f(x) = (x 2 +1)e x. f(x) = cosx

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

1◦ _{Ciclo em Engenharia Electromecˆanica}

1◦ _{Ciclo em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores}

Frequˆencia de C´alculo I – 2a

Frequˆencia Ano Lectivo 2010/2011

10 de Janeiro de 2011 Dura¸c˜ao: 2 horas

1) Seja f : R → R a fun¸c˜ao definida por

f (x) = (x2_{+ 1) e}x

.

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os extremos locais de f . b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f . 2) Determine a aproxima¸c˜ao quadr´atica da fun¸c˜ao dada por

f (x) = cos x

no ponto x = 0 e use-a para aproximar o valor da fun¸c˜ao em 0, 1.

3) Pretende-se fabricar um recipiente cil´ındrico, de base circular, aberto no topo, com capacidade de 24π cm3_{. Se o custo do material usado para a fabrica¸c˜ao da base ´e o triplo do custo do material da}

superf´ıcie lateral, e se n˜ao h´a perda de material, determine as dimens˜oes que minimizam o custo. 4) Calcule as seguintes primitivas:

a) Z ln x x + earctg x x2_{+ 1}dx; b) Z ln x x ln2

x − 3 ln x + 2
dx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao ln x = t.) 5) Calcule

Z π 0

ex

cos x dx.

6) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao y = x2 _{e y = 8 − x}2_.

7) Calcule a ´area da regi˜ao sombreada da figura seguinte.

x y

y = −x

1) Seja f : R → R a fun¸c˜ao definida por

f (x) = (x2+ 1) ex

.

a) Estude a monotonia da fun¸c˜ao f e determine, caso existam, os extremos locais de f . b) Estude as concavidades de f e determine, caso existam, os pontos de inflex˜ao de f .

1a) Calculemos a primeira derivada de f

f′_{(x) = (x}2_{+ 1) e}x
′ = (x2_{+ 1)}′_ex +(x2_{+ 1) (e}x )′ = 2x ex +(x2+ 1) ex = (x2+ 2x + 1) ex = (x + 1)2ex. Assim, tendo em conta que

ex > 0 para qualquer x ∈ R, temos f′_{(x) = 0 ⇔ (x + 1)}2_ex = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ∨ ex = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1, pelo que temos o seguinte quadro de sinal

x ₋₁ (x + 1)2 _{+ 0 +} ex + + + f′_{(x) + 0 +} f (x) _{ր ր}

Portanto, f ´e estritamente crescente em todo o seu dom´ınio, n˜ao tendo extremos locais. 1b) Precisamos de calcular a segunda derivada de f

f′′_{(x) = (x}2_{+ 2x + 1) e}x
′ = x2_{+ 2x + 1}
′ ex +(x2_{+ 2x + 1) (e}x )′ = (2x + 2) ex +(x2+ 2x + 1) ex = (x2+ 4x + 3) ex .

Logo f′′_{(x) = 0 ⇔ (x}2 + 4x + 3) ex = 0 ⇔ x2+ 4x + 3 = 0 ∨ ex = 0 ⇔ x = −4 ± √ 42_{− 4 · 1 · 3} 2 · 1 ⇔ x = −4 ± √ 16 − 12 2 ⇔ x = −4 ± √ 4 2 ⇔ x = −4 ± 2₂ ⇔ x = −3 ∨ x = −1. Fazendo um quadro de sinal temos

x _{−3 −1} x2_{+ 4x + 3 + 0} − 0 + ex + + + + + f′′_{(x) + 0 − 0 +} f (x) _∪ P.I. _∩ P.I. _∪

o que mostra que f tem a concavidade voltada para cima em ] − ∞, −3[ e em ] − 1, +∞[, tem a concavidade voltada para baixo em ] − 3, −1[ e tem pontos de inflex˜ao em x = −3 e em x = −1.

2) Determine a aproxima¸c˜ao quadr´atica da fun¸c˜ao dada por

f (x) = cos x

no ponto x = 0 e use-a para aproximar o valor da fun¸c˜ao em 0, 1.

2) A aproxima¸c˜ao quadr´atica em torno de x = a de uma fun¸c˜ao f duas vezes diferenci´avel ´e dada por f (x) ≈ f (a) + f′_{(a)(x − a) +} f′′(a)

2 (x − a)

2_.

Para f (x) = cos x temos

f′_{(x) = − sen x e f}′′_{(x) = − cos x}

e, atendendo a que

f (0) = cos 0 = 1, f′_{(0) = − sen 0 = 0 e f}′′_{(0) = − cos 0 = −1,}

a aproxima¸c˜ao quadr´atica de f (x) = cos x em torno de x = 0 ´e dada por cos x ≈ f (0) + f′_{(0)x +}f′′(0) 2 x 2 = 1 − x 2 2 . Assim, cos(0, 1) ≈ 1 −(0, 1) 2 2 = 1 − 0, 01 2 = 1 − 0, 005 = 0, 995.

3) Pretende-se fabricar um recipiente cil´ındrico, de base circular, aberto no topo, com capacidade de 24π cm3_{. Se o custo do material usado para a fabrica¸c˜ao da base ´e o triplo do custo do material da} superf´ıcie lateral, e se n˜ao h´a perda de material, determine as dimens˜oes que minimizam o custo.

3) Sejam r o raio da base do recipiente e h a sua altura. Como a capacidade do recipiente ´e 24π cm3_,

temos

V = 24π ⇔ πr2

h = 24π ⇔ r2

h = 24 ⇔ h = 24/r2_.

Se designarmos por a o pre¸co de 1 cm2 _{do material da superf´ıcie lateral, o custo de cada recipiente}

´e dado por

C = 3a · πr2

+ a · 2πrh. Tendo em conta que h = 24/r2_{, o custo ´e dado por}

C = 3aπr2+ 2aπr24

r2 = 3aπr 2

+48aπ r . Para minimizarmos o custo temos de derivar (em ordem a r)

C′_{= 6aπr −} 48aπ

r2 =

6aπr3

− 48aπ r2

e igualando a zero vem

C′_{= 0 ⇔} 6aπr 3_{− 48aπ} r2 = 0 ⇔ 6aπr3− 48aπ = 0 ∧ r26= 0 ⇔ r3= 48aπ 6aπ ∧ r 6= 0 ⇔ r3₌ 48 6 ∧ r 6= 0 ⇔ r3 = 8 ∧ r 6= 0 ⇔ r = 2 ∧ r 6= 0. Fazendo um quadro de sinal temos

r 0 2 6aπr3 − 48aπ N.D. ₋ 0 + r2 _{N.D. + + +} C′ _{N.D. − 0 +} C N.D. _ց m _ր

o que mostra que para r = 2 temos o custo m´ınimo. Ora se r = 2, ent˜ao h = 24 r2 = 24 22 = 24 4 = 6.

4) Calcule as seguintes primitivas: a) Z _{ln x} x + earctg x x2_{+ 1}dx; b) Z ln x x ln2

x − 3 ln x + 2
dx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao ln x = t.)

4a) Usando o facto de a primitiva de uma soma de fun¸c˜oes ser a soma das primitivas das fun¸c˜oes, obtemos duas primitivas imediatas:

Z ln x x + earctg x x2_{+ 1}dx = Z ln x x dx + Z earctg x x2_{+ 1}dx = Z 1 x ln x dx + Z 1 x2_{+ 1} e arctg x dx = (ln x) 2 2 + e arctg x_+c. 4b) Fazendo a substitui¸c˜ao ln x = t, temos x = et e, portanto, dx = et
′ _{dt = e}t dt. Assim, Z ln x x ln2_{x − 3 ln x + 2}
dx = Z t et_(t2_{− 3t + 2)} e t dt = Z t t2_{− 3t + 2}dt,

ou seja, temos de calcular a primitiva de uma fun¸c˜ao racional. Tendo em conta que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, n˜ao ´e poss´ıvel fazer a divis˜ao. Deste modo temos de factorizar o denominador e, por conseguinte, temos de determinar os zeros do denominador t2 − 3t + 2 ⇔ t = −(−3) ±p(−3) 2_{− 4 · 1 · 2} 2 · 1 ⇔ t = 3 ± √ 9 − 8 2 ⇔ t = 3 ± √ 1 2 ⇔ t = 3 ± 1₂ ⇔ t = 2 ∨ t = 1. Agora temos de determinar A e B tais que

t t2_{− 3t + 2} = t (t − 2)(t − 1) = A t − 2 + B t − 1. Daqui resulta que

A(t − 1) + B(t − 2) = t,

pelo que fazendo t = 2 temos A = 2 e fazendo t = 1 temos B = −1. Assim,

Z _t t2_{− 3t + 2}dt = Z ₂ t − 2 − 1 t − 1dt = 2 ln |t − 2| − ln |t − 1| + c e, consequentemente, Z _{ln x} x ln2_{x − 3 ln x + 2}
dx = 2 ln|ln x − 2| − ln |ln x − 1| + c.

5) Calcule Z π

0

ex

cos x dx.

5) Para calcularmos o integral Z π

0

ex

cos x dx temos de integrar duas vezes por partes Z π 0 ex cos x dx = h ex cos x i π 0 − Z π 0 ex (cos x)′ _dx = eπ cos π − e0cos 0 − Z π 0 ex (− sen x) dx = eπ (−1) − 1 · 1 + Z π 0 ex sen x dx = − eπ −1 +h ex sen x i π 0 − Z π 0 ex (sen x)′ _dx = − eπ −1 + eπ sen π − e0sen 0 − Z π 0 ex cos x dx = − eπ −1 + eπ · 0 − e0 · 0 − Z π 0 ex cos x dx = − eπ −1 − Z π 0 ex cos x dx Assim, Z π 0 ex cos x dx = − eπ −1 − Z π 0 ex cos dx ⇔ 2 Z π 0 ex cos x dx = − eπ −1 ⇔ Z π 0 ex cos x dx = −e π +1 2 .

6) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜aoy = x2 _e

y = 8 − x2_.

6) Calculemos os pontos de intersec¸c˜ao das duas par´abolas. Para isso temos de resolver o sistema ( y = x2 y = 8 − x2 ⇔ ( —— x2 _{= 8 − x}2 ⇔ ( —— 2x2 _{= 8} ⇔ ( —— x2_{= 4} ⇔ ( y = 4 x = 2 ∨ ( y = 4 x = −2. Assim, os pontos de intersec¸c˜ao das duas par´abolas s˜_{ao (−2, 4) e (2, 4). Representemos} geometri-camente a regi˜ao plana de que queremos calcular a ´area e calculemos a sua ´area

x y −2 2 4 8 b b y = x2 y = 8 − x2 A = Z 2 −2 8 − x2 − x2_dx = Z 2 −2 8 − 2x2dx =  8x −2x 3 3 2 −2 = 8 · 2 −2 · 2 3 3 −  8(−2) −2(−2) 3 3  = 16 − 16₃ + 16 −16₃ = 32 − 32₃ = 64 3 . Logo a ´area da regi˜ao plana limitada pelas par´abolas de equa¸c˜ao y = x2

e y = 8 − x2 _´e 64

7) Calcule a ´area da regi˜ao sombreada da figura seguinte.

x y

y = −x

y = 2 − x2

7) Calculemos os pontos de intersec¸c˜ao da recta de equa¸c˜_{ao y = −x com a par´abola de equa¸c˜ao} y = 2 − x2_{. Atendendo a que} ( y = −x y = 2 − x2 ⇔ ( —— −x = 2 − x2 ⇔ ( —— x2 − x − 2 = 0 e x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −(−1) ±p(−1) 2_{− 4 · 1(−2)} 2 · 1 ⇔ x = 1 ± √ 1 + 8 2 ⇔ x = 1 ± √ 9 2 ⇔ x = 1 ± 3 2 ⇔ x = −1 ∨ x = 2,

os pontos de intersec¸c˜ao s˜_{ao (−1, 1) e (2, −2). Assim, a ´area vai ser igual a} A = Z 2 −1 2 − x2 − (−x) dx = Z 2 −1 2 − x2_{+ x dx} = Z 2 −1 2 dx − Z 2 −1 x2dx + Z 2 −1 x dx = h 2x i2 −1−  x3 3 2 −1 +  x2 2 2 −1 = 2 · 2 − 2(−1) − 2 3 3 − (−1)3 3  +2 2 2 − (−1)2 2 = 4 + 2 − 8₃+1 3  + 2 −1₂ = 8 −9 3 − 1 2 = 8 − 3 − 1₂ = 5 −1₂ = 9 2.