equação geral do 2º grau em 2 variáveis - I

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equação geral do 2º grau em 2 variáveis - I

A EQUAÇÃO GERAL DO 2º GRAU EM 2 VARIÁVEIS Parte 1 (de 2) - v. 1.0

COMENTÁRIOS - PARTE 1

Ax

+ Bxy + Cy

+ Dx + Ey + F = 0, onde ao menos um dos coeficientes reais A, B e C não é nulo, é denominada equação geral do segundo grau em duas variáveis (x e y).

Obs. Há livros em que os coeficientes são dados por letras minúsculas, ou as letras usadas como coeficientes aparecem numa ordem diferente da adotada aqui (ou seja, correspondem a monômios diferentes).

Deseja-se obter a equação reduzida a partir da equação geral dada para se reconhecer o objeto geométrico facilmente. Para isto, podem ser necessárias uma translação, uma rotação, nenhuma ou ambas:

Se uma translação é necessária para que se escreva a equação reduzida, tal translação é determinada, algebricamente, por completamento de quadrados (em uma ou ambas as variáveis conforme necessário). Observe-se que ma translação não altera os coeficientes dos termos quadráticos (x

, xy e y

).

Obs. No livro-texto [Boulos/Camargo], usa-se uma matriz quadrada de ordem 3 associada à equação geral (e usando todos os 6 coeficientes) para sistematizar o cálculo de tais coordenadas (isto não tem que ser usado - alguns estudantes podem considerar isto um facilitador, outros não). Apesar do livro usar isto apenas antes de rotações, o método também se aplica depois delas (só que com os novos coeficientes, é claro, e fornecendo coordenadas com relação aos eixos já rotacionados - vide mais detalhes sobre os sistemas de coordenadas abaixo).

Uma rotação é necessária quando B não é nulo, ou seja, aparece monômio com o produto das duas variáceis (denominado termo cruzado, pois é o único que envolve as duas). Ela depende dos três coeficientes dos termos quadráticos (que são, convenientemente, arranjados em uma matriz Q simétrica de ordem 2), mas afeta todos os coeficientes exceto o coeficiente livre. Em particular, ela elimina o termo cruzado. Ela pode ser realizada de, pelo menos, três modos distintos:

Como em [Boulos/Camargo], usa-se que (A-C)/B é a cotangente do dobro do ângulo de rotação para se calcular, a partir dela, o seno do dobro daquele ângulo. Esta abordagem é particularmente útil quando se fez a translação antes e se obtiveram termos lineares nulos (isto é, os novos D' e E' são nulos) pois, neste caso, só ficam faltando os novos coeficientes A' e C' (vide a Seç. 23.C). Estes podem ser calculados diretamente com o auxílio daquele seno do dobro do ângulo. Para facilitar o uso desta abordagem, escolhe-se o dobro do ângulo trigonométrico entre 0 e pi (e, assim, é positivo o seno do dobro do ângulo), resultando em ângulo trigonométrico de rotação entre 0 e pi/2.

1.

Pode-se usar que: ou B/(A-C) é a tangente do dobro do ângulo, ou A=C e a tangente do dobro não está definida. Esta abordagem é especialmente utilizada por quem está mais apegado à tangente vista como declividade de retas (no caso, do eixo horizontal resultante). Neste caso, como há a exceção do caso A=C, costuma-se escolher o dobro do ângulo trigonométrico entre -pi/2 e pi/2 (inclusive este último, que corresponde à situação excepcional), È claro, tal dobro tem medida diferente de 0 (senão, a rotação não seria necessária). Assim, o ângulo trigonométricode rotação é escolhido entre -pi/4 e pi/4 (inclusive pi/4). As entradas da matriz de mudança de base

corresponde a senos e cossenos do ângulo de rotação, os quais podem ser

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calculados a partir da tangente por identidades trigonométricas. Tal matriz auxilia a reescritura da equação geral em termos das novas variáveis.

Usando-se Álgebra Linear 1, acha-se um novo sistema de coordenadas diretamente através dos autovalores da matriz Q discutida acima (que são os novos coeficientes A' e C') e de autovetores unitários (ortogonais) associados a eles, os quais fornecem os novos eixos coordenados após a rotação

(dependendo dos sentidos escolhidos para aqueles autovetores, pode-se estar combinando a rotação com uma reflexão, o que muda a orientação do

sistema de coordenadas com relação ao anterior). A matriz de mudança de base auxilia a reescritura da equação geral em termos das novas variáveis.

3.

Obs. Nos dois primeiros caminhos, usa-se trigonometria e rotação por um ângulo que pode variar numa faixa de ângulos com diferença entre os extremos igual a pi/2 radianos. Isto pode parecer estranho porque as simetrias de rotação de uma elipse e de uma hipérbole pareceriam indicar a necessidade de se cobrir uma faixa de pi radianos. No entanto, metade desta faixa de pi radianos é coberta ao se alinhar o eixo maior com o novo eixo horizontal, e a outra metade da faixa de pi radianos é coberta ao se alinhar o eixo mairo com o novo eixo vertical (Claro, a equação reduzida obtida depende desta distinção, indicando-se o eixo maior pela variável sob a qual o a

estará). Por isto, as rotações entre 0 e pi/2 (como no caminho 1) ou entre -pi/4 e pi/4 (como no caminho 2) cobrem todas as situações, fornecendo equações reduzidas para todas elas.

Quando as duas operações são necessárias, a ordem delas interfere apenas em duas coisas: a escolha do sistema de coordenadas intermediário (entre o original e o final, isto é, após a primeira das duas operações); e (consequentemente) a descrição da translação:

Em [Boulos/Camargo], a eventual translação é feita antes da eventual rotação. Assim, o vetor que descreve tal translação (levando a origem no centro da elipse/hipérbole, no vértice da parábola, etc.) tem suas duas coordenadas no sistema de coordenadas original;

Pode-se, alternativamente, primeiro fazer a eventual rotação, obtendo-se uma equação

A'(x')

+ C'(y')

+ D'x' + E'y' + F = 0

sem monômio em xy, e, depois, fazer a translação conveniente da origem O para o centro C do objeto geométrico. Neste caso, completar os quadrados fornece as coordenadas do mesmo vetor de translação que antes, mas agora estas são coordenadas com relação ao sistema de coordenadas já rotacionado (e, portanto, descrevem o mesmo vetor através de novas componentes devido à diferença entre os sistemas de coordenadas).

COMENTÁRIOS - PARTE 2: arquivo eq_geral_2_gr_2_var-pt2-1_0.pdf na página web Arquivos.

EXERCÍCIO ÚNICO

1) Identificar o lugar geométrico (circunferência, elipse, parábola, hipérbole, ponto, reta, par de retas paralelas, par de retas concorrentes ou conjunto vazio) dos pontos (x,y) que satisfazem cada equação obtida das expressões abaixo quando estas são igualadas a zero (Ex.: 1.a. x

+y

-6x+8y+21=0). Se necessário, preparar as coordenadas por meio de: uma rotação, indicando o ângulo

trigonométrico do novo eixo Ox' com relação ao eixo Ox, ou o cosseno daquele ângulo; ou ("e/ou") uma translação, completando os quadrados, e identificar o ponto correspondente à translação da origem, o qual é o centro da cônica se esta for uma circunferência, elipse ou hipérbole. Além disto (conforme o tipo de curva cônica):

Se for um ponto, dar suas coordenadas;

se for(em) reta(s), dar uma equação (para cada uma);

Se for um par de retas concorrentes, dar o ponto de interseção;

Se for uma curva cônica não-degenerada, dar a equação reduzida e a excentricidade;

Se for uma circunferência, dar o centro e o raio;

Se for uma parábola, dar o vértice, o foco e a diretriz;

Se for uma elipse, dar o centro, os focos, os vértices (isto é, as extremidades

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de ambos os eixos maior e menor), os comprimentos dos eixos (2a do maior e 2b do menor), a distância focal 2c e as diretrizes; e

Se for uma hipérbole, dar o centro, os focos, os vértices (isto é, as

extremidades do eixo transverso ou real ou "maior"), as extremidades do eixo conjugado (isto é, do eixo imaginário ou "eixo menor", o qual não tem que ser menor que o eixo transverso no caso da hipérbole), os comprimentos dos eixos (2a do transverso e 2b do conjugado), a distância focal 2c, as retas diretrizes, e as assíntotas da hipérbole por meio de equações do tipo ponto- declividade.

Finalmente, esboçar a curva cônica. Se preferir, o estudante pode usar computadores para conferir seus esboços. Além disto, é interessante escrever equações paramétricas e focais para algumas das cônicas não-degeneradas obtidas.

Obs.: Há um completamento de quadrados repetido em vários ítens para que o estudante se concentre na distinção e caracterização das diversas cônicas encontradas.

1.a x

+ y

- 6x + 8y + 21

1.b x

+ y

- 6x + 8y + 25 1.c x

+ y

- 6x + 8y + 29

1.d x

- y

- 6x - 8y -

8 1.e - x

+ y

+ 6x + 8y +

6 1.f 3x

+ 4y

- 18x + 32y + 91

1.g 3x

+ 4y

- 18x + 32y + 79

1.h - 3x

+ 4y

+ 18x + 32y + 25

1.i 3x

- 4y

- 18x - 32y - 49

1.j 4x

+ 3y

- 24x + 24y + 72

1.k - 4x

+ 3y

+ 24x + 24y

1.l 4x

- 3y

- 24x - 24y - 24

1.m 16x

+ 24xy + 9y

1.n 16x

+ 24xy + 9y

- 96x - 72y + 144

1.o 9x

+ 24xy + 16y

+ 42x + 56y + 49 1.p x

- y

- 6x - 8y -

7

1.q - 16x

+ 9y

+ 96x + 72y

1.r - 3x

+ 4y

+ 18x + 32y + 37

1.s y

- x + 8y + 19 1.t 9y

+ 4x + 72y + 132 1.u 16x

- 96x - 3y + 132 1.v 4x

- 4

+ 7y

-

24 1.w 4x

+ 4

+ 7y

- 24 1.x 5x

+ 12xy - 12√(13) x - 36

Respostas parciais:

1.a) Circunferência (x-3)

+ (y+4)

= 4. Excentricidade 0; centro (3,-4); raio 2.

1.b) Ponto (3,-4) devido à equação (x-3)

+ (y+4)

= 0.

1.c) Conjunto vazio devido à equação (x-3)

+ (y+4)

= -4, uma vez que -4 < 0 ≤ (x-3)

+ (y+4)

.

1.d) Hipérbole equilátera (x-3)

- (y+4)

= 1. Centro (3,-4); vértices (2,-4) e (4,-4), e 2a=2; eixo conjugado com extremidades (3,-5) e (3,-3), e 2b=2;

distância focal 2c=2√2; focos (3-√2,-4) e (3+√2,-4); excentricidade √2;

diretrizes x = 3-(1/√2) e x = 3+(1/√2); assíntotas y+4 = ±(x-3).

1.e) Hipérbole equilátera (y+4)

- (x-3)

= 1. Centro (3,-4); vértices (3,-5) e (3,-3), e 2a=2; eixo conjugado com extremidades (2,-4) e (4,-4), e 2b=2;

distância focal 2c=2√2; focos (3,-4-√2) e (3,-4+√2); excentricidade √2;

diretrizes y = -4-(1/√2) e y= -4-(1/√2); assíntotas y+4 = ±(x-3).

1.f) Ponto (3,-4) devido à equação 3(x-3)

+ 4(y+4)

= 0.

1.g) Elipse (x-3)

/4 + (y+4)

/3 = 1. Centro (3,-4); eixo maior com extremidades (1,-4) e (5,-4), e 2a=4; eixo menor com extremidades (3,-4-√3) e (3,-4+√3), e 2b=2√3; distância focal 2c=2; focos (2,-4) e (4,-4); excentricidade 1/2; diretrizes x = -1 e x = 7.

1.h) Hipérbole (y+4)

/3 - (x-3)

/4 = 1. Centro (3,-4); vértices (3,-4-√3) e (3,-4+√3), e 2a=2√3; eixo conjugado com extremidades (1,-4) e (5,-4), e 2b=4;

distância focal 2c=2√7; focos (3,-4-√7) e (3,-4+√7); excentricidade √(7/3);

diretrizes y = -4-3/√7 e y = -4+3/√7; assíntotas y+4 = ±√3 (x-3)/2.

1.i) Hipérbole (x-3)

/4 - (y+4)

/3 = 1. Centro (3,-4); vértices (1,-4) e (5,-4), e

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2a=4; eixo conjugado com extremidades (3,-4-√3) e (3,-4+√3), e 2b=2√3;

distância focal 2c=2√7; focos (3-√7,-4) e (3+√7,-4); excentricidade (√7)/2;

diretrizes x = 3-4/√7 e x = 3+4/√7; assíntotas y+4 = ±√3 (x-3)/2.

1.j) Elipse (x-3)

/3 + (y+4)

/4 = 1. Centro (3,-4); eixo maior com extremidades (3,-6) e (3,-2), e 2a=4; eixo menor com extremidades (3-√3,-4) e (3+√3, -4), e 2b=2√3; distância focal 2c=2; focos (3,-5) e (3,-3); excentricidade 1/2; diretrizes y = -8 e y = 0.

1.k) Hipérbole (y+4)

/4 - (x-3)

/3 = 1. Centro (3,-4); vértices (3,-6) e (3,-2), e 2a=4; eixo conjugado com extremidades (3-√3,-4) e (3+√3,-4), e 2b=2√3;

distância focal 2c=2√7; focos (3,-4-√7) e (3,-4+√7); excentricidade (√7)/2;

diretrizes y = -4-4/√7 e y = -4+4/√7; assíntotas y+4 = ±2(x-3)/√3.

1.l) Hipérbole (x-3)

/3 - (y+4)

/4 = 1. Centro (3,-4); vértices (3-√3,-4) e

(3+√3,-4), e 2a=2√3; eixo conjugado com extremidades (3,-6) e (3,-2), e 2b=4;

distância focal 2c=2√7; focos (3-√7,-4) e (3+√7,-4); excentricidade √(7/3);

diretrizes x = 3-3/√7 e x = 3+3/√7; assíntotas y+4 = ±2(x-3)/√3.

1.m) Reta. Uma equação geral (do primeiro grau) para ela é 4x + 3y = 0. O quadrado desta equação é a equação dada no problema.

1.n) Reta. Uma equação geral para ela é 4x + 3y - 12 = 0. O quadrado desta equação é a equação dada no problema.

1.o) Reta. Uma equação geral para ela é 3x + 4y + 7 = 0. O quadrado desta equação é a equação dada no problema.

1.p) Par de retas concorrentes y = -4 ± (x-3). Ponto de interseção (3,-4).

1.q) Par de retas concorrentes y = -4 ± 4(x-3)/3. Ponto de interseção (3,-4).

1.r) Par de retas concorrentes y = -4 ± 3(x-3)/4. Ponto de interseção (3,-4).

1.s) Parábola x-3 = (y+4)

. Vértice (3,-4); foco (13/4,-4); diretriz x = 11/4.

1.t) Parábola x-3 = -(9/4)(y+4)

. Vértice (3,-4); foco (26/9, -4); diretriz x = 28/9.

1.u) Parábola y+4 = (16/3)(x-3)

. Vértice (3,-4); foco (3,-259/64); diretriz y = -253/64.

Os ítens (1.v) a (1.x) foram comentados e respondidos no arquivo

eq_geral_2_gr_2_var-pt2-1_0.pdf, disponível na página web Arquivos. Eles envolvem, ao menos, rotação.

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