Métodos Numéricos para a Solução de Problemas de Valor de Contorno

Métodos Numéricos para a Solução de Problemas de Valor de Contorno Equações diferenciais ordinárias

Exemplo 1. Difusão-reação em uma partícula catalítica porosa:

Figura 1. Partícula catalítica esférica.

Balanço de massa: (estado estacionário, isotérmico)

2 2 1 A d dC D r r r dr dr  _{ }     , 0 < r < R ₀ 0 (simetria) r dC dr _  e ( )

(concentração fixa na superfície) o

C R C

Outras considerações: D constante e rA = k.f(C), onde k é a constante da

reação. 2 2 1 ( ) d dC D r k f C r dr dr  _{ }    

Pode-se ainda definir um fator de efetividade da partícula (forma integral): 2

0

2 0

( ) ( ) _{taxa de reação média na partícula}

taxa da reação máxima baseada na superfície

( ) _{( )} R A V R A o _o V r C dV k f C r dr r C dV _{k f C r dr}  











_

e D k R 

 , conhecido como módulo de Thiele

difusão reação

 para uma reação de primeira ordem, ou

( _o)

o k f C R

D C

  para uma reação de qualquer ordem.

Outra definição para o Módulo de Thiele é a sua versão generalizada: R

0 ( ) ˆ 2 o ( ) A o C A r C L D r C dC  



(Módulo de Thiele Generalizado)

onde L é o comprimento característico da partícula, definido como o volume da partícula dividido pela sua superfície externa, que para o caso da esfera L = R/3. Com esta definição tem-se   3ˆ para uma reação de primeira ordem na esfera.

Reescrevendo a equação diferencial: _{k f C r dr D d r( )} 2 2dC

dr    _{ }   2 2 2 0 ₀ 3 3 2 0 3 3 ( ) ( ) ( ) R R R o o r R o dC dC _r D d r dr D D R dC dr k f C R k f C R dr k f C r dr        _ _     



 



(forma diferencial)



r_A  r C_A( _o)



3₂ o r R R dC C dr _    2 1 3 x dy dx _             ? ? 1 x R r dx dy dr dC Definindo: o C y C  ; R r x e ( ) ( ) ( ) o o f C y g y f C  ) ( 2 2 2 2 y g dx dy x dx y d _{ } , 0 < x < 1 1 ) 1 ( 0 0    y e dx dy x

g(y) = y  equação de Bessel modificada (solução analítica):

Solução: senh( ) 3 1 1 senh( ) tgh( ) x y x        _  _  _  _

Nota: – y(0) é finito,

) senh( ) 0 ( ) senh( lim 0         _x y x x

–  < 1  mostra o efeito da transferência de massa.  → 0 :  → 1 e  → ∞ :  → 0 _ _ 3_



 

g(y) = yn  reação de ordem n  0 ou 1.

Problema de valor de contorno

Métodos numéricos: – diferenças finitas – volumes finitos – elementos finitos – valor inicial

– aproximação polinomial (e.g. colocação ortogonal)

Diferenças finitas

– transforma o intervalo [a, b] (no exemplo [0, 1]) em uma malha com N pontos internos:

0 = x0 < x1 < ... < xN < xN+1 = 1

– aproxima as derivadas pelos quocientes de diferenças – resolve o sistema de equações algébricas resultante.

Para uma malha uniforme:

1      N a b h x xi = a + i.h , i = 0, 1, 2, ..., N+1

Expandindo y(xi + h) em série de Taylor:

y(xi + h) = y(xi) + hy’(xi) + (h2)

) ( ) ( ) ( ) ( h h x y h x y x y i i i      h y y y i i i    1 _{(diferença à direita)}

Expandindo y(xi – h) em série de Taylor:

y(xi – h) = y(xi) – hy’(xi) + (h2)

) ( ) ( ) ( ) ( h h h x y x y x y i i i      h y y y i i i 1    (diferença à esquerda)

subtraindo as duas expansões:

) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 4 3 2 4 3 2 h x y h h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y i i i i i i i i i i i i i                             ) ( 2 ) ( ) ( ) ( _h2 h h x y h x y x y i i i       h y y y i i i 2 1 1      (diferença central)

somando as duas expansões:

) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 2 4 3 2 4 3 2 h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y h x y i i i i i i i i i i i i i i                              2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )_i y xi h y xi y xi h ( ) y x h h         2 1 1 2 h y y y y i i i i     

Para uma malha não uniforme: 1 1 1 1 1 1 1 1                 i i i i i i i i i i i i i x x y y ou x x y y ou x x y y y

Figura 2. Malha não uniforme para diferenças finitas.

2 2 2 2 1 2 2 1 2 h h h h y y y_i i h i h        _{ }        ; i i i i h i x x y y y        1 1 2 2 ; 1 1 2 1    _    i i i i h i x x y y y                     1 1 1 1 1 1 2 i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x x y (central)

Para o exemplo da partícula catalítica:

) ( 2 2 2 2 y g dx dy x dx y d    1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 i i i i i i i y y y y y g y h x h     _     _{ }     i = 1, ..., N yN+1 = 1 1 0 0 1 ₀ ) 0 ( y y h y y x y       para g(yi) = yi h1 h h2 xi – 1 xi xi + 1 X

iáveis N equações N var 2 2   2 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 0 i i i i i i i N x x x y x h y y h h h y y y      _  _  _{ }  _ _  _                _       

Que é um sistema de equações lineares em estrutura tridiagonal, que pode ser resolvido pelo método de Thomas. Para o caso de reações de ordens diferentes de zero ou um tem-se um sistema não-linear de equações algébricas.

Volumes finitos

Referência: “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, C.R. Maliska, 1995.

Consiste na realização de balanços de propriedades em volumes elementares (volumes finitos), ou de forma equivalente na integração sobre o volume elementar da equação diferencial na forma conservativa (ou forma divergente, onde os fluxos aparecem dentro das derivadas).

Figura 3. Volumes finitos.

     Δxw Δxe • • x = 1 x = 0 W E w e

Exemplo:





2 0 0 1 ( ) 0 ; (1, ) 1 ( ,0) m s s x y y x y x x x x y y x y x y    _    _{ }  _{ } _{ } _     _{  }        Volume elementar: 0 1 1 2 2 4 s s dV x dx s s         _             Com m1 2 e e e s s s w w w y y x dx x x ydx x  _{ }  _{ }      







valor médio no volume:

_

_







  _    e w s s w s e e w s e w s p yx dx x x s dx x dx yx y (₁ 1) ₁ 

_

_

_p e w s s w s e p y x y x x x s d dy ₂ 1 1 ) 1 (            _{ }  diferenças centrais: ; e w E p p W e w x x x x y y y y y y x _ x x _ x          



1 1











2 ( 1) E p p W p _{s s} e w p s s e w e w y y y y dy s x x y d x  x  x x  _{ }   _{ }       _   _ 2 p W W p p E E p dy A y A y A y y d     



1 1



( 1) s w W _{s s} e w w s x A x  x  x     ;



1 1



( 1) s s e w p _{s s} e w e w x x s A x x x  x       _  _    _{ }



1 1



( 1) s e E _{s s} e w e s x A x  x  x    

Balanços para os volumes das fronteiras: x = 0 :

Figura 4. Fronteira com fluxo especificado.





p e w s s w s e p _y x y x x x s d dy ₂ 1 1 ) 1 ( _          _{ }  0    w x s x y x ; e p E s e x s x y y x x y x e      ( )  _p e p E e p _y x y y x s d dy _{( 1)}( ) ₂        x = 1 :

Figura 5. Fronteira com variável especificada.

( ) w p W s s w w x y y y x x x x   _   ; 1 e e p p s f f x y y y y x x x x    _{ }   



1



2 1 ( ) ( 1) 1 p p _s p W w p s f w w dy _s y y y x y d x  x x             _   _ Δxf Δxe x = 0 P E w e xw = 0 Δxw Δxf x = 1 w e W P xe = 1

Sistema resultante: Ay b d

dy

 

 , onde A é uma matriz tridiagonal.

Nota: Diferenças-finitas: malha

Volumes-finitos: malha

Elementos finitos

Referência: “Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineering”, M. E. Davis, 1984.

Aproxima a variável dependente por um polinômio contínuo por partes: 1 0 ( ) n _{i i}( ) i y x x   



  (estacionário), x[0,1]

onde _i( )x são funções conhecidas (bases) continuamente diferenciáveis e que satisfazem as condições de contorno, e _i são coeficientes a determinar.

1 0 ( , ) n _j( ) _j( ) j y x  x   



   (dinâmico), x[0,1]

A forma da determinação destes coeficientes é que caracteriza o método de elementos finitos utilizado, tais como:

– método de Galerkin – método da colocação Exemplo: y x( ) 1_{  }y x( )





2 0 1 ( ) 0 (0,1) 0 (1) 0 m s s x d dy x x y x x dt dx dy dx y    _{     }  _ _       _   x0 x1 x2 ... xN+1 x1 x2 ... xN (mudança de variável)

Multiplicando a equação por i(x) e integrando em [0, 1]: 1 ₂ 0 (1 ) 0 s s m i d dy x x y dx dx dx   _{   } _{ }    _{ }   



i = 1, 2, ..., n

Integrando por partes o primeiro termo: 1 1 1 0 0 0 ( ) s s s i i i d dy dy dy x dx x x x dx dx dx dx dx  _{ } _  _{ }   _{ }    





Como i(x), i=1,...,n, satisfaz as condições de contorno:



_i(0) 0; _i(1) 0



 1 ₀ 0 0 (1) s (0) 0 i i x x dy dy x dx _{ } dx _     _{ }      tem-se que 1 1 0 0 ( ) s s i i d dy dy x dx x x dx dx dx dx  _{   }    





então: 1 1 2 0 ( ) 0 (1 ) 0 s s m i i dy x x dx x y dx dx  



 



    Como 1 0 ( ) n _{j j}( ) j y x  x  



  , tem-se para m1 1 ₁ 1 _{1 1} 2 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n s s s j j i j j i i j j x x x dx x x x dx x x dx                 











Definindo: 1 0 ( ) ( ) ( , ) s x a x b x dx a b



, resulta em:













1 1 2 2 0 0 , , 1, n n j j i j j i i j j                 





, chamada de forma fraca da

equação diferencial.













1 2 2 0 , , 1, n j i j i j i j                 



i = 1, 2, ..., n

A b Contorno: 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 ( ) 0 (0) (0) n n xn n        _{         }  (p/ bases lineares)

Funções bases lineares _(_h2)_:

1 0 1 1 0 0 1 , ( ) 0 , x x x x x x x x x x   _{ }  _   _{ }  _  1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ) , 0 , , j j j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                 _   _       _{ }  1 1 1 0 , ( ) , n n n n n n n x x x x x x x x x x     _   _{ }   _{ }   

Figura 6. Funções bases lineares.

outras funções bases : – cúbicas de Hermite (1ª derivada contínua), _(_h4) – B-splines, etc. (x) 1 0 _x n+1 ... x0 x1 xj-1 xj xj+1 xn 1 0 j-1 j n+1 ...

Para m0 e1:





1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 , 1 , 0 1, 2, ..., ( ) 0 (1) 0 ; (0) (0) 0 m n n j j i j j j j j n n i n

F sistema não linear

       _{ }   _{     } _{      } _  __ _ _  _{ }   _{   }      _{        }  





Valor inicial

– transforma o problema de valor de contorno em um problema de valor inicial (P.V.I.)

– atribui um valor inicial para as variáveis com valor inicial desconhecido e resolve o P.V.I.

– verifica se as condições finais foram satisfeitas e retorna ao passo anterior até estas serem satisfeitas.

Para o exemplo da partícula catalítica:

v dx dy  , y = u            1 ) 1 ( 2 ) ( 0 ) 0 ( 2 _{v u} x u g dx dv v v dx du

Métodos: – tentativa-e-erro ou “shooting” – múltiplo “shooting”

1) Equações diferenciais lineares: “shooting” e superposição Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ; ( ) y f x y g x y r x x a b y a y b       _{   }  y x g y x f y y L[ ]  ( )  ( ) (operador linear) ] [ ] [ ] [c₁y₁ c₂y₂ c₁L y₁ c₂L y₂ L    a) “shooting”: 1 1 1 [ ] 0 ( ) 0 ( ) 1 L y y a y a    _      e 2 2 2 [ ] ( ) ( ) ( ) 0 L y r x y a y a    _{ }      superposição: y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) L[y] = r(x) =   1 1 2 2 0 ( ) [ ] [ ] r x c L y c L y     c2 = 1

y(x) = c1y1(x) + y2(x) ; y(a) = α = c1y1(a) + c2y2(a)

y(b) = β = c1y1(b) + y2(b) 2 1 1 ( ) ( ) y b c y b    2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y b y x y x y x y b     b) “shooting”: 1 1 1 1 [ ] ( ) ( ) ( ) L y r x y a y a    _{ }       e 2 2 2 2 [ ] ( ) ( ) ( ) L y r x y a y a    _{ }       γ1 e γ2 tais que y1(b) ≠ y2(b). superposição: L[y] = r(x) =       ) ( 2 2 ) ( 1 1 [ ] [ ] x r x y L c y L c    c1 +c2 = 1

y(a) = α = c1y1(a) + c2y2(a)

y(b) = β = c1y1(b) + c2y2(b) 1 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) c c y b c y b c     _{  }  2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) y b c y b y b     ; 2 ₁ 1 ₂ ( ) ( ) ( ) y b c y b y b   











2 1 1 2



1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y b y x y b y x y b y b       2) Equações diferenciais não-lineares

2 2 , , , 0 ( ) ; ( ) dy d y F x y dx dx y a y b             _{   }  a) “shooting”:



, , ,



0 ( ) ( ) k k k k k k F x y y y y a y a      _{ }       k = 0, 1, 2, ...

Figura 7. Método do “shooting”.

Problema: g(γ) = y(b;γ) – β = 0 Ex.: Newton-secante 1 1 1 ( ( ) )( ) ( ) ( ) k k k k k k k y b y b y b             y β α β0 β1 β x b a

Técnicas de Aproximação polinomial

Referência: “Método de Resíduos Ponderados com Aplicação em Simulação de Processos”, E.C. Biscaia Jr., 1992 – XV CNMAC.

Interpolação Lagrangeana  f(r) no intervalo ar b normalização do intervalo: a b a r x    ; r = a + (b – a)x  f(x) no intervalo 0 x1 tendo n pontos: 0 < x1 < x2 < ... < xn < 1

com f(xi) = fi , xi : pontos nodais ou internos.

Tem-se n condições  n coeficientes a calcular  polinômios de ordem (n–1).



    1 0 1( ) n j j j n x C x P  C0, C1, ..., Cn–1 os n coeficientes



   1 0 n j i j i jx f C , i = 1, 2, ..., n                                   n n n n n n n f f C C x x x x x x          1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 (sistema de Vandermonde)

Este sistema é mal condicionado, pois aumentando o número de pontos xi e xi  1

ficam muito próximos. Veja em Golub e Van Loan (1996), p.183-186, uma maneira estável de resolver este sistema.

Definindo o polinômio interpolador de Lagrange:



     n j k k j k k j x x x x x l 1 ) (  Polinômio de grau (n – 1) em x tem-se:



   n j j j n x l x f P 1 1( ) ( ) , fj = f(xj) = Pn – 1(xj) j = 1, 2, ..., n lj(xi) = ij , x1, x2, ..., xj-1, xj+1, ..., xn são as (n –1) raízes de lj(x).

Definindo:

Pn(x) ≡ an(x – x1)(x – x2) ... (x – xn), polinômio nodal de grau n.

Pn(xi) = 0, i = 1, 2, ..., n j n n j k k k n _{x x} x P x x a   



  ) ( ) ( 1 e 1 ( ) n ( ) j k i i j p x x x   



 Tem-se: ) ( ) ( ) ( j j j j x p x p x l  Ainda: lim ( ) _n( _j) _{n j}( _j) _n( _j) j n x x x x P x a p x P x x P j        Então ) ( ) ( ) ( ) ( j n j n j x P x x x P x l    Assim:       ( ) ) ( 1 _{( 1)} 1 ) ( ) ( ) ( ) ( x n x P j n j j _n n x G x P f x l x f        



, onde _(n1)(_x) _{é o resíduo do} polinômio P_n1(x) e _( 1)( )_0 i n _{x , i = 1, 2, ..., n}

Figura 8. Aproximação polinomial.

f1 f2 f3 f4 f(x) x1 x2 x3 x4 P3(x) f(x) x ) ( ) 3 ( _x 

Análise de resíduo da interpolação

Definindo F(t) ≡ f(t) – Pn–1(t) – Pn(t).G(x), onde x é um valor fixo e t é a

variável independente. t = xi  F(xi) = 0, i = 1, 2, ..., n t = x  F(x) = 0 Interpolação: x1 < x < xn  intervalo I = [x1, xn] Extrapolação: x < x1  I = [x, xn] x > xn  I = [x1, x] F(t) possui (n + 1) raízes em I dt t dF )(

possui pelo menos n raízes em I

 n n dt t F d ( )

possui pelo menos 1 raiz em I

0 ) ( 1 _  n n n dt t P d (polinômio de grau n – 1) n n n n a n dt t P d ! ) ( 

sendo então t =  um ponto em I tal que n _n( ) 0

dt F d  tem-se n _n n dt f d a n x G ( ) ! 1 ) (   , I n n n i i n n dt f d n x x x G x P x ( ) ! 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( _{    }   



  ) ( ) 1 (n _x

 é igual a zero  x apenas se f(x) for uma função polinomial de grau < n : 0  n n dt f d (n + 1) raízes

Estimativa das derivadas da aproximação polinomial j n j j n _f dx x dl dx dP dx df   



  1 1 ( ) j n j j n _f dx x l d dx P d dx f d   



  1 2 2 2 1 2 2 2 _{( )}





    n j i ij n j i j i j A x l dx x dl x l dx dl 1 1 ) ( ) ( ) ( ; dx x dl A_ij  j( i)





    n j ij i n j i j i j B x l dx x l d x l dx l d 1 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ; ₂ 2 _{( )} dx x l d B_ij  j i ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 1 1 1 x l f A f A x l dx dP i n i dx x dP n j ij j n j j n i i ij n i n

 

 

     _                     ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 1 2 1 2 2 1 2 x l f B f B x l dx P d i n i dx x P d n j j ij n j j n i ij i n i n

 

 

     _                   

escrevendo Aij e Bij em termos de Pn(x), tem-se:

) ( ) ( ) ( j n j i i n ij x P x x x P A     , i ≠ j e ) ( 2 ) ( i n i n ii x P x P A               j i ii ij ij x x A A B 2 1 , i ≠ j e ) ( 3 ) ( i n i n ii x P x P B    Algumas propriedades de lj(x):



  n j k j j k _{l x x} x 1 ) ( , k = 0, 1, 2, ..., (n – 1) k = 0 ( ) 1 1 



 n j j x l grau (n – 2) < n grau (n – 3) < n

Podem ser exatamente representados por Pn – 1(x)

0 1 



 n j ij A 0 1 



 n j ij B i = 1, 2, ..., n

para o exemplo da partícula catalítica:

) ( 2 2 2 2 y g dx dy x dx y d    ; 0 0   x dx dy _{e y(1) = 1}



   1 0 ) ( ) ( n j j j x y l x y ; x0 = 0 e xn+1 = 1         







      j n j j j n j j j n j j y x l g x y dx x dl x y dx x l d x 1 0 2 2 1 0 1 0 2 2 2 ( ) ₂ ( ) _{( )} para x = xi : 1 1 2 2 2 0 0 2 ( ) n n ij j i ij j i i i j j x  B y x  A y x g y     





, i = 1, 2, ..., n C.C.: 1 0 0 0 



  j n j jy A e yn+1 = 1

Portanto, uma vez determinadas as raízes de PNT(x), (NT = n + 2), que

caracterizam o método utilizado, as matrizes Aij e Bij são conhecidas, restando a

determinar os valores de yi (i = 0, 1, ..., n+1) a partir da solução do sistema de n+2

equações algébricas acima.

Para problemas recaindo em equações diferenciais de segunda ordem:

                                 b t dt dy y b h a t dt dy y a g b a t t r dt y d dt dy y t f , 0 , , , 0 , , ) , ( ) ( , , , 1 1 2 2 1 Mudança de variável:             a b dt dx x a b a t x [0,1]

                                 1 , 0 , , 1 0 , 0 , , 0 ) 1 , 0 ( ) ( , , , ₂ 2 x dt dy y h x dt dy y g x x r dt y d dt dy y x f Aproximação polinomial:



     1 0 1( ) ) ( n j j j n x c x P x y



    1 0 1( ) ( ) n j j j n x l x y P onde



      1 0 ( ) ) ( ) ( n j k k j k k j x x x x x l 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn < xn+1 = 1 Resíduo: (x;c) f(x,P_n1,P_n_1,P_n_1)r(x)



     1 0 1( ) ( ) n j j j n x y dx dl x P ;



     1 0 2 2 1( ) ( ) n j j j n x y dx l d x P Desta forma: y(x_i) y_i P_n1(x_i)



       1 0 1( ) ) ( n j j ij i n i P x A y x y



       1 0 1( ) ) ( n j ij j i n i P x B y x y onde _ij j (x_i) dx dl A  e ₂ ( ) 2 i j ij x dx l d B 

Fazendo que (x_i;c) para i = 1, 2, ..., n, isto é, resíduo nulo nos pontos internos, tem-se:                                   









          0 , , 1 0 , , 0 ..., , 2 , 1 0 ) ( , , , . var ) 2 ( . ) 2 ( 1 0 , 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 n j j j n n n j j j i n j ij j n j ij j i i y A y h y A y g n i x r y B y A y x f n eq n

Definindo o polinômio nodal:



     1 0 2 ( ) ) ( n i i n NT x a x x P , grau n+2 Chega-se em: ) ( ) ( ) ( ) ( j NT j NT j x P x x x P x l    _      



  1 0 1 ) ( n j j x l                  j i x P x P j i x P x x x P A i NT i NT j NT j i i NT ij , ) ( 2 ) ( , ) ( ) ( ) ( 1 ..., , 1 , 0 0 1 0         



  n i A n j ij                         j i x P x P j i x x A A B j NT i NT j i ii ij ij , ) ( 3 ) ( , 1 2 1 ..., , 1 , 0 0 1 0         



  n i B n j ij

Portanto, dados os pontos de colocação x1, x2, ..., xn (onde o resíduo é nulo)

pode-se obter PNT(x), P’NT(x), P”NT(x) e P”’NT(x) para o cálculo de lj(x), Aij e Bij.

Nota-se que não é necessário obetr an+2, pois tem-se sempre a razão de polinômios.

Uma forma eficiente de obter estes polinômios é através de suas fórmulas de recursão:                                0 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ..., , 2 , 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 x s com x r x s x x x s x r com x q x r x x x r x q com x p x q x x x q x p com x p x x x p n j j j j j j j j j j j j j j j j onde P_NT(x) p_n2(x); P_NT (x)q_n2(x); P_NT (x)r_n2(x); P_NT (x)s_n2(x) Resta somente escolher a forma de obtenção de xi , i = 1, 2, ..., n.

Método dos Resíduos Ponderados:

0 ) ; ( ) ( ) ( 1 0  



w x H_k x x c dx k = 1, 2, 3, ..., n

onde Hk(x) são as ponderações do resíduo e w(x) é a função peso associada a

Caso desejasse anular o resíduo em x0 = 0 e/ou xn+1 = 1, dever-se-ia incluir as

correspondentes ponderações H0(x) e/ou Hn+1(x), que juntamente com as condições

de contorno determinariam os adicionais coeficientes da aproximação polinomial. Neste caso x0 e/ou xn+1 seriam também pontos de colocação e não apenas pontos de

interpolação. Método da colocação: Hk(x) = δ(x – xk) =       k k x x x x , , 0  (xk;c) = 0 com xk arbitrário

Método dos momentos: Hk(x) = xk –1

Método de Galerkin: _k( ) ( ; ) k y H x x c c   

Método dos mínimos quadrados: ( ) (x;c)

c x H k k _  

Método da colocação ortogonal: xk são raízes de um polinômio ortogonal e Pn(x)

com relação a função peso w(x): 1 1 0 ( ) k ( ) 0 n w x x  P x dx



Ex.: w(x) = xβ(1 – x)α  Polinômios de Jacobi _P( , )(_x)

n

Exemplo: Difusão-reação (reação de ordem m) – estacionário.





m s s _dx y x dy x dx d x ( ) 1 _2     s: fator geométrico            esférica geometria s cilíndrica geometria s plana geometria s 2 1 0 CC1: 0 0     x x y (simetria) CC2: y(1) = 1

Fator de efetividade da reação:

reação de máxima taxa reação de média taxa  





1 2 1 0 ) 1 ( ) ( ) 1 (      

_

x m s dx dy s dx x y x s 

Fazendo a mudança de variável: u = x2, tem-se





2 ( 1) / 2 ( 1) / 2 0 1 ( ) , 4 1: 2 : (1) 1 m s s u d dy u p y u onde p u du du dy CC finito du CC y      _{  }  _ _   _    _   m py du dy s du y d u     2 ) 1 ( 2 2





1 ( 1) / 2 1 0 ( 1) ( 1) ( ) 2 2 m s u s s dy u y u du p du      





A função peso associada a equação diferencial é: w(u) = u(s – 1)/2

Aproximação polinomial:





      n j j j n j j j n x l u y c u P x y 0 1 1 ) ( ) ( ) (

Utilizando u1, u2, ..., un como pontos de colocação e un+1 = 1 como ponto

de interpolação.



      1 1 ( ) ) ( ) ( n j k k j k k j u u u u u l Pela CC2:



   n j j n c P 0 1 ) 1

( , desta forma pode-se representar



     n i i i n x u du P 1 1 ) 1 ( 1 ) (

Método dos momentos:



1    

0 1 2 / ) 1 ( _{u R(u,d)du 0} u s k _{k = 1, 2, ..., n} Método de Galerkin:



1      0 1 2 / ) 1 ( _{(1 u)u R(u,d)du 0} u s k

Método da colocação ortogonal:



1      

0 1 2 / ) 1 ( _{(1 u) u R(u,d)du 0} u s  k

Com os polinômios ortogonais de Jacobi: _P( , )(_u) n onde 2 1   s  . Observa-se que        Galerkin de método momentos dos método 1 0  

Os polinômios de Jacobi podem ser escritos na forma:



    n j j j j n n u u P 0 ) , ( _{( ) ( 1) } onde γ0 = 1 e 1 ) ( ) ( ) 1 (          _j j j j n j j n _     j = 1, 2, ..., n

Ou pela fórmula sucessiva:



( , )



( ) ( , ) ( ) ) ( ( , ) 2 ) , ( 1 ) , ( _{u u g P u h P u} P_j   _j   _j  _j   _j j = 1, 2, ..., n com ( , )( ) 0 1   u P e ( , )( ) 0 0 u  P 2 1 ) , ( 1 _{ }        g ; , 1 1 ) 1 2 ( ) ( 1 2 1 ) , ( 2 2 _{2 }              j j g_j       0 ) , ( 1    h ; ) 3 ( ) 2 ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ₂ 2 _{   }            h 2 , ) 3 2 ( ) 2 2 )( 1 2 ( ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) , ( ₂                    j j j j j j j j h_j            

Que na forma matricial tem-se: P_n(,)(u) uI M_n

onde                             n n n g h g h g h g M 1 1 1 1 3 3 2 2 1      e as raízes de _P( , )(_u)

n são os valores característicos de Mn:

|MkI – M| = 0, k = 1, 2, ..., n

              _    



1 ..., , 2 , 1 2 ) 1 ( 1 1 1 n n j m i j ij ij i y n i y p y A s B u

isto é, um sistema de equações algébricas lineares (m = 0 e 1) ou não-lineares (m ≠ 0 e 1).

Exemplo: Difusão-reação (reação de ordem m) – dinâmico





                                  ) ( ) 0 , ( : 1 ) , 1 ( : 2 0 : 1 ) ( 1 0 1 0 2 2 0 2 2 x y x y CI y CC D kC L u y CC L Dt x y x y x x x y m u m s s    fazendo u = x2 :





( 1) / 2 2 ( 1) / 2 0 0 1 ( ) 1: 2 : (1, ) 1 : ( ,0) ( ) m s s u y y u y x u u u y CC finito u CC y CI y u y u      _    _{ }  _{ } _{ } _     _  _   _{ }    m y p u y s u y u y            2 ) 1 ( 2 2  Aproximação polinomial:





      n j j j n j j j n x l u y c u p x y 0 1 1 ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , (    





       n j j j n j j j n _u d dc d dy u l p 0 1 1 ) (    para u1, u2, ..., un tem-se:









        1 1 1 1 ) ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( n j m i j ij n j j ij i i _{u B y} s _{A y p y} d dy _{  } 





                



i i n n j ij ij i ij m i j ij i y y y A s B u C y p y C d dy 0 1 1 1 ) 0 ( 1 ) ( 2 ) 1 ( ; ) ( ) (     ou P.V.I.





        



   i i n j m i j ij n i i y y n i y p y C C d dy 0 1 1 1 , ) 0 ( ,..., 2 , 1 ; ) ( ) (  