310003)10.()10(3.  cmhAV ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2010

PROVA DE MATEMÁTICA II – 3ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Observe a pirâmide quadrangular inscrita em um cubo de lado 10cm, como mostra a figura ao lado.

a) Determine o volume desta pirâmide.

Solução. A base da pirâmide coincide com a base do cubo. Da mesma forma, a altura da pirâmide coincide com a aresta lateral do cubo.

3 2

3 1000 3

) 10 .(

) 10 ( 3

. h cm

V

_pirâmide

 A

^b

 

b) Determine a área lateral da mesma.

Solução. A área lateral será a soma das áreas dos triângulos isósceles que compõem as faces laterais. O apótema da pirâmide (g) é a altura destes triângulos. O apótema da base quadrada é a metade da aresta.

2 2

2 2

2 2

2

5 100 ) 5 25 ( 2 4

5 5 . 10 2 4

. . 2 4 . . 4

5 5 125 25

100 )

5 ( ) 10 2 (

g cm a h

A b

cm g

a g h g

lateral

  





 

 

 



 



 

 

 



 















 



 



 



QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Uma cartolina foi cortada de modo a formar um setor circular de área 27 m

²

e ângulo central 120°.

Dobrando a cartolina de modo a formar um cone circular reto, determine:

a) a geratriz do cone;

Solução. Aplicando uma regra de três, encontramos a expressão da área do setor onde o raio

“R” será a geratriz do cone. Escreve-se 120º em radianos.

3 3

2 2

²

R

²

A A

R 

 

   



. Logo, R R R g m

9 81 81

3 27

2 2













 



b) o raio da base do cone.

Solução. O ângulo central de 120º determina um arco que vale o produto deste ângulo em radianos pelo raio do setor. E este comprimento será o perímetro da base do cone.

1

   

m r r r

l cone

l R

l setor

3 6 .2 .2

:

6 3 9.

. 2 3 : 2







 

 







 



 

 

 

 

 







 



QUESTÃO 3 (Valor: 0,5)

Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada milímetro quadrado desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total? (Adote  = 3,14.)

Solução. É preciso calcular a área total em mm

²

das 40 peças esféricas.

00 , 628

$ ) 12560 ).(

05 , 0

$ ( : ) (

12560 )

314 ( 40

314 ) 100 ).(

14 , 3 ( ) 5 )(

14 , 3 ( 4 . 4

2 40

2 2

2 1

R R

total Custo

mm A

mm r

A

esferas esfera





















QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

A área total de um cone reto de 8 cm de raio da base é de 144 cm

²

. Determine:

a) a altura desse cone;

Solução. Expressando a área total do cone utilizando as informações, temos:

cm g

g A g

r rg A

total

total 10

8 64 80

144 8 144 )8.(

144 )8.(

.

. ² ₂

















 

 





   







Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo indicado, encontramos a altura.

 

^{h h cm}

h

g²



²

 8

²

 ( 10 )

²



²

 64   100  64  36  6

b) o volume desse cone.

Solução. Aplicando a fórmula do volume, temos:

2 3 2

128 ) 2 )(

64 3 (

) 6 ( ) 8 (

3 h cm

V

_cone

_  r _  _  _ 

2