PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE ESTUDOS PÓS-GRADUADOS EM HISTÓRIA DA CIÊNCIA
Donizetti Fermino Louro
Hipercomplexos: Dos Tripletos ao Espaço
MESTRADO EM HISTÓRIA DA CIÊNCIA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em História da Ciência, sob a orientação da Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrósio.
Banca examinadora
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Neste universo, a relatividade é constituída pela infinita
variabilidade da experiência, pela infinidade das mensurações e das perspectivas possíveis, mas a
objetividade do todo reside na invariância das descrições
simples formais (das equações diferenciais) que
AGRADECIMENTOS
A minha dedicatória é corporificada em minha inquietude e por tantos avanços tecnológicos que acentuaram a velocidade de entendimento e compreensão neste processo. Meu registro de agradecimentos iniciais alcança as pessoas que tiveram imbricamentos com as minhas proposições de difusão científica, em um cenário de consolidação de tantas elucidações e discussões sobre as possibilidades que situam os pensadores matemáticos neste início de século.
Este trabalho é dedicado primeiramente aos meus pais (in memorian) Sebastiao Fermino Louro e Geralda Adami Louro, exemplos de generosidade e firmeza para os desdobramentos das aprendizagens e experiências em minha vida. Fundamentalmente, meu rigozijo e eterno amor aos meus filhos que me ofereceram um cálice mágico com suas vidas, questionamentos diuturnos, na certeza do querer fazer e da necessidade de sonhar sempre com a gratidão do que temos, são eles: Vinicius Louro, Naira Louro, Gabriel Louro (in memorian) e Arthur Louro. E, finalmente, mas de inicio, registrar a verdadeira ancoragem e plenitude, a base dessa pirâmide que reflete o caminho mais seguro, o lugar predileto e a esperança do que está por vir, da luz e da sensatez, do acordar descansado e da paixão que fez o Amor, minha esposa: Luciana Espindola Corrêa Louro. Aos meus irmãos (in memorian), minhãs irmãs, sobrinhos e sobrinhas, primos e primas, cunhados e cunhadas, por tantos sorrisos e prazer em discussões de entorno.
Especialmente, fica aqui registrado também meu carinho e saudade do Amigo e Orientador (in memorian) Franco Levi, do Instituto de Geociências da Universidade de São Paulo, que me conduziu às reflexões iniciais complexas e me ensinou o caminho da investigação e da contemplação com método e persistência.
Aos meus irmãos neste convívio: Ismael da Silva e Odilon Otávio Luciano, símbolos de conhecimento, paciência e generosidade, de presença e recompensa por crescermos as margens da ciência contemporânea, por reverenciar a história de nossos antepassados na luta constante pelo conhecimento e suas aplicações.
Ao meu orientador Ubiratan D’Ambrósio que participa desse momento de alegria e de contribuição científica, Professor e Amigo, que desde nosso primeiro encontro, me recebeu com serenidade, sabedoria e respeito por minha trajetória, e alcance das participações de experiências levadas a tantas nações. Minha gratidão e profundo reconhecimento por sua condução, dedicação e carinho incondicional.
Enfim, estas linhas refletem parte de minhas incursões científicas, inquietudes, objetivos e conclusões parciais das investigações que foram escolhidas para esse trabalho, sem a pretensão de esgotar as teorias no tema proposto, mas com propriedade e profundidade necessária para realizá-la.
Meu Amor e Carinho, meu sucesso e gratidão por todos vocês existirem na minha vida.
Título: Hipercomplexos: Dos Tripletos ao Espaço
Autor: DONIZETTI FERMINO LOURO
Resumo
A historiografia dos tripletos de Hamilton pretende abordar o raciocínio matemático que antecedeu o desenvolvimento dos quaternions e sua contribuição ao estudo de objetos tridimensionais. O estudo dos tripletos como representação geométrica das raízes quadradas e quantidades negativas antecedeu a formalização dos números hipercomplexos, em específico da álgebra de quaternions. A origem e os fundamentos dos quaternions baseados nos tripletos, aplicados no movimento rotacional de objetos tridimensionais no espaço suscitam um estudo mais aprofundado de suas estruturas complexas, a priori. A busca de Hamilton por um número hipercomplexo capaz de representar rotações do espaço apresentava preocupações geométricas, assim como uma abordagem vetorial do plano, logo suas aplicações determinariam isometrias que ainda fundamentam a morfologia da imagem digital dinâmica.
Palavras-chave:
Title: HYPERCOMPLEX: From Triplets to Space
Author: DONIZETTI FERMINO LOURO
Abstract:
The historiography of triplets of Hamilton aims to address the mathematical reasoning that preceded the development of quaternions and their contribution to the study of three-dimensional objects. The study of triplets as geometrical representation of square roots and negative quantities prior to the formalization of hypercomplex numbers, in particular the algebra of quaternions. The origin and the quaternion's fundaments based on triplets, applied in the rotational motion of three-dimensional objects in space, evokes further study of their complex structures, a priori. The search of Hamilton for a hypercomplex number able to represent rotations in space presented geometrical concerns, as well as, a vector approach of plane, then their applications determine isometries that still underlie the mathematical morphology of the digital dynamic image.
Key Words:
SUMÁRIO
Introdução……….……….………… 9
CAPITULO 1. O Resseguro do Esperado... 17
CAPITULO 2. A premissa dos Hipercomplexos... 22
CAPITULO 3. Tripletos: as Tessituras Numéricas de Hamilton... 47
CAPITULO 4. Elos Sincréticos: O Devir dos Imaginários sem Fim...66
Considerações Finais...96
Anexos...108
Bibliografia...110
INTRODUÇÃO
“Hoje em dia vemos o que a ciência está fazendo por
nós. (...) O objetivo da ciência não são as próprias coisas,
como os dogmáticos imaginaram em sua simplicidade,
mas as relações entre elas”.1
Jules Henri Poincaré
Pode-se dizer que o século XIX foi um dos períodos marcantes na história da ciência, especificamente na matemática, pois houve uma contribuição efetiva e inovadora dessa ciência. Até o início do século XX, a matemática era definida como a ciência da quantidade e das extensões, sendo representada pela aritmética e a geometria, respectivamente.
A utilização de números hipercomplexos a partir da segunda metade do século XX em aplicações computacionais tem apresentado dificuldades, equívocos e soluções que nem sempre são visíveis. Essas construções dinâmicas e não lineares que fundamentam teorias complexas dos números nos remete ao estudo na história da ciência do desenvolvimento da álgebra de quaternions.
A História da Ciência enquanto campo científico alcança a sistematização do processo de desenvolvimento dos tripletos como contribuição à compreensão e aplicação dessa teoria em áreas científicas contemporâneas de alta complexidade.
Este trabalho pretende contribuir de forma epistemológica na pesquisa da fundamentação proposta por Willian Rowan Hamilton sobre os tripletos, raciocínio este que antecedeu os quadripletos ou quaternions. Serão apresentadas as principais motivações, ideias, e dificuldades ocorridas, até a conjectura dos quaternions, reiterando as aplicações que ainda são presentes na solução de problemas complexos de movimentos de corpos rígidos virtuais.
A primeira referência sobre a palavra tridimensional foi registrada em meados do século XIX nos trabalhos do matemático, físico, poeta e astrônomo irlandês, Sir William Rowan Hamilton2, em Lectures on Quaternions3 com a seguinte sentença:
"But there was still another view of the whole subject, sketched
not long afterwards in another communication to the R. I.
Academy, on which it is unnecessary to say more than a few
words in this place, because it is, in substance, the view
adopted in the following Lectures, and developed with some
fullness in them: namely, that view according to which a
QUATERNION is considered as the QUOTIENT of two directed
lines in tridimensional space”4.
Esta citação revela o estreitamento de Hamilton com a elaboração dos quaternions em 1843, definidos no espaço R4; um sistema numérico desenvolvido a
2
William Rowan Hamilton (Dublin, 4 de agosto de 1805 — Dublin, 2 de setembro de 1865) foi matemático, físico, poeta e astrónomo irlandês.
3
Quaternion é um sistema numérico que dá extensão aos números complexos. 4
partir das conjecturas dos tripletos5 e aplicados em mecânica no espaço tridimensional, sendo algumas vezes simbolizados por H em homenagem ao seu desenvolvedor. Para desenvolvê-lo, Hamilton estudou os trabalhos dos matemáticos: Carl Friedrich Gauss e Leonhard Euler. 6
William Rowan Hamilton nasceu em Dublin, Irlanda, em 3 de Agosto de 1805, foi um matemático, astrônomo e poeta. Seu pai, Archibald Hamilton, foi um Procurador na cidade de Dublin; sua mãe, Sarah Hutton, apesar de ser oriunda de uma família de intelectuais, não exerceu muita influência na educação de Hamilton. Aos sete anos ficou órfão e sua guarda foi atribuída ao seu tio James Hamilton, um promotor, que tinha muito afeto por ele, porém exercia uma rígida educação com o menino que foi se destacando de outros jovens por sua aplicação e interesse peculiar por diversos idiomas, assim como por matemática.
Hamilton realizou sua primeira incursão de reflexão científica aos doze anos com a leitura do Principia de Newton (1687) e do Mécanique Celeste de Laplace (1798). Neste último identificou um equívoco de cáculo na obra. A partir desta observação Hamilton escreveu um texto relatando o assunto em questão, o que o fez muito popular na esfera científica e preterido pela Academia de Ciências da Irlanda O crescimento dele foi embalado a discussões intermináveis em seu convívio, desenvolvia-se de forma natural e apresentava características particulares de aprendizagem segundo os registros de seus contemporâneos.7
5
Tratado sobre a representação geométrica das raízes quadradas de quantidades negativas. 6
Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32.
7
A primeira escola que Hamilton frequentou foi o Trinity College em 1824 aos 19 anos de idade, mas logo em seguida aos 22 anos, ainda como aluno de graduação, recebeu a nomeação da Royal Astronomer da Irlanda para Diretor do Observatório de Dunsik e Professor de Astronomia na mesma universidade. A carreira de Hamilton apresentava uma rica produção científica e suas contribuições eram inesgotáveis até aquele momento, o que o diferenciava de outros estudantes da turma.8 A vida acadêmica na universidade estava alicerçada em uma riqueza bibliográfica a disposição da comunidade, tais como: conjecturas algébricas e novos métodos científicos que discutiam teorias com profundidade. Tais oportunidades e estudos contribuiram para que Hamilton escrevesse um trabalho sobre a refração cônica em cristais biaxiais.
Em 1833 Hamilton surpreende a comunidade acadêmica com uma nova comunicação realizada à Academia Irlandesa sobre um significativo artigo em que a álgebra dos números complexos era definida como uma álgebra de pares ordenados de números reais, a saber a mesma definição que usamos até os dias de hoje.9 O estudo obteve como resultado os números complexos que formavam uma álgebra de pares ordenados de números reais10. Os números complexos podiam ser interpretados de várias maneiras: como um vetor de dimensão quatro, um número complexo com três unidades imaginárias, ou um número hipercomplexo.
8
ibid, 35 9
Dessa forma, considerando o escalar 1 e os versores, i , j , k como base no espaço de quaternions poderia-se representar um quaternion genérico por: (x y z) ( x y z ) q = q + q i + q j + q k = q + q = q,q = q,q,q,q onde q , x q , y q e z q são escalares reais e x q , y q e z q são componentes do vetor q. Essa relação que definiu os quaternions era investigada por Hamilton desde 1830, e que na interpretação geométrica da aritmética dos números complexos no plano procurava obter resultados análogos no espaço de três dimensões11. Hamilton tentou estender este conceito aos triplos de números, com um real e dois imaginários.
Uma das motivações de Hamilton para procurar números complexos tridimensionais era encontrar uma descrição de rotações no espaço, análoga ao caso complexo, onde a multiplicação correspondesse a uma rotação e a uma mudança de escala. A definição dos quaternions seguiu uma forma quadrinomial padrão, dada por Q = {qr + qxi + qyj + qzk | qr , qx , qy , qz ∈ reais e i,j,k ∈
imaginários}. Essa definição se parece bastante com a de um vetor no plano complexo u = x + yi.12
Contudo, um quaternion conforme a definição de Hamilton poderia ser visto como a representação complexa do ponto (r,x,y,z) em um espaço quadridimensional. Para Crowe13, Hamilton não apresenta nesse trabalho o problema da representação geométrica dos números complexos. Isso ocorreu porque Hamilton “pensava como Gauss, que a representação geométrica era uma
11
Ibid.
12
Ibid
ajuda para a intuição, mas não uma justificativa satisfatória para os números complexos”14.
A representação geométrica das raízes quadradas de quantidades negativas objetivou o estudo dos números hipercomplexos e pretende, com esse trabalho, contribuir com os elementos históricos na evolução das relações matemáticas na história da ciência. As soluções e implementações do raciocínio matemático mediado por quaternions, advindo dessa conjectura, por décadas ficaram restritas a pesquisas dentro de ambientes acadêmicos e militares.
Finalmente analisamos as condições de reflexão que marcaram sua época e que avançaram nas décadas seguintes, seus colaboradores, admiradores, e supostos críticos, assim como os desdobramentos contemporâneos.
Ao realizar esse trabalho percebemos que o recurso da história tem um papel decisivo nas aplicações de desenvolvimento das nações e outras contribuições humanas ao longo da História da Ciência. A relação existente entre o discreto e o contínuo se apresenta como cenário de fundo em todas as tensões advindas de teorias e aplicações científicas, das quais o principal ator sempre se posiciona como artífice atemporal do objeto científico.
O desenvolvimento da tecnologia sempre sinalizou e sinaliza experimentos de fronteira. No primeiro capítulo deste trabalho abordarmos uma visão geral dos desdobramentos advindos desde a concepção dos tripletos e consolidação dos
quaternions. Percorremos seus fundamentos no movimento dos objetos tridimensionais virtuais que suscitam, a cada dia, uma curiosidade sem precedentes, pois suas estruturas complexas se comportam como uma narrativa imagética própria, estimulando todas as formas sensoriais humanas. A História da Ciência estabelece uma linha tênue entre a ciência pura e suas conjecturas e a aplicação na formação de profissionais que se utilizam de ferramentas para simulação computacional, computação gráfica, robótica médica, bases de lançamento de satélites, sobretudo no campo da Educação: ensino e aprendizagem.
No segundo capítulo discorremos sobre a premissa dos números hipercomplexos na história da matemática, inseridos na história da ciência como fator desencadeador de diversas teorias ao longo dos séculos. Apresenta-se, também, nesse trabalho a dificuldade de aceitação dos números negativos e de suas raízes, suas aplicações e conjecturas.
No terceiro capítulo ampliamos seu entendimento no processo axiomático e o encontro dos obstáculos que os tripletos alcançaram na busca de uma representação geométrica tridimensional e as contribuições que apontaram para outra direção refletindo na proposição da álgebra de quaternions.
Assim, nas considerações finais apresentaremos a importância dos tripletos, tendo a História da Ciência como um subsídio de trabalho para validar esta proposta em teoria de sistemas numéricos, suas contribuições como um fio de extensão do plano para o espaço em dinâmica de corpos rígidos, sua trajetória de redescoberta algébrica e a epistemologia dos próprios tripletos.
CAPÍTULO 1
O Resseguro do Esperado
... A maioria dos matemáticos considera que suas
questões são relativas aos assuntos fora da experiência
humana. Eles reconhecem os signos matemáticos como
sendo relacionados com o mundo do imaginário, assim,
naturalmente fora do universo experimental. (...) Toda a
imagem é considerada como sendo a respeito de algo,
não como uma definição de um objeto individual deste
universo, mas apenas um objeto individual, deste modo,
verdadeiramente, qualquer um é de uma classe ou de
outra” (NEM 4: 213).15
Charles Sanders Peirce
No inicio da década de sessenta, o estudo sobre os números hipercomplexos, em específico os quaternions, foi retomado na aplicação de modelos fundamentais da física quântica.16 Além desse trabalho, dois outros fatos proporcionaram o reaparecimento dos quaternions: a) o efeito do Gimbal Lock17 nos processos de rotação através do método tradicional com ângulos de Euler, nomeadamente com o módulo lunar Apollo da NASA que alarmou a comunidade aeronáutica e astronáutica a procura de soluções para o problema; b) o surgimento da era da computação gráfica.
15
Peirce, Charles Sanders, The New Elements of Mathematics 23.
16 Finkelstein, D, Jauch, J. M., Schiminovich, S. e Speiser., D., Math, J. Phys Principle of General Q Covariance, 788.
17 Gimbal é o nome em inglês de um aparelho chamado Giroscópio. Consiste em um rotor e 3 aros concêntricos. O travamento
A utilização de números hipercomplexos na teoria quântica e nas aplicações computacionais de rotação no espaço de alta complexidade buscou processos de otimização na aplicação matemática. Atualmente, existem trabalhos desenvolvidos com quaternions que apresentam novas ferramentas por meio de gráficos e formas tridimensionais de alta complexidade, mas a relação entre a matemática e a imagem foram fundamentadas nas incursões que estabeleceram avanços além da computação estética. Em Louro e Fraga18 encontramos uma referência sobre a matemática da imagem, que discute os patterns19, presentes e ativos em ambientes digitais interativos, tridimensionais.
O tema do presente trabalho sobre um sistema numérico baseado em tripletos e quadripletos marcou a década de oitenta como um grande salto na criação e desenvolvimento de imagens dinâmicas pela utilização de campos vetoriais com isometrias. Como decorrência, podemos perceber que os objetos tridimensionais suscitam, a cada dia, em suas estruturas, as aplicações computacionais de alta complexidade20.
A compreensão das formas matemáticas emerge com rigor e formalização na análise epistemológica dos tripletos como vetor dos processos internos, e relevante na pesquisa dos números hipercomplexos em História da Ciência. O assunto sobre o sistema numérico hamiltoniano com os seus elementos históricos a partir das
18
Louro, Donizetti ; Fraga, Tania. Thinking Responsive Morphologies for Computer, 109
19
Pattern: do francês "patron", o qual deriva de uma das acepções da palavra "pai". Ele designa um tipo de tema recursivo que incide sobre objetos ou eventos. O termo possui diversas incidências, tais como nas ciências da computação, na arte, na psicologia, na psicanálise, na etologia, na matemática e outras. Os patterns são estruturas complexas replicáveis que tendem a organizar uma estrutura predicável (de sentido), tais como algoritmos recursivos (computação), estampas repetitivas (arte), esquemas comportamentais (psicologia), repetições compulsivas (psicanálise), rituais de aproximação (etologia), proporção áurea (matemática). Repetição, ciclo, periodicidade, organização, manifestação e transformação são alguns dos princípios lógicos que estão inerentes e atuantes nos patterns. Os exemplos mais primários de patterns que podem ser apresentados são as estruturas fractais da natureza, exemplificada no floco de Neve de Kepler. Stewart. 126.
20
conjecturas dos tripletos, enriqueceu as soluções e implementações do raciocínio matemático da época. Por outro lado, em conjunto com algumas reflexões sobre quaternions na física quântica, iniciamos uma incursão histórica em fontes primárias sobre esse sistema numérico.
Os estudos de Willian Rowan Hamilton obtiveram como resultado os números complexos que formavam uma álgebra de pares ordenados de números reais.21 A exploração de Hamilton sobre os quaternions foi mais um percurso de sua pesquisa do que o objetivo de seu trabalho inicial. Em verdade, Hamilton estudava, desde 1830, a interpretação geométrica da aritmética dos números complexos no plano e procurava obter resultados análogos no espaço de três dimensões e tentou estender este conceito aos triplos de números, com um real e dois imaginários.22
Assim, uma das motivações de Hamilton, para procurar números complexos tridimensionais, era encontrar uma descrição de rotações no espaço, análoga ao caso complexo, onde a multiplicação correspondesse a uma rotação e a uma mudança de escala. A definição dos quaternions seguiu uma forma quadrinomial padrão, dada por Q = {qr + qxi + qyj + qzk | qr , qx , qy , qz ∈ reais e i,j,k ∈
imaginários}. Essa definição se parece bastante com a de um vetor no plano complexo u = x + yi.
Desta forma um quaternion pode ser visto como a representação complexa do ponto (r,x,y,z) em um espaço quadridimensional. A sistematização do estudo de
21
Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 28
vetores ocorreu no século XIX e nas duas primeiras décadas do século XX com as representações geométricas dos números complexos.
A utilização deste sistema numérico tem apresentado questões que nem sempre são evidentes e suficientemente analisadas em suas aplicações contemporâneas. Por esse motivo, devemos considerar a imagem digital dinâmica no seu contexto histórico e nos vínculos que a tecnologia23 os utiliza como instrumentos materiais, intelectuais e persuasivos na cultura humana. O desenvolvimento nos campos da ciência e tecnologia da imagem denota o “fazer da matemática algo vivo, lidando com situações reais no tempo [agora] e no espaço [aqui]” D’Ambrósio24.
As matemáticas chamadas não lineares com os avanços da tecnologia computacional estabelecem transformações na forma e no contexto da percepção humana. A historiografia dos trabalhos de Hamilton elucidou o raciocínio matemático que se apresentava no desenvolvimento dos quaternions. A origem de seus fundamentos no movimento dos objetos tridimensionais suscita, a cada dia, uma curiosidade sem precedentes, pois suas estruturas complexas se comportam como uma narrativa imagética própria, estimulando todas as formas sensoriais humanas.
A compreensão das formas canônicas matemáticas emerge com rigor e formalização apropriada, sistematizada, com uma análise do contexto externo na representação científica e social convergentes ao período e local estudado. Assim, a
23
Houaiss. Substantivo feminino - teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana (p.ex., indústria, ciência etc.), 1783.
análise epistemológica como vetor dos processos internos do objeto de estudo é de relevante importância na pesquisa em História da Ciência.
Vale sublinhar que, em um curto espaço de tempo, o avanço da ciência possibilitou à cultura humana uma absorção das tecnologias que mudaram o comportamento ergonômico, cognitivo, visual e de apreensão de conhecimentos.
Existem trabalhos gerados com novas ferramentas por meio de gráficos e formas tridimensionais de alta complexidade25, mas as condições meta-cognitivas da relação entre a matemática e a imagem em movimento estabelecem avanços e apropriam-se de relações culturais e científicas algoritimizadas em constante mutação, pois a matemática computacional proporciona um cenário de avanços tecnológicos com estranhamentos positivos e negativos que auxiliam e determinam ambientes imersivos complexos abordando temas científicos, artísticos e médicos da contemporaneidade.
25
CAPÍTULO 2
A premissa dos Hipercomplexos
‘’The taste for the abstract sciences in general and, above all,
for the mysteries of numbers, is very rare: this is not surprising,
since the charms of this sublime science in all their beauty
reveal themselves only to those who have the courage to
fathom them’’.26
Johann Carl Friedrich Gauss (1807)
Quaisquer que sejam as incursões na história da teoria dos números, especificamente dos hipercomplexos, estabelecer uma digressão nesse processo nos faz pensar sobre as conjecturas e desenvolvimento desse grupo numérico que, paralelamente aos seus registros mais atuais, nos remete ao entendimento de alguns atores que delinearam esse conhecimento no século XV, onde se registra a formalização da trigonometria Regiomontanus (1436-1476) e a utilização dos símbolos + (mais) e - (menos) por J. Widmann d'Eger (1462-1498) para designar a adição e a subtração de números. 27
Ao longo desse período de desenvolvimento, os registros de Copérnico (1473-1543) e as hipóteses de Ptolomeu foram substituídas por uma nova
26
Fragmento da carta escrita por Gauss em 1807 para J. LeBlanc (Sophie Germain).“… O gosto pelas ciências abstratas em geral e, acima de tudo, para os mistérios dos números, é muito raro: isso não é surpreendente, uma vez que os encantos desta sublime ciência em toda a sua beleza se revelam apenas para aqueles que têm a coragem para entendê-los’’. (tradução livre). Darlin, David. From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, 74
27
concepção e reflexão sobre a natureza dos números, após momentos de muita produção na história da ciência.
Em 1545, o método de Girolamo Cardano28 (1501-1576) discutia processos convergentes à solução de equações de terceiro e quarto graus e considerava-se a ideia de que os números negativos e suas raízes, pela primeira vez, faziam parte do corpo de uma teoria matemática.
Apresenta-se, em conjunto da evidência acima, as dificuldades de entendimento e compreensão que o próprio Cardano chamava de numeri ficti e às suas raízes de sofísticadas. Cardano29 contribuiu com diversos estudos sobre as relações de equações em seu livro Ars Magna (1545), e incluiu as chamadas quantidades “sofisticadas”, como eram caracterizadas as raízes de números negativos. Importante ressalvar que essa publicação continha, também, os trabalhos de Nícolo Fontana (1500-1557) nascido em Brescia no norte da Itália, também conhecido como Tartaglia. 30
Cardano considerava, ainda, alguns valores em suas indagações e procurava exemplos para fundamentar o uso dessas quantidades “sofisticadas”. Seu trabalho desenvolveu o conceito desses números, conhecidos hoje como números complexos ou imaginários. Como exemplo elucidativo desse trabalho apresentamos o seguinte raciocínio, considerado por ele, sobre o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.31
28
EVES, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226
29
Ibid
30
Ibid
Figura 1 - Problema de Cardano
A interpretação desta representação pressupõe que ao chamarmos o comprimento de uma das partes de “x”, a outra terá comprimento de “10 – x”, e a condição do problema se traduz na equação: x(10 - x) = 40 => x2 – 10x + 40 = 0, as quais encontrarão seus resultados expressos por x = 5 (+) (-) raiz quadrada de -15. Nessa proposição, Cardano reconheceu que a solução do problema dado não existia, mas conseguiu avançar em suas reflexões em outros campos aritméticos e algébricos.
Com os fatos estudados, entendemos que Cardano introduziu a notação matemática de “-1” na decorrência de outros trabalhos, o que fundamentou seu raciocínio para concluir as suas obras. Alguns de seus contemporâneos tinham considerações controversas a respeito de suas incursões e conjecturas matemáticas. A questão da raiz negativa, por si só, abriu uma discussão que se arrastou por algumas décadas, culminando inicialmente com o depoimento de René Descartes (1596-1650), cujas primerias contribuições foram: cunhar esse número como “imaginário” e sua representação como “i”.32
As contribuições de Cardano são denotadas em importantes trabalhos na História da Ciência. Entre esses trabalhos, desenvolveu e apresentou o anel de suspensão, o qual levou seu nome, reconhecidamente, na língua francesa como cardan. Como matemático Cardano publicou vários livros e, como destaques,
32
o The Practice of Arithmetic and Simple Mensuration (1537), Practica arithmetice (1539) e Ars magna (1545), mais conhecido atualmente, onde apresentou uma variedade de métodos para resolver equações polinomiais, equações de terceiro (cúbicas mixtas) e quarto graus, as quárticas.33
Os trabalhos de Cardano reconheceram a validade dos números negativos e a expressão dos números imaginários. Essas contribuições alteraram o estudo da matemática naquele momento e, com isto, antecipou a evidência de trabalhos sobre números complexos34. E, ainda, reiterava Cardano, que as equações quadráticas já eram solucionadas pelos babilônios quatro mil anos antes. Descreveu as citações da própria obra e afirmou que as soluções não eram de sua autoria, mas sim de Scipione del Ferro (1465-1526) e as cúbicas, de Nicollo Tartaglia, além de Ludovico Ferrari (1522-1565), com as quárticas.35
No contexto europeu do século XVI, Cardano é considerado um dos cientistas mais proeminentes e importantes. Como algebrista, demonstrando grande habilidade com os números, ele desenvolveu o conceito da resolução do problema de probabilidade ao identificar o espaço amostral com resultados igualmente prováveis, apresentando, assim, as primeiras computações sistemáticas das probabilidades. Registra-se aqui, por uma questão de temporalidade científica na linha do tempo de contribuições relevantes para a história da Ciência que esse episódio ocorreu um século antes de Blaise Pascal (1623 –1662) e Pierre de Fermat (1601–1665).36
33
Ibid
34
Ibid
35
Ibid
Mesmo com essas contribuições acerca da teoria dos números, percebe-se que a utilização dos números reais eram insuficientes para se tratar de equações algébricas. Todas as pesquisas desenvolvidas ao longo do século XVI aproximavam-se da história grega antiga por correlação de suas tentativas na aplicação dos números irracionais, uma vez verificada a insuficiência dos números racionais com a definição do número expresso pela raiz quadrada de duas unidades inteiras e positivas, que não era racional.37 Logo, entende-se que o conceito de número precisava ser ampliado. Rafael Bombelli (1526-1572), italiano nascido na Bolonha, um engenheiro hidráulico de reflexões matemáticas inquietantes, desenvolveu inúmeras algebrizações ao longo de sua vida. Com esse engajamento peculiar nas conjecturas numéricas alcançou resultados surpreendentes com suas explorações aritméticas. Seus estudos apontavam o desenvolvimento de novos números, conforme seu relato pessoal na publicação de 1572 no livro L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica.38
O desvelar dos métodos algébricos e suas aplicações na Geometria, iniciados por François Viète (1540-1603), destacou também as contribuições de outros celebres cientistas, tais como: René Descartes (1596-1650), Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662). Entre tantos que desenvolveram a matemática na história da civilização a figura de Descartes é magnânima porque suas indagações e definições alcançaram propriedades importantes na história dos números. Suas incursões apresentavam reflexões sobre a reta de dimensão ‘um’, uma vez que se pode representar um ponto sobre uma reta com um número da seguinte forma: positivo à
37
Ibid
direita da origem e negativo à esquerda da origem. Sabemos, ainda, que pontos são entes geométricos e que os números são entes algébricos.39
A grande recursão advinda dos trabalhos de Descartes é com relação à reflexão sobre a condição de transformar e admitir números como pontos e pontos como números.40 Essa prática alcançou resultados surpreendentes e definiu um campo matemático chamado geometria algébrica. Soberbo e potente, esse método iria delinear conjecturas sobre a interpretação dos pontos de uma reta como números, pois facilitaria os cálculos matemáticos e a compreensão geométrica do significado das operações elementares entre números, principalmente a adição e a multiplicação. Para exemplificar a força e a importância dessa sistematização, podemos raciocinar com um algoritmo de parcelas aditivas: se subtrairmos uma unidade de um número hipotético “X” admitimos, segundo a teoria de Descartes, que a forma canônica do mesmo apresentaria uma transformação algébrica X – 1. Esse processo ficou definido como a geometria da translação, ou seja, todos os pontos são transladados de 1 para a esquerda, assim como se a operação multiplicação é definida por uma adição repetitiva de parcelas iguais, de modo que podemos admitir que uma multiplicação por três unidades possa ser raciocinada como um processo de dilatação. 41
Por outro lado, podemos ampliar o raciocínio dos operadores aritméticos e extrair reflexões geométricas muito interessantes com a percepção de simetrias. Nesse caso em particular, ao desenvolvermos o raciocínio sobre uma multiplicação
39
Ibid
40
Ibid
por -1 significa imaginarmos cada ponto X sobre - X como o resultado de uma simetria, ou seja, teremos a compreensão de que cada ponto será transformado, pelo mesmo princípio anterior, em um ponto simétrico com relação à origem. Por outro lado ao multiplicarmos por “menos dois” teremos uma composição das duas operações anteriores.42 Assim, podemos concluir que multiplicar dois números significa transformar as suas composições associadas.
Ao adentrarmos o pensamento matemático que estrutura os procedimentos de cáculos na aritmética, álgebra e geometria, podemos extrapolar condições esperadas como, por exemplo, tomando o raciocínio anterior, ao considerarmos uma transformação associada à multiplicação por um fator “menos um” alcançamos uma simetria. Mas quando efetuarmos esta mesma operação duas vezes, na sequência, haverá um retorno ao ponto de partida, recursivo, de tal modo que teremos delineado o produto de “menos um” por ele mesmo como “mais um”, ou seja, podemos concluir que o quadrado de “menos um” será “mais um”.
Ao extrapolarmos esse raciocínio indutivo da reflexão do parágrafo anterior para o campo multiplicativo encontraremos situações de controle pela definição do evento, o que possibilita imaginarmos que se tomarmos o quadrado de dois inteiros negativos obteremos quatro inteiros positivos. Com essa proposição podemos concluir que se ao tomarmos o quadrado de quaisquer números, positivo ou negativo, seu resultado será sempre um número positivo. Portanto, ao considerarmos essas abstrações admitimos também que será inexistente a raiz quadrada de uma unidade inteira negativa.
Por outro lado, em Mecânica, as contribuições de Galileo Galilei (1564 - 1642) apresentaram os princípios da Estática e da Dinâmica.43 Trabalho este que foi finalizado por Christiaan Huygens (1629-1695). No fim do século XVII, e no princípio do século XVIII, após longas discussões, surgiu o Cálculo Diferencial e Integral advindo dos trabalhos de Isac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). 44
E, ainda, a representação de Girard Desargues45 (1591-1661), ou melhor, dos números reais por intermédio de pontos sobre uma reta contribuiu para dar um sentido aos números negativos que são vistos como comprimentos de segmentos localizados no lado oposto àquele no qual se representam os positivos. Na condição de raízes quadradas que constituiriam os números imaginários, mesmo a obtenção de uma forma de representação, encontrou enormes barreiras que somente se dissiparam ao longo do século XIX. STILLWELL 46
Nessa trajetória da teoria dos números, novas formas de se representar os imaginários puros foram desenvolvidas e muitas passaram despercebidas da comunidade cientifica da época. No Harmonia Mundi (1618), Johannes Kepler47 (1571-1630) sugeriu uma convergência de ações na qual se manifestava o Zeitgeist48, o que viria a ser fundamental na proposta historiográfica de Georg Wilhelm Friedrich Hegel49 (1770-1831).50 Essa convergência de ações caracterizou uma cultura. ”Uma cultura é identificada pelos seus sistemas de explicações,
43
Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226
44
Ibid
45
Ibid
46 Stillwell, John. Mathematics and its history, 91b 47
Ibid
48
Ibid
49
Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226.
filosofias, teorias, e ações e pelos comportamentos cotidianos”, acrescenta D’Ambrósio51.
Com isto, a partir das realizações algébricas de Bombelli52, muitos matemáticos começaram a utilizar em seus trabalhos as raízes quadradas de
números negativos, mas a representação algébrica da “raiz quadrada de menos um”
pela letra “i “ ocorreu somente no século XVIII com o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). E, com essa proposição, entre outras contribuições de Euler para o universo da matemática com símbolos e representações, sabemos que uma notação qualquer é parte da solução para que uma teoria tenha êxito.
Com o mesmo vigor e determinação, muitos outros cientistas estiveram à frente de seu tempo e apresentaram proposições que são utilizadas formalmente até os dias de hoje. As formas algébricas e os métodos mais sofisticados na condução investigativa dos números complexos foram apresentadas também por Abraham de Moivre53 (1667-1754) que, como recorte das proposições, explorou outras possibilidades em grupos numéricos na trigonometria.54
Na matemática contemporânea, os números complexos são geralmente justificados em termos de pares de números reais ou por representação geométrica. É relevante o entendimento da origem do método e os trabalhos realizados para representar os números complexos geometricamente, pois esses caminhos são norteadores de outras iniciativas além de validar o desenvolvimento de trabalhos em
51
Ibid
52
Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226.
53
Ibid
54 K
suas circunstâncias pessoais ou em equipe. Dessa forma as conquistas na área da matemática são balizadas por uma revisão contínua de conteúdo, trabalho esse realizado por historiadores e filósofos da ciência.
Muitas investigações ao longo da história da teoria dos números são relatadas em literaturas da área, como por exemplo o trabalho desenvolvido, sem sucesso, no século XVII por John Wallis. Além desse, um trabalho em especial deve ser mencionado por suas escritas sobre o tema, trata-se do agrimensor / matemático norueguês Caspar Wessel (1745-1818), que alcançou sua expressão fundamental no século XVIII. Segundo Michael J. Crowe (1967) pelo menos outras cinco pessoas publicaram trabalhos sobre rotações no plano via multiplicação de segmentos:
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) (teve a idéia em 1799 mas só publicou em
1831); Abbé Buée e Jean-Robert Argand (1768-1822), publicaram, independentemente, em 1806; John Warren (1796-1852) e C. V. Mourey (1783-1861) publicaram, independentemente, em 1828. Com exceção de Warren, todos tentaram, sem sucesso, estender seus resultados do plano para o espaço.55
Wessel desenvolveu métodos sofisticados baseados em sua experiência cartográfica advindos de estudos geométricos e trigonométricos. A partir desses levantamentos em atividades profissionais, ele aplicava suas teorias em indagações práticas para solucionar problemas geométricos adversos de seu tempo. 56
55 Ibid 56
Ensaios e resultados de suas observações foram explicados em um relatório de 1787. Esse relatório apresentava reflexões matemáticas com uma abordagem inovadora para a época, ou seja, uma interpretação geométrica dos números complexos em que contemplava a lei de formação algébrica e suas considerações algébricas.57
Em 1796, Gaspar Wessel havia terminado um longo e exaustivo trabalho de cartografia sobre a chamada triangulação dinamarquesa e se utilizou desses estudos para produzir o primeiro mapa oficial do país. Nesse mesmo ano, escreveu seu primeiro e único artigo sobre matemática e fez sua apresentação no dia 10 de março 1797 para os presentes da Real Academia Dinamarquesa. Insere-se a ressalva de que até o ano anterior dessa apresentação era obrigatória a filiação nessa academia como membro oficial para que se tivesse a oportunidade de apresentar quaisquer trabalhos de natureza investigativa, entre outros. O trabalho de Wessel foi, assim, o primeiro a contemplar a liberdade de expressão conquistada por seu trabalho na referida academia.58
A notoriedade de Wessel como matemático é devida, exclusivamente, a esse trabalho publicado em 1799. Conforme registro, esse artigo foi apresentado pela primeira vez com um tema sobre os números complexos abordando a sua interpretação geométrica.59
57
Ibid
58
Os trabalhos de Wessel sobre rotações no plano e no espaço via
multiplicação de segmentos é de fundamental importância para a evolução desse trabalho de pesquisa que discutirá, consequentemente, a discussão sobre o mesmo tema por outro prisma de análise. Portanto será abordado diversas vezes como incursão de referência nos trabalhos de Hamilton. Os estudos de Wessel foram importantes na indução de raciocínio desenvolvido por Hamilton na álgebra de quaternions: sua contribuição foi consolidada como a primeira publicação sobre um método correto para a realização de rotações no espaço, ainda que apenas em
torno das direções dos eixos imaginários.
As investigações de Hamilton, como veremos no capítulo três, apresentam
suas inquietudes e suas abordagens sobre as representações analíticas de
segmentos no plano e no espaço, a priori, pois suas contribuições como cientista foram muito além dessas conjecturas e formalizações descritas em registros na história da ciência, uma vez que as reflexões primeiras ocorrem no universo do pesquisador, em suas simbioses com o meio e suas aprendizagens sucessivas ao
longo dos trabalhos. Essas investigações tinham como ancoragem diversas
considerações muito próximas às conjecturas utilizadas por Gaspar Wessel, porém
não há registros sobre quaisquer manuscritos analisados ou estudados por Hamilton, advindos dos trabalhos de Wessel, ou seja, provavelmente, os trabalhos de Hamilton não foram fundamentados pelas contribuições de Wessel.60
Atualmente, chama-se essa representação de interpretação geométrica do diagrama de Argand, matemático que também realizou pesquisas sobre o tema em
1806. Este fato reitera a redescoberta dessa representação, uma vez que a formalização existente sobre a mesma teoria tenha sido trabalhada por Wessel. 61
Nessa mesma direção, Gauss o fez também em 1831, ou seja, ambos estavam alinhados na mesma perspectiva de incursões sobre a representação geométrica desses números. Além dessas considerações, há registros de que Gauss, também, deu continuidade aos trabalhos de Wessel desenvolvendo uma retriangulação de Oldenburg, em torno de 1824. Porém, ambos os trabalhos de Argand e Gauss são posteriores a apresentação realizada por Wessel em 1787 e 1797. 62
Gaspar Wessel realizou uma apresentação na Academia de Ciência Real da Dinamarca, em Copenhagen, em 1797, e seu artigo consolidou-se como a primeira tentativa de explicação da representação geométrica dos números complexos, sendo publicado em 1799 nas Memoires desta Academia. Essa incursão histórica sobre os trabalhos de Wessel apresenta a mesma publicação que passou despercebida por matemáticos europeus até 1899 quando foi reeditada em francês, a partir do trabalho original, com o título Essai sur la représentation analytique de la direction.63
Entre os registros de Wessel aparece em seu livro de memórias a seguinte frase:
61 ibid
62 Smith, David Eugene. History of Mathematics. 135 -143
"This present attempt deals with the question, how may we represent direction analytically; that is, how shall we express right lines so that in a single equation involving one unknown line and others known, both the length and the direction of the unknown line may be expressed." 64
Com esta citação Wessel sugere o raciocinio do desenvolvimento e criação dos métodos geométricos, além da sua representação para os números complexos. No entanto, essa representação teve um papel fundamental como é registrada pela citação:
"The occasion for its being [his treatise] was my seeking a method whereby I could avoid the impossible operations."65
Com isto, suas demonstrações tinham como objetivo uma representação analítica das direções opostas. Sendo assim, Wessel sugeriu que deveria ser possível encontrar métodos para representar linhas inclinadas também, o que em seguida o permitiu desenvolver a adição de linhas retas:
"Two right lines are added if we unite them in such a way that the second line begins where the first one ends, and
64
No primeiro parágrafo de seu livro de memórias Wessels relatou que: "a presente tentativa lida com a questão, como é que pode representar direção analiticamente, isto é, como devemos expressar linhas retas para que em uma única equação que envolve uma linha de desconhecidos e outros conhecidos, tanto o comprimento e a direção da linha desconhecida possam ser expressos”. Ibid (traduçãoo livre)
65
then pass a right line from the first to the last point of the united lines. This line is the sum of the united lines."66
A representação geométrica trouxe para as suas conjecturas definições importantes reconhecidas pela comunidade cientifica no final do século, pois a sua proposta ampliava as aplicações matemáticas, permitindo a utlização na adição de mais do que dois pontos, não necessariamente no mesmo plano, e que nessas linhas a ordem de adição não se caracterizava de forma decisiva. Esse conceito introduziu a ideia de vetor tridimensional que culminou com o reconhecimento da lei comutativa para a adição. Embora Wessel tenha chegado até este ponto o qual chamou de unidade positiva, ele ainda não havia indicado a regra de linhas em geral que eram para ser representadas em termos de números complexos, o que o possibilitou algum tempo depois a apresentar a multiplicação de linhas. O produto dessas duas linhas coplanares, umas com as outras, e com a unidade positiva, obteve como resultado o comprimento igual ao produto dos comprimentos de dois fatores.
O trabalho de Wessel foi pautado com dificuldades diretamente envolvidas com a representação das rotações, com as quais o mesmo não obteve êxito. Porém, as suas aprendizagens foram suficientes para que ele aplicasse essas relações descobertas na trigonometria esférica, uma de suas áreas de aplicação prática em sua vida profissional de agrimensor. Portanto, embora as aplicações contemporâneas se utilizem da nomenclatura estabelecida no século XIX com o
66
nome de diagrama de Argand/Gauss, o reconhecimento científico da contribuição advinda do agrimensor/matemático Gaspar Wessel reitera que as suas explorações e definições foram de fundamental importância para a história da ciência e tecnologia, mais precisamente da história da matemática.
Todas essas condições assertivas no desenvolvimento da matemática do século XIX se fundamenta em processos de representações, classificação, comparação, quantificação, contagem, medição, inferências e de comunicação. “Esses processos se dão de maneiras diferentes nas diversas culturas e se transformam ao longo do tempo. Eles sempre revelam as influências do meio e se organizam com uma lógica interna, se codificam e se formalizam. Assim nasce o conhecimento.” D’Ámbrosio67.
A contribuição efetiva com relação aos números imaginários ocorreu por desenvolvimento das reflexões de Argand que, reiterando as considerações anteriores principalmente por Descartes, adotou uma proposta de representação preocupada em atribuir um significado geométrico aos números. Para esse raciocínio obter êxito Argand considerou a “raiz quadrada de menos um” como uma média de posição, ao dividir pela metade a distância que os números “mais um” e
“menos um” representam sobre a reta dos reais. Essa incursão, oportunamente, culminou com os radicais de números negativos, mas foram registrados diversos anos de trabalho para vencer os obstáculos que tornavam a solução de uma raiz quadrada de um número negativo praticamente impossível.
Epistemologicamente, os cientistas que estudaram tais possibilidades de solução para a representação dos imaginários, que também eram chamados de impossíveis entre outros, transmitiam aos seus discípulos uma condição dogmática dessa teoria com insucesso até aquele momento. Porém, a inventividade e a inquietude dos matemáticos buscavam incessantemente ampliar tal condição limítrofe dos números. Considerava-se que se existisse uma condição possível de escrita simbólica, logo as derivações dessa natureza também se caracterizariam como possíveis para outros números associados por outras operações aritméticas. Essas reflexões percorreram diversas culturas, mas os registros históricos de sucesso reconhecidos como uma contribuição decisiva sobre o caráter geométrico desses números imaginários perpetuaram os nomes de Argand, Wessel e Gauss, conforme já citados anteriormente.
O raciocínio que fundamentava a natureza dos pensamentos sobre a representação dos imaginários, considerava que o número “menos um” estava associado à simetria em relação à origem da reta real. Dessa maneira, a representação geométrica deste movimento circunscreveria uma rotação de meia volta que efetuava transformações ocasionadas por sequências. Baseado nesse raciocínio Argand sugeriu que deve existir uma raíz quadrada de “menos um” e que a mesma deve estar associada a uma rotação simples de um quarto da volta completa.68 Dessa forma, por definição dessa operação anterior, rotacionar duas vezes é o mesmo que alcançar a metade da volta, ou seja, efetuar uma operação multiplicativa por “menos um”.
A evolução do pensamento matemático ocorre justamente ao imaginarmos as reflexões em torno do desenvolvimento dessa teoria ao longo dos anos. Ao considerar a definição reversa (pressuposta na teoria dos números complexos) de se obter a “raiz quadrada de menos um” rotacionando um quarto da volta completa partindo-se de “menos um”. Com isto a imagem da “raiz quadrada de menos um” não se encontrará sobre a mesma reta, portanto essa “raíz quadrada de menos um” também não se posicionará sobre a reta, mas sim no plano. Mesmo com essas reflexões, simples e objetivas, após a representação das mesmas por esses cientistas, continuaram a inquietar mentes que objetivavam entender outras consequências advindas da observação de suas necessidades e culturas diversas sobre a natureza da teoria dos números.
Com essa trajetória, a teoria dos números avançou sistematicamente a medida em que a cada passo estavam sendo ampliadas as reflexões anteriores. Nessa direção, a apresentação de Argand teve papel decisivo nos desdobramentos do conhecimento matemático do século XIX, porém, em momento algum, essas contigenciaram o uso de números complexos.
reais e imaginários. A partir dessa análise e composição, os números complexos foram interpretados como coordenadas de um ponto no plano.
As explorações realizadas por todos os que foram citados nesse trabalho, além de todos aqueles que trabalharam com essas premissas e que não foram contemplados nessa pesquisa, contribuíram efetivamente para os avanços da ciência, e entendemos que o objetivo de extensão desse número em estudo era um caminho relevante porque o que se buscava estava além do fato da descoberta por si mesma, e sim por motivos outros que encontravam-se, principalmente, na busca de fundamentos que a geometria até então não demonstrava com seus teoremas e axiomas estabelecidos por Euclides e Apolônio. 69
Reiterando a evolução do conceito até o momento discutido nesse trabalho, principalmente no que diz respeito ao estudo dos imaginários, Gauss apresentou em uma carta70 a Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) que os motivos dessas incursões não foram consideradas somente exploratórios com fim de aplicação prática, mas para consolidar e garantir a independência científica de análise que contemplava os números complexos.
Com a expressão Gaussiana, acima citada, considerava-se apresentar uma teoria que com seus fundamentos poderiam mudar os rumos da geometria e consolidar os números complexos como números reais. Abaixo nós temos um trecho dessa carta escrita e datada de 18 de dezembro de 1811:
69Krantz, Steven G.. An Episodic History of Mathematics, 71
70
‘’in the realm of magnitudes, the imaginary numbers a + b√−1 = a + bi have to be considered as having the same rights as the reals. The matter is not here the practical usefulness, but analysis is for me an independent science, which by rejecting these fictitious magnitudes would lose enormously in beauty and roundness’’71
Embora todas as discussões realizadas por Gauss sobre os números complexos e a sua representação geométrica, ele mesmo não aceitou a representação geométrica dos números complexos como justificativa suficiente, embora suas considerações publicadas tenham sido notoriamente identificada como a mais curta, a mais precisa, e a mais influente entre outras apresentações independentes (exceto a de Wessel).72
Gauss encontrou, ainda, aos dezenove anos de idade, uma maneira de construir um heptadecágono (um polígono regular com 17 lados) usando apenas uma régua e um compasso com uma notória e peculiar capacidade geométrica que havia escapado dos gregos. Em seguida, conseguiu consolidar uma proposição do que agora chamamos de teorema fundamental da algebra, ou seja, que todo polinômio tem pelo uma raiz complexa. Em síntese Gauss apresentou quatro provas diferentes.73
71
[No reino de magnitudes, os números imaginários a + b√−1 = a + bi devem ser considerados como se tivessem as mesmas propriedades que os reais. O assunto não é aqui uma utilidade prática, mas a análise é para mim uma ciência independente, que, rejeitando essas magnitudes fictícias perderia muito em sua beleza e riqueza’’. Ibid. (tradução livre)
72
Krantz, Steven G.. An Episodic History of Mathematics, 47
73
Na continuidade de seus trabalhos, Gauss provou em 1801 o teorema fundamental da aritmética (que todo número natural pode ser representado como o produto de números primos de uma única maneira), além das propriedades dos números inteiros apresentados em seu livro Disquisitiones Arithmeticae74, que sistematizou o estudo da teoria dos números, e mostrou que cada número é a soma de, no máximo, três números triangulares. Com o lançamento de seu livro, Gauss começou a receber correspondências de Sophie Germain75 que, após a leitura do Disquisitiones Arithmeticae em 1804, foi compelida ao estudo da teoria dos números e decidiu contribuir com os trabalhos do "Príncipe da Matemática", como Johann Carl Friedrich Gauss era chamado no círculo científico da época. Devido as sérias contingências sócio-políticas da época, e também por conta do momento conturbado da ocupação francesa de sua cidade natal de Braunschweig, Sophie Germain trocava essas correspondências com Gauss sob o pseudônimo de "J. LeBlanc". Ela enviou a Gauss vários resultados de seus estudos para análise e incursões algébricas sobre a teoria dos números.
Após alguns anos de contribuições científicas profícuas, em 1807, Gauss descobriu que seu correspondente "J. LeBlanc" não era um homem e, sim, uma mulher. Porém, esse pseudo-homem, com afeto e respeito foi muito importante para a segurança do próprio Gauss, pois Sophie solicitou a um comandante francês, que era amigo de sua família, que o mesmo providenciasse uma proteção especial para o Professor Gauss naqueles tempos difíceis, com a qual Gauss ficou muito grato
74
Goldstein, Schappacher. The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae Schwermer, 126
75
quando soube da preocupação de "J. LeBlanc" (Sophie) por ele. Mas, ao descobrir que seu correspondente matemático, talentoso, era uma mulher, Gauss ficou encantado com essa surpresa e escreveu uma carta para Sophie Germain, que revelou algo sobre esse homem:
