UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas – DCEA
Programa Institucional de Iniciação à Docência – PIBID/CERES
Área: Matemática
USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
Davidson Paulo Azevedo Oliveira – IFMG Maria Maroni Lopes – UFRN
Local: Laboratório de Matemática – CERES/UFRN 17/04/2013
USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO
DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
O GeoGebra é um software dinâmico, para ser utilizado em ambiente de sala de aula, que reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Foi desenvolvido por Markus Horenwarter e Judith Preiner para ser empregado principalmente no ensino de Matemática nas escolas básicas e secundárias na universidade Atlantic University - Florida. O GeoGebra reúne as características de um software de Geometria Dinâmica, admite construir vários objetos como pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas, gráficos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem, depois, serem modificados dinamicamente. Permite, ainda, a introdução de equações e coordenadas, digitando-se diretamente na sua caixa de entrada. O software apresenta três diferentes janelas: gráfica, algébrica ou numérica, e a folha de cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes representações: graficamente (pontos, gráficos de funções), algebricamente (coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e
adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em quaisquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente construídos.
TELA INICIAL DO GEOGEBRA.
Site para download: http://www.geogebra.org/cms.
1.1 TUTORIAL
Site para download: http://www.geogebra.org/cms.
Recursos: Barra de Ferramentas Caixa de Entrada Janela Algébrica Janela Gráfica Planilha.
Visualização interativa entre as janelas algébrica (geométrica) e gráfica
Construções dinâmicas que permitem ao usuário interagir com o objeto de estudo.
Criação de Applets
Alguns Comandos Definidos
Comandos Função do Comando
* Multiplicação
^ Potenciação
sin( x) Traça o gráfico da função seno cos(x) Traça o gráfico da função cosseno tan( x) Traça o gráfico da função
tangente
abs( ) Módulo
exp(x) Calcule e elevado a x
PI Utiliza o valor numérico de PI
! Fatorial
log(b, x) Logaritmo de x na base b sqrt( ) Raiz quadrado
Quadro 1 – Comandos do GeoGebra. Fonte: Arquivo da professora.
1.2 COMO INSTALAR DO SOFTWARE GEOGEBR Acesse o site: http://www.geogebra.org/cms.
Faça o download do GeoGebra, de acordo com o sistema operacional presente no computador, salvando o arquivo GeoGebra.
Execute o arquivo GeoGebra e siga as instruções de instalação. 1.3 UTILIZANDO AS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA
Ao iniciar o software, será aberta uma tela inicial com a interface de trabalho. Essa interface do GeoGebra apresenta elementos comuns aos softwares que funcionam em ambiente
O menu principal, apresenta acesso a várias ferramentas, conforme quadro 2. Ao se clicar sobre cada uma dessas opções, aparecerá uma caixa de diálogo contendo novos comandos a serem escolhidos.
Quadro 2: Barra de Ferramentas do GeoGebra
Abaixo do menu principal existem onze botões de desenho. Cada um deles, quando selecionado em seu canto inferior direito, dá acesso a uma novo grupo de ferramentas.
Figura 2 – Ferramentas de desenho
Construção do gráfico da função afim sendo fornecidos os
valores dos parâmetros
a
eb
.
a) Construa, no GeoGebra, as funções afim a seguir.
x
x
f
(
)
2
g
(
x
)
x
1
h
(
x
)
2
x
Observe que as funções estão variando. Como esta variação afeta a representação gráfica? Como sua observação poderia ser confirmada? Construindo gráficos da Função Afim.
a) Insira os parâmetros a e b. Para isso, clique no botão . Após clicar nesse botão, aparecerá a seguinte janela:
Arquivo Editar Exibir Opções Ferramenta janela Ajuda
ATIVIDADES
Nesta janela, deve-se indicar o intervalo de variação para os parâmetros e também o incremento (o incremento é a variação dos parâmetros, neste caso ela varia de 0.1 em 0.1, mas você pode indicar o valor que desejar podendo este incremento ser um número natural, inteiro, real). Proceda da mesma forma para inserir o parâmetro b.
b) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a cor de cada um dos coeficientes. Dando dois cliques sobre cada parâmetro, aparecerá a seguinte janela.
Selecione a opção Cor e defina a cor desejada. Além disso, pode-se mudar a espessura do parâmetro, para isso, clique em Estilo e selecione a espessura desejada. Depois clique no botão Fechar. Ao fazer isso, os parâmetros modificarão suas cores e espessura.
c) Insira no campo de entrada a função f(x)axb.
Para inserir a função, clique no campo de entrada (o campo de entrada encontra-se na parte inferior da interface do GeoGebra) e digite a função
b ax x
f( ) , utilizando a seguinte sintaxe f(x)=a*x + b . (OBS.: a multiplicação é indicada por asterisco “*”).
d) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as propriedades (cor e estilo). Varie cada um dos parâmetros e anote o que
acontece. (Para variar os parâmetros, clique em ). Logo após,
clique sobre a “bolinha” e deslize.
e) Movimente um parâmetro variável por vez (fixe b e movimente a, fixe a e movimente b). O que acontece quando fixamos o parâmetro b e variamos o a? O que acontece quando fixamos o parâmetro a e variamos o b? Quais as características das retas representadas?
f) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos, separadamente:
i) Digite “Função Crescente”; ii) “Função Constante”; iii) “Função
Decrescente”. Para INSERIR TEXTO, clique em . Em seguida, abrirá a janela:
Feito isso, selecione a opção Inserir Texto. Depois clique com o botão esquerdo do mouse sobre a janela gráfica do GeoGebra. Ao clicar sobre a janela gráfica, aparecerá a seguinte janela:
Digite nesta janela que abriu “Função Crescente”. Em seguida, clique no botão aplicar. Ao clicar no botão aplicar, a expressão “Função
Crescente” aparecerá escrita na janela gráfica do GeoGebra. A figura a seguir ilustra essa situação.
Depois clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função Crescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite na condição para mostrar objeto “a>0”. Em seguida, clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função Constante” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite na condição para mostrar objeto “a=0” (OBS: para este caso a opção” ” deverá ser selecionada, que está no menu e representa a Relação entre dois objetos). E por último, clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função Decrescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite na condição para mostrar objeto “a<0”. Agora, movimente os
coeficientes e veja que conforme as variações sofridas pelo coeficiente
a, teremos uma função crescente, constante ou decrescente.
Construindo gráficos da Função Quadrática
1) Insira os parâmetros a, b e c. Para inserir os parâmetros, proceda como na Atividade anterior.
2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a cor de cada um dos coeficientes bem como suas espessuras (estilo). 3) Insira no campo de entrada a função
f
(
x
)
ax
²
bx
c
. (OBS: Digite no campo de entrada a função utilizando a seguinte sintaxe:f(x)=a*x^2 + b*x + c.
4) Clique com o botão direito do mouse sobre a representação gráfica da função e explore as propriedades (cor e estilo).
5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece. Qual o comportamento da representação gráfica quando o coeficiente a assume
valores: positivos, nulo e negativos? OBS: Lembre-se que para variar os parâmetros, basta arrastar a “bolinha” para a direita ou para a esquerda. 6) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e c e movimente a, fixe a e
c e movimente b e fixe a e b e movimente c). O que acontece em cada
um dos casos?
7) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos, separadamente: i) Digite “Concavidade voltada para cima”; ii)
“Concavidade voltada para baixo”. Dica: Faça como na atividade
anterior, ao inserir Função Crescente, Constante e Decrescente. Além disso, lembre-se de indicar as condições que determinam quando a parábola tem concavidade voltada para cima ou concavidade voltada para baixo.
Construção do gráfico da função exponencial sendo
fornecidos os valores da base
a) Construa no GeoGebra as funções exponenciais a seguir.
x
x
f
(
)
2
g
(
x
)
3
xh
(
x
)
4
xPara isso, digite no campo de entrada as funções utilizando a seguinte sintaxe: f(x) = 2^x; g(x) 3^x; h(x) = 4^x.
Observe que as bases das funções estão variando. Como esta variação afeta a representação gráfica? Como sua observação poderia ser confirmada?
b) Agora, construa as funções a seguir. x
x
f
2
1
)
(
xx
h
3
1
)
(
xx
g
4
1
)
(
Observe que as bases das funções estão variando. Como esta variação afeta a representação gráfica? Justifique.
Comparando as atividades a e b, escreva as semelhanças e diferenças encontradas nos gráficos.
Por que você acha que ocorrem estas diferenças?
Analise o que acontece com os gráficos das funções, em que ponto as funções cortam o eixo das ordenadas?
Marque a intersecção entre o gráfico e o eixo dos y e exiba nome e valor do ponto de intersecção.
Para isso, selecione na barra de tarefas a opção Interseção de Dois
Objetos conforme ilustrado na figura a seguir.
O item selecionado deverá ficar conforme mostrado a seguir.
Para destacar o ponto de interseção faça como sugestão do software, selecione a função e o eixo das ordenadas.
O valor é o mesmo para todos os gráficos? Justifique porque isso acontece?
Represente graficamente as funções abaixo, num mesmo
plano cartesiano.
a)
f
(
x
)
2
xg
(
x
)
2
x
1
h
(
x
)
2
x
2
Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças encontradas. O que você observou? Por que ocorrem essas diferenças? Como sua observação poderia ser confirmada?
b)
y
2
xy
2
2
xy
3
2
xComparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças? Como sua observação poderia ser confirmada?
c)
y
2
xy
2
2xy
2
3x ATIVIDADES 4Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças? Como sua observação poderia ser confirmada?
d) x
y
2
1
1
2
1
xy
2
2
1
xy
Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças? Como sua observação poderia ser confirmada?
e) Considere a função
y
a
x, o que acontece com ela quando você varia o valor de a?f) Considere a função
y
k
a
x, o que acontece quando você varia o valor de k?g) Considere a função
y
k
a
x
c
, o que acontece quando você varia o valor de c?.
Construa o gráfico da função
f
(
x
)
a
b(Para construir esse gráfico utilizaremos um recurso do software chamado controle deslizante).
Na barra de tarefas selecione o item controle deslizante.
Faça como está indicado no GeoGebra, ou seja, clique na área de trabalho para especificar a posição do seletor.
Aparecerá a seguinte imagem.
Altere o intervalo mínimo e máximo, variando-os com um intervalo maior.
Faça o mesmo para o parâmetro b.
Definidos os parâmetros e representada a função graficamente reflita: a) Se movimentarmos o seletor e variarmos o valor de a o que
acontece com o comportamento da função?
b) Marque a interseção entre o gráfico e o eixo das ordenadas como ensinado anteriormente, movimente novamente o seletor
a e veja o que você pode observar. Justifique sua resposta.
c) Quais as alterações acontecem se movimentarmos o seletor b? Justifique.
d) Observe se os gráficos construídos cortam o eixo das abscissas? Justifique sua resposta.
Uma substância se decompõe, aproximadamente, segundo a lei t
k
t
Q
(
)
2
0,5 em que k é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t.a) Faça, no GeoGebra, o gráfico que representa essa situação e que se encontra a seguir.
b) Qual a quantidade de substância (em gramas) após 6 minutos de iniciado o processo de decomposição?
c) Se na representação algébrica, a base é um número maior do que 1, como você explica o fato da função ter como representação gráfica uma curva decrescente?
Criando gráficos de Função Logarítmica
1) Insira os parâmetros a e b.
2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a cor de cada um dos coeficientes (ou parâmetros)
3) Insira no campo de entrada a função f(x)=a*log(b*x)
4) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as propriedades (cor e estilo).
5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece.
6) Com o botão direito sobre o gráfico de f habilite a opção
HABILITAR RASTRO.
7) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e movimente a, fixe a e movimente b).O que acontece quando variamos o parâmetro b ? O que acontece quando variamos o parâmetro a?
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C.. Explorando tópicos de matemática do ensino fundamental e médio através do GeoGebra. Disponível em: <http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/60.pdf>. Acesso em: 08 jun. 2009.
KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. 5. ed. Campinas, SP.Papirus, 2009. 141 p.
HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J.. Ajuda GeoGebra: Manual Oficial da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português António Ribeiro,. Disponível em: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em: 12 jul. 2009.
LOPES. M. M. Construção e Aplicação de uma Sequência Didática para o Ensino de Trigonometria Usando o software GeoGebra. 123 f. Dissertação (Mestre) - Curso de Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Departamento de Matemática, UFRN, Natal, 2010.
OLIVEIRA, D. P. A ;LOPES, M. M. O uso do software GeoGebra como recurso didático para o ensino e aprendizagem de função. In:
