MAT141 - C´alculo para FAU – Lista 1 (Geometria)
1. Consider os seguintes pontos de R3: A = (1,−1,2), B = (2,1,1), C = (−2,−4,−1), D= (2,−3,1),P = (1,2,1). Considere o vetor
~u= 3−→
AB−2−−→
CD.
Determine as coordenadas do ponto Q∈R3 tal que ~u=−→
P Q
2. Sejam~a,~b, ~c, ~u1, ~u2, ~u3 vetores emR3 (poderia serRn que n˜ao muda em nada a resolu¸c˜ao do problema!). Suponha que as seguintes equa¸c˜oes s˜ao satisfeitas:
~u1+ 2~u3 =~a
~u1−~u2+~u3 =~b
~u2+ 2~u3 =~c
Descreva ~u1, ~u2, e~u3 como combina¸c˜ao linear de~a,~b,e~c.
(OBSERVAC¸ ˜AO: Dizemos que um vetor w~ ´ecombina¸c˜ao linear de~a,~b, ~c se
~
w=α~a+β~b+γ~c,
onde α, β, γ s˜ao n´umeros reais. Ou seja, no exerc´ıcio acima vocˆe deve expressar cada ~ui
como uma soma de m´ultplos reais~a,~b, ~c.)
3. Na figura 1 abaixo temos um cubo onde todas as arestas tem comprimento 1. Decida se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas:
(a) −→
AG+−−→
HE+−−→
F D =−−→
BC (b) −→
AB +−−→
EH−−−→
EB+−−→
DB =−→
F G
4. Considere o cubo desenhado na figura 1. SejaP um ponto da aresta HGtal que −−→
HP = 2−→
P G. Descreva o vetor−−→
BP como combina¸c˜ao linear de −−→
AH,−→
AG,−→
AF.
5. SejamA, B, C os v´ertices de um triˆangulo. Seja P um ponto no seguimento BC tal que a distˆancia de B at´e P ´e 3 vezes a distˆancia de C at´e P. Escreva o vetor −→
AP como combina¸c˜ao linear de −→
AB e −→
AC.
6. Considere o triˆangulo em R3 cujos v´ertices tˆem coordenadas:
A= (1,−1,0), B = (1,0,1), C = (2,−1,1).
SejamM o ponto m´edio da arestaAB,N o ponto m´edio da arestaBCeOo ponto m´edio da aresta AC. O baricentro do triˆanguloABC ´e ponto de interse¸c˜ao dos seguimentos CM, AN eBO.
Encontre as coordenadas do baricentro do triˆangulo ABC.
Figura 1: Cubo de aresta 1
7. SejamA, B e C v´ertices de um triˆangulo, e seja M o ponto m´edio do segmento AB (ou seja, a distˆancia de A at´e M ´e igual a distˆancia de B at´e M), e N o ponto m´edio do segmento AC.
(a) Mostre que −−→
BC ´e paralelo `a −−→
MN (b) Sel =||−−→
BC||denota a norma (comprimento) do vetor−−→
BC, ed=||−−→
MN||, encontre valor da raz˜ao r=l/d.
(c) Seja P o ponto m´edio do segmento MN, e ~u = −→
AP. Encontre α tal que o ponto X = A+α~u esteja na reta que liga os pontos B e C (fa¸ca um desenho antes de come¸car!).
8. Considere os seguintes vetores dados em termos de suas coordenadas na base canˆonica de R3:
~u1 = (0,0,0), ~u2 = (−1,0,2), ~u3 = (−1,1,2), ~u4 = (0,1,0), ~u5 = (1,1,1).
Determine se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta com uma demonstra¸c˜ao ou um contra-exemplo:
(a) ~u1pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combina¸c˜ao linear de~u2, ~u3, ~u4. (b) O conjunto {~u1, ~u2, ~u3}´e linearmente independente.
(c) O conjunto {~u2, ~u3, ~u4}´e linearmente independente.
(d) O conjunto {~u2, ~u3, ~u5}´e linearmente independente.
(e) O conjunto {~u1, ~u2}´e linearmente independente.
(f) B = (~u3, ~u4, ~u5) ´e uma base de V3.
9. Seja F = (f~1, ~f2, ~f3) uma base de V3. Sejam
~u= (1,0,−2)F, ~v = (1,1,0)F, w~ = (0,−1,−1)F. (a) Mostre que B = (~u, ~v, ~w) ´e uma base de V3
(b) Se~a= (1,2,3)B, encontre as coordenadas de~a na baseF. (c) Se~b= (1,2,3)F, encontre as coordenadas de~b na base B.
10. Sejam O, A, B, C pontos de R3 que s˜ao v´ertices de um tetraedro. Explique porque os vetores −→
OA,−−→
OB,−→
OC formam uma base de V3.
11. Dados os vetores L.I. ~u, ~v, ~w constroem-se, a partir de um ponto arbitrrioO os pontos A =O+~u−2~v+w,~ B =O−~u+~v−2w~
C =O+λ~u+~v−w,~ D=O−2~u−λ~v.
Determine λ de modo que os vetores, −→
AB,−→
AC e−−→
AD sejam coplanares.
12. Na figura 1 acima temos um cubo. Sejam M, N, O os pontos m´edios dos seguimentos DH, CG, BF respectivamente.
(a) Explique porque B= (−−→
EH,−→
EF ,−→
EA) ´e uma base de V3. (b) Encontre as coordenadas dos vetores −−→
BM ,−−→
F N,−→
AO na base B do item (a).
(c) Mostre que E = (−−→
BM ,−−→
F N,−→
AO) ´e uma base de V3.
(d) Se~u = (−1,2,1)B, encontre as coordenadas de ~u na base E do item (c).
13. Seja E uma base de V3 e sejam~a = (1,1,1)E,~b = (1,−1,1)E. Encontre todos os valores de z ∈Rtais que~c= (−1,2, z) pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de~a e~b.
14. Seja r⊂R3 a reta descrita pela equa¸c˜ao r: x−3
2 = 1−y= 2z−1 3 . Encontre uma equa¸c˜ao vetorial para a reta r.
15. Seja r⊂R3 a reta descrita pela equa¸c˜ao vetorial
r:X = (1,0,−2) +λ(−1,2,1), λ ∈R. Encontre uma equa¸c˜ao na forma sim´etrica para a reta r.
16. Seja π⊂R3 o plano descrito pela equa¸c˜ao geral
π : 2x+y−3z+ 1 = 0.
Encontre uma equa¸c˜ao na forma vetorial para o plano π.
17. Seja π⊂R3 o plano descrito pela equa¸c˜ao param´etrica
π :
x=λ+ 3µ y= 1−µ z =−1−λ+µ
λ, µ∈R
Encontre uma equa¸c˜ao geral para o plano π.
18. Considere as seguintes retas em R3: r1 : x−3
2 = 1−y = 2z−1 3
r2 :X = (1,0,−2) +λ(−1,2,1), λ∈R.
r3 :
x= 4 + 2α y=−6−4α z =−5−2α
α∈R
r4 : (1,1,−2) +µ(−7,14,7), µ∈R
r5 : x
3 = 2−y = z−1 7
Para cada i, j ∈ {1,2,3,4,5} com i < j determine a posi¸c˜ao relativa das retas ri e rj
(ou seja, determine a posi¸c˜ao relativa entre quaisquer duas retas acima). Caso as retas sejam concorrentes, determine o ponto de interse¸c˜ao.
19. Considere os seguintes planos em R3:
π1 :x−z−1 = 0
π2 :
x=λ+ 3µ y= 1−µ z =−1−λ+µ
λ, µ∈R
π3 :X = (2,−1,0) +α(1,1,1) +β(−2,0,−2), α, β ∈R
π4 :−1
2x−2y− 1 2z+3
2 = 0.
Para cada i, j ∈ {1,2,3,4}comi < j determine a posi¸c˜ao relativa dos planos πi eπj (ou seja, determine a posi¸c˜ao relativa entre quaisquer dois planos acima). Caso os planos sejam transversais, determine uma equa¸c˜ao vetorial da reta dada pela interse¸c˜ao dos planos.
20. Seja π o plano
π:
x=λ+ 3µ y= 1−µ z =−1−λ+µ
λ, µ∈R.
Para cada uma das retas abaixo, determine a posi¸c˜ao relativa da reta com o plano π.
Caso sejam transversais determine o ponto de interse¸c˜ao:
r1 :x−5 =y+ 1 = 2−z 5
r2 : (3,0−7) +β(2,−1,2), β ∈R
r3 :
x= 4 + 2α y=−6−4α z =−5−2α
α∈R
21. Determine uma equa¸c˜ao param´etrica da reta que passa pelo ponto P = (1,−2,−1) e intercepta as retas reversas
r:
(x=z−1
y = 2z−3 es :
(x=z−2 y=−z+ 1 22. Sejam P = (4,1,−1) e r:X = (2,4,1) +λ(1,−1,2).
(a) Mostre que P /∈r.
(b) Obtenha uma equa¸c˜ao geral do plano que cont´em r e P.
