Resumo. Abstract. 1. Introdução

(1)

Este Trabalho Técnico foi preparado para apresentação na Rio Oil & Gas Expo and Conference 2014, realizado no período de 15 a 18 de setembro de 2014, no Rio de Janeiro. Este Trabalho Técnico foi selecionado para apresentação pelo Comitê Técnico do evento, seguindo as informações contidas no trabalho completo submetido pelo(s) autor(es). Os organizadores não irão traduzir ou corrigir os textos recebidos. O material conforme, apresentado, não necessariamente reflete as opiniões do Instituto Brasileiro de Petróleo, Gás e Biocombustíveis, Sócios e Representantes. É de conhecimento e aprovação do(s) autor(es) que este Trabalho Técnico seja publicado nos Anais da Rio Oil & Gas Expo and Conference 2014.

______________________________________

1

Graduado, Engenheiro de Petróleo - Petrobras

2

Doutor, Engenheiro Eletricista – UFRN

3

Doutora, Engenheira Civil – UFRN

CÁLCULO DA CARTA DINAMOMÉTRICA DE FUNDO

PARA SISTEMAS DE BOMBEIO MECÂNICO

Antônio P. Araújo Jr

1

, André L. Maitelli

2

,

Carla W. S. P. Matelli

3,

Rutácio O. Costa

4

Resumo

O trabalho apresenta o desenvolvimento de um algoritmo para cálculo da carta dinamométrica de fundo de poços verticais equipados com Bombeio Mecânico a partir da carta dinamométrica de superfície e da composição da coluna de hastes. Tal técnica permite uma melhor avaliação de parâmetros produtivos dos poços equipados com Bombeio Mecânico, tais como curso efetivo do pistão e potência demandada pela bomba. Esses dados possibilitam a análise detalhada do desempenho dos equipamentos instalados nos poços, a partir da determinação da carga ao longo de toda a coluna de hastes, e garantem a correta explotação dos reservatórios, devido à melhor estimativa de parâmetros da bomba de fundo, tais como vazão e pressão de admissão.

Abstract

This paper presents the development of an algorithm for calculation of the pump card of sucker-rod pumping systems from the surface dynamometer card and the composition of the rod string. This technique permits a better evaluation of production parameters of sucker-rod wells, such as the effective plunger stroke and power demanded by the pump. These data allow a detailed analysis of the performance of equipments installed in the wells from the determination of the load over the entire rod string and guarantee the correct exploitation of the reservoirs, due to better estimate of the pump information as flow rate and intake pressure.

1. Introdução

(2)

da carta de fundo, descrito neste artigo, é realizado pela solução da equação da onda amortecida, que descreve o comportamento das hastes de bombeio.

2. Aspectos teóricos

2.1. Bombeio Mecânico

O Bombeio Mecânico Alternativo, ou simplesmente Bombeio Mecânico (BM), é o método de elevação artificial mais utilizado no mundo em número de poços (Takács, 2003). O início do BM como método de elevação artificial de petróleo se confunde com o início da própria indústria de petróleo, no século XIX. Naqueles tempos, os poços eram perfurados com brocas fixadas à extremidade de cabos de aço, que eram elevados e abaixados por vigas de madeira (“cavalos-de-pau”). Muitas vezes, o mecanismo era acionado por máquinas a vapor (Figura 1). Uma vez concluído o período de surgência dos poços, uma bomba alternativa era descida na extremidade de uma coluna de hastes e acionada pelo mesmo mecanismo de superfície que perfurou o poço.

Figura 1. Máquina movida a vapor (Fonte: Wikimedia Commons. Basic diagram of a walking beam engine, junho 2012. Disponível em http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Walking_beam_engine.jpg. Acesso em 17 novembro 2013)

Takács (2003) sugere a divisão do BM em três partes principais: a Unidade de Bombeio (UB), a coluna de hastes e a bomba alternativa (ver Figura 2). A UB, instalada na superfície, transforma o movimento rotativo de alta velocidade de um motor (geralmente elétrico) em movimento alternativo de baixa velocidade. A coluna de hastes, normalmente metálica, transmite o movimento alternativo gerado pela UB à bomba. Por fim, a bomba alternativa, instalada no fundo do poço na extremidade de uma coluna de tubos, transmite a energia mecânica ao fluido na forma de pressão, viabilizando seu escoamento até a superfície.

(3)

2.2. Acompanhamento operacional

Segundo Takács (2003), a análise do desempenho operacional de poços equipados com BM compreende, basicamente, a avaliação da produtividade do poço e a interpretação de cartas dinamométrica coletadas na haste polida. A produtividade do poço pode ser obtida a partir da realização de testes de produção e medições (ou cálculo) da pressão (em fluxo ou estática) no fundo dos poços. Tais informações são úteis para avaliação do comportamento do reservatório e do desempenho hidráulico (vazões e pressões envolvidas) do sistema de elevação.

A carta dinamométrica, por sua vez, é a ferramenta mais importante para análise de um sistema de BM. Comumente medida na haste polida, trata-se do registro da carga em função da posição da haste. A Figura 3 apresenta um exemplo de carta dinamométrica. A interpretação do formato da carta dinamométrica permite a avaliação do desempenho dos equipamentos de superfície e subsuperfície.

Figura 3. Carta dinamométrica de superfície

De acordo com Takács (2003), devido às muitas interações entre os parâmetros que influenciem no formato e ao grande número de problemas possíveis no sistema de bombeio, infinitos padrões de cartas dinamométrica de superfície podem existir, tornando a análise delas “mais uma arte do que uma ciência exata”.

2.3. Cartas dinamométricas de fundo

Devido à imensa diversidade de padrões de cartas dinamométricas de superfície, o diagnóstico das condições no fundo do poço pode ser difícil a partir de uma simples inspeção visual. Assim, uma opção à análise das cartas dinamométricas de superfície é o uso de cartas dinamométricas tomadas imediatamente acima da bomba, chamadas de cartas dinamométricas de fundo – ilustrada na Figura 4.

Figura 4. Cartas dinamométricas de superfície e fundo

(4)

BM foi feita por Gibbs (1963) e tem o formato da Equação 1, onde u corresponde ao deslocamento da haste, s à distância axial ao longo da coluna de haste, t ao tempo, c ao coeficiente de amortecimento, e v à velocidade de propagação do som na haste. v é calculada pela Equação 2, onde E, ρ e g correspondem, respectivamente, ao fator _c de conversão de massa e ao módulo de elasticidade e massa específica da haste.

( )

t t s u c t t s u s t s u v ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ , 2, , 2 2 2 2 (1) ρ c Eg v= 144 (2)

Na Equação 1, o coeficiente de amortecimento c precisa ser determinado. Gibbs (1963) sugeriu, inicialmente, o uso de um coeficiente de amortecimento adimensional, calibrado a partir de medições de campo. Everitt (1992), por sua vez, elaborou um cálculo iterativo que, a partir da vazão e nível dinâmico do poço, encontra o valor apropriado para o coeficiente. Costa (1995), por fim, optou por adaptar um modelo sugerido por Lea, conferindo maior estabilidade numérica à solução.

Há diversas soluções publicadas para a equação da onda unidimensional. A maior parte delas segue duas abordagens: soluções analíticas ou soluções numéricas. As soluções analíticas usam a técnica de separação de variáveis. Os sinais de carga e posição da haste polida são expressos como séries de Fourier para, assim, permitir o cálculo da carga e deslocamento da bomba no fundo do poço. Para implementação em ambiente computacional, requer o truncamento das séries. A abordagem analítica foi usada por Gibbs (1967) e Barreto Filho (1993). Já as soluções numéricas aproximam as equações diferenciais por métodos numéricos. Tais soluções utilizam o Método das Diferenças Finitas. Segundo Cunha (1993), o método substitui as derivadas por aproximações obtidas a partir da série de Taylor. Assim, os termos diferenciais da equação da onda podem ser substituídos, por exemplo, por fórmulas semelhantes às apresentadas nas Equações 3, 4 e 5. A abordagem numérica foi utilizada por Gibbs (1963) para projeto de sistemas de BM, e por Everitt (1992), para cálculo de cartas de fundo.

( ) (

) ( )

t t s u t t s u t t s u ∆ − ∆ + = ∂ ∂ , , , (3)

( )

(

) (

)

s t s s u t s s u t s u s t s u ∆ ∆ − + ∆ − − = ∂ ∂ 2 , 2 , 4 , 3 , (4)

( ) (

)

( ) (

)

2 2 2 , , 2 , , s t s s u t s u t s s u s t s u ∆ ∆ − + − ∆ + = ∂ ∂ (5)

3. Modelagem do problema

3.1. Escolha da ferramenta computacional

A simulação de carga e deslocamento durante um ciclo de bombeio (função do tempo), ao longo da coluna de hastes (função da posição), exige a manipulação de grandes matrizes de dados. Assim, a linguagem de programação a ser usada deveria prover bibliotecas para tratamento de vetores e matrizes. Devido ao tempo para desenvolvimento do algoritmo ser limitado e não haver grandes exigências de desempenho computacional (ao menos durante o estudo da técnica), a linguagem a ser utilizada também precisaria ser de alto nível. Por fim, a existência de bibliotecas para geração de gráficos, inclusive tridimensionais, facilitaria a análise dos resultados. Assim, optou-se pela utilização da linguagem de programação Scilab. Além dos requisitos enumerados, o software é gratuito, permitindo a reprodução dos algoritmos sem a necessidade de desembolso financeiro.

3.2. Geração da carta de fundo para poços verticais

(5)

(

)

( )

(

)

( )

              ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∆ ∆ − −       ∆       ∆ ∆ + = ∆ + − − + + t t s u c t t s u g A s t s s u t s u s EA s EA s t s u t s s u c , , 144 , , , , ₂ 2 ρ (6)

Para o cálculo da carga atuante ao longo da coluna de hastes, recorremos à segunda lei de Newton, aplicando-a sobre o balanço de forças ilustrado na Figura 5. Essa abordagem é semelhante àquela proposta por Gibbs (1963). A equação resultando do balanço é expressa pela Equação 7.

Figura 5. Balanço de forças sobre elemento infinitesimal da haste

A força de amortecimento F , atuando no sentido oposto ao movimento das hastes, corresponde à fricção das _d hastes com o fluido e coluna de produção. Ela foi definida por Gibbs (1963) como expresso na Equação 8.

(

) ( )

( )

2 2 , , , t t s u m F W t s F t s s F d ∂ ∂ ⋅ = − + − ∆ + (7)

( )

t t s u c m Fd ∂ ∂ ⋅ ⋅ = , (8)

Substituindo a Equação 8 na Equação 7, e definindo o peso da seção como W =mg, encontraremos a expressão para cálculo da carga ao longo, apresentada na Equação 9.

(

)

( )

      − ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ⋅ + = ∆ + g t t s u t t s u c m t s F t s s F ₂ 2 _, , , , (9)

3.3. Amostragem e estabilidade numérica

Segundo Cunha (1993), o erro na aproximação para as equações diferenciais ordinárias pelo método das diferenças finitas é função do passo (∆s ou ∆t) escolhido. Tal função pode ser linear ou quadrática, a depender da fórmula usada. Assim, quanto menor o passo escolhido, menor o erro da aproximação. Por outro lado, a escolha de passos pequenos de discretização (seja do tempo ou do espaço) conduzirá a malhas de simulação maiores, aumentando a carga de processamento necessária para o cálculo da carta de fundo.

(6)

amostragem espacial, Everitt (1992) relata que a solução numérica proposta é estável se a condição expressa na Equação 10 for satisfeita. t v s≤ ⋅∆ ∆ (10)

Mesmo para sistemas de BM funcionando a altas frequências (20 ciclos por minuto, por exemplo), os 50 pontos orientados por Shafer & Jennings (1987) gerariam períodos de amostragem temporal de 60ms. Considerando hastes metálicas, teremos ν ≅5.176m/s . Substituindo o valor de ν na Equação 10, encontramos o passo mínimo para discretização espacial da coluna de hastes.

06 , 0 5176⋅ ≤ ∆s (11a) m s≤310 ∆ (11b)

Shafer & Jennings (1987) também analisaram a sensibilidade da carta de fundo à discretização espacial da coluna de hastes. Eles concluíram que passos (∆s) entre 152 e 229m (50 a 75% do máximo permitido) levariam a resultados satisfatórios. Neste trabalho, optamos por trabalhar com 10% do máximo permitido. A diminuição do passo de simulação trouxe mais precisão ao cálculo sem comprometer o desempenho computacional. Caso a seção seja muito pequena (uso de hastes de peso, por exemplo), garantimos a existência de pelo menos três passos de simulação.

4. Resultados e discussões

A avaliação do desempenho do cálculo proposto neste trabalho será feita a partir da comparação com a técnica já em uso na Petrobras, desenvolvida por Barreto Filho (1993). Para análise do desempenho do cálculo da carta de fundo proposto, foram analisados diversos poços verticais no estado do Rio Grande do Norte equipados com Bombeio Mecânico. Conforme dados da Tabela 1, os sistemas de BM escolhidos possuem características diversas de profundidade, curso, CPM, composição de coluna de hastes e diâmetros de coluna de hastes e bomba de fundo. Tal diversidade permitiu uma melhor avaliação da técnica desenvolvida.

Uma vez definidos os sistemas a serem avaliados, cartas dinamométricas de superfície foram coletadas para cada um dos poços. Para cada carta dinamométrica de superfície, calculou-se sua respectiva carta dinamométrica de fundo. A qualidade da carta de fundo gerada pela técnica proposta foi comparada com aquela apresentada por Barreto Filho (1993) em três aspectos: curso efetivo do pistão, potência demandada pela carta de fundo e formato da carta. A avaliação do curso efetivo do pistão é importante na análise do deslocamento volumétrico da bomba, e consequentemente, da vazão do poço. A vazão da bomba (PD, em bpd) operando ininterruptamente ao longo de um dia pode ser calculada pela Equação 12, que depende diretamente do curso efetivo do pistão (S , em pol, calculado a partir _p da carta de fundo). A Equação 12 mostra que a vazão da bomba depende ainda do diâmetro do pistão (d , em in) e da velocidade de bombeio (CPM – ciclos por minuto, medido diretamente na superfície).

CPM S d PD 2 _p 1166 , 0 = (12)

A potência hidráulica demandada pela bomba, por sua vez, é o ponto de partida de qualquer discussão a respeito da eficiência de elevação. A comparação das potências demandadas na superfície e no fundo define a perda de energia sofrida ao longo da coluna de haste, relacionada ao atrito da haste com o fluido e a parede da coluna de produção. A potência hidráulica pode ser calculada a partir da área da carta. Entretanto, a área da carta de fundo, calculada a partir da Equação 13, possui dimensão de trabalho. Assim, para que a potência hidráulica seja encontrada, precisaremos multiplicar a área da carta pela frequência de bombeio. Considerando as unidades das grandezas físicas envolvidas, a potência hidráulica (P_HID, em HP) pode ser calculada pela Equação 14.

(7)

Tabela 1. Características dos sistemas de BM analisados P o ço P ro fu n d id a d e (m ) C u rs o ( in ) C P M ( rp m ) B o m b a ( in ) C o lu n a d e p ro d u çã o ( in ) Coluna de hastes Seção 1 Seção 2 (se houver) Seção 3 (se houver) D iâ m et ro ( in ) C o m p ri m en to ( m ) D iâ m et ro ( in ) C o m p ri m en to ( m ) D iâ m et ro ( in ) C o m p ri m en to ( m ) 1 725 146 8,1 2 ¾ 3 ½ ¾ 716 2 996 67 11,2 2 ¼ 2 ⅞ ⅞ ₄₅₇ _¾ ₅₃₃ 3 1196 122 10,6 2 ¼ 2 ⅞ ⅞ ₈ _¾ ₁₁₈₉ 4 682 53 11,4 1 ¾ 3 ½ ¾ 678 5 1598 107 11,3 2 ¼ 2 ⅞ ⅞ ₆₁₇ _¾ ₉₇₅ 6 235 56 10,5 2 ¾ 3 ½ ⅞ ₂₃₂ 7 184 56 9,8 2 ¾ 3 ½ ⅞ ₁₇₅ 8 165 64 6,9 2 ¾ 3 ½ 1 152 9 208 56 15,8 2 ¾ 3 ½ ⅞ ₁₉₈ 10 172 34 9,8 2 ¾ 3 ½ ⅞ ₁₈₄ 11 398 17 5,6 1 ¾ 2 ⅜ ⅝ 236 ⅞ 152 12 1621 52 9,9 1 ¾ 2 ⅞ ¾ 1608 13 843 73 13 1 ¾ 2 ⅜ ¾ 831 14 1277 59 10,5 2 ¼ 2 ⅞ ¾ 1265 15 1173 100 7,3 2 ¼ 2 ⅞ ¾ 1181 16 1243 63 10,7 2 ¼ 2 ⅞ ⅞ ₈ _¾ ₁₂₂₇ 17 850 63 16 2 ¼ 2 ⅞ ¾ 495 ⅝ ₃₅₁ 18 1198 31 11,3 1 ¾ 2 ⅞ ¾ 556 ⅝ ₆₄₀ 19 499 107 10,2 2 ¾ 3 ½ ⅞ ₄₉₅ 20 1802 88 6,4 1 ¾ 2 ⅞ ⅞ ₆₅₅ _¾ ₁₁₃₅ 21 1850 67 12,4 1 ¾ 2 ⅞ ⅞ ₆₉₃ _¾ ₁₁₅₁ 22 1275 63 7,3 2 ¼ 2 ⅞ ⅞ 541 ¾ 693 1 ¾ 8 23 1339 49 6,6 1 ¾ 2 ⅞ ⅞ ₄₈₉ _¾ ₈₃₈

Após o cálculo da carta de fundo usando a técnica desenvolvida por Barreto Filho (1993) e a proposta neste trabalho, os cursos efetivos e potências demandadas pela bomba foram registrados na Tabela 2. Para avaliação quantitativa dos resultados, calculamos o erro quadrático médio (MSE, definido pela Equação 15) e o desvio padrão do erro (SD, definido pela Equação 16). Em ambas as definições, Y corresponde à grandeza calculada pela técnica de i Barreto Filho (1993) e Yˆ_i àquela calculada a partir da técnica proposta neste trabalho.

Para o curso efetivo, o erro quadrático médio foi 0,096 e o desvio padrão do erro de 0,49%. Já para a potência demandada pela bomba, o erro quadrático médio foi de 0,035 e o desvio padrão do erro de 2,58%.

(8)

Tabela 2. Comparação de curso efetivo e potência hidráulica

Poço

Barreto Filho (1993) Técnica proposta

Curso efetivo (in) Potência (HP) Curso efetivo (in) Potência (HP)

1 136,4 13,1 136,3 12,9 2 57,0 8,3 57,2 8,2 3 112,7 16,5 113,5 16,1 4 47,7 3,5 47,7 3,4 5 111,7 7,6 112,3 7,2 6 55,2 2,0 55,2 1,9 7 55,7 2,7 55,7 2,5 8 63,9 1,5 63,9 1,5 9 55,9 3,6 56,0 3,5 10 33,3 1,1 33,3 1,1 11 15,2 0,2 15,4 0,2 12 31,1 1,1 31,2 1,1 13 73,5 4,6 73,5 4,4 14 35,7 5,2 35,6 5,0 15 79,9 4,2 79,3 4,1 16 53,0 4,8 53,2 4,7 17 64,7 6,1 64,8 5,9 18 16,4 0,6 16,4 0,6 19 104,9 9,0 104,9 8,8 20 62,5 4,7 62,6 4,6 21 51,8 4,4 52,1 4,0 22 45,4 5,5 46,1 5,6 23 41,1 2,0 41,4 2,0

Por fim, avaliou-se o formato da carta, comparando-se visualmente a sobreposição das cartas de fundo calculadas pela técnica proposta e aquela apresentada por Barreto Filho (1993). A sobreposição permitiu avaliar qualitativamente o cálculo proposto, indicando se a modelagem do problema foi apropriada e, eventualmente, existências de problemas no cálculo.

Figura 6. Cartas dinamométricas sobrepostas

(9)

6119lbf. A carga máxima observada foi de 6175lbf (diferença inferior a 1%). Por fim, a carta de fundo gerada pelo algoritmo proposto tem formato muito semelhante àquela gerada pelo algoritmo de Barreto Filho (1993).

6. Conclusões

A carta dinamométrica de fundo gerada a partir de uma abordagem numérica mostrou-se eficaz. Os resultados encontrados são semelhantes, sob os aspectos avaliados, àqueles alcançados por outros trabalhos que utilizaram abordagens analíticas. Além disso, foi possível avaliar melhor o desempenho dos sistemas de BM analisados, uma vez que a dinâmica da coluna de haste foi suprimida da carta de fundo gerada. Os resultados obtidos permitirão a evolução do trabalho, que pretende incorporar um modelo matemático para poços direcionais. Tal modelo permite a estimação de parâmetros de desempenho dos equipamentos de BM, tais como cargas laterais, flexão e desgaste.

7. Nomenclatura

BM Bombeio Mecânico CF Carta de fundo CPM Ciclos por minutos MSE Erro quadrático médio SD Desvio padrão do erro UB Unidade de Bombeio

A área da secção reta da haste ( 2

pol ) c coeficiente de amortecimento (_s−1₎

d diâmetro do pistão (in ) E módulo de elasticidade ( psi ) F carga atuante sobre a haste (lbf )

d

F força de amortecimento (lbf ) g aceleração da gravidade (_m _s2

)

c

g fator de conversão de massa (32,174049lbm slug) m massa da coluna de hastes (lbm )

n número de amostrar simuladas ρ massa específica da haste (_lbm _ft3₎

HID

P potência hidráulica (HP )

PD deslocamento volumétrico diária da bomba (bpd ) s distância axial ao longo da coluna de haste ( ft )

s

∆ comprimento da seção da coluna de haste avaliada ( ft ) s

∆ média dos comprimentos das seções abaixo e acima do nó simulado (ft )

p

S curso efetivo do pistão (in ) t tempo ( s )

t

(10)

u deslocamento da haste ( ft )

v velocidade de propagação do som na haste ( ft s)

i

Y grandeza calculada a partir do algoritmo de Barreto Filho (1993)

i

Yˆ grandeza calculada a partir do algoritmo proposto neste trabalho W peso da haste (lbf )

8. Agradecimentos

Os autores deste trabalho agradecem a Petrobras e à Universidade Federal do Rio Grande do Norte pelo suporte a presente pesquisa.

9. Referências

BARRETO FILHO, M. A. Geração de carta dinamométrica de fundo para diagnóstico do bombeio mecânico em poços de petróleo. 1993. 191f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Petróleo) – Departamento de Engenharia de Petróleo, Subcomissão de Pós-Graduação em Engenharia de Petróleo, Universidade Estadual de Campinas. Campinas.

COSTA, R. O. Bombeamento mecânico alternativo em poços direcionais. 1995. 159f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Petróleo) – Departamento de Engenharia de Petróleo, Subcomissão de Pós-Graduação em Engenharia de Petróleo, Universidade Estadual de Campinas. Campinas.

CUNHA, C. Métodos numéricos para as engenharias e ciências aplicadas. Campinas. Editora da Unicamp, 1993. GIBBS, S. G. Predicting the behavior of sucker-rod Pumping Systems. Journal of Petroleum Technology, 769-778,

julho de 1963.

GIBBS, S. G., Houston. Method of determining sucker rod pump performance. EUA n. 3343409. 26 de setembro de 1967. United States Patent Office.

SHAFER, D. J.; JENNINGS, J. W. An investigation of analytical and numerical sucker-rod pumping mathematical models. In: ANNUAL TECHNICAL CONFERENCE AND EXHIBITION OF THE SPE, 62, 1987, Dallas. Trabalho Técnico. Texas: SPE 16919, 1987.