Vibrações em Sistemas Mecânicos

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Vibrações em Sistemas

Mecânicos

Prof. Dr. Airton Nabarrete

Centro Universitário da FEI

4ª Edição – 2005 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Freq (Hz) 10-3 10-2 10-1 100 101 D e s lo c a m e n to (mm) Node(1) EC/ EF= 0.0015 Node(1) EC/ EF= 0.015 Node(1) EC/ EF= 0.15 0 0.25 0.5 0.75 1 Tempo [s] -100 -50 0 50 100 D e s lo c am en to [m m ]

1. INTRODUÇÃO

Atualmente, muitos estudos são feitos com objetivo de motivar as aplicações das vibrações em engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle etc. Problemas com vibração podem ocorrer devido ao desbalanceamento em

motores alternativos ou mesmo em qualquer sistema rotativo, porém o desbalanceamento

excessivo indica erros de projeto ou um processo de fabricação pobre. Em motores diesel, o

desbalanceamento pode provocar muito ruído em áreas urbanas. Nos motores a gasolina a

grande preocupação atual é a redução das vibrações para o aumento do conforto do condutor. Na instalação de novas máquinas operatrizes na indústria metalúrgica, como exemplo, centros de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc., há grande preocupação com a isolação

das vibrações de modo a não piorar a precisão das mesmas durante a sua utilização posterior.

Em muitas indústrias estas máquinas são instaladas na proximidade de máquinas geradoras de vibração, como: prensas excêntricas, tesouras guilhotinas, etc.

Quando temos a freqüência natural do sistema mecânico coincidindo com a freqüência de

vibração devida a operação, temos o aparecimento da ressonância, que leva o sistema a

deslocamentos excessivos e até à ruptura de algumas partes. Por causa do efeito desastroso que as vibrações podem causar às estruturas e às máquinas, testes de vibrações foram incluídos nas normas e procedimentos de projeto e de verificação experimental nos diversos ramos da engenharia.

1.1 Definição de vibração

Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração

ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e

das forças associadas aos mesmos.

Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou elasticidade dos materiais), um meio de armazenar energia cinética ( massa ou inércia ) e um meio pelo qual a energia é dissipada (amortecedor ou atrito).

Sistema Massa-Mola m k x x₀ x t

A vibração de um sistema ocorre pela transformação da energia potencial em energia cinética e de energia cinética em potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o estado da vibração é para ser mantido.

1.2 Modelo Massa-Mola em Vibração Livre

Neste caso de vibração, o sistema é considerado como conservativo e, após ser fornecido uma quantidade de energia inicial, o mesmo se movimenta eternamente, pois não há dissipação de energia. No modelo simplificado da figura abaixo, m representa a massa e k a rigidez da mola. Neste modelo percebemos a possibilidade do sistema oscilar na direção x em função da elasticidade da mola ligada à massa. A direita temos o esquema de corpo livre com as forças que atuam sobre o mesmo.

m k x + -N mg - k x

Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a esquerda. 2 2 2 1 2 1 x k x m E E E E total pot cin total + = + = !

A equação dinâmica do sistema é :

( )

t k x

( )

t x m x m f = → =−

∑

!! !!

A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem. Reposicionando os termos, temos:

( )

t +k x

( )

t =0

x m !!

Podemos utilizar o mesmo procedimento para a análise de um sistema torcional. Na figura abaixo, kt representa a rigidez torcional do eixo vertical e J o momento de inércia da roda

inferior.

θ

k

_t

J

Efetuando a análise para o corpo livre da roda, teremos:

0 = + → =

∑

Mt Jθ!! Jθ!! ktθ

A análise de vibrações tem por objetivo prever a resposta de movimento para o sistema vibratório, portanto é desejável conhecer a resposta para estas equações diferenciais. Felizmente, a solução da equação diferencial acima é bem conhecida dos cursos introdutórios de cálculo e física.

Assim, a solução para a variável x(t) é :

( )

t = Acos(ω −t φ)

x

A é a amplitude e representa o máximo valor da função x(t) , ω é a freqüência circular (expressa em rad/s), e

φ representa o ângulo de fase ou simplesmente fase .

A escolha da função coseno pode ter como alternativa a função seno, pois ambas são funções que descrevem movimentos periódicos de oscilação.

A solução da equação diferencial indicada por x(t) é chamada de resposta livre, pois não existem forças dinâmicas que provoquem a vibração do modelo massa-mola.

Consequentemente, a vibração livre acontece sempre com a mesma freqüência de vibração, a qual é denominada de freqüência natural e recebe o índice n, ou seja, ωn .

Para verificar que x(t) é a solução procurada, deve-se derivar a mesma e substituir na equação diferencial.

( )

t A

(

nt

)

n

x! =− sen ω −φ ω

( )

t A

(

t

)

x

( )

t

x!! =− cos ω_n −φ ω_n2=−ω_n2 Substituindo na equação diferencial, temos:

( )

{

− 2 xt

}

+k x

( )

t =0 ⇒ x

( )

t (−m 2+k)=0

m ω_n ω_n

Como x(t) não pode ser zero, ou seja, é o deslocamento medido na vibração, então:

m k k

m _n + = ⇒ _n =

− ω2 0 ω

Pela expressão acima, entendemos que a freqüência natural do modelo massa-mola é função apenas da massa e da rigidez da mola. Analogamente, a freqüência natural do sistema torcional é dada por :

J k_t

n =

ω

Na função x(t) ainda restam duas incógnitas, ou seja, A e φ . Para determiná-las é necessário informar as condições de contorno que regem o problema diferencial. No caso da resposta livre de vibração, condições de contorno estão representadas pelas condições iniciais do problema. Como são duas incógnitas, necessitamos de conhecer duas condições iniciais. Portanto, fica estabelecido que devemos conhecer o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da

vibração livre.

( )

=

(

ω −φ

)

=

( )

−φ = 0 cos 0 cos 0 x A A x _n

( )

=−ω

(

ω −φ

)

=−ω

( )

−φ = 0 sen 0 sen 0 x A A v ! _{n n n}

Para resolver estas equações, tem-se:

( )

( )

( )

( )

   − = − = − φ φ φ φ sen sen cos cos

( )

( )

A x A x₀ = cosφ ⇒ cosφ = 0

( )

( )

A v A v n n φ φ _ω ω 0 0= sen ⇒ sen =

Utilizando relações trigonométricas, tem-se:

( )

[

cosφ

]

2 +

[

sen

( )

φ

]

2 =1 2 0 2 0 2 0 2 0 ₁     + = ⇒ =     +       n n v x A A v A x ω ω

( )

( )

= ⇒ = _ 0_ 0 0 0 cos sen x v arctg x v n n ω φ ω φ φ

O quadro abaixo resume o movimento vibratório do modelo massa-mola.

Movimento Harmônico Simples – Sumário

x₀ Amplitude, A + Período, T tempo, t Deslocamento, x(t) -v₀ = tg(θ) θ 2π ω

( )

          −     + = 0 0 2 0 2 0 cos x v arctg t v x t x n n n ω ω ω inicial to deslocamen x₀ = v₀ =velocidade inicial

1.3 Movimento Harmônico

Se depois de um intervalo de tempo o movimento é repetido, o mesmo é chamado de movimento periódico. O tipo mais simples de movimento periódico é o movimento harmônico.

O movimento do mecanismo mostrado na figura acima é um exemplo de um movimento harmônico simples. Quando a roda gira com uma velocidade angular ω, a extremidade S do elemento Q é deslocada de sua posição central de uma quantidade x dada por :

( )

A

( )

t

A

x= senθ = senω

A velocidade no ponto S é dada por :

( )

A

( )

t dt dx t x! = =ω cos ω E a aceleração por :

( )

A

( )

t x

( )

t dt x d t x 2 2 2 2 senω ω ω =− − = = !!

O movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um vetor posição OP de magnitude A girando a uma velocidade angular ω.

Na figura acima, as projeções do vetor posição X" =OP no eixo vertical e no eixo horizontal são dadas por : y=Asen

( )

ωt e x= Acos

( )

ωt .

O vetor X" pode ser representado no espaço cartesiano e também no espaço complexo:

X" =a+ib onde, i= −1

a e b são as componentes real e imaginária do vetor X" .

A representa o módulo do vetor e φ o argumento ou ângulo entre o vetor e o eixo real (eixo horizontal). Utilizando as relações trigonométricas, escreve-se:

( )

φ cos A a= _, b=Asen

( )

φ _, A= a2+b2 _e       = a b arctg φ

Portanto, X" = Acos

( )

φ +iAsen

( )

φ Das relações dos números complexos, obtém-se:

φ A Imag Re O b a y = A se n ( ω t) O A P π 2π 3π T θ y θ=ωt ω A P O x y

( )

( )

[

]

i i t e A e A i A cos φ + senφ = φ = ω Utilizando λ como uma constante diferente de zero, escreve-se:

t t i Ae Ae X iω =λ → " = ω = λ

A diferenciação do vetor posição X" no tempo gera :

( )

Ae Ae X dt d X!" = λt =λ λt =λ "

(

Ae

)

Ae X dt d X!!" = λ λt =λ2 λt =λ2 "

Estas quantidades são mostradas na figura abaixo como vetores rotativos. Observa-se que o vetor aceleração está defasado de 90o em relação ao vetor velocidade e este último está defasado de 90o em relação ao vetor deslocamento.

Na figura, observa-se que o deslocamento é obtido pela função:

( )

t A

( )

t

x = senω

Assim, pode-se dizer que somente a parte imaginária do vetor X" foi utilizado. Pode-se utilizar a notação complexa na forma abaixo para representar o deslocamento, velocidade e aceleração.

( )

t

( )

Ae A

( )

t x =Im λt = senω

( )

(

)

      ₊ = = 2 sen Im λAeλ ωA ωt π t x_! t x!!

( )

t =Im

(

λ2Aeλt

)

=ω2Asen

(

ωt+π

)

1.4 Amortecimento Viscoso

Em observações reais, percebemos que as oscilações livres em sistemas mecânicos se reduzem ao longo do tempo até que sejam totalmente extintas, porém a resposta em deslocamento obtida anteriormente pelo modelo massa-mola mostra que a oscilação ocorre eternamente com a mesma amplitude. Portanto, o modelo massa-mola resolve apenas o problema do cálculo de freqüências naturais. Para incluir o efeito do decaimento da amplitude deve-se incluir, no modelo anterior, a energia dissipada pelo sistema durante as oscilações.

O amortecimento viscoso é a forma mais comum de incluir a dissipação de energia nos sistemas mecânicos. A figura abaixo demonstra os componentes de um amortecedor de automóvel. Neste caso, quando o êmbolo se desloca em relação à carcaça, o amortecimento viscoso é resultante da passagem do óleo de uma câmara para a outra através de orifícios estreitos.

O escoamento de óleo pelos orifícios do êmbolo na figura acima causa uma força de

amortecimento que é proporcional à velocidade do pistão, porém em direção oposta ao mesmo.

O novo modelo matemático tem a forma:

m

k

N

mg

- k x

x

+

-c

- c x

.

A força de amortecimento é dada por:

( )

t cx

( )

t

F_amort =− ! _{onde: c = constante de amortecimento}

A equação dinâmica do modelo da figura anterior é, portanto :

( )

t c x

( )

t m x x

k − ! = !! −

Reposicionando os termos da equação acima, temos:

( )

t +cx

( )

t +k x

( )

t =0

x

m !! !

Esta equação diferencial tem solução homogênea que corresponde fisicamente a uma resposta transiente de movimento, ou seja, não duradoura. A solução para a equação é:

t

e A x= λ

Substituindo na equação diferencial, temos:

(

mλ2+cλ+k

)

Aeλt =0 Como a constante A não pode ser nula, então:

0 2 _{+ + =}

k c

mλ λ

As soluções possíveis para a expressão acima são descritas como:

m k m c m c ₋       ± − = 2 2 , 1 2 2 λ

λ1 e λ2 podem ser reais ou complexos dependendo do resultado interno do radical na

equação. Para a solução geral da equação diferencial admite-se a expressão:

( )

t t e b e a t x = λ1 + λ2

Pela solução apresentada, pode-se concluir que se λ for real então o resultado para x(t) se apresenta como uma função exponencial e não demonstra o comportamento de oscilações, porém se λ for um número complexo, então o resultado de x(t) representa um movimento harmônico como demonstrado anteriormente no item 1.3.

1.4.1 Fator de amortecimento

Para demonstrar a idéia utilizada para definir o fator de amortecimento, busca-se inicialmente o resultado para o λ que descreva um movimento harmônico. O movimento harmônico ocorre se o resultado interno da raiz for:

0 2 2 < −       m k m c

Para obter uma solução, escreve-se o termo do radical da expressão de λ na forma:

( )

2 2 2 2 1 2 2      − = −               − = −       m c m k i m c m k m k m c

Por este procedimento, percebe-se que uma forma de verificar se a solução é harmônica, isto é complexa, pode ser a comparação dos valores de k/m e (c/2m)2. Se (c/2m)2 for maior ou igual a k/m não existe movimento harmônico. Um amortecimento crítico é definido como a constante de amortecimento que resulta no radical nulo. Assim,

m k m c m k m c c c _{0 2} 2 2 = → = −      

O fator de amortecimento é então definido como a relação entre o valor real da constante de amortecimento e o valor do amortecimento crítico.

c

c c = ζ

Quando, ζ < 1, tem-se um movimento harmônico ou oscilatório como resultado. Na prática, costuma-se orientar as faixas de valores para o fator de amortecimento que melhor atendem esta ou aquela aplicação, independente do porte do sistema.

1.4.2 Sub-amortecimento (

ζζζζ

< 1 )

Utilizando do fator de amortecimento, pode-se calcular :

n m k m c ω ζ ζ = = 2

Aplicando este resultado, tem-se que :

(

)

2 2 2 , 1 ζωn i ωn ζωn λ =− ± −

O radical se denomina freqüência natural amortecida, ou seja, ωa.

2 2

,

1 ζω ω ω ω 1 ζ

λ =− n±i a → a = n −

A solução para o caso de sub-amortecimento é, então:

(

i t i t

)

t _{a a}

n _{ae be}

e

x= −ζω ω + − ω

Aplicando as relações trigonométricas descritas no item 1.3 em conjunto com constantes complexas A e B, na forma apresentada abaixo, tem-se a solução do problema:

( )

( )

( )

t i

( )

t a c id e d i c a t i t e t i t i − = − = + = + = − _{ω ω} ω ω ω ω sen cos sen cos

(

aeiωat +be−iωat

)

=

[

−₂c_cos

( )

ω_at −₂d_sen

( )

ω_at

]

Os termos (-2c) e (-2d) são constantes reais. Como já demonstrado no item 1.3 a solução final pode ser escrita na forma :

( )

t =e−ζω

[

A

(

ω t−φ

)

]

x nt _{cos a}

As constantes A e f são calculadas em função das condições iniciais que promovem a oscilação amortecida, assim como no caso da vibração sem amortecimento anteriormente descrita no item 1.2. Assim, conhecendo-se o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da

vibração livre tem-se:

2 0 0 2 0     + + = a nx v x A ω ζω e     + = 0 0 0 x x v arctg a n ω ζω φ

As equações acima podem ser melhor compreendidas se observarmos o gráfico de x(t). Este tipo de gráfico é chamado de resposta temporal ou resposta no tempo. Na figura seguinte, observa-se o gráfico de x(t) com um decaimento nas amplitudes da curva que representa a vibração do sistema sub-amortecido, pois considera os valores: k=1 N/m, m=0.1 kg e

Na figura, pode-se interpretar a redução de amplitude como sendo decorrente da energia dissipada pelo amortecedor a cada ciclo.

1.4.3 Super-amortecimento (

ζζζζ

> 1 )

Neste caso, admite-se que o resultado da raiz seja um número real, ou seja:

0 2 2 > −       m k m c

Em função do fator de amortecimento, tem-se:

(

ζ2−1

)

ω_n2 >0

A solução para este caso é:

t t n n e B e A x ζ ζ ω ζ ζ ω   _{− − −}    _{− + −} + = 1 1 2 2

1.4.4 Amortecimento Crítico (

ζζζζ

= 1 )

O resultado da raiz é nulo, então a solução para este caso é:

(

_{A B}

)

_e nt

x= + −ζω

A figura abaixo apresenta um gráfico comparativo do deslocamento de um sistema mecânico com amortecimento crítico e com super-amortecimento. Considerou-se os valores: k=1 N/m,

m=0.1 kg e c=1.5 Ns/m . A constante de amortecimento crítico vale cc=0.632 Ns/m . Em

ambos os casos foi aplicado um golpe inicial de mesma intensidade. Pode-se notar que estas soluções não representam oscilações harmônicas.

1.4.5 Variação na Equação Diferencial

A equação diferencial que representa o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor, pode ser escrita usando os valores de freqüência natural e fator de amortecimento. Para obter esta nova expressão, basta dividir toda a equação pela massa m do sistema.

0 = + + x m k x m c x!! !

Assim, concluímos que:

( )

t +2 x

( )

t + 2 x

( )

t =0

x!! ζω_n ! ω_n

1.5 Terminologia da Oscilação Harmônica

A terminologia utilizada na discussão de problemas de vibrações envolve algumas outras quantidades que não foram discutidas.

Freqüência de oscilação : É o número de ciclos por unidade de tempo.

    _{= = =} = = s− Hz s ciclos ciclo rad s rad T f 1 / / 2 1 π ω

Na expressão acima, o período de oscilação T é o tempo tomado para completar um ciclo completo de movimento harmônico.

    ₌ = ciclo s s rad ciclo rad T / / 2 ω π

O Valor de pico em uma oscilação harmônica é o valor de máximo deslocamento da vibração e está representado pela própria amplitude A. O deslocamento total da massa (Deslocamento pico-a-pico) durante a vibração equivale a duas vezes a amplitude.

Outra quantidade útil para descrever as vibrações é o Valor Médio da oscilação. Este é definido por :

( )

∫

∞ → = T T T x t dt x 0 1 lim

Como a energia potencial é calculada com base no quadrado do deslocamento, o Quadrado

do Valor Médio do deslocamento é útil em alguns problemas de vibração.

( )

∫

∞ → = T T dt t x T x 0 2 2 1 lim

A raiz quadrada deste valor é utilizada em muitos casos e é mais conhecida com o respectivo nome no idioma inglês, ou seja, Root Mean Square (rms) .

Na análise de vibrações é comum, também, encontrar valores de deslocamento elevado em determinadas freqüências e valores muito baixos em outras. Desta forma para representar os deslocamentos como função da freqüência é necessário se utilizar de escalas logarítmicas.

Uma unidade muito utilizada tanto para valores de amplitudes como para valores rms é o decibel (db) que é definido por :

2 2 1 log 10     = x x dB

Grau de Liberdade é o número mínimo de coordenadas independentes (angulares ou

lineares) requeridas para determinar completamente as posições de todos os componentes de um sistema dinâmico em qualquer instante de tempo. Na tabela abaixo, estão demonstrados alguns modelos de sistemas mecânicos com as respectivas indicações dos graus de liberdade.

1.6 Exercícios

1) Encontre ζ e ωn para o sistema amortecido. Responda se o sistema é sub-amortecido,

super-amortecido ou amortecido criticamente. ( m = 1 kg; c = 2 kg/s; k = 10 N/m ). 2) Encontre a solução para a equação diferencial x!!

( )

t +4x!

( ) ( )

t +x t =0 para x0 = 1 mm e

v0 = 0 mm/s. Desenvolva a solução utilizando o programa MathCAD ou MATLAB e

imprima o gráfico da solução em função do tempo.

3) Trace o gráfico do deslocamento de um sistema amortecido cuja freqüência natural é igual a 2 Hz e as condições de contorno são x0 = 1 mm e v0 = 0 mm/s. Considere um

gráfico contendo várias curvas, sendo: ζ = 0.01, ζ = 0.2 e ζ = 0.6 . Utilize programas

como o MathCAD ou MATLAB.

Sistemas de 1 grau de liberdade k x m θ

k

_t

J

Sistemas de 2 graus de liberdade m₂ k₁ k₂ x₂ m₁ x₁ k_t θ₁ J₁ J₂ θ₂

2. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS

A descrição do movimento de determinado sistema físico por meio de um sistema de equações é chamado de modelagem matemática do sistema. Ao descrever o sistema massa-mola mencionado no item 1.1, procurou-se utilizar a equação dinâmica e relacionar o movimento da massa com a força exercida pela mola. Neste caso, foi possível se utilizar da 2ª lei de Newton para descrever o movimento do sistema. Entretanto, em casos que envolvam a combinação de massas, inércias de rotação, molas torcionais, por exemplo, é comum se utilizar de métodos de energia para obter as equações dinâmicas do sistema.

Neste capítulo, procurou-se relacionar e revisar as equações dos componentes básicos existentes em sistemas vibratórios. No próximo capítulo, serão apresentados os métodos de energia que são aplicados para obter as equações dinâmicas destes sistemas.

2.1 Molas

Uma mola é uma ligação flexível entre dois pontos de um sistema mecânico. Como a massa das molas é usualmente pequena, a força medida dinamicamente nas suas extremidades é normalmente igual. Desta maneira, a força da mola é proporcional a deformação da mesma,

2 1 : x x x onde x k F = = −

F

∆

x

F é a força que age na mola e x é a sua deformação.

Algumas molas não se comportam com a equação acima e admite-se então uma função polinomial para representação geral da força em relação a deformação das molas,

# 3 3 2 2 x k x k x k k F = ₀ + ₁ + +

Neste curso, será considerado que somente molas de comportamento linear ou quase-linear sejam equacionadas nos diversos problemas. Considera-se, também, que as molas tem

deformação nula quando a força é nula, então, k0 = 0. As constantes que multiplicam os termos

polinomiais de ordem 2 ou superior serão consideradas de pequeno valor, então:

x k F =

O coeficiente k representa a constante elástica ou constante de mola linear e indica a rigidez que a mola possui. A energia potencial para molas lineares é dada por:

2 1 2 _, 2 1 x x x onde x k V = = −

2.1.1 Elementos Estruturais como Molas

A vibração em algumas estruturas pode envolver a tração ou compressão axial de barras ou vigas, como é mostrado na figura abaixo.

L m x A,E F(t) m k x F(t)

(a) Estrutura com barra e bloco (b) Sistema equivalente com mola Sabe-se que a deformação de uma barra sujeita a uma força axial, se comporta como a lei de Hooke. Utiliza-se a expressão de Hooke para obter a relação entre força e deslocamento:

x L AE F L x E A F E → = → = = ε σ

Na expressão acima, E é o módulo de elasticidade do material, A é a área da seção transversal da barra e L é o comprimento anterior à deformação. Comparando a equação obtida com a equação da mola helicoidal, tem-se que :

k AE L =

Se a massa da barra for pequena em relação a massa do bloco, o sistema axial acima é modelado como um sistema massa-mola equivalente.

Material Módulo de Elasticidade Densidade Módulo de Cisalhamento

E [N/m2] ρρρρ [kg/m3] G [N/m2]

Aço 2.05E+11 7.80E+03 8.00E+10

Alumínio 7.10E+10 2.70E+03 2.67E+10

Cobre 6.00E+10 2.40E+03 2.22E+10

Concreto 3.80E+09 1.30E+03

-Borracha 2.30E+09 1.10E+03 8.21E+08

Madeira Laminada 5.40E+09 6.00E+02

-A tabela acima indica as constantes físicas de alguns materiais comuns.

Outro exemplo de elemento estrutural funcionando como mola é o caso das vigas sujeitas a carregamentos transversais.

m

y

L/2

L/2

m

k

y

Na viga bi-apoiada da figura acima, o deslocamento devido ao carregamento proporcionado pela massa apoiada sobre um ponto qualquer da mesma, é :

y L EI P EI PL y 3 3 48 48 → = =

Se a massa da viga é muito pequena em relação a m, o sistema pode ser modelado como um sistema massa-mola, onde a mola equivalente terá constante elástica igual a

3 48

L EI k =

O sistema composto de eixo e disco da figura ao lado, está sujeito a um momento oscilatório rotativo. Portanto, o disco oscila em torno da posição angular de equilíbrio estático e o eixo (barra cilíndrica) tem o comportamento similar a uma mola torcional.

J

θ

M

L

J

_P

,G

Este efeito ocorre, por exemplo, nos eixos das caixas de câmbio, pois funcionam como molas de torção, enquanto que as engrenagens funcionam como discos de inércia. Quando o disco de inércia gira de um ângulo θ a partir da posição de equilíbrio, o momento de torção que o disco impõe ao eixo, é escrito por :

θ L

G J M = P

Na expressão, G é o módulo de elasticidade transversal, JP é o momento polar de inércia de

área da seção do eixo e L é o comprimento do eixo.

Uma mola torcional é considerada linear quando há uma relação proporcional entre o momento aplicado e o deslocamento angular. Chama-se de kt , a constante elástica torcional.

θ

t

k M =

Comparando as expressões anteriores, a constante elástica torcional do eixo é obtida como:

L G J k_t = P

A tabela abaixo resume algumas constantes de mola obtidas a partir de elementos estruturais:

Mola helicoidal sob carga axial (d = diâmetro do arame, D = diâmetro da espira e n = número de espiras) 3 4 8nD d G k_eq =

Viga bi-engastada com carga

transversal no centro da viga 3 192

L EI k_eq =

Viga simplesmente engastada com carga transversal na extremidade 3 3 L EI k_eq =

Eixo tubular sob torção (D = diâmetro externo, d = diâmetro interno)

(

4 4

)

32L D d G k_t = π −

2.1.2 Molas Equivalentes

Quando as molas estão posicionadas em paralelo, e a deformação de cada uma é a mesma, a força total é a soma direta das forças desenvolvidas em cada mola que depende das respectivas constantes elásticas. m k₁ k2 kn x

A substituição das molas em paralelo por uma única de constante elástica keq é feita pelo

procedimento abaixo: x k x k x k x k x k F n i i n     = + + + + =

∑

=1 3 2 1 # → F =keq x

∑

= = → n i i eq k k 1 Quando as molas estão posicionadas em série, a mesma força é desenvolvida em todas as molas quando deformadas. Entretanto, a deformação sofrida por cada mola é diferente e depende das constantes elásticas individuais.

m

k1 k2 kn

x

O deslocamento na extremidade do conjunto, a partir da posição de equilíbrio, é obtido pela soma das deformações de cada mola,

x x x x xn xi i n = + + + + = =

∑

1 2 3 1 # i i k F x = →

∑

= = → n i ki F x 1 Portanto, a constante elástica equivalente é obtida como :

∑

= = n i i eq k k 1 1 1

No exemplo abaixo, deve-se determinar a constante elástica equivalente do sistema. m k 2k x k 3k 2k

Efetuando associações em paralelo e em série, tem-se :

m

3k/5 x 2k

m

13k/5 x

2.1.3 Posição de Equilíbrio Estático

A posição de equilíbrio estático de um sistema mecânico é a posição na qual o sistema permanecerá em equilíbrio na ausência de oscilações. Como já observado nas disciplinas de física, oscilações ocorrem em torno da posição de equilíbrio estático e são causadas pela presença de energia cinética ou potencial ou por uma força externa.

Os sistemas da figura abaixo têm molas deformadas na posição de equilíbrio estático e é importante saber quantificar esta deformação estática. À esquerda a mola está deformada com

δest = mg/k . Na direita, a massa da barra está dividida igualmente entre os dois apoios, portanto

a deformação estática da mola é δest = mg/(2k) .

l₀ m k δ_est k mg k m mg/2

Abaixo, ambos os sistemas não estão deformados, pois não sofrem da força gravitacional.

m

k

m

3

k

2

m

2

k

1

m

1

2.2 Massas ou Inércias

As propriedades de massa ou de momento de inércia nos corpos rígidos são utilizadas na determinação da força de inércia ou do momento inercial respectivamente. Pode-se determinar este tipo de força ou momento utilizando a 2ª Lei de Newton.

x m

F= !! M =Jθ!!

As energias cinéticas de translação e de rotação destes corpos são calculadas por : 2 2 1 x m E_c = ! 2 2 1 θ! J E_c =

2.2.1 Efeitos de Inércia em Molas

Quando uma força é aplicada para deslocar um bloco de massa da sua posição de equilíbrio, o trabalho efetuado pela força é convertido em energia de deformação armazenada na mola.

Se a massa é deixada nesta posição e depois solta, a energia potencial da mola se converte em energia cinética para os dois componentes, o bloco e a mola. Se a massa da mola não é muito menor que a massa do bloco, sua energia cinética é não pode ser considerada desprezível.

Para a mola, as velocidades nas diversas posições do seu comprimento variam. Se o suporte da mola não se movimenta, a velocidade da mola junto ao suporte é zero e na extremidade presa ao bloco de massa a velocidade é a própria velocidade do bloco como se pode observar no diagrama de velocidades da figura abaixo.

m k

z

dz

L

x! u! x l z z u!( )= !

A relação entre a velocidade do comprimento infinitesimal e a velocidade do bloco de massa está descrita pela expressão ao lado da figura.

Como a energia cinética é o produto da massa pela velocidade ao quadrado, devemos integrar ao longo da mola as energias cinéticas de cada comprimento infinitesimal da mola para obter a energia cinética total da mola.

A energia cinética infinitesimal é :

( )

[

]

2

[ ]

2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 z u dz l m z u dm dE_{c mola} ! mola  !      = =

A energia total cinética da mola é obtida então, por :

( )

( )

3 2 0 3 2 0 2 3 2 1 3 2 1 2 1 x m z l x m dz l x z l m dE E mola l mola l _mola mola c mola c ! !  !      =         =               = =

_∫

_∫

Para o sistema massa-mola temos que a massa equivalente da mola que deve ser adicionada a massa do sistema, é :

[ ]

3 mola mola eq m m =

2.3 Amortecimento Viscoso

O amortecimento viscoso representa a dissipação da energia de movimento nos sistemas mecânicos e ocorre quando as superfícies de contato dos dois componentes estão separadas por um filme de fluído viscoso. Conforme já comentado anteriormente, o fluído provoca uma força de restrição ao movimento que é proporcional a velocidade relativa dos corpos. Se for um amortecedor hidráulico convencional, temos que o êmbolo e o cilindro têm velocidades v1 e v2,

respectivamente. 2 1 : v v v onde v c F = ∆ ∆ = −

Em cada ciclo de oscilação uma parcela da energia existente no sistema é perdida. A potência dissipada pelo amortecedor é então calculada por:

( )

2 v c v F P_dissip = ∆ = ∆

2.4 Resumo dos componentes

Sistemas Lineares ou de Translação:

Sistemas Angulares ou de Rotação:

c x m k _Força Constante e Unidade Energia ou Potência Mola F =keq x keq[N/m] ₂ 2 1 x k V E_P = = _eq Massa F =m_eq x!! m_eq[kg] 2 2 1 x m T E_C = = _eq ! Amortecedor F =c_eq x! c_eq[Ns/m] 2 x c P_dissip = _eq ! θ M J c_t k_t Momento Constante e Unidade Energia ou Potência Mola Torcional M =kteqθ kteq [Nm] 2 2 1 θ eq t P V k E = = Inércia θ!! eq J M = _[ 2_] m kg J_eq 2 2 1 θ! eq J T E_C = = Amortecedor Angular θ! eq t c M = c_teq[Nsm] _θ!2 eq t dissip c P =

2.5 Leitura Recomendada

Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 3a ed., Cap.I, pág.1-55, Nova York.

2.6 Exercícios Propostos

Admitindo que k1 = 5 N/m, k2 = 10 N/m, kt1 = 5 Nm e kt2 = 10 Nm, determine a constante

equivalente de mola dos sistemas abaixo:

a) θ k_t1 k_t2 J b) θ k_t1 k_t2 J c) m k₁ x α d) m k₁ k₂ x 0,3 0,5 0,2

a) Rotores acoplados por engrenagens:

e) k_t1 k_t2 J k_t1 n₁ n₂ z₁=60 z₂=20

3. MÉTODOS DE ENERGIA

3.1 Soma de Energias Cinéticas

Muitas vezes é necessário analisar o movimento completo de sistemas vibratórios que são compostos de alavancas, engrenagens e outras ligações e complicam aparentemente a análise, pois cada componente tem movimento diferente. Estando estes componentes rígidos ligados de forma tal que a movimentação de um seja

vinculada a movimentação dos outros, é vantajoso, em geral, a redução do sistema para um equivalente mais simples. Assim, a associação de massas é obtida por meio da soma das energias cinéticas.

Para melhor compreensão, utilizou-se o exemplo do sistema de acionamento da válvula do motor, indicado na figura ao lado. As velocidades dos pontos A e B podem ser escritas em função da velocidade angular da alavanca, ou seja:

θ! ! a

x= y! b= θ!

A energia cinética total dos componentes oscilantes do sistema é calculada como:

(

)

2

(

)

2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 y m x m y m J

E_c ! _{valv ! haste !} mola _!

     + + + = θ

Substituindo as velocidades e rearranjando alguns termos, obtém-se o Jeq de uma alavanca

maior que substitui todos os componentes no cálculo.

(

)

2

(

)

2 2 2 2 2 1 3 2 1 θ θ! _eq ! mola haste valv c b J m a m b m J E _ =            + + + =

Substituindo a velocidade do ponto A na expressão, obtém-se a massa equivalente em A:

( )

2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 x m x a b m a m b m J E _A mola haste valv c ! = !           _{+ + +} =

3.2 Método da Energia Conservativa

Além de aplicar a 2ª lei de Newton para obter a equação dinâmica (equação diferencial do modelo), podemos utilizar também o método da conservação da energia. Neste método ressaltamos o seguinte postulado: “A soma das energias cinética e potencial para um sistema

conservativo é igual a uma constante desde que a energia total do sistema seja representada somente em função destes dois tipos de energia”. Sendo a energia total constante, temos que a

variação da energia é zero.

0 ) ( + = ∂ ∂ ⇒ = + = C P C P TOTAL E E t cte E E E

A vantagem deste método é que a diferenciação da energia total no tempo nos dá a equação

dinâmica do sistema, porém somente podemos aplicá-lo quando desconsiderarmos qualquer

forma de amortecimento e forças externas ao sistema vibratório.

Para efeito de comparação, no exemplo da massa, polia e mola, a equação dinâmica será obtida pelo método de forças dinâmicas (2ª lei de Newton) e também pelo método de energia.

Método das forças dinâmicas: a figura abaixo descreve a análise de corpo livre para o bloco de massa e para a polia. A massa do cabo foi desprezada neste exemplo.

m k M r x O m mg mg k δ_est θ_est Análise Estática mg O mg T T k (δ_est+x) θ_est+ θ Análise Dinâmica m O

Do equilíbrio estático na polia, podemos dizer que :

( ) (

m g r k

)

r

M_O = → = δ_est

∑

0

O cabo que sustenta a massa é o mesmo que está ligado à mola, portanto qualquer deslocamento da massa se reflete em deformação para a mola.

A equação de compatibilidade entre os deslocamentos da massa e da polia é escrita como :

θ

θ x_{!! r} !!

r

x= ∴ =

Como a deformação da mola é equivalente ao deslocamento da massa, então :

est

est rθ

δ =

Aplica-se a 2ª lei de Newton para escrever a equação dinâmica para o bloco de massa m,

x m g m T então x m T g m x m F = !! → − = !! = − !!

∑

,

A equação dinâmica para a polia, é :

(

)

[

δ

]

θ θ!! T r k x r J !! J M_O = → − _est + =

∑

Relacionando as equações acima, pode-se escrever :

θ!! r m g m T = − r r k r r m g m Jθ!!=( − θ!!) −[ (θ_est +θ)]

Aplicando a condição de equilíbrio estático, obtém-se a equação dinâmica: 0

)

(J+mr2 θ!!+kr2θ =

Método da Energia Conservativa:

Como primeiro passo, efetua-se a soma das energias cinéticas e potenciais envolvidas no exemplo : cte x k J x m E E E E

E_T = _{C massa} + _{C polia} + _{P mola} → _T = + + =

2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( θ! !

No segundo passo, escreve-se as equações de compatibilidade entre as diversas variáveis de deslocamento e substitui-se na equação da energia total conservativa :

θ θ x_{! r} ! r x= → =

( )

2 2

( )

2 2 1 2 1 2 1 θ θ θ J k r r m E_T = ! + ! +

O terceiro passo é a diferenciação da energia total sabendo que seu valor é constante : θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ 2_{! !! ! !!} 2 _! 0 mr J kr t E_{T = = + +}

(

mr2θ!!+Jθ!!+kr2θ

)

θ!=0 Como θ! não pode ser nulo sempre, então :

(

mr2+J

)

θ!!+kr2θ =0

Por fim, pode-se calcular a freqüência natural não-amortecida do sistema massa-polia-mola :

) ( 2 2 r m J r k n + = ω

Num segundo exemplo, representado na figura abaixo, uma barra rígida de massa m, comprimento l e seção transversal uniforme, é articulada no ponto O e suportada por uma mola.

Neste exemplo, o amortecedor será desconsiderado para poder aplicar o método da energia conservativa.

a) Expressão da energia total:

cte x k J E E E E_T = _{C barra} + _{P mola} → _T = O + = 2 2 2 2 ) ( ) ( θ! b) Equação de compatibilidade entre os deslocamentos:

( )

2 2 2 1 2 1 θ θ θ E J k a a x= → _T = _O ! +

c) Diferenciação da equação de energia: θ θ θ θ ∂ ∂ _{! !!} 2 _! 0 J ka t E O T _{= = +}

(

J_Oθ!!+k a2θ

)

θ!=0 Portanto, 0 2 ₌ + θ θ k a J_O !!

Para a barra de seção uniforme, tem-se que:

12 2 ml J_CG =

Aplica-se o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia no ponto O, então,

3 2 12 2 2 2 2 l ml m ml J md J J_{O CG O}  =      + = → + = Finalmente, tem-se: 2 2 2 2 3 0 3 ml a k a k ml n = → = + θ ω θ!!

Um terceiro exemplo será utilizado para determinar a equação dinâmica do pêndulo simples com massa m na extremidade da haste de comprimento l. Como procedimento de modelagem, admite-se que a massa tem dimensões reduzidas em relação ao comprimento da haste. Além disto, a massa da haste é desprezível

quando comparado à massa m. a) Expressão da energia total:

) (gravitacional P C T E E E = +

(

)

cte mgl J E_T = Oθ + 1−cosθ = 2 2 ! y l - l cos(θ ) l θ 1 2 3 mg O m

b) A equação de compatibilidade não é necessária, pois o sistema está todo escrito em função de θ .

c) Diferenciação da equação de energia:

(

θ

)

θ θ θ ∂ ∂ _{! !! !} sen 0 J mgl t E O T = = +

(

sen

)

=0 + θ θ mgl J_O !!

O momento de inércia do pêndulo é escrito na forma: 2 ml J_O = Portanto,

(

sen

)

0 2_{θ + θ =} mgl ml !! Ou ainda,

(

sen

)

=0 + θ θ l g !!

A equação obtida é uma equação diferencial não-linear. Entretanto, aplicamos uma simplificação, admitindo que o pêndulo oscile com pequenos ângulos.

Para condições iniciais que façam o pêndulo oscilar com pequenos ângulos, tem-se : 0 senθ ≅θ → θ + θ = l g !! l g n = ω

3.3 Amortecimento equivalente

Nos sistemas em que é necessário determinar o amortecedor equivalente, devemos fazer uso da técnica usada no item 3.1 . Se houver vários amortecedores, a potência dissipada é obtida pela expressão:

( )

∑

∆ = i i i dissip c v P 2

No exemplo da figura abaixo, vários amortecedores são montados em uma alavanca de comprimento l que oscila em torno do ponto O.

k

m

c

₁

c

₂

c

₃

O

y

_z

x

a

b

Para o cálculo da equação dinâmica na rotação da alavanca é necessário determinar o amortecimento angular equivalente. Então, utiliza-se a expressão de potência dissipada :

[

]

2 3 2 2 2 1 2 x c z c y c c P _teq Total dissip = θ! = ! + ! + !

As equações de compatibilidade para este caso são :

θ θ

θ z b x l

a

y= , = , =

Portanto, a constante equivalente de amortecimento é escrita como :

( )

( )

( )

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 l c b c a c c l c b c a c c_teqθ! = θ! + θ! + θ! → _teq = + +

A constante de mola também pode ser obtida por procedimento semelhante ao apontado no item 3.1 . Assim, tem-se :

2 2 2 1 2 1 x k k E_P = _teqθ =

Aplicando-se a compatibilidade dos deslocamentos,

( )

2 2 2 2 1 2 1 l k k l k k_teqθ = θ → _teq =

Portanto, utilizando do momento de inércia encontrado no exemplo 2 do item 3.2, faz-se :

(

) ( )

0 3 2 2 3 2 2 2 1 2 = + + + +         θ θ θ c a c b c l kl l m _{!! !}