MEC LEGM Campo Magnético na matéria

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Quarta, 6 Novembro, 2013

Electromagnetismo e

Óptica

MEC LEGM

Campo Magnético na matéria

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Slide2of8

Magnetização.

ì Conceito de magnetização e de susceptibilidade magnética.

ì Energia em magnetostática.

Classificação de Substâncias Magnéticas

ì Substâncias ferromagnéticas, diamagnéticas e paramagnéticas.

ì Curva de Magnetização e Histerese Magnética

ì Relação entre a intensidade de Campo e Densidade de fluxo magnético em materiais ferromagnéticos.

Condições fronteira

ì Correntes de magnetização.

ì Comportamento dos campos na fronteira entre vários materiais.

ì Electromagnetes.

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Slide3of8

Campo de um Anel de Corrente I com raio a, num ponto arbitrário.

ì Campo num ponto arbitrário r =re_rHjL+ze_z

r-{Ó=re_rHjL+ze_z-ae_rHΦL \ âl

Ó

´Ir-{ÓM r-{Ó 3

=

Ia z e_rHΦL + Ia²-a r cosHΦ - jLMe_zM Ir²+z²+a²-2 a r cosHΦ - jLM³²â Φ = Ia z cosHjLe_rHΦ - jL +sinHjLe_ΦHΦ - jL+ Ia²-a r cosHΦ - jLMe_zM

Ir²+z²+a²-2 a r cosHΦ - jLM³²â Φ BHrL= zIa²+r²+z²M E Π -

j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

+E j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

JrIHa+rL²+z²M³²N-

z F Π - j 2

-

4 a r Ha-rL²+z²

+F j 2

-

4 a r Ha-rL²+z²

r Ha-rL²+z² e_rHjL+ Ia²-r²-z²M E Π -

j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

+E j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

IHa+rL²+z²M³²+

F Π - j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

+F j 2

-

4a r Ha-rL²+z²

Ha-rL²+z² e_z

ì A componente r de B, substituindo

cosHΦL®cosHjLcosHΦ - jL-sinHjLsinHΦ - jL e mudando a variável de

integração para Ψ=Φ-j, verifica-se que o resultado deve ser igual para qualquer j, pelo que tomamos j=0 . Nesse caso

B_r

2zIz²+a²+r²MEJ- ⁴^a^r

z²+Ha-rL²N z²+Ha-rL² rIz²+Ha+rL²M

-

2z KJ- ⁴^a^r

z²+Ha-rL²N z²+Ha-rL² r ì A componente Φ de B, substituindo

sinHΦL®cosHjLsinHΦ - jL+sinHjLcosHΦ - jL e mudando a variável de integração para Ψ=Φ-j dá

B_Φ=0

ì A componente z de B, mudando a variável de integração para Ψ=Φ-j e tomando igualmente j=0 dá

B_z

2KJ- ⁴^a^r

z²+Ha-rL²N z²+Ha-rL²

-

2Iz²-a²+r²MEJ- ⁴^a^r

z²+Ha-rL²N z²+Ha-rL² Iz²+Ha+rL²M

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ì O potencial vector é A

A= A_Φe_Φ=

2Iz²+a²+r²MKJ- ⁴^a^r

z²+Ha-rL²N z²+Ha-rL²

-2 z²+Ha-rL² E -

4ar

z²+Ha-rL² e_Φ

e em coordenadas cilíndricas B= Ñ ´ A=

1 r

I-e_r¶_zA_Φ+ e_z¶_rA_ΦM. Para j = 0 , as componentes do campo magnético

B=B_rHr, zLe_r+B_zHr, zLe_z formam um campo irrotacional em

coordenadas cartesianas no plano 8r, z<, i.e. no plano vertical

passando pelo eixo z. Por isso podemos procurar uma função potencial, não para B mas para um seu campo ortogonal

C=FHr, zL HB_z@r, zDe_r- B_r@r, zDe_zL. O Factor Integrante FHr, zL que garante Ñ ´ C=0 é simplesmente FHr, zL=r. Podemos então concluir que

C= - ÑA_Φ, i.e., as linhas equipotencias de A_Φ são as linhas de campo de B^.

-2 -1 0 1 2

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Slide4of8

Magnetização M e Correntes de Magnetização

Densidades de corrente de Magnetização

ì Momento magnético de uma corrente infinitesimal âm=I âS

ì Para uma distribuição contínua de momentos magnéticos, a Magnetização é o momento dipolar por unidade de volume:

M= âm

âV

m

tot =ààà

V

MâV Para um cilindro uniformemente magnetizado

m_tot=MΠR²h=IΠR²e_z M=

I

h

e_z M´e_r=

I

h

e_z´e_r= I

h e_Θ= J

ms

ì Definem-se assim densidades de corrente de magnetização em volume e superfície

JmV

= Ñ ´M ; J

mS

=M´n

Para uma variação em ây, a componente x do momento magnético dum elemento de volume infinitesimal

M_xIr- ¹

2

âye_yMâV=IIr- ¹

2

âye_yMâS_x

M_xIr+ ¹

2

âye_yMâV=IIr+ ¹

2

âye_yMâS_x

HJ_z

mL¹HrLâS_z=I r- 1 2

âye_y - I r+ 1 2

âye_y = -

¶M_x

¶y âS_z

ì Para uma variação em âx, a componente x do momento magnético dum elemento de volume infinitesimal

M_yIr- ¹

2

âxe_xMâV=IIr- ¹

2

âxe_xMâS_y

M_yIr+ ¹

2

âxe_xMâV=IIr+ ¹

2

âxe_xMâS_y

HJ_z

mL²HrLâS_z=I r+ 1 2

âxe_x -I r- 1 2

âxe_x =

¶M_y

¶x âS_z ì No total, as contribuições

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J_z

mâS_z= HJ_z

mL¹HrLâS_z+HJ_z

mL²HrLâS_z=

¶M_y

¶x -

¶M_x

¶y âS_z

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Slide5of8

Campo de uma distribuição contínua de momentos dipolares magnéticos

ì Tendo em conta que o Potencial Vector A do campo magnético B é definido para uma distribuição arbitrária de correntes com densidade JHsL como :

AHrL= Μ_o

4Π à à à JHsL

¡r-s¥âVHsL

ì Longe de um dipolo magnético de momento m, o potencial vector A e o campo magnético B podem ser descritos por

AHrL>

Μ_o 4Π

m´r

r³

BHrL>Ñ ´A= Μ_o 4Π

- m

r³ +

3Im×rMr r⁵

ì Assim, para uma distribuição de momentos dipolares com uma densidade M=

âm âV

, deve-se ter

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Campo magnético H na matéria :

Lei de Ampère Generalizada

ì A vantagem de usar a intensidade de campo magnético H na Lei de Ampère resulta de apenas se ter em conta as correntes de condução.

Ñ ´B = Μ_oIJ+ J

mvM= Μ_oIJ+ Ñ ´MM Ñ ´

B

Μ_o

-M =J H=

B

Μo -M

Ñ ´H= J ¨ H×âr = â

k=1 n

I_k

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Condições Fronteira campo Magnético

ì Usando uma caixa de altura infinitesimal com bases de cada lado da superfície que separa duas regiões de permeabilidades diferentes, o fluxo de B através das bases (desprezando o fluxo através da superfície lateral) deve ser nulo. Assim a componente normal de B é contínua através de superfícies entre regiões de diferentes permeabilidades magnéticas Μ

Ñ ×B=0 IB₁- B₂M×n =0

B normal

ì Usando agora a Lei de Ampére para um circuito rectangular com lados paralelos à superfície de separação entre meios de permeabilidades diferentes, e desprezando a contribuição da circulação nos lados

perpendiculares a esta, podemos mostrar que a componente tangencial de H sofre descontinuidade apenas se existir uma densidade de corrente de condução superficial entre duas regiões de diferentes

permeabilidades.

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