MODELOS VAR, TAXAS DE JURO E INFLAÇÃO

MODELOS VAR, TAXAS DE JURO E INFLAÇÃO

Jorge Caiado

1. INTRODUÇÃO

Os métodos estruturais de modelização de equações simultâneas usam a teoria económica para descrever as relações entre importantes variáveis económicas.

Contudo, na maioria dos casos, a teoria económica não consegue estabelecer uma especificação rigorosa da relação dinâmica entre essas variáveis e, além disso, os processos de estimação e inferência são complicados pelo facto de que podem aparecer variáveis endógenas em ambos os membros das equações.

Outra classe de modelos com interesse na especificação dinâmica de variáveis são os modelos de função transferência de Box-Jenkins, que permitem descrever uma variável em estudo (output) não só através do conhecimento do seu próprio passado, como também em função dos valores passados e presentes de uma ou mais variáveis exógenas (inputs), em certos casos indicadores avançados da variável output. Uma das limitações dos modelos de função transferência é a de não permitirem a existência de feedback entre as séries output e input, sabendo-se que em muitos problemas económicos, verifica-se existir uma relação de causalidade no sentido do output influenciar também o input.

Em alternativa a estes métodos, podem utilizar-se os modelos vectoriais autoregressivos (VAR), que tomam em consideração a existência de relações de interdependência entre as variáveis e permitem avaliar o impacto dinâmico das perturbações aleatórias sobre o sistema de variáveis, o que os tornam particularmente úteis e eficientes na previsão do comportamento futuro de séries temporais interrelacionadas.

O presente artigo recorre à metodologia dos modelos VAR não estruturais para descrever a relação dinâmica entre as taxas de juro e a taxa de inflação em Portugal.

Através desta metodologia, estimam-se modelos VAR bivariados com taxas de juro activas e passivas de diferentes prazos contratuais e analisam-se os efeitos de choques

exógenos sobre os valores presentes e passados das taxas de juro e da taxa de inflação.

Por outro lado, para verificar em que medida é que a taxa de inflação constitui ou não um factor importante na determinação dos valores futuros das taxas de juro, procede- se a um exercício de previsão in-sample das taxas de juro comparando os erros de previsão obtidos com base nas metodologias dos modelos VAR bivariados e dos modelos autoregressivos (AR) univariados.

2. METODOLOGIA DE MODELIZAÇÃO VAR

A análise dinâmica de sistemas de variáveis económicas através de modelos VAR foi introduzida por Sims(1980) através do artigo fundamental “Macroeconomics and Reality”. A abordagem VAR ao tratar todas as variáveis simetricamente sem impor qualquer restrição quanto à independência e dependência entre elas, permite descrever cada uma das variáveis endógenas no sistema como uma função dos valores desfasados de todas as variáveis endógenas.

A expressão matemática do modelo VAR de ordem p ou, simplesmente, VAR(p) é dada por:

Y_t = A +AY_t− +L+A_pY_t−p +ε_t

1 1

0 , (1)

onde Y_t =(Y_1t,K,Y_kt)′ é um vector de k variáveis endógenas, A₀ é um vector de termos independentes, A₁,K,A_p são matrizes de coeficientes e ε_t =(ε_1t,K,ε_kt)′ é um vector de perturbações aleatórias não correlacionadas com os seus próprios valores passados e não correlacionadas com nenhuma das variáveis do segundo membro, embora possam estar contemporaneamente correlacionadas, e com matriz de covariâncias Ω não singular.

Tendo em conta que apenas aparecem valores desfasados de variáveis endógenas nos segundos membros das equações do VAR, a aplicação do método dos mínimos quadrados (MQ) na estimação de cada equação do sistema (1) vai produzir estimativas consistentes, mesmo que as perturbações ε_t possam estar contemporaneamente correlacionadas, já que todos os regressores dos segundos membros são idênticos.

Sob as condições de invertibilidade do VAR, o processo Y_t tem a seguinte representação médias móveis (MA),

( ) ( )

,

,

0

2 2 1 1

1

∑

=

−

−

ε ψ + µ

=

ε + ψ + ψ + + µ

= ε

−

−

− + µ

=

j

j t j

t t

p p

t I AB A B I B B

Y L L

(2)

onde Y_t vem expresso em termos dos valores presentes e passados do vector de perturbações ε_t e µ=(Y₁,K,Y_k)′ é o vector de médias não condicionadas de

kt

t Y

Y₁ ,K, . Os coeficientes ψ na representação médias móveis são obtidos através de um processo recursivo a partir da relação de identidade,

(

)(

)

2 1

1 . (3)

Da qual resultam os seguintes coeficientes MA,

ψ =A ψ =Aψ +A K ψ_s =Aψ_s− +Aψ_s− +L+A_pψ_s−p

2 2 1 1 2

1 1 2 1

1 , , , . (4)

Em estudos empíricos de sistemas económicos dinâmicos tem, por vezes, interesse determinar a resposta de uma variável ao impulso de outra variável num sistema formado igualmente por outras variáveis. A existência de uma resposta de uma variável ao impulso de outra variável pode assim significar uma relação causal da última para a primeira variável.

A função de resposta ao impulso define o efeito do choque exógeno de uma perturbação aleatória sobre os valores presentes e passados das variáveis endógenas.

Assim, um choque numa qualquer variável afecta não só directamente essa variável como também todas as variáveis endógenas através da estrutura dinâmica do VAR.

Considerando um modelo simples VAR(1) bivariado:





 



 ε + ε



 











=



 





−

−

t t t

t t

t

Y Y a a

a a Y

Y

2 1 1 , 2

1 , 1 22 21

12 11 2

1 . (5)

Uma alteração em ε_1t tem um efeito imediato sobre Y_1t, mas não afecta Y_2t. Contudo, nos momentos t + 1, t + 2, …, essa alteração terá um efeito não só sobre os valores futuros de Y₁ como também sobre os valores futuros de Y₂, já que estas variáveis aparecem desfasadas em ambas as equações do sistema (5). Se os termos ε_1t e ε_2t

forem não correlacionados, as funções de resposta ao impulso de ε_2t podem ser interpretadas como os efeitos de um choque de um desvio padrão em Y₂ sobre os valores presentes e futuros de Y₁ e Y₂.

Os termos de perturbação aleatórios ε_1t e ε_2t são, no entanto, usualmente correlacionados e portanto têm uma componente comum que não pode ser associada com uma variável específica. Uma forma de ultrapassar este problema consiste em atribuir todos os efeitos de qualquer componente comum à variável que vem primeiro no sistema VAR. Na relação (5), a componente comum aos termos ε_1t e ε_2t é totalmente atribuída a ε_1t porque ε_1t precede ε_2t. Deste modo, ε_1t é o termo de perturbação de Y₁ e ε_2t vai ser transformado para remover a componente comum a

1t

ε através do método de factorização de Choleski, que consiste em aplicar uma transformação P às perturbações ε_t =(ε_1t,ε_2t)′ por forma a que estas venham não correlacionadas, isto é, u_t =Pε_t ~(0,D), onde u_t =(u_1t,u_2t)′ é um vector de perturbações ortogonais com matriz de covariâncias diagonal.

Uma vez que a decomposição de Choleski é um método arbitrário de atribuição de efeitos comuns, a alteração da ordem das equações no VAR pode alterar dramaticamente as respostas aos impulsos, como referem Hamilton (1994) e Lütkepohl (1991). Como alternativa, Pesaran e Shin (1998) propuseram uma função de resposta a impulsos generalizados que não depende da ordem pela qual as variáveis se encontram no VAR, que consiste na aplicação de um factor de Choleski específico para cada variável no sistema VAR.

Se considerarmos a representação médias móveis do VAR definida em (2), a resposta ao impulso ortogonal no lag s é dada por ψ_sP, onde ψ_s é o coeficiente de médias móveis do VAR e P é uma matriz triangular inferior em que na diagonal principal figuram os desvios padrão do vector ε_t, tal que PP′=Ω. O elemento da i- ésima linha e j-ésima coluna de ψ_sP é o efeito do choque ortogonal de um desvio padrão de Y_j,t sobre Y_i,t+s, mantendo-se todos os outros choques constantes.

Os desvios padrão assintóticos das funções de resposta são calculados analiticamente pela expressão apresentada em Hamilton (1994, página 339), sendo que num sistema VAR envolvendo poucas restrições as estimativas dos desvios padrão podem vir pouco precisas, conforme testemunham Runkle (1987) e Lütkepohl

(1990). Uma forma de ultrapassar este problema consiste em ajustar a dinâmica a um modelo restrito com muito poucos parâmetros de modo a que os dados nos levem a aceitar as restrições impostas no sistema VAR.

Enquanto que as funções de resposta ao impulso traçam os efeitos de um choque de uma variável endógena sobre as restantes variáveis no VAR para descrever a dinâmica do sistema, a decomposição da variância atribui a variação de uma variável endógena em termos das perturbações ortogonais no sistema VAR. O método de decomposição da variância mede assim a importância relativa de cada perturbação aleatória para as variáveis do sistema VAR.

O vector do erro de previsão a s passos à frente de um modelo VAR é dado por:

ˆ _{1 1 2 2 1 1}

+

−

− +

− + +

+

+ − =ε +ψ ε +ψ ε + +ψ ε

= _{t s t s t s t s t s s t}

s Y Y

e L , (6)

e, o erro quadrático médio (EQM) é definido por:

( )

∑

=

−

−

−

−

−

−

′ψ′

ψ + +

′ψ′

ψ

′ +

=

′ψ′

ψ + +

′ψ′

ψ

′+

= ψ′

Ω ψ + + ψ′

Ω ψ + Ω

=

k

j

s j j s j

j j

j

s s

s s

p p p

p p

p

P P P

P P P

1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 2

EQM 1

L

L L

(7)

onde p_j é a j-ésima coluna de P e a expressão dentro do somatório é a contribuição da j-ésima perturbação ortogonal para o erro quadrático médio da previsão a s passos à frente. Trata-se assim da decomposição da variância do erro de previsão. De referir que, tal como nas funções de resposta ao impulso, a decomposição da variância baseada na factorização de Choleski pode ser muito sensível à ordem pela qual as variáveis aparecem no VAR.

4. ESTUDO EMPÍRICO

No estudo da relação entre as taxas de juro activas e passivas de curto/médio prazo e de longo prazo e a taxa de inflação em Portugal, no período de Junho de 1987 a Agosto de 2001, consideram-se as seguintes variáveis: taxa de juro de empréstimos e outros créditos a empresas privadas não financeiras de 91 a 180 dias  taxa de juro activa de curto/médio prazo (TACP); taxa de juro de empréstimos e outros créditos a particulares a mais de 5 anos  taxa de juro activa de longo prazo (TALP); taxa de juro de depósitos a prazo de 181 dias a 1 ano  taxa de juro passiva de curto/médio prazo (TPCP); taxa de juro de depósitos de poupança habitação  taxa de juro passiva de longo prazo (TPLP) e a taxa de variação homóloga do índice de preços no consumidor (no Continente, sem Rendas de Casa)  taxa de inflação (TVIPC).

QUADRO 1

Teste de Raízes Unitárias de Dickey-Fuller Aumentado e Phillips-Perron Teste ADF (a) Teste PP (b) 06:87-08:01 05:92-08:01 06:87-08:01 05:92-08:01 TACP nominal

TACP real

−0,017

−0,632

−2,434

−0,604

−0,030

−0,998

−2,343

−0,632 TALP nominal

TALP real

−0,251

−0,950

−1,813

−0,498

−0,008

−1,095

−2,239

−0,950 TPCP nominal

TPCP real

−0,456

−1,675

−2,973*

−1,097

−0,375

−1,781

−3,397*

−1,273 TPLP nominal

TPLP real

−0,465

−1,319

−3,572**

−0,622

−0,413

−1,648

−4,576**

−1,472

TVIPC −0,990 −2,968* −0,831 −2,719*

(a) A escolha da amplitude de desfasamento foi baseada no método recursivo de Ng e Perron (1993). (b) Foi utilizada a correcção automática de Newey e West (1994) para a autocorrelação. * signif. a 5%; ** signif. a 1% (valores críticos de Mackinnon (1991)).

FIGURA 1

Funções de Resposta ao Impulso

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TACP a TVIPC e a TACP

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TVIPC a TACP e a TVIPC

TACP

TVIPC

TACP TVIPC

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TALP a TVIPC e a TALP

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TVIPC a TALP e a TVIPC

TVIPC TALP

TALP TVIPC

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TPCP a TVIPC e a TPCP

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TVIPC a TACP e a TVIPC

TPCP

TVIPC

TPCP TVIPC

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TPLP a TVIPC e a TPLP

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resposta de TVIPC a TPLP e a TVIPC

TPLP

TVIPC

TVIPC

TPLP

QUADRO 2

Decomposição da Variância

Percentagem da variância de:

10 meses 18 meses

devida a: TACP TVIPC TACP TVIPC

TACP TVIPC Ordem: TACP TVIPC

86,9 13,1 (1,331)

98,62 1,4 (1,119)

1,4 98,6 (1,702)

3,7 96,3 (1,028)

57,2 42,8 (1,926)

94,5 5,5 (1,375)

0,9 99,1 (2,329)

4,2 95,8 (1,158) TACP

TVIPC Ordem: TVIPC TACP

84,7 15,3 (1,331)

96,9 3,1 (1,119)

0,5 99,4 (1,702)

0,3 99,7 (1,028)

54,1 45,9 (1,926)

89,8 10,2 (1,375)

0,3 99,7 (2,329)

0,5 99,5 (1,158)

10 meses 18 meses

devida a: TALP TVIPC TALP TVIPC

TALP TVIPC Ordem: TALP TVIPC

86,2 13,8 (0,974)

93,4 6,6 (0,863)

1,1 98,9 (1,672)

1,8 98,2 (1,025)

58,8 41,2 (1,495)

91,9 8,1 (1,113)

0,6 99,4 (2,237)

2,1 97,9 (1,155) TPLP

TVIPC Ordem: TVIPC TPLP

83,3 16,7 (0,974)

88,7 11,3 (0,863)

0,4 99,6 (1,672)

0,1 99,9 (1,025)

54,9 45,1 (1,495)

86,0 14,0 (1,113)

0,5 99,5 (2,237)

0,2 99,8 (1,155)

10 meses 18 meses

devida a: TPCP TVIPC TPCP TVIPC

TPCP TVIPC Ordem: TPCP TVIPC

68,9 31,1 (0,751)

93,7 6,3 (0,763)

0,0 100,0 (1,631)

0,4 99,6 (0,984)

38,4 61,6 (1,172)

89,3 10,7 (0,914)

0,0 100,0 (2,104)

1,5 98,5 (1,056) TPCP

TVIPC Ordem: TVIPC TPCP

66,0 34,0 (0,751)

90,3 9,7 (0,736)

0,5 99,4 (1,631)

0,2 99,8 (0.984)

35,6 64,4 (1,172)

85,1 14,9 (0,914)

0,2 99,8 (2,104)

0,9 99,1 (1,056)

10 meses 18 meses

devida a: TPLP TVIPC TPLP TVIPC

TPLP TVIPC Ordem: TPLP TVIPC

77,5 22,5 (0,927)

79,6 20,4 (0,725)

1,7 98,3 (1,742)

1,9 98,1 (0.973)

47,4 52,6 (1,538)

79,3 20,7 (0,908)

3,4 96,6 (2,432)

1,8 98,2 (1,055) TPLP

TVIPC Ordem: TVIPC TPLP

74,8 25,2 (0,927)

89,8 10,2 (0,725)

1,0 99,0 (1,742)

0,7 99,3 (0,973)

44,4 55,6 (1,538)

90,2 9,8 (0,908)

2,4 97,6 (2,432)

1,7 98,3 (1,055) Nota: Apresentam-se a sombreado as percentagens relativas ao período pós-liberalização. Entre parentesis, encontram-se os desvios padrão.

QUADRO 3

Previsão Dinâmica das Últimas 12 Observações das Taxas de Juro:

Erros Percentuais Absolutos e Erros Percentuais Absolutos Médios Período de Estimação: 06:1987 a 08:2000 Previsão in-sample: 09:2000 a 08:2001

Horizonte TACP TALP TPCP TPLP

de Previsão AR(2) VAR(2) AR(7) VAR(7) AR(2) VAR(2) AR(10) VAR(10)

1 × × × ×

2 × × × ×

3 × × × ×

4 × × × ×

5 × × × ×

6 × × × ×

7 × × × ×

8 × × × ×

9 × × × ×

10 × × × ×

11 × × × ×

12 × × × ×

EPAM 0,072 0,082 0,072 0,080 0,159 0,046 0,061 0,097 Período de Estimação: 05:1992 a 08:2000 Previsão in-sample: 09:2000 a 08:2001

Horizonte TACP TALP TPCP TPLP

de Previsão AR(2) VAR(2) AR(4) VAR(4) AR(3) VAR(3) AR(4) VAR(4)

1 × × × ×

2 × × × ×

3 × × × ×

4 × × × ×

5 × × × ×

6 × × × ×

7 × × × ×

8 × × × ×

9 × × × ×

10 × × × × ×

11 × × × ×

12 × × × × ×

EPAM 0,049 0,043 0,053 0,045 0,083 0,034 0,080 0,067 Nota: Assinala-se com um × o melhor modelo à luz do Erro Percentual Absoluto.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste artigo adoptou-se a metodologia dos modelos VAR não estruturais para descrever a relação dinâmica entre as taxas de juro activas e passivas e a taxa de inflação em Portugal, no período de 1987 a 2001. Os resultados obtidos através das funções de resposta impulso e da decomposição da variância sugerem a existência de uma relação causal não recíproca da inflação para as taxas de juro, no entanto, a intensidade parece diminuir no período após a liberalização total dos preços das operações de concessão de empréstimos e captação de depósitos.

No que se refere à análise da qualidade de previsão dos modelos VAR bivariados quando comparados com os modelos autoregressivos univariados, foi possível concluir que os modelos VAR são melhores para prever as taxas de juro a curto prazo, enquanto que os modelos univariados, que incluem apenas os valores passados das taxas de juro como regressores, se revelaram mais eficientes na previsão a mais longo prazo. Estas qualidades preditivas são ainda mais notórias a partir do momento em que se aboliu totalmente a fixação administrativa das taxas de juro.

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