CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO EM RECURSOS HÍDRICOS
FRANCISCO DAS CHAGAS AZEVEDO DOS REIS
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DA CONTAMINAÇÃO DE AQUÍFEROS COM USO DE MÉTODOS NUMÉRICOS SEM MALHA
FRANCISCO DAS CHAGAS AZEVEDO DOS REIS
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DA CONTAMINAÇÃO DE AQUÍFEROS COM USO DE MÉTODOS NUMÉRICOS SEM MALHA
Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil, com área de concentração em Recursos Hídricos, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. PhD. Marco Aurélio Holanda de Castro
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca de Pós-Graduação em Engenharia - BPGE
R31m Reis, Francisco das Chagas Azevedo dos.
Modelagem matemática e computacional da contaminação de aquíferos com uso de métodos numéricos sem malha / Francisco das Chagas Azevedo dos Reis. – 2014.
117 f. : il. color., enc. ; 30 cm.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Fortaleza, 2014.
Área de Concentração: Recursos Hídricos
Orientação: Prof. Dr. Marco Aurélio Holanda de Castro.
1. Recursos hídricos. 2. Equações diferenciais parciais. 3. Difusão. I. Título.
FRANCISCO DAS CHAGAS AZEVEDO DOS REIS
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DA CONTAMINAÇÃO DE AQUÍFEROS COM USO DE MÉTODOS NUMÉRICOS SEM MALHA
AGRADECIMENTOS
Agradeço em especial à minha esposa Patrícia Nunes dos Reis, pelo seu apoio irrestrito na confecção desse trabalho, as minhas filhas que toleraram as minhas ausências. Ao meu orientador professor Marco Aurélio Holanda de Castro, que sempre foi incansável e paciente, atento ao rigor, sempre nos ajudou, em todos os momentos, na confecção desse trabalho. Agradeço também aos colegas João Marcelo Costa Barbosa, José Valmir Farias Maia Junior e Nelci Rones Pereira de Sousa por nos ajudar, com o SCILAB.
RESUMO
Em muitos problemas da natureza e em uma diversidade enorme de áreas do conhecimento, existe a necessidade real de modelarmos fenômenos existentes. Em Ciências como Matemática, Física, Química, Biologia, Economia e nas Engenharias, de uma maneira geral, é comum por parte dos pesquisadores, o uso de modelos e simulações, às quais, quase sempre, envolvem taxas, princípios e leis, regidos por Equações Diferenciais. Problemas envolvendo movimento de fluidos, intensidade de corrente elétrica, propagação de calor, crescimento populacional, entre muitos outros, são exemplos clássicos de aplicações de modelos regidos por Equações Diferencias, às quais, podem ser diferenciadas quanto ao tipo em Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais Parciais (EDP). Nas primeiras, a função a ser determinada depende de uma única variável independente, enquanto nas segundas, ocorre a dependência de duas ou mais variáveis independentes. Acontece é que em uma grande variedade de problemas da natureza, as equações não possuem soluções bem comportadas, analíticas e, dessa maneira, faz-se necessário o conhecimento de métodos numéricos, tais como, Diferenças Finitas, Elementos Finitos, Elementos de Contorno, entre outros, os quais necessitam da discretização do domínio e, portanto da criação de uma malha (MESH), com fórmulas interativas para se estimar uma solução e minimizar o erro da aproximação. Nesse sentido, a proposta desse trabalho é utilizar um método numérico bastante eficaz e independente de malha, denominado método sem malhas (MESHLESS), mas especificamente o método de Kansas, o qual lança mão de Funções de Base Radial (Radial Basis Functions – RBF), ou simetria radial, da distância entre um ponto central do domínio da função e um ponto genérico do domínio. A função interpoladora de base radial, também depende de um parâmetro de forma “c” a ser encontrado. Mas a questão preponderante é: como determinar um parâmetro de forma “c” ótimo, que possa oferecer uma solução consistente, reduzindo o resíduo e, portanto o erro existente? Para tanto, modelou-se um problema de contaminação de aquífero fazendo uso da equação de difusão, comparando o resultado de sua solução analítica, com a solução numérica obtida através do método numérico sem malhas e com o parâmetro de forma simulado e otimizado por meio da plataforma SCILAB (versão 5.4.1).
ABSTRACT
In many problems of nature and a huge diversity of knowledge areas, there is a real need we model existing phenomena. Sciences like Mathematics, Physics, Chemistry, Biology, Economics and in Engineering, in general, is common among the researchers, the use of models and simulations, which almost always involve fees, principles and laws, governed by Differential Equations. Problems involving fluid motion, intensity of electric current, heat propagation, population growth, among many others, are classic examples of applications of models governed by Differential Equations, which can be differentiated as to type in Ordinary Differential Equations (ODE) and Partial Differential Equations (PDE). In the first, the function to be determined depends on a single variable, while in the second, the dependence of two or more independent variables occurs. Happens is that in a wide variety of problems of nature, the equations do not have well-behaved, analytic and thus solutions, it is necessary the knowledge of numerical methods such as Finite Differences, Finite Elements, Boundary Elements, among others, which require the discretization of the domain and therefore the creation of a mesh (MESH), with interactive formulas for estimating a solution and minimize the error of approximation. In this sense, the purpose of this work is to use a very efficient and independent of mesh numerical method, called method without mesh (MESHLESS), but specifically the method of Kansas, which makes use of Radial Basis Function (Radial Basis Functions - RBF) or radial symmetry, the distance between central point of the domain of the function and a generic point of the domain. The interpolating radial basis function also depends on a shape parameter "c" to be found. But the overriding question is how to determine a shape parameter "c" great, we can provide a consistent solution, reducing waste and therefore the existing error? For both, modeled itself a problem of contamination of the aquifer by making use of the diffusion equation, comparing the results of its analytical solution with the numerical solution obtained by numerical method without mesh and parameter simulated shape and optimized by SCILAB platform (version 5.4.1).
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 – Ciclo Hidrológico ... 3
Figura 2.2 – Raio de convergência de uma série ... 16
Figura 2.3 – Barra de propagação de calor... 22
Figura 4.1 – Parâmetro de forma utilizado "c=0,755929" , pontos do domínio, com número de pontos N=5... 45
Figura 4.2 – Parâmetro de forma utilizado "c=0,755929" , pontos do domínio, com número de pontos N=7. ... 46
Figura 4.3 – Parâmetro de forma utilizado "c=0,755929" , pontos do domínio, com número de pontos N=10. ... 46
Figura 4.4 – Definição das condições de contorno da EDO... 50
Figura 4.5 – Discretização do domínio da EDO. ... 50
Figura 4.6 – Definição dos coeficientes da EDO. ... 51
Figura 4.7 – Dados de entrada para a otimização do parâmetro de forma c. ... 51
Figura 4.8 – Gráfico de resíduo do contorno e determinação de c = 68.21 como sendo o c - ótimo, via método multiquadrático direto. ... 52
Figura 4.9 – Gráfico de resíduo do domínio e determinação de c=15.81, como sendo o c - ótimo, via método multiquadrático direto... 52
Figura 4.10 – Comparação entre solução numérica e solução analítica, pontos do domínio, com c=15.81, otimizado pelo método multiquadrático direto. ... 53
Figura 4.11 – Definição das condições de contorno da EDO, para uso do método inverso. ... 53
Figura 4.12 – Gráfico de resíduo e determinação de c=70.61, como sendo o c - ótimo do contorno, via método multiquadrático inverso. ... 54
Figura 4.13 – Gráfico de resíduo e determinação de c=16.81, como sendo o c - ótimo do domínio, via método multiquadrático inverso. ... 54
Figura 4.14 – Comparação entre solução numérica e analítica, pelo método inverso c=16.81. ... 55
Figura 4.15 – Solução analítica da Equação da Difusão Pura para os instantes t=0s; t=0.05s; t=0.10s com N=50 pontos, x (Km). ... 62
Figura 4.17 – Comparação solução analítica com solução numérica da Equação da Difusão Pura, pontos do domínio, para os instantes t=0s; t=0.05s; t=0.10s com N=20
pontos, x (Km). ... 63
Figura 4.18 – Comparação solução analítica com solução numérica da Equação da Difusão Pura, pontos do domínio, c-ótimo 0.3, para os instantes t=0s; t=0.05s; t=0.10s com N=40 pontos. ... 64
Figura 4.19 – Gráfico comparativo de c e do somatório do quadrado do resíduo .... 64
Figura 4.20 – Fluxograma simplificado da otimização do c. ... 73
Figura 4.21 – Gráfico comparativo da solução numérica e da solução analítica da Equação de Difusão-Advecção com t=15 min e N=100 pontos. ... 75
Figura 4.22 – Gráfico comparativo da solução numérica e da solução analítica da Equação de Difusão-Advecção com t=15 min e N=200 pontos. ... 75
Figura 4.23 – Gráfico comparativo entre a solução numérica e a solução analítica da Equação de Difusão-Advecção, pontos do domínio, nos instantes t=12min, t=24min, t=36min. O parâmetro de forma, c = 0.149254, foi otimizado pelo SCILAB 5.4.1... 76
Figura 4.24 – Gráfico comparativo do parâmetro de forma e do resíduo da equação de Difusão-Advecção.. ... 76
Figura A.1 – Expansão do vetor u ... 82
Figura A.2 – Mudança de sentido do vetor u ... 83
Figura A.3 – Gráfico da função delta de Dirac de . ... 86
Figura A.4 – Gráfico da função delta de Dirac de , quando ... 86
Figura B.1– Sobre o SCILAB 5.4.1 ... 87
Figura B.2 – Ambiente, plataforma SCILAB 5.4.1 ... 88
Figura B.3 – Acessando o aplicativo Scinotes do SCILAB 5.4.1 ... 88
Figura B.4 – Aplicativo SciNotes do SCILAB 5.4.1 ... 89
Figura B.5 – Gerando uma matriz 3x3 no SCILAB 5.4.1 ... 89
Figura B.6 – Determinando a dimensão de uma matriz A, no SCILAB 5.4.1 ... 90
Figura B.7 – Cálculo da transposta de uma matriz A, no SCILAB 5.4.1... 91
Figura B.8 – Cálculo da inversa de uma matriz A, no SCILAB 5.4.1 ... 92
Figura B.9 –Esquema de uso do comando “for” no SCILAB 5.4.1 ... 93
Figura B.10 –Aplicação do comando “for” no SCILAB 5.4.1 ... 94
Figura B.11 –Aplicação do comando “while” no SCILAB 5.4.1 ... 95
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Água disponível na terra ... 4
Tabela 2.4.1– Valores de Difusividade Térmica ... 25
Tabela 3.1.1– Funções de base radial ... 27
Tabela 4.1.1– Discretização dos pontos do domínio da EDO de 1ª ordem... 40
Tabela 4.1.2– Matriz R das distâncias ... 40
Tabela 4.1.3– Matriz FI = ϕ, função de interpolação, ponto a ponto. ... 41
Tabela 4.1.4– Matriz DFI das derivadas da função FI, ponto a ponto. ... 41
Tabela 4.1.5 – Matriz LFI, soma das matrizes FI e DFI ... 42
Tabela 4.1.6– Matriz de colocação, A, é o produto da inversa de λ pela matriz F .... 42
Tabela 4.1.7– Inversa da matriz de colocação A ... 43
Tabela 4.1.8– Resumo dos dados da solução da EDO de 1ª ordem via método sem malhas ... 43
Tabela 4.1.9– Componentes do vetor resíduo, VR, da EDO de 1ª ordem ... 44
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
EDO Equação diferencial ordinária
EDP Equação diferencial parcial
MESHLESS Método Livre de Malhas
DBO Demanda Bioquímica de oxigênio
OD Oxigênio Dissolvido
MVP Método da Variação de Parâmetros
LI Linearmente independente
LD Linearmente dependente
SCILAB Software matemático
RBF Função de base radial
VR Vetor resíduo
MQ Multiquadrática direta
LISTA DE SÍMBOLOS
L Demanda bioquímica de oxigênio
Constante de desoxigenação do efluente Fator de integração
Solução particular
Função complementar
Raio de convergência
Constante de difusividade térmica
A Matriz de colocação
Função de interpolação
e Matrizes de armazenamento dos pontos de discretização do domínio
R Matriz das distâncias
c Parâmetro de forma
Vetor que contém os coeficientes da solução aproximada
Número de difusão
E Coeficiente de dispersão
C(x,t) Concentração
Massa total das partículas normais à área da seção transversal
Número de Courant
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 1
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 2
2.1 Ciclo Hidrológico ... 2
2.2 Distribuição de água no planeta ... 4
2.3 Contaminação de aquíferos ... 5
2.3.1 Propagação de poluentes no meio aquático... 6
2.4 Equações diferenciais... 9
2.4.1 Classificação de equações diferenciais quanto ao tipo ... 9
2.4.2 Classificação de equações diferenciais quanto à ordem ... 9
2.4.3 Classificação de equações diferenciais quanto à linearidade... 10
2.4.4 Solução de equação diferencial linear de 1ª ordem ... 10
2.4.5 Equações diferenciais de 2ª ordem ... 11
2.4.6 Equações diferenciais de ordem superior ... 13
2.4.7 Aproximação em série de potências para uma equação diferencial linear de segunda ordem ... 14
2.4.8 Série de potências ... 15
2.4.9 Série de Fourier ... 20
2.4.10 Equações diferenciais parciais e o método de separação de variáveis. 21 3. METODOLOGIA... 26
3.1 O método sem malhas: Funções de Base Radial ... 27
3.2 Operadores lineares aplicados em uma EDP... 28
3.3 Método de Kansa ... 29
3.4 Equação geral apresentada no SCILAB ... 31
4. SIMULAÇÕES E RESULTADOS ... 34
4.1 Aplicação do método sem malhas (MESHLESS) em uma EDO via Método de Kansa. ... 34
4.1.1 Vetor Resíduo - VR ... 44
4.2 Aplicação do método sem malhas (MESHLESS) em uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes via método de Kansa... 47
4.2.1 Fluxograma do processo de uso do método sem malhas... 49
4.3 Equação da difusão pura... 55
4.4 Equação Diferencial Parcial da Difusão Advecção ... 65
4.4.2 Abordagem Kansa na equação de difusão advecção ... 67
4.4.3 Matrizes da equação de difusão advecção ... 70
4.4.4 Estabilidade do sistema Número de Courant ... 74
5. CONCLUSÕES: ... 77
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 79
APÊNDICE A – NOCÕES DE DEPENDÊNCIA LINEAR E INDEPENDÊNCIA LINEAR E FUNÇÃO DE IMPULSO DE DIRAC. ... 82
A.1 – Conjunto linearmente dependente (LD) ... 82
A.2 – Conjunto linearmente independente (LI) ... 83
A.3 – Aplicação Linear (Transformação Linear) ... 84
A.4 – Aplicação linear do vetor nulo entre espaços vetoriais. ... 84
A.5 – Funçõesde Impulso ... 85
APÊNDICE B – Breve exposição sobre o SCILAB ... 87
B.1 – INTRODUÇÃO ... 87
B 1.1 – Criação de Matrizes ... 89
B 1.2 – Dimensão de Matrizes ... 90
B 1.3 – Transposição de Matrizes ... 91
B 1.4 Inversa de Matrizes... 92
B 1.5 – Comandos para Iterações (for e while) ... 93
B 1.6 – Comandos e funções pré-definidos no SCILAB ... 96
APÊNDICE C - ROTINA DO PROBLEMA 4.1 DA EDO DE 1ª ORDEM. ... 97
APÊNDICE D- ROTINA DO PROBLEMA DA EDO DE 2ª ORDEM NÃO HOMOGÊNEA. ... 100
APÊNDICE E- ROTINA DO PROBLEMA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO-PURA. . 108
1. INTRODUÇÃO
A água é um recurso natural de suma importância para todos os seres vivos. Dessa forma, é importante nós cuidarmos bem de tal elemento tão precioso. Nesse sentindo, é fundamental que tenhamos alguns conhecimentos básicos acerca dessa substância e dos elementos que podem degradá-la tornando-a imprópria para o consumo.
Há algum tempo a sociedade de maneira geral vem se preocupando com a questão da contaminação de aquíferos pela ação antrópica, crescimento desordenados das cidades, poluição de mananciais, entre outros problemas. Com isso, vários estudiosos de diversas áreas, entre as quais, os de Engenharia de Recursos Hídricos, têm se debruçados com intento de descobrir soluções para tais casos.
A modelagem matemática e computacional tem servido para nortear uma imensa gama de problemas, simulando situações, nas quais, estudos in locu, sejam dispendiosos e muitas vezes inacessíveis. Nesse sentindo, várias técnicas de modelagem, ferramentas computacionais e softwares, são utilizadas no meio científico para facilitar e descrever modelos matemáticos, haja vista grande parte desses fenômenos, envolverem Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais Parciais (EDP). Em tais equações, nem sempre é fácil descobrir uma solução analítica e, em problemas de Engenharia muitas vezes, nem existe uma solução desse tipo, para isso é notório a importância dos Métodos Numéricos, os quais possam estimar uma solução “confiável”, mas que não inviabilizem o problema com erros devido a processos de simplificações ou devido ao truncamento e discretização de dados feitos pelo computador.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A ciência que estuda a água é denominada HIDROLOGIA, do grego
HYDOR que significa “água” e LOGOS, que é traduzido como “ciência”. Nesse sentido, define-se Hidrologia como:
Hidrologia é a ciência que trata da água na Terra, sua ocorrência, circulação e distribuição, suas propriedades físicas e químicas, e sua reação com o meio ambiente, incluindo sua relação com as formas vivas relacionada com toda a água da Terra, sua ocorrência, distribuição e circulação, suas propriedades físicas e químicas, seu efeito sobre o meio ambiente e sobre todas as formas da vida. (CHOW, 1959, p.1).
2.1 Ciclo Hidrológico
Ciclo Hidrológico é o nome dado à circulação da água em nosso planeta, desde o momento de seu estado natural, até a sua evaporação, subida a atmosfera em forma de vapor, e descida seguindo o caminho inverso, em forma de precipitação, na qual ao tocar o solo, pode escoar superficialmente ao encontro de oceanos, lagos, lagoas e rios, ou, ainda, infiltrar-se no solo e percolar até camadas mais profundas e ser armazenadas como água subterrânea, podendo a posteriori
fluir como manancial, para que todo o processo ocorra novamente.
O ciclo hidrológico é um fenômeno complexo composto de vários processos: precipitação, interceptação, transpiração, evaporação, infiltração, percolação, armazenamento e escoamento (MIJARES, 1992, p.17).
Fonte: USGS
2.2 Distribuição de água no planeta
Apesar do ciclo hidrológico, ser um fenômeno complexo e permanentemente movido pela força solar, a distribuição de água no planeta é bastante irregular. Os fatores dessa irregularidade são diversos, entre os quais temos a própria variedade de clima no planeta, relevo, solo, cobertura vegetal, entre outros fatores.
A água é a substância mais abundante na biosfera terrestre e a mais importante, junto com o oxigênio para manutenção da vida no planeta, contudo a maior parte dela está nos oceanos e mares, os quais correspondem acerca de 97% da água do planeta. Dos três porcentos restante, grande parte em torno de 97% está inacessível, em camadas profundas do subsolo acerca de 800 metros, em aquíferos subterrâneos; em forma de gelo nas camadas polares e em regiões de altas montanhas, tem-se 2,4%; algo como 0,6% está na atmosfera e apenas o número de 0,3%, em termos de volume, têm-se quatro milhões de quilômetros cúbicos, os quais podem ser aproveitados de alguma forma pelos homens (PHILIPPI, et. al. 2004). Este último, por sua vez, é constantemente degradado pela ação antrópica, pelo uso de defensivos agrícolas, esgotos domésticos e industriais, entre outros efluentes não tratados.
Tabela 2.1 - Água disponível na terra
Fonte: PHILIPPI, et. al.(2004)
LOCAL VOLUME (x103km3) PORCENTAGEM DA ÁGUA TOTAL
Lagos de água doce 125 0,009
Rios 1,25 0,000000919
Umidade do solo 65 0,000047
Água subterrânea 8.250 0,0060
Lagos-salinos e mares interiores
105
0,0007
Atmosfera 13 0,000009
Calotas de gelo polares, geleiras e neve
29.200
0,02147
Oceano e mares 1.320.000 0,9706
2.3 Contaminação de aquíferos
Muito embora a água seja um recurso fundamental para a subsistência de todos os seres vivos, a poluição de aquíferos, rios, lagos e mananciais têm atingido níveis alarmantes, os quais despertaram, nos últimos anos, a preocupação da sociedade de modo geral e, em particular do meio acadêmico, onde observamos um número muito grande de cientistas e estudantes que se debruçam e tentam através de suas pesquisas, dar respostas no sentindo de mitigar a deletéria dos recursos hídricos disponíveis.
Nesse sentindo, é importante entendermos os processos de contaminação e de poluição. O termo poluição vem do latim polluere, que significa sujar, manchar, e dessa forma, vem sendo empregado indiscriminadamente, sem o devido cuidado. Haja vista a ideia no sentindo estritamente estético que uma água turva, ou com determinados microrganismos, seja uma água poluída, ou imprópria para o uso de qualquer natureza é errônea em sua essência. Para aclarar os fatos, é importante entendermos a distinção entre poluição e contaminação, a saber: Nessa perspectiva:
Entende-se por poluição da água a alteração de suas características por quaisquer ações ou interferências, sejam elas naturais ou provocadas pelo homem. Essas alterações podem produzir impactos, estéticos, fisiológicos ou ecológicos(BRAGA et. al. 2005, p. 82).
Podemos dizer que a contaminação é a transferência de elementos nocivos à saúde. Ou seja, o fato de a água estar contaminada, por elementos patogênicos à saúde humana, não implica, necessariamente, em poluição e morte daquela biosfera local, assim como, o fato da água está com alterações em suas características devidas a processos, como calor excessivo, ou a turbidez devido ao carreamento de sedimentos não são, indubitavelmente, dolosos à saúde humana.
por conseguinte, a redução do Oxigênio Dissolvido (OD). Além disso, existem poluentes orgânicos do tipo recalcitrantes ou refratários, os quais não são biodegradáveis, ou tem uma taxa de degradação muito lenta, entre eles podemos citar os defensivos agrícolas, detergentes sintéticos e o petróleo. Ademais compostos inorgânicos como os metais pesados, a exemplo do mercúrio usado em atividades de garimpo e do chumbo cujos potenciais carcinogênicos são altamente comprometedores.
Para aprofundarmos nas características de aquíferos, ressaltamos a existência de dois tipos de aquíferos subterrâneos, os artesianos (ou confinados) e os freáticos. Ambos mesmo dotados de sua proteção natural, no subsolo, não estão isentos de sofrerem com os efeitos de vários tipos de contaminação, as mais comuns, são de agrotóxico, combustível, fossas, cemitérios e à intrusão salina, para os costeiros.
Enfim, existe uma série de efluentes danosos à saúde da população os quais poderiam ser evitados com o uso de práticas mais conscientes de preservação dos recursos hídricos e de preservação de nascentes.
Nesse sentindo, a modelagem computacional-matemática, surge como ferramenta importante para prever os impactos causados, por exemplo, pela difusão de um determinado contaminante, em um aquífero ou pela explotação desordenada da água subterrânea. Para tanto, são vários os programas como o MATLAB, SCILAB, HEC HMS, MOD FLOW, que auxiliam na modelagem do problema.
2.3.1 Propagação de poluentes no meio aquático
Os poluentes ao atingirem o meio aquoso não se comportam, em geral, de maneira estática sendo, portanto sujeitos a uma série de fatores, físicos, químicos, e biológicos existentes na natureza, os quais alteram sua composição e concentração.
A ação hidrodinâmica, é realizada pela característica intrínseca aos líquidos de transporte de poluente de seu despejo a outras regiões e, por conseguinte ocasionando uma variação na sua concentração no espaço e no tempo. Sendo o carreamento desses poluentes feitos pelo campo de velocidades da água, ou como é mais conhecido pelo processo da advecção. Além disso, processos de concentração de substâncias; quer sejam dissolvidas ou em suspensão é devido a um fenômeno denominado de difusão. Estes, por sua vez, de acordo com Braga (2005) dividem-se em dois tipos básicos saber:
1. Difusão Molecular: É um fenômeno independente de forças externas e que consiste no movimento característico das moléculas do fluido, por conta da agitação térmica de suas partículas e que geralmente em aquíferos naturais não causa grande impacto em sua concentração.
2. Difusão Turbulenta: É característico de um escoamento turbulento da água, ou seja, com a intensificação no gradiente de velocidade do líquido pode ocorrer um espalhamento maior no poluente, uma diminuição em sua concentração e promoção de uma aeração superior e, por conseguinte um aumento no Oxigênio Dissolvido (OD) e queda da Demanda Bioquímica de Oxigênio (DBO). Além de uma diminuição no efeito nos gases produzidos por organismos em decomposição anaeróbica, como podemos citar o gás metano e o ácido sulfídrico.
Contudo, além dos processos supracitados, existe um fenômeno de propagação e transporte de poluentes causados pela ocorrência conjunta de difusão molecular, concomitante com a turbulenta e da própria advecção, denominado de dispersão.
instante de tempo. Então assim, a descrição do modelo representa uma equação linear de primeira ordem separável.
(2.1)
Onde:
→ é a demanda bioquímica de oxigênio;
→ é a constante de desoxigenação à qual depende do efluente;
Separação de variáveis:
(2.2)
Integra-se em t
∫ ∫ (2.3)
Gera uma função logarítmica
(2.4)
A DBO tem uma taxa de decaimento com modelo do tipo função exponencial
2.4 Equações diferenciais
Segundo Zill (2001, p. 2) a definição de equação diferencial, consiste em uma equação que contêm derivadas, ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes. As equações diferenciais são classificadas pela ordem, tipo e linearidade.
2.4.1 Classificação de equações diferenciais quanto ao tipo
Se uma equação contém somente derivadas ordinárias, com relação a uma única variável dependente, a mesma é dita Equação Diferencial Ordinária (EDO), como exemplo:
(2.6)
(2.7)
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP), como exemplo:
(2.8)
(2.9)
2.4.2 Classificação de equações diferenciais quanto à ordem
2.4.3 Classificação de equações diferenciais quanto à linearidade
Uma equação diferencial ordinária é chamada de linear quando pode ser escrita na forma:
(2.10)
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
(i) A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau;
(ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente
2.4.4 Solução de equação diferencial linear de 1ª ordem
Uma equação linear de primeira ordem é toda equação do tipo:
(2.11)
É importante sabermos solucionar essa equação, haja vista muito problemas serem modelados por ela, como exemplo podemos citar, problemas de: decaimento radioativo, crescimento de bactérias, mistura de líquidos, intrusão salina, datação de carbono 14, entre outros. Então assim, para determinamos uma solução para (2.11), vamos utilizar uma função auxiliar , por enquanto desconhecida, à qual é comumente chamada de fator integrante ou fator de integração da equação linear. Multiplicando, então a equação (2.11) por e impondo que o resultado à esquerda da igualdade, seja a derivada com relação a do produto de . Temos que:
(2.12)
Então,
Assumindo e integrando em ,
∫ ∫ ∫ (2.14)
Tomando e usando a definição de logaritmo, determinamos a função auxiliar,
∫ (2.15)
Supondo (2.15) voltamos para a equação (2.12) e conclui-se que:
(2.16)
Integrando, chega-se que:
∫ (2.17)
E, enfim, chegamos à solução geral:
∫ ∫
(2.18)
2.4.5 Equações diferenciais de 2ª ordem
Para solucionarmos uma equação diferencial de 2ª ordem, do tipo linear e não homogênea, faremos uso do Método da Variação de Parâmetros (MVP).
Seja a equação de segunda ordem
+ + (2.19)
Admitindo , colocamos na forma dita padrão:
+ + (2.20)
Supondo que e sejam solução de (2.20), sabe-se que a combinação linear, abaixo, em que e , são constantes denominadas parâmetros, também é solução de (2.20), à qual recebe o nome de função complementar:
Chamaremos de , uma solução particular de (2.20), que obteremos variando os parâmetros e , isto é:
(2.22)
Para substituir (2.22) em (2.20), precisamos obter e , daí, impondo para simplificar os cálculos de primeira e segunda derivada:
(2.23) Derivando (2.22) e usando (2.23), temos:
+ (2.24)
Com isso,
+ (2.25)
Substituindo (2.25) em (2.20), segue-se que:
+ +
[
] + +
(2.26)
Mas como e são soluções de (2.20), tem-se:
+ + + + (2.27)
Dessa forma, chegamos ao seguinte sistema de Cramer, nas variáveis e :
(2.28)
A solução em questão pode ser expressa através de determinantes:
; (2.29)
Onde
O determinante é chamado de Wronskiano e quando é não nulo indica que o conjunto { é Linearmente Independente (LI) e, portanto, é um conjunto solução da EDO. Com isso, a solução geral de (2.20), é a soma da função complementar , com a solução particular .
(2.31)
2.4.6 Equações diferenciais de ordem superior
Podemos generalizar o método anterior para equações lineares homogêneas de ordem n, da seguinte forma:
(2.32)
Como a ordem é de ordem n a função complementar é a combinação linear, abaixo:
(2.33)
Com isso, temos uma solução particular para (2.32) é
(2.34)
Podemos determinar os , por uma sistema de Cramer de n equações e n incógnitas. De modo que o cálculo dos , é feito naturalmente através de integral na variável , então temos que:
{
(2.35)
Com isso, pela regra de Cramer, concluímos que:
Sendo que é o Wronskiano e é o Wronskiano, cuja i-ésima coluna tem como coeficientes:
(2.37)
2.4.7 Aproximação em série de potências para uma equação diferencial linear de segunda ordem
Para se encontrar a solução geral de uma equação diferencial de 2ª ordem faz-se necessário à determinação de um conjunto fundamental de solução, à qual geralmente é formada por funções elementares analíticas linearmente independentes, ou seja, o Wronskiano do conjunto fundamental deve ser não nulo e, cada função, pode ser expressa em uma série de potências, ou série de Taylor na vizinhança de um determinado ponto.
2.4.8 Série de potências
Definimos série de potências em é uma série da forma:
∑
(2.38)
Uma série de potências converge em um determinado ponto , se o limite da série existir e for finito. Isto é:
∑
(2.39)
É possível mostrar que toda série absolutamente convergente é convergente, mas a recíproca não é verdadeira.
∑| |
∑| || |
(2.40)
Então,
∑
(2.41)
Teste da razão para a convergência em módulo:
Se e se para um valor fixo de :
|
| | | |
| | | (2.42)
Então a série em questão é convergente, caso | | ; divergente se
2.4.8.1 Raio de convergência de uma série de potência
Existe um número não negativo , chamado de raio de convergência, tal que ∑ , converge absolutamente para | | e diverge para | | . Caso a série convirja em apenas um ponto , define-se ; caso a série convirja para todo , dizemos que é infinito. Então assim, se tivermos , o intervalo | | é conhecido como intervalo de convergência, ou vizinhança do ponto .
Figura 2.2 – Raio de convergência de uma série Fonte: Figura modificada, Boyce (2010, p. 132.)
Encontrar uma solução para EDO em série de potência:
(2.43)
A solução é o conjunto independente , ou seja a combinação linear dos elementos desse conjunto linearmente independente, cujo wronskiano é diferente de zero, a saber:
Esse tipo de equação não esboça dificuldades, mas serve para mostrar a aplicação do método em série. Isto é, tome
∑
(2.45)
Derivando termo a termo temos que:
∑
(2.46)
Derivando novamente,
∑
(2.47)
Substituindo na equação original
∑
∑
(2.48)
Trocamos o índice do primeiro somatório substituindo por , iniciando agora do zero ao invés de dois, segue-se que:
∑
(2.49)
Para que a soma seja nula é necessário e suficiente que
(2.50)
Temos então uma relação de recorrência para índices pares, na qual variamos os valores de :
(2.51)
(2.53)
(2.54)
Para os índices ímpares, temos uma relação análoga:
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
A rigor teríamos que provar a validade das fórmulas de recorrência por meio de indução matemática. Contudo, por se tratar de um requisito básico e elementar, aceitaremos sem demonstrar esse fato.
Substituindo os coeficientes encontrados na fórmula de série de potências:
∑
(2.59)
Por conseguinte:
(2.60)
O desenvolvimento de uma função em série de Taylor ou Maclaurin na vizinhança do ponto , é dado por:
∑
(2.62)
É fácil ver que a expansão em série de Taylor da função é:
(2.63)
A expansão em série de Taylor da função :
(2.64)
Conclui-se que a solução da equação diferencial de 2ª ordem:
(2.65)
É dada pela combinação linear das funções e de , assim:
(2.66)
+
2.4.9 Série de Fourier
Muitos problemas que envolvem Equações Diferenciais Parciais (EDP) são solucionados com o uso de séries infinitas. Entre elas a conhecida série de Taylor, e as que são combinações de senos e cossenos e são chamadas de séries de Fourier, às quais, exercem um papel importante no método de separação de variáveis e são escritas nessa forma:
∑
(2.67)
As séries de Fourier também são vistas em uma ampla gama de problemas físicos e de Engenharias, entre os quais, temos os de análises de sistemas mecânicos e de molas, bem como sistemas elétricos.
Uma propriedade bem conhecida de funções seno e cosseno é da sua periodicidade de radiano, isto é de maneira geral uma função é dita periódica com período se o domínio de contém , sempre que contiver e se:
(2.68)
Outra propriedade importante de funções seno e cosseno é a sua ortogonalidade dessa forma escreve-se um produto dito interno ou escalar padrão de duas funções reais no intervalo , como:
∫ (2.69)
Observa-se que analogamente ao caso de vetores o produto escalar é dito ortogonal se , isto é:
∫ (2.70)
As funções e ; ; seguem as seguintes relações de ortogonalidade:
I. Caso ,
∫
II. Caso ,
∫
(2.72)
Para quaisquer e ,
∫
(2.73)
III. Caso ,
∫
(2.74)
IV. Caso ,
∫
(2.75)
2.4.10 Equações diferenciais parciais e o método de separação de variáveis.
Em muitos ramos da Física, da Engenharia e da própria Matemática, nos quais são envolvidos fenômenos como difusão, propagação do calor, processos oscilatórios e teoria do potencial. Assim como, outros problemas estacionários e transientes envolvem, diretamente, equações diferenciais parciais, entre as quais, a equação do calor, a equação de Laplace e a equação da onda.
Um dos métodos mais antigos para solucionar equações desse tipo, é o Método da Separação de Variáveis. Este método foi usado por volta do ano de 1750, por vários matemáticos de renome como D’Alembert, Daniel Bernoulli e Euler (BOYCE, 2002, p. 311).
ser usada para cálculos de equações diferenciais, através de aproximação numérica. Contudo, ao invés de ser uma série que combina potências com as derivadas da função no ponto de interesse, a mesma aproxima harmonicamente, através da combinação de senos e cossenos.
Seja, abaixo, a Figura 2.3, que ilustra uma barra, na qual há uma propagação de calor, evidenciando a função , dependente da distância e do tempo e suas respectivas, condições de contorno estacionárias nas extremidades.
Figura 2.3 – Barra de propagação de calor Fonte: Figura Modificada, Boyce (2002, p. 311)
A equação do calor tem a forma:
(2.76)
Onde é uma constante conhecida como difusividade térmica, à qual depende da natureza do material do qual a barra é feita e é definido por:
(2.77)
Para resolvermos o problema temos que encontrar uma função do tipo que satisfaça (2.76) e que obedeça a condição inicial, abaixo, com uma função dada por:
(2.78)
Suponha ainda que a temperatura seja constante igual à zero nas extremidades, é o que chamamos de condições de contorno, a saber:
(2.79)
Para usarmos o método conhecido como separação de variáveis, temos que primeiro supor que pode ser escrita como produto:
(2.80)
Assim substituímos (2.80) em (2.76) e obtemos:
(2.81)
Separando as variáveis de , tem-se
(2.82)
Igualamos a uma constante – , chamada de constante de separação,
(2.83)
Reduzimos o problema de EDP para EDO:
{ (2.84)
Uma solução para a equação (I) do sistema (2.84) é encontrada utilizando uma equação característica:
(2.85)
Ou seja,
√ √ (2.86)
Sendo assim, é sabido que:
√ √ (2.87)
Em face disso, usando a condição de contorno,
(2.88)
√ (2.89)
Como , e √ , logo como a função seno se anula para os múltiplos inteiros de . Conclui-se que:
√ (2.90)
Substituindo em (2.84) item (II), temos,
(2.91)
Resolvendo a equação, chega-se que:
(2.92)
Usando o fato expresso em (2.80) chega-se que,
(2.93)
Vamos tomar então,
∑
(2.94)
E igualando a
∑
∑
(2.95)
Evidentemente temos que admitir que a série convirja e verifique a condição inicial do problema posto, com isso,
∑
(2.96)
A série encontrada é a serie de Fourier, que está convergindo para a condição inicial de distribuição de temperatura . Cujos coeficientes são devidamente encontrados e estão bem definidos na forma:
∫ (2.97)
Tabela 2.4 – Valores de Difusividade Térmica
Fonte: Boyce (2002, p. 311)
VALORES DE DIFUSIVIDADE TÉRMICA PARA ALGUNS MATERIAIS COMUNS
Material (
Prata 1,71
Cobre 1,14
Alumínio 0,86
Ferro fundido 0,12
Granito 0,011
Tijolo 0,0038
3. METODOLOGIA
Os métodos numéricos são muito importantes, haja vista à maioria dos problemas que surgem em Física e em Engenharia consistem de Equações Diferenciais. Quer sejam Equações Diferenciais Ordinárias ou Equações Diferenciais Parciais, muitas têm um nível de complexidade bem alto de tal modo que é extremamente difícil, ou em muitos casos impossível, encontrarmos uma solução analítica para o problema.
Existem vários métodos numéricos que servem de ferramenta para resolver as referidas equações diferenciais, entre eles, existem: diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno e, agora mais recentemente, tem recebido a devida atenção de estudiosos, o método conhecido como “sem malhas” (MESHLESS). Isto é devido ao fato de não ser necessário a discretização dos pontos do domínio da função, de modo a formar malhas e também, por conta de suas propriedades de convergência.
3.1 O método sem malhas: Funções de Base Radial
Uma função RBF é chamada assim por conta da sua dependência, ou simetria radial, da distância entre um ponto central da função e um ponto genérico denotado por .
As funções de base radial se apresentam da seguinte forma:
( ) (‖ ‖) (3.1)
A norma ‖ ‖ representa a distância entre e , à qual chamaremos de r. As funções de base radial a serem estudadas também dependem de um parâmetro de forma, c, sendo então expressas da seguinte maneira:
(‖ ‖ ) (3.2)
Onde, respectivamente o caso unidimensional e o n-dimensional:
[ ] (3.3)
( ) (3.4) Alguns exemplos de Funções de Base Radial (RBF) estão dispostos na tabela a seguir:
Tabela 3.1 – Funções de base radial
RBF Tipo de função
Splines de Placas Finas | | | | , com par
Multiquadráticas √
Multiquadráticas Inversas
Gaussianas
De acordo com Ferreira (2009) o método trabalha com pontos espalhados no domínio de interesse e o interpolador RBF é uma combinação linear de funções de base radial centrada nos pontos :
∑
(3.5)
Sendo que é número de pontos de dados; os são os coeficientes a serem determinados; e é a função de base radial.
Um problema a ser transposto é determinar um , parâmetro de forma ótimo, de modo a reduzir ao máximo o erro e, por conseguinte o resíduo na discretização de pontos no computador, haja vista linguagem de computação entender apenas a Aritmética discreta. Contudo, trataremos desse problema de determinação do parâmetro de forma, a posteriori.
3.2 Operadores lineares aplicados em uma EDP
Seja um problema do tipo EDP elíptica:
com (3.6)
Com condições de contorno do tipo:
com (3.7)
Onde:
e são operadores lineares que dependem do tipo de problema a ser estudado. é um operador linear parcial diferencial. É importante lembrar que .
Por exemplo, para uma equação do tipo:
Pode-se escrever esta equação na forma, , onde:
(3.9)
Se a condição de contorno for do tipo Dirichlet então,
(3.10)
3.3 Método de Kansa
Segundo Ferreira (2009) as primeiras tentativas de resolver EDP com técnicas RBF foram feitas por Kansa, por volta de 1990. Desde então, vários estudos foram desenvolvidos para investigar a aplicabilidade deste método para solução numérica de EDP, no qual, de acordo com Liu (2001) e Ferreira (2009), utilizou-se a seguinte função de aproximação:
∑
(3.11)
Para um problema do tipo EDP elíptica, estacionário, o qual independe do tempo:
; (3.12)
Com condições de contorno de um problema de Dirichlet:
; (3.13)
onde e são operadores lineares e é a fronteira, ou contorno de . Substituindo a função de aproximação na equação diferencial, tem-se:
[∑
]
(3.14)
Sendo L um funcional linear,
[∑
]
Substituindo a função de aproximação na condição de contorno
∑
(3.16)
Ou, simplesmente:
∑
(3.17)
Assim, o problema se resume a resolver um sistema na forma matricial do tipo:
(3.18)
A matriz de colocação A é formada por dois blocos:
[ ] (3.19)
Os dois blocos são gerados da seguinte maneira:
[ (‖ ‖ )] tal que (3.20)
(‖ ‖ ), com, (3.21)
O conjunto X é dividido em pontos do contorno e pontos do interior de Ω. O vetor y é constituído das entradas de e , da seguinte forma:
[ ] (3.22)
Pode-se notar que uma mudança nas condições de contorno da matriz acarreta em uma simples mudança de algumas linhas da matriz de colocação A e do vetor do lado direito, y. De forma mais clara, tem-se um sistema matricial da seguinte forma:
O sistema é então resolvido para os e esses valores são em seguida substituídos na função de aproximação.
(3.24)
Qualquer equação diferencial, com ou sem solução analítica conhecida pode ser, solucionada com uso do Método numérico sem malhas. Nessa perspectiva, a posteriori, trataremos primeiro de uma equação diferencial ordinária linear, de 1ª ordem, depois evoluindo para de 2ª ordem e por fim, faremos uso de um problema usando EDP, de 2ª ordem transiente. Para tanto, faz-se necessário o uso de uma ferramenta computacional, como o SCILAB, para desenvolvermos uma rotina de otimização do parâmetro de forma c.
3.4 Equação geral apresentada no SCILAB
( ) (3.25)
Inicialmente implementamos a rotina que solicita ao usuário os seguintes parâmetros de entrada:
Números de pontos do domínio;
Os limites inferior e superior do domínio; Valores das condições de contorno; Parâmetro de forma “ ”.
Atribuir em seguida os valores das constantes envolvidas na EDO, ou seja, os valores de e . De maneira a deixar claro para o programa a forma da EDO envolvida no problema.
a) Os vetores com os pontos do domínio; b) Determinar a EDO envolvida;
c) Determinar a matriz de distâncias ; d) Determinar a matriz :
√ (3.26)
Onde,
√( ) (3.27)
e) Obter a matriz ), que varia em função da EDO envolvida:
(3.28)
f) Montar a matriz A, a partir da matriz e :
n n, n,1 n 1, n 1,1 n n 2, 2,1 n 1, 1,1 Φ ... Φ : ... : Φ L ... Φ L Φ L ... Φ L Φ ... Φ (3.29)g) Em seguida o programa verifica se a matriz formada possui inversa e a gera, se sim ele prossegue, caso contrário envia uma mensagem informando que a matriz gerada não possui inversa;
h) Determina o vetor y; i) Determina os valores de λ; j) Gera a matriz de aproximação.
(3.30)
Seguem, doravante, as legendas com as quais denotamos os elementos e matrizes do sistema:
e → São as matrizes que armazenam os pontos envolvidos na discretização dos pontos do domínio e j;
→ Valor da distância entre os pontos e ;
→ Matriz com os valores das distâncias ;
→ Contêm os valores da matriz ;
→ Contêm os valores da matriz L(Ф);
→ Contêm os valores da matriz L(Ф) para o termo da 1ª derivada;
→ Contêm os valores da matriz para o termo da 2ª derivada;
→ Contêm os valores da matriz A;
→ Contêm os valores da matriz inversa de A;
→ Contêm os valores do vetor y;
4. SIMULAÇÕES E RESULTADOS
Utilizaremos primeiro, para ilustrar, o método sem malhas (MESHLESS) em uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem, EDO. De início a solução da EDO, abaixo, é simples de ser obtida utilizando o método do fator de integração. Em seguida, utiliza-se o método sem malhas, propriamente dito, com a função de base radial, mais conhecida como método de Kansa. Então gera-se as matrizes do problema, plota-se em um gráfico a solução numérica e a solução analítica com o objetivo de observarmos o comportamento e o ajustamento das curvas, concluindo portanto que nesse caso a suposição do parâmetro de forma c, como sendo a razão entre dois e a raiz quadrada de n, onde este é o número de pontos, serviu nesse primeiro momento para estimarmos um valor próximo a solução real do problema apresentado.
Doravante, utilizaremos um problema mais complexo utilizando a Equação de Difusão Pura e da Equação de Difusão Advecção, à qual separaremos as variáveis e encontraremos a sua solução quase analítica, via série de Fourier, para por fim usarmos de diferenças finitas e aplicarmos a rotina MESHLESS, ou método, sem malhas, no SCILAB, para modelarmos o problema, apresentarmos as suas matrizes e plotarmos os resultados da comparação entre a solução analítica e a solução numérica, via método de Kansa.
4.1 Aplicação do método sem malhas (MESHLESS) em uma EDO via Método de Kansa.
Nesse exemplo, vamos aplicar o método sem malhas com função de base radial (RBF) e com a aproximação de Kansa, para resolver uma equação diferencial ordinária e de primeira ordem.
Iniciaremos a aplicação do método numérico sem malhas, aplicando-o a uma Equação Diferencial Linear de 1ª ordem, EDO, descrita a seguir, com sua respectiva condição de contorno:
É fácil mostrar que a solução da equação diferencial é:
(4.2)
Nesse caso, em particular, a solução analítica é conhecida, mas com o desenvolvimento de estudos através dos métodos sem malha, é possível estimar uma solução numérica, mesmo sem conhecer a solução analítica. Neste trabalho, porém, nossa missão é de comparar a solução numérica, obtida através de métodos sem malha, com a solução analítica de algumas equações diferenciais. O estudo requer a otimização do parâmetro de forma, de modo a melhorar a precisão e, por conseguinte, tornar o erro pequeno. Nessa perspectiva, o princípio dos métodos sem malha baseia-se da não necessidade de utilizarmos uma relação entre os nós, assim como o próprio nome sugere, evitaremos o traçado de uma malha na discretização dos pontos. Mas o que vem a ser uma malha? Segundo LIU: “Uma malha é definida como qualquer um dos espaços abertos ou interstícios entre os fios de uma rede que é formada ligando os nós de uma forma pré-definida” (LIU, 2003, p.19).
Para a aplicação do método sem malhas com aproximação de Kansa, considere a seguinte solução aproximada ( ):
∑ ( )
(4.3)
Sendo que:
O número de pontos ( ; Linha ;
Coluna ;
Parâmetro de forma ( ;
Matriz das distâncias com N linhas e N colunas
Matriz da função de base radial com N linhas e N colunas (
Vetor com N elementos que contém os coeficientes da solução aproximada
( ) (4.5) Para cada ponto ( ):
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.6) N 1 N N, N,1 N 1, -N 1,1 -N N 2, 2,1 N 1, 1,1 1 2 1 c) , (r c) , (r c) , (r c) , (r c) , (r c) , (r c) , (r c) , (r ) ( ) ( ) ( ) ( N N x Y x Y x Y x Y (4.7)
Na forma compacta:
(4.8)
Para aplicar a aproximação de Kansa ao problema, observe os passos para a resolução:
1. Escolher um intervalo para a resolução da EDO. Nesse caso, vamos trabalhar com um intervalo [0,2].
2. Escolher o número de pontos e a sua localização. Considere inicialmente 7 pontos, distribuídos em intervalos iguais.
3. O valor do parâmetro de forma é arbitrário, nesse caso, adotaremos a seguinte aproximação (FERREIRA, 2009 p.87):
√ √
(4.9)
4. Aplicar a aproximação de Kansa
Observe que o vetor Lambda, que representa o coeficiente para a aproximação, apresenta um valor constante, considerando um parâmetro de forma conhecido,
Portanto:
(4.10)
Substituindo na equação diferencial:
(4.11)
Organizando a equação:
(4.12)
A equação pode ser reescrita da seguinte forma:
(4.13)
Tem-se que:
(4.14)
(4.15)
(4.16)
5. Desenvolver os termos da EDO
A) Desenvolvendo para FI:
Desenvolvendo a equação:
√( ) √ (4.18)
B) Desenvolvendo para DFI:
Observamos que é a variável , assim a derivada de FI pode ser expressa como:
[ ( )] √( )
(4.19)
Organizando a equação:
[( )] √( )
√
(4.20)
6. Substituir na equação diferencial:
√
√
(4.21)
Substituindo na equação diferencial:
√
√
(4.22)
Na forma matricial, temos que:
7. Condição de contorno
Nesse exemplo, e EDO apresenta a condição de contorno . Com base na aproximação de Kansa, a solução aproximada pode ser expressa por:
( ) ( ) ( ) (4.24)
Na forma compacta:
(4.25)
8. Agrupando as condições de contorno com a EDO, temos que para a determinação dos coeficientes do vetor LÂMBDA, faz-se preciso a resolução de um sistema de equações. Nesse sentindo, agruparemos as equações, substituindo a primeira linha da matriz da EDO pela sua condição de contorno. Feito isso, segue-se que:
{
( ) ( ) ( )
(4.26)
Ou, equivalentemente, em sua forma matricial, temos que:
N 1 N N, N,1 N 1, -N 1,1 -N N 2, 2,1 N 1, 1,1 LFI LFI LFI LFI LFI LFI FI FI ) ( )) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( N X N X X Y (4.27)
Observe que, nesse caso, a condição de contorno com e corresponde a primeira linha da matriz. Na forma compacta:
Nesse caso:
A= Matriz com os coeficientes FI (primeira linha) e LFI (demais linhas)
F= Vetor com o coeficiente Y(1), para a primeira linha e X(i) para as demais linhas, tem-se X(i) representa o vetor para a variável x, no intervalo [0,2].
9. Montar as matrizes e Vetores (para N=7) Vetores , , dispostos na tabela 4.1, abaixo:
Tabela 4.1 – Discretização dos pontos do domínio da EDO de 1ª ordem
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0.3333 0.6667 1.0000 1.3333 1.6667 2.0000
2 0.3333
3 0.6667
4 1.0000
5 1.3333
6 1.6667
7 2.0000
Matriz R= :
( ) (4.29)
Tabela 4.1 – Matriz R das distâncias
1 2 3 4 5 6 7
Matriz FI = :
√ (4.30)
Tabela 4.11 – Matriz FI = ϕ, função de interpolação, ponto a ponto.
1 2 3 4 5 6 7
0.755929 0.826146 1.007927 1.253566 1.532683 1.830114 2.13809 0.826146 0.755929 0.826186 1.007927 1.253566 1.53277 1.830114 1.007927 0.826186 0.755929 0.826146 1.007861 1.253566 1.532683 1.253566 1.007927 0.826146 0.755929 0.826146 1.007927 1.253566 1.532683 1.253566 1.007861 0.826146 0.755929 0.826186 1.007927 1.830114 1.53277 1.253566 1.007927 0.826186 0.755929 0.826146
2.13809 1.830114 1.532683 1.253566 1.007927 0.826146 0.755929
Matriz DFI:
√
(4.31)
Tabela 4.12– Matriz DFI das derivadas da função FI, ponto a ponto.
1
Matriz LFI
(4.32)
1 2 3 4 5 6 7
0.755929 0.422707 0.346471 0.455842 0.662771 0.919406 1.202676 1.229586 0.755929 0.422646 0.346471 0.455842 0.662842 0.919406 1.669384 1.229727 0.755929 0.422707 0.346461 0.455842 0.662771 2.05129 1.669384 1.229586 0.755929 0.422707 0.346471 0.455842 2.402595 2.05129 1.669262 1.229586 0.755929 0.422646 0.346471
2.402698 2.05129 1.669384 1.229727 0.755929 0.422707
2.740822 2.402595 2.05129 1.669384 1.229586 0.755929
Matriz A:
(4.33)
1 2 3 4 5 6 7
0.755929 0.826146 1.007927 1.253566 1.532683 1.830114 2.13809 1.229586 0.755929 0.422646 0.346471 0.455842 0.662842 0.919406 1.669384 1.229727 0.755929 0.422707 0.346461 0.455842 0.662771 2.05129 1.669384 1.229586 0.755929 0.422707 0.346471 0.455842 2.402595 2.05129 1.669262 1.229586 0.755929 0.422646 0.346471 2.740822 2.402698 2.05129 1.669384 1.229727 0.755929 0.422707 3.073504 2.740822 2.402595 2.05129 1.669384 1.229586 0.755929 Tabela 4.13 – Matriz LFI, soma das matrizes FI e DFI
10. Inverter a matriz A, determinaremos o coeficiente LAMBDA e a solução numérica. Matriz :
(4.34)
1 2 3 4 5 6 7
-0.73976 8.641945 -15.5759 17.63564 -16.5333 13.48034 -5.35704 0.072258 -18.016 40.85807 -52.1484 50.94688 -42.11 17.52807 1.947293 12.09544 -40.0311 66.23726 -72.7824 62.59557 -26.7075 -2.65666 -3.34656 19.36612 -49.0664 69.92078 -67.9038 30.11678 2.974397 -0.1808 -4.61464 21.72549 -45.8846 58.43369 -28.8928 -2.61038 1.201901 -0.63025 -5.01575 16.9383 -33.4516 20.4409 1.443143 -0.73317 1.083888 0.176638 -2.13043 8.553822 -6.73079
-3.1174 0.0000 4.0000 4.0000 0
2.1742 0.3333 2.9160 3.0171 0,101087
2411 0.6667 2.2338 2.2934 0,05964
-7.6124 1.0000 1.8394 1.8898 0,050411
8.9147 1.3333 1.6513 1.6805 0,029199
-7.7657 1.6667 1.6110 1.6395 0,028501
4.3817 2.0000 1.6767 1.6860 0,009293
Tabela 4.15– Inversa da matriz de colocação A
4.1.1 Vetor Resíduo - VR
O vetor resíduo é definido pelo produto da matriz A pela matriz , subtraído pela matriz F. Sua importância deve-se ao fato de servir como indicador da qualidade da aproximação entre a solução numérica e a solução analítica de uma determinada equação diferencial. Isto por que, para cada c, parâmetro de forma, gera-se um vetor resíduo e quanto menor for o somatório do módulo das componentes deste, melhor será a aproximação e, então, podemos identificar o parâmetro de forma c – ótimo. Nesse exemplo, em particular, o parâmetro de forma foi arbitrário e igual a 0,755929 (vide item 4.9), contudo esses valores sugeridos na literatura nem sempre refletem em um resultado razoável, por isso, a posteriori, faremos o uso da plataforma SCILAB 5.4.1, para otimizarmos o parâmetro de forma.
Então, nesse caso particular, a somatória dos módulos das componentes do vetor resíduo , é o número ínfimo, apresentado abaixo, que caracteriza uma aproximação significativamente razoável:
∑| |
(4.35)
Eis abaixo, nas figuras, 4.1; 4.2 e 4.3, a comparação gráfica entre a solução numérica e a solução analítica, através da simulação com, respectivamente, 5, 7 e 10 pontos de discretização do domínio, no qual a equação está definida e com um parâmetro de forma c suposto igual a 0,755929.
Tabela 4.17– Componentes do vetor resíduo, VR, da EDO de 1ª ordem = (A
-7,10543x10-15
-9,4369x10-16 2,18714x10-14
1,64313x10-14 6,88338x10-15 5,77316x10-15
