SME5941 - Tópicos Matemáticos em Análise de Dados I
Aula 1: Principal Component Analysis (PCA) Prof. Luís Gustavo Nonato
Moussa Reda Mansour
5 de Agosto 2014
Lista de Exercícios 1
Data de Entrega:
1. Seja A uma matriz simétrica n×n e real. Demonstre queA possui autovalores reaisλi, i = 1,2, . . . , ne que os n autovetores correspondentes aosλi formam uma base ortogonal deRn.
2. (Teorema da Decomposição Espectral)SejaAuma matriz simétrican×ncom autovalores λ1, λ2, . . . , λn e correspondentes autovetores ortonormaisu1, u2, . . . , un. Demonstre que a matrizApode ser decomposta como:
A =U D UT
sendo queUa matriz ortogonal cujas colunas são os autovetoresuieD=diag(λ1, λ2, . . . , λn).
3. (Coeficiente de Rayleigh )SejaAuma matriz simétrican×ncom autovaloresλ1 ≥λ2 ≥
· · · ≥λne correspondentes autovetoresu1, u2, . . . , un. Demonstre que
||x||=1max XTA X =λ1
||x||=1min XTA X =λn
onde os valores de máximo e mínimo ocorremx=u1 andx=un, respectivamente.
4. Demosntre que a projeção sobre o subespaço gerado pelaskprimeiras componentes princi- pais minimiza a distorção entre as distâncias dos pontos gerados, ou seja,
minΨ n
X
i,j=1
||Xi−Xj||2− ||Ψi−Ψj||2
sendoΨi =U UTXi eΨj =U UTXj, observe queUTU =I.
Dica: http://courses.cms.caltech.edu/cs253/slides/cs253-06-dimreduction.pdf
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