Caracterização numérico-experimental do comportamento mecânico da madeira submetida a regimes de carregamento cíclico

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Caracterização numérico-experimental do comportamento

mecânico da madeira submetida a regimes

de carregamento cíclico

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

David José Gonçalves Rodrigues

Professor Nuno Dourado Professor Abílio de Jesus

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

Caracterização numérico-experimental do comportamento

mecânico da madeira submetida a regimes

de carregamento cíclico

David José Gonçalves Rodrigues Nuno Miguel Magalhães Dourado

Abílio Manuel Pinho de Jesus

Dissertação apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob orientação científica do Professor Doutor Nuno Miguel Magalhães Dourado e co-orientação científica do Professor Doutor Abílio Manuel Pinho de Jesus

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Aos meus pais, irmã e namorada

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“Stay Hungry, Stay Foolish” Steve Jobs

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Agradecimentos

Para começar, gostaria de expressar a minha enorme gratidão ao meu orientador, Professor Doutor Nuno Dourado, pelo apoio, conhecimento e companheirismo ao longo desta caminhada. Quero também agradecer ao meu co-orientador, Professor Doutor Abílio de Jesus, pela disponibilidade, atenção e profissionalismo demonstrados durante a realização da presente dissertação de mestrado.

Gostaria também de deixar os meus agradecimentos ao Eng. Cristovão Santos das Oficinas Mecânicas, pelo auxílio no fabrico de acessórios para a fase experimental, ao Sr. Armindo das Oficinas do Departamento de Florestal, pela ajuda na produção dos provetes e ao João Pereira, pelo auxílio no manuseamento da máquina de ensaios mecânicos.

Dirijo um agradecimento especial ao Fábio Pereira, não só pelo apoio e conhecimento transmitidos, mas também pela amizade e prontidão em ajudar.

A todos os meus colegas e amigos da Universidade, em especial, José Cardoso, André Teixeira, Fábio Nunes, Pedro Panoias, Diana Granja, Ana Cláudia e Daniela Justo, pela camaradagem e bons momentos que passámos juntos.

Aos meus fiéis amigos, Rui Costa, Marcos Esteves, José Lameirão, Fábio Dias, Isabel Botelho, Diana Pereira, André Leão, Daniela Costa, Romeu Dias, Pedro Macedo, Duarte Fonseca, Amândio dos Santos, Daniel Martins e André Machado, pelo incentivo, amizade e boa disposição que facilitou a elaboração desta Tese.

À minha namorada que sempre acreditou em mim.

Como não poderia deixar de ser, quero agradecer aos meus pais e irmã, por todo o apoio incondicional ao longo de todos estes anos de trabalho árduo.

Por fim, gostaria de agradecer à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro pelos meios que disponibilizou para que o desenvolvimento deste trabalho fosse possível.

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Resumo

Atualmente tem vindo a observar-se que é cada vez mais frequente a construção de estruturas de madeira devido às atuais preocupações em atingir uma economia e um desenvolvimento sustentáveis. Contudo, a madeira sendo um material com uma estrutura heterogénea e anisotrópica, apresenta grande variabilidade das suas propriedades mecânicas, e, como tal, coloca desafios específicos que urge conhecer, designadamente o seu comportamento à fratura (quase estática) e à fadiga.

A madeira é um material quase-frágil pois quando é submetido à fratura ou à fadiga, se caracteriza pela formação de uma zona de processo de fratura (ZPF) na extremidade da fenda, onde surgem vários fenómenos de degradação estrutural, que são responsáveis pela dissipação de energia não desprezável, tornando previsível o seu colapso mecânico.

A realização desta Dissertação de mestrado tem como objetivo caracterizar o comportamento à fadiga da madeira de Pinus pinaster Ait., em modo I. Para tal, submeteu-se o material em questão, a ensaios mecânicos de fratura e de fadiga, usando provetes de configuração DCB (Double Cantilever Beam).

O procedimento usado na obtenção da tenacidade à fratura (GIc) foi o método de calibração da flexibilidade baseado na Teoria de Vigas, CBBM (Compliance Based

Beam Method). Este método apresenta a vantagem de dispensar a medição do

comprimento de fenda durante o ensaio de fratura. Adicionalmente, procurou-se avaliar a influência da orientação dos anéis de crescimento da madeira no valor de GIc avaliado.

O CBBM foi também utilizado para o tratamento dos resultados dos ensaios de fadiga, de modo a obter os coeficientes da Lei de Paris de cada série de carregamento testada, tendo sido analisadas duas hipóteses diferentes no valor de tenacidade a usar para esse efeito.

Por último, foram executadas simulações numéricas, recorrendo ao método dos elementos finitos e às leis de dano coesivo, com o intuito de examinar o ajuste dos resultados numéricos à resposta obtida nos ensaios de fadiga, e assim proceder à validação do método proposto nesta Tese.

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Abstract

Wood structures are becoming more and more frequent in civil construction due to concerns in achieving economical and sustainable development practices. However, being wood a material with a heterogeneous and anisotropic structure, it exhibits large variability in its mechanical properties and, as such, it is important to know how this material behaves not only to fracture, but also to fatigue loading.

Wood is a quasi-brittle material because when submitted to fracture or to fatigue loading, a non-negligible fracture process zone (FPZ) develops at the crack vicinity, where various structural degradation phenomena take place, being responsible for the dissipation of a non-negligible amount of energy.

This MSc Thesis aims at characterizing the mechanical behaviour of wood (Pinus pinaster Ait.) under mode I fatigue loading. To that, quasi-static fracture and fatigue tests have been performed using the configuration of the DCB (double

cantilever beam).

Fracture toughness (GIc) has been evaluated by means of a data reduction scheme known as Compliance Based Beam Method (CBBM). Additionally, the influence of wood grain on GIc has been investigated.

The CBBM has also been employed to achieve the coefficients of the Paris Law for each loading tested series, being analysed two different assumptions in regard to the toughness fracture value to be used.

Finally, a numerical model has been built to perform fatigue cohesive zone modelling using the DCB test. The aim was to examine whether the developed numerical procedure was able to replicate the results issued from the fatigue tests.

xiii

Nomenclatura

a – comprimento de fenda;

a0 – comprimento de fenda inicial;

Ap(k) – Área local danificada;

B – Espessura do provete; c – Metade da rigidez; C – Flexibilidade;

C0 – Flexibilidade inicial;

CBBM – Compliance Based Beam Theory; CoV – Coeficiente de variação;

D – Matriz diagonal que contém o fator de penalidade;

dA/dN – Taxa de crescimento da área danificada por ciclo;

da/dN – Taxa de crescimento do comprimento de fenda por ciclo; DCB – Double Cantilever Beam;

def/dN – Evolução do parâmetro de dano à fadiga com o número de ciclos

e – Parâmetro de dano global;

E – Matriz diagonal que contém os parâmetros de danos;

ef – Parâmetro de dano à fadiga;

Ef – Módulo de flexão;

EL- Módulo de elasticidade na direção longitudinal;

ei – Parâmetro de dano estático;

FPZ – Zona de processo de fratura;

GI – Taxa de libertação de energia em modo I;

GIc – Taxa de libertação de energia crítica em modo I; GII – Taxa de libertação de energia em modo II;

GIIc – Taxa de libertação de energia crítica em modo II;

GImáx – Taxa de liberação de energia associada à força máxima; GLR – Módulo de corte nas direções LR;

GT – Taxa de libertação de energia total;

h – altura de cada braço;

I – Matriz identidade;

xiv

k – parâmetro de rigidez ou fator de penalidade; Mf – Momento fletor;

nFPZ – número de pontos pertencentes à zona de processo de fratura;

P – Força aplicada durante o ensaio; R – Razão de carga;

R2 – Coeficiente de correlação;

rw – peso relativo de cada ponto de integração;

S1 – Valor do ângulo de inclinação do fio madeira na secção 1;

S2 – Valor do ângulo de inclinação do fio madeira na secção 2;

S3 – Valor do ângulo de inclinação do fio madeira na secção 3;

S4 – Valor do ângulo de inclinação do fio madeira na secção 4;

U – Energia de deformação; V – Carga transversa; β – Razão de modo misto;

Fator de correção de Williams;

GI/GIc – relação entre a taxa de libertação de energia com o valor crítico;

 - Deslocamento imposto aos provetes;

 - Matriz dos deslocamentos relativos;

σ – Matriz das tensões;

σI – Tensão em modo I de propagação;

σII – Tensão em modo II de propagação;

xv

Índice

2.2 - Estrutura Característica da Madeira de Pinus pinaster Ait. ... 3

2.3 - Comportamento à fractura da madeira de Pinus Pinaster Ait. ... 7

2.4 - Modelos de dano coesivo ... 10

2.5 - Elementos Finitos de Interface ... 11

2.5.1 - Modelos Coesivos... 12

2.6 - Determinação experimental das propriedades em modo I através do ensaio DCB ... 16

2.6.1 - Método CBBM ... 16

2.7 – Lei de Paris ... 19

2.8 – Modelo de dano de fadiga ... 20

2.9 – Comportamento à fadiga de materiais compósitos ... 25

Descrição do Trabalho Experimental ... 27

3.1 - Programa Experimental ... 27

3.1.1 - Material e Provetes ... 27

3.1.2 - Acessórios utilizados nos ensaios mecânicos DCB ... 29

3.2 - Ensaios de fadiga DCB ... 31

3.3 - Ensaios Monotónicos DCB ... 31

3.4 - Apresentação e Discussão dos Resultados ... 34

3.4.1 - Curvas força – deslocamento ... 34

3.4.2 - Curvas de Resistência ... 36

xvi

Estudo numérico de fadiga ... 45

4.1 – Introdução ... 45

4.2 – Simulação do ensaio de fadiga ... 45

4.3 – Resultados do estudo numérico ... 46

Conclusões ... 51

xvii

Índice de Figuras

Figura 2. 1 - Representação tridimensional da estrutura celular das espécies resinosas

(Xavier, 2003) ... 4

Figura 2.2 – Aspeto macroscópico do tronco de uma árvore resinosa (Xavier, 2003) .. 5

Figura 2.3 – Esquema dos traqueídos correspondentes ao ... 6

Figura 2.4 – Estrutura celular dos lenhos inicial e final do Pinus Pinaster (Xavier, 2003) ... 7

Figura 2.5 – Modos puros de propagação (Barreto, 2008) ... 8

Figura 2.6 – Sistemas de propagação de fendas na madeira (Silva, 2006) ... 8

Figura 2.7 – Zona de processo de fratura (Dourado, 2008) ... 9

Figura 2.8 – Modelo de dano bilinear para modo misto I+II+III (de Moura, 2006) ... 13

Figura 2.9 – Procedimento de cálculo de  ... 18

Figura 2.10 – Comportamento típico à fadiga na escala bi-logarítmica ... 20

Figura 2.11 – Carregamento considerando na análise numérica ... 21

Figura 3.1 – Especificações dos provetes DCB utilizados nos ensaios à fadiga ... 27

Figura 3.2 - (a) Preparação do material em bruto para o corte; (b) Material pós primeiro corte; (c) Último corte para dimensões finais ... 28

Figura 3.3 - Provete após furação ... 29

Figura 3.4 - Acessórios utilizados nos ensaios mecânicos de fadiga ... 30

Figura 3.5 - Montagem do ensaio mecânico de fadiga ... 30

Figura 3.6 - Especificações dos provetes submetidos a ensaios monotónicos de fratura ... 32

Figura 3.7 - Configuração utilizada nos ensaios mecânicos de fratura ... 32

Figura 3.8 - Montagem do mecânico de fratura DCB ... 33

Figura 3.9 - Desvio do fio da madeira nas quatro secções do provete ... 34

Figura 3.10 - Curvas P- resultantes dos ensaios mecânicos de fratura (regime monotónico). ... 35

Figura 3.11 - Desvio local da fenda inicial. ... 35

Figura 3.12 - Formação da zona de processo de fratura na vizinhança do entalhe ... 36

xviii Figura 3.14 – Efeito da inclinação do fio da madeira na taxa crítica de libertação de energia ... 39 Figura 3.15 – Evolução do deslocamento com o número de ciclos e curva dAe/dN vs

GI/GIc para um ensaio a (a) 700 N e a (b) 750 N ... 40 Figura 3.16 – Gráfico com os coeficientes da Lei de Paris usando o valor médio ... 41 Figura 3.17 – Gráfico com os coeficientes da Lei de Paris usando o valor próprio .... 42 Figura 3.18 – Curvas Log10 dAe/dN vs Log10 GI/GIc obtidas para todos os níveis ... 43 Figura 3.19 - Curvas Log10 dAe/dN vs Log10 GI/GIc obtidas para todos os níveis ... 44

Figura 4.1 - Malha de elementos finitos do ensaio DCB ... 46 Figura 4.2 – Deformada do provete no (a) início e no (b) final da simulação por elementos finitos ... 47 Figura 4.3 - Evolução do deslocamento numérico e experimental para uma ... 48 Figura 4.4 - Curva dAe/dN vs GI/GIc em escala (a) normal e (b) bi-logarítmica para 49 Figura 4.5 - Curva dAe/dN vs GI/GIc em escala (a) normal e (b) bi-logarítmica para o ensaio realizado a 750N ... 49

xix

Índice de Tabelas

Tabela 3.1 - Valores da taxa crítica de libertação de energia, do ângulo de inclinação (Si) do fio e da massa volúmica da madeira ... 38

Tabela 3.2 - Valor médio da taxa crítica de libertação de energia obtida nos ensaios de fratura ... 38 Tabela 3.3 – Coeficientes da Lei de Paris e número de ciclos médio para cada nível de carga aplicado ... 44

Tabela 4.1 - Propriedades elásticas da madeira de Pinus pinaster Ait. usadas nas simulações por elementos finitos ... 46

1

CAPÍTULO I

Introdução

_____________________________________________________________________

Esta dissertação tem como principal objetivo caracterizar o comportamento à fadiga da madeira de Pinus pinaster Ait. em puro modo I, recorrendo, não só a ensaios mecânicos de fadiga, mas também a ensaios mecânicos de fratura, para determinação da taxa crítica de libertação de energia.

Este trabalho está dividido em cinco capítulos, incluindo esta breve introdução, sendo que o segundo incide sobre a análise da estrutura celular da madeira à escala macroscópica, e, posteriormente, é feita uma revisão bibliográfica relacionada com trabalhos e métodos realizados anteriormente.

O terceiro capítulo contém os detalhes do trabalho experimental realizado para a preparação dos provetes DCB, bem como os respetivos resultados dos ensaios mecânicos de fratura e de fadiga.

No quarto capítulo é apresentado um estudo envolvendo um modelo de dano coesivo desenvolvido para simular o comportamento à fadiga de um material quase-frágil como a madeira, baseado no conceito de fenda equivalente. Nesse estudo apresenta-se o acordo numérico-experimental obtido no processo de simulação.

3

CAPÍTULO II

Revisão bibliográfica

_____________________________________________________________________

2.1 - Introdução

Neste capítulo pretende-se descrever resumidamente a estrutura característica da madeira de Pinus pinaster Ait., que se inclui na espécie das madeiras resinosas. Dá-se a conhecer as suas propriedades mecânicas e como a estrutura interna deste material influencia o seu comportamento mecânico. Inclui-se também uma breve revisão bibliográfica sobre os modelos coesivos que permitem simular a iniciação e a propagação do dano, bem como o método CBBM (Compliance Based Beam Method) utilizado para determinar a tenacidade à fratura, designadamente a curva de

Resistência (curva-R) do material. Para esse efeito, usar-se-á uma das geometrias mais

correntes na caracterização de materiais à fratura em modo I, designada por DCB (Double Cantiliver Beam). Por fim, far-se-á referência à Lei de Paris, ao modelo de dano coesivo usado para simular o comportamento à fadiga deste material, terminando com uma breve elucidação dos trabalhos realizados sobre o comportamento à fadiga de materiais compósitos.

2.2 - Estrutura Característica da Madeira de Pinus pinaster Ait.

Existem dois grupos nos quais se podem enquadrar as espécies florestais, as resinosas (gimnospérmicas) e as folhosas (angiospérmicas), diferindo uma da outra na estrutura anatómica (Xavier, 2003). Os traqueídos e os parênquimas são os dois tipos de células que a madeira das espécies gimnospérmicas apresentam, sendo os traqueídos, células compridas, dispostas na vertical, com funções de transporte e de suporte (representam cerca de 95% do volume da madeira), e os parênquimas, células dispostas na horizontal, responsáveis pelo armazenamento e de transporte de nutrientes (Figura 2.1). As células da madeira das espécies angiospérmicas apresentam uma maior especialização e complexidade anatómica.

4 As fibras servem de suporte (representam 15% a 60% do volume da madeira), os vasos encarregam-se do transporte (ocupam cerca de 20% a 60% do volume da madeira), o parênquima axial assegura o armazenamento (constitui 15% do volume da madeira) e, por último, os raios têm a função de transporte e armazenamento (preenchem entre 5% a 30% do volume da madeira) (Xavier, 2003).

A madeira selecionada para este trabalho foi da espécie Pinus Pinaster Ait., que pertence ao grupo das resinosas, sendo essa a razão pela qual se decidiu abordar as espécies resinosas com maior profundidade.

O tronco de uma árvore viva pode desempenhar três funções, como condução e armazenamento de nutrientes essenciais à vida da árvore, e como suporte do peso dela mesma. As células encarregues pela condução e suporte encontram-se mortas, ao contrário das células que desempenham o papel de armazenamento, encontrando-se dispostas ao longo da secção transversal do tronco em duas zonas de coloração distintas, como se abordará mais adiante.

Consoante a escala de observação, a madeira pode exibir diferentes atributos. À escala macroscópica podemos observar as características da madeira ao nível estrutural; à escala meso, analisamos os anéis de crescimento; à escala micro examinamos o tecido celular; e à escala nano, as características da parede celular.

Figura 2. 1 - Representação tridimensional da estrutura celular das espécies resinosas (Xavier, 2003)

5 À escala macroscópica, a madeira exibe três planos de simetria material distintos: o plano transversal ao tronco da árvore, o plano radial consequente do corte longitudinal desde o centro da árvore até à casca exterior e o plano tangencial, como ilustra a Figura 2.2. No primeiro plano, identificam-se regiões facilmente visíveis com diferentes tons, zonas claras e escuras, apresentando uma forma aproximadamente concêntrica. As zonas que exibem um tom mais claro correspondem ao lenho formado durante a primeira fase do período vegetativo (lenho inicial ou de Primavera), onde as células constituintes são caracterizadas por paredes finas e lúmenes grandes (Figuras 2.1 e 2.4). As zonas de tom mais escuro são formadas na segunda fase do período vegetativo (lenho final ou de Verão/Outono), cujas células possuem paredes espessas e lúmenes reduzidos (Figuras 2.1 e 2.4). Ao mesmo tempo que existem estas zonas de coloração diferente, existem outras duas zonas, também de coloração diferenciada, mas de maiores dimensões, estando uma na zona central e a outra na periferia, do tronco, denominadas de cerne e borne, respectivamente (Figura 2.2).

6 Na secção radial dispõem-se os raios, constituídos por células dispostas perpendicularmente aos elementos longitudinais (traqueídos), organizados em bandas de tecido, sendo a sua principal função o armazenamento de nutrientes. Os raios prolongam-se radialmente desde o centro da árvore (medula) até ao câmbio (periferia exterior do lenho), continuando até à casca da árvore.

Tal como se referiu anteriormente, ao nível microscópico, a madeira das espécies resinosas é composta por dois tipos de células: os traqueídos e os parênquimas. Os traqueídos são células finas e ocas, com uma relação comprimento/largura (coeficiente de esbelteza) muito elevada e encontram-se dispostos na vertical. Os traqueídos que compõem o lenho inicial possuem maior diâmetro, paredes mais finas e lúmenes de maior dimensão comparativamente com o lenho final. No entanto, na parede de ambos observa-se a presença de pontuações que permitem o escoamento de líquidos entre as células (Figura 2.3). Os parênquimas (raios) são mais pequenos do que os traqueídos longitudinais e são constituídos por paredes finas, com perturbações simples.

Figura 2.3 – Esquema dos traqueídos correspondentes ao (a) lenho inicial e (b) lenho final (Xavier, 2003)

7 A madeira das espécies resinosas caracteriza-se, também, pela existência de células epiteliais que formam os canais de resina. Os canais de resina apresentam uma forma tubular com diâmetros superiores aos dos parênquimas e estão dispostos na direção longitudinal e transversal ao tronco da árvore, em que na primeira direção, estes se dispõem nas regiões de transição entre o lenho final e o lenho inicial (Figura 2.4).

2.3 - Comportamento à fractura da madeira de Pinus Pinaster Ait.

Para um correta caracterização do comportamento à fractura de um qualquer material, é necessário conhecer as propriedades de fratura para cada um dos modos simples (ou modos puros) de propagação de fendas (Figura 2.5). Como já se referiu, a madeira é um material ortotrópico, sendo que para cada dos modos de fratura referidos anteriormente, há a necessidade de se considerar seis sistemas de propagação de fendas distintos. Esses sistemas são designados pelas siglas que identificam duas direções de simetria material, designadamente: TL, RL, LR, TR, RT e LT (Silva et al, 2006) (Figura 2.6), sendo a primeira letra correspondente à direção normal ao plano da fenda, e a segunda identifica a direção da propagação da fenda. É de referir ainda que os sistemas de propagação TL e RL revestem-se de uma importância relevante para aplicações estruturais em madeira (Monteiro, 2013).

Figura 2.4 – Estrutura celular dos lenhos inicial e final do Pinus Pinaster (Xavier, 2003)

8 Figura 2.5 – Modos puros de propagação (Barreto, 2008)

9 A madeira insere-se no grupo dos materiais quase-frágeis, grupo que se distingue dos restantes pela formação de uma zona de processo de fratura (FPZ), mais ou menos extensa, que ocorre na vizinhança de uma fenda (Fig. 2.7), contribuindo assim de forma significativa para a dissipação de energia que ocorre durante o processo de fratura. A Mecânica da Fratura Não Linear (MFNLE) é o quadro teórico mais adequado para a identificação do comportamento à fratura dos materiais que exibem o comportamento que se descreveu anteriormente, nomeadamente através de modelos coesivos (Elices et al, 2002). Contudo, um dos problemas no conhecimento das leis coesivas que permitem descrever o comportamento desses materiais prende-se com a dificuldade em medir rigorosamente o comprimento da fenda durante a sua propagação, devido à formação da FPZ (de Moura et al, 2008). Esta dificuldade já foi ultrapassada com o desenvolvimento de um método conhecido por CBBM (compliance based beam method), desenvolvido por de Moura et al (2008). Este método permite obter curvas de Resistência (curvas-R) apenas a partir das curvas força-deslocamento, obtidas em ensaios mecânicos (DCB ou outros) e não implica a medição do comprimento de fenda durante a sua propagação, algo complicado experimentalmente para materiais como a madeira. Esta informação, designadamente a taxa crítica de libertação de energia (assimptota horizontal da curva-R), é importante, na medida em que permite a simulação, através de modelos de dano coesivo, do comportamento quase-frágil exibido por esses materiais (Monteiro, 2013).

10 Este método foi aplicado com sucesso ao tratamento dos resultados experimentais na caracterização do comportamento à fratura da madeira de Pinus

pinaster Ait. em modo I. Dourado et al (2010), comparando as curvas-R em modo I

da madeira de Pinus pinaster Ait. e Norway spruce L., reproduziram as curvas força-deslocamento, em sequência da identificação dos parâmetros das leis de dando de cada uma daquelas espécies de madeira. Nesse estudo os autores usaram o método CBBM.

2.4 - Modelos de dano coesivo

As fendas têm muitas vezes início em concentrações de tensão existentes em componentes estruturais. A aplicação dos conceitos da Teoria da Resistência dos Materiais (TRM), com o propósito de caracterizar o comportamento exibido pelo material nestas descontinuidades geométricas traduzir-se-ia na previsão de tensões infinitas nessas regiões da estrutura, o que não traduziria a realidade. Por outro lado, a consideração dos preceitos da Mecânica da Fratura (MF) também coloca alguns obstáculos, na medida em que esta necessita que se conheça a localização de uma fenda ou defeito no material, o que nem sempre é possível conhecer ou visualizar numa estrutura real. Para obviar estas limitações, surgiram os modelos coesivos, que constituem ferramentas que combinam os conceitos da TRM e da MF. Com efeito, os modelos coesivos baseiam-se na análise das tensões de modo a simular a iniciação e a propagação do dano, podendo ser dispensada a consideração de um defeito inicial, sendo que os problemas resultantes da existência de singularidades nos campos de tensão são assim minimizados. Estes modelos baseiam-se numa relação que exprime a redução gradual do campo de tensões (σ), em função dos deslocamentos relativos () entre as faces de uma fenda, tornando possível a simulação do processo de degradação progressiva das propriedades de um material. Esta lei de amaciamento traduz a lei coesiva σ = f().

11

2.5 - Elementos Finitos de Interface

A simulação da fissuração da madeira pode ser executada recorrendo a elementos finitos de interface (EFI), estando associadas leis de dano coesivo, que permitem simular as condições de iniciação e de propagação do dano. Para esse efeito, podemos usar elementos finitos de 6 nós, compatíveis com os elementos sólidos de 8 nós dos elementos contíguos usados no modelo numérico (de EF).

A teoria de contacto é a base da formulação que está por detrás do elemento finito de interface. Estes elementos devem ser colocados nas zonas propícias à iniciação e à propagação do dano. A matriz dos deslocamentos relativos para pontos homólogos é obtida associando os campos de deslocamentos às faces do elemento (superior e inferior).

As tensões acima mencionadas podem ser obtidas a partir de:

δ D

σ (2.1)

onde a matriz dos deslocamentos relativos () nos pontos de integração dos elementos de interface é relacionada com a matriz (D) que contém o parâmetro de rigidez k na sua diagonal principal.

Este parâmetro é denominado fator de penalidade e deve-se incluir nos respetivos modelos numéricos de modo a evitar a interpenetração entre as faces dos elementos finitos de interface e evitar assim eventuais instabilidades numéricas. As unidades deste parâmetro são N/m3 e deve ter-se em consideração que valores baixos permitem as interpenetrações mencionadas anteriormente, algo irrealista, e que valores elevados produzem instabilidades numéricas relacionadas com a exatidão do cálculo. Deste modo, o intervalo de valores entre os quais este parâmetro deverá encontrar-se corresponde à condição de que deverá ser o mais elevado possível, tendo-se provado que está compreendido entre 106 e 108 N/m3.

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2.5.1 - Modelos Coesivos

Os materiais quase-frágeis como a madeira, a porcelana, o vidro, o betão, o osso, entre outros, exibem um comportamento onde a fratura nestes materiais surge a partir da formação de uma significativa zona de processo de fratura (ZPF), onde esta se desenvolve na frente da fenda (Figura 2.7) (Dourado, 2008).

O dano, nos materiais quase-frágeis, é distinguido pela formação de micro-fendas e de pontes de fibra, caracterizado na curva P- por um comportamento não linear. A zona de processo de fratura atinge dimensões significativas à escala da estrutura do material, não podendo aplicar os pressupostos da Mecânica da Fratura Linear Elástica (LEFM) e deve aplicar-se os conceitos da Mecânica da Fratura Elasto-plástica (EPFM). É ainda possível adaptar a LEFM com o objetivo de aproximar a fratura às condições de materiais quase-frágeis, que é conhecida como LEFM equivalente). Assim, a fratura quase-frágil em estruturas entalhadas pode ser mais facilmente e mais eficientemente caracterizada a partir da utilização de modelos coesivos (Elices et al, 2002; de Moura et al, 2008). No modelo equivalente da LEFM, a FPZ é incluída no caminho da fenda, tendo por base uma lei tensão-deslocamento relativo, onde simula o amaciamento desta zona, ou seja, a degradação gradual das propriedades mecânicas do material. O comportamento localizado da fratura na frente de fenda é simulado pelas leis coesivas que estabelecem relações entre os esforços e os deslocamentos relativos existentes entre as faces dessa mesma fenda (Elices et al, 2002).

Considerando que as tensões num determinado ponto satisfazem o critério de rotura adotado, o processo de degradação deve ser gradual para evitar a redução brusca de tensões pois este fenómeno provoca instabilidades ao nível numérico. Na realidade, a rotura não ocorre de forma instantânea e a energia dissipa-se conforme o crescimento da fenda (Ribeiro et al, 2004). O modelo numérico baseia-se no uso indireto da Mecânica da Fratura, através da relação entre tensões e deslocamentos relativos.

13 Tal como a Figura 2.8 apresenta, o dano local inicia-se, quando aplicado o deslocamento relativo δo,i (ou abertura de fenda em modo i = I ou II), a que corresponde a tensão σu,i. Para deslocamentos relativos i superiores a o,i, a tensão instalada na interface diminui de forma linear (ocorre amaciamento do campo de tensões na frente de fenda), até a separação completa do par de nós do elemento finito local (=u,i). A área definida pela curva tensão/deslocamento corresponde à taxa crítica de libertação de energia (GIc). Como a taxa crítica de libertação de energia e a tensão limite são característicos de cada material e obtidas experimentalmente, é possível determinar o deslocamento relativo máximo (δu,i), ou seja, rotura/propagação da fenda. Na extremidade da fenda, como já foi referido, existe a formação de uma ZPF caracterizada pela nucleação, crescimento e coalescência de microfissuras onde a energia de rotura se dissipa de forma gradual (Caldeira, 2011).

Após o aparecimento de dano, a equação constitutiva na simulação de dano é

δ E)D (I

σ  (2.2)

onde I é a matriz identidade e E a matriz diagonal que contém o parâmetro de dano. Figura 2.8 – Modelo de dano bilinear para modo misto I+II+III (de Moura, 2006)

14 Uma característica fundamental do modelo é a avaliação do parâmetro de dano durante o desenvolvimento e este é dado por









Sob carregamento em modo misto (I+II+III) e considerando que as tensões normais de compressão não favorecem o aparecimento do dano, a iniciação do dano segue o critério quadrático

O modelo de modo misto é considerado uma extensão dos modelos de cada modo puro, já que a formulação que o define é a mesma. Contudo, os valores máximos que este modo apresenta, são inferiores pois existe uma combinação de solicitações.

Tendo em conta o caso I > 0, temos um deslocamento equivalente para os rácios de modo misto i=i/I, que pode ser definido como

2 III 2 II 2 I m        (2.5)

Tendo em vista a Equação 2.1, podemos reescrever a Equação (2.4) na seguinte forma 1 2 III o, III om, 2 II o, II om, 2 I o, I om, _                                 (2.6)

onde om,i (i=I, II) representa o deslocamento correspondente ao aparecimento de dano resultantes de carregamentos em modos puros.

0 se 1 0 se 1 I 2 III u, III 2 II u, II I 2 III u, III 2 II u, II 2 I u, I                                                            (2.4)

15 Substituindo as Equações (2.5), e os rácios modo misto i=i/I na Equação (2.6), temos



 

 



em que este representa o deslocamento equivalente em modo misto, no início do processo de amaciamento. Os deslocamento para cada um dos modos de carregamento, om,i, podem ser calculados a partir das Equações (2.5) e da razão de

modo misto i. As condições de propagação são definidas através de um critério

energético quadrático.

O critério energético que foi considerado para simular a propagação do dano é dado por 1 IIIc III IIc II Ic I    G G G G G G (2.8)

tendo em conta que Gi e Gic reproduzem, respetivamente a taxa de libertação de

energia em modo puro (i= I,II ou III) e valor crítico dessa mesma grandeza que é representado pela assímptota horizontal da curva de Resistência obtida a partir de ensaios de fratura no respetivo modo de carregamento.

A energia dissipada na rotura total para cada um dos modos é dada pela área circunscrita representada esquematicamente pelo triângulo, que é dada por

III e II I, com 2 1 , um , um     i G_i  _i  _i (2.9)

Considerando as Equações (2.1), (2.5) e os rácios de modo misto i, é possível

16 Assim, a partir da equação 2.8, temos





em que este representa o deslocamento em modo misto correspondente à rotura completa da estrutura.

2.6 - Determinação experimental das propriedades em modo I

através do ensaio DCB

2.6.1 - Método CBBM

Para determinar as energias de fratura de um dado material, o Método de Calibração da Flexibilidade e a Teoria de Vigas Corrigida são utilizadas para tal efeito (de Moura et al., 2006). Os métodos anteriormente referidos, requerem uma precisa medição do comprimento de fenda durante a sua propagação, mas devido à formação de uma FPZ na extremidade da fenda, resultante da nucleação de múltiplas microfracturas e pontes de fibras, a sua correta avaliação torna-se difícil de realizar na madeira (de Moura et al., 2006). De modo a ultrapassar estas dificuldades, um novo método foi proposto por de Moura et al. (2008) que depende somente da flexibilidade do provete.

Através da Teoria de Vigas, a energia de deformação para um provete à flexão e incluindo o efeito de corte, é dada por

       



 

17 onde Mf representa o momento fletor, I o segundo momento de área, EL e GLR são propriedades elásticas de um dado material ortotrópico e

        1 ₂2 2 3 c y Bh V  (2.12)

Os parâmetros c e V representam, respetivamente, metade da altura da viga e a carga transversa que atua em cada braço da mesma. O deslocamento é dado por

LR 3 L 3 5 12 8 BhG Pa Bh E Pa P U _{ }     _(2.13)

O método CBBM baseia-se na Teoria de Vigas, que, desprezando o efeito de corte, permite estabelecer a relação

3 L 3 8 Bh E a C  _(2.14)

Contudo é sabido que o Módulo de Young, EL, não tem em conta a rotação no encastre nem o efeito de corte, bem como a concentrações de tensões na frente de fenda. De modo a ultrapassar esta dificuldade, é tido em conta um fator de correção

para três comprimentos de fenda diferentes sendo a01>a02>a03.

Assim, para os dois comprimentos de fenda inicial a01 e a02, são aplicadas cargas reduzidas com o único objetivo de avaliar a flexibilidade sem inferir dano ao provete, sendo que para o último comprimento de fenda, a03, o provete é levado até à rotura final. O procedimento de cálculo de é feito através de um regressão linear da flexibilidade experimental (C01/3) com os pontos correspondentes aos comprimentos de fenda a0,como ilustra a Figura 2.9.

18 .

Figura 2.9 – Procedimento de cálculo de 

Então, de modo a ultrapassar estes problemas, um módulo de flexão corrigido (Ef) pode ser usado ao invés de EL. Esse mesmo módulo pode ser obtido como

3 0 3 0 f ) ( 8 Bh C a E   (2.15)

Durante a propagação da fenda, um comprimento de fenda equivalente (ae) deve ser tido em conta pois o processo de dano na extremidade da fenda liberta grandes quantidades de energia e, como tal, não pode ser ignorado. Por outro lado, os mecanismos de dissipação de energia na FPZ, influenciam o perfil da curva P- e, consequentemente, o comprimento de fenda equivalente pode ser estimado a partir da flexibilidade do provete (C) dispensando a medição experimental do comprimento de fenda durante a sua propagação, considerando o Ef ao invés do EL. Este é dado pela seguinte equação 3 / 1 3 f e 8 _      CE Bh a (2.16)

19 A energia de fractura para modo I pode ser obtida a partir da equação de Irwin-Kies da dC B P G 2 2 I  (2.17)

Combinando a Equação 2.14 com a Equação 2.17, temos

         f 2 2 e 2 2 I 2 6 E h a h B P G (2.18)

Assim, com o método CBBM é possível abdicar da medição do comprimento de fenda durante a propagação e não requer novos ensaios para a determinação das propriedades elásticas da madeira, o que se torna prático devido à grande heterogeneidade do material em questão.

2.7 – Lei de Paris

O Fatigue crack growth (FCG) é um método baseado na Mecânica da Fratura (MF) (Pirondi et al, 2003) que procura relacionar um dado parâmetro de fratura (normalmente, a taxa de libertação de energia G) com a taxa de crescimento de fenda induzida por fadiga. Sendo assim, este método estabelece uma relação entre a taxa de crescimento da fenda por ciclo (da/dN) e a alteração do parâmetro de dano selecionado, com o tempo. A função obtida ilustrada num gráfico com escalas logarítmicas, assume uma forma sigmoidal, onde se identificam facilmente três zonas distintas (Fernandez et al., 2011). A primeira região representa o limite de fadiga, que corresponde ao período em que o crescimento da fenda tende para zero. A segunda região é caracterizada pelo crescimento da fenda de forma linear, obedecendo à denominada Lei de Paris,

m c G G C dN da         1 (2.19)

20 A terceira região caracteriza-se por uma propagação de fenda de forma rápida, instável e catastrófica (Figura 2.9).

Figura 2.10 – Comportamento típico à fadiga na escala bi-logarítmica

A Lei de Paris é aplicada na região linear do gráfico, sendo que os valores de C1 e de m, são determinados por ajuste numérico da lei expressa pela Equação (2.20) para um dado material. O coeficiente m representa a sensibilidade da fenda ao seu crescimento.

2.8 – Modelo de dano de fadiga

A formulação do modelo coesivo sob carregamentos cíclicos deve incluir a degradação da rigidez da estrutura em função do número de ciclos. Em problemas de fadiga de alto número de ciclos (high cycle fatigue), a simulação de cada ciclo exige não só um grande esforço computacional mas também uma grande disponibilidade de tempo (de Moura et al, 2013). Por esse motivo, torna-se conveniente considerar a existência de um envelope de carregamento (Figura 2.10), caso se adote uma lei de amaciamento adequada ao material em estudo.

21 Figura 2.11 – Carregamento considerando na análise numérica

De modo a obter uma formulação genérica que abranja os dois tipos de degradação (monotónica e cíclica), assume-se que o parâmetro de dano global e corresponde à soma dos parâmetros de dano em regime estático es com o que corresponde ao regime cíclico ef (e=es+ef).

O parâmetro de dano global pode tomar valores entre zero (i.e. sem dano) e a unidade (i.e. rotura total). A partir deste modelo, é possível determinar o deslocamento relativo máximo ao longo da história do carregamento, máx, em função do parâmetro de dano e. Assim, este é definido por





Este deslocamento inclui os efeitos cumulativos tanto do dano causado à rigidez pelo carregamento estático (es), como cíclico (ef), num determinado ponto de integração.

22 A evolução do parâmetro de dano cíclico ef em função do número de ciclos, num dado ponto de integração pertencente à zona de processo de fratura (ZPF), é dado por dN dA dA de dN de p(k) p(k) f f  (2.21)

sendo Ap(k) a área local deteriorada para um dado ponto de integração k, e N o número de ciclos. A derivação do primeiro termo da Equação (2.22) conduz a

p(k) máx máx f p(k) f dA d d de dA de    _(2.22)

Para a lei monotónica temos um parâmetro de dano dado por,

) ( ) ( o u máx o máx u s          e _(2.23)

Como a relação entre ef e máx obedece à mesma lei para ensaios monotónicos (Equação 2.24), a derivação em ordem a máx, fica

) ( _{u o} 2 máx o u máx f         d de (2.24)

O segundo termo da Equação (2.23) reproduz a evolução de máx em função da área local danificada Ap(k). Assumindo que a relação entre Ap(k) e a área correspondente a cada ponto de integração At(k) é a mesma que a relação entre a energia dissipada GId e a energia de fratura GIc (Turon et al., 2007), resulta

Ic Id t(k) p(k) G G A A  (2.25)

23 Numa análise bidimensional, resulta que At(k)=Blp; sendo B a largura da secção transversal da estrutura (provete) e lp o comprimento correspondendo ao ponto de integração k, que depende do tamanho do elemento e do peso deste no método de integração numérica considerado. A energia dissipada pode ser escrita da forma,

2 u ) ( Ic Id máx  _  G G (2.26)

e a energia de fratura por

2 u u Ic    G (2.27) sendo máx o u ) ( máx (1 )    _  e _(2.28)

Para calcular o segundo termo da equação (2.22), combinam-se as equações (2.3) (considerando nesta somente o modo I de propagação), (2.26), (2.27) e (2.28), a equação (2.25) levará a o ) ( t o u ) ( p máx ) (        k k A A (2.29) e a ) ( t o u ) ( p máx k k A dA d _  (2.30)

Substituindo as equações (2.24) e (2.30), na equação (2.22), ficará ) ( t 2 máx o u ) ( p f k k A dA de     _(2.31)

24 A taxa global de crescimento de fenda pode ser dada pela Lei de Paris modificada (Pirondi et al., 2003) que a relaciona com a variação da taxa de libertação de energia aplicada ciclicamente ΔGI, da forma

2 Ic I 1 C G G C dN dA         (2.32)

Num dado ponto de integração k, a Equação (2.32) pode ser reescrita da seguinte forma 2 Ic I FPZ w 1 ) p( C k k G G n r C dN dA         (2.33)

onde rw representa o peso relativo de cada ponto de integração, nFPZ corresponde a todos os pontos que pertencem à zona de processo de fratura (zona coesiva) e

GIk=(1-R2)GIkmáx, sendo R2=GIkmin/GIkmáx. A partir da Equação (2.27) sabe-se que



e reescrevendo esta, vem

) ( 2 1 1 1 I inc máx    _{ }       



Como σi é dependente de ef, que por sua vez depende de GIkmáx, torna-se

necessário recorrer a um processo iterativo, processo esse que termina quando duas iterações consecutivas forem menores que um valor residual previamente estabelecido.

25 A variação do parâmetro de dano à fadiga para um dado aumento do número de ciclos N num dado ponto de integração k, pertencente à zona de processo de fratura,

é escrito da forma N G G n Bl r C N e C w           2 Ic Ik FPZ p 2 1 o u f( )    (2.36)

A variação que N pode ser estabelecida previamente para o parâmetro de dano

dos pontos de integração pertencentes à zona de processo de fratura.

2.9 – Comportamento à fadiga de materiais compósitos

Os estudos de caracterização do comportamento à fadiga da madeira são escassos, se não mesmo inexistentes. Porém, existem alguns estudos deste tipo em materiais compósitos e juntas coladas.

Pirondi et al. (2003) realizaram ensaios de fadiga em provetes DCB, com o objetivo de caracterizar um adesivo e um substrato de alumínio avaliando a influência da razão de carga R e da frequência de carregamento no crescimento da fenda através de ensaios de fadiga. Estes concluíram que a razão R exerce uma forte influência no crescimento da fenda, através de ensaios de fadiga. Por sua vez, o efeito da frequência de carregamento é baixo, sendo que este fenómeno pode ser explicado através do comportamento viscoelástico exibido pelo adesivo.

Junhui et al. (2003) estudaram o efeito da forma da onda de carregamento, da razão de carga e da frequência de carregamento para a madeira de Acer Rubrum reforçada com juntas ligadas com fibras de polímero. Os provetes foram maquinados com a configuração CDCB (contoured double cantilever beam) e os ensaios foram realizados sob controlo de carga e a taxa de propagação da fenda foi obtida através do método da flexibilidade. Os resultados indicam que enquanto a forma da onda possui um efeito negligenciável, a razão de carga e a frequência de carregamento influenciam significativamente a taxa de propagação da fenda nas juntas coladas estudadas, efeito explicado a partir da Lei de Paris Modificada (LPM).

26 Fernandez et al. (2011) estudaram o comportamento à fadiga de juntas ligadas com compósito de carbono-epóxido, com o objetivo de avaliar diferentes métodos para a determinação da correlação entre a taxa de libertação de energia (GI) com a taxa de crescimento de fenda, utilizando provetes DCB. Como os métodos clássicos de avaliação do comprimento de fenda requerm medições rigorosas durante os ensaios, os autores propuseram o método CBBM, e compararam os resultados obtidos com os obtidos usando o métodos polinomial e o método Beam on Elastic Foundation

Method (BEFM). O método polinomial consiste em ajustar um polinómio de terceiro

grau aos resultados experimentais (flexibilidade (C) vs comprimento de fenda (a)). O BEFM tem por base a Teoria de Vigas e estabelece a relação C=f(a) tendo em conta as propriedades do adesivo. Os autores demonstraram que o método proposto fornece resultados consistentes e que não requer medição do comprimento de fenda durante os ensaios de fadiga. Além disso, o novo método tem em conta a energia dissipada na zona de processo de fratura, que no caso dos adesivos dúcteis, não é negligenciável. Por conseguinte, o método sugerido reproduz o estado real do provete ao longo dos ensaios fadiga.

de Moura MFSF e Gonçalves JPM (2013) apresentaram um modelo numérico para simular o comportamento de juntas adesivas coladas, submetidas a fadiga de alto número de ciclos (high cycle fatigue) em puro modo I. Foi empregue um método de comprimento de fenda equivalente, previamente concebido para análise monotónica. O método baseia-se na Lei de Paris e reproduz a degradação da rigidez em função do número de ciclos usando parâmetros de dano que incluem tanto o amaciamento estático como dinâmico. Estes autores concluíram que os resultados do modelo de elementos finitos não dependem do refinamento da malha, tendo sido capaz de reproduzir com sucesso a taxa de crescimento da fenda em função do número de ciclos, juntamente com a magnitude e amplitude de carga, aspetos que influenciam o comportamento à fadiga do material em estudo.

27

CAPÍTULO III

Descrição do Trabalho Experimental

_____________________________________________________________________

3.1 - Programa Experimental

Com este programa experimental pretende-se caracterizar o comportamento à fadiga em modo I da madeira de Pinus Pinaster Ait.

Este capítulo detalha o estudo experimental executado no plano de redação desta dissertação. Primeiramente, descreve-se o procedimento de obtenção dos provetes DCB que foram utilizados para determinar as curvas de flexibilidade com o número de ciclos, curvas força – deslocamento, curvas de taxa de propagação da fenda por número de ciclos (dAe/dN) e as respetivas curvas de Resistência. Está incluída nesta fase, a descrição da forma e dimensões dos provetes. Inclui-se também a concepção de provetes DCB para ensaios monotónicos de fratura, com o objetivo de determinar a taxa crítica de libertação de energia do material em questão.

Por último, expõem-se os resultados obtidos nos ensaios, faz-se a análise e a discussão dos mesmos e apresentam-se as devidas conclusões.

3.1.1 - Material e Provetes

Os provetes foram obtidos a partir de madeira em estado adulto de uma única tábua central da espécie Pinus pinaster Ait. As especificações dos provetes estão apresentadas na Figura 3.1 e foram preparadas de modo a que o plano de propagação da fenda fosse o RL. Neste sentido, a direção R representa a direção normal ao plano da fenda, ou seja, a direção radial dos anéis de crescimento. A direção L corresponde à direção de propagação da fenda, ou seja, a direção longitudinal das fibras.

28 Geralmente, a madeira de onde são extraídos os provetes possui uma estrutura complexa e apresenta uma quantidade de defeitos assinável, como nós, fissuras, bolsas de resina, entre outros detalhes anatómicos que do ponto de vista estrutural, são considerados como defeitos (Xavier, 2003; Pereira, 2003). Para minimizar o aparecimento destes defeitos e de modo a obter provetes de elevada qualidade, foi feita uma inspeção visual prévia ao material em bruto, e somente as tábuas que apresentavam boa orientação dos anéis de crescimento (distorção das fibras reduzida) e que não possuíam qualquer defeito em todas as faces, foram realmente maquinadas.

O material em bruto possuía aproximadamente 2,8 m de comprimento, 300 mm de largura e 40 mm de espessura. De modo a facilitar e a garantir o manuseio das tábuas com segurança, foi efectuado um corte a meio do comprimento de cada tábua. Para obter provetes com as dimensões pretendidas, efetuaram-se diversos cortes com um disco de corte de madeira (Figura 3.2) e utilizou-se uma garlopa para conferir a espessura nominal pretendida.

Figura 3.2 - (a) Preparação do material em bruto para o corte; (b) Material pós primeiro corte; (c) Último corte para dimensões finais

29 Após a obtenção da peça de madeira com as devidas dimensões, procedeu-se à furação dos dois braços do provete DCB (Figura 3.3), utilizando a broca acoplada a um engenho de furar de coluna vertical, com o diâmetro pretendido para que fosse possível a montagem nas amarras utilizadas no ensaio de fadiga DCB.

O procedimento para a realização do entalhe foi efetuado em duas etapas. A primeira etapa consistiu na abertura de um entalhe inicial com 1 mm de espessura e com um comprimento com cerca de 278 mm, feito com uma serra de fita. Na segunda etapa, o entalhe referido anteriormente foi prolongado cerca de 2 mm, com uma lâmina fina de X-ato (espessura 0,4 mm) posicionada perpendicularmente com o plano RL da madeira e exercendo um ligeiro impacto de modo a obter a propagação da fenda com o comprimento desejado. Esta segunda etapa foi realizada imediatamente antes de cada ensaio mecânico (fratura ou fadiga).

3.1.2 - Acessórios utilizados nos ensaios mecânicos DCB

Para que fosse possível a realização dos ensaios de fadiga, foi necessária a utilização e conceção de vários acessórios (Figura 3.4).

O facto de ter sido necessário o fabrico de acessórios prende-se com o contacto existente entre as duas amarras aquando da instalação destas na respetiva máquina de ensaios (Figura 3.5).

30 Assim, cortaram-se duas chapas para cada amarra e procedeu-se à furação destas com 2 furos em cada uma delas com 14 mm de diâmetro. A seguir escarearam-se os furos. As cavilhas utilizadas nos ensaios foram obtidas a partir do corte de varões de aço com 14 mm de diâmetro.

Figura 3.4 - Acessórios utilizados nos ensaios mecânicos de fadiga

31

3.2 - Ensaios de fadiga DCB

Os ensaios de fadiga DCB foram realizados numa máquina servo-hidráulica INSTRON 8801 equipada com duas células de carga, uma de 100 kN e outra de 5 kN. Estes mesmos foram efetuados com controlo de força, a uma frequência de 2,5 Hz e com uma razão de carga (R) igual a 0,1. As forças máximas aplicadas aos provetes durante os ensaios foram 700, 750, 850 e 1000 N, e em todos os ensaios foi aplicada uma carga inicial de 50 N de modo a eliminar a folga junto dos apoios. Os provetes foram montados nas amarras que serviram de prolongamento através de cavilhas com o diâmetro referido anteriormente, inseridas nos furos que foram efetuados nos dois braços de cada um dos provetes.

No decorrer dos ensaios foi medida a gama de deslocamentos aplicados ao provete e a variação da posição máxima e mínima com o número de ciclos.

Os resultados dos ensaios de fadiga foram tratados usando o Compliance Based

Beam Method (CBBM), pois este não requer a medição do comprimento de fenda

durante o ensaio. Obtiveram-se assim as curvas dAe/dN vs GI/GIc e Log10dAe/dN vs

Log10GI/GIc para cada um dos ensaios.

As curvas dAe/dN vs GI/GIc e Log10dAe/dN vs Log10GI/GIc serão apresentadas na secção destinada à discussão de resultados.

3.3 - Ensaios Monotónicos DCB

De modo a que fosse possível avaliar as curvas de Resistência, e, a partir delas determinar a taxa crítica de libertação de energia do material ensaiado, foram realizados ensaios monotónicos do provete DCB, utilizando o material sobrante de cada um dos ensaios de fadiga, com as especificações ilustradas na Figura 3.6.

32 Figura 3.6 - Especificações dos provetes submetidos a ensaios monotónicos de fratura

Os provetes para este tipo de ensaios foram maquinados de forma idêntica aos provetes utilizados nos ensaios de fadiga (mesma orientação material), diferindo apenas nas dimensões e no número de furos realizados em cada braço do provete (3 furos em cada braço perfazendo os comprimentos de fenda inicial: a₀₁280 mm,

mm 240

02 

a e a₀₃200mm) (Figura 3.7).

Os ensaios monotónicos DCB (Figura 3.8) foram igualmente realizados numa máquina servo-hidráulica INSTRON 8801 equipada com uma célula de carga de 100 kN. Estes ensaios foram efetuados com controlo de deslocamento, com uma velocidade do atuador igual a 3,5 mm/min e as grandezas medidas no decorrer do ensaio foram o deslocamento percorrido pelo atuador e a força aplicada ao braço do provete. Em todos os ensaios foi aplicada uma carga inicial de 20 N de modo a eliminar a folga junto dos apoios. Os provetes foram montados nas respetivas amarras, através de cavilhas com o diâmetro adequado, inseridas nos furos que foram efetuados nos dois braços de cada um dos provetes.

Para os comprimentos de fenda a e ₀₁ a foram aplicadas forças até 100 N, ₀₂

sendo que para o comprimento de fenda a o ensaio ocorreu até à fratura total do 03

provete.

33 As curvas força-deslocamento encontram-se na secção reservada à apresentação e discussão dos resultados.

Concluída a campanha de ensaios mecânicos monotónicos, foram efetuados cortes longitudinais a um dos braços sobrantes de cada provete, próximo da zona de propagação da fenda. Depois de executado o corte longitudinal, foram realizados dois cortes transversais a cada terço da metade selecionada (Figura 3.9), com o propósito de efetuar a medição do ângulo de inclinação dos anéis de crescimento e verificação da sua influência nos valores da taxa crítica de libertação de energia. Foram também obtidas peças com o formato de paralelepípedo de modo a determinar a massa volúmica de cada provete ensaiado.

34 Figura 3.9 - Desvio do fio da madeira nas quatro secções do provete

Os valores dos ângulos de inclinação nas quatro diferentes secções do fio da madeira e da massa volúmica de cada provete estão expostos na secção de apresentação e discussão de resultados.

3.4 - Apresentação e Discussão dos Resultados

3.4.1 - Curvas força – deslocamento

Na Figura 3.10 apresenta-se a totalidade das curvas força–deslocamento (curvas P-) obtidas nos ensaios de fratura em regime monotónico para a geometria DCB. Em todos os ensaios a propagação deu-se de forma estável, denotando em alguns provetes um ligeiro desvio da fenda motivada pelo desvio do fio da madeira, tal como ilustra na Figura 3.11.

35 Figura 3.10 - Curvas P- resultantes dos ensaios mecânicos de fratura (regime monotónico).

0 50 100 150 200 250 0 2 4 6 8 10 12 14 16 P (N ) δ (mm)

36

3.4.2 - Curvas de Resistência

Na Figura 3.13 apresentam-se as curvas de Resistências (curvas-R) obtidas nos

ensaios de fratura descritos na secção 3.3, usando o procedimento descrito na secção 2.6.1.

A partir das curvas-R foram determinados os valores da taxa crítica de libertação de energia (G ) para cada um dos provetes ensaiados (Tabela 3.1), através Ic

da assímptota horizontal daquelas curvas. Com estes resultados avaliou-se o valor médio de G (Tabela 3.2), tendo-se concluído que a dispersão é reduzida (inferior ao _Ic

valor máximo aceitável para a madeira, de 20%). O valor obtido (i.e., 0,324 N/mm) é característico da madeira de pinho bravo adulto.

37 Na Tabela 3.1 apresenta-se igualmente a orientação dos anéis de crescimento (Si) medida em 4 secções transversais ao longo do provete (correspondentes às

extremidades de 3 tramos com o mesmo tamanho). Esta operação foi executada a partir do material sobrante dos ensaios de fratura (em regime monotónico). Constatou-se que a inclinação do fio é, em média, igual a 10,8°, com um coeficiente de variação elevado, igual a 46,99%. Também se registou a massa volúmica do material usado nos ensaios mecânicos, estimado, em média, em 577,08 kg/m3, com um coeficiente de variação reduzido (i.e., iguala 6%). Para ilustrar a influência da inclinação do fio no valor da taxa crítica de libertação de energia de fratura, fez-se a representação gráfica que se ilustra na Fig. 3.14. Nesta figura é possível concluir-se que a inclinação do fio não exerce uma influência muito significativa na taxa crítica de libertação de energia, o que vem confirmar que as dimensões relativas do provete (altura vs comprimento de fenda inicial) são adequadas à medição de GIc.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 200 210 220 230 240 250 260 GI (N /m m ) a_eq(mm)

38 Tabela 3.1 - Valores da taxa crítica de libertação de energia, do ângulo de inclinação (Si) do fio e da

massa volúmica da madeira

Provete GIc (N/mm) S1 ( o ) S2 (o) S3 (o) S4 (o) Desvio (o) Massa Volúmica (kg/m3) 1 0,3 19 15 20 21 18,75 572,33 2 0,305 7 4 2 14 6,75 599,82 3 0,2826 9 6 4 7 6,5 575,18 4 0,2849 6 3 4 9 5,5 653,39 5 0,306 7 7 8 6 7 563,86 6 0,3149 16 14 8 17 13,75 594,85 7 0,3087 9 7 14 11 10,25 575,14 8 0,3177 16 12 11 16 13,75 553,92 9 0,3837 10 13 13 9 11,25 558,56 10 0,3568 16 16 16 13 15,25 533,70 11 0,3245 1 1 2 3 1,75 584,49 12 0,33 1 2 5 8 4 574,46 13 0,315 14 14 14 12 13,5 645,77 14 0,3657 17 20 18 14 17,25 581,94 15 0,3477 12 9 15 10 11,5 528,67 16 0,3458 13 20 10 23 16,5 537,18 Média 10,8 577,08 CoV(%) 46,99% 6,06%

Tabela 3.2 - Valor médio da taxa crítica de libertação de energia obtida nos ensaios de fratura

GIc (N/mm)

Média 0,324

39 Figura 3.14 – Efeito da inclinação do fio da madeira na taxa crítica de libertação de energia

3.4.3 – Resultados dos ensaios de fadiga

No tratamento dos resultados dos ensaios de fadiga, recorreu-se ao procedimento detalhado na secção 2.6.1 para o tratamento dos resultados dos ensaios de fadiga DCB, de modo a obter as curvas dAe/dN vs GI/GIc, Log10dAe/dN vs

Log10GI/GIc e os coeficientes da Lei de Paris, para cada um dos provetes.

A curva dAe/dN vs GI/GIc relaciona a taxa de crescimento do comprimento de fenda em cada ciclo, com o cociente da taxa de libertação de energia cíclica pela taxa crítica de libertação de energia.

Foram consideradas duas hipóteses distintas no que diz respeito à determinação da Lei de Paris, bem como das curvas acima referidas. A primeira hipótese consistiu em considerar o valor médio de GIc,para o cálculo dos coeficientes da Lei de Paris. A segunda hipótese traduziu-se na utilização do valor de GIc obtido para cada provete, também com o objetivo de conhecer os coeficientes da Lei de Paris.

y = 0.0021x + 0.3016 R² = 0.1383 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 5 10 15 20 GIc (N/m m ) Desvio (o₎