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Números Reais

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Academic year: 2022

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(1)

Números Reais

Gl ´aucio Terra

glaucio@ime.usp.br

Departamento de Matem ´atica IME - USP

N ´umeros Reais – p. 1/24

(2)

Corpos

DEFINIÇÃO Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por “+” e “·”. Diz-se que (K, +, ·) é um corpo se satisfizer as seguintes condições:

(3)

Corpos

DEFINIÇÃO Seja K um conjunto munido de duas operações, denotadas por “+” e “·”. Diz-se que (K, +, ·) é um corpo se satisfizer as seguintes condições:

(A1) ∀x, y, z : (x + y) + z = x + (y + z)

(A2) ∀x, y : x + y = y + x

(A3) ∃0 ∈ K, ∀x : x + 0 = x

(A4) ∀x, ∃(−x) : x + (−x) = 0

N ´umeros Reais – p. 2/24

(4)

Corpos

(M1) ∀x, y, z : (x · y) · z = x · (y · z)

(M2) ∀x, y : x · y = y · x

(M3) ∃1 ∈ K, 1 6= 0, ∀x : x · 1 = x

(M4) ∀x, ∃x1 : x · x1 = 1

(5)

Corpos

(M1) ∀x, y, z : (x · y) · z = x · (y · z)

(M2) ∀x, y : x · y = y · x

(M3) ∃1 ∈ K, 1 6= 0, ∀x : x · 1 = x

(M4) ∀x, ∃x1 : x · x1 = 1

(D) ∀x, y, z : x · (y + z) = x · y + x · z

N ´umeros Reais – p. 3/24

(6)

Propriedades da Adição e Multiplicação

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. As

seguintes propriedades decorrem de (A1)-(A4):

1. o elemento neutro da adição é único;

2. dado x ∈ K, o simétrico de x é único; além disso, −(−x) = x;

3. lei do cancelamento: x + z = y + z ⇔ x = y;

(7)

Propriedades da Adição e Multiplicação

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. As

seguintes propriedades decorrem de (M1)-(M4):

1. o elemento neutro da multiplicação é único;

2. dado x ∈ K, x 6= 0, o inverso multiplicativo de x é único; além disso, (x1)1 = x;

3. lei do cancelamento:

x · z = y · z e z 6= 0 ⇒ x = y;

N ´umeros Reais – p. 5/24

(8)

Propriedades da Adição e Multiplicação

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. Tem-se:

1. ∀x : 0 · x = 0

2. ∀x, y : (−x) · y = x · (−y) = −(x · y) 3. x · y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0

(9)

Relações de Ordem

DEFINIÇÃO Sejam A um conjunto e 6⊂ A × A uma relação em A. Diz-se que 6 é uma relação de ordem parcial se:

N ´umeros Reais – p. 7/24

(10)

Relações de Ordem

DEFINIÇÃO Sejam A um conjunto e 6⊂ A × A uma relação em A. Diz-se que 6 é uma relação de ordem parcial se:

(O1) (∀x ∈ A)x 6 x (i.e., 6 é reflexiva);

(11)

Relações de Ordem

DEFINIÇÃO Sejam A um conjunto e 6⊂ A × A uma relação em A. Diz-se que 6 é uma relação de ordem parcial se:

(O1) (∀x ∈ A)x 6 x (i.e., 6 é reflexiva);

(O2) (∀x, y ∈ A) se x 6 y e y 6 x, então x = y (i.e., 6 é anti-simétrica);

N ´umeros Reais – p. 7/24

(12)

Relações de Ordem

DEFINIÇÃO Sejam A um conjunto e 6⊂ A × A uma relação em A. Diz-se que 6 é uma relação de ordem parcial se:

(O1) (∀x ∈ A)x 6 x (i.e., 6 é reflexiva);

(O2) (∀x, y ∈ A) se x 6 y e y 6 x, então x = y (i.e., 6 é anti-simétrica);

(O3) (∀x, y, z ∈ A) se x 6 y e y 6 z, então x 6 z (i.e., 6 é transitiva).

(13)

Relações de Ordem

Uma relação de ordem parcial diz-se total ou linear se também satisfizer:

(O4) (∀x, y ∈ A) x 6 y ou y 6 x.

N ´umeros Reais – p. 8/24

(14)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Sejam (K, +, ·) um corpo e 6 uma relação de ordem total em K. Diz-se que

(K, +, ·, 6) é um corpo ordenado se os seguintes axiomas forem satisfeitos:

(15)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Sejam (K, +, ·) um corpo e 6 uma relação de ordem total em K. Diz-se que

(K, +, ·, 6) é um corpo ordenado se os seguintes axiomas forem satisfeitos:

(OA) x 6 y ⇒ x + z 6 y + z

N ´umeros Reais – p. 9/24

(16)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Sejam (K, +, ·) um corpo e 6 uma relação de ordem total em K. Diz-se que

(K, +, ·, 6) é um corpo ordenado se os seguintes axiomas forem satisfeitos:

(OA) x 6 y ⇒ x + z 6 y + z

(OM) x 6 y e z > 0 ⇒ x · z 6 y · z

(17)

Propriedades de Corpos Ordenados

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado. Tem-se:

1. Regra de sinais:

(a) x > 0 e y > 0 ⇒ x · y > 0 (b) x < 0 e y > 0 ⇒ x · y < 0 (c) x < 0 e y < 0 ⇒ x · y > 0

2. se x 6= 0, x e x1 têm o mesmo sinal;

3. 0 < x < y ⇒ 0 < y1 < x1 4. 0 > x > y ⇒ 0 > y1 > x1

N ´umeros Reais – p. 10/24

(18)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Sejam (K, +, ·) e (F, +, ·) corpos.

Diz-se que φ : K → F é um homomorfismo de corpos se: (i) φ(x + y) = φ(x) + φ(y), (ii)

φ(x · y) = φ(x) · φ(y) e (iii) φ(1) = 1.

(19)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Sejam (K, +, ·) e (F, +, ·) corpos.

Diz-se que φ : K → F é um homomorfismo de corpos se: (i) φ(x + y) = φ(x) + φ(y), (ii)

φ(x · y) = φ(x) · φ(y) e (iii) φ(1) = 1.

Se (K, +, ·, 6) e (F, +, ·, 6) forem corpos

ordenados, φ : K → F diz-se um homomorfismo de corpos ordenados se for um homomorfismo de corpos e se preservar ordem, i.e.

x 6 y ⇒ φ(x) 6 φ(y).

N ´umeros Reais – p. 11/24

(20)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. Dados

x ∈ K e n ∈ N, define-se n · x indutivamente por:

1. 1 · x .

= x

2. (n + 1) · x .

= n · x + x

(21)

Corpos Ordenados

DEFINIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. Dados

x ∈ K e n ∈ N, define-se n · x indutivamente por:

1. 1 · x .

= x

2. (n + 1) · x .

= n · x + x

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·) um corpo. Tem-se,

∀m, n ∈ N, ∀x, y ∈ K:

1. (m + n) · x = m · x + n · x 2. n · (x + y) = n · x + n · y

3. n · (x · y) = (n · x) · y = x · (n · y)

N ´umeros Reais – p. 12/24

(22)

Corpos Ordenados

PROPOSIÇÃO Para todo n ∈ N, tem-se:

1. n · 0 = 0 2. n · 1 > 0

(23)

Corpos Ordenados

PROPOSIÇÃO Para todo n ∈ N, tem-se:

1. n · 0 = 0 2. n · 1 > 0

PROPOSIÇÃO Sejam (K, +, ·, 6) um corpo ordenado e φ : Q → K dada por

(∀m/n ∈ Q)φ(m/n) .

= (m · 1)/(n · 1). Então φ é um homomorfismo de corpos ordenados.

N ´umeros Reais – p. 13/24

(24)

Módulo

DEFINIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado.

Definimos |·| : K → K por:

|x| .

=

(x, se x > 0

−x, se x < 0

(25)

Módulo

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado. Tem-se, ∀x, y ∈ K:

1. |x| = max{x, −x}

2. |x · y| = |x| · |y| e, se y 6= 0, |xy | = |x||y|

3. ||x| − |y|| 6 |x + y| 6 |x| + |y| 4. dado a > 0, tem-se

|x − y| 6 a ⇔ y − a 6 x 6 y + a

N ´umeros Reais – p. 15/24

(26)

Majorante, Supremo e Máximo

DEFINIÇÃO Sejam X um conjunto munido de uma ordem parcial 6, A ⊂ X e a ∈ X.

(27)

Majorante, Supremo e Máximo

DEFINIÇÃO Sejam X um conjunto munido de uma ordem parcial 6, A ⊂ X e a ∈ X.

1. a diz-se um majorante ou limitante superior de A se (∀x ∈ A)x 6 a;

N ´umeros Reais – p. 16/24

(28)

Majorante, Supremo e Máximo

DEFINIÇÃO Sejam X um conjunto munido de uma ordem parcial 6, A ⊂ X e a ∈ X.

1. a diz-se um majorante ou limitante superior de A se (∀x ∈ A)x 6 a;

2. a diz-se supremo de A se for o menor majorante de A;

(29)

Majorante, Supremo e Máximo

DEFINIÇÃO Sejam X um conjunto munido de uma ordem parcial 6, A ⊂ X e a ∈ X.

1. a diz-se um majorante ou limitante superior de A se (∀x ∈ A)x 6 a;

2. a diz-se supremo de A se for o menor majorante de A;

3. a diz-se máximo de A se for majorante de A e se a ∈ A.

N ´umeros Reais – p. 16/24

(30)

Axioma do Supremo

DEFINIÇÃO Seja X um conjunto munido de uma relação de ordem parcial 6. Diz-se que (X, 6) satisfaz o axioma do supremo se o seguinte axioma for satisfeito:

(S) Todo subconjunto não-vazio de X limitado superiormente admite supremo.

(31)

Axioma do Supremo

DEFINIÇÃO Seja X um conjunto munido de uma relação de ordem parcial 6. Diz-se que (X, 6) satisfaz o axioma do supremo se o seguinte axioma for satisfeito:

(S) Todo subconjunto não-vazio de X limitado superiormente admite supremo.

DEFINIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado.

Diz-se que o mesmo é um corpo ordenado completo se o conjunto ordenado (K, 6) satisfizer o axioma (S).

N ´umeros Reais – p. 17/24

(32)

Axioma do Supremo

PROPOSIÇÃO Seja X um conjunto munido de

uma relação de ordem total 6. São equivalentes:

1. Todo subconjunto não-vazio de X limitado superiormente admite supremo.

2. Todo subconjunto não-vazio de X limitado inferiormente admite ínfimo.

(33)

Corpos Ordenados Completos

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado. São equivalentes:

1. N não é limitado superiormente 2. ∀a, b > 0, ∃n ∈ N : na > b

3. ∀a > 0, ∃n ∈ N : 1/n < a

N ´umeros Reais – p. 19/24

(34)

Corpos Ordenados Completos

PROPOSIÇÃO Seja (K, +, ·, 6) um corpo ordenado. São equivalentes:

1. N não é limitado superiormente 2. ∀a, b > 0, ∃n ∈ N : na > b

3. ∀a > 0, ∃n ∈ N : 1/n < a

DEFINIÇÃO Seja (K, +, ·, 6). Se uma das

condições equivalentes da proposição anterior

(35)

Corpos Ordenados Completos

PROPOSIÇÃO Se (K, +, ·, 6) é um corpo ordenado completo, então é arquimediano.

N ´umeros Reais – p. 20/24

(36)

O Corpo dos Reais

Admitiremos que existe um corpo ordenado

completo (R, +, ·, 6), e o chamaremos de corpo dos números reais.

(37)

Intervalos Encaixados

TEOREMA Seja I1 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ · · · uma seqüência decrescente de intervalos fechados e limitados de R, In = [an, bn]. Então existe

x ∈ ∩n∈NIn.

N ´umeros Reais – p. 22/24

(38)

TEOREMA

1. R não é enumerável.

2. Se A ⊂ R é um intervalo não-degenerado, então A é não-enumerável.

3. Todo intervalo não-degenerado de R contém números racionais e irracionais.

(39)

Referências Complementares

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGrawHill, New York, 1976.

L. H. J. Monteiro, Elementos de Álgebra, Impa, Rio de Janeiro, 1969.

N ´umeros Reais – p. 24/24

Referências

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