Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória. TPC nº 3 (entregar no dia )

Texto

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

TPC nº 3 (entregar no dia 28-10-2011)

Propósito do TPC: rever os planos de trabalho números 1, 2 e 3 e preparar o primeiro Teste Para resolver o TPC nº 3 precisa de saber:

Resolver problemas de probabilidades depois de pensar qual o método que deve utilizar e analisando no fim o resultado.

Fazer demonstrações utilizando propriedades das operações com acontecimentos e a axiomática das probabilidades.

Resolver problemas de probabilidade condicionada e envolvendo acontecimentos independentes.

Resolver problemas de distribuições de probabilidades

1. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (

Rh

+); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo (

Rh

).

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos

Rh

+e

Rh

estão repartidos da seguinte forma:

A B AB O

Rh

+ 40% 6,9% 2,9% 35,4%

Rh

6,5% 1,2% 0,4% 6,7%

Escolhido um português ao acaso qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser 1.1. A ou B?

1.2.

Rh

e não ser O

1.3. O, sabendo que é

Rh

+ 1.4.

Rh

+, sendo A

2. Uma formiga percorre num minuto um lado de um losango. Cada vez que está num vértice escolhe aleatoriamente um dos lados para seguir. Partindo de A, qual a probabilidade de que percorra os 4 lados nos primeiros 4 minutos?

3. Seja E o conjunto de resultados associados a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos de

P ( E )

3.1. Prove que:

p A ( B ) p A ( B ) = p A ( )

.

3.2. Dos alunos de uma turma sabe-se que:

10% são rapazes com óculos;

65% são raparigas ou usam óculos.

A

B D

C

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Escolhe-se um aluno da turma ao acaso. Recorrendo à igualdade demonstrada em 3.1. determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga.

Sugestão: Considere os acontecimentos: A – ser rapaz; B – usar óculos.

4. O professor Alfredo leciona a disciplina de Matemática na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabilidades».

Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na figura.

No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da

variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado cúbico».

O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela.

4.1. Apresente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção.

Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso».

A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros.

Na figura, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X

Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa.

I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser superior a 1,80 metros.

II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5.

III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros.

O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira.

4.2. Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação.

-1 -1 1

1 0

1

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

TPC nº 3 – Proposta de resolução

1.

O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos:

A, B, AB e O.

Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh

+

); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh

).

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rh

+

e Rh

estão repartidos da seguinte forma:

A B AB O

Rh

+

40% 6,9% 2,9% 35,4% 85,2%

Rh

6,5% 1,2% 0,4% 6,7% 14,8%

46,5% 8,1% 3,3% 42,1% 100%

Escolhido um português ao acaso a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser

1.1.

A ou B é P A ( B ) ( = 46,5 + 8,1 % ) = 54,6%

1.2.

Rh

e não ser O é P Rh (

O ) = ( 6,5 1,2 + + 0, 4 % ) = 8,1%

1.3.

O, sabendo que é Rh

+

é ( ) ( )

( )

P O Rh 35, 4

P O | Rh 41,55%

P Rh 85,2

+ +

+

= ∩ =

1.4.

Rh

+

, sendo A é

( ) ( )

( )

P Rh A 40

P Rh | A 86,02%

P A 46,5

+

+

= =

2.

Uma formiga percorre num minuto um lado de um losango. Cada vez que está num vértice escolhe aleatoriamente um dos lados para seguir. Partindo de A, qual a probabilidade de que percorra os 4 lados nos primeiros 4 minutos? Vamos estudar o percurso da formiga

fazendo uma árvore:

Dos 16 percursos que a formiga pode fazer em 4 minutos apenas 2 lhe permitem percorrer os 4 lados do losango.

A probabilidade pedida é 2 1 P = 16 = 8

A

B D

C AD ABA

AD ADC AD ADA AD CBC AD CBA AD CDC AD CDA ABABC AB ABA ABADC AB ADA AB CBC ABCBA ABCDC AB CDA

A B

D C

A

C

A D

B

D

B D

B

D

A C A C A C A C A C A C

A C A

(4)

3.

Seja E o conjunto de resultados associados a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos de P ( E )

3.1.

Provemos que: p A ( B ) p A ( B ) = p A . ( )

Ora P A ( B ) P A ( B ) = P(A) P B + ( ) P A ( B ) P A ( B )

Mas como A ∩ = B B \ A que é incompatível com A ∩ B e cuja reunião dá B, pelo 3º axioma P B ( ) = P A ( B ) + P A ( B )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P(A) P B + − P A ∩ B − P A ∩ B = P(A) P B + − P(B) = P A e concluímos então que

( ) ( ) = ( )

p A B p A B p A c.q.d.

3.2.

Dos alunos de uma turma sabe-se que:

10% são rapazes com óculos;

65% são raparigas ou usam óculos.

Escolhe-se um aluno da turma ao acaso. Recorrendo à igualdade demonstrada em 3.1.

determinemos a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga.

Consideremos os acontecimentos: A – ser rapaz; B – usar óculos.

Os dados são P A ( B ) = 0,1 e P A ( B ) = 0,65 e o que pretendemos calcular é p A . ( )

Pela relação que acabámos de provar temos que p A ( ) = 0,65 0,1 0,55 =

A probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga é 0,55 ou 55%.

4.

O professor Alfredo leciona a disciplina de Matemática na Escola Secundária Boavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «Distribuição de Probabilidades».

Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na figura.

No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se

reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado

cúbico».

O professor Alfredo pediu aos alunos que completassem a tabela.

Para podermos completar a tabela vamos começar por fazer uma tabela com os resultados dos produtos:

4.1.

Apresentemos a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção.

Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável

x 0 -1 -1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 -1 -1 -1 -1 0 1 1 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 1 1 1 1 0 -1 -1 1 1 1 1 0 -1 -1 1 1 1

-1 -1 1

1 0 1

y

i

-1 0 1

P (Y = y

i

) 12 1 36 = 3 11

36

13

36

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aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso».

A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 170 centímetros.

Na figura, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X

Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que

classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa.

I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser superior a 1,80 metros.

II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5.

III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros.

O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira.

4.2.

Elaboremos uma pequena composição, na qual justifiquemos que o Diogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação.

«Como 170 – 160 = 180 – 170, a área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva de Gauss, à direita de 180, é igual à área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva, à esquerda de 160. Portanto, é igualmente provável que, escolhido, ao acaso, um aluno da escola, a sua altura seja inferior a 1,60 metros ou que a sua altura seja superior a 1,80 metros. Assim, o Diogo classificou correctamente a afirmação I) como falsa.

Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros corresponde à soma da área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva de Gauss, à direita de 160 e à esquerda de 170, com a área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva, à direita de 180, que é exactamente metade da área total limitada pelo eixo das abcissas e pela curva porque sendo P(160<X<170)=P(170<X<180) a soma das áreas equivale à área à direita de 170. Assim, esta probabilidade é exatamente 0,5, pelo que o Diogo classificou correctamente a afirmação II) como falsa.

Sendo 184 = 170 + 14 = 170 + 2 × 7, e uma vez que P(µ – 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0,9545, temos que P(X > µ + 2σ) ≈ 1 0,9545

2

− = 0,02275, correspondente a 2,275%

Como P(X > 184)

≈ 0,02275, apenas é possível σ ≈ 7. Assim, o Diogo classificou corretamente a

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A

Tema I – Probabilidades e Combinatória

TPC nº 3 – Critérios de correcção

1. •••• 40

1.1. •••• 10

Identificar P A ( B ) •••• 5

Calcular •••• 5

1.2. •••• 10

Identificar P Rh (

O ) •••• 5

Calcular •••• 5

1.3. •••• 10

Identificar P O | Rh (

+

) •••• 5

Calcular •••• 5

1.4. •••• 10

Identificar P Rh | A (

+

) •••• 5

Calcular •••• 5

2. •••• 15

Esquema •••• 10

Cálculo da probabilidade •••• 5

3. •••• 20

3.1. •••• 10

P A ( B ) ( ) = P A + P B ( ) P A ( B ) •••• 4

P A ( B ) + P A ( B ) = P B ( ) •••• 4

Concluir a demonstração •••• 2

3.2. •••• 10

3.2.1. Identificar P A ( B ) = 0,1 •••• 4

3.2.2. Identificar P A ( B ) = 0,65 •••• 4

3.2.3. Aplicar a propriedade anterior •••• 2

4. •••• 25

4.1. Completar na tabela os valores da variável em falta •••• 4 •••• 10 4.1.1. Determinar 12

P(Y 1)

= − = 36 •••• 2

4.1.2. Determinar 11 P(Y 0)

= = 36 •••• 2

4.1.3. Determinar 13 P(Y 1)

= = 36 •••• 2

Nota: caso o aluno se limitar a fazer uma tabela de dupla entrada o exercício não pode valer mais de 5

4.2. Fazer a composição de acordo com os critérios seguintes •••• 15 A composição deverá contemplar os três tópicos seguintes:

Apresentação de uma razão cientificamente válida que justifique, inequivocamente, que a afirmação I) é falsa;

Apresentação de uma razão cientificamente válida que justifique,

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inequivocamente, que a afirmação II) é falsa;

Apresentação de uma razão cientificamente válida que justifique, inequivocamente, que a afirmação

III)

é verdadeira

Total •••• 100

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Referências

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