TUYỂN TẬP 599 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỌN LỌC - NGUYỄN ĐỨC ĐỒNG

BAN GV NÂNG KHIẾU THƯỜNG THI NGUYỄN

oức

CHỌN LỌC

PHÂN LOẠI VÃ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THEO 23 CHUYÊN ĐỀ

♦ BỒỊ DƯỠNG NÂNG GAO MÔN TOÁN 12

♦ CHUẨN BỊ THI TÚ TÀI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q uốc GiA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẨU

Chúng tôi xin giới thiệu đến đọc giả bộ sách : Tuyển tập các bài toán dành cho học sinh lớp .12, chuẩn bị thi vào các trường Đại học & Cao đẳng.

Bộ sách gồm 7 quyển :

• TUYỂN TẬP 546 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

• TUYỂN TẬP 540 BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM s ố

• TUYỂN TẬP 500 BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH

• TUYỂN TẬP 500 BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

• TUYỂN TẬP 696 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

• TUYEN TẬP 599 BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

. TUYỂN TẬP 670 BÀI TOÁN RỜI RẠC VÀ c ự c TRỊ

Nhằm phục vụ cho việc rèn luyện và ôĩì thi vào Đại học bằng phương pháp tìm hiểu các đề thì đại học đã ra, để tự nâng cao và chuẩn bị kiến thức cần thiết.

Để phục vụ cho các đối tượng tự học : Các bài giải luôn chi tiết và đầy đủ, phân nỉaỏ từng loại toán và đưa vào đó các phương pháp hợp li.

• c

Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết sức trong quá trình biên soạn, song vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong đón nhận mọi góp ý, phê binh từ quý đồng nghiệp cùng đọc giả để lần xuất bản sau sách được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng, chúng tói xin cảm Ơ11 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

đã giúp đỡ chúng tôi mọi mặt để bộ sách được ra đời.

N G V YỀ N ĐỨC ĐỒNG

^rn , o . 3C i 3 A -3 B . z c ) VT(1) = 1 - 2sin —1 cos---- --- + sin

—-2 ^ . —-2 2 )

, _ . 3C f 3 A -3 B 3A + 3BÌ

VT(1) = 1 - 2sin ! cos---COS--- ——

2 Y 2 2 J _ . 3A . f '3BYỊ' - 2 sin —— Slid - —— 2 \ 2 I VT{1)= 1 - 4 s i n s i n — sin — (đpcm). 2 2 2 B ài 3 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP TP.HCM-1995) __ 2C VT(1) — 1 - 2sin — v 2

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và A > B > c. 1. Chứng minh rằng : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.

2.- Đặt tgAtgB = p, tgAtgC - q. Chứng minh rằng : (p - 1)( q - 1) s 4.

G iải .

1. Trong AABC :A + B + C = rt => A = 7Ĩ ~ (B + C) => tgA = tg[ji - (B + C)]= -tg(B +C)

=■ t g A = - tgB + tgC ' _tgB^tg_C (Anhọn)

1 - tgBtgC tgBtgC - 1

=> tgAtgBtgC - tgA = tgB + tgC => tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC (đpcm), 2. Thay giá trị của p và q ở giả thiẹt vào bất đẳng thữc :

(p - lXq - 1) > 4 o (tgAtgB - lXtgAtgC - 1) > 4

( s *n ^ s*p ^ _ i ) ( ^ ^ l ì ' 4

V cos A cos B J V,cosAcosC ) '

-cosC A + B)') ( - cos(A + C).^ ^ > 4 (1) cosAcosB ) ^ cosAcosC f- cos(A + B) = COSc , , , Ta có : ị ' (tính chat góc bù) Ị - cos(A + C) = cosB (1) 1 1 !> 1 1 Lúc đó : <=> --- --- > 4 o — ^— > 4 o COS A < — <=> cosA< —

COS A COS A COS A 4 2

o A > — <=>3A>^ = A + B + C o 2A > B + c 3

o (A -B) + (A - C) > 0 (2)

Để ý (2) đ úng vớ i g iả t h iế t A > B > c có sẵ n

Vậy : (p - l)(q - 1) > 4 (đpcm).

B ài 4 (ĐẠI HỌC DƯỢC HÀ NỘI-1995)

Cho 3 ạố dương X, y, z thỏa mân xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức :

M _ J a + y 2 x i + z2) (1 + Z2X1 + X2) _ (1 + _{X2 )(1 + y2)}

■ y 1 + X* > 1 1 + y i 1 + Z2

Do đó : xy + yz + zx = 1 <=> tgatgP + tgptgy + tgytga = 1

<=> tg a tg p + tgptgý = 1 - tgytga o tg|3(tga + tgy) = 1 - tgytga

^ = 7~ = cotgp c=> tg(a + y) = cotgp

1 - tgytga tgp B _ a ' JI <z> a + p + Ỵ = — (1) Lúc đó 2 ' . I a + y 2) a + z 2)

|a+t*%)ơ+tg*y)

r | (l + y2)(l + z2) _ sin a It . cos a _ sina

V 1 + X2 c o s a ]ỊCOS2 p c o s 2 7 ~ COSpcosy (1 + 3^X1 + z2) -cos(p + Y) , . '"i r „2--- = .7 . = 1 - tgptgy = 1 - yz 1.+ X cospcosy _ - . Cl + 3^X1 + z2) - COS(p -r y) , '"i a T l ^ = ^ ^ = l - t g p t g r = l - y z Tương t ự : x2> J - j g g • - ' * ! ? ' - = 1 — xz

\[ x + y cos p Y COS a COS Y cosacosy

| (l + x 2)(l + y 2) _ siny I COS2 Ỵ siay _

V ■ 1 + z2 cos y y cos2 a cos? p COS a COS (3

Do đó : M = (l-y z)+ (l-x 4 + (l-x y ) = 3-(yz+zx+xy)= 3 - 1 = 2 , Vậy : M = 2 (ycbt).

B ả i 5 (BẠI HỌC QUỐC GĨA HÀ NỘI-1995)

Chứng minh rằ n g : tg30° + tg40° + tg50° + tg60° = COS 20°. (1)

... 3

Giải

VT(1) = (tg30° + tg60°)+ (tg40° + tg50°) = - S—90°---- + --- ^ 2 2

!----u cos30° cos60° cos40°COS50°

VT 1 ...1 ... - : : =. _4_ 2 _ 4 COS 10° + 2V3

" + -(co^90° + coslO°Ị ^ + cosl° Ũ " >/3 COS 10°

í

Vãi

4 cosl0°+ — ,/• * „„0\

VT [ 2 ; 4(cosl0° +COS30 ) ^ 4.2cos20°coslO°

w VScoslO'* ~ V3cosl0° TỈẽcoslO0

B ài 6 (BẠI HỌC MỎ-ĐỊA CHAT-1995)

Cho hàm số : fix) = acosx + bcos2x + ccos3x; trong đỏ a, b, c là các hằng

s ố . C h ứ n g in ữ ứ i r ằ n g n ế u flx ) = 0 v đ i m ọ i X t h ì a = b =: c = 0 .

Giải

G iả sử : f(x) = a c o sx + b c o s2 x -+ c co s3 x = 0 (1) tr ê n tậ p Df = R . .

• Đ iều k iện cần : C họn ngẫu n h iê n th e c th ứ tự : X = —; X. = Oy X = — th a y

. 2 6 vào (1) r - b = 0 => ia + b + c = 0 . = ^ a = b = c = 0 aVã b _ 0 . 2 . + 2 <1> • Đ iề u kiện đả : V ớ i a = b = C - 0 => f(x) = 0; Vx . Vậy : í(x) = 0 o a = b = c = 0 (đpcm). B à i 7 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI.CƠ SỞ H-1996)

Tam giác PQR có các góc p, Q, R theo thứ tự lập thành cấp sô' nhân với công bôi q = 2. Chứng minh rằng : — = - i - + - ì _ ... _{s V 4 - s QE PQ PR} Ta có : Giải p + Q + R = 71 Q = 2 P , •> ¥ - ; E = | R = 2Q = 4P 4ĩi v<; 1 1 1 ' 1 _ 1 X é t" + ___— + ■ ■ ■— — = —— PQ PR 2RsinR 2RsinQ 2R . 4t7ĩl . 2tĩ sin--- sin— 7 7 , 2H . 4 7t 2rc sin-—- + sin— • 7 7 , 4tt 2t ĩ .sin-—-sin—— . 7 . 7 \ 1 .... . _to co M» 0 0 03 ^ 1 X ~ 2 R . 471 . 2ti s i n — s i a — / l 7. 7 J J . 2R lĩ cos-r 7 . TT ^ SIII

3

3

B ài 8 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-BAN C-1996)

Chứng minìx rằng với mọi á * — (k là sô' nguyên), ta đều có :

sin4 a + COS4 a - 1 2 sin6 a + cos6 a - 1 3 Xét: Giải s i n 4 a + c o s 4 a - 1 s i n 4 a + COS4 a - ( s i n 2 a + COS2 a ) 2 s i n 6 a + c o s 6 a - 1 s i n 6 a + COS6 a - ( s i n 2 a + COS2 a ) 3

sin4 a + cos4 ạ - (sin4 a +2sin2 acos2 a + cos4 a )_____ sin6 a + cos6 a - [sin6 a + COS6 a + 3 sin2 a COS2 a(sin2 a + COS2 a)]

- 2 sin2 a cos2 a 2 ___ v = _{-3 s in acos a} 0 . 2 2 " o _o. <dPcm )-B à i 9 (ĐẠI HỌC HƯẾ-KHỐI D-1996) Cho sin a = 3 và — < a < 71. Tính : tgí — - a ì . 5 2 u ) Giải - t J * V 4 ga 1 - t g a c o s a - s in a X é t: tg — - a - — - — --- = 7— -2— = .---1 4 J * 1 + t g a s i n a + COS a v y 1 + tg-tgcc & 4 Mà cos a = -V i - sin2 a =.-J 1 I vì - < a < 71 V 25 5 ^ 2 _ 4 _ 3 Lúc đó : tg^—- a j = ã g = 7 (ycbt). - 5 + 5

Bài 10 (ĐẠI HỌC CÔNG ĐOÂN-1997)

Cho tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng ta có đẳng thức :

Á B B

c

c

tg§

B _ t c

, c A B c _ B A => tg — tg — + t g —t g — = .1 - tg — t g ~ 2 2 2 2 2 2 _ A B ■ ‘B

c

Cho A, B,

c

___ cos2A + COS2B + cos2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0. (1)

G iải Để ý trong (1) có :

cos 2A + cos 2B + COS 2C = 2cos(A + B)co^A - B) + 2coề c - 1

= -2cosCcos(A - B) + 2c o s2C - 1 - -2cosC[cos(A - B) - cosC] - 1

= - 2c o sC[cos(A -B) + cos(A + B)]-1 = -2cosC Ị2cosAcos(-B)] - 1

= -4cosAcosBcosC - 1 (2)

Lúc đó, thay (2) vào (1), ta đứợc :

-4cosAcosBcosC - 1 + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

=> cos2A + cos2B + cos2C + 4cosẠcosBcosC + 1= 0 (đpcm).

B à i 12 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG-KHỐI B-1998)

Chứng minh rằng : COS ^ - COS ~ + COS = — .

7 7 7 2

G iả ỉ

Đ ă t: T = co s — “ COS — + COS —

7 7 7 (1)

Nhân 2 vế của (1) với nhân tử phu trơ 2sin-^ . ta có : 7

om n _ o : n n o : X 2ĩt _ . % 3:t

<=> 2Tsm-r = 2 s in -c o s — - 2sin3-cos-3- + 2sin7

rCOS-z-7 7 7 7 7 7

r r . 3k . ( ĩiYỊ r . 4n . ( 2jtỴỊ

- - sin— + s i r i - - + sin— + sin

7 1 7jJ |_ 7 \ 1 )\

ĩĩ . 3n . . 71 4ti . 2ti

o 2T sin - = sin— -. 2tt ' . 3_{sin— + sinÍ - - T +}k .

7 7 7 _T)\

„ orr. 2tĩ : 3h .7 1 . 4tĩ ■. 2tĩ

o 2T sin -r = sin ~ - sill —- + sin -- + sin - sin

—-7 7 7 7 7 . 7

o 2T sin- = sin - ív ì: — và — bùnhauỊ T = — (đpcm).

7 7 V 7 7 ) 2

Bài 13 (ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ TP.HCM-1998)

C hứng tỏ rằn g : 1 6 s in l0 c>s in 3 0 o s ìn 5 0 os in 7 0 o = 1 . (1)

Giải

VT(1) = 16cos80° cos60° cos40° cos20° - (tính cỉiất goc phụ)

sin20°

VT(H = 8cos80° cos60° cos40° s in 4 0 °— —— sin20° 4cos80°cos60osin80° _ 4sm80ocos80ocos60° sin20° sin20° 2sinl60°cos60° .^ s iu ^ COS609 1 ___ = “--- = --- ---— = 2,— = 1 (đpcm). sin20° sm20° 2

B ài 14 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG HÀ NỘI-KHỐI A.D-1998)

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta ỉuôn có :

1 , 1 \ 1 A * B c . A + B ^ c) n s

— — + — — +.--- H tg-r + tg— + tg— + cotg— cotg—cotg— . (1)

sinA sinB sinC 2Ỉ, 2 .^ 2 2 2 2 ^ 2 j

Giải

_ 1 1 1

VTm =■

. 2 A 2 Ả 2® _ 2® _• 2^ 2^

s i n -— + COS - - s i n — + COS — s i n — + COS

-_ 2 - 2 . 2 2 2 2

A A o ; B ' ' c c

2sin-rC0s:- ■ 2sm-rCos— 2sin—COS—

2 2 2 2 2 2

if . A 'A B B c CY

= 1 1 ^ 2 + g 2 + s 2 +C0^ 2 ^ 2 +cotgf J (2)

A

+ B

c ...

TrongAABC => ——— và — là hai goc phụ nhau

- -' 2 • 2 ...... A B , . / Ạ B) tgf + tgf _ c 1

~

- y g cotg2

Ù

J

Nhân cotg—cotg—cotg— vặo 2 vế của (3):

2 2 2

A

Bf A

B . ci . B cf A B +

c)

,

=> cotg^ t c o tg ^ + cotg^- = cộtg^cotg.^cotg-ị- ... (4)

z A z iu z z

11

T h ay (4) và o (2), ta được : VT(1) = + t g | ■+ t g | + cotg^ c o t g |c o tg |j = VPU) => (đpcm). B ài 15 (ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠĨ-1998) s i n X = 2 sin(x + y ) /oi , ì n 1 _ 7 / th i : '"tgfa + y ) - - - m y - X + y 5* (2 k + 1 )— ;k e

z

<=> sin(x + y)cos y - sin y cos(x + y) = 2 sỉn(x + y) (3)

Chia 2 vế của (3) cho cos(x + y) * 0; đo giả thiết (2) :

<=> tg(x + y)cos y - sin y = 2tg(x + y) <=> tg(x + yXcos y - 2) = sin y Hay : tg(x + y) = Sĩn^ - (đpcm) (để ý : cosy - 2 5* 0; Vy).

cosy - 2

B ài 16 (ĐẠI HỌC Y KHOA HÀ NỘI-1999)

R ú t gọn biểu thức : A = 1 - COS6 a - sin® a .

Giải

A = 1 - cos6 a - sin6 a = 1 - (cos6 a + sin6 a) = 1 - Ị^cos2 aj +|sin5 aj A = 1 - jjcos2 a + sin2 a^cos4 a - sin2 a COS2 a + sin4 ajj

A = 1 - ( s in 2 a + c o s 2 a

J

4

B à i 1 7 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘĨ-1999)

Giảỉ ' _{s i n —}:■ A VT = B s i n — 2 B c C A c o s —c o s — COS—COS— 2 2 2 2. . A + B A - B A + B

c

1

sin— —(sin A + sinB) COS

2 _ 2 2

A B

COS— COS—

2 2

_ A B c A B

c o s1—cos—cos— COS— COS—

2 2 2 2 2 s m - -COS' A B C c o s— COS— COS— 2 2 2 .. A B : _ A ' B cos—cos— - sin—-sin— 2 - 2 2 2 A B COS— COS— 2 2 A - B A B A B

cos— r— A o cos—cos— + sin—sin—

2 _ I 1 tg A t ; B = ___ẵ___ 2 _2 2 B 2 2 À B A COS— COS— 2 2 c o s — COS— 2 2 1 * A f B + 1 - ts 7 tgI = 1 + tg—tg— + 1 - tg—tg— = 2= VP (đpcm). 2' 2 2 2 B à i 1 8 (ĐẠI HỌC ĐÂN LẬP KỲ THUẬT CÔNG NGHỆ-2000)

Trong tam giác ABC tùy ý, chứng mình rằng :

A B c A B c

cotg J + cotg J + cotg ^ = cotg J cotg J cotg J . Giải

_ _ t____ ., . A B 7Ĩ

c

Trong tam giác ABC => — H— = — —

5 2 2 2 2

cotg^ + c o tg - c o t g ị

A B C c A B

cotg—cotg—cotg---- cotg— = cotg— + cotg—

2 - 2 2 2 2 2

* A * B * c _ * -A * B '* c /

=> cotg — + cotg — + cotg — = cotg—cotg — coíg — (đpcm).

2 2 2 2 2 2

B à i 1 9 (ĐẠI HỌC GIAO THỔNG VẬN TẢI TP.HCM-2000)

A

Goi A, B,

c

2

B c A C

cotg —, cơtg— lập thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó) th ì: cotg — cotg — = 3 . Giải

A B c

Từ (-Ỉ-) cotg— ;cotg—;cotg— ta có : Á

B

. fA + c i

{

2

~J 2cos

A c B I 2 J 2

Ct>teI + C0t« i = 2c0tBf ° - A" P ' T b

sin — sin — sin —

2 2 2

B _ B

cos — 2 cos — _ . ^

^ 2 _ 2 _ : B A c

o ---7---— = --- =r- <=> sill — = 2 sin - f sin —

A ■ ‘C . B 2 2 2

s in --s in — sin —

2 2 2

_

rA

c")

c ; A ; c

( 2 J 2 2 2 2 2 2

A C A C A C

o cos — cos — = 3 sin — sin — o cote — cotg — = 3 (đpcm).

2 2 2 2 2 2

-B à i 2 0 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI A-2000)

Chứng minh đẳng thức : 8sín3 18° + 8 sin2 18° = 1. Giải

Để ý : cos72° = sin l8 ồ (tính chất góc phụ)

o 2COS2 36° - 1 = sin 18° o 2(1 - 2sin2 18° f - 1 = sin!8c

8sin4 18° - 8sin2 18° - sínl8° + 1 = 0 (a+b + c + d - o )

o 8 sin3 18° + 8 sin2 18° =1 (dpcm). o sinl8° = 1 (vô lí) ' J — o - : ..3 io 0 , o - : - 2 i o o„ „ ■

L8sin318° + 8sin218° - 1 = 0

B ài 21 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI B-2000)

(2) (*) Chứng minh rằng :'8 + 4 tg ^ + 2 t g ^ = cotg-^;. (1) ________________________ 8 16 32 ^ 32 Giải ( lĩ ĨI ''ì 71 71 ~ H ẫ ‐ tgẫ j ‐ 2tgẫ ‐ 4tgr 8

^ ■ cos2X - sin2X cos2x

'Với đê ý : cotgx - tgx = —--- -- - • = 2cotg2x sinxcosx _-sin2x1 . 0. . 2 • . Thì => VT(2) = 2 .2 c o tg | - 4 t g | = 4^cotg| - t g | j = 4.2tg^- = 8 = VP( Vậy : 8 + 4tg^ + 2 t g ^ + = cotể ^ (đpcm). (2) 14

B ài 22 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-KHỐI D-2000)

Với A, B, c là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng :

sinA + sinB - siuC .A ^ B „ C

= tg^tg^-cotg-f - (1)

cosA + cosB - cosC + 1 2 2 2

Giảỉ _ . A + B A - B _ c c 2sm—■ — cos-:. —- — 2sm—cos— ■T rrp 2 2 2 2 V 1(l) -9. " 9. 9. 0 A + B A - B . 0 . 2 c 2cos - — COS. + 2sm — 2 2 2 „ c A - B 0 A + B c rn„A + B)

2cos—COS—2 cos——— cos— zcos~ cos Õ cos Õ

2 2 --- --- 2 2 _ 2 l 2 2 J

- ;_ e A - B 0 A + B * c c f A + B , A - B'l

2sin—cos-—-—7 + 2cos--- sin— 2sin— COS— ■— + COS— -—

2 2 - 2 . 2 2Ỉ, 2 2 7

-2sin-r-sin| ' ■ ■ ■ ■ .

■ COt82 - * "~A B~ =

4COS—cos~““

2 2 .

-sin A -Ĩ- -sinB - -sinC A____ ^

Vậy : ; - = tg^ tg-cotg-^ (dpcm).

cosA + cọsB - cosC + 1 2 2 2

B à i 2 3 (HỌC VIỆN NGÂN HÀNG HÀ NỘI-KHỔI A-2000)

Chứng minh đấng thức : 8 sin318° + 8 sin2 18° = 1 ■ _____

Giải

(X em b ài 2 0 Đ ề ĐH QUỐC GĨA HÀ NỘI-KHỐI A-2000).

B à i 2 4 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI- 2000)

Cho A + B + c = — và các số’ cotgA, cotgB, cotgC theo thứ tư lạp thành cấp

2 ■"

số cộng. Tính giá trị của biểu thức : cotgA.cotgC. _____ _______

Giải

Ta có : cotgA + cotgC - 2cotgB (ị) (tính chất (+))

(1) sin(A + C) 0 cosB _ cosB _ 0 cosB . . n _ %

<=> ■■ -ị - = 2.-7— o — 7—T-TT = 2-7-— (do A + c = -r -C )

sinA sinC sinB siaA sm C sinB , 2

sinB cos(À + C) _ Tí ...

o 2 - ---— - = — “ (do B = ~ - (A + C))

sin Asm c sin A sin c 2

cos A cos c - sin A sin c . • A ,

-« 2 = --- ——--- = cotgAcotgC - 1

sin A sin c

o cotgAcotgC = 3 (ycfat).

15

eí«<tc« d ề 2 : PHƯƠNQ ĨRÍNH LƯỢNG GIÁC c ơ BẢN VÀ MỞ RỘNG Loại 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GtÁC ỢƠ BẢN

JL PHƯƠNG PHÁP V - - ... ...l i ...

Cơ sỏ của phương pháp là biến đổi sơ cấp các PTLG cùa dề ra'về một trong bốn dạng chuẩn sau và được chia thành hai lo ậ i:

1. Phương trình lượng giác cơ bản

C6 4 dạng : sinx = m; cosx = m; tgx = ro; ■ cotgx. - im. '

Phương trình Điều kiện có nghiệm .-■Công-thứcnghiệm; k là số nguyên .

Dạng 1 . ; _ . Dạng 2 sinx = m -1 < m £ 1 X = (~l)k arcsinm + Ịgk X = a + k2it X = l ĩ a + k2K m - smcc cosx = m - l £ m £ l X = = "arccosm + k2jr-. X = ± a + k2rc m = cosa tgx = in Vm; X * — + kji 2 1X = arctgm + kít X = a + krt ra - tga cotgx = m Vm; X * krt _{X = àrccotgm + kĩt} x' = a + kĩt m = cotga

• Cbú ý : sinx s 1 » X =. — + k2n ; • sinx = 0 X = krc; * sinx = -1 Cữ X = - — + k27i

2 ■ 2

cosx = 1 o X = k2ỉi; cosx = 0 o X = — + k ĩt; cosx = -1 X = -IU + k2n:

•, V ■" 2 -■ ... 2. Phương trình lượng giác thuộc dạng cỡ bản :

Có một trong các dạng : sin[f(x}] = m; cos[f(x)] = m; tg[flx)] = m; cotgííĩx)] = m với f(x) ỉà biếu thức chứa biến X.

Hoậc là : siníílx)] = sin[g(x)]; - costflx)] =.cos[gixj]; tg[fl[jO] = tg[g(x)]; cotg[fíx)j= cotg[g(x)3 __ Ta SỪ dụng các công thức nghiện: -như trẽn. ____________ •

B. GIẢIT0Á2Í THI

B ài 25 (DẠI HỌC Y KHOA HẢI PHÒNG - 1996) .

Giải phương trình : (1 + tgx)cos3x + (1 + cotgx)sin3x -V 2sm 2x . ■ Giải . . ịs in x * 0; co sx 5* 0 Đ iêu k i ệ n : { . - <=> sin x c o sx > 0 (1) [sin 2x > 0 Lúc đó, phương trình đã cho tương đương : 3 /s in x + cosx^ . 3 fs.ìnx + co sxV /ĩr~T~7: cosJ X --- --- .+ sin i d --- = V 2 s iu 2 x V c o s x ) . \ s i n x }

<=> c o s2x (s in x + cosx) + s in 2x (sin x + cosx) = V 2 s in 2 x

I— 7--- (sinx + cos.x > Ọ

o V 2 s i n 2 x = s in x + COSX o <

[(sinx + cosx) = 4sinxcosx

ísin. X > 0 A c o s X > 0 (v i s i n X c o s X > 0)

o \

sin x + cos x + 2sin x c o sx = 2sin2x

j s i n X > 0 A COS X > 0 J s i n x > 0 A COS X > 0 I s i n 2 X + c o s 2 X = s i n 2 x { s i n 2 x = 1

isinx > 0;cosx > 0

1Ĩ

2x = — + k 2 n

B ài 26 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM - KHỐI A - 1996)

o X = — + m7i (với m = 2k v à k € Z) (ycbt).

4 Giải phương trình : tgSc - tgxtg3x = 2, (1) T i - j c o s x ^ o Đíẽu kiên : A o COS 3 x ^ 0 Giải X * - + kj! 2 n krc ■X * + —-6 3 ; k e Z (1) , c i n f v __3yÌ Lúc đó :;<=>■ tgx(tgx:- tg3x) = 2 o tgx---- = 2 cosxcosSx - s i n x f - 2 s i n x c o s x V - - 2 s i n 2 x = 2 . 0 — 1' --- — —— - 1 = 2 o --- ---— - 2 ' ( " s in 2 x o . t g x ———--- .

^cosxcos3xy cosx^ cosxcos3x ) cosxcos3x

o -2sin2x = 2cosxcos3x o cos2x - 1 = cos4x + cos2x o cos4x = -1

o 4 x = 7Ĩ + m 2 x <=> X = — + ; m € Z ‘ (yc b t).

4 2

B ài 27 (ĐẠI HỌC HẠNG HẢI, cơ sờ II - 1996)

Giải phương trình :-v Võ - 3 sin2 X - 4 COS X = 1 - 2cosx. ₍₁₎

Giải (1) Í1 - 2cosx > 0

Ịộ - 3 s in 2 X - 4 cos X = (1 - 2 COS x )2

o cosx < - 2

5 - 3(1 - co^ x) - 4cosx = 1 -4 cosx -ỊrẢcoề X

Ỉ

Bài 28 (ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẲI - 1996)

Giải phương trình : cos3xtg5x = sin7x.

(1)

G i ả i

Điều kiên : cos5x 0 o X í — + — ; k e Z (2)

10 5

(1) I . I

o cos 3x sin 5x = sin 7x COS 5X 0 — (sin 8 x + sin 2x) = — (sin 12x + sin 2x)

o sinl2x = sin8x o 12x - 8x + m27i

12x =-7t - 8x + m2n o ₍₄₎

20 10 w

(m € Z)

Kiểm tra điều kiến mà (3) và (4> phậi thõa (2);

~ rrTT nttTĩ 7t k7i ■ _ 01 T 5m - 1 ~ m - 1 □ THị x é t : —- = —- + — o 5m - 2k = 1 o k = ----= 2m + ■—--- (5) 2 10 5 2 2 , m - 1 í5> ím = 2t + l ( s ố l ẻ ) Đ ặ t: t = ,■ e Z t ìù ' o r ■ : t € z 2 [k = 2 (2t + 1) + 1 = 5t + 2

V ậ y tro n g các n g h iệ m X = , ch ỉ có n g h iệ m ứng v ớ i m c h ẵ n (m = 2t);

2

t € z là thỏa mãn hay X = trc; t e 2 là một họ nghiệm của (1).

□ TH2 xét : — + í — = — + — o 2m - 4k = 1 o 2(m - 2k) = ỉ (vô lí vì vế

20 10 10 5

trái là số chẵn, còn'vế phải lá sõ' lẻ Vk; m e Z)

Vậy : X = — + — ; m e z là họ nghiệm của phương trình (1).

íi ' nm

.'ra,-X = —— H— —J m Z

K ết luận : Phưcfng trình (1) có hai họ nghiệm : 20 10 (ycbt).

X ‐ ta; t € z

1

Điếu kiên : < ^ <=> sinxcosx í 0 6 sm2x 0 .<=> X í — ; k e

[cosx * 0 2

,, (1) s i n x cosx . sin2x + cos2 x .

Lúc đó : o ——— + --- = 4 o --- - — :--- = 4

c o s x s i n x s i n X COS X

o 1 = 4sinxcosx o sin2x = Ặ = sin ^

2 6

<=> 2x = (- l)m — + II1JI o X = (-l)m. — + ; m e z (ycbt).

6 v; 12 2

B ài 30 (ĐẠI HỌC HƯỂ - KHỐI Đ - CPB - 1997)

Giải phương trình : sin ^x + 2cosx = 0.

1 + sin X (1)

G iải

Điều kiện : ĩ + sinx * 0 => -X * + 2kiĩ; k s z

2

(1) ■ . \

Lúc đó : o sin2x + 2cọisx + 2sinxcosx = 0 2(sin.2x + cosx) = 0

o cosx .= - s in 2 x ■o cosx = COS I + 2x V2 x = -~ + 2x+ 2rm 2 x = --.-2x+ 2jm 2 o X - - 2mn (loại vì m = - k ) 2 ' 71 2mn ... X — — ■ H— —— (m .e Z ) 6 3

Vậy : X = - ~ + m e Z là nghiệm phương trình (1) (ycbtj.

6 3

B ài 31 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TPHCM - KHỐI D - 1997)

Giải phựcmg trình : 2tgx + cotgx = Về" + — sin2x (1) Giải .V . . . [ s iạ x * 0 II17I . 7 T Điệu k iệ n : { . o . X * —— : m € z í [cos X * 0 2 ' 1 T - . / ■ s i n x c o s x s i n 2 X + c o s 2 X Lúc đó tgx + cọtgx = ——— + ——— = ---c o s x s i n x SỈH.X COS X t> tgx + cotgx = —^ sin 2x (1) Đến đây : c> tgx + tgx. + cotgx = Vã + — sin 2x o tgx +■ 7 7 2n = Vã + . tgx = : sin 2x sin 2x B ài 32 (ĐẠI HỌC DÂN LẬRpÔNG ĐÕ - 1997)

Giải phương tr ìn h tg x + cotgx = 2(sin2x + cos2x). (1)

Giải

_ íc ò s x * 0 _ . o - . tot . ~

Điếu kiên : ị '■ o . sin2x * ơ o X * — : k €

z

' [sin X * 0 2 T , ^ sin x cosx _ o, . „ - . Lúc đó : o --- + = 2(sìn2x + cos2x) c o s x ‘ s in x s i n 2 X + c o s 2 X = 2(sin2x +■ cos2x) <=> s i n X cos X . sin2x

o sin2x(sin2x+ cos2x) = 1 <=> s i n22x + sin2xcos2x = 1

o — (1 - cos4x) + Ậsin4x = 1 o sin4x - cos4x = 1

2 2 ■ ■ ■ ' ■ .. .

o V2 sin ^ 4 x - - j =. Ị - • C5> sin ^ 4 x - —j - — - s in — .

= 2(sin2x + cos2x)

Ỉ_{4 x - - = - +2tm}. . . o__ 4 4 _ / \ • ^ 4 x - - = ^ - - j + 2 r a ĩ 7Ĩ x = - + — ; m e Z 8 2 7Ĩ HXl r-jjr x = “ + — : m e Z . 4 2 ’ (y c b t).

Bài 33 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NrỘI - KHỐI A, B - 1992)

G iải phương trìn h : 2 s in 3 x (l - 4 s in 2 x) - 1. ₍₁₎

Giải Để ý : cosx = 0 không là nghiệm cửa (1)

c=> 2 s in 3 x [l - 4( 1 - COS2 xỊ jc o sx = cosx

<=> 2sin3x(- 3cosx + 4 COS3 x) = cosx

o- 2sin3x.cos3x = cosx o sin6x = sin Ị — - X

6x = — - X + 2 k n 2 6 x = 71 - — + X + 2 h t 2 _ Jĩ_ 2kĩi

14 017 ;

z

Bài 34 (ĐẠI HỌC GIAO THÒNG VẬN TẢI - 1998)

Giải phương trình : cpt§ x te x _ IQ^I + C0S4x).

cos2x (1)

Giải

Điều kiện : cos2x * 0 o 2x * - + k* <» X * — + — ; k e Z

2 4 2

c o s 4 X - sin4 X

Lúc đó : s 5ia2x co^ x = 16,2cos22x o á s ĩ W x _ = 32cos22x

cos2x cos2x sỉn2x

c<Jo : s sin2x “ cos2x =16 , cos2x

ịc o s2X + sin2 Xj^cos2 X - sìu2

—sin2 2xccs2x 4

= 32cos 2x o 4cos2x

■ sin2 2xcos2x = 32cos 2x

o 1 = 8 sin2 2x COS2 2x <=> 1 = 2 sin2 4x o 1 = i - COS 8x . o cosôx = ọ o 8x = — + nut -C5> X = — ■+■ ; m <= z (ycbt).

2 16 8

B ài 35 (ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HÀ NỘI - 1998)

Giải phương trình : eosx.cos2x.cos4x.cos8x

-16 (1)

Giải

Để ý : X = kĩ:; k €

z

16sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 8sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = 4sin4xcos4xcos8x = sinl6x sinx 5* 0

Luc đó : o I <=> ị

[sial6x = sinx 16x = X + m2it o ị

16x = 7Ĩ - X + ih2ti X - m2n U (m € Z) 71 m27i X - _ +——• 1 7. 17 2mn , 15k k • = kĩt <=> m = 1 = 7k + ^ 15 2 2 Vì k €

z,

z

z,

B ài 36 (ĐẠI HỌC VÁN HÓA HÀ NỘI, ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HÀ NỘI - 1998)

Giải phương trình :

cos lOx + 2 COS2 4 X + 6 COS 3x COS X = COS X + 8 COS X COS3 3x . ₍₁₎ G iả i

(1) ' 9 { * \

<z> c o s lO x + 2 COS 4 X = COS X -f- 2 COS x(4 COS 3 x - 3 c o s 3 x ] o c o s 10% + 1 + COS 8 x = co s X + 2'cos xjcOS 9 x

o co s lOx + 1 + c o s 8 x = c o s X + COS lO x + COS 8 x

o cosx = 1 <=> X = k27i; k € z (ycbt).

B ài 37 (ĐẠI HỌC VÃN HÓA HÀ NỘI - 1998)

Giải phương trình : sin3 x c o s x = — + COS3 xsinx .

Gỉải

o s in X c o s x (s in 2 X - COS2 x ) = ỉ « 4 s in X COS x ( - COS 2 x ) = 1

(1)

<=> -2sin2xcos2x = 1 o sin4x = ~1 <p> 4x = + 2kĩt

2 <=> X = — — + ——

;

z

8 2

Bài 38 (HỌC VIỆN NGÂN HÀNG - 1998)

Giải phương trình : sin6 X + COS6 X = cos4x . 7 (1)

Giải

T a có : sin6 X + COS6 X = (sin2 X + COS2 x)3 - 3 sin 2 X cos2 x(sin2 X + COS2 x)

, 3 . 2o ' 1 3 f l - c o s 4 x ' \ _ 5 3 A

= 1 - —sin 2x = 1 - - ---- —--- = —+ —cos4x (2)

4 2 ) 8 8

So sánh vế trái của (1) và (2), ta được : cos4x = 1 o x = ^ ; k e Z (ycbt). 2

Bài 39 (ĐẠĨ HỌC GĨÀO THÒNG VẬN TẢĨ - 1999) __________ ____________

-Giải phương trình : sin4 X + COS4 X = — cótg^x + — jcotg^— - x j . (1)

Điều kiện : sinị^x + — 1*0 sinỊ— - X I * 0 o Giảỉ sin^x + — ì * 0 cosl x + í | , 0 . f n „ ■ 71 Ĩ Ĩ 1 7 Ĩ _______ o s í n 2x + — * 0 .X * m e L 3 J 3 2 Lúc đó, phương trinh (1) tương đương với :

(sin2 X + cos2 x f - 2sin2 xcos2 X = —cotgf X + ? itgf X + — ] = —

v } 8 \ 3J \ 3J 8

<=> 1 - — sin2 2x = — o 1 - — (l - cos4x) = — «- COS 4x = —

2 8 4 ' 8 2

o 4x = ± — + 2k7ĩ o x = ± — + “ j k e Z (ycbt).

3 12 -2

B ải 40 (ĐẠI HỌC HUẾ - 1999) __________ .

Giải phương trình lượng giác : sm x CQfrg5x _ ^ COS 9x (1) Giải r ■ e ^ o _sinox^Ũ Í5x 5* krc Điẽu kiên : ị <=> K o COS 9x # 0 9x * -T + kĩt V - 2 X * kít X- * (k s Z)

Lúc đó : <=> sinxcotgõx = cos9x o sin X C0S = COS 9x sinõx

o sinxcosõx = sìn5xcos9x o sin6x - sin4x = sin lể x - sin4x 14x = 6x + in27ĩ

14x = 7C - 6x + m2ĩt o sịnl4x = sin6x <=>

22

o 8x = m27i <=> 2 0 x = 7T + m 2ĩĩn

B ài 41 (ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG - Cơ s ở n - KHOI A, D - 1999)

mn . 4k ™ X = m * m e £ 4 5 7Ĩ m.7T _ X = —- + — , m

€ z

20 10

.1

Giải phương trình : sin3 xcos3x + COS3 xsin3x = sin3 4x. ₍₁₎

Giải

o s ill3 x(4 co s3 X - 3 c o s x ) + COS3 x ( 3 s in x - 4 s i n 3 x ) = s i n 3 4 x ■

o 3 sin X COS xỊcos2 X - sin2 x) = sin3 4x o — sin 2x.cos 2x = sin3 4x

■ . ■ 2

o 3 s i n 4 x = 4 s i n 3 4 x o s i n l2 x = 0 o X = ——; k € X (ycbt).

B ài 42 (ĐẠI HỌC THƯỚNG MẠI - 1999)

1 ■' 1

Giải phương trinh : 2sin3x - . = 2cos3x +

—-sinx cosx (1)

Giải •

Điều kiên : j sinx ^ ^ <r> sin2x 5* 0 o X * — ; k e z . Lúc đó :

I cos X * 0 2

v ! ■

'-.L . ■ ■ y : . 2-72cosíx~—)

s 2 ( s m 3 s - c o s 3 x ) = o ' - 2 ^ s i n j 3 x - ĩ ì « - ^

sm X COS X ^ 4J sin2x

o sinf 3x - —ì sin 2x - cosí X - — ì

I ■ 4 J . V 4 ; • ,

-o ì c-osíx - —ì - c-osíõx - —ì"Ị -c-osíX - —ì

.

4 J l 4 j j ' { 4 )

o cos^

5

x - — j +v cosị^x - — j =

0

o cos^

5

x - — j = cosị^— + xj

r_ 71 3it _ . r 71 rtiTĩ . ị ỗ x - + x + m2n \ X = — + o 4 4 0 -4 2 (m € Z) (ycbt) t 71 3ti „ _ _ 7Ĩ m n .

5

x - — = - -

+

m2n

x = - - r +

B ài 43 (VIỆ-N ĐẬI HỌC MỞ HÀ NỘI - 2000)

o 2 V2

Giải phương trình : COS xcòs 3x + s i n xsía3x = —-.

4 (1)

Giải

(1) COS 3x + 3 cos X _ - 3 sin X - sin 3x . - V2

o --- —T--- cos3x + ■—--- sin 3x =

4 •' ■ T - 4 4

o COS2 3x + 3cos3xcosx + 3 sin 3x sin X - sin2 3x = V2 .

o (cos2 3x - sin2 3x)+ 3(cos3xcosx + sin3xsinx) - >/2 o cos6x + 3 cos 2x = nÍ2 o 4 COS3 2x = V2 COS3 2x = i

■ s . V

V2I 71

COS2x = — o X = ± —+_krc; k € z (ycfct).

2 I 8

Bài 44 (ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - KHỐI A, D - 2000)

Giải phương trình : sm ỉ - — ?os x = ỉ (tgx + cotgx).

s in 2 x 2 (1)

Điều kiện : sin2x * 0 (*)

a) 1 - 2 s in 2 x co s2 X 1

o «

sln2x sin2x 2

Vậy : phương trình (1) vô nghiệm (ycbt).

Bài 45 (ĐẠI HỌC M ỏ - ĐỊA CHẤT - 1999)

Giải

c> 1 - —sin22x = 1 o sin22x =: 0 (vô lí với (*))

Giải phương trình : 1 + tgx = 2J2 sinx . (1)

Giải

Điều ỉdện : cosx * 0.

o C0S X + s i n x = 2V2 sin.XCOSX o 4 2 sin ^x + — j = V2 sin 2 x

K , ^ r JC o 2x = x+-+k2rc 4 2x = J ĩ - X - - + k2rc 4 o X - - + k2* 4 II k2?ĩ X — + — -. 4 3 o • X = — + ; k e z (th ỏ a cosx * 0) (ycbt).

Bài 46 (ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - ĐỘT I - KHỐI A - 2000)

-Giải phương trình : cosx - sinx = V2 cos3x,

Giải -v/2 c osị^x + — j = -n/2 c o s 3x o c o s 3x = cosỊ^x + —j (1) (1) o 3 x = X + — + k.2ĩt 4 3 x = -X - — + k2ĩt 4 o X = — + kn :k e z 8 ...7T kTT , x = _ 16 2 (ycbt).

B ài 4 7 (ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI - 2000)

Giải phương trình.: V3 sin 2x - 2 COS2 X = 2V2 + 2cos2x. ₍₁₎

Giải

o V3 sin 2x - 2 cos2 X = 2^2(1 + COS 2x) o V3 sin 2x - 2 COS2 X = 2v4cos2 X

o 2V3SÌEXCOSX - 2 co s2 X = 4|cosx| <=> —— sin V3 X - — cos X 1

2 2 cos X = COS X

° 4 ' « ) c o s x = c o s x (2)

71^

Biều kiện : siixị X - —Jcosx > 0 . Do đó, xét hai khả năng cho (2) như sau :

c o s x > 0 sinị X - — Ị > 0 s in X - -Z c o s x = c o sx 6 cos X > 0 s i n [ x - ĩ ] > 0 COS X - 0 sinfX - —1 = 1 (loại) (h .l)’ Tương ứng sin^x - — j = 1 (h.l) cos X < 0 sin| X - — I < 0

sin X - — cosx = -co sx

6.

K xi ) £0

<x> cosx = 0 <i> X = ~ + k tt; k e

z

B à i 4 8 (ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI - 2000)

Giải phương trình : sin3 X + COS3 X + sin3 xcotgx + COS3 xtgx = V2sin2x . Cl) I

Giải

_ . v ... f s i n x * 0 A c o s x * 0 .

Điẽu kiện : < <=> sin2x > 0

1 sin 2x > 0

Để ý : VT^) =ísinx+cosx)(l-sinxcosx)4-sin2 xcosx+co^xsinx

= (sin x + cosx)(l - sin x c o s x + sin x cosx) = s i n x + CGSX

(1) Í2s i n x c o s x> 0 Lúc đó : o ị ---■ s in x + co sx = 2v s in x c o s x s i n x c o s x > 0 <=> < sin X + cos X > 0 <=> sin x + cosx = 2v sm x c o sx s i n x> 0 cosx > 0 s in x + cosx = 2-v/sinxcosx SỈHX > 0 cosx > 0

sinx = cosx Ịdo BĐT Cauchy : sinx + cosx > 2Vsinxcosxj sin X > 0 » < cos X > 0 7Ĩ X = — + k 7 i;k e

z

=

+

;

z

=

+

+

1

)

71

;

z

Vây : X = — + 2 m iĩ; m e

z

Bài 49 (HỌC VIỆN NGẨN HÀNG - PV TPHCM - 2000)

G iải phương trìn h : (2 COS X - l)(s in X + COS x) = 1. (1)

Giải

(1)

2cosx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 1

o 2 sinxcos X + 2COS2X - (sinX + COS x) = 1

<r> sin 2x + cos 2x = s in X + cos X <=> yỈ2 sin^2x + —j = V2 sin^x + —ì

r 2x + — = x + — + k2n ~ 4 4 _ <z> o 2x + — = 7Ĩ - X - — + k2ĩi L 4 4 B à i 50 (ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN - 2000) X = k2ít ; k e Z 71 k27T . , ™ (ycbt). X = — + — — ;k e

z

Giải phứơng trình : 2sin^3x + — j '■= \Ịl + Ssin 2xcos2 2x

Giải (1) Cí> -í 4 s in2 3x + ^71 = 1 + 8 s in 2 x c o s2'2x (1) 26

sin|^3x + - I > 0 1 -c o s 6x + = 1 + 8 sin 2x COS2 2x o _{\ 4 )} 2 + 2 s i n 6 x = 1 + 8 s i n 2 x ( l - s i n 2 2 x ) sin^3x + — j > 0 2 + 2(3 s in 2 x - 4 s in 3 2 x ) = 1 + 8 sin .2x - 8 s in 3 2 x ■ sinỈ3x + — I > 0 (*) sm fsx + — i > 0 ^ 4 ' ' ^ <=> ‘ X = — + mu; m s Z (2) . o 1 12 s i n 2 x = — ■ X = — + mvi; m € z (3) i 12

• Thay (2) vào (*), ta CO : sir^3x + — j = s^ 2 + = cos(^rn7ĩ) - ®

=> 3m = 2q; q €

z

=>‘ X = — + 2qĩĩ; q e

z

12

Thay (3) vào (*), ta có : sir^3x + — j = SÌD^7T + - + 3nmj = - cos(3irư:) > 0 => 3m = 1 + 2q; q s

z

* 5ĩt /„ \ _____ ~ ,___________ , , , ,

=> X = — + (1 + 2q)rc; q <E

z

Vậy kết hợp cả 2 trường hợp trên, ta cỏ :

X = — + 2qn; X = ~ + (1 + 2q)rc là n g h i ệ m của (1); Vq €

z

12 12

Loạỉ 2 : DẠNG BÌNH PHƯƠNG CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỜ BẢN

JL PHƯƠNG PHÁP ,

Ngoài các PTLG thuộc haiioại trên, khi giải PTLG mẫu mực hay khõng mẫu mực, đôi khi ta gặp đạng bình phương của hàm lượng giác cợ bản.VIệc đưa nó về PTLG cơ bản là quá đcm giản. Nhưng phải giải từng PTLG cơ bản thành phần nên cách giải'cồng kềnh, cùng vđi việc phái biết thu gọn các công thức nghiệm thành phần dể viết cóng thức nghiệm tổng quát là luôn cần đặt ra.

Cơ sò cua phương ỉ>háp là sử dụng thành thạo cộng thức nghiệm ở bảng sau để khác phục các nhược điểm đã nêu trên :

27

Dạng chuẩn _{Công thức nghiệm; vk €}

z

1 b

/ B ài 51 (ĐẠI HỌC TỔNG HỢP HÀ NỘI - KHỐI A - 1993)

Giải phương trình : 3tg2x - 4tg3x = tg23xtg2x._________ _____________(1) -..V , íCOS2 x * 0 Điẽu kiên : < o 4 cos3x * 0 Giải ' l ĩ ’ kji X * _ -I-4 2 K k x X * + —-6 3

; k e z (*) .

Ba họ nghiêm trêu thỏa điều kiện <*) nên chúng đều là nghiệm pt (1).

B ài 52 (ĐẠI KỌC HÀNG HẢI - 1995)

f ( 1 - V1

Giải phương trình : I tgx + — cotgx I - cosnx + sm"x (n = 2, 3, 4,...). (1) Giải

fc o sx * 0 _ k7i

Điều k i ê n : <! o X 5* - ; k €

z

sin X 5Ế 0 2

Lúc đó tgx và cotgx luôn cùng đấu nên :

(*)

í t g x + ~ eoigx ì = ịịc g ị + ^ ỊcotgxỊj > 2" • l^o tg x ỉ = 1

. ■ . V / D ấ u đ ẳ n g thức, tro n g (*) x a y ra k h i v à ch ỉ k h i tg x = — co tgx o tg fx = ỉ 4 4 o X = arct^± — j + mít; m € z là nghiệm phương trình (1). * Ghi chú :

•

TH

: n = 2 => VP(Ỉ)

=

cosăx

+

sin2x

=

1

Do đó : VT(Ỉ)

= Ị^tgx+-cotgxj

= ĩ <=>x = arctg

Ị^± —

j

+ kĩr; ke z

TIỈsỉ n>2 => \.

\

• TỈỈ

2

: n> 2

i cosnx + sin"x Ị <" I cosnx I + I sỉĩinx I < sin 2x + cos2x = 1

D ấ u đ ẳ n g th ứ c x ả y ra k h i X - — •; k h ô n g th ỏ a (I)

A

V ậ y : k h i n >. 2 th ì phương tr ìn h v ô n g h iệ m .

T óm lạ i : P hư ơng tr ìn h có n g h iệ m X = a rctg^± —j + iịitt (ycbt).

ự ' , ,

v B à i 5 3 (ĐẠI HỌC KIỂN TRÚC HÀ NỘI - 1995)

Giải phướng trình : sin4í — 1 + COS4/ —j = ^ . (1)

Giải D ù n g p h ép b iế n đổi sơ cấp : - 2 (1) <=> sin2íl +così ! - 2 s m 2ỉ 4 l c o s 2[ ? l = ậ _ 1 . 2(2x ì _ 5 . 2 ( 2 x 1 3 _ . 2 Í 2x

o 1 - ^sin -T- = T- <=> sin -T- = — o sin ' S ' *

2

2x , 71 , _ , 71 Skrc . — 7Ĩ IĨITT _

■o - ^ - = + — + k ĩr o X = ± — + — k € ' Z o x = — + —— ; m

3 3 2 2 2 2

B ài 54 (ĐẠI HỌC LUẬT HÀ NỘI - 1996)

G iả i phương tr ìn h : 4 s i n 3 X + 3 c o s 3 X - 3 s i n x - s i n 2 x c o s x = 0.

(ycbt).

H Ị D

Giải (1)

<=> 3 sin x (sin 2x - I) + s in 2x (sín x - cosx) + 3cos3x = 0

<=> (si'nx - cosx)(sin2x - 3cos2x) = 0 <=> (s in x c o s x X l - cos2x - 3cos2x) = 0. <=> (sinx - cosxXl - 4c o s2x) = 0

Xét hai khả năng xảy ra cho phương trình (*):

<*)

□ TH x: sin x - cosx = 0 <=> V2 sin^x - — j = 0= 0 <=> X — — = kn

4 o X = — + k?ĩ; k e

z

Vậy : (2) hoặc (3) là hai họ nghiệm của (í) (ycbt).

B ài 55 (ĐẠĨ HỌC NGOẠI THƯƠNG- 1996) '

Giái phương trình : cos3x - 4sin3x - 3cosxsin2x + sinx - 0. (1)

Giải

õ eosxcos2x - 4ain3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 <=> cosx(l - sin2 x) - 4sin3x -3cosxsin2x + sinx = 0 o (cosx + sinx) - 4sin3x •- 4cosxsin2x = 0

o (cosx + sinx) - 4sin2x(cosx + sinx) = 0 <=> (cosx + sinxXl - 4sin2x) = 0

<=> cos X + sin X = 0 1 - 4 s in 2 X = 0 o >/2 sinỊ^x + — j = 0 ■ 2 2 TC s in X = sin -T o X = + W k e z 4 ■ Tĩ X = ± — + iĩitĩ; m € z 6 ycbt).

B ài 56 (ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HÀ NỘI - 1996)

, . . . (1- COSx)2 + (1 + cosx)2 0 . i+ sin x , 9 , ,,

Giải phương trình : ——---- — -7— --- tg xsinx = — —— + tgTĩ. (1)

4 (l-s in x ) 2

Giải

Điều kiện : j co® x , í ^ X * — + krc; k e

z

[sin x-ítl 2

Lúc đó, phương trình (1) tương đương :

1 - 2cosx + cos^ X + 1 + 2cosx + COS2 X ,, , ^ 2 1 + sinx

--- --- , ~--- = (1 + sinx)tg^x + ---- ^----4 ( 1 - sin x) • 2 ■ 2(1 + cos2 x) . Y 2 1 ^ o ——— —--- = (1 + sinx) tg X + — 4 ( 1 - sin X) V 2 )

o 1 + cos2x = 2(1 - sin2x)ftg2x + ~ j o 1 + cos^ = 2cos2x^tg?x*-j

<=> 1 + cos2 X = 2sin2 X + cos2 X o 2sin2x = 1 <0 sin2x = sin2 — 4

o X = ± — + mĩt 0 X = — + ; m €

z

4 4 2

B ậi 57 (ĐẠI HỌC HÀNG HẢI - CPB - 1997) G iải phướng tr ìn h : cosx = COS2 Ị — Ị.

Xét : cosx = cos2| — ì <»'2còs2f ^-ì - 1 = Ậ íl + cosậ^

Giải s'

o 4co s2Í -Ẹ 1 - 2 = 1 + COS 3Ỉ ặ

<=> 4cos2[— ì - 2 = 1 + 4cos3

<=> 4cos3Í 4 ì - 4cos2[ 4 I - 3cos| ^ 1 + 3 = 0 <=> cos! - 1 - 1 4cos2[ * 1 —3 = 0 o c ọ s ( f ) - l = 0 4 cos2í Ẹ 1 - 3 = 0 cs-cos^|J = l c o s 2[ —) = = í COS — 2 4 I 6 o (1) — = k 2 n X , 7 f __ —■ = ± — + mTĩ L2 6 X = k4ĩt; k e

z

+

z

B ài 58 (ĐẠI HỌC XÂY DựNG - 1997)

Sin ZX+.C0S-2X 4 . ...

Giải phương trình : —-T--- r-—s in 4 2x + CỎS4 J ----2x r- = COS 4x. (1)

t g í | - x U | ^ )

Giải

Đ iều k iệ n : tg|^- - x jt^ - + Xj * 0 o cosí — - x jc o s ^ — + x j * 0

cr* Ậ cosí — 1+ COS 2x íi 0 o cos2x ỊẾ 0--O X * — + k —

2 - 4 2

• Đ ẹ ý : j — - x j + f — + x j = Ệ . (h a i góc pỈLụ)

cot8u + - í = . ^ 1 ^ 1 * t8 í ! ■ x X * • V 1

V á i c á c điềụ k iệ n và sô 'liệu đ ó, phưcmg tr ìn ỉi (1) tương đươtig :

sùi42x + c o s42x = cos44x o (sin?2x + cos22x>2.- 2siri22xcos22x = cos44x

31

' i -r 2. — smz4x = cos44 x <=> 1 — —(1 — C0d24 x ) ~ cos44x 4 2 ■ <=> 1 + c o s 24 x = 2 c o s 44 x <=> 2 c o s 44 x - c o s 24 x - 1 = 0 .2 ""... COS 4x ~ 1 COS2 4 x = “ ( v ô l í ) o X = ; a i e Z (ycbt). 4 Bài 59 (ĐẠI HỌC Y Dược TP-HCM - 1997)

Bằng cách dùng t = tgx, giải phương trinh.: sinxsm2x + sm3x = 6cos3x. Giải

X é t : s in x sin 2 x + s i a 3 x ■= 6c o s3x

o 2sin2xcosx + 3sinx - 4sin3x = 6cossx

Nhận thấy : cosx = 0 không thỏa mãn. (1), nên cosx * 0 trong (1). Chia 2 vế của (1) cho cos3x 5* 0, ta được :

2tg2x + '3tgx(l + tg^x) - 4tgsx “ ’6 o -tg3x + 2tg2x + 3tgx = ổ o (tgx - 2Xtg2x “ 3) = 0 tgx = 2 tg2x = t g * | X = arctg2 + k n ; k e 2 - i t . ■. ~ X = + —+ mrc: m € z ■ 3

Bài 60 (ĐẠI HỌC CÒNG ĐOÀN - 1998)

Giải phương trình : sin x - 2 , j X

• 2 , 2* ” 2 ’

s i n X - 4 C 0 S —

íl)

(1)

Với để ý : sin2x - 4 COS2 — = 4 sin2 — COS2 — - 4 COS2 —

2 2 2 2 .

= 4 cos2-r í sin2 4 - l ì = - 4 COS2 77 COS2 = - 4 COS4 ^

Giải . 2 x 2 X ^ 2 x Điều kiện : co^ — * 0 2 X • O C O S ~*0 o X * TỊ + 2krt; k €

z

o 2 - sin X = 4 sin — COS — <=> 2 - sin X = sin X

2 2 •

o sin^ = 1 =

—

o

s=

—

+ m^ o x =. —

+ mít; me z.

2 2 2

B ài 61 (ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘỊ - KHỐĩ A - 1998) Giải phương trình : 2tgx + C 0 tg 2 x = 2 sia2x + s i n 2 x (1) ícosx * 0 Gỉảỉ cos X 0 _kít Điều kiện : \ . ọ f o X í — (k e Z) [sin2x?i0 Ịsinx^O 2 (1) ' 2 _tsf^x X Lúc đó : <=> 2tgx + ---- —— = 4 sin X COS X 4--- --- 2 t g x 2 s i n X c o s X

•o 2tgx + ỉ cot gx - — tgx = 4 sin X COS X & —

—---2 2 2sinxcosx

Nhân 2 sinxcosx * 0 vào 2 vế của (2), ta được :

<=> 4 s i n 2 X + c o s 2 X - s i n 2 X = 8 s i n 2 X COS2 X + 1

« 3 s in 2 X + 1 - s in 2 X = 8 s in 2 x c o s 2 X + 1 o s in 2 X = 4 s in 2 x c o s 2 X

o sin2 x(l - 4 COS2 x) = 0 o COS2 X = — = j = cos2^—j (vì sin2 X * o)

o X = ± — + ĨĨ17T; m € z (y c b t).

3

B à i 6 2 (ĐẠI HỌC MÕ - ĐỊA CHẤT - 1999)

(2)

Giải phương trình : tgxsin2 X - 2 sin2 X = 3(cos 2x + sin X COS x). (1 )

Giải Điều kiên cosx í 0 o X * — + k.71; k € z

2

Lúc d ó : o S" - - 2 s in 2 X = 3ỈC 0^ X - s in 2 X + s i n X c o sx )

cosx

Chiá 2 vế của (2) cho cos2x í* 0, ta được :

tg3x - 2tg2x = 3(1 - tg2x + tgx) o tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0 'tg x = - 1 (2) o <=> (tgx + l)(tg2x - 3)= 0 o tg X = 3 t g x = t g ( ' - | t g 2X = t g 2 í 0 X = + m 7 t ; m e

z

z

B ài 63 (ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I - KHỐI B - 1999)

Giải phương trình : sin2 x(tgx +1) = 3 sin x(cos X - sin x) + 3 (1)

Gỉảỉ

Điều kiên : cosx 5*0 o x ^ 7 + h ; k s Z

2

Chia 2 vế của (1) cho cos2x * 0, ta được :