COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª CERTIFICAÇÃO – ANO 2013 – MATEMÁTICA I
3º ANO – MANHÃ
NOTA:
Professor: Coordenadora:
Maria Helena M. M. Baccar Data:
Nome: GABARITO Nº : Turma:
ATENÇÃO:
Resolva as questões de maneira clara e organizada.
Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.
A prova é individual e sem consulta.
Reclamações de provas feitas a lápis NÃO serão aceitas. NÃO é permitido o uso de corretor.
A interpretação das questões faz parte da prova.
Valor total da prova: 3,5 pontos .
1ª QUESTÃO (valor: 0,5)
Obtenha os valores das constantes reais m e n para que se tenha: m.(x - 2) + n.(x - 3) = 4x - 11 Solução. Desenvolvendo e igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos:
3 1 4 n, Logo .1 11 m n3 m2
12 n3 m3
11 n3 m2
)3(
4 n 11 m
x4 n3 m2 x)n m(
11 x4 n3 nx m2 mx
.
Resposta: m = 1 e n = 3.
2ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Determine para que valores de a e b o polinômio P(x) = x3 + 5x2 + ax + b é divisível pelo polinômio G(x) = x2 + 3x – 1? Determine também o quociente desta divisão.
Solução. Para que P(x) seja divisível por G(x), o resto da divisão deverá ser nulo.
x3 + 5x2 + ax + b x2 + 3x – 1 –x3 – 3x2 + x x + 2 2x2 + (a + 1)x + b
– 2x2 – 6x + 2
(a + 1 – 6)x + b + 2 Resto.
i) Resto = 0 => a + 1 – 6 = 0 => a = 5 e b + 2 = 0 => b = – 2. ii) Quociente: Q(x) = x + 2.
3ª QUESTÃO (valor: 0,5)
Encontre as raízes da equação x3 – 7x2 + 17x – 15 = 0, sabendo que uma das raízes é x = 3.
1
Solução. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:
3 1 – 7 17 – 15 1 – 4 5 0
O quociente é q(x) = x2 – 4x + 5. Encontrando as raízes do quociente, vem:
i 2 x
i 2 x 2
i2 4 2
4 4 2
20 16 4 )1(
2
)5 )(1 .(4 )4 ( )4 x (
2 1 2
. S = {2 – i, 2 + i, 3}.
4ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Resolva a equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 sabendo que uma de suas raízes é igual à soma das outras duas.
Solução 1. Considerando r, s e t as raízes da equação e que r = s + t, pelas Relações de Girard, temos que a soma das raízes vale 4. Logo, r + s + t = 4 => 2r = 4 => r = 2. Encontrando uma das raízes, aplica-se o dispositivo de Briot-Ruffini.
2 1 – 4 1 6 1 – 2 – 3 0
O quociente é q(x) = x2 – 2x – 3. Encontrando as raízes do quociente, vem:
1 x
3 x 2
4 2 2
16 2 2
12 4 2 )1(
2
)3 )(1 .(4 )2 ( )2 x (
2 1 2
. S = { – 1, 2, 3}.
Solução 2. Considerando r, s e t as raízes da equação e que r = s + t, pelas Relações de Girard, temos que a soma das raízes vale 4 e o produto delas, – 6. Logo,
r + s + t = 4 => 2r = 4 => r = 2.
r.s.t = – 6 => s.t = – 3.
Assim temos o seguinte sistema:
. 3 t ou 1 t 0 3 t 2 t 3 t.
t 2 3 t s
t 2 s 2 t s
2
2 1 S = { – 1, 2, 3}.
5ª QUESTÃO (valor: 0,5)
Dada a equação: 5.(x + 3)4.(x - 7)3.(x + 2i).(x - 2i).(x2 - 4) = 0 determine:
a) suas raízes e respectivas multiplicidades;
Solução. Como o produto é nulo e os expoentes de cada termo informa as multiplicidades, temos:
Raízes: x = – 3 (multiplicidade 4); x = 7 (multiplicidade 3); x = – 2i ; x = 2i; x = 2 e x = – 2.
OBS: x2 – 4 = 0 => (x – 2).(x + 2) = 0 => x = 2 e x = – 2.
b) o grau da equação.
2 BOA PROVA
Solução. Há no total 4 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11 raízes. Logo, pelo Teorema Fundamental da Álgebra o grau da equação é 11.
OBS: Como curiosidade equação desenvolvida de grau 11 é:
3 BOA PROVA
