Estudo da Geometria Euclidiana Plana

Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva – SP

Curso de Licenciatura em Matemática – 2º ano – Prática de Ensino da Matemática II Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira –– [email protected]

Estudo da Geometria Euclidiana Plana

A etimologia da palavra geometria

A palavra Geometria é a união de dois radicais gregos: geo (terra) e metria (medida) sendo considerada, originalmente, a ciência que estuda a “medida da terra”. Isto ocorreu pois, historicamente, devido às cheias periódicas do Rio Nilo, no Egito, as terras às suas margens deviam ser demarcadas para posterior pagamento de impostos. Os responsáveis por tais medições eram os agrimensores, súditos que faziam os cálculos das áreas dos terrenos e estimavam as produções das colheitas. Atualmente a Geometria é a parte da matemática onde se estuda as relações entre as formas e o espaço, tendo aplicações nos mais variados campos do saber.

Breve histórico

O termo euclidiana refere-se a Euclides de Alexandria, matemático grego que viveu no século III a.C. e era o responsável pela Biblioteca de Alexandria, uma das sete maravilhas do mundo antigo. A cidade de Alexandria situa-se no Egito numa região estratégica para o comércio da época, sendo que todas as rotas comerciais passavam por ela. Junto com as mercadorias haviam manuscritos e obras vindas de várias partes do mundo para a biblioteca. O mérito de Euclides foi reunir todo o conhecimento matemático (que era essencialmente geométrico) da época para compor sua obra mais famosa intitulada Os Elementos. Para isto foi necessário estruturar um método para que a geometria fosse organizada, o qual ficou conhecido por método axiomático. Em suma o método axiomático utiliza axiomas e/ou postulados para demonstrar, através de um sistema lógico, proposições e teoremas.

Pouco se sabe das demonstrações efetuadas pelo próprio Euclides, sendo que a edição mais recente que temos no Brasil deve-se ao professor Irineu Bicudo da Unesp de Rio Claro.

Figura 1: Euclides de Alexandria Fonte: pt.wikipedia.org

Figura 2: Frontispício da edição de Os Elementos de 1570 Fonte: pt.wikipedia.org

Os Elementos

A obra mais conhecida de Euclides está organizada em 13 livros (capítulos) sendo considerada a segunda obra mais editada no mundo ocidental (atrás apenas da Bíblia Sagrada). Através de cinco postulados, Euclides demonstrou as principais propriedades das figuras geométricas planas e espaciais, além de alguns resultados de aritmética. A obra inicia-se com algumas definições elementares de geometria, seguidas dos postulados e das demonstrações dos teoremas.

Entes primitivos da geometria

Os entes primitivos da geometria não admitem definições. São entes primitivos da geometria o ponto, a reta e o plano.

i) Os pontos são representados pelas letras maiúsculas do alfabeto latino. Exemplos: 𝐴, 𝐵, 𝐶, …

ii) As retas são representadas pelas letras minúsculas do alfabeto latino. Exemplos: 𝑟, 𝑠, 𝑡, …

iii) Os planos são representados pelas letras minúsculas do alfabeto grego. Exemplos: 𝛼, 𝛽, 𝛾, …

Um fato muito comum é encontrarmos definições em obras didáticas para ponto, reta e planos do tipo:

 Um ponto é uma figura geométrica sem dimensão;

 Uma reta é um conjunto infinitos de pontos;

 Um plano é a união de todas as retas, etc.

Tais afirmações não podem ser consideradas definições pois apresentam apenas características dos entes primitivos mas servem para auxiliar os alunos a compor uma ideia (noção) do que é um ponto, uma reta ou um plano.

Os cinco postulados de Euclides

Um postulado é uma afirmação irrefutável, ou seja, ela é admitida sem questionamentos.

A geometria euclidiana apresenta os seguintes postulados:

P1) “Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem e não pertencem a ela”. (Postulado da existência dos pontos na reta) P2) “Por dois pontos distintos existe uma única reta”. (Postulado da existência da reta)

P3) “Por três pontos não colineares existe um único plano que passa por eles”. (Postulado da existência do plano)

P4) “Qualquer que seja o plano, existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem ao plano”. (Postulado da existência dos pontos no plano)

P5) “Se dois planos tem um ponto em comum, então eles possuem mais de um ponto em comum”.

Algumas atividades podem ser exploradas em sala de aula para constatar os postulados, como por exemplo:

a) para exemplificar o postulado 2 utilize dois cartões de papelão com um furo no meio e peça ao aluno para visualizar uma fonte luminosa (uma lâmpada, por exemplo). Os furos estarão representando os pontos distintos enquanto que o raio luminoso estará representando a reta;

b) para exemplificar o postulado 3 utilize um pedaço de isopor e solicite aos alunos para que construam uma mesa estável utilizando a menor quantidade possível de palitos de churrasco. Os alunos irão perceber que bastam três palitos numa posição não colinear para dar estabilidade à mesa.

O quinto postulado de Euclides

O postulado mais controverso de Os Elementos é o quinto postulado que pode ser reescrito da seguinte forma:

P5*) “Dada uma reta num plano e um ponto que não pertence à esta, existe uma única reta paralela à reta dada que passa pelo ponto” (Postulado das Paralelas).

Figura 3: Postulado das Paralelas

Durante muito tempo os matemáticos acreditaram que o postulado V se tratava de um teorema e tentaram, em vão, demonstrá-lo

a partir dos demais postulados. Isto propiciou um enorme avanço na matemática dando surgimento às chamadas Geometrias Não-Euclidianas. Portanto para ser considerada uma Geometria Não-Euclidiana basta que o quinto postulado não seja

admitido. Alguns exemplos de Geometrias Não-Euclidianas são a Geometria Esférica, a Geometria de Lobachevsky e a Geometria de Riemann.

Reta, semirreta e segmento de reta

Como vimos não se admite uma definição para reta. Contudo toda reta apresenta algumas características, tais como:

i) toda reta apresenta tantos pontos quanto desejarmos;

ii) como toda reta possui infinitos pontos ela pode ser prolongada tanto quanto desejarmos;

iii) a reta apresenta apenas uma única dimensão (não apresenta largura).

Dado um ponto que pertença à uma reta este designa na reta duas semirretas. A palavra semirreta significa quase reta.

Toda semirreta possui um ponto de origem e um sentido para onde pode ser prolongada.

A etimologia da palavra segmento de reta significa, originalmente, parte de uma reta. Desta forma todo segmento de reta possuirá extremidades. A seguir tem-se algumas representações e suas respectivas notações de reta, semirreta e segmento de reta.

Figura 4: A reta 𝐴𝐵

Figura 5: A semirreta 𝑃𝑄

Figura 6: O segmento de reta 𝑀𝑁

A ideia de ângulo

Uma das principais ideias da Geometria é a ideia de ângulo. Define-se ângulo como sendo a região do plano delimitada por duas semirretas de mesma origem. Desta forma ao traçarmos duas semirretas de mesma origem estamos delimitando duas regiões no plano: uma região entre as semirretas (região interna) e uma outra região (região externa). Caso não seja citada qual região está sendo considerada, devemos utilizar como referência a região menor.

As semirretas que formam o ângulo são chamadas de lados do ângulo, enquanto que o ponto de origem comum às semirretas é chamado de vértice do ângulo.

Figura 7: No ângulo 𝐴Ô𝐵 temos os lados 𝑂𝐴

e 𝑂𝐵

e vértice 𝑂

Basicamente existem dois conceitos associados à ideia de ângulo e que devem ser trabalhados simultaneamente por parte do professor: o conceito de abertura entre as duas semirretas e as movimentações (giros) no plano.

A figura 8 mostra um exemplo de questionamento a ser feito aos alunos sobre qual ângulo é o maior. Muitos alunos consideram como sendo o ângulo 𝐶Ô𝐷 sendo maior do que o ângulo 𝐴Ô𝐵 pois as semirretas 𝑂𝐶 e 𝑂𝐷 foram traçadas de forma a aparentarem serem maiores do que as semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 , apesar da abertura de ambos ângulos serem iguais. Neste caso basta recordar o aluno que uma semirreta pode ser prolongada indefinidamente (num determinado sentido) para que o mesmo possa verificar que ambos ângulos são congruentes.

Figura 8: Comparação entre ângulos

A outra ideia associada a ângulo é a ideia de movimentação no plano, também conhecida como giros e rotações. Atividades que

explorem a localização espacial são boas sugestões para que o aluno compreenda que as trajetórias podem ser modificadas através

de giros no sentido horário ou anti-horário. Por exemplo, solicitar ao aluno elaborar um itinerário para que um indivíduo localizado

no ponto 𝐴 chegue até o ponto 𝐵 passando pelo ponto 𝐶 é uma boa sugestão de atividade neste contexto.

Figura 9: A partir do ponto 𝐴 o indivíduo deverá andar 5 unidades na horizontal, girar 90º no sentido anti-horário e caminhar mais 3 unidades na horizontal para atingir o ponto 𝐵

Tipos elementares de ângulos

Os ângulos elementares para a compreensão do conceito de abertura são: o ângulo nulo, o ângulo raso e o ângulo de uma volta inteira. O ângulo nulo é definido como aquele que possui as semirretas com mesmo sentido, enquanto que o ângulo raso tem como definição aquele sendo formado por semirretas de sentidos opostos. No caso do ângulo de uma volta inteira, basta considerarmos o ângulo maior na definição de ângulo raso.

Figura 10: Ângulo Nulo Figura 11: Ângulo Raso Figura 12: Ângulo de uma Volta Inteira

O grau, o minuto e o segundo

As unidades mais utilizadas para medirmos a abertura de um ângulo são o grau (º), o minuto (‘) e o segundo (“). A palavra grau deriva da palavra grado, que significa originalmente, parte. Definimos o grau como sendo

360

do ângulo central de uma circunferência. Um ângulo de 1 minuto (1’) mede

60

da abertura de um ângulo de 1 grau (1º), enquanto que um ângulo de 1 segundo (1”) mede

60

da abertura de um ângulo de 1 minuto.

Figura 13: Unidades padrão de medidas de ângulo Fonte: faculty.virginia.edu

Tais definições devem-se a dois resquícios históricos: o primeiro deve-se a Hiparco de Nicéia, um matemático grego que viveu no século II a.C.

Exímio astrônomo e considerado o pai da trigonometria, Hiparco especulou que a Terra descrevia uma trajetória circular ao redor do Sol, sendo que a cada dia ela movia-se

360

de sua trajetória. Daí a divisão da circunferência em 360 partes (grados) gerando a medida de 1 grau.

Provavelmente os estudos de Hiparco sofreram influencias da base sexagesimal utilizada pelos antigos babilônios, em seu sistema de

numeração.

Geralmente os livros didáticos trabalham tais unidades de medidas de ângulos através de exercícios de conversão entre graus, minutos e segundos, além das operações envolvendo medidas de ângulos.

Outras unidades de medidas de ângulos

Apesar do grau e seus submúltiplos serem as unidades de medidas mais utilizadas devemos saber que existem outras unidades de medidas para ângulos: os gradianos e os radianos. Atualmente em desuso um ângulo de um gradiano corresponde à centésima parte da abertura do ângulo central de uma circunferência. A vantagem do uso dos gradianos deve-se ao fato do nosso sistema de numeração ser decimal, evitando muitas conversões ao efetuarmos medições.

Uma unidade de medida muito utilizada principalmente na trigonometria é o radiano. Um ângulo que mede um radiano é, por definição, um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência. Daí a etimologia da palavra radiano provir de raio.

Figura 14: Ângulo de 1 radiano

Uma atividade experimental que pode ser proposta aos alunos é solicitar que os mesmos construam uma circunferência com arame e, a partir da medida de seu raio, verificar quantas vezes o comprimento do raio “cabe” no comprimento da circunferência (aproximadamente 6 vezes, ou seja, 2𝜋 vezes).

Classificação de ângulos

Utilizando as definições vistas anteriormente nota-se que o ângulo nulo, por não ter abertura alguma, mede 0º (zero grau), o ângulo de uma volta inteira mede 360º e o ângulo raso mede metade da medida do ângulo de uma volta (180º). Situações que envolvam giros que voltam na mesma posição (360º) ou que resultam em direções opostas (180º) podem ser exploradas nestes casos.

De acordo com sua medida os ângulos podem ser classificados em agudos, retos ou obtusos. Inicialmente define-se como sendo ângulo reto aquele que possui a metade da medida do ângulo raso (90º). Ângulos cuja medida situam-se entre o ângulo reto e o ângulo nulo são chamados de ângulos agudos (0° < 𝛼 < 90°), enquanto que ângulos cujas medidas se encontram entre o ângulo reto e a medida do ângulo raso são conhecidos por ângulos obtusos (90° < 𝛼 < 180°). Alguns livros trazem os ângulos côncavos como sendo aqueles cuja medida variam entre a medida dos ângulos rasos e a medida do ângulo de uma volta inteira (180° < 𝛼 < 360°).

Atividades que exploram a posição dos ponteiros de um relógio analógico são ideias para fixar a ideia de abertura de um ângulo, além da classificação dos ângulos.

Figura 15a:

Ângulo Reto

Figura 15b:

Ângulo Agudo

Figura 15c:

Ângulo Obtuso

Figura 15d:

Ângulo Raso

Outra sugestão significativa é solicitar aos alunos que explorem o lugar ao seu redor (cantos das mesas, da lousa, abertura do caderno sobre a carteira, etc) e no seu próprio corpo (abertura das pernas, dos braços, dos dedos das mãos, etc) para classificarem os principais tipos de ângulos.

Na prática não existem ângulos cujas medidas são negativas. Caso estipulemos um sentido de rotação para a medição de ângulos (geralmente escolhe-se o sentido anti-horário), ângulos cuja rotação obedecerem sentido contrário ao orientado serão ângulos com medidas negativas.

Ângulos congruentes, complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são considerados congruentes quando possuírem a mesma medida. Geralmente usa-se a denominação iguais para ângulos com

a mesma medida, o que é incorreto, pois tais ângulos podem estar em posições diferentes além se referirem a figuras distintas.

Ângulos complementares são aqueles cuja soma de suas medidas equivale a medida de um ângulo reto (90º). A origem da palavra cosseno vem de complementary sine (seno do complementar).

Ângulos suplementares são aqueles cuja soma de suas medidas equivale a medida de um ângulo raso (180º).

Ângulos replementares são aqueles cuja soma de suas medidas equivale a medida de um ângulo de uma volta inteira (360º).

Ângulos adjacentes, opostos pelo vértice e bissetriz de um ângulo

Dois ângulos são adjacentes quando possuírem um lado em comum e a região interna de um não coincidir com a região interna do outro.

Figura 16: Na figura 𝐴Ô𝐵 é adjacente à 𝐵Ô𝐶 pois ambos possuem o lado 𝑂𝐵

em comum e a região interna de um não coincide com a região interna do outro

Quando prolongamos os lados de um ângulo nos sentidos opostos obtemos um outro ângulo considerado Oposto Pelo Vértice (O.P.V.) com o inicial. A principal característica dos ângulos opostos pelo vértice é que estes são congruentes (possuem a mesma medida). Uma ótima atividade para que o aluno explore tal característica é solicitar que o mesmo desenhe ângulos opostos pelo vértice numa folha de papel transparente e faça uma dobradura utilizando um eixo de simetria. Desta forma o aluno perceberá que um ângulo ficará sobreposto com o outro, tendo a mesma abertura e, consequentemente, a mesma medida.

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Desta forma a bissetriz do ângulo o divide em duas partes de mesma medida (divide o ângulo ao meio). Uma boa atividade para explorar esta situação é pedir aos alunos que façam um aviãozinho de papel. Ao desdobrar o aviãozinho e analisar os ângulos formados, o aluno notará que a dobra inicial é a bissetriz interna dos ângulos do aviãozinho.

Posições relativas das retas num plano

Basicamente duas retas coplanares (que pertencem a um mesmo plano) podem se comportar de suas maneiras: mantendo a mesma distância entre seus pontos ou variando tal distância. Na primeira situação temos o caso das retas serem paralelas, enquanto que no segundo caso temos as retas concorrentes.

No caso das retas paralelas podemos ainda determinar dois tipos de situações: quando todos os pontos de uma também forem pontos da outra (paralelas coincidentes) ou quando nenhum ponto de uma coincidir com os pontos da outra (paralelas distintas).

No caso das retas concorrentes, caso os ângulos formados entre si forem iguais estas são chamadas de retas concorrentes perpendiculares (ou apenas retas perpendiculares). Caso os ângulos formados entre si forem diferentes temos o caso das retas concorrentes oblíquas.

Figura 17a:

Retas paralelas coincidentes

Figura 17b:

Retas paralelas distintas

Figura 17c:

Retas concorrentes perpendiculares

Figura 17d:

Retas concorrentes oblíquas

Explorar mapas de cidades e a posição de suas ruas é uma boa estratégia para que o aluno possa compreender o que são ruas paralelas e ruas

concorrentes, fato que o auxilia na construção das ideias, respectivamente, de retas paralelas e retas concorrentes. Uma definição muito

encontrada nos livros didáticos é que as retas paralelas são aquelas que nunca se cruzam, o que é incorreto afirmar, pois exclui o caso das retas

paralelas coincidentes.