Análise de Pilares-Parede Incluindo a Fluência do Concreto
Thin Walled Columns Analysis Including the Creep of Concrete
Edmilson Lira Madureira(1), Luane Assunção Paiva (2)
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil - UFRN Av. Sen. Salgado Filho S/N – Lagoa Nova, Natal, RN-CEP 59072 –970
Email: edmadurei@yahoo.com.br
(2) Pesquisador de Iniciação Científica, Departamento de Engenharia Civil – UFRN
Resumo
Um elemento de concreto, mantido sob tensão de compressão, apresenta contração progressiva no decorrer do tempo, associada à deformação lenta. Em Pilares Parede de concreto armado, as deformações por fluência promovem a transferência de esforços da massa de concreto para as barras da armadura de aço, podendo induzi-las ao escoamento. As formulações pioneiras do efeito de fluência, desenvolvidas com base no coeficiente de fluência, são aplicáveis, sobretudo, quando as tensões se mantêm constantes. Sua aplicação a elementos de concreto armado, por apresentarem variações de tensões no decorrer da manifestação do fenômeno, requer simplificações das quais resultam os modelos de memória, que têm a desvantagem de exigir o armazenamento do histórico de tensões. Os modelos de estado dispensam tal robustez de armazenamento, sendo desenvolvidos a partir de modificação do esquema de integração. O objetivo deste trabalho é a análise do efeito de fatores influentes nas deformações por fluência em Pilares Parede de concreto armado, sobretudo, a consistência do concreto fresco, realizada com base em modelo de estado com parâmetros fixados conforme recomendações da NBR 6118/2014.
Palavra-Chave: Fluência; Concreto Armado; Pilares Parede; Simulação.
Abstract
A concrete element, kept under sustained loading, presents progressive contraction over time, associated to creep. In reinforced concrete Thin Walled Columns, such deformations cause stress transfer from the mass of concrete to the reinforcement steel bars and may induce them to yielding. The pioneering formulations about the creep effect, developed on the base of creep coefficient are applicable, especially, when the stress magnitude remains constant. Its application to reinforced concrete elements, which exhibits change in the stress magnitude over the phenomenon manifestation course, requires simplifications of what result the memory models, which have the disadvantage of requiring the storage of the stress history. The state models provides such robustness of storage, that’s why, they are developed from a integrating scheme changing. The subject of this work is the analysis of the effect of the influent factors on the creep deformations in reinforced concrete Thin Walled Columns, over all, the fresh concrete consistency, carried out on the base of a state model, fixing its physical parameters from the NBR 6118/2014 proceedings. Keywords: Creep; Reinforced Concrete; Thin Walled Columns; Simulation.
1
Introdução
As tensões na massa sólida de concreto solicitando-as, permanentemente, promovem deformações progressivas, adicionais àquelas referentes à resposta imediata ao carregamento, caracterizando o fenômeno conhecido por fluência.
Tais deformações estão associadas, sobretudo, ao comportamento da camada de água adsorvida à superfície dos grãos de cimento no concreto endurecido, de natureza, essencialmente, viscosa frente às tensões de serviço.
Seus efeitos são mais acentuados, nos primeiros meses da vida útil da estrutura, quando as deformações associadas apresentam taxas mais elevadas, podendo delongar-se até suas fases mais avançadas quando evoluem mediante taxas discretas.
Tais deformações podem apresentar magnitude de até três vezes a deformação imediata ao carregamento resultando movimentações estruturais de similar grandeza.
Dentre os fatores inerentes ao material que influenciam a deformação lenta tem-se a umidade ambiental, a temperatura, a consistência do concreto fresco e a resistência do concreto endurecido. A proporção dos agregados graúdos, a taxa de armadura, e as dimensões do elemento estrutural, por sua vez, afetam a deformação global do sólido. As deformações por fluência modificam os campos de tensões e a configuração de equilíbrio em membros estruturais de concreto armado, de modo que, sua desconsideração, constitui fonte de dissonância entre o projeto estrutural e a realidade. Em Pilares Parede tais deformações promovem a transferência de esforços da massa de concreto para as barras da armadura de aço, podendo induzi-las ao escoamento.
As formulações pioneiras para a modelagem da deformação lenta baseiam-se no conceito do coeficiente de fluência. São aplicáveis a elementos para os quais as tensões solicitantes mantêm-se constantes. Dos artifícios voltados para a sua adequação a elementos que apresentam variações de tensões no decorrer do fenômeno resultam os modelos de memória que exigem o armazenamento do histórico de tensões, e, portanto, volume de armazenamento excessivo, a ponto de inviabilizá-lo.
Com vistas a racionalizar a utilização de espaço de memória de armazenamento, foram desenvolvidos, a partir da modificação do esquema de integração, os modelos de estado que prevêem em sua pauta algorítmica, exclusivamente, a consideração dos valores das tensões referentes ao instante de tempo anterior ao considerado.
O objetivo deste trabalho é a análise de desempenho de Pilares Parede de concreto face às deformações por fluência, em estado plano de tensões, com base na aproximação por elementos finitos sobre um modelo de estado, com os parâmetros da NBR 6118/2014, atentando-se, sobretudo, para o efeito da consistência do concreto fresco.
2 Formulação
A simulação numérica foi realizada segundo procedimento iterativo incremental e aproximação por elementos finitos. A modelagem matemática adotada pautou-se na formulação ortotrópica não-linear, KWAK e FILIPPOU (1990), segundo a qual os elementos da matriz constitutiva a utilizar são definidos com base em equações semelhantes àquelas empregadas em solicitação uniaxial, tomando-se, porém, como referência, as deformações equivalentes, definidas matematicamente conforme a equação 1.
ii j ij i ei D / D (Equação 1)
Os índices “i” e “j” referem-se às direções principais. Os parâmetros “Dij” representam
os elementos da matriz constitutiva. Para o concreto em compressão adotaram-se as relações constitutivas de Hognestad apresentadas na forma:
ei ip ei ip ip i . . 2 1 . 2 para ip < ei < 0; e (Equação 2) ip cu ip ei ip i 1 203 para cu < ei < ip.
onde “ip” e “ip” representam a deformação e a tensão de pico do concreto, segundo a
direção principal “i”, e, “cu” a deformação limite de ruptura.
Para os elementos em tração foi adotado o modelo das fissuras distribuídas, cujas vantagens são considerar a continuidade do campo de deslocamentos, e, dispensar modificações de caráter topológico na malha de elementos finitos, no decorrer de seus procedimentos de cálculo. Para deformações inferiores àquela correspondente à resistência a tração o concreto é considerado linear elástico, e, para deformações superiores, é plástico com amolecimento. A deformação última em tração, “εo”, é dada
segundo KWAK e FILIPPOU (1990), mediante:
3 b
. f b / 3 ln . G . 2 t f o (Equação 3)“b” é a dimensão, em polegadas, do elemento finito. “ft” e “Gf”” representam,
respectivamente, a resistência à tração e a energia de fraturamento do concreto por unidade de área, este último definido conforme os critérios preconizados pelo CEB-FIP
Model Code 1990. Adotou-se para o concreto o módulo de deformação reduzido, dado,
segundo a NBR 6118/2014, a partir de:
) MPa ( f 5600 x 85 , 0 Ecs ck (Equação 4)
As tensões limite no concreto são definidas a partir da envoltória de Kupfer e Gerstle: 0 65 . 3 ) (1 2 2 2 1 (Equação 5)
onde 1 1 / fc' , 2 2 / fc' . “1” e “2” são as tensões principais com 0 > 1 > 2.
“ ' c
f ” é a resistência à compressão uniaxial do concreto.
As deformações de pico em compressão biaxial são obtidas conforme as expressões:
3 2 2
co p 2 e 1p co
1.613 2.2512 0.351
(Equação 6) onde c p 1 1 f , c p 2 2 f e “co” é a deformação correspondente à tensão de
compressão de pico para estado uniaxial de tensões.
Para o concreto submetido a estado plano de tensões utiliza-se a relação constitutiva incremental de Desai e Siriwardance, escrita mediante:
1-
.G. 0 0 0 E E 0 E 11 2 1 1 12 22 2 2 2 1 2 12 22 11 d d d E . E E 1 1 d d d (Equação 7)onde os “Ei’s” são os módulos de deformação referentes a cada uma das direções
principais. A rigidez transversal é expressa segundo a correlação:
2
.G 0.25
E1 E2 2 E1.E2
1 (Equação 8)
O comportamento do aço é considerado elástico perfeitamente plástico.
Na análise em pauta foram adotados elementos finitos em suas versões isoparamétricas de aproximação quadrática. A região da massa de concreto foi discretizada a partir de elementos planos quadriláteros Q8 e as barras de aço mediante elementos lineares L3. As deformações por fluência foram simuladas a partir do modelo de estado proposto por KAWANO e WARNER (1996) sendo dadas por:
) t ( ) t ( ) t ( cd cv c (Equação 9) onde
t 0 d o cd ( )d d ) , t ( d E 1 ) t ( e
t 0 o c ( )d d ) , t ( d E 1 ) t ( (Equação 10)são as parcelas de endurecimento e de efeito visco-elástico, respectivamente. As funções
) , t (
d
e (t, ) representam os coeficientes de fluência correspondentes. Em suas versões incrementais as equações 10 apresentam-se conforme as equações 11 e 12.
)] t , t ( ) t , t ( ).[ t ( E 1 ) t ( n 1 d n o d n 1 o o n cd (Equação 11) ] e 1 .[ ) t ( ) t ( E ) t ( n 1 c n 1 t /T o * n c n (Equação 12) com: * d 6 . 0 o 6 . 0 o o d . ) t t ( 10 ) t t ( ) t , t ( (Equação 13) e: * T / ) t t ( j n,t ) [1 e ]. t ( n j (Equação 14) Sendo “*d” e “ *
” os coeficientes de fluência finais. “T” é o tempo de retardamento. Em cada instante “tn” as deformações por fluência serão dadas por:
) t ( ) t ( ) t ( n c n 1 c n c (Equação 15) com ) t ( ) t ( ) t ( n cd n c n c (Equação 16)
Para os efeitos deste trabalho admite-se que as tensões manter-se-ão constantes no decorrer de cada intervalo de tempo de modo que a sua variação a nível global, ao longo de todo o período de observação do fenômeno é expressa por uma função do tipo degrau.
3 Suporte Computacional
Com vistas à aquisição dos resultados voltados ao cumprimento dos objetivos deste trabalho, foi empregado o “software” Análise Constitutiva Não-Linear – ACNL. O programa foi estruturado segundo procedimento iterativo incremental e o Método dos Elementos Finitos (MEF), sobre uma Formulação Ortotrópica não Linear. Abrange em sua pauta algorítmica a formulação dos elementos descritos no item 2.
4 Validação do Programa
A eficiência do programa foi verificada comparando-se seus resultados com os correspondentes obtidos através de um algoritmo simplificado, elaborado com base nos postulados da Resistência dos Materiais. Na concepção deste último é considerada, sobretudo, a hipótese de Bernoulli, segundo a qual as seções inicialmente planas assim permanecem no decorrer do estágio de carregamento e após ter sido atingida a configuração de equilíbrio para a carga final. Tais resultados, figura 1, apresentaram boa concordância.
Figura 1 – Curvas dos deslocamentos por fluência com o tempo
5
Modelos analisados
Os modelos objeto de análise são pilares parede com dimensões conforme figura 2, onde estão representados graficamente com seu eixo longitudinal rotacionado de 90o culminando por coincidir com a direção horizontal no plano da página (direção “x”). São constituídos de concreto C 40, armado mediante barras longitudinais de aço CA 50, distribuídas conforme indicado na figura 2.
A análise foi realizada sobre vinte e sete casos diferenciados entre si pelo teor de umidade, pela taxa de armadura e pela consistência do concreto fresco, tabela 1, fixando-se o carregamento, em cada caso, de modo a produzir tensões no concreto da ordem de 40% do fck, em atendimento às limitações em termos de tensões intrínsecas ao modelo de
Fluência da NBR 6118/2014. Tais cargas são distribuídas uniformemente ao longo da seção do topo do elemento estrutural, figura 2.
Para o tempo de retardamento foi adotado Tv = 600 Dias, e para coeficiente final de
fluência de endurecimento d* 2,0. Os valores do coeficiente final de fluência associado aos efeitos viscoelásticos, “ *
”, estão indicados na tabela 1.
A data do carregamento foi fixada como sendo aos 30 dias de idade do concreto.
As curvas do coeficiente de fluência com o tempo, referentes aos resultados obtidos mediante o modelo da NBR 6118/2014 e o modelo de estado empregado, apresentam boa concordância, figura 3, corroborando-se, portanto, que os valores dos parâmetros do modelo de estado foram apropriadamente fixados. Além do mais, constatou-se que aos 4000 dias o processo deformacional já havia sido estabilizado, de modo que tal idade foi considerada como limite extremo do prazo de estudo do fenômeno adotando-se, para fins
de análise, os instantes de observação nas idades do concreto aos 60, 120, 250, 500, 1000, 2000 e 4000 dias.
Tabela 1 – Casos estudados
Casos Slump (cm) Taxa de armadura (%) Carga (kN) Teor de Umidade (%) * v 1 0 - 4 0,63 3750 40 0,89 2 0 - 4 0,63 3750 60 0,35 3 0 - 4 0,63 3750 80 -0,23 4 0 - 4 1,00 3900 40 0,89 5 0 - 4 1,00 3900 60 0,35 6 0 - 4 1,00 3900 80 -0,23 7 0 - 4 1,58 4152 40 0,89 8 0 - 4 1,58 4152 60 0,35 9 0 - 4 1,58 4152 80 -0,23 10 5 - 9 0,63 3750 40 1,63 11 5 - 9 0,63 3750 60 0,92 12 5 - 9 0,63 3750 80 0,15 13 5 - 9 1,00 3900 40 1,63 14 5 - 9 1,00 3900 60 0,92 15 5 - 9 1,00 3900 80 0,15 16 5 - 9 1,58 4152 40 1,63 17 5 - 9 1,58 4152 60 0,92 18 5 - 9 1,58 4152 80 0,15 19 10 - 15 0,63 3750 40 2,36 20 10 - 15 0,63 3750 60 1,48 21 10 - 15 0,63 3750 80 0,53 22 10 - 15 1,00 3900 40 2,36 23 10 - 15 1,00 3900 60 1,48 24 10 - 15 1,00 3900 80 0,53 25 10 - 15 1,58 4152 40 2,36 26 10 - 15 1,58 4152 60 1,48 27 10 - 15 1,58 4152 80 0,53
Dada a simetria do problema seu domínio pôde ser definido no plano “xy” conforme apresentado na figura 2 que, uma vez discretizado adotando-se dimensão igual a 0,10 m para ambos os tipos de elemento, resultou em malha de elementos finitos com 180
Figura 2 – Malha de elementos finitos e domínio do problema
Figura 3 – Coeficiente de fluência com o tempo
6
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para todos os casos estudados, uma vez atingida a configuração de equilíbrio referente à carga solicitante, os campos de deslocamentos e tensões normais na direção “x” assumiram as distribuições indicadas nas figuras 4 e 5, respectivamente. A magnitude do deslocamento no topo do pilar parede foi da ordem de 2 mm, enquanto a tensão na massa de concreto apresentou intensidade de aproximadamente 15 MPa, tabela 2.
O campo de tensões na massa de concreto na direção “x”, figura 5, apresenta distribuição, praticamente, uniforme, ressaltando-se, porém, a ocorrência de tênue perturbação na zona de introdução de carga, localizada na vizinhança do topo do pilar. O efeito de Fluência do concreto, para os casos de teor de umidade de 40%, promoveu evolução dos deslocamentos segundo as curvas da figura 6, estabilizando-se à idade de 4000 dias conforme distribuição indicada no campo da figura 7. Para os demais casos resultaram curvas semelhantes, diferenciadas, porém, em termos de valores, tabela 2. O menor acréscimo de deslocamento foi de 2,8 mm, correspondendo a 1,3 vezes o
deslocamento no instante imediato ao carregamento, assinalado para o caso 9, que se refere aos mais elevados teor de umidade e taxa de armadura, e, ao menor dos valores do abatimento no slump test. O maior deslocamento por fluência foi da ordem de 7,1 mm, representando 3,5 vezes o deslocamento imediato ao carregamento, registrado para o caso 19, concernente aos teores de umidade e às taxas de armadura menores e ao maior dos valores do abatimento no slump test.
Figura 4 - Campo de deslocamentos longitudinais no instante do carregamento – Caso 1
Figura 5 - Campo de tensões normais no instante imediato ao carregamento – Caso 16
Devido às deformações por fluência, a massa de concreto experimentou alívio de tensões. Para os casos de menor teor de umidade, as magnitudes se desenvolveram consoante as curvas da figura 8. Para os demais casos, as curvas apresentaram forma semelhante, sendo diferenciadas, sobretudo, pelos valores obtidos, tabela 2.
As tensões na massa de concreto estabilizaram-se aos 4000 dias, apresentando a distribuição indicada no campo da figura 9. O menor alívio de tensão foi cerca de 10%, registrado para o caso 3, que se refere à menor taxa de armadura, menor valor do abatimento no slump test e maior teor de umidade, enquanto o maior foi 36%, verificado no caso 16, referentes à maior taxa de armadura e ao menor teor de umidade, respectivamente.
Figura 6 - Curvas de deslocamento por fluência
Figure 7 – Campo de deslocamentos longitudinais devido à fluência aos 4000 dias – Caso 25
As tensões nas barras de aço, por sua vez, para os casos de teor de umidade de 40%, evoluíram conforme as curvas da figura 10, onde destaca-se que aos 2000 dias já
marginava a estabilização. Para demais casos as curvas foram similares, porém, com diferentes magnitudes, tabela 2. Registrou-se o menor acréscimo de tensão no aço para o caso 9, que se refere ao maior teor de umidade, maior taxa de armadura e menor abatimento no slump test, com variação de 132%, enquanto o maior foi para os casos 10, 13, 19, 20, 22, 23, 25 que culminaram com o escoamento do material, tabela 2, em alguns casos aos 2000 dias em outros aos 1000 dias, e, para os casos de maior abatimento no Slump Test, já aos 500 dias de idade do concreto.
Figura 8 – Evolução das tensões no concreto
Figura 9 – Campo de tensões normais aos 4000 dias - Caso 16
As curvas da figura 11 ressaltam o efeito de contenção das barras da armadura de aço, corroborando o fato de que os deslocamentos do pilar parede são menores para maiores taxas de armaduras, refletindo sobre o coeficiente efetivo de fluência, parâmetro definido
carregamento. Observa-se que para a taxa de armadura de 1,58% seu valor foi igual a 2,0, que é 32% menor que seu correspondente para o concreto simples, avaliado em 2,9. A repercussão do efeito inibidor do teor de umidade nas deformações por fluência do pilar parede foi evidente, figura 12, uma vez que, para seus valores crescentes de 40%, 60% e 80%, o coeficiente efetivo de fluência apresentou os valores descrescentes 2,4; 2,0 e 1,7, respectivamente, resultando diminuição de até 17%.
Figura 10 – Evolução das tensões na armadura
Figura 12 – Deslocamento por fluência conforme o teor de umidade
A relação das deformações por fluência do concreto endurecido com a consistência do concreto fresco, inclusive, é evidenciada nas curvas da figura 13. Os resultados obtidos dão conta que para as faixas crescentes dos abatimentos do slump test de 0 a 4 cm, de 5 a 9 cm, e de 10 a 15 cm, o coeficiente efetivo de fluência apresentou os valores crescentes 2,4; 2,9 e 3,5, resultando diferença de 47% entre o maior e o menor desses índices.
Tabela 2 – Resultados gerais Casos Deslocamento (mm) TTTensão no concreto (MPa) Tensão na armadura (MPa) Imediato Fluência (8000 dias) Imediata Fluência (4000 dias) Inicial Fluência (4000 dias) 1 2,05 4,83 14,76 12,65 143,3 479,6 2 2,05 4,02 14,76 13,03 143,3 423,0 3 2,05 3,46 14,76 13,28 143,3 384,2 4 2,07 4,51 14,85 11,68 144,3 456,8 5 2,07 3,80 14,85 12,21 144,3 408,2 6 2,07 3,30 14,85 12,58 144,3 373,8 7 2,10 4,10 15,02 10,40 146,4 428,4 8 2,10 3,53 15,02 11,11 146,4 389,6 9 2,10 2,80 15,02 11,97 146,4 340,3 10 2,05 5,96 14,76 12,80 143,3 500,0 11 2,05 4,88 14,76 12,63 143,3 482,6 12 2,05 3,70 14,76 13,17 143,3 401,0 13 2,07 5,37 14,85 11,30 144,3 500,0 14 2,07 4,55 14,85 11,65 144,3 459,4 15 2,07 3,55 14,85 12,42 144,3 388,9 16 2,10 4,76 15,02 9,58 146,4 472,2 17 2,10 4,13 15,02 10,37 146,4 430,5 18 2,10 3,29 15,02 11,40 146,4 373,6 19 2,05 7,13 14,76 12,50 143,3 500,0 20 2,05 5,55 14,76 12,50 143,3 500,0 21 2,05 4,26 14,76 12,92 143,3 440,2 22 2,07 6,23 14,85 11,39 144,3 500,0 23 2,07 5,21 14,85 11,43 144,3 500,0 24 2,07 4,05 14,85 12,03 144,3 425,0 25 2,10 5,49 15,02 9,86 146,4 500,0 26 2,10 4,64 15,02 9,75 146,4 464,1 27 2,10 3,73 15,02 10,87 146,4 403,3
7
Conclusões
Este trabalho se refere à análise das deformações por fluência em pilar parede de concreto armado, com base em um modelo de estado, a partir de uma formulação ortotrópica não linear e aproximação por elementos finitos.
Com vistas ao cumprimento de tal objetivo foram estudados alguns casos diferenciados entre si pela Consistência do concreto fresco, pelo Teor de Umidade e pela Taxa de Armadura.
A partir dos resultados obtidos constatou-se que, mediante as condições ambientais e considerando os parâmetros adotados para os casos analisados, as deformações por fluência praticamente estabilizaram-se aos 4000 dias de idade do concreto.
Além do mais, tais resultados revelaram a ocorrência de alívio de tensões na massa de concreto, segundo padrões semelhantes àqueles reportados por Madureira et al (2011) e Madureira e Siqueira (2012).
Observou-se inclusive o acréscimo de tensões nas barras da armadura que, para os casos de menor taxa de armadura, menor teor de umidade, e maior abatimento referente ao Slump Test, culminou com a deflagração do escoamento do aço.
Outrossim, verificou-se que o coeficiente efetivo de fluência assumiu valores tanto menores quanto maior a taxa de armadura confirmando o seu efeito de contenção de deformações. Para tal coeficiente resultaram valores tanto menores quanto maior o teor de umidade, ressaltando a sua influência inibidora, e, por outro lado, tanto menor quanto menor o abatimento referente ao slump test, seguindo, como era de se esperar, tendência semelhante ao do coeficiente de fluência em sua acepção tradicional.
8
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR 6118/2014. Projeto de Estruturas de Concreto Armado - Procedimento, 2014.
HOGNESTAD, E.. A Study of Combined Bending and Axial Load in Reinforced
Concrete Members. University of Illinois Bulletin, 1951.
KAWANO, A., E WARNER, R. F.. Model Formulations for Numerical Creep
Calculations for Concrete. Journal of structural Engineering, Vol. 122, No 3, March.
ASCE, pp. 284-290, 1996.
MADUREIRA, E.L., SIQUEIRA, T. M. e DA SILVA, J.C.. Deformações por Fluência em Pilares de Concreto Armado. 53 Congresso Brasileiro do Concreto. Florianópólis –
Santa Catarina – Brasil, 2011.
MADUREIRA, E.L. e SIQUEIRA, T. M. Deformações por Fluência em Pilares Parede
de Concreto Armado. 54 Congresso Brasileiro do Concreto. Maceió – Alagoas – Brasil,
2012.
MADUREIRA, E.L, SIQUEIRA, T. M. e RODRIGUES, E.C. Análise de Vigas Incluindo a
Fluência do Concreto. 55 Congresso Brasileiro do Concreto. Gramado – Rio Grande do
