulos agudos que possam ter

surgido após a operação anterior (3.1d). A 'região R, esta agora

totalmente discretizada enquanuo em R2 não existem ângulos agudos nen

concavidades. 0 próximo passo é então calcular o barioentro B de R I:0 formando o segmento B1; o qual , sendo muito grande deve ser dividido no

ponto C. Novos ângulos agudos são fechados (3.1e). um novo barioentro B¡

33

discretização. Obviamente. a dimensão dos elementos e o número dos mesmos na malha depende da extensão do segmento padrão.

Fig 3.1 a.Divisäo da região em Fig _{3.1 b. corte de ângulos agudos}

segmentos R1 o”,

v""

_B R2 R2 I C _ À

F19 3.1 _{c.corte na ooncavidade Fig 3.1 d.corte de angulos agudos}

" "`

~ eu R1 e definição do barioentro de R2

B1

Fig 3.1 _{e corte de àngulos agudos Fig} 3'1

f"°;h°

fi“°1

el R2 e _{definição de novo baricentro}

ea Bl

3.3

~n1m_

Para que sejam obtido resultado confiáveis no método de elementos finitos deve-se dispor de uma malha de boa qualidade. Babuska e àziz(Babuska and Aziz, 1976) mostraram que nesta malha nSo%deven existir

¬ '\_

34

elemento que possuam algum ângulo interno próximo de 180 graus. Para melhor compreensão deste fato pode-se intuir que o erro introduzido en uma interpolação linear sobre o lado oposto ao ângulo obtuso, será muito superior ao erro introduzido nos outros dois lados. Considerando que o erro total do elemento corresponde ao maior erro encontrado. e não média dos valores, pode-se concluir que uma malha de boa qualidade deve ser formada por um conjunto de triângulos aproximadamente equiláteros(Hoole. 1989).

Entretanto, em certas situações a geometria bidimensional do dominio se adapta melhor em uma decomposição de elementos quadrilaterais como mostrado na figura 3.2 (Bastos.l989).

0 corte de cada elemento na figura 3.2 em uma só direção levaria a um desequilíbrio de contribuições nos elemento do contorno da região tendo como consequência um mau condicionamento da matriz de contribuições.e o empobrecimento na precisão da solução.

O procedimento utilizado aqui é fazer com que cada elemento retangular seja decomposto em dois conjuntos de triângulos como mostrado na figura

3.3.

Neste processo, as duas contribuições de triângulo devem der nultiplicadas por (1/2), visto que é integrada duas vezes a superfície do retângulo. Finalmente, com este procedimento não ocorre desequilíbrio nas contribuições obtendo-se alta precisão nos resultados(Basto. 1989).

Fig 3 . 2 .Elementos quadrilaterais

35

N4

= _1.

+-1

2 2

N2 na nz Na N2 _na

Fig. 3.3. Decomposição de um elemento retangular

3.4

~

No capítulo anterior foram explicados os très critérios de erros adotados neste sistema. O método de seleção dos elementos para serem refinados , descrito aqui, é válido para quaisquer dos critérios citados.

À relação 2.4 definida no capítulo II estabelece um limite superior para a norma do erro e indica que a norma do erro tende a zero à medida em que aumentamos o número de graus de librdade do sistema. Mais especificamente. pode ser mostrado que ||eI|E -O O quando h -› 0. A

figura (3.4) mostra o comportamento da energia calculada com potencial vetor e escalar. com o aumento do número de graus de liberdade(Pennman and Fraser, 1983).

U _A

Ue

9

NGL

Fig 3.4. Variação do erro na energia

em função no número de graus de li-

berdade

Em termos práticos. entretanto, o objetivo é minimizar ||e|I¡ fazendo

o erro em cada elemento aproximadamente constante en toda a malha. Este procedimento é baseado no princípio da equidistribuição de erros(1yra.

1998).

36

Seguindo este raciocínio,é calculado um valor médio para (3 erro em

toda a malha, ou seja:

Ilnell

Hnnll =

XT-

_(3.1)

onde IIM é o erro médio na malha. ne é o indicador de erro em cada

elemento e N é o número de elementos.

Sendo este um processo iterativo, em cada iteração os elementos que

«U

nao satisfazem

||n.,|| < ||n,.||.1‹ ‹3.2›

são escolhidos para serem refinados.

Em (3 2) I( é uma função definida externamente que define o limite

máximo para I|neI| em cada elemento.

Estabelecendo-se a unidade para o valor de K,a cada iteração são refinados o elemento cujo ne seja igual ou superior a ||nMI|. Assim. o

erro médio na malha tende a diminuir ao mesmo tempo em que o módulo do erro por elemento torna-se aproximadamente constante na malha. A

equidistribuição de erros em problemas envolvendo singularidades(canto com condição de contorno de Newmann, por exemplo) implica em um forte refinamento próximo a singularidade, acarretando um elevado número de refinamentos _sucessivos com consequente esforço computacional e o mau condicionamento da malha(Lyra,19B8).

Para contornar este problema, a interrupção do processo iterativo é

efetuada quando a tolerância desejada é alcançada ou quando a

convergência cai abaixo de um valor especificado externamente.

nr

A convergência da soluçao é dada por:

||!1|| _ ||¡1||_

Conv = _{--3-%Tš;TT-¿L_š_l (3.3)}

k

onde Conv é o indicador de convergència,k é a iteração corrente e nn é o

_ 37

3.5

~hL

0 refinamento de um elemento qualquer na malha é efetuado de maneira geral através da bisseccão dos lados do elemento. Ao ser refinado. cada elemento na malha é dividido em quatro elementos menores através da conexao dos pontos médios dos lado de um quadrilátero ou triângulo.

Todavia, o refinamento não uniforme(refinamento efetuado em níveis desiguais ao longo da malha) implica no aparecimento de nos irregulares(fig.3.S) resultando em descontinuidade entre os elementos.

Fig 3.5.Re£inamento com nós irre- gulares

A estratégia adotada para evitar-se o surgimento de nós irregulares mantendo-se a continuidade é executada forçando-se a subdivisão de elementos em cujo lados criem-se nós irregulares(Vanti e Bastos. 1992).

Este elemento pode ser subdividido em dois,très ou quatro novos elementos, dependendo de como apareçam os nós irregulares em« sua arestas(fig 3.6).

À

AVA

5*

Á

LVL

Á

AVA

Fig 3.6.Tratamento de nós irregulares

Na figura 3.6, é mostrado como são divididos elementos que possuem nós irregulares em suas arestas(linhas tracejadas na fig. 3.6). Com este processo é possível eliminar as descontinuidades obtendo-se ainda uma maior regularidade na malha.

3.6

&m~

Uma vez que a malha tenha sido refinada completamente, tem-se então um novo modelo da região de estudo. Para este modelo estar completo. torna- se necessário que as condições de contorno do problema estejam inseridas de forma idêntica à da discretização precedente. Entretanto. quando elementos possuindo nós em segmentos `com _{condição de contorno são}

refinados,' surgem novos nós aos quais estas condições devem ser inseridas. Deve~se ter então um algoritmo computacional que a cada iteração efetue uma busca no segmentos com condições de contorno de novos nos gerados e carregue-o com estas mesmas condições.

Sabe-se que os elementos na malha são refinados através da bissecção das arestas. Assim, o procedimento adotado consiste em procurar os novos nós gerados no ponto médio entre dois nós ja existentes na malha precedente. Ha figura 3.7, os nós 1 e 2 foram gerados na última iteração,

e estão situados entre os nós A e B e B e C respectivamente, os quais eram vizinhos na malha anterior.

39

¡ 1 B 2 _C

Fig 3.7 Inserção de con-

dições de contorno.

0 algoritmo deve então procurar os nós nas posições (À + B)/2 , (B +

C)/2 e assim sucessivamente. Ha medida em que os nós são encontrados. devem ser neles inseridas as condições de contorno dos nos vizinhos(À,B.C,...).

3.7

~.

Em um programa clássico de elementos finitos, a cada elemento é associado através de uma estrutura de dados conveniente. o número dos nós que constituem o elemento. correntes, cargas e os meio aos quais os elementos pertencem. Em um sistema de refinamento adaptativo, toavia,

mais informações são `

necessárias e esta estrutura deve ser expandida(Demkowicz and Oden. 1988).

Neste sistema, foi acrescentado a estrutura de dados do programa EFCAD a associação de cada elemento com seus elementos 'vizinhos', dado esses fundamentais tanto para a estimação local dos erros quanto_ para o processo de refinamento. Esta estrutura esta montada com o vetor IVIZ(I.J). onde I corresponde a cada elemento e J aos elementos 'vizinhos'.

3.8 Ex-xamnln

Finalizando este capítulo é apresentado um exemplo(figura3.8) no qual o processo de refinamento é acompanhado a cada iteração. Este exemplo adianta alguns resultado obtidos com a utilização do critério de estimativa de erros baseado nas descontinuidades dos campos e com a aplicação do procedimento adaptativo apresentado neste capítulo. O caso

1 ‹_

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A figura (3.9) apresenta o diagrama de redução do erro en função do número de nós da malha. _E__nâ¢i_=z_ 1941 E médio inicial 100 U 90 . 00 _¡ ¡ 70 sol I 50 40 30 20 10 50 100 150 200 número de nos

42

Capítulo IV - Resultados e _{Comparações entre os Critérios de Erros}

4.1 _lntrszducâo

Neste capitulo serão apresentado e comentado os resultados obtidos com o refinamento _{auto-adaptativo. Serão também comparados os resultados} em relação ao estimador de erros utilizado.

Em cada caso, os _{resultados serão analisados através da suavização dos} campos e da variação dos mesmo nas regiões de interesse, bem como na verificação da precisão no cálculo da força com o tensor de Maxwell.

4.2

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Nesta seção o objeto a ser analisado é um eletroímã de contactor com entreferro de 2mm. mostrado na figura (4.1). Inicialmente são apresentados os resultados obtidos com a discretização inicial, e em seguida são apresentados os _{resultados obtidos com as malhas finais} refinadas com o processo auto-adaptativo com base nos très estimadores de erro testados.

Figura 4.1.Estrutura do eletroímã

Ha figura (4.2) é apresentada a discretização inicial da região estudada. com 253 elementos e 151 nós.

43

As linhas equipotencia 1 tro S ur d ar Ç8 d Ód 1

indução nagnética B no entreferro direito são vistas nas f gu _{(4 3)}

(4.4) respectivamente.

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Fig. 4.4.Inducão magnética B('l')

Observa-se com f aci 1 idade que ocorrem grandes sal tos ou

descontinuidades no traçado das equipotenciais, ben como na variação de B no entreferro.

Na figura (4.5) é mostrada a malha obtida após 5 iteraoões con o erro

estimado com base no critério das descontinuidades de campo. A malha final possui 1348 elementos e 715 nós.

às linhas equipotenciais estão mostradas na figura (LG). Como esperado.obt.eve-se forte suavizacão no traçado das equipotenciais. o mesmo tendo ocorrido na curva de B no entreferro, como mostra a figura

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A malha final mostrada na figura (4.8) possui 1722 elenentas e 896

nó.

e foi obtida apó 4 iterações. 0 estimador de erros usado foi o

critério da perturbação dos campos. Obteve-se con este critério un número maior de elementos en um número menor de iteracões.

As figuras (4.9) e (4.10) apresentam respectivamente o traçado das

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Fig.l.10.Indução magnética B

Finalmente, as figuras (4.11) e (4.12) apresenta: a nalha final refinada e as equipotenciais obtidas con o critério do teorena de Ànpère. Nota-se que a malha obtida difere da anteriores, con pouca densidade de elemento no entreferro e grande concentração de elenentos na interface entre o núcleo de ferro e o ar. Este comportamento refletiu-se na variação de B no entreferro, como mostra a figura (4.13). Observa-se que

a variação de B é meno suave que as curvas calculadas con o critérios anteriores. A Malha da figura (4.11) foi obtida após 5 iterações,

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Fig.4.13.Indução magnética B

Quanto aos valores de força calculado através do tensor de Haxvell, observou-se en média una variação de apenas 102 entre a força calculada con a malha inicial e aquela obtida con as malhas refinadas. Una possivel explicação pde ser encontrada no trablho de T.Tarnhuvud e K.

Reichert(T.Tarnhuvud and K.Reichert. 1988), e sera apresentada resunidamente neste trabalho.

Seja F a pmessão magnética obtida com o tensor de Haxvell.fn a sua componente normal e ft a componente tangencial. Ten-se então que: