SejaOa origem do sistema de coordenadas e considere os pontos R, S, T tais que−→ OR

MAT0112 - Vetores e Geometria Lista 6

2018

Nesta lista as coordenadas dos pontos s˜ao em rela¸c˜ao a um sistema de coordenadas ortogo- nal

(

O,

B)

onde

B = ( ~

_i,

~

_j,

~

_k

)

´e uma base ortonormal positiva.

1. Determine o volume do tetraedro H ABC sabendo que ABCDEFGH ´e um cubo de aresta unit´aria.

2. Considere os vetores

~

u

= (

0, 3,

−

4

)

,

~

v

= (

1, 2,

−

1

)

,

~

w

= (

1, 0,

√

3

)

e

~

_t

= (

0, 0, 2

)

. Calcule o volume do tetraedroABCDe a altura relativa `a base determinada por

−→

ABe

−→

AC, sabendo que

−→

AB

=

proj_~u

~

v,

k −→

AC

k =

1,

−→

AC//w,

~ −→

AC

· ~

w

<

0 e

(

proj_~t

−→

AB

) ∧ −→

AC

= −→

BD.

3. SejaOa origem do sistema de coordenadas e considere os pontos R, S, T tais que

−→

OR

= (

12,

−

7, 9

)

,

− →

OS

= (

14,

−

6, 9

)

e

−→

OT

= (

t

+

11,t

−

7, 10

)

. Determine a menor ´area poss´ıvel para o triˆanguloRST, ondet

∈

_R.

4. Sejam

−→

AB

= (

1, 0, 1

)

e

− →

CB

= (

0, 0, 2

)

.

(a) Mostre que o triˆanguloABC ´e retˆangulo.

(b) Determine proj

− →

BC

−→

AB.

(c) Calcule o comprimento da altura relativa `a hipotenusa do triˆangulo retˆangulo ABC.

5. Verifique se os pontosA

= (

2, 6,

−

5

)

,B

= (

6, 9, 7

)

,C

= (

5, 5, 0

)

eD

= (

3, 10, 2

)

s˜ao v´ertices de um paralelogramo.

6. Mostre que os pontos E

= (

_{3, 0,}

−

₁

)

_,F

= (

_{0, 3, 0}

)

_,G

= (

_{5, 1,}

−

₂

)

_,H

= (−

_{4, 1, 2}

)

_{, s˜ao} v´ertices de um trap´ezio.

7. Escreva equac¸ ˜oes param´etricas para a retar, que passa pelo pontoA

= (

_{2, 0,}

−

3

)

_e:

(a) ´e paralela `a retas: 1

−

x 5

=

^3y

4

=

^z

+

3 6

(b) ´e paralela `a reta que passa pelos pontosB

= (

1, 0, 4

)

eC

= (

2, 1, 3

)

(c) ´e paralela `a retas⁰ :







x

=

1

−

2λ

y

=

₄

+

λ

(

λ

∈

_R

)

z

= −

1

−

λ

8. Verifique ser

=

s.

r:







x

=

1

−

λ

y

=

2

+

2λ

(

λ

∈

_R

)

z

= −

1

+

λ

es :







x

=

1

−

¹₂µ

y

=

2

+

µ

(

µ

∈

_R

)

z

=

1

+

¹₂µ

9. S˜ao dados os pontosA

= (

3, 6,

−

7

)

,B

= (−

5, 2, 3

)

eC

= (

4,

−

7,

−

6

)

.

(a) Escreva equac¸ ˜oes vetorial e param´etrica para a reta determinada pelos pontosBeC, e obtenha sua forma sim´etrica (se existir). O pontoD

= (

3, 1, 4

)

pertence a essa reta?

(b) Verifique que os pontos A,BeCs˜ao v´ertices de um triˆangulo.

(c) Escreva uma equac¸˜ao param´etrica da mediana relativa ao v´erticeCdo triˆangulo.

10. Dados os pontos A

= (

_{1, 2, 5}

)

_eB

= (

_{0, 1, 0}

)

, determinePsobre a reta que passa porAeB tal que o comprimento dePBseja o triplo do comprimento dePA.

11. SejamP

= (

1, 0, 1

)

eQ

= (

0, 1, 1

)

. Ache um pontoCda retaPQtal que a ´area do triˆangulo ABCseja ¹₂, onde A

= (

3,

−

2, 1

)

eB

= (

0, 0, 1

)

.

12. Verifique (e explique por que) seπ₁

=

π₂nos seguintes casos:

(a) π₁ : X

= (

1, 2, 1

) +

λ

(

1,

−

1, 2

) +

µ

(−

¹₂,²₃,

−

1

)

; π₂ : X

= (

1, 2, 1

) +

α

(−

1, 1,

−

2

) +

β

(−

3, 4,

−

6

)

(b) π₁ :X

= (

0, 0, 0

) +

λ

(

1, 1, 0

) +

µ

(

0, 1, 0

)

; π₂:X

(

1, 1, 0

) +

λ

(

1, 2, 1

) +

µ

(

0,

−

1, 1

)

13. Escreva equac¸ ˜oes geral e param´etrica para os planos descritos abaixo:

(a) πpassa porA

= (

1, 1, 0

)

eB

= (

1,

−

1,

−

1

)

e ´e paralelo ao vetor

~

v

= (

2, 1, 0

)

.

(b) π passa por A

= (

1, 0, 1

)

e B

= (

0, 1,

−

1

)

e ´e paralelo ao segmentoCD, onde C

= (

_{1, 2, 1}

)

_eD

= (

_{0, 1, 0}

)

_.

(c) πpassa pelos pontosA

= (

1, 0, 1

)

, B

= (

2, 1,

−

1

)

eC

= (

1,

−

1, 0

)

. 14. SejamP

= (

4, 1,

−

1

)

er: X

= (

2, 4, 1

) +

λ

(

1,

−

1, 2

)

.

(a) Mostre queP

∈

/r.

(b) Obtenha uma equac¸˜ao geral do plano determinado porreP.

15. Decomponha o vetor

~

v

= (

1, 2, 4

)

em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X

= (

1, 1, 0

) +

λ

(

1, 0, 1

) +

µ

(

0, 1,

−

1

)

e outra paralela `a retaX

= (

0, 0, 0

) +

ν

(

2, 1, 0

)

. 16. Um paralelogramo de v´ertices A,B,C,Dtem lados ABeCD paralelos `a reta de equac¸˜ao

r: X

= (

0, 0, 0

) +

λ

(

3, 4, 5

)

e os outros dois paralelos ao planoπ: x

+

y

+

3z

=

0. Sabendo queA

= (

_{0, 0, 0}

)

_eD

= (

_{1, 1, 1}

)

, determine os v´erticesBeC.

Lista 6 - Algumas RESPOSTAS

10. P

= (

³₄,⁷₄,¹⁵₄

)

ou P

= (

³₂,⁵₂,¹⁵₂

)

11. C

= (

2,

−

1, 1

)

12. (a) paralelos distintos (b) n˜ao paralelos

13. (a)







x

=

1

+

2µ

y

=

1

+

2λ

+

µ

(

λ,µ

∈

_R

)

; z

=

λ

x

−

2y

+

4z

+

1

=

0

(b)







x

=

1

+

λ

+

µ

y

= −

λ

+

µ

(

λ,µ

∈

_R

)

; z

=

1

+

2λ

+

µ

3x

−

y

−

2z

−

1

=

0

(c)







x

=

1

−

λ

y

= −

1

−

2λ

+

µ

(

λ,µ

∈

_R

)

; z

=

λ

+

µ

3x

−

y

+

z

−

4

=

0

14. (b) 8x

+

6y

−

z

−

39

=

0 15.

~

v

= (

11, 7, 4

) + (−

10,

−

5, 0

)

16. C

=

₂₂⁷,₂₂²,⁻₂₂³ e B

=

¹⁵₂₂,²⁰₂₂,²⁵₂₂