23 Exercício 41: São dadas duas placas planas paralelas à distância de 1 mm. A placa superior move-se com velocidade de 2 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre a placas é preenchido com óleo de viscosidade igual a 8 * 10-3 Pa x s, qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
Exercício 42: Uma câmara de pneu com volume interno igual a 0,09 m³, contém ar a 210C e 30 lbf/pol² (abs). Determine a massa específica e o peso do ar contido na câmara. Dado: 1 psi = 1 lbf/pol² = 6894,757 Pa (transformação obtida através do CONVERT
Exercício 43: Numa tubulação escoa hidrogênio (K =1,4 e Rhidrogênio=4122 m²/(s²K). Sabendo-se que em uma seção (1) da tubulação se tem, p1 = 3 x 105 N/m² (abs), temperatura de 300C e que ao longo da mesmo o escoamento é considerado isotérmico (temperatura constante), pede-se especificar a massa específica do gás na seção (2) onde se tem p2 = 1,5 x 105 N/m² (abs).
Exercício 44: A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido Newtoniano (aquele que obedece a lei de Newton da viscosidade) num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação:
2 m h y 1 2 v 3
v onde vm é a velocidade média do escoamento. O
fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa x s. Admitindo que vm = 0,6 m/s e h = 5mm, determine a tensão de cisalhamento, tanto na parede inferior do canal (y = -h), como no seu plano central (y = 0).
24 Exercício 45: Duas placas planas fixas paralelas de grandes dimensões estão separadas por um líquido de viscosidade igual a 0,825 Pa x s. Entre elas existe uma placa quadrada de lado igual a 200 mm, de espessura desprezível, que desloca-se com uma velocidade de 3 m/s e que se situa a 15 mm da placa superior e 6 mm da placa inferior, como mostrado a seguir. Admitindo que o perfil de velocidade é linear em cada par de placas, determine a força de resistência viscosa que surge na placa quadrada.
N 1 , 23 2 , 0 006 , 0 1 015 , 0 1 3 825 , 0 F L v v A F F F 2 2 2 1 contato 2 1 T 2 1 T DIAGRAMAS DE VELOCIDADES v 2 1 v 2 125 Exercício 46: Sabendo-se que a figura a seguir é a representação de uma parábola que
apresenta o vértice para y = 30 cm, pede-se: a) A equação que representa a função v = f(v)
b) A equação que representa a função do gradiente de velocidade em relação ao y
c) A tensão de cisalhamento para y = 0,1; 0,2 e 0,3 m
a) Determinação da função da velocidade: Para y = 0, tem-se v = 0, portanto: c = 0
Para y = 0,3 m, tem-se v = 4m/s, portanto: 4 = 0,09a + 0,3b (1)
Para y = 0,3 m, tem-se o gradiente de velocidade nulo, ou seja: 0 = 0,6a + b, portanto: b = -0,6a, que sendo considerada em (1) resulta: 4 = 0,09a –0,18a . Portanto: a =-4/0,09 e b = 8/0,3 m em y e s m em v com y y 0,09 4 -v 2 3 , 0 8
b) Para a determinação do gradiente de velocidade simplesmente deriva-se a função da v = f(y), portanto: 0,3 8 y 0,09 8 -dy dv
c) Para o cálculo da tensão de cisalhamento evoca-se a lei de Newton da viscosidade, ou seja: 0 tem se m 0,3 y para 0,9 8 tem se m 0,2 y para 0,9 16 tem se m 0,1 y para 0,3 8 tem se 0 y para 0,3 8 y 0,09 8 -dy dv onde dy dv
26 Exercício 47: Determinar a viscosidade para que o sistema a seguir tenha uma
velocidade de deslocamento igual a 2 m/s constante.
Dados: G = 40 kgf; Gbloco = 20 kgf e área de contato entre bloco e fluido lubrificante igual a 0,5 m².
Como a velocidade é constante deve-se impor que a resultante em cada corpo é igual a zero.
Para impor a condição acima deve-se inicialmente estabelecer o sentido de movimento, isto pelo fato da força de resistência viscosa (F) ser sempre contrária ao mesmo. Para o exemplo o corpo G desce e o bloco sobe.
m² s kgf 10 60 10 2 2 30 kgf F F F G T kgf 40 T G 3 -3 -bloco 5 , 0 30 5 , 0 20 40 º 30 sen
27 Exercício 48: Um anel de ferro de massa específica 7800 Kg/m³, escorrega dentro de um tubo, guiado por uma barra cilíndrica ‘fixa’, como mostra a figura. O anel é lubrificado, seja interna, seja externamente, por um fluido de peso específico 8000 N/m³ e viscosidade cinemática 10-3 m²/s. Supondo diagrama de velocidades lineares, qual a velocidade de descida constante do anel?
Dados: D1=10cm; D2= 11cm; D3= 20cm; D4= 21cm e L= 10cm
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28 1.12. Variação da viscosidade ()
A viscosidade tem comportamento diferente para os líquidos e gases, porém para ambos praticamente variam só com a temperatura.
1.12.1. Para os líquidos a viscosidade é inversamente proporcional a temperatura.
Para que possamos entender isto recordamos o escoamento de Couette, onde a camada superior tenderá, no seu movimento, a arrastar a que com ela se encontra em contato e lhe é imediatamente inferior. Esta, por sua vez, arrastará a sua inferior adjacente. Em consequência, a camada de fluido adjacente à parte inferior tenderá a travar a sua superior adjacente e assim sucessivamente. Esta descrição caracteriza o escoamento de
Couette e pode seu visualizado na página:
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula1_unidade1.htm.
Por outro lado, o descrito anterior também demonstra a existência do atrito interno, o qual origina a viscosidade dos líquidos e estas estão diretamente relacionadas com a atração entre as moléculas do mesmo e como esta atração diminuem com o aumento da temperatura, já que as moléculas ficam mais afastadas, podemos afirmar que a viscosidade dos líquidos diminui com o aumento da temperatura.
A equação 19, que é uma equação empírica, representa uma das possibilidades de estudarmos a variação da viscosidade em função da temperatura:
2 0 0 0 T T c T T b a ln equação 19 ) C 0 viscosidadenatemperaturaabsolutadereferência273,15K(00
As constantes a, b e c são específicas de cada líquido.
Para a água, temos2: a 1,94;b4,80 1,792103Pas 0
e 6,74 c
;
Outra forma de obter a viscosidade da água e observar a sua variação com a temperatura é através dos nomogramas a seguir3:
2 Valores extraídos do livro: Mecânica dos Fluidos escrito por Frank M. White – 4a edição – página 17 – com precisão de 1%
3 Ábacos e tabelas extraídos do livro: Manual de medição de vazão, escrito por Gérard J. Delmée – páginas 311 a 315
29 As coordenadas dos líquidos são fornecidas por tabela, sendo que para a água,
temos: x = 10,2 e y = 13,0.
Nota: A viscosidade dos líquidos só sofre influência da pressão para valores muito grandes, exemplo: água_10000atm 2 água_1atm
30 A tabela acima mostra alguns valores da propriedade d´água em função da temperatura.
1.12.2. Para os gases a viscosidade é diretamente proporcional a temperatura. No caso dos gases a viscosidade é diretamente proporcional a energia cinética, portanto com o aumento da temperatura ocorre um aumento da energia cinética e em consequência da sua viscosidade.
Duas aproximações frequentes para especificação da viscosidade dos gases são obtidas pela lei de potência e a lei de Sutherland, respectivamente representadas pelas equações 20 e 214: n 0 0 T T equação 20
31
S T S T T T 0 2 3 0 0 equação 21 K. 110 = S e 0,7 = n : temos ar, o para K), 273,15 a e (geralment absoluta a temperatur a determinad uma a conhecida e viscosidad 032 Simplificação pratica da lei de Newton da viscosidade é estabelecida quando v = f(y) é linear, ou seja, para espessuras de fluido lubrificantes pequenas:
v 1 cP = 1 centipoise = 10-2 10 Pa s m s N 10 cm s dina 3 2 3 2 1cSt = 1 centistoke = 10-2 cm²/s = 10-6 m²/s
cos2
0,3086 H 0069 , 0 2 cos 5928 , 2 616 , 980 g 2 equação 5 Onde:
km em altitude H graus em latitude s cm g 2 Síntese do que estudamos no
capítulo 1
33 Capítulo 2 – Hidrostática
2.1. Introdução
Hidrostática que também pode ser chamada de estática dos fluidos, portanto tudo o que for estudado neste capítulo só valerá se o fluido estiver em repouso.
Além da restrição anterior, consideramos mais duas hipóteses: o fluido é considerado
contínuo, o que garante a existência de matéria por menor que seja a porção do mesmo,
portanto, com esta hipótese passamos a considerar o ponto fluido tendo uma dimensão elementar (dA) e o fluido será considerado incompressível, sendo que esta hipótese garante que a massa específica e o peso específico do mesmo são considerados
constantes.
2.2. Conceito de pressão
Evocando o que mencionamos sobre a tensão de pressão, consideramos a pressão média representada pela equação 22;
Por outro lado, no intuito de ampliar o conceito anterior, consideramos uma superfície de área A e nesta uma área elementar onde temos atuando uma força normal elementar figura 4). Figura 4 A F p equação 22 Onde F Fnormal
F
p
dA
dA
dF
p
N N34 Notas:
1. Podemos observar pela condição do fluido estar em repouso, que ao considerarmos um ponto fluido, esta também estará em repouso e isto demonstra que a pressão é uma grandeza escalar já que não depende da direção (figura 5 e 6)
Figura 5 Figura 6
2. Se a pressão for constante, resulta: FN
pdAp
dApA3. Devemos sempre saber que pressão é diferente de força, mesmo porque mesmas forças podem resultar em pressões diferentes (figura 7)
Figura 7
Em (a) temos uma pressão de 10 Pa e em (b) uma pressão de 20 Pa, portanto uma mesma força de 100 N originando pressões diferentes e isto prova que
35
2.3. Escala efetiva
É aquela que adota como zero a pressão atmosférica local, portanto nesta escala podemos ter pressões negativas (menores que a pressão atmosférica), nulas (iguais a pressão atmosférica) e positivas (maiores que a pressão atmosférica).
2.4. Pressão em um ponto fluido pertencente a um fluido continuo, incompressível e em repouso.
Considerando um ponto fluido como sendo um dA (hipótese do continuo), podemos afirmar que sobre ele existe um volume elementar dV, o qual pode ser determinado por: dV = dA x h,
Existindo um volume dV existe também um peso elementar dG, que pode ser determinado pelo peso específico (constante pela hipótese do fluido incompressível): dG = x dV = x dA x h.
Dividindo os dois membros por dA não alteramos a igualdade e chegamos a equação 23 que define a pressão em um ponto fluido na escala efetiva:
h p dA h dA p dA dG equação 23 pressão de carga de denominado h
