CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - CCET
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE
PETRÓLEO – PPGCEP
TESE DE DOUTORADO
ENTROPIA DE TSALLIS APLICADA À INVERSÃO SÍSMICA
IGO PEDRO DE LIMA
ORIENTADOR: Prof. Ph.D. João Medeiros de Araújo
Natal / RN
Março / 2021
ENTROPIA DE TSALLIS APLICADA À INVERSÃO SÍSMICA
Natal / RN
Março / 2021
IGO PEDRO DE LIMA
ENTROPIA DE TSALLIS APLICADA À INVERSÃO SÍSMICA
Tese de doutorado apresentada ao programa de Pós Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo – PPGCEP da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pré-requisito parcial para a obtenção do título de Doutor em Ciência e Engenharia de Petróleo.
Aprovado em 10 de março de 2021.
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Prof. Dr. João Medeiros de Araújo
Orientador - UFRN
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Prof. Dr. Gilberto Corso
Membro Interno – UFRN
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Prof. Dr. Claudionor Gomes Bezerra
Membro Interno - UFRN
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Prof. Dr. Marcos Vinicius Candido Henriques
Membro Externo - UFERSA
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Prof. Dr. Thiago Rafael da Silva Moura
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Elaborado por Raimundo Muniz de Oliveira - CRB-15/429 Lima, Igo Pedro de.
Entropia de Tsallis Aplicada à Inversão Sísmica / Igo Pedro de Lima. - 2021.
90f.: il.
Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP, Natal/RN, 2021.
Orientador: PhD. Joao Medeiros de Araujo.
1. Máxima verossimilhança - Tese. 2. Q-gaussiano - Tese. 3. Imageamento sísmico - Tese. 4. Marmousi - Tese. 5. Método l-BFGS - Tese. I. Araujo, Joao Medeiros de. II. Título.
LIMA, Igo Pedro – Entropia de Tsallis aplicada à Inversão Sísmica. Tese de Doutorado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia do Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Física Aplicada à Exploração e à Produção de Petróleo e Gás Natural (FAP), Natal-RN, Brasil.
Orientador: Prof. Ph.D. João Medeiros de Araújo
RESUMO
A crescente demanda energética mundial tem exigido cada vez mais recursos oriundos do petróleo, nesse sentido os reservatórios de “fácil exploração e produção” estão se exaurindo. Isso tem levado a inúmeras pesquisas que possibilitem sanar essas carências. Empresas do setor petrolífero tem investido em técnicas que ajudam na localização e perfuração de poços. Uma das técnicas empregadas na exploração do petróleo é a inversão pós-empilhamento. Aqui estudamos o papel da estatística generalizada de Tsallis na teoria do problema inverso. Esse por sua vez é formulado como um problema de otimização que visa estimar os parâmetros físicos de subsuperfície a partir de observações indiretas e parciais. Em abordagens convencionais, a função misfit que será minimizada baseia-se na distância dos mínimos quadrados entre dados reais e dados modelados, supondo que os ruídos sigam uma distribuição gaussiana, porém, em muitas situações reais isso não acontece e o erro normalmente é não gaussiano, o que faz essa técnica falhar. Nosso trabalho estudou a função desajuste com base em distribuições não gaussianas. A 𝑞-distribuição gaussiana associada ao Princípio da Entropia Máxima no formalismo de Tsallis. Propormos e testamos nosso método em um problema inverso de dados geofísicos, a inversão post-stack (PSI), que visa estimar a refletividade de subsuperfície (parâmetro físico) e resultados mostram que nosso método (𝑞-PSI) supera o PSI convencional, em especial com dados ruidosos não gaussianos.
Palavras-chave Entropia de Tsallis, Máxima verossimilhança, 𝑞-gaussiano, problemas inversos, imageamento sísmico, Marmousi, Método l-BFGS.
ABSTRACT
The growing global energy demand has increasingly demanded resources from oil, in this sense, the “easy exploration and production” reservoirs are running out. This has led to numerous studies that make it possible to remedy these deficiencies. Companies in the oil sector have invested in techniques that help in locating and drilling wells. One of the techniques used in oil exploration is post-stacking inversion. Here we study the role of Tsallis' generalized statistics in the inverse problem theory. This method is formulated as an optimization problem that aims to estimate the physical subsurface methods from indirect and partial permissions. In conventional approaches, the misfit function that will be minimized is based on the distance of the least squares between real data and modeled data, assuming that the noises follow a Gaussian distribution, however, in many real situations this does not happen and the error is usually non-Gaussian, which makes this technique fail. Our work studied the misfit function based on non-Gaussian distributions. The Gaussian 𝑞-distribution associated with the Maximum Entropy Principle in Tsallis' formalism. We propose and test our method on an inverse geophysical data problem, the post-stack inversion (PSI), which aims to estimate subsurface reflectivity (physical parameter) and results show that our method (𝑞-PSI) surpasses the conventional PSI, especially with noisy non-Gaussian data.
Keywords: Tsallis Entropy, Maximum likelihood, 𝑞-gaussian, inversion problems, seismic imaging, Marmousi, l-BFGS Method.
DEDICATÓRIA
A Deus, meu criador e minha força, a Jesus Cristo meu Senhor e Salvador e ao Espírito Santo. Aos meus Pais, Zé Duda (José de Arimateia) e a minha amada e saudosa mãe, Fátima Pedro (Maria do Rosário – in memoriam), eles me ensinaram o caminho do bem, me deram todo amor e cuidado, sempre apoiaram minhas decisões e atitudes. A minha esposa Emilliana Ketryn, ao nosso pequeno Gael Souza, são os amores da minha vida. Aos meus irmãos, Iago, Idesio e Kelle, e a todos que torcem hoje e sempre pelo meu crescimento.
AGRADECIMENTOS
Ao Professor e Orientador João Medeiros de Araújo, que me ajudou imensamente ao longo dessa trajetória, sempre compreensivo, sem ele nada disso seria possível. Também agradeço ao Sergio Luiz E. F. da Silva, sua ajuda foi fundamental, a você o meu muito obrigado. Grato ao Prof. Gilberto Corso, pela grande colaboração, obrigado. Ao amigo Thiago Rafael, pelas boas conversas no laboratório, incentivos, cafés, enfim, sou grato a Deus pela vida de cada um de vocês.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte, ao PPGCEP e ao PPGFIS, e seus professores, por compartilhar novos conhecimentos.
A CAPES, pela bolsa de estudos concedida e ao grupo de Bolsistas CAPES (facebook) pelas resenhas.
Sem citar nomes agradeço a todos que direta e indiretamente me ajudaram, torcem por mim, muito obrigado.
ÍNDICE
1 Introdução ... 2
2 Estatística de Tsallis ... 6
2.1 Introdução ... 6
2.2 Estatística de Tsallis - considerações ... 7
2.3 Propriedades inerentes a Estatística de Tsallis ... 11
2.3.1 Não-negatividade ... 11
2.3.2 Extremos em probabilidades iguais ... 11
2.3.3 Expansibilidade ... 12 2.3.4 Não-aditividade (extensividade) ... 12 2.3.5 Convexidade e Concavidade ... 13 3 Inversão Sísmica ... 15 3.1 Introdução ... 15 3.2 Inversão Sísmica ... 15
3.2.1 Inversão Sísmica do tipo Recursiva... 18
3.2.2 Inversão Sísmica do tipo Baseada em Modelos ... 20
3.3 Inversão Pré-Empilhamento e Pós-Empilhamento ... 21
3.4.1 O Problema Direto ... 26
3.4.2 O Problema Inverso ... 28
4 A Estrutura de Tsallis e a inversão sísmica ... 31
4.1 Introdução ... 31
4.2 A estrutura de Tsallis e a inversão sísmica ... 32
4.2.1 A distribuição 𝒒-Gaussiana e a Entropia máxima de Tsallis ... 33
4.2.2 A função 𝒒-misfit ... 35
4.2.3 Inversão Pós-Empilhamento como um problema de otimização local ... 38
4.2.4 O Método BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) ... 39 5 Experimentos e resultados ... 41 5.1 Os códigos MATLAB ... 41 5.2 Resultados numéricos ... 43 6 Conclusões ... 60 Referências Bibliográficas ... 61 Apêndice ... 71
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.1. Classificação – métodos de inversão sísmica... 16
Figura 3.2. Método Direto x Inverso. ... 17
Figura 3.3. Esquematização do problema direto. ... 27
Figura 3.4. Esquematização do problema inverso acústico. ... 28
Figura 4.1. Ilustração de um erro de distribuição gaussiana. ... 31
Figura 5.1. Ilustração da sequência do código modelling... 41
Figura 5.2. Ilustração da sequência do código inversion. ... 42
Figura 5.3. Modelo de impedância acústica - Marmousi. ... 44
Figura 5.4. Corte do Marmousi - modelo de impedância acústica. ... 45
Figura 5.5. Modelo de refletividade a partir do modelo de impedância acústica. ... 46
Figura 5.6. Modelo de refletividade real/verdadeiro comparativo. ... 47
Figura 5.7. Fonte sísmica - Ricker wavelet. ... 47
Figura 5.8. Dado real (dado observado) sintético sem ruído. ... 48
Figura 5.9. Dado real (dado observado) sintético com ruído gaussiano... 48
Figura 5.10. Modelo de impedância acústica (a) e modelo de refletividade (b). ... 49
Figura 5.11. Dados observados pós-empilhamento: 1º cenário - dados sem ruídos (a) e 2º cenário - dados com ruídos (b). ... 50
Figura 5.12. Resultado das inversões para o 1º cenário: modelos de refletividade para o 𝑞-PSI com 𝑞 = 0.3 (a), 𝑞 = 0.5 (b), 𝑞 = 0.7 (c), 𝑞 = 0.9 (d), PSI convencional (e), e 𝑞-PSI com 𝑞 = 1.1 (f), 𝑞 = 1.3 (g), 𝑞 = 1.5 (h), 𝑞 = 1.7 (i), 𝑞 = 1.9 (j), 𝑞 = 2.1 (k), 𝑞 = 2.3 (l), 𝑞 = 2.5 (m), 𝑞 = 2.7 (n), 𝑞 = 2.9 (o). ... 51
Figura 5.13. Resultado das inversões para o 2º cenário: modelos de refletividade para o 𝑞-PSI com 𝑞 = 0.3 (a), 𝑞 = 0.5 (b), 𝑞 = 0.7 (c), 𝑞 = 0.9 (d), PSI convencional (e), e 𝑞-PSI com 𝑞 = 1.1 (f), 𝑞 = 1.3 (g), 𝑞 = 1.5 (h), 𝑞 = 1.7 (i), 𝑞 = 1.9 (j), 𝑞 = 2.1 (k), 𝑞 = 2.3 (l), 𝑞 = 2.5 (m), 𝑞 = 2.7 (n), 𝑞 = 2.9 (o). ... 52
Figura 5.14. Convergência: (a) 1º cenário, (b) 2º cenário para casos de 1 < 𝑞 < 3. ... 55
ÍNDICE DE TABELAS
Capítulo I
Introdução
1 Introdução
Nessas últimas décadas a indústria petrolífera tem concentrado esforços em melhorar métodos de resolução de problemas ligados aos diversos cenários do ramo. Aqui destacamos as dificuldades geológicas atuais, a exemplo disso, o modelamento de reservatórios de hidrocarbonetos como do pré-sal no Brasil, que possuem geologia complexa, o que acarreta em maior dificuldade de imageamento, caracterização dos reservatórios, dentre outros. Dificuldades acentuadas que desafiam cada vez mais pela sua complexidade e nesse sentido a inversão pós-empilhamento está entre os métodos que auxiliam na caracterização desses reservatórios.
Nesse sentido pesquisas tem sido realizadas com intuito de melhorar as técnicas já existentes. Recentemente, a entropia não extensiva de Tsallis (TSALLIS, 1988) tem sido aplicada na descrição e análise de muitos fenômenos complexos, que até então a mecânica estatística padrão se mostra inadequada para abordar (BEKENSTEIN, 1973; TSALLIS, 1995a, 1995b). O fato dos dados observacionais serem melhor descritos na estrutura de Tsallis faz com que essa teoria tenha sucesso (PICOLI et al., 2009). Nesse cenário vemos que as distribuições do tipo não gaussianas, que aparecem com o (Maximum Entropy Principle - MEP) Princípio da Entropia Máxima (JAYNES, 1957a, 1957b) quando associadas à entropia de Tsallis (TSALLIS, 1988; TSALLIS; MENDES; PLASTINO, 1998) conseguem explicar muitas características de sistemas complexos, como fenômenos sem escalas (ABE; SUZUKI, 2005; SILVA et al., 2006) e correlações de longo alcance (DU, 2004).
A estatística de Tsallis surgiu como extensão da mecânica estatística padrão, que é baseada na entropia de Boltzmann-Gibbs-Shannon (BGS). Nessa linha, as aplicações bem-sucedidas da entropia de Tsallis nos motivaram a investigar a ferramenta matemática por trás dessa estrutura. Em nosso estudo incluímos a estatística de Tsallis na teoria do problema inverso, que se configura um importante campo da geofísica (MENKE, 2012), física aplicada (AYÓN-BEATO et al., 2000), dentre outras áreas.
De maneira simplificada um problema inverso consiste na aquisição de informações acerca dos parâmetros físicos, partindo de observações indiretas (MENKE, 2012;
TARANTOLA, 2005). Para que isso seja possível, formulamos o problema inverso como um problema de otimização, onde visamos minimizar a diferença entre os dados modelados e os dados observados (resíduos ou erros), nos quais a função misfit (desajuste), usualmente, se baseia na distância dos mínimos quadrados dos dados residuais (TARANTOLA, 2005). Ressaltamos que os problemas inversos são naturalmente mal condicionados no sentido de Hadamard (HADAMARD, 1902), e isso implica em soluções não únicas. Dessa forma, uma pequena perturbação nos dados observados pode afetar de maneira bastante significativa a busca pelo mínimo global da função misfit (WANG, 2016).
Nesta tese, bem como em nosso artigo (LIMA et al., 2020) que embasa o estudo, exploramos um novo método na resolução de problema inverso de dados geofísicos, nele usamos a entropia de Tsallis e uma abordagem de máxima verossimilhança. Esse novo formalismo nos permite realizar a inversão de dados sísmicos visando estimar parâmetros físicos de subsuperfície, denominado de (PSI) inversão pós-empilhamento (YILMAZ, 2000). A metodologia PSI objetiva fundamentalmente a estimação da refletividade de estruturas do subsolo, minimizando a diferença entre os dados sísmicos observados (dados reais) e os dados modelados (sintéticos) usando a função de desajuste (função misfit) (YILMAZ, 2000; KARSL1; GÜNEY; SENKAYA, 2017). A função misfit foi construída aplicando-se o princípio máxima de verossimilhança (TARANTOLA, 2005; FERRARI; WANG, 2010) para a distribuição de probabilidade 𝑞-gaussiana, obtida através do Princípio da Entropia Máxima (MEP) para entropia de Tsallis (TSALLIS; MENDES; PLASTINO, 1998; PRATO; TSALLIS, 1999; SATO, 2010). Os resultados do nosso trabalho mostram que o PSI baseado na estatística de Tsallis (𝑞-PSI) é uma poderosa ferramenta na reconstrução de imagens sísmicas (subsuperfície), especialmente em situações com dados ruidosos. Nossa proposta supera a abordagem convencional do PSI porque o ruído presente nos dados dificilmente é gaussiano (AMUNDSEN, 1991).
Para melhor divisão de nosso estudo, esta tese é organizada em seis capítulos, sendo a introdução referente ao Capítulo I. No capítulo II apresentamos a Estatística de Tsallis, alguns aspectos gerais e principais propriedades. No capítulo III, abordamos a parte de Inversão Sísmica e suas principais características, limitando-se ao que é mais importante em nosso trabalho. O Capítulo IV falamos do novo formalismo, detalharemos nosso trabalho em função da 𝑞-entropia e inversão sísmica. O Capítulo V apresentamos os resultados numéricos e discussões relativas ao estudo do processo, fundamentada na pesquisa e simulações realizadas
em nosso artigo (LIMA et al., 2020). Por fim, o Capítulo VI abordamos as conclusões que foram obtidas neste trabalho.
Capítulo II
Estatística de Tsallis
2 Estatística de Tsallis
Neste capítulo são descritos alguns conceitos fundamentais ou aspectos gerais necessários para um bom entendimento da Entropia de Tsallis, também chamada de Estatística de Tsallis, que versa sobre Mecânica Estatística Não-Extensiva.
2.1 Introdução
Em uma passagem na literatura é possível constatarmos que houve um incremento significativo no estudo de propriedades de sistemas físicos, que por sua vez não podiam ser descritos em sua totalidade através da Mecânica Estatística proposta por Boltzmann-Gibbs (BG). Contudo, em 1988 surgiu uma luz nesse cenário, quando Constantino Tsallis propôs uma possível generalização da chamada Entropia de BG, o que possibilitaria uma forma de descrever tais sistemas. Originalmente, a generalização da entropia se mostrou não-extensiva, o que resultou no nome Mecânica Estatística não-extensiva. Em seu estudo, Tsallis relacionou fractalidade com a entropia em um dado sistema e nesse contexto, a nova entropia poderia ser expressa da seguinte forma:
𝑆𝑞= 𝑘 𝑞 − 1(1 − ∑ 𝑝𝑖 𝑞 𝑤 𝑖=1 ) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.1)
Ressaltando que, para 𝑞 = 1 a equação acima deve retornar ao caso padronizado de BG, e que a normalização se dá através do ∑𝑖 𝑝𝑖. E 𝑘 é a constante de Boltzmann.
Em um cenário atual, diversos pesquisadores têm interesse na Estatística de Tsallis, com aplicações em diversas áreas do conhecimento como engenharias (FABBRI, 2014), matemática (SUYARI, 2004; JÁUREGUI, 2011), também em geofísica (FREITAS et al., 2013), física (AYÓN-BEATO et al., 2000), sismologia (DA SILVA; JULIÀ; BEZERRA, 2017), imagem biomédica (BERTERO; PIANA, 2006), aprendizado de máquina (PRATO; ZANNI, 2008), etc. A entropia de Tsallis possui semelhança com as formalidades matemáticas da Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs e tem uma estrutura física bastante
ampla, o que faz ganhar espaço em função de limitações nos padrões da Mecânica Estatística. Neste capítulo daremos ênfase a Estatística de Tsallis.
2.2 Estatística de Tsallis - considerações
No ano de 1988, Constantino Tsallis propusera algo que viria dar novos rumos à Mecânica Estatística, especificamente quando se tratava de descrever sistemas físicos cujo formalismo da época não permitia descrevê-los em sua totalidade. Sendo assim, Tsallis propôs uma generalização da formulação estatística de Boltzmann-Gibbs, abordando uma nova fórmula de calcular a entropia de um determinado sistema termodinâmico, cuja equação pode ser vista na Equação (2.1), sendo 𝑘 uma constante positiva (Boltzmann), 𝑤 define a quantidade de microestados acessíveis, 𝑞 é denominado índice entrópico, onde o mesmo caracteriza o chamado grau de não-extensividade do sistema e 𝑝𝑖 é a probabilidade desse
sistema se encontrar no microestado 𝑖.
Ressaltamos que essa formulação de Tsallis retoma a entropia de Shannon no caso de o índice entrópico ser igual a 1 (𝑞 = 1), conforme mostrado a seguir.
𝑆1 = lim𝑞→1𝑆𝑞 = lim 𝑞→1 𝑘 𝑞 − 1(1 − ∑ 𝑝𝑖 𝑞 𝑤 𝑖=1 ) = lim 𝑞→1𝑘 1 − ∑𝑤𝑖=1𝑝𝑖[(𝑞 − 1)ln 𝑝𝑖] 𝑞 − 1
A partir desse ponto, usamos a Regra de L’Hôpital em função de uma indeterminação matemática presente na aplicação do limite, sendo assim (MARQUES, 2014):
= lim 𝑞→1𝑘 − ∑(𝑝𝑖)ln(𝑝𝑖)𝑒𝑥𝑝[(𝑞 − 1)ln(𝑝𝑖)] 𝑤 𝑖=1 (𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿′𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) = −𝑘 ∑(𝑝𝑖)ln(𝑝𝑖) 𝑤 𝑖=1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.2)
Para casos em que temos variáveis contínuas, como por exemplo uma função densidade de probabilidade 𝑝, a 𝑞-entropia 𝑆𝑞 será definida como:
𝑆𝑞= 𝑘
1 − ∫+∞𝑝(𝑥)𝑞𝑑𝑥 −∞
𝑞 − 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.3)
Vale lembrar que, para casos nos quais o sistema possua a mesma probabilidade 𝑝𝑖
para todo 𝑖, tendo 𝑤 como sendo o total de microestados (acessíveis), é possível descrever, ou seja, reorganizar 𝑝𝑖 = 1
𝑤, isso implica que a probabilidade de um determinado sistema, que
está em um determinado microestado, é igual para qualquer que seja o microestado, pois todos são equiprováveis. Sendo assim, podemos reorganizar a Equação (2.1) da seguinte forma, usando 𝑝𝑖 = 1 𝑤. 𝑆𝑞= 𝑘1 − 𝑤 ( 1 𝑤) 𝑞 𝑞 − 1 𝑆𝑞= 𝑘 1 − 𝑤1−𝑞 𝑞 − 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.4)
Se usarmos a Equação (2.4) para o caso de 𝑞 = 1 e novamente lançarmos mão da Regra de L’Hôpital afim de contornar a indeterminação matemática, obteremos:
𝑆1 = lim 𝑞→1𝑆𝑞 = lim 𝑞→1𝑘 1 − 𝑤1−𝑞 𝑞 − 1 = lim 𝑞→1𝑘 1 − 𝑒𝑥𝑝[(1 − 𝑞)ln (𝑤)] 𝑞 − 1 = lim 𝑞→1𝑘 − (−ln (𝑤))𝑒𝑥𝑝[(1 − 𝑞)ln (𝑤)] = 𝑘 ln (𝑤) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.5)
Podemos observar que, tomando o limite do índice entrópico tendendo a um, 𝑞 = 1, a Equação (2.4) dá origem a Equação (2.5), que por sua vez também é conhecida na literatura como sendo o Princípio de Boltzmann.
A maneira como Tsallis propõe a entropia nos leva ao chamado princípio de não-extensividade de um sistema termodinâmico, uma vez que a entropia apresentada na Equação (2.1) não condiz com a propriedade de aditividade, que será mais detalhada na subseção 2.3.4, na qual, em termos de entropia, um dado sistema composto deverá ser a soma das entropias de cada subsistema, adicionando-se um termo proporcional à entropia de cada subsistema que comporia o sistema principal (BEDIAGA; CURADO; MIRANDA, 2000). Matematicamente podemos obter:
𝑆𝐴+𝐵 = 1 − ∑ 𝑝𝐴𝐵,𝑘
𝑞 𝑘
=1 − ∑ ∑ 𝑝𝐴,𝑖 𝑞 𝑝𝐵,𝑗𝑞 𝑗 𝑖 𝑞 − 1 =2 − ∑ 𝑝𝐴,𝑖 𝑞 − ∑ 𝑝𝑗 𝐵,𝑗𝑞 − (1 − ∑ 𝑝𝐴,𝑖 𝑞 𝑖 )(1 − ∑ 𝑝𝐵,𝑗 𝑞 𝑗 ) 𝑖 𝑞 − 1 =1 − ∑ 𝑝𝐴,𝑖 𝑞 𝑖 𝑞 − 1 + 1 − ∑ 𝑝𝑗 𝐵,𝑗𝑞 𝑞 − 1 − (𝑞 − 1) 1 − ∑ 𝑝𝑖 𝐴,𝑖𝑞 𝑞 − 1 1 − ∑ 𝑝𝑗 𝐵,𝑗𝑞 𝑞 − 1 𝑆𝐴+𝐵 = 𝑆𝑞𝐴+ 𝑆𝑞𝐵+ (1 − 𝑞)𝑆𝑞𝐴𝑆𝑞𝐵 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.6)
Ressaltamos aqui que a entropia de Tsallis é do tipo não-aditiva, e que tais sistemas, uma vez que obedecem a essa estatística, normalmente são denominados de não extensivos. Na Equação (2.6) acima, se tomarmos 𝑞 = 1 é simples retomarmos o caso padrão de BG para entropia aditiva, Equação (2.7) (TSALLIS, 1999; TSALLIS, 1988; CURADO; TSALLIS, 1991; BRITO, 2017).
𝑆𝐴+𝐵 = 𝑆𝐴+ 𝑆𝐵 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.7)
Utilizando o padrão não-extensivo, ao generalizarmos a função exponencial para uma função do tipo 𝑞-exponencial, essa será dada por:
𝑒𝑞𝑥 = [1 + (𝑞 − 1)𝑥]1/(𝑞−1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0
Lembrando que a função 𝑞-exponencial é a inversa da função 𝑞-logaritma. Novamente tomando 𝑞 = 1, isso irá reduzir 𝑞-exponencial em uma função apenas exponencial, 𝑒1𝑥= 𝑒𝑥. Se fizermos a inversão do que fora apresentado na Equação (2.8), teremos:
ln𝑞(𝑥) = 𝑥𝑞−1− 1 𝑞 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1 ln𝑞(𝑥) = 𝑥1−𝑞− 1 1 − 𝑞 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.9)
A equação acima representa a 𝑞-logaritma (TSALLIS, 1999; TSALLIS, 1994; MEGIAS; MENEZES; DEPPMAN, 2013).
2.3 Propriedades inerentes a Estatística de Tsallis
2.3.1 Não-negatividade
Dado um determinado sistema que estejamos a resolver, se existir certeza sobre o estado desse sistema, podemos afirmar que um dos possíveis resultados do mesmo será igual a 1 (um), em termos de entropia, e que todas as demais possibilidades de resposta irão se anular. Por conseguinte, a entropia 𝑆𝑞 será anulada para qualquer 𝑞. No entanto, para o caso de não existir certeza quanto ao estado do sistema, no mínimo duas probabilidades serão menores que 1 (um), porém, maiores que 0 (zero). Dessa maneira, 1
𝑝𝑖 > 1, e o lnq( 1
𝑝𝑖) > 0, ∀𝑖,
consequentemente surge 𝑆𝑞 > 0 para quaisquer valores de 𝑞.
2.3.2 Extremos em probabilidades iguais
Consideremos um caso onde as probabilidades 𝑝𝑖 sejam iguais, logo 𝑆𝑞 deverá ser um extremo, isso acontece pelo mesmo motivo em casos de entropia BG. Se tomamos 𝑞 > 0 e
𝑞 < 0, 𝑆𝑞 é máximo e mínimo, respectivamente (TSALLIS, 2009), e a entropia 𝑆𝑞 se tornará
constante para o caso onde 𝑞 = 0. Logo 𝑆0 = 𝑘(𝑤 − 1) (∀{𝑝𝑖}).
2.3.3 Expansibilidade
É possível concluirmos diretamente que 𝑆𝑞 pode ser expandido, sendo assim,
𝑆𝑞(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑤, 0) = 𝑆𝑞(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑤) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.10)
A referida propriedade pode ser verificada quando tomamos 𝑞 > 0 para a Equação (2.1). Já para casos onde temos 𝑞 < 0 a soma ocorrerá apenas para termos cuja probabilidade do estado seja positiva, e essa definição é estabelecida por Tsallis (TSALLIS, 2009).
2.3.4 Não-aditividade (extensividade)
Um interessante resultado das proposições da teoria de Tsallis é que ela viola o princípio da aditividade, que é estabelecido em um postulado da termodinâmica (3º postulado). Para uma melhor compreensão dessa propriedade vamos tomar dois subsistemas independentes 𝐴 e 𝐵, sendo assim, quando o conjunto de probabilidades satisfazem 𝑝𝑖𝑗𝐴+𝐵 = 𝑝𝑖𝐴𝑝𝑗𝐵 para quaisquer 𝑖𝑗, então a entropia generalizada é expressa por:
𝑆𝑞(𝐴 + 𝐵) 𝑘 = 𝑆𝑞(𝐴) 𝑘 + 𝑆𝑞(𝐵) 𝑘 + (1 − 𝑞) 𝑆𝑞(𝐴) 𝑘 𝑆𝑞(𝐵) 𝑘 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.11)
Onde a não-extensividade é expressa pelo termo (1 − 𝑞)𝑆𝑞(𝐴)
𝑘 𝑆𝑞(𝐵)
𝑘 , ou seja, a
não-aditividade(extensividade) advém dessa propriedade quando admitimos 𝑞 ≠ 1, nesse caso 𝑆𝑞
surge como não-aditiva/extensiva. Ressaltamos aqui que, uma vez dada 𝑆𝑞 não-negativa para sistemas independentes, onde 𝑆𝑞(𝐴 + 𝐵) ≥ 𝑆𝑞(𝐴) + 𝑆𝑞(𝐵), no caso de 𝑞 < 1 e para 𝑞 > 1
onde 𝑆𝑞(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑆𝑞(𝐴) + 𝑆𝑞(𝐵), de maneira consistente os casos são denominados na
literatura de super-aditivo e sub-aditivo, respectivamente para 𝑞 < 1 e 𝑞 > 1.
2.3.5 Convexidade e Concavidade
Consideremos a Equação (2.4) para uma distribuição uniforme, e também que a derivada de segunda ordem é usada para estimar a convexidade e concavidade, e que essa será negativa, para 𝑞 > 0, e positiva para o caso de 𝑞 < 0, assim, para 𝑞 > 0 obtemos a Equação (2.12), logo abaixo: 𝑝𝑖′′[1 − (𝑝𝑖′′)𝑞−1] 𝑞 − 1 > 𝜆 𝑝𝑖[1 − (𝑝𝑖)𝑞−1] 𝑞 − 1 +(1 − 𝜆)𝑝𝑖 ′[1 − (𝑝 𝑖′)𝑞−1] 𝑞 − 1 (∀𝑖, 0 < 𝜆 < 1) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.12)
Para o caso de aplicarmos o somatório em ambos lados, obteremos:
𝑆𝑞(𝑝𝑖′′) > 𝜆𝑆𝑞(𝑝𝑖) + (1 − 𝜆)𝑆𝑞(𝑝𝑖′) (𝑞 > 0) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2.13)
Ressaltamos que as desigualdades serão invertidas para o caso de 𝑞 < 0, assim, prova-se que 𝑆𝑞 é côncava e convexa para 𝑞 > 0 e 𝑞 < 0, respectivamente. Esta propriedade tem importância fundamental para a construção de uma mecânica estatística.
Evidenciamos aqui a importância que a estatística de Tsallis tem ganhado nos últimos tempos, sendo usada em diversas aplicações, uma vez que a mesma vem como solução para explicar muitos fenômenos que anteriormente não eram devidamente caracterizados pela mecânica estatística padrão. Em nosso trabalho, a estatística de Tsallis será usada no contexto de estimadores de máxima verossimilhança, onde assumimos que a lei de erro considerada como sendo a mais adequada é uma Gaussiana deformada, também denominada 𝑞-gaussiana e não uma Gaussiana padrão.
Capítulo III
Inversão Sísmica
3 Inversão Sísmica
Para este capítulo, faremos uma abordagem mais geral sobre a temática de Inversão Sísmica, importante conceito na área da geofísica e que tem relevância no cenário da exploração de petróleo.
3.1 Introdução
Podemos denominar inversão sísmica ou registro sísmico, como o processo no qual é possível determinar as características físicas das rochas ou fluidos (GUILLEN, 2015). A inversão pode ser vista como processo que estima parâmetros de entrada de um determinado sistema, isso através de um estudo onde analisamos o comportamento das chamadas variáveis de saída, daí o termo inversão, ou seja, trabalhamos assim para que possamos, através de processamento, transformar um conjunto de traços sísmicos1 nas propriedades que os determinaram. Normalmente as variáveis que são estimadas são densidade, velocidade, refletividade, impedância, pois essas grandezas resultam em melhores estimativas no que diz respeito as propriedades de determinado reservatório (PENDREL, 2006).
3.2 Inversão Sísmica
Criada há mais de 40 anos, a Inversão Sísmica surgiu objetivando o uso de dados sísmicos que pudessem estimar propriedades dos reservatórios (OLDENBURG; SCHEUER; LEVY, 1983). Para se ter uma melhor noção de tempo, na década de 90 essas informações estavam sendo utilizadas tão somente para estruturação (estimar) dos reservatórios.
Não haviam regras no quesito distribuição de propriedades de rochas ou reservatórios, contudo, já se sabia que os eventos dos traços sísmicos adquiridos, ocasionados pelos fenômenos físicos das rochas, viriam a ser usados na obtenção de informações de subsuperfície de reservatórios. Para que isso fosse possível se fez necessário o desenvolvimento e aprimoramento de técnicas que viessem permitir encontrar correlações
entre os dados sísmicos adquiridos e as propriedades das rochas (GUILLEN, 2015; SCHULTZ, 1994).
Com a necessidade foram estudados e desenvolvidos métodos que estimam propriedades físicas/elásticas partindo-se de dados sísmicos adquiridos, sendo também preciso agrupá-los em dois grupos principais, a depender da forma como os dados serão utilizados, sejam pre-stack ou post-stack, também chamados de dados pré-empilhamento e pós-empilhados, que serão abordados mais à frente. A classificação pode ser vista na Figura 3.1 a seguir.
Figura 3.1. Classificação – métodos de inversão sísmica.
Fonte: O autor (baseado em (GUILLEN, 2015)).
Podemos dizer que o objetivo principal da inversão sísmica é converter dados de reflexão sísmica em propriedades (quantitativas) das rochas, isso quer dizer que é preciso calcular os registros de impedância acústica em cada ponto comum em profundidade (CMD – Common Depth Point) (SILVA, 2012).
Métodos de Inversão Sísmica Inversão Pós-Empilhada Inversão baseada em modelos Inversão recursiva
Banda limitada Picos esparze
Inversão de ondas Inversão Pré-Empilhada Métodos lineares Métodos não lineares
É nítido perceber que a reflexão sísmica atualmente é o principal método utilizado para delinear estruturas geológicas em subsuperfície. Contudo, a sísmica de reflexão está atrelada a informações que vão além do ponto onde se encontram os refletores, uma vez que há contrastes nas impedâncias acústicas e esses podem ser visualizados como refletores de menor ou maior amplitude, dessa forma, tais amplitudes irão correlacionar-se com informações de aquisição de um poço, por exemplo. Na literatura também podemos encontrar a definição do termo inversão sísmica como sendo técnicas de correlações entre propriedades (acústicas) de subsuperfície e superfície (RUSSELL, 1988; SOUZA, 2018).
Podemos considerar inversão sísmica como sendo o processo inverso à modelagem sísmica direta, Figura 3.2 abaixo. Atualmente, de modo geral, geofísicos, físicos, tem preferido utilizar dados de impedância acústica como sendo a principal base de dados para se interpretar. Quando comparamos com uma resposta sísmica normal, a impedância se apresenta como sinal simplificado. Ao utilizarmos impedância acústica obtemos vantagens como diminuição do Efeito Tuning2, uma vez que a espessura das camadas, que são resolvidas
via impedância acústica, é bem mais fina quando comparadas a camadas de amplitude sísmica. Outra vantagem, quando comparados a utilidade da amplitude sísmica é que os dados de impedância são mais detalhados e precisos quando interpretados de maneira estratigráfica.
Figura 3.2. Método Direto x Inverso.
Fonte: O autor (baseado em (BARCLAY, 2008)).
A inversão sísmica é usada em diversas áreas do conhecimento, também em disciplinas de Produção e Exploração, aplicando-se também num espectro bastante amplo em termos de escalas e níveis de complexidade, como por exemplo classificação litológica, previsões de saturação de fluidos, correlações de propriedades físicas de rochas como permeabilidade, porosidade, etc.
3.2.1 Inversão Sísmica do tipo Recursiva
Abordada na literatura como sendo um dos métodos mais entendíveis de inversão sísmica, a recursiva está baseada em três pontos fundamentais, a seguir (RUSSELL, 1988):
1. Precisamos enxergar a terra como um amontoado de camadas rochosas de planos paralelos cujas propriedades são constantes;
2. O modelo convolucional é válido, e;
3. Devemos conhecer a impedância acústica para a primeira amostra da refletividade.
Tais pontos nos permitirão fazer uma modelagem da refletividade da terra, como uma função esparsa, que por sua vez difere de zero somente nas fronteiras das camadas. Podemos escrever a função de refletividade da seguinte maneira:
𝑟(𝑡) = ∑ 𝑟𝑘𝛿(𝑡 − 𝜏𝑘) 𝑛𝐿
𝑘=1
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.1)
para a equação acima, 𝑛𝐿 definimos como sendo o número total de camadas, 𝑟𝑘 define-se
como coeficiente de reflexão (entre duas camadas), 𝑘 define o número da camada em questão, enquanto 𝜏𝑘 mede o tempo de viagem (dupla) da camada 𝑘 até a superfície, e por fim 𝛿 é definido como impulso unitário.
A definição da impedância 𝑧, em termos acústicos, para uma determinada camada 𝑘 se dá pela equação:
𝑧𝑘 = 𝜌𝑘𝑣𝑘 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.2)
nesse caso, 𝑣𝑘 será, na camada 𝑘, a velocidade de compressão da onda, 𝑧𝑘 e 𝜌𝑘 são,
respectivamente, impedância acústica e densidade, e ambos são especificamente da camada 𝑘.
Uma estimativa da impedância em uma camada 𝑘 + 1 pode ser dada pela equação que se segue, após algumas considerações e adequações matemáticas, e lembrando que se dá em termos da impedância e refletividade da camada 𝑘, temos:
𝑧𝑘+1 = 𝑧𝑘(1 + 𝑟𝑘
1 − 𝑟𝑘) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.3)
Se fizermos uma expansão da Equação (3.3), com a impedância acústica em primeira camada e as refletividades (todas) em camadas antecedentes, obtemos a equação da inversão recursiva, Equação (3.4), e se tomarmos baixos coeficientes de reflexão, na razão de 𝑟 < 0,2, por exemplo, encontraremos resultados aproximados, conforme Equação (3.5).
𝑧𝑘+1 = 𝑧1∏ (1 + 𝑟𝑗 1 − 𝑟𝑗) 𝑘 𝑗=1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.4) ln(𝑧𝑘+1) ≈ ln(𝑧1) + 2 ∑ 𝑟𝑗 𝑘 𝑗=1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.5)
na Equação (3.5) é possível observar uma relação de quase linearidade entre o ln da impedância acústica e a refletividade.
Ressaltamos que, matematicamente a relação entre a refletividade e a impedância é dada através da Equação (3.6) (RUSSELL, 1988; STOLT; WEGLEIN, 1985):
𝑟(𝑡) =1 2
𝑑
𝑑𝑡[ln(𝑧(𝑡))] 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.6)
3.2.2 Inversão Sísmica do tipo Baseada em Modelos
Novamente lançamos mão da literatura, que considera o algoritmo da inversão sísmica baseada em modelos como sendo o estado da arte para inversão sísmica. Em resumo, esse modelo é usado para gerar dados sintéticos, os quais serão comparados com dados reais observados. Para que tais comparações e o modelo sejam aceitos como solução final, é necessário ser satisfatório a correspondência entre os dados sintéticos e os observados, para casos de não satisfação, digamos assim, o modelo deve ser alterado, recalculam-se os dados sintéticos para novas análises de correspondência. Uma vez que o procedimento é iterativo e baseia-se em modelo direto, ele é repetido até obtermos um resultado aceitável (SOUZA, 2018; SEN; STOFFA, 2013; MA, 2017).
Podemos definir a inversão sísmica baseada em modelos como sendo um processo de otimização. Nele buscamos um modelo que venha caracterizar, ou seja, explicar da melhor forma possível as observações. O misfit (desajuste) entre a modelagem sintética e os dados observados é utilizado como parâmetro de aceitabilidade para um modelo da terra (SEN; STOFFA, 2013). A seguir descreveremos os passos de um fluxo de trabalho, usando a inversão baseada em modelos (MA, 2017).
✓ 1º - Calibramos o perfil sônico a partir dos check-shots: esse processo consiste em fazer o casamento do tempo, sendo um associado ao perfil sônico, com relação ao tempo de viagem da onda sísmica, isso partindo de um check-shot, que nada mais é do que um tipo de dado sísmico em poço, cujo objetivo é medir o tempo de trânsito de uma dada onda sísmica (da superfície) até uma dada profundidade previamente conhecida.
✓ 2º - Selecionamos um traço sísmico nas proximidades do poço: a seleção desse traço próximo se deve por vários fatores, onde o mais importante deles é para criar um traço
sísmico sintético, objetivando estimar a wavelet que melhor venha a se adaptar ao dado, considerando o modelo convolucional.
✓ 3º - Fazemos a análise de amarração do poço: nesse processo comparamos um traço sintético com o dado real sísmico, assim, estimamos a relação entre os tempos de trânsito das ondas com as profundidades dos eventos (no perfil).
✓ 4º - Extraímos a wavelet partindo dos dados: aqui ressaltamos que a estimativa da wavelet, em si, tem sido um campo de pesquisa por muito tempo. Mesmo diante de muitas técnicas desenvolvidas, ainda é desafiador, uma vez que várias etapas do processo dependem diretamente de uma boa estimativa da wavelet.
✓ 5º - Calibramos a amplitude sísmica: quando olhamos para o dado sísmico, o valor usado na amplitude absoluta é arbitrário, depende do processamento, onde a mesma é modificada a cada fase. Ressaltamos a importância de manter uma constância na amplitude relativa (entre os picos), considerando um dado sísmico.
✓ 6º - Construímos um modelo de baixa frequência: tipicamente um dado sísmico possui frequências entre 10 e 80 Hz. A inversão, por si só, não é capaz de recuperar informações inferiores a esse intervalo. Para isso existem métodos de se construir um modelo de baixa frequência, um método bastante utilizado é a interpolação e extrapolação dos perfis de poços.
✓ 7º - Parametrizamos o algoritmo de inversão: a inversão possui vários estágios, onde cada um desses se faz necessários ajustamos parâmetros. Essa parametrização afeta diretamente na qualidade de nossa inversão, e a priori, não é possível definirmos os melhores parâmetros a serem utilizados.
✓ 8º - Fazemos a inversão do volume: nesse último estágio já preparamos os dados sísmicos e o volume (baixa frequência), estimamos a wavelet, e ajustamos os parâmetros. Nesse processo a interação humana é mínima, contudo, a depender do algoritmo utilizado, esse pode se tornar muito caro computacionalmente e demandar um longo tempo para sua realização.
3.3 Inversão Pré-Empilhamento e Pós-Empilhamento
Aqui abordaremos de maneira simplificada e sucinta as principais diferenças, bem como algumas características dos métodos de inversão pré/pós-empilhamento. O entendimento de ambos os métodos está muito interligado, sendo que o pós-empilhamento (post-stack) ajudará no entendimento do pré-empilhamento (pre-stack).
Utilizadas desde antes da década de 1960, as técnicas de empilhamento objetivam o aumento da razão sinal/ruído, através da adição de traços sísmicos. Surgiu como um método que buscava prover uma maneira prática de acrescentar, ou seja, aumentar a quantidade de traços empilhados (multiplicidade), isso tudo sem haver perdas no que se refere aos refletores, cujas posições eram devidamente corrigidas. Esse método foi denominado de ponto de reflexão comum (CRP – common reflection point) (CATALDO, 2015; MAINE, 1962).
Ressaltamos que existem diferentes tipos de inversão, porém cada uma inicia-se com traços sísmicos3 diferentes. Também podemos diferir os tipos de inversão em função do dado sísmico a ser utilizado, caso esse seja invertido antes do empilhamento4, o denominamos de pre-stack, de forma análoga, se for invertido após o empilhamento, chamamos de post-stack. Normalmente o stacking possui algumas características, produz um traço único cuja amplitude é igual a uma média do sinal (nos traços empilhados) e esse traço possui um ruído mínimo aleatório. Lembramos que o traço (resultante) empilhado é o retorno produzido pela reflexão incidente à normal, exatamente no ponto médio comum (CMP – Common MidPoint). Satisfeitas algumas condições, se faz a inversão com os dados empilhados (post-stack), caso contrário, onde temos amplitudes variando com o offset5 e as condições não são satisfeitas, realiza-se o empilhamento pre-stack (BARCLAY, 2008; ROCHA, 2013).
O post-stack tem como objetivo extrair informações de impedância acústica partindo dos dados sísmicos que foram, de modo prévio, empilhados preservando-se sua amplitude no processamento. Tal método pressupõe e baseia-se no raciocínio de que um traço pode ser modelado através de equação convolucional, baseada nos coeficientes de reflexão de incidência (verticais) (CATALDO, 2015; RUSSELL; HAMPSON, 1991).
Para entender melhor esse processo metodológico, supõe-se que podemos decompor os dados sísmicos através da Equação (3.7) a seguir, e o chamamos de modelo convolucional.
𝑠(𝑡) = 𝑟(𝑡) ∗ 𝑤(𝑡) + 𝑛(𝑡) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.7)
3 Função unidimensional (dimensão tempo ou profundidade) que fornece a variação da amplitude do sinal sísmico.
4 Uma das etapas do processamento, soma dos traços sísmicos.
Onde o traço sísmico denominamos de 𝑠(𝑡), 𝑟(𝑡) é chamada de refletividade da terra, a onda sísmica 𝑤(𝑡) e o ruído que surge nas medições o nomeamos de 𝑛(𝑡).
Os métodos de inversão convencionais buscam encontrar o termo 𝑟(𝑡) da refletividade da terra. Na Figura 3.2 já mostrada anteriormente, temos um comparativo dos métodos direto e inverso. Para o caso direto inicia-se com um modelo estimado (da terra), onde há convolução com a onda e tem como resultado o traço sísmico sintético. Já para o caso inverso, o processo tem origem no dado real, remove-se o efeito da ondícula, e assim, obtemos uma refletividade estimada. Novamente relembramos que esse processo é iterativo (direto/inverso), e tem por objetivo minimizar a diferença entre os dados reais e sintéticos.
A post-stack é bastante comum e utilizada para modelar reservatórios e suas características. Através dos modelos de impedância que esse fornece, pode ser possível estimar importantes propriedades que ajudam a caracterizar, ou seja, entender e analisar um reservatório, como por exemplo saturação de água, porosidade, pontos importantes na busca dos hidrocarbonetos. Um outro ponto importante e positivo nesse método é que ele requer menor esforço e poder de processamento computacional (CATALDO, 2015), também menor armazenagem de dados, isso normalmente o faz ser usado em primeiro caso, é mais barato e rápido se o compararmos aos métodos de inversão pré-empilhamento.
Usado na inferência quantitativa das propriedades rochosas, o post-stack usa dados de reflexão, obtidos através de aquisição sísmica, que irão capturar as ondas refletidas nas estruturas geológicas da terra. Numa abordagem convencional, o pós-empilhamento formula-se com um problema de otimização de mínimos quadrados (YILMAZ, 2000; KARSL1; GÜNEY; SENKAYA, 2017) cujo principal objetivo é minimizar a diferença entre os dados observados e modelados, para isso usamos a função misfit (desajuste), dada pela Equação (3.8) a seguir: min 𝑟 𝜙𝐺(𝑟) ≔ 1 2∑ (𝑑𝑖 𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑 𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 𝑇 𝑛 𝑖=1 (𝑑𝑖𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.8)
Onde 𝑟 é a refletividade do meio, 𝑡 é o tempo, 𝑑𝑜𝑏𝑠 e 𝑑𝑚𝑜𝑑 são os dados observados e modelados, respectivamente, 𝑛 representa o tamanho total do vetor de refletividade adquirido no levantamento sísmico e 𝑇 surge como um operador de transposição.
Com isso, os dados modelados são baseados na convolução entre a série de refletividade 𝑟(𝑡) e a fonte sísmica 𝑠(𝑡), logo (RUSSELL, 1988):
𝑑𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) = 𝑠(𝑡) ∗ 𝑟(𝑡) = 𝐺𝑟(𝑡) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.9)
Nessa equação, 𝐺𝑟(𝑡) representa a matriz computacional, e * é o operador de convolução.
O processo de pós-empilhamento dos mínimos quadrados determina uma solução, máxima a posteriori, que é usada na estimativa dos parâmetros do modelo. A partir de um ponto de vista probabilístico, com erros independentes e distribuídos de maneira análoga a uma distribuição de probabilidade gaussiana, por conseguinte, a minimização 𝜙𝐺(𝑟) equivale a maximização da probabilidade gaussiana, podendo ser vista na Equação (3.10) a seguir:
ℒ𝐺 ∝ exp (−1 2∑ (𝑑𝑖 𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑 𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 𝑇 𝑛 𝑖=1 (𝑑𝑖𝑚𝑜𝑑(𝑡, 𝑟) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.10)
Sabendo que o Princípio da Entropia Máxima (MEP) para a entropia de BGS (Boltzmann-Gibbs Shannon) é dado por (JAYNES, 1957a, 1957b):
𝑆(𝑝(𝑥)) = − ∫ 𝑝(𝑥) ln(𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.11)
∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.12)
∫ 𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (3.13)
Usando as condições restritivas apresentadas nas Equações (3.12) e (3.13), produzimos diretamente uma distribuição gaussiana na forma padrão, onde 𝑝(𝑥) é uma função de densidade de probabilidade. A restrição da Equação (3.12) aparece como condição de normalização, por outro lado, a Equação (3.13) restringe o segundo momento, logo a post-stack convencional maximiza a entropia BGS, desde que obedecidas as restrições impostas (LIMA et al., 2020).
O surgimento da inversão pre-stack se deu por necessidade, precisava-se extrair um número maior de informações dos dados sísmicos, pois haviam lacunas a serem preenchidas pelas questões ora não resolvidas pelo pós-empilhamento. As diferentes combinações de litologias e propriedades físicas das rochas podem fornecer um mesmo valor para a impedância acústica 𝑧, o que torna difícil a separação das classes. Um exemplo disso é que a impedância não consegue resolve uma ambiguidade, que existe entre porosidade dos folhelhos e carbonatos. Para casos assim, a informação de uma onda 𝑆, por exemplo, toma um papel importante na diferenciação de rochas não-reservatório ou reservatório (LI; DOWNTON; GOODWAY, 2003). A inversão post-stack fornece modelos de impedância 𝑧, enquanto isso, a pre-stack objetiva extrair informações confiáveis, ou seja, estimativas de velocidades das ondas 𝑃 e 𝑆6, e densidade 𝜌.
6 Ondas P são ondas compressionais, ou dilatacionais, que deslocam as partículas das rochas na mesma direção de propagação da energia. Ondas S são ondas cisalhantes ou transversais, deslocam as partículas do meio
3.4 Problema Direto & Problema Inverso
Um dos problemas centrais na geofísica é inferir sobre determinado sistema físico partindo de dados observados, onde supomos que tais dados são causados por esse determinado sistema. Tal contratempo, denominado problema de inversão, é amplamente abordado na geofísica e tem impacto relevante na busca por hidrocarbonetos.
Durante uma aquisição sísmica convencional, partindo de uma fonte, geramos campos de ondas que irão se propagar através das camadas geológicas da terra (subsuperfície), eventos do tipo difração, refração, reflexão, etc., serão registrados por receptores (hidrofones em mar, geofones em terra. Os dados coletados trazem consigo informações sobre amplitude, fase bem como tempo de viagem desses campos, e sendo assim requerem processamento e posterior interpretação, onde o objetivo é a caracterização e identificação de elementos estruturais do subsolo, propícios a acumulação de petróleo. Essa etapa de processamento inclui, dentre outros fatores, o processo de migração e inversão sísmica, que estão atrelados a capacidade de modelagem da propagação dos campos de ondas, na subsuperfície da terra, uma vez informados alguns parâmetros iniciais característicos do meio. Em aplicações geofísicas, podemos simular a propagação do campo de ondas (efeitos) partindo de determinado conjunto de parametrização que irá definir o meio, isso é conhecido como modelagem, sendo considerado um problema direto, que abordaremos no subtópico a seguir.
3.4.1 O Problema Direto
Podemos entender o problema direto como sendo uma simulação computacional, sendo essa simulação acerca de uma grandeza física determinada em um sistema. Para isso são fornecidos condições e parâmetros que caracterizam esse sistema, pois as leis que regem a física, de maneira geral, conseguem calcular grandezas que possam ser observadas, dados os parâmetros iniciais. Considerando constante a densidade do meio, em um problema sísmico direto, a simulação é feita através da Equação de Onda Acústica, nesse caso considerando uma distribuição em duas dimensões (2D) de velocidade (compressional) da propagação do campo de ondas, 𝑣𝑝(𝑥, 𝑧). Dessa forma imitamos a resposta (sísmica) relativa em função da
distribuição dessas velocidades. (MARTINS, 2015; AKI; RICHARDS, 2002; CHAPMAN, 2006).
Uma vez parametrizado o modelo, simula-se o campo de onda num determinado meio afim de observar os efeitos do campo, para isso são usados modelos matemáticos que relacionam os dados aos parâmetros. A Figura 3.3 esquematiza o problema direto para o caso acústico.
Figura 3.3. Esquematização do problema direto.
Fonte: O autor (baseado em (MARTINS, 2015)).
Lembramos que o modelo acústico é simplificado, nele propagamos apenas ondas compressionais, o que acarreta certas limitações. Para termos melhores aproximações, devemos considerar o meio de propagação como sendo elástico ou viscoelástico. Contudo, mesmo sendo resumido, ao utilizarmos a equação acústica da onda, podemos obter resultados satisfatórios em aplicações para a indústria do petróleo (BULCAO, 2004). Vale ressaltar que, em meios cuja geologia seja mais complexa, a solução necessita discretizar o problema, bem como a utilização de algum método numérico de soluções.
. • Velocidade sísmica acústica • Equação de Onda Acústica . • Campo de ondas sísmico
3.4.2 O Problema Inverso
Resolver um problema inverso consiste na determinação das propriedades físicas do meio, ou determinado sistema. Para isso são necessárias as medidas de registros (efeitos observáveis), bem como um modelo matemático, que por sua vez irá relacionar as grandezas ora observadas com as propriedades (condições iniciais e de contorno, dentro outras) do meio. Explorar sismicamente é inferir acerca do subsolo partindo de dados sísmicos que são observados na superfície da terra, considerado assim um típico problema inverso.
Para um caso bidimensional, objetivamos a determinação de velocidades compressionais (distribuição) no subsolo. O ponto de partida da solução são os dados sísmicos que foram observados na superfície, estimamos de forma inicial à distribuição da velocidade no interior da terra e usamos um modelo matemático para as devidas relações. O Esquema da Figura 3.4 a seguir, ilustra o problema inverso.
Figura 3.4. Esquematização do problema inverso acústico.
Fonte: O autor (baseado em (MARTINS, 2015)).
. • Campo de ondas sísmico • Equação de Onda Acústica . • Velocidade sísmica acústica
Existe uma diversidade de métodos para solucionar problemas inversos, cada um deles conta com aplicações, características e certas limitações (VIRIEUX; OPERTO, 2009). Dentro de tais métodos apresentam-se as técnicas de otimização, sendo que essas possuem abordagens globais ou locais.
Para nosso trabalho optamos por utilizar o método l-BFGS com solução do nosso problema de inversão, sendo o l-BFGS um método tipo gradiente usado para procura de mínimos, e tem rápida convergência quando comparado aos demais que há na literatura.
Capítulo IV
A Estrutura de Tsallis e a
4 A Estrutura de Tsallis e a inversão sísmica
4.1 Introdução
A grande maioria dos problemas inversos são formulados como problemas de otimização, visando estimar parâmetros físicos de um sistema partindo de observações indiretas e parciais. Em abordagens convencionais, a função misfit, a ser minimizada, baseia-se na distância de mínimos quadrados entre os dados obbaseia-servados e os dados modelados (erros ou resíduos), supondo que esses sigam uma distribuição gaussiana (LIMA et al., 2020), conforme ilustrado na Figura 4.1 a seguir.
Figura 4.1. Ilustração de um erro de distribuição gaussiana.
Fonte: o autor.
Contudo, em inúmeras situações reais o erro costuma ser do tipo não-gaussiano, dessa forma a técnica convencional tende a falhar. Sendo assim, tal problemática nos levou a estudar funções desajustes baseadas em estatísticas não gaussianas.
Para nosso trabalho abordamos a 𝑞-distribuição gaussiana associada ao princípio da entropia máxima, aplicando o formalismo de Tsallis em um problema típico da geofísica, o problema de inversão pós-empilhamento, e nosso objetivo é estimar o parâmetro físico da refletividade da terra.
4.2 A estrutura de Tsallis e a inversão sísmica
Em 1988, Tsallis publicou um trabalho no qual postula uma generalização da entropia de Boltzmann-Gibbs-Shannon, na qual ele descreve os estados de não-equilíbrio, assim como a termoestatística de equilíbrio. De maneira formal, a 𝑞-estrutura de Tsallis baseia-se na função 𝑞-logaritma (TSALLIS, 1988; TIRNAKLI; BORGES, 2016; TSALLIS; MENDES; PLASTINO, 1998). Logo, conforme já mostrado no capítulo 2, a Equação (2.9) tem em sua função inversa, a função 𝑞-exponencial generalizada:
𝑒𝑥𝑝𝑞(𝑥) = [1 + (1 − 𝑞)𝑥]+ 1 (1−𝑞) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.1) com lnq(𝑒𝑥𝑝𝑞(𝑥)) = 𝑒𝑥𝑝𝑞(ln𝑞(𝑥)) = 𝑥 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.2)
onde 𝑞 ∈ ℝ é considerado um parâmetro não-extensivo da estrutura de Tsallis, [𝑎]+ = 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑎}. Se considerarmos o caso 𝑞 → 1, vemos que as Equações acima (4.1) e (4.2) serão reduzidas, respectivamente, às usuais equações exponencial e logarítmica. Se agora pensarmos no caso contínuo, ao associarmos as funções 𝑞-entropia e 𝑞-estrutura teremos:
Sendo 𝑘𝐵 a denominada constante de Boltzmann. Ressaltamos que, para o caso de
𝑞 → 1, a 𝑞-entropia Equação (4.3) recupera a entropia padrão de BGS (Boltzmann-Gibbs-Shannon), Equação (4.4). Além disso, a entropia de Tsallis é usualmente escrita conforme a equação a seguir (Equação 4.5): (TSALLIS, 1988; LIMA et al., 2020), que será o formalismo matemático a ser usado em nosso trabalho.
𝑆𝑞→1= lim 𝑞→1−𝑘𝐵∫ 𝑝 𝑞 (𝑥) ln 𝑞 (𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥 = −𝑘𝐵∫ 𝑝 (𝑥) ln (𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.4) 𝑆𝑞 (𝑝(𝑥)) = 𝑘𝐵 𝑞 − 1(1 − ∫ 𝑝 𝑞 (𝑥) 𝑑𝑥) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.5)
4.2.1 A distribuição 𝒒-Gaussiana e a Entropia máxima de Tsallis
Partimos do princípio da entropia máxima (Maximum Entropy Principle - MEP) (JAYNES, 1957a, 1957b) para o formalismo da entropia de Tsallis. Tomamos os limites de normalização (mencionados no capítulo 3), e a expectativa de 𝑞-normalizada. Com 𝛼1 e 𝛼2 sendo os multiplicadores de Lagrange. Então:
𝒮(𝑝(𝑥), 𝛼1, 𝛼2) = 𝑆𝑞(𝑝(𝑥)) − 𝛼1 (∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 − 1)
Para que possamos otimizar a Equação (4.6) acima, devemos calcular o ponto estacionário da entropia funcional, logo 𝛿𝒮
𝛿𝑝(𝑥) = 0: ∫ 𝛿𝑝(𝑥) [𝑞 𝑘𝐵 1 − 𝑞𝑝 𝑞−1(𝑥) − 𝛼 1− 𝑞 𝛼2(𝑥2𝑝𝑞−1(𝑥) − 𝜎𝑞𝑝𝑞−1(𝑥))] 𝑑𝑥 = 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.7)
Ressaltamos que, para satisfazer a Equação (4.7) acima, a função proposta na Equação (4.8) abaixo deverá ser satisfeita, produzindo assim, de maneira direta, a função 𝑞-probabilidade, Equação (4.9). 𝑞 𝑘𝐵 1 − 𝑞𝑝 𝑞−1(𝑥) − 𝛼 1− 𝑞 𝛼2(𝑥2𝑝𝑞−1(𝑥) − 𝜎𝑞𝑝𝑞−1(𝑥)) = 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.8) 𝑝(𝑥) = [(𝑞 𝛼1 ) ( 𝑘𝐵− (1 − 𝑞)𝛼2(𝑥2− 𝜎𝑞))] 1 1−𝑞 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.9)
Dessa forma, na Equação (4.10) reescrevemos a função 𝑞-probabilidade usando funções 𝑞-generalizadas, para isso consideremos o formalismo a seguir:
𝑝(𝑥) = [1 + (1 − 𝑞)𝐴𝑞] 1 1−𝑞 [1 + (1 − 𝑞)(−𝐵 𝑞)𝑥2] 1 1−𝑞 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.10)
Lembramos que 𝐴𝑞 e 𝐵𝑞 dependem do valor de 𝑞 e também dos multiplicadores de Lagrange 𝛼1 e 𝛼2, em Equação (4.12). Assim:
𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑞(𝐴𝑞)𝑒𝑥𝑝𝑞(−𝐵𝑞𝑥2) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.11) com 𝐴𝑞 = 𝑞 𝛼1(1 − 𝑞)[ 𝑘𝐵 1 − 𝑞+ 𝛼2𝜎𝑞− 𝛼1 𝑞] e 𝐵𝑞 = 𝛼2 𝑘𝐵+ (1 − 𝑞)𝛼2𝜎𝑞 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.12)
Diante desse contexto, a formalização matemática apresentada na Equação (4.11) representa a distribuição de probabilidade 𝑞-gaussiana, sendo essa utilizada no processo de inversão geofísica utilizado nessa tese.
4.2.2 A função 𝒒-misfit
Iniciamos a partir da suposição de independência de todos os dados residuais (𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Esses, por sua vez, seguem uma distribuição 𝑞-gaussiana, conforme Equação (4.12). Dessa forma a função 𝑞-misfit deverá ser obtida pela probabilidade logarítmica, conforme mostra a Equação (4.13) a seguir:
− ln(ℒ(𝑥)) = − 𝑙𝑛 (∏ 𝑝𝑞 𝑛 𝑖=1 (𝑥𝑖)) = − ln (∏ 𝑒𝑥𝑝𝑞 𝑛 𝑖=1 (𝐴𝑞)𝑒𝑥𝑝𝑞(−𝐵𝑞𝑥𝑖2)) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.13) É possível reorganizarmos a equação acima da seguinte maneira:
− ln(ℒ(𝑥)) = − ln[𝑒𝑥𝑝𝑞(𝐴𝑞)] − 1 1 − 𝑞∑ ln[1 + (1 − 𝑞)(−𝐵𝑞)𝑥𝑖 2] + 𝑛 𝑖=1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.14)
Contudo, visualizamos que há uma equivalência, ou seja, a minimização da equação acima, Equação (4.14), equivale a minimizar a função:
𝜙𝑞(𝑥) = 1 𝑞 − 1∑ ln[1 + (𝑞 − 1)−𝐵𝑞𝑥𝑖 2] + 𝑛 𝑖=1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜(4.15)
Dessa forma, nosso problema de inversão é formulado como um problema de otimização conforme mostra a seguir:
min 𝑟 𝜙𝑞(𝑟) ≔ 1 𝑞 − 1∑ ln [1 𝑛 𝑖=1 + (𝑞 − 1)𝐵𝑞 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇(𝐺𝑟 𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))] + 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.16)
Lembramos que vamos considerar o proposto em (PRATO; TSALLIS, 1999), que 𝐵𝑞 =
1
(3−𝑞) para o caso onde 1 < 𝑞 < 3. Além disso notamos que é possível observar que a
função misfit (desajuste) convencional é recuperada da Equação (4.16) quando tomamos o limite de 𝑞 → 1. Assim, usando a regra de L’Hôpital podemos obter:
lim 𝑞→1𝜙𝑞(𝑟) = lim 𝑞→1∑ 𝜕 𝜕𝑞{ln [1 + ( 𝑞 − 1 3 − 𝑞)(𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 𝑇 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))] + } 𝜕(𝑞 − 1) 𝜕𝑞 𝑛 𝑖=1 lim 𝑞→1𝜙𝑞(𝑟) = lim𝑞→1∑ (3 − 𝑞)1 2 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇(𝐺𝑟 𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) [1 + (𝑞 − 1)𝐵𝑞 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇(𝐺𝑟 𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))] + 𝑛 𝑖=1 lim 𝑞→1𝜙𝑞(𝑟) = 1 2∑ (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖 𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇(𝐺𝑟 𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) = 𝑛 𝑖=1 𝜙𝐺(𝑟) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.17)
Sendo assim, o problema de otimização apresentado no formalismo da Equação (4.16) passa a assumir a seguinte forma:
min 𝑟 𝜙𝑞(𝑟): = 1 𝑞 − 1∑ 𝑙𝑛 [1 𝑛 𝑖=1 + (𝑞 − 1 3 − 𝑞) (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖 𝑜𝑏𝑠(𝑡))𝑇(𝐺𝑟 𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡))] + 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.18)
Para melhor entendimento, vamos chamar 𝜙𝑞(𝑟) de função 𝑞-misfit, assim como denominaremos 𝑞-PSI o problema de otimização no qual usaremos a nossa função 𝑞-misfit. Lembramos aqui que o termo entre parênteses sempre será um valor positivo para o caso de 1 < 𝑞 < 3. Porém, para casos onde 𝑞 < 1, 𝜙𝑞(𝑟) será dado pela Equação (4.18) se |𝐺𝑟𝑖(𝑡) −
𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)| < [(3−𝑞)(1−𝑞)] , conforme (PRATO; TSALLIS, 1999) e em caso contrário será zero. Ressaltamos que [𝑎]+ está implícito nas equações a título de simplificação de notação.
4.2.3 Inversão Pós-Empilhamento como um problema de otimização local
A inversão post-stack (PSI) é resolvida normalmente através de métodos de otimização local, a partir de uma série de refletividade (𝑟0), que é o modelo inicial. O problema da otimização é resolvido através de processo iterativo, onde atualizamos o modelo de acordo com a seguinte equação:
𝑟𝑘+1 = 𝑟𝑘− 𝛼𝑘Η−1∇𝑟𝜙(𝑟𝑘) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.19)
Onde cada passo terá tamanho 𝛼𝑘 para a 𝑘-ésima iteração (NOCEDAL; WRIGHT, 2006), o gradiente da função misfit 𝜙(𝑟𝑘) é dado por ∇𝑟𝜙(𝑟𝑘) =𝜕𝜙(𝑟𝑘)
𝜕𝑟 , e Η
−1 é o inverso da
hessiana. Sendo assim, além da função misfit, é necessário que determinemos a hessiana bem como o gradiente correspondente. Para nosso caso 𝑞-PSI, obtemos o gradiente através de:
∇𝑟𝜙𝑞(𝑟) = ∑ 𝐺𝑇 𝑛 𝑖=1 [ 2 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖 𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 3 − 𝑞 + (𝑞 − 1) (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 𝑇 (𝐺𝑟𝑖(𝑡) − 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) ] 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.20)
Para que possamos fazer um comparativo, para a função misfit convencional, o gradiente é dado por:
∇𝑟𝜙𝐺(𝑟) = ∑ 𝐺𝑇(𝐺𝑟𝑖(𝑡)− 𝑑𝑖𝑜𝑏𝑠(𝑡)) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (4.21) 𝑛
