CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.

AJUSTE

DE

INTRODUÇÃO

 Em geral, experimentos geram uma gama de dados que

devem ser analisados para a criação de um modelo.

 Obter uma função matemática que represente (ou que

ajuste) os dados permite fazer simulações do processo de forma confiável, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.

INTRODUÇÃO

 Em geral, usar interpolação polinomial

quando:

 Deseja-se extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do

intervalo considerado;

 Os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros

INTRODUÇÃO

O objetivo é obter uma função que seja uma

“boa aproximação” e que permita

extrapolações

INTRODUÇÃO

 A escolha das funções pode ser feita:

 Observando o gráfico dos pontos tabelados;

 Baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que

forneceu a tabela ou;

INTRODUÇÃO

O Método dos Mínimos Quadrados é um método

bastante utilizado para

ajustar

uma determinada

MÉTODO DOS

MÍNIMOS

Método dos Mínimos Quadrados

 O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os

a

_i (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que:

se aproxime ao máximo de f(x).

onde: fornece os pontos exatos;

fornece os pontos estimados.

 

x

f

 

x

g

Método dos Mínimos Quadrados

 O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os

a

_i (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que a seja mínima.

   













m k k k

x

x

f

E

1 2



(2)

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 f (x) = 0,8 x + 1,5

   













4 1 2 k k k

x

x

f

E



x

f (x)



(x)

Método dos Mínimos Quadrados

x_i f (x_i)

1 2

2 4

3 3

Método dos Mínimos Quadrados

 Observe que, se o modelo ajustar exatamente aos dados, o

mínimo da função:

será zero e, portanto, a é um dentro do método dos quadrados mínimos.

   













m k k k

x

x

f

E

1 2



Caso Discreto

 Dado um conjunto de pontos (x_i; f(x_i)), i = 0, 1, 2, ..., m

(f dada por )

 O problema de ajuste de curvas consiste em encontrar

funções g_i (x), tais que o desvio em cada ponto i, definido por (2) seja mínimo, ou seja:

Caso Discreto



Neste caso, o ajuste é

linear

.

Caso Discreto



 A escolha das funções g_i (x) depende do gráfico dos pontos,

chamado de diagrama de dispersão, através do qual pode-se

Ajuste Linear

 Como pode ser observado no gráfico anterior, uma possível

aproximação seria através de uma função linear do tipo:

 Assim o objetivo é determinar o valor de

a

₀ e

a

₁, que

minimize:



















m i i i

x

y

E

1 2 0 1

a

a

 

a

₁

a

₀



x



x

_i



(3)

Ajuste Linear

 Para que E seja mínimo é necessário que:

0

0







a

E

0

1







a

E

(4) (5)

Ajuste Linear

 As equações (4) e (5) simplificam-se nas

: (6) (7)





 





m i i m i i

y

x

m

1 1 1 0

a

a







  





m i i i m i i m i i

x

x

y

x

1 1 2 1 1 0

a

a

Ajuste Linear

 A solução para o sistema de equações é:

(8) (9)



























































































      m i i m i i m i i m i i i m i i m i i

x

x

m

x

y

x

y

x

1 1 2 1 1 1 1 2 0

a

2 2 1 1 1 0





































































   m m m i i m i i m i i i

x

x

m

y

x

y

x

m

a

Exemplo 1

 Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico

gerado, pode-se definir que tipo de curva melhor se ajusta aos dados.

Tabela 1

x

_i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Exemplo 1

Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1

0 4 8 12 16 20 0 2 4 6 8 10 12 y x x y

Exemplo 1

 Considerando a Tabela 1, e os dados necessários para as

equações (8) e (9), a Tabela 2 pode ser construída:

i x_i y_i x_i2 _x i yi 1 1 1,3 1 1,3 2 2 3,5 4 7,0 3 3 4,2 9 12,6 4 4 5,0 16 20,0 5 5 7,0 25 35,0 6 6 8,8 36 52,8 7 7 10,1 59 70,7 8 8 12,5 64 100,0 9 9 13,0 81 117,0 10 10 15,6 100 156,0

Exemplo 1

 Considerando os dados da Tabela 2, os parâmetros

a

₀ e

a

₁

podem ser calculados como:

 Assim a reta a ser ajustada é determinada por:

a

₀

= -

0, 360

a

₁

=

_{1, 538}

360

,

0

538

,

1





x

y

Exemplo 1

 Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da reta:

Figura 2. Ajuste linear y = 1.5382x - 0.36 0 4 8 12 16 20 0 2 4 6 8 10 12 y x

Ajuste Polinomial

 O processo usado para o ajuste linear pode ser estendido

para ajuste polinomial.

 Assim, uma função polinomial de grau n é dada por:

 O objetivo é minimizar o erro:

 













m i i n i

x

P

y

E

1 2

Ajuste Polinomial

 Como no caso linear, para que E seja minimizado é

necessário que:

para cada j = 0, 1, ..., n.

 Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1 incógnitas

a

_j:

para cada j = 0, 1, ..., n.



₀

,

₁

,

,





0





n j

E

_a

_a

_a

a









   



m i j i i m i k j i n k k

x

y

x

1 1 0

a

Ajuste Polinomial









   











m i i m i n i n m i i m i i

x

x

y

x

m

1 1 1 2 2 1 1 0

a

a

a

a













     











m i i i m i n i n m i i m i i m i i

x

x

x

y

x

x

1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0

a

a

a

a













      











m i n i i m i n i n m i n i m i n i m i n i

x

x

x

y

x

x

1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0

a

a

a

a



EXEMPLO 2

 Ajustar os dados da Tabela 3 com um polinômio de grau dois

utilizando o método dos mínimos quadrados.

Tabela 3 i x_i y_i 1 0,00 1,0000 2 0,25 1,2840 3 0,50 1,6487 4 0,75 2,1170 5 1,00 2,7183

EXEMPLO 2

i x_i y_i x_i2 x_i3 x_i4 x_iy_i x_i2y_i 1 0,00 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,25 1,2840 0,0625 0,1563 0,0039 0,3210 0,0803 3 0,50 1,6487 0,2500 0,1250 0,0625 0,8244 0,4122 4 0,75 2,1170 0,5625 0,4219 0,3164 1,5878 1,1908 5 1,00 2,7183 1,0000 1,0000 1,000 2,7183 2,7183 Σ 2,50 8,7680 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015

EXEMPLO 2

 Para este problema, n = 2, m = 5 e as três equações normais

são:

 Resolvendo o sistema, obtêm-se:

a

₀

=

1, 0051

a

₁

=

_0,8647

a

₂

=

0,8432

5, 0

a

₀

+

2, 5

a

₁

+

1, 875

a

₂

=

8, 7680

2, 5

a

₀

+

1, 875

a

₁

+

1, 5625

a

₂

=

5, 4514

1, 875

a

₀

+

1, 5625

a

₁

+

1, 3828

a

₂

=

4, 4015

EXEMPLO 2

O erro total

é o mínimo que pode ser obtido usando um polinômio

com grau máximo 2

E

=

éë

y

_i

-

P x

( )

_i

ùû

2 i=1 5

å

=

2, 74

´

10

-4

y

=

1, 0051

+

0,8642x

+

0,8437x

2

Figura 3. Ajuste polinomial

y = 0.8437x2 _{+ 0.8642x + 1.0051} 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 y x

Ajuste Não-Linear

 Existem casos, onde o de uma

função indica que os dados devem ser ajustados por uma

função .

 Ocasionalmente, é apropriado supor que os dados estejam

relacionados exponencialmente.

 Exemplo: φ(x) = aebx, para a e b constantes.

A dificuldade de aplicação do método dos mínimos quadrados neste caso consiste na tentativa de minimizar E.

Ajuste Não-Linear

 Para estes casos, um

deve ser empregado, para que seja possível aplicar o Método dos Mínimos Quadrados.

Ajuste Não-Linear

 Caso I: Função Exponencial

 Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se:

 Realizando as seguintes substituições:

 Obtêm-se:

j

( )

x

=

y

=

ae

bx

ln y

( )

=

ln ae

( )

bx

=

ln a

( )

+

bx

Y

=

ln y

( )

a

₀

=

ln a

( )

a

₁

=

b

X

=

x

Y

=

a

₁

X

+

a

₀

Ajuste Não-Linear

 Caso II: Função Logarítmica

 Expandindo:

 Realizando as seguintes substituições:

 Obtêm-se:

y

=

a ln bx

( )

y

=

a ln b

( )

+

a ln x

( )

Y

=

y

a

₀

=

a ln b

( )

a

₁

=

a

X

=

ln x

( )

Y

=

a

₁

X

+

a

₀

Ajuste Não-Linear

 Caso III: Função Potencial

 Aplicando logaritmo em ambos os lados:

 Realizando as seguintes substituições:

 Obtêm-se:

y

=

ax

b

ln y

( )

=

ln ax

( )

b

=

ln a

( )

+

ln x

( )

b

=

ln a

( )

+

b ln x

( )

Y

=

ln y

( )

a

₀

=

ln a

( )

a

₁

=

b

X

=

ln x

( )

Y

=

a

₁

X

+

a

₀

Ajuste Não-Linear

 Caso IV: Função Hiperbólica

 Realizando as seguintes substituições:

 Obtêm-se:

y

=

a

+

b

x

Y

=

a

₁

X

+

a

₀

Y

=

y

a

₀

=

a

a

₁

=

b

X

=

x

-1

Ajuste Não-Linear

 Usam-se as equações do para obter

a

₀ e

a

₁:

a

₀

m

+

a

₁

x

_i i=1 m

å

=

y

_i i=1 m

å

a

₀

x

_i i=1 m

å

+

a

₁

x

_i2 i=1 m

å

=

x

_i

y

_i i=1 m

å

Após aplicar o método dos mínimos quadrados, é

preciso fazer as

para

encontrar os parâmetros e da função de

aproximação original.

Observe que os parâmetros a e b assim obtidos

dentro do critério dos quadrados

mínimos, porque estamos ajustando o problema

EXEMPLO 3

 Encontrar uma função que se ajusta aos valores da tabela

abaixo: x y -1,0 36,547 -0,7 17,267 -0,4 8,155 -0,1 3,852 0,2 1,82 0,5 0,86 0,8 0,406 1,0 0,246

Exemplo 3

y

=

ae

-

bx

Y

=

ln y

a

₀

=

ln a

( )

Exemplo 3

 Como o ajuste será realizado por uma função exponencial é

necessário calcular: i x y Y = ln(y) x_i2 _x iYi 1 -1,0 36,547 3,599 1,00 -3,599 2 -0,7 17,264 2,849 0,49 -1,994 3 -0,4 8,155 2,099 0,16 -0,839 4 -0,1 3,852 1,349 0,01 -0,135 5 0,2 1,820 0,599 0,04 0,120 6 0,5 0,860 -0,151 0,25 -0,075 7 0,8 0,406 -0,901 0,64 -0,721 8 1,0 0,246 -1,402 1,00 -1,402

Y

=

ln y

Caso Não-Linear

a

₀

=

1, 099

a

₁

= -

2, 5

a

₀

=

ln a

( )

a

₁

= -

b

 Os parâmetros α₀ e α₁ que ajustam a função



(x) à função y

no sentido dos quadrados mínimos.

se pode afirmar que os parâmetros a e b (obtidos através de α₀ e α₁) são os que ajustam



(x) à função y

TESTE DE ALINHAMENTO

 Uma vez escolhida uma função não linear em a, b, … para

ajustar uma função. Uma forma de verificar se a escolha foi

TESTE DE ALINHAMENTO

 Fazer a “linearização” da função não linear escolhida;

 Fazer o diagrama de dispersão dos novos dados;

 Se os pontos do diagrama estiverem alinhados, isto

significará que a função não linear escolhida foi uma “boa escolha”.

EXEMPLO 3

 Gráfico de x versus Y = ln y i x y Y = ln(y) 1 -1 36,547 3,599 2 -0,7 17,264 2,849 3 -0,4 8,155 2,099 4 -0,1 3,852 1,349 5 0,2 1,820 0,599 6 0,5 0,860 -0,151 7 0,8 0,406 -0,901 8 1 0,246 -1,402 Σ 0,3 69,15 8,041

TESTE DE ALINHAMENTO

 EXEMPLO 3

EXEMPLO 4

 Usando o Método dos Mínimos Quadrados, ajustar uma

curva do tipo s = q t p aos dados abaixo:

 Qual o valor de s quando t = 4,5?  Qual o vaor de t quando s = 40?

t 2,2 2,7 3,5 4,1

EXEMPLO 4

 Caso III: Função Potencial

 Aplicando logaritmo em ambos os lados:

 Realizando as seguintes substituições:

 Obtêm-se:

s

=

qt

p

logs

=

logq

+

plogt

Y

=

log s

a

₀

=

log q

a

₁

=

p

X

=

log t

EXEMPLO 4

 Temos então: i t s X_i Y_i X_i2 X_i Y_i 1 2,2 65 0,3424 1,8129 0,1172 0,6207 2 2,7 60 0,4314 1,7782 0,1861 0,7671 3 3,5 53 0,5441 1,7243 0,2960 0,9382 4 4,1 50 0,6128 1,6990 0,3755 1,0411 Σ 1,9307 7,0144 0,9748 3,3671

EXEMPLO 4

a

₀

=

1, 963

a

₁

= -

_{0, 434}

a

₀

=

logq

a

₁

=

_p

q

=

91,83

_p

= -

_{0, 434}

s

=

91,83t

-

0,434

4

a

₀

+

1, 9307

a

₁

=

7, 0144

1, 9307

a

₀

+

0, 9748

a

₁

=

3, 3671

EXEMPLO 4

 Se:

 então, para t = 4,5; s ≈ 48, e para s = 40; t ≈ 6,8.

Caso Contínuo

 Outro problema é a aproximação de funções.

 Para o caso discreto, temos um .

Caso Contínuo

Dada uma função f (x), contínua em [a, b] e escolhidas funções

g₁ (x), g₂ (x), ..., g_n (x), todas contínuas em [a, b], determinar constantes a₁, a₂,..., a_n, tal que:

Caso Contínuo

 O objetivo é determinar um polinômio de grau máximo n

(φ (x) = P_n(x)):

que minimize o erro total:

 

_

  













n k k k n n n n n

x

x

x

x

x

P

0 0 1 1 1

a

a

a

a

a



E

=

éë

f x

( )

-

P

_n

( )

x

ùû

2

dx

=

f x

( )

-

a

_k

x

k k=0 n

å

æ

è

ç

ö

ø

÷

a b

ò

a b

ò

2

dx

Caso Contínuo

 O problema é encontrar os coeficientes

a

_j que minimizem E.  Uma condição necessária para que os números

a

_j

minimizem E é que: para cada j=0, 1, . . .,n.



₀

,

₁

,

,





0





n j

E

_a

_a

_a

a



Caso Contínuo

 Como:

 As derivadas ficam na seguinte forma:

E

=

éë

f x

( )

ùû

2

dx

-

2

a

_k

x

k

f x

( )

dx

a b

ò

k=0 n

å

+

a

_k

x

k k=0 n

å

æ

è

ç

ö

ø

÷

a b

ò

a b

ò

2

dx

Caso Contínuo

 Para encontrar P_n(x), temos (n + 1) equações normais:

que devem ser resolvidas para se determinar as (n+1) incógnitas

a

_j, para cada j = 0, 1, ..., n.

 



 



  b a j n k b a k j k

x

dx

x

f

x

dx

0

a

EXEMPLO 5

 Encontrar o polinômio de aproximação por mínimos

quadrados de segundo grau para a função abaixo no intervalo [0,1].

EXEMPLO 5

 



 



  b a j n k b a k j k

x

dx

x

f

x

dx

0

a

 















1 0 1 0 2 2 1 0 1 1 0 0

1

dx

a

xdx

a

x

dx

sen



x

dx

a

 















1 0 1 0 3 2 1 0 2 1 1 0 0

xdx

a

x

dx

a

x

dx

xsen



x

dx

a

 















1 0 2 1 0 4 2 1 0 3 1 1 0 2 0

x

dx

a

x

dx

a

x

dx

x

sen



x

dx

a

EXEMPLO 5

 Calculando as integrais obtêm-se:

 Resolvendo o sistema obtêm-se o seguinte polinômio:

a

₀

+

1

2

a

1

+

1

3

a

2

=

2

p

1

2

a

0

+

1

3

a

1

+

1

4

a

2

=

1

p

1

3

a

0

+

1

4

a

1

+

1

5

a

2

=

p

2

-4

p

3

P

₂

( )

x

= -

4,1225x

2

+

4,1225x

-

0, 0505

EXEMPLO 5