Análise de desempenho de uma classe de gráficos de controle adaptativos

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ENEGEP 2006 ABEPRO

Análise de desempenho de uma classe de gráficos de controle

adaptativos

Maysa Sacramento de Magalhães (ENCE/IBGE) maysa@ibge.gov.br Antônio Fernando Branco Costa (FEG/UNESP) fbranco@feg.unesp.br

Francisco Duarte Moura Neto (IPRJ/UERJ) fmoura@iprj.uerj.br

Resumo

Este trabalho apresenta uma classe geral de gráficos de controle adaptativos. As medidas de performance dos gráficos são obtidas através da construção de cadeias de Markov que modelam o processo de produção em conjunto com o sistema de monitoramento. A análise da dependência da performance do sistema de controle em função dos parâmetros de projeto dos gráficos de controle é apresentada, exibindo informações que permitem a seleção do gráfico adequado a cada situação.

Palavras-chave: controle de qualidade, controle estatístico do processo, gráfico de controle adaptativo

1. Introdução

Para fazer frente ao monitoramento de processos de produção que apresentam desvios do valor alvo de pequeno ou moderado tamanho, cuja detecção por gráficos de Shewhart tradicionais é demorada, diversos gráficos têm sido propostos. Esta é uma demanda cada vez mais presente em função da necessidade de aumentar a eficácia dos processos produtivos, evitando dispêndio de recursos no re-trabalho, no descarte e no recall de produtos.

Reynolds et al.(1988), Prabhu et al.(1994,1997), Costa (1994,1997,1999), Park e Reynolds (1999) e De Magalhães et al. (2002), introduziram gráficos de controle adaptativos e mostraram que apresentam melhor performance, tanto do ponto de vista estatístico como do ponto de vista econômico, quando comparados com gráficos de parâmetros fixos (FP). Alternativas ao gráfico clássico de Shewhart foram propostas por Champ e Woodall (1987), incluindo regras suplementares, Lucas e Saccucci (1990), incluindo gráficos EWMA, e Lucas (1982), juntando gráficos de Shewhart com gráficos de somas acumuladas, entre outras. A idéia de gráficos adaptativos com desenho estatístico foi introduzida por Reynolds et al. (1988), considerando especificamente um gráfico de controle de X com intervalo de amostragem variando adaptativamente (VSI, da sigla em inglês). Este trabalho inspirou outros artigos tratando de gráficos adaptativos, como, por exemplo, Reynolds e Arnold (1989), Runger e Pignatiello (1991), Amin e Miller (1993), Runger e Montgomery (1993), Reynolds

et. al. (1990), Saccucci et al. (1992), Reynolds (1996), Costa e Rahim (2001), De Magalhães

e Moura Neto (2005), Prabhu et al. (1994,1993), Costa (1994,1997,1999).

Alguns dos trabalhos citados consideraram a possibilidade de tornar adaptativos um ou mais parâmetros de projeto do gráfico de controle. No entanto, nem todas as possibilidades foram esgotadas, nem foi feito um estudo pormenorizado dos ganhos em cada um dos gráficos. A introdução de variação nos parâmetros de projeto do gráfico durante o monitoramento e o processo produtivo implica na necessidade de modificações na gestão do sistema de controle. Neste trabalho, uma abordagem sistemática de inclusão de parâmetros de projeto adaptativos é apresentada e é feita uma comparação da performance dos gráficos adaptativos

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considerados. Esta análise pode auxiliar a escolha de qual gráfico é adequado a uma situação específica.

Na próxima seção, a classe de gráficos adaptativos é apresentada e sua modelagem, através de cadeias de Markov, é discutida na seção seguinte. Finalmente as simulações, comparações e conclusões são apresentadas na última seção.

2. Classe de gráficos adaptativos

Assumimos que o processo de produção é tal que uma característica de qualidade de interesse

X, tem distribuição normal com média µ = µ0 e variância σ2, quando o processo estiver

operando em condições satisfatórias, ou com média µ = µ0 ± δσ, δ>0, após um desajuste

brusco que ocorre em um instante de tempo, sendo que o tempo que um processo permanece em controle é exponencialmente distribuído.

Um gráfico de controle é utilizado para monitorar o processo e indicar, tão logo quanto possível, a ocorrência do desajuste, para que medidas corretivas possam ser implementadas de forma a trazer o processo ao seu estado de produção regular (em controle).

Um gráfico de controle adaptativo do tipo Shewhart necessita que o usuário especifique os seguintes parâmetros de projeto: o tamanho da amostra, n, o tamanho do intervalo de tempo entre amostras (intervalo de amostragem), h, e o tamanho dos coeficientes dos limites de aviso e de controle, (w,k).

Uma amostra aleatória de tamanho n é retirada da linha de produção e uma média padronizada é calculada,

X i

i X

Z =( −µ₀)/σ (1)

Na classe de gráficos adaptativos aqui considerados, a política de adaptação é estabelecida ao se definir o que fazer dependendo do valor de Zi. Em todos os casos aqui considerados, se

|Zi | > k, diz-se que o alarme soou (o estado de controle é A), o processo produtivo é parado e

uma busca da origem do presumido descontrole do processo produtivo, e seu eventual reparo, quando houver necessidade, é realizado, antes de reiniciar a produção. Observamos que nem todos os processos podem ser interrompidos, mesmo quando se detecta que este está desregulado (fora de controle).

Sejam

n

₀,

h

₀ e

k

₀ os parâmetros de projeto um gráfico de controle FP, representando, respectivamente, o tamanho da amostra, o intervalo de amostragem e o coeficiente de abertura dos limites de controle. No caso dos gráficos com parâmetros adaptativos admitimos que n, h, e k assumam, cada um, dois valores possivelmente distintos, denotados, respectivamente, por

ni, hi, ki, além de limites de aviso, wi, i=1,2. Assumimos, à partida, que

2 1 , 2 1 2 1 n , h h k k n ≤ ≥ ≥ (2)

e, se quisermos evitar o gráfico FP, pelo menos uma das desigualdades tem que ser estrita. Os dois conjuntos de parâmetros

(

n

₁

,

h

₁

,

w

₁

,

k

₁

)

e

(

n

₂

,

h

₂

,

w

₂

,

k

₂

)

correspondem, respectivamente, a estados de controle relaxado (1C) ou atento (2C), nomenclatura esta que ficará mais clara a seguir, em função da equação (2).

Estamos agora em condições de finalizar a apresentação da política de monitoramento. Quando Zi, dado na equação (1), satisfaz |Zi|< w, a próxima amostra é analisada utilizando os

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parâmetros

(

n

₁

,

h

₁

,

w

₁

,

k

₁

)

e quando w<|Zi|< k a próxima amostra é analisada utilizando os

parâmetros

(

n

₂

,

h

₂

,

w

₂

,

k

₂

)

.

Dependendo das relações entre os parâmetros, equação (2), diferentes gráficos de controle adaptativo existem. Um resumo é dado na Tabela 1.

Símbolo Gráfico # par. adap. Parâmetros adap. Param. const.

FP Parâmetros fixos (Fixed parameters) 0 (nenhum) – _n,h,k

VSL Limites de controle variáveis (Variable sample limits)

1

₍

_w

_,

_k

₎

_n,h

VSI Intervalo de amostragem variável (Variable sample interval)

1

_h

_n

_,

₍

_w

_,

_k

₎

VSS Tamanho da amostra variável (Variable sample size)

1

n

_h

_,

₍

_w

_,

_k

₎

VSIL Intervalo e limites de controle variáveis (Variable sample interval and limits)

2

_h

_,

₍

_w

_,

_k

₎

n

VSSI Tamanho da amostra e intervalo variáveis

(Variable sample size and interval)

2

_n,

_h

₍

_w

_,

_k

₎

VSSL Tamanho da amostra e limites variáveis (Variable sample size and limits)

2

_n

_,

₍

_w

_,

_k

₎

_h

VP Parâmetros variáveis (Variable parameters)

3 (todos)

_n

_,

_h

_,

₍

_w

_,

_k

₎

– Tabela 1. Parâmetros de projeto (n, h, k) de gráficos de controle adaptativos. Uma restrição à escolha dos limites de aviso e controle é:

)

|

|

|

|

(|

0

P

Z

w

i

Z

k

i

p

=

<

<

para i=1, 2, (3) onde Z ~ N(0,1). Denominaremos esta probabilidade comum por p0.

Assuma ainda que, inicialmente (ou sempre que o sistema está sendo reinicializado após uma busca de uma causa especial do desajuste seguida da remediação, quando apropriada) o sistema de monitoramento esteja nos estados 1C (controle relaxado) e 2C (controle atento) com probabilidades p0 e (1-p0), respectivamente. Então, note que p0 nada mais é do que a

probabilidade do sistema se encontrar em um estado de controle relaxado, quando está operando sob controle.

3. Medidas de desempenho estatístico de gráficos com parâmetros adaptativos 3.1 Modelo do processo de produção

Qualquer um dos gráficos adaptativos X apresentados anteriormente controlam uma característica de qualidade X dos itens produzidos. Assumimos que as amostras são independentes e que o processo começa em um estado de controle estatístico, a média está no alvo, o qual é denotado por c0, isto é, X ~N(µ0,σ02) A ocorrência brusca de uma causa especial leva o processo produtivo a um outro estado, o estado fora de controle, no qual a média está fora do alvo, c1, isto é, X ~ N(µ0+δσ,σ02)

A ocorrência de uma causa especial dá origem a uma mudança súbita na média da característica de qualidade. Esta causa especial é por vezes ocasionada devido à quebra de uma ferramenta ou instrumento, à falta de atenção de um operador, a uma mudança abrupta na voltagem elétrica, etc. O modelo considerado não abarca mudanças ou deterioração gradual

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do processo produtivo, como no caso de desgaste lento de uma ferramenta ou envelhecimento de um componente.

Uma vez que o processo tenha sofrido o impacto de uma causa especial, que ocorre ao longo do tempo segundo uma distribuição exponencial (com média 1/λ), a única forma de voltar a uma produção regular (em controle) é corrigindo o processo – este não é auto-corretivo.

3.2 Sistema de monitoramento e processo de produção

Quando o processo está fora de controle, os estados são dados na Tabela 2.

Estados Nível de controle Média

1C c1 Relaxado Fora do alvo

2C c1 Atento Fora do alvo

3A Alarme (verdadeiro)

Tabela 2. Estados da cadeia de Markov Neste caso, a matriz de probabilidade de transição é dada por

  = I R Q P_c c 0 1 1 onde R=

[ ]

R

_x

[

p

c1

p

c1

]

T 23 13 1

2

=

, representa a matriz de transição de estados transientes ao estado absorvente 3A; [0]1×2 = [

0

0

], é a matriz que afirma a impossibilidade de ir de um

estado absorvente para um estado transiente; [I] = [1]1×1, é a matriz identidade 1×1,

afirmando que uma vez que se atinge o estado absorvente lá se permanece, [ ]

1

c

Q 2×2, é a

matriz de transição entre estados transientes,

    = 1 1 1 1 1 22 21 12 11 c c c c c p p p p Q onde c1 ij

p denota a probabilidade de transição de ir do estado i ao estado j, quando o processo de produção está em um estado fora de controle,

c

₁. Durante o período fora de controle, as probabilidades de transição são dadas por:

(

i i i i

)

c i P w n Z w n p 1 = − −δ < < −δ 1

(

i i i i

) (

i i i i

)

c i P w n Z k n P k n Z w n p 1 = −δ < < −δ + − −δ < <− −δ 2

(

i i

) (

i i

)

c i PZ k n PZ k n p 1 = > −δ + <− −δ 3 onde i=1,2. 3.3 Medidas de performance

O tempo médio ajustado até um sinal (AATS) é usado quando o processo começa sob controle, µ =µ₀, e então a média µ salta para µ =µ₀ ±δσ, em algum instante posterior. Neste caso, o AATS representa o tempo médio desde o desvio na média até um sinal de alarme, isto é, é o tempo médio em que o processo permanece fora de controle.

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Generalizando o resultado de Duncan (1956), se uma causa especial ocorre entre as amostras de número m e (m+1), e se amostras de tamanho n_i são retiradas em intervalos h_ie o processo vai para fora de controle no intervalo, então o tempo esperado de ocorrência é,

) 1 ( ) 1 ( 1 i i h h i i e e h λ λ λ λ τ − + − = − , para i = 1, 2.

Para obter o tempo médio fora de controle até um alarme, é necessário determinar o número médio de visitas a cada estado transiente na cadeia de Markov, quando o processo está fora de controle. Pelas propriedades da cadeia de Markov temos

[

]

(

)

1 2 1 _{1 1 1 1} − − = c T c c C c C V V I Q V , onde

[ ]

[

₀ (1 ₀)

]

2 1 1 p p V x T

c = − é o vetor das probabilidades iniciais quando o processo está

fora de controle, e

[ ]

2 2

1 x c

Q , é a matriz dada anteriormente. Note que

(

)

1

1 − −Qc _ij I , é o elemento ij da matriz

(

)

1 2 2 1 − − x c Q

I , representa o número médio de visitas ao estado transiente j antes de absorção dado que o processo começou no estado i. Cada

1

c iC

V , para i = 1, 2, representa o número médio de visitas a um estado qualquer quando a média está fora do alvo. Finalmente, a expressão para o tempo médio fora de controle até um sinal é dada por:

) 1 ( ) ( ) ( ₁ 1 _{0 2} 2 ₀ 2 2 1 1V 1 h V 1 h 1 p h 1 p h AATS= _c + _c + −τ_c + −τ_c − (4)

4. Comparação de gráficos de controle com parâmetros adaptativos

Nesta seção comparamos a performance dos gráficos definidos pela Tabela 1, através do AATS. Algumas observações sobre a escolha dos parâmetros de projeto são apresentadas e, em seguida, o desempenho dos gráficos com relação ao parâmetro do desvio é discutida. E finalmente, as conclusões são apresentadas.

4.1 Escolha dos parâmetros

Para a comparação entre os gráficos ter sentido, impomos que os gráficos tenham o mesmo nível de monitoramento, e que sejam iguais ao de um gráfico FP, com relação a:

a) número médio de itens amostrados,

) 1 ( 0 2 0 1 0 n p n p n = + − , (5a)

b) número médio de vezes que o processo é amostrado, ) 1 ( ₀ 2 0 1 0 h p h p h = + − , (5b)

c) taxa de falsos alarmes,

) 1 ( ₀ 2 0 1 0 =α p +α −p α , onde α_i =P(|Z|>k_i), i=0,1,2. (5c) Os parâmetros devem satisfazer ainda: 1≤n₁ ≤n₀ ≤n₂, h_'1 ≥h₀ ≥h₂ >0, k_'1 ≥k₀ ≥k₂ >0,

k1>w1>0, k2>w2>0, e 0≤ p0 ≤1. Mais ainda, pela equação (5b), e como

h

2 deve ser positivo, resulta que

1 0

0 h / h

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4.2 Performance dos gráficos

Nesta seção comparamos o desempenho dos gráficos com respeito à sua dependência ao parâmetro de desvio, δ. Tabela 3 apresenta os valores do AATS para cada gráfico com respeito aos valores do parâmetro δ, variando de 0 a 2 com passos de 0,25. Para este cálculo os valores dos parâmetros de entrada foram escolhidos como p0= 0,75, λ=0,0001 e n1=2,

h1=2, k1=3,3 para os parâmetros do controle relaxado, e também n0=5, h0 =1, k0=3 para os

parâmetros do gráfico FP. Todos os outros parâmetros são calculados através das equações (3) e (5) e são n2=14, h2 =0,1, w2 =1,136, k2=2,6564 e w1=1,1485.

Para valores pequenos e moderados do parâmetro δ (0 < δ < 1) pode-se observar que AATSFP>AATSi>AATSVP, para i=VSL, VSI, VSS, VSIL, VSSI, VSSL. Há uma certa relação

entre a inclusão de novos parâmetros e a diminuição do AATS, para esses valores de δ. De fato, pode-se observar, por exemplo, que

para AATS AATS AATS AATSFP > VSS > VSSI > VP

0

<

δ

≤

1

Gráfico\Delta 0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 FP 370.90 133.66 33.90 11.26 5.00 2.89 2.07 1.72 1.58 VSL 370.90 124.86 27.46 8.77 4.18 2.68 2.06 1.76 1.60 VSI 370.90 122.90 24.75 6.28 2.59 1.78 1.58 1.53 1.51 VSS 370.90 107.49 14.33 4.54 2.94 2.45 2.23 2.08 1.95 VSIL 370.90 114.82 20.21 5.14 2.37 1.75 1.58 1.53 1.51 VSSI 370.90 97.96 9.88 3.05 2.23 1.92 1.75 1.65 1.59 VSSL 370.90 67.77 9.97 3.99 2.86 2.48 2.29 2.16 2.04 VP=VSSIL 370.90 62.14 7.39 2.94 2.20 1.92 1.76 1.66 1.60

Tabela 3. AATS para uma classe de gráficos de controle, dependendo do parâmetro de desvio

Pode ser observado que para desvios até

δ

=

1

, todos os gráficos considerados têm desempenho melhor do que o gráfico FP. Ganhos acima de 40% na performance podem ser vistos em três dos gráficos (VSSL, VSSI, VP) para certos intervalos do parâmetro de desvio (0,2 < δ < 1). Para alguns dos gráficos, a performance se deteriora para desvios

δ

>

1

, como é o caso de VSS e VSSL.

A escolha de qual gráfico usar depende das características do processo de produção. Usar um gráfico que varia o tamanho da amostra (VSS, VSSI, VSSL, VP) não aumenta automaticamente o custo quando comparado com um gráfico FP, o que é uma vantagem, uma vez que o número médio de amostras quando o processo está em controle é o mesmo, como exigido pela equação (5a). Pode aumentar, no entanto, devido a outros custos. A variação do intervalo de amostragem pode dar origem a problemas de gerenciamento. Já variar os limites de controle tem custo praticamente nulo; entretanto, existem custos associados à sua implementação. É notável que, mesmo com tão simples artefato, é possível aumentar a performance, 10% melhor 0,3 < δ< 1,1 chegando até 20% melhor, como pode ser visto pela Tabela 3.

Assumindo que não há problemas em variar o tamanho da amostra (ou intervalos amostrais) então é melhor incluir limites de controle variáveis. Adicionar a este esquema limites de controle variáveis aumenta a performance, como pode ser visto comparando os gráficos VSS a VSSL e VSI a VSIL na Tabela 3. Embora o gráfico com VSS tenha um desempenho superior ao VSSL quando δ> 1,1 isto não é problemático uma vez que para esses valores do parâmetro de desvio, a diferença absoluta é bastante pequena. Observando a Tabela 3, temos que para δ > 1,25, AATSVSS = 2,45 e AATSVSSL = 2,48. Assim, uma vez que a inclusão de

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limites de controle variáveis depende apenas de ajustar os cálculos, depois de ter decidido que o parâmetro n, ou h, será variado, então, a variação dos limites de controle deve ser incluída. Observando a Tabela 3 ainda podemos obter algumas conclusões interessantes. Para valores de δaté 1,4, VSSL, VSIL, VSSI e VP têm uma performance superior ao gráfico FP. Também, para pequenos desvios até 0,4 os desempenhos de VSSL e de VP são comparáveis, para processos que têm essas características podemos usar ao gráfico VSSL ao invés do mais complicado VP. Mais ainda, a complexidade e o custo dos gráficos VSSI e VP são equivalentes. Contudo, para desvios até 0,8, o gráfico com VP é superior na detecção de desvios de tais magnitudes e assim, deve ser escolhido em detrimento do VSSI.

4.3 Conclusões

Neste artigo, um modelo estatístico para o projeto de uma classe de gráficos de controle X foi desenvolvido, assumindo distribuição normal para a característica de qualidade e tempo em controle exponencialmente distribuído. A medida de performance estatística foi obtida usando cadeias de Markov. Parâmetros de projeto ótimos podem ser obtidos para valores dados dos parâmetros do processo. Uma comparação extensa, da performance dos gráficos, foi realizada, que permite apresentar indicações de qual gráfico usar em situações específicas.

Agradecimentos. Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq.

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