2a Lista de Exerc´ıcios MAT 134
Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear - 2015 - Profa. Iryna Kashuba
1a parte: Espa¸cos vetorias: defini¸c˜oes, exemplos, subespa¸cos
1. Mostre que com as regras usuais para somar func˜oes e multiplicar fun¸c˜oes por n´umeros reais. O conjunto S dos fun¸c˜oes da reta na reta que se anulam no ponto 2 ´e um espa¸co vetorial. O que acontece se a condi¸c˜ao f (2) = 0 ´e substituida por f (2) = 1?
2. Verifique se V = {(x, y | x, y ∈ R)} ´e um espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao ⊕ e de multiplica¸c˜ao por escalares ⊗ dadas por:
a) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2); α ⊗ (x, y) = (x, αy)
b) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1, y1); α ⊗ (x, y) = (αx, αy)
c) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (2x1− 2y2, −x2+ y1); α ⊗ (x, y) = (x, αy)
d) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1+ x2− 1, y1+ y2− 1); α ⊗ (x, y) = (αx − α + 1, αy − α + 1)
3. Verifique se S ´e um subespa¸co vetorial do espa¸co vetorial V nos seguintes casos: a) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3| x = 0} b) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3| x, y, z ∈ Q} c) V = M2(R) e S = {A ∈ M2(R) | A ´e invert´ıvel } d) V = P3(R) e S = {p ∈ P3(R) | p(t) ≥ 0, ∀t ∈ R} e) V = C2(R) e S = {f ∈ C2| af00+ bf0+ cf = 0} f) V = C(R) e S = {f ∈ C(R) | R1 0 f (x) 2dx = 0}
2a parte: LI e LD num espa¸co vetorial, geradores e base
1. Em cada caso, considere o sistema de equa¸c˜oes homogˆeneo que tem a matriz dada como matriz de coeficientes, encontre as solu¸c˜oes b´asicas do sistema, e expresse a solu¸c˜ao geral como combina¸c˜ao linear dessas solu¸c˜oes b´asicas.
a). 1 2 3 −1 3 0 1 8 3 b). 1 2 0 2 3 −1 3 4 −2 1 3 1 6 9 −3 c). 1 1 −2 3 2 2 −1 3 4 1 −1 −2 3 0 1 3 0 1 7 3
2. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores determina ou n˜ao uma base de R3:
(i) (1, 1, 1), (1, 0, 1);
(ii) (1, 2, 3), (1, 3, 5), (1, 0, 1), (2, 3, 0); (iii) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1);
3. Determine a dimens˜ao e uma base do espa¸co de solu¸c˜oes dos sistemas homogˆeneos abaixo: a). x + 2y + z − 2t = 0 2x + 4y + 4z − 3t = 0 3x + 6y + 7z − 4t = 0 b). x + y + 2z = 0 2x + 3y + 3z = 0 x + 3y + 5z = 0
4. Para que valores de a ∈ R o conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} ´e base de R3.
5. Encontre uma base e a dimens˜ao para os seguintes subespa¸cos: a). S = {p ∈ P3(R) | p(2) = 0} b). S = {(x, y, z) ∈ R3| 5x − 3y + 2z = 0} c). S = {p ∈ P3(R) | p(2) = p(−1)} d). S = {A ∈ M2(R) | 3a22= 5a12} e). S = {(x, y, z, u, v) ∈ R5| x = u = v} f). S = {(x, y, z, u) ∈ R4| x = y, 2x − y + 3z − u = 0} g). S = {A ∈ M2(R) | A comuta com a matriz
1 −2
1 3
}
6. Seja B = {1, 2 − x, x2+ 1, 1 + x + x2}. Verifique que B ´e uma base para P
3(R) e determine
as coordenadas do polinˆomio p(x) = x3 em rela¸c˜ao `a base B.
7. Uma matriz quadrada ´e sim´etrica se aij = aji quaisquer que sejam i e j. Mostre que o
conjunto formado pelas matrizes sim´etricas ´e um subespa¸co de Mn(R). Determine uma
base para o subespa¸co das sim´etricas em M3(R). Mostre que a dimens˜ao das sim´etricas em
Mn(R) ´e n
2+n
2 .
8. Seja A uma matriz m×n e sejam B1, B2, . . . , Bk colunas em Rmtais que o sistema AXi = Bi
tem uma solu¸c˜ao Xi para cada i. Se {B1, B2, . . . , Bk} ´e LI em Rm, mostre que {X1, . . . , Xk}
´e LI em Rm.
9. Verifique se o conjunto de fun¸c˜oes B ´e LI ou LD nos seguintes casos: a). B = {e2x, xe2x, x2e2x, x3e2x}
b). B = {excos 2x, e2xsen 3x, e3xcos 4x}
10. Verifique se os seguintes conjuntos s˜ao LI ou LD a). {t2+ t, t − 1, t} ⊂ P2(R) b). {t3, t2 − 1, t + 2, t3+ t2− t − 3} ⊂ P 3(R) c). 1 0 2 0 1 −1 , 2 1 1 1 −2 3 , 1 2 −1 2 4 3
11. Uma matriz A n˜ao ´e quadrada, mostre que ou as linhas ou as colunas de A s˜ao LD.
12. Determine uma base de R4 que contenha os vetores (1, 1, 1, 0) e (1, 1, 2, 1).
13. Sejam A = {(0, 2, −1, 0, 1), (0, 0, 3, −1, 2), (0, 4, −5, 1, 0)}, S = [A] e v = (0, m − m, 1, 1). Determine uma base de S. Determine todos os valores de m para os quais v ∈ S.
14. Para os sistemas lineares a seguir, determine o posto e a dimens˜ao e uma base do subespa¸co das solu¸c˜oes
a). x − 3y + 2z − w = 0 x − 2y + 4z + 3w = 0 x − 5y − 2z − 9w = 0 b). x + 5y − 3z + 2w = 0 x + 6y + 2z − 3w = 0 x + 3y − 13z + 12w = 0
15. Sejam A e B dois vetores no R2 e suponhamos que s˜ao ambos diferentes de zero. Se n˜ao existir nenhum c ∈ R tal que cA = B, mostrar que A e B formam uma base de R2 e que
R2 ´e a soma direta dos subespa¸cos gerados por A e B respectivamente. 3a parte: Espa¸cos com produto interno
1. Consideremos o espa¸co euclidiano R2. Sendo u = (1, 2) e v = (−1, 1) em R2, determine um
vetor w desse espa¸co tal que hu, wi = −1 e hv, wi = 3.
2. Sejam u e v vetores de um espa¸co euclidiano tais que kvk = 1, kuk = 1 e ku − vk = 2. Determinar hu, vi.
3. Num espa¸co vetorial euclidiano provar que kuk = kvk ⇐⇒ hu + v, u − vi = 0.
4. Num espa¸co vetorial euclidiano provar que ku + vk2 = kuk2 = kvk2 ⇐⇒ hu, vi = 0.
5. Seja V um espa¸co vetorial comproduto interno h , i e sejam u e v em V . Prove que o vetor kukv + kvku ´e paralelo `a bissetriz do ˆangulo formado por u e v.
6. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y − 2) vetores em R2. Mostrar que hu, vi = x1y1 − 2x1y2 −
2x2y1 + 5x2y2 define um produto interno sobre R2. Determinar a norma de u = (1, 2) em
rela¸c˜ao ao produto interno usual e tamb´em em rela¸c˜ao ao produto definido nesse exerc´ıo.
7. Considere em P2 o produto interno dado por hp, qi =
R1
0 p(x)q(x)dx. Seja S = {p(x) ∈
P2| p(1) = 0}. Determine uma base ortogonal de S. Dado f ∈ P2, encontre vetores p1 ∈ S
e p2 ∈ S⊥ tais que f = p1+ p2.
8. Sejam u e v vetores fixos de um espa¸co vetorial euclidiano. Achar o vetor de menor norma de conjunto {u + tv | t ∈ R}, supondo v 6= 0.
9. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores em R2. Para que valores de t ∈ R a fun¸c˜ao
hu, vi = x1y1+ tx2y2 ´e um produto interno sobre R2.
10. Sendo V = M at2×2(R), mostre que hA, Bi =tra¸co(BTA) define um produto interno sobre
V . Calcule hA, Bi, kAk, kBk. Se
A = 1 1 0 1 , B = 1 0 0 0 . Se W = x y z w | x + y − z = 0
, determine uma base ortonormal para W . Determine o vetor de W que est´a mais pr´osimo de A = 0 1
0 1
11. Consideremos em P2 o produto interno dado por
hf (t), g(t)i = Z 0
1
f (t)g(t)dt.
Nessas condi¸c˜oes, para que valor de m f (t) = mt2− 1 ´e ortogonal a g(t) = t?
12. Consideremos em P2 o produto interno dado por
hf (t), g(t)i = Z −1
1
f (t)g(t)dt.
Nessas condi¸c˜oes, para que valor de m f (t) = mt2− 1 ´e ortogonal a g(t) = t?
13. Determine o polinˆomio de grau menor ou igual a 2 que est´a mais pr´oximo da fun¸c˜ao f (x) = ex no intervalo [0, 1], considerando em C([0, 1]) o produto interno usual.
14. Ortonormalizar a base u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, −1, 1), u3 = (−1, 0, 1) do R3, pelo processo
de Gram-Schmidt.
15. Determinar a proje¸c˜ao ortogonal de u = (1, 1) sobre o sub-espa¸co V = [(1, 3)] do R2.
16. Determinar a proje¸c˜ao ortogonal de f (t) = 2t − 1 ∈ P2 sobre o sub-espa¸co U = [t], em
rela¸c˜ao ao produto interno dado por hf (t), g(t) =R01f (t)g(t)i.
17. Em P2 com o produto interno definido por hf (t), g(t) =
R1
0 f (t)g(t)dti. Ortonormalizar a
base {1, 1 + t, 2t2}. Achar o complimento orthogonal do subespa¸co W = [5, 1 + t].
18. Determinar a proje¸c˜ao ortogonal do vetor (1, 1, 0, −1) ∈ R4 sobre o subespa¸co
W = {(x, y, z, t) | x − y − z = 0, z − 2t = 0}.
19. Seja Fn o espa¸co de todas as fun¸c˜oes f : {1, 2, . . . , n} → R com a adi¸c˜ao ponto a ponto e a
multiplica¸c˜ao por escalar. Para cada k = 1, 2, . . . , n, defina δk em Fn por
δk(i) =
1, i = k 0, i 6= k
Se hf, gi = f (1)g(1)+f (2)g(2)+. . .+f (n)g(n), mostre que h , i ´e um produto interno em Fn.
Mostre que {δ1, . . . , δn} ´e uma base ortogonal de Fn. Mostre que f = f (1)δ1+ . . . + f (n)δn
para toda f em Fn.
20. Em cada caso, use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar a base {x2, x, 1} de P 2.
Determine λ ∈ R para que os poliˆomios p = x2 − 1 e q = λx − 2 sejam ortogonais aos
seguintes produtos internos.
a). hp, qi = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2) b). hp, gi =R1
