Open Sobre a existência e unicidade de solução para as equações de NavierStokes

(1)

Programa de P´

os–Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Sobre a existˆ

encia e unicidade de

solu¸

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ao para as equa¸

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oes de

Navier-Stokes

Hudson Cavalcante da Silva

(2)

Programa de P´

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Mestrado em Matem´

atica

Sobre a existˆ

encia e unicidade de

solu¸

c˜

ao para as equa¸

c˜

oes de

Navier-Stokes

por

Hudson Cavalcante da Silva

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Flank David Morais Bezerra

(3)

S585s Silva, Hudson Cavalcante da.

Sobre a existência e unicidade de solução para as equações de Navier-Stokes / Hudson Cavalcante da Silva.-- João Pessoa, 2014.

81f.

Orientador: Flank David Morais Bezerra Dissertação (Mestrado) – UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Equações de Navier-Stoques.

3.Existência de solução. 4. Método de Faedo-Galerkin.

UFPB/BC CDU: 51(043)

(4)

(5)

(6)

A Deus que me deu for¸cas e capacidade para chegar at´e aqui. A minha esposa Val´eria, pelo companherismo.

Aos meus pais, Edivaldo e Cicera, por estarem incondicionalmente ao meu lado. Aos professores, Fágner, pelas valiosas orienta¸cões ao longo de toda minha vida acadêmica, gradua¸cão e mestrado; Sales, por toda ajuda em momentos dif´ıceis; An-drade, pelas sugestões ao longo do meu mestrado, Flank, por ter se mostrado um grande orientador, contribuindo muito até o término deste trabalho e a todos os professores que contribuiram ao meu mestrado.

(7)

Neste trabalho estudamos as equa¸c˜oes de Navier-Stokes em dom´ınios limitados do

Rn_._{Inicialmente consideramos o caso}_n _{= 2 e mostramos que sua formula¸c˜ao variacional}

está bem posta (no sentido de Hadamard). Em seguida, mostramos a existência de solu¸cão para o cason _4. Em ambos os casos utilizamos o método de Faedo-Galerkin.

(8)

In this work we study the Navier-Stokes equations in bounded domains of Rn_.

Initially we the casen = 2 and we show that its variational formulation is well put (in case the Hadamard). We show the existence of solution for the case n _ 4 . In both cases we use the Faedo-Galerkin method.

(9)

Introdu¸c˜ao 2

1 Nota¸c˜oes e resultados preliminares 4

1.1 Sobre a teoria das distribui¸c˜oes e os espa¸cos de Sobolev. . . 4

1.2 Sobre os espa¸cos de Banach Lp₍₀_{, T}_;_X_{) . . . .} ₉

1.3 Sobre equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias em espa¸cos de Banach. . . 11

1.4 Sobre a An´alise de Fourier. . . 13

1.5 Resultados cl´assicos sobre os espa¸cos vetoriais normados. . . 15

2 Equa¸c˜oes de Navier-Stokes em dom´ınios limitados do R2 ₁₉ 2.1 Espa¸cos Funcionais . . . 19

2.2 Equa¸c˜oes de Navier-Stokes em dom´ınio limitados do R2 _{. . . .} ₂₈

3 Equa¸c˜oes de Navier-Stokes em dom´ınios limitados do Rn _com _n _₄ ₅₂ 3.1 Equa¸c˜oes de Navier-Stokes . . . 52

3.2 Equa¸c˜oes de Stokes . . . 65

A Existˆencia e Pronlogameto de Solu¸c˜oes Aproximadas 70

(10)

Neste trabalho, motivados por Medeiros [13],estudamos algumas questões relacio-nadas às equa¸cões de Navier-Stokes. Estas equa¸cões foram estudadas incialmente por Claude Louis Henri Marie Navier, engenheiro, matemático e f´ısico francês que viveu entre 1785 e 1836, por Simeón Denis Poisson, matemático e f´ısico francês que viveu entre 1781 e 1840, por Adhemar Jean Claude Barre de Saint Vennant, professor e en-genheiro francês que viveu entre 1797 e 1886 e por George Gabriel Stokes, matemático, f´ısico, pol´ıtico e teólogo irlandês que viveu entre 1819 e 1903. Para mais detalhes ver Rodriguez [19].

As equa¸cões de Navier-Stokes constituem um modelo matemático para descri¸cão do movimento de flu´ıdos homogêneos, com densidade ⇢ constante, incompress´ıveis e viscosos. Consideremos uma região do Rn_{, constitu´ıda por pontos da forma} _x ₌

(x1, x2, ..., xn), ocupada por um flu´ıdo em movimento. Suponhamos nesta regi˜ao um

aberto Ω, limitado, convexo e com fronteira regular representada por Γ, represente-mos por ⌫ > 0 a viscosidade e por p a press˜ao deste flu´ıdo. Denotemos por u =

(u1(x, t), u2(x, t), ..., un(x, t)) o vetor velocidade das part´ıculas do flu´ıdo, sendo t uma

variável temporal. Assim sendo, as equa¸cões de Navier-Stokes são dadas por:

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

@u

@t +⌫∆u+

n

X

i=1

ui

@ui

@xj

=f_{− r}p, em Q= Ω_⇥(0, T), T >0,

div u= 0, em Q,

u= 0 sobreΣ,

u(x,0) =u0(x) em Ω,

(1)

Σ é a fronteira lateral deQef(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x)) é uma aplica¸cão conhecida.

No Cap´ıtulo 1, introduziremos defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e alguns resultados essenciais

para tornar a leitura deste trabalho auto-suficiente. Definiremos os espa¸cos de Sobolev, introduziremos algumas no¸cões básicas sobre a teoria das distribui¸cões e os espa¸cos

Lp₍₀_{, T}_;_X₎_. _{Finalizaremos, lembrando alguns resultados sobre equa¸c˜oes diferenciais}

ordin´arias em espa¸cos de Banach e a an´alise de Fourier.

No Cap´ıtulo 2, mostraremos que a formula¸c˜ao variacional das equa¸c˜oes de

Navier-Stokes (1), para o caso n = 2 ´e bem posta no sentido de Hadamard, via o m´etodo de Faedo-Galerkin.

O Cap´ıtulo 3 ser´a destinado ao estudo de solu¸c˜ao para o problema (1), para o

(11)

(12)

Nota¸

c˜

oes e resultados preliminares

Neste cap´ıtulo fixaremos algumas nota¸cões e apresentaremos defini¸cões e resulta-dos essenciais à continuidade do trabalho. Introduzimos a teoria das distribui¸cões, os espa¸cos de Sobolev, os espa¸cos Lp₍₀_{, T, X}₎_, _{como também, a análise de Fourier e}

al-guns resultados cl´assicos sobre espa¸cos vetoriais normados. Para maiores detalhes veja Adams [1], Brezis [3],Evans [5],Lions [9],[11], Medeiros [13], Medeiros-Miranda [14],

Medeiros-Rivera [15], Oliveira [16],Rincon [17], Temam [21] e Yosida [22].

1.1 Sobre a teoria das distribui¸

c˜

oes e os espa¸

cos de

Sobolev.

Dados Ω _⇢ Rn _{um aberto e uma fun¸c˜ao cont´ınua} _f _{: Ω} _! _R_{, definimos suporte}

def, e denotamos por supp(f), o fecho em Ω do conjunto _{x₂Ω; f(x)₆= 0_}.Assim, supp(f) ´e um subconjunto fechado de Ω.

Uman-upla de inteiros n˜ao negativos↵ = (↵1, ..., ↵n) ´e denominada de multi-´ındice

e sua ordem ´e definida por _|↵_|=↵1+...+↵n.

Representamos por Dα _{o operador de deriva¸c˜ao de ordem} _|_↵_|_, _{isto ´e,}

Dα = @

|α|

@xα1

1 ...@xαnn

.

Para↵ = (0,0, ...,0), define-se D0_u₌_u, _{para toda fun¸c˜ao}_u_.

Denotamos por C1

0 (Ω) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis

definidas em Ω e com suporte compacto (com as opera¸cões usuais). Um exemplo clássico de uma fun¸cão de C1

0 (Ω) ´e dado por

Exemplo 1.1. Seja Ω _⇢ Rn _{um aberto tal que} _B

(13)

compactamente imerso em Ω,ou seja, B1 ✓Ω. Consideremos f : Ω!R, tal que

f(x) =

8

<

:

e

1

|x|2₋₁

, se_|x_|<1

0, se _|x_{| ≥}1,

onde x = (x1, x2, ..., xn) e |x| =

✓ _n P

i=1

x2

i

◆12

´e a norma euclidiana de x. Temos f ₂

C1_{(Ω) e supp(}_f_{) =} _B

1(0) ´e compacto, isto ´e, f 2C01(Ω).

Defini¸c˜ao 1.1. Dizemos que uma sequˆencia ('n)_n2N em C01(Ω) converge para ' em

C1

0 (Ω), quando forem satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

(i) Existe um compacto K em Ω tal que supp(')_⇢ K e supp('n)⇢ K, para todo

n ₂N_,

(ii) Dα_'

n!Dα', quando n ! 1,uniformemente em K, para todo multi-´ındice↵.

Observa¸c˜ao 1.1. E poss´ıvel dotar´ C1

0 (Ω) com uma topologia de forma que a no¸c˜ao

de convergˆencia nessa topologia coincida com a dada pela Defini¸c˜ao 1.1.

O espa¸coC1

0 (Ω), munido da convergˆencia acima definida, ser´a denotado porD(Ω)

e denominado de espa¸co das fun¸c˜oes testes sobre Ω.

Defini¸cão 1.2. Uma distribui¸cão (escalar) sobre Ω é um funcional linear cont´ınuo sobre _D(Ω), ou seja, uma distribui¸cão sobre Ω é um funcional T :_D(Ω)_!R

satisfa-zendo as seguintes condi¸c˜oes:

(i) T ('+β ) = T(') +βT ( ), ₈β ₂R _e₈_', _{2 D}_(Ω)_,

(ii) T é cont´ınua, isto é, se ('n)n2N converge para ' em D(Ω), então (T ('n))n2N converge para T (') em R_.

´

E comum denotar o valor da distribui¸c˜ao T em ' por _hT, '_i.

O conjunto de todas as distribui¸cões sobre Ω com as opera¸cões usuais é um espa¸co vetorial, o qual representamos por _D0_(Ω).

Os seguintes exemplos de distribui¸c˜oes escalares desempenham um papel funda-mental na teoria das distribui¸c˜oes.

Exemplo 1.2. Seja u₂L1

loc(Ω). O funcional Tu :D(Ω) !R, definido por

hTu, 'i=

Z

Ω

(14)

´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω univocamente determinada poru(ver Medeiros-Miranda [14]).

Por esta razão, identificamosuà distribui¸cãoTu por ela definida e desta forma,L1loc(Ω)

ser´a identificado a uma parte (pr´opria) de_D0_(Ω)_.

Exemplo 1.3. Consideremos 0₂Ω e o funcionalδ0 :D(Ω)!R, definido por

hδ0, 'i='(0).

Em [14], mostra-se que δ0 é uma distribui¸cão sobre Ω. Além disso, é poss´ıvel ver que

δ0 não é definido por uma fun¸cão de L1loc(Ω).

Defini¸cão 1.3. Dizemos que uma sequência (Tn)n2N em D0(Ω) converge para T em D0_(Ω)_, _{quando a sequência numérica (}_h_T

n, 'i)n2N convergir para hT, 'i em R, para toda' _{2 D}(Ω).

Defini¸c˜ao 1.4. Sejam T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e ↵ um multi-´ındice. A derivada

Dα_T _{(no sentido das distribui¸c˜oes) de ordem} _|_↵_| _de_T _{´e o funcional definido em} _D_(Ω)

por

hDα_{T, '}_i_{= (}₋₁₎|α|

hT, Dα_'_i_, ₈_' _{2 D}_(Ω)_.

Observa¸cão 1.2. Decorre da Defini¸cão 1.4 que cada distribui¸cão T sobre Ω possui derivadas de todas as ordens.

Observa¸cão 1.3. Dα_T _{é uma distribui¸cão sobre Ω}_, _onde _T _{2 D}0_{(Ω). De fato, vemos}

queDα_T _{´e linear. Agora, para a continuidade, consideremos (}_'

n)_n2Nconvergindo para

' em _D(Ω). Assim,

|hDαT, 'ni − hDαT, 'i|  |hT, Dα'n−Dα'i| !0,

quando n_{! 1}.

Observa¸cão 1.4. Em Medeiros-Rivera [15] é poss´ıvel verificar que a aplica¸cão

Dα _:_D0_(Ω)_{! D}0_{(Ω) tal que}_T _7!_Dα_T _{´e linear e cont´ınua no sentido da convergˆencia}

definida em_D0_(Ω)_.

Dado um n´umero inteiro m > 0, por Wm,p_(Ω)_, ₁ _ _p _{ 1}_, _{representamos o}

espa¸co de Sobolev de ordem m, sobre Ω, das (classes de) fun¸c˜oes u ₂ Lp_{(Ω) tais que}

Dα_u₂_Lp_{(Ω), para todo multi-´ındice}_↵,_com _|_↵_{| }_m_{. ´}_{E poss´ıvel provar que}_Wm,p_(Ω)

(15)

Munidos das normas

ku_k_Wm,p_(Ω) =

0

@ X

|α|m

Z

Ω|

Dαu(x)_|pdx

1

A

1

p

, quando 1_p <₁

e

ku_k_Wm,1_(Ω) =

X

|α|m

supess

x2Ω |

Dαu(x)_|, quando p=₁,

os espa¸cos de sobolev Wm,p_{(Ω) s˜ao espa¸cos de Banach (ver Medeiros-Rivera [15]).}

Observa¸c˜ao 1.5. Quando p = 2, o espa¸co Wm,2_{(Ω) ´e denotado por} _Hm_{(Ω), o qual}

munido do produto interno

(u, v)_Hm_(Ω) =

X

|α|m

Z

Ω

Dαu(x)Dαv(x)dx

´e um espa¸co de Hilbert.

Teorema 1.1(Imers˜ao de Sobolev). Seja Ωum aberto do Rn _{com fronteira}_Γ _regular.

(i) Se n >2m, ent˜ao Hm_(Ω)_,_!_Lp_{(Ω), onde} _p₂



1, 2n

n₋2m

/

.

(ii) Se n= 2m, ent˜ao Hm_(Ω)_,_!_Lp_(Ω)_,_onde _p₂_[1_,₊₁_[_.

(iii) Se n= 1 e m _≥1, ent˜ao Hm_(Ω) _,_!_L1_(Ω).

Aqui o s´ımbolo ,_! denota imers˜ao cont´ınua. Prova: Ver Brezis [3], Corol´ario 9.14, p. 284.

Teorema 1.2 (Rellich-Kondrachov). Seja Ω um aberto limitado do Rn _{com fronteira}

Γ regular.

(i) Se n >2m, ent˜ao Hm_(Ω)_,_!c _Lp_(Ω)_,_onde _p₂



1, 2n

n₋2m



.

(ii) Se n= 2m, ent˜ao Hm_(Ω)_,_!c _Lp_(Ω)_,_onde _p₂_[1_,₊₁_[_.

(iii) Se 2m > n ent˜ao Hm_(Ω) _,_!c _Ck0

Ω1

, onde k ´e um inteiro n˜ao negativo tal que

k < m₋(n/2)_k+ 1.

(16)

Proposi¸c˜ao 1.3 (Du Bois Raymond). Seja u₂L1

loc(Ω). Ent˜ao

Z

Ω

u(x)'(x)dx= 0, ₈' _{2 D}(Ω),

se, e somente se,u= 0 quase sempre em Ω.

Prova: Ver Medeiros-Miranda [14], Proposi¸c˜ao 1.3.1, p. 10.

Lema 1.4 (Desigualdade de Poincar´e). Seja Ω_⇢Rn_{um aberto limitado. Ent˜ao existe}

uma constanteC > 0, tal que

ku_k2_L2_(Ω) Ckruk

2

L2_(Ω),8u2H₀1(Ω). (1.1)

Observa¸c˜ao 1.6. Para o caso unidimensional, ou seja, Ω = (a, b), a constante da desigualdade (1.1) ´eC=b₋a.

Prova: Ver Brezis [3], Corol´ario 9.19, p. 290.

Lema 1.5 (Desigualdade de Young). Sejam a, b constantes positivas, 1 _ p _{ 1} e 1_q _{ 1}tais que 1

p +

1

q = 1. Ent˜ao

ab_ a

p

p +

bq

q.

Prova: Ver Brezis [3], Teorema 4.6, p. 92.

Lema 1.6(Desigualdade de H¨older). Sejamf ₂Lp_{(Ω) e}_g ₂_Lq_{(Ω), com 1}__{p, q} _{ 1}

e 1

p +

1

q = 1, ent˜aof g 2L

1_{(Ω) e}

kf g_k_L1_(Ω) =

Z

Ω|

f g_|dx_{ k}f_k_Lp_(Ω)kgk_Lq_(Ω).

Teorema 1.7 (Gauss-Green). Se u₂C1_(Ω)_{, ent˜ao}

Z

Ω

@u

@xi

dx=

Z

Γ

u⌫idΓ,

(i= 1,2, ..., n), onde ⌫ = (⌫1, ⌫2, ..., ⌫n) ´e o vetor normal unit´ario em x2Γ.

Prova: Ver Evans [5], Apˆendice C, Teorema 1, p. 627.

(17)

Z

Ωr

v _{· r}udx =₋

Z

Ω

u∆vdx+

Z

Γ

@v

@⌫uds, 8u2H

1_(Ω)_.

(ii) Se u, v ₂H2_(Ω)_{, ent˜ao}

Z

Ω

(u∆v₋v∆u)dx=

Z

∂Ω

u@v

@⌫ −v

@u @⌫

!

ds.

Prova: Ver Evans [5], Apˆendice C, Teorema 3,iii, p. 627.

Teorema 1.9(Tonelli). SejaF : Ω1⇥Ω2 !R,comΩ1,Ω2 abertos emRn. Suponhamos

que

Z

Ω2

|F(x, y)_|dy <₁, para todo x₂Ω1

e

Z

Ω1 dx

Z

Ω2

|F(x, y)_|dy <₁.

Ent˜aoF ₂L1_(Ω

1⇥Ω2).

Teorema 1.10 (Fubini). Suponhamos que F ₂L1_(Ω

1⇥Ω2). Ent˜ao

F(x, y)₂L1(Ω2);

Z

Ω2

|F(x, y)_|dy ₂L1_(Ω

1), para todo x 2Ω1

e

F(x, y)₂L1_(Ω

1);

Z

Ω1

|F(x, y)_|dx₂L1_(Ω

2), para todo y2Ω2,

al´em disso,

Z

Ω1 dx

Z

Ω2

|F(x, y)_|dy=

Z

Ω2 dx

Z

Ω1

|F(x, y)_|dx =

Z Z

Ω1⇥Ω2

|F(x, y)_|dxdy.

1.2 Sobre os espa¸

cos de Banach

L

p

(0

, T

;

X

)

Nesta se¸c˜ao introduziremos no¸c˜oes sobre os espa¸cos de Banach Lp₍₀_{, T}_;_X₎_,

(18)

Dado um espa¸co de BanachX, denotaremos porLp₍₀_{, T}_;_X₎_,₁__{p <} ₁_{, o espa¸co}

de Banach das (classes de) fun¸cões u, definidas em ]0, T[ com valores em X, que são fortemente mensuráveis e _ku(t)_kp_X é integrável a Lebesgue em ]0, T[, com a norma

ku_k_Lp₍₀_,T_;_X₎ =

✓Z T

0 k

u(t)_kp_Xdt

◆

1

p

.

Representaremos porL1₍₀_{, T}_;_X_{) o espa¸co de Banach das (classes de) fun¸c˜oes} _u,

de-finidas em ]0, T[ com valores em X,que s˜ao fortemente mensur´aveis e _ku(t)_k_X possui supremo essencial finito em ]0, T[, com a norma

ku_k_L1

(0,T;X) = supess

t2]0,T[ k

u(t)_k_X.

Observa¸cão 1.7. Quando p= 2 e X é um espa¸co de Hilbert, o espa¸co L2₍₀_{, T}_;_X_{) é}

um espa¸co de Hilbert, cujo produto interno ´e dado por

(u, v)_L2₍₀_,T_;_X₎=

Z T

0

(u(t), v(t))_X dt.

Consideremos o espa¸co Lp₍₀_{, T}_;_X_{), 1} _{< p <} ₁_{, com} _X _{sendo Hilbert separ´avel,}

ent˜ao podemos fazer a seguinte identifica¸c˜ao

[Lp(0, T;X)]0 _⇡Lq(0, T;X0),

onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p= 1, faremos a identifica¸c˜ao

⇥

L1(0, T;X)⇤0

⇡L1(0, T;X0),

onde _⇡ representa um isomorfismo entre os espa¸cos em quest˜ao. Essas identifica¸c˜oes se encontram em Lions, [11].

O espa¸co vetorial das aplica¸cões lineares e cont´ınuas de_D(0, T) emXé denominado de Espa¸co das Distribui¸cões Vetoriais sobre ]0, T[ com valores em X e denotado por D0₍₀_{, T}_;_X_).

Defini¸c˜ao 1.5. DadaS _{2 D}0₍₀_{, T}_;_X_{), define-se a derivada de ordem} _n _{como sendo a}

distribui¸c˜ao vetorial sobre ]0, T[ com valores em X dada por

⌧

dn_S

dtn, '

7

= (₋1)n

⌧

S,d

n_'

dtn

7

, ₈ ' _{2 D}(0, T).

(19)

Tu :D(0, T)!X, definida por

Tu(') =

Z T

0

u(t)'(t)dt,

é linear e cont´ınua no sentido da convergência de _D(0, T), logo é uma distribui¸cão vetorial. A aplica¸cãou_7!Tu é injetiva, de modo que podemos identificar u com Tu e,

neste sentido, temosLp₍₀_{, T}_;_X₎_{⇢ D}0₍₀_{, T}_;_X₎_.

Consideremos o espa¸co

Wm,p(0, T;X) = 8

u₂Lp(0, T;X) ; u(j)₂Lp(0, T;X), j = 1, ..., m ,

ondeu(j) _{representa a}_j_{-´esima derivada de}_u _{no sentido das distribui¸c˜oes vetoriais, que}

equipado com a norma

ku_k_Wm,p₍₀_,T_;_X₎ =

m

X

j=0

! !u(j)

! !

p

Lp₍₀_,T_;_X₎

!1

p

,

´e um espa¸co de Banach (ver Adams [1]).

Observa¸c˜ao 1.8. Quando p= 2 eX ´e um espa¸co de Hilbert, o espa¸co Wm,p₍₀_{, T}_;_X₎

ser´a denotado por Hm₍₀_{, T}_;_X_{), munido do produto interno}

(u, v)_Hm₍₀_,T_;_X₎ =

m

X

j=0

0

u(j), v(j)1

L2₍₀_,T_;_X₎,

´e um espa¸co de Hilbert. Denota-se por Hm

0 (0, T;X) o fecho, em Hm(0, T;X), de

D(0, T;X) e por H−m₍₀_{, T}_;_X_{) o dual topol´ogico de} _Hm

0 (0, T;X).

1.3 Sobre equa¸

c˜

oes diferenciais ordin´

arias em espa¸

cos

de Banach.

Nessa se¸cão enunciaremos dois importantes teoremas sobre equa¸cões diferenciais or-dinárias em espa¸cos de Banach que auxiliarão na obten¸cão de solu¸cões para as equa¸cões de Navier-Stokes.

Defini¸cão 1.6. Dizemos que uma fun¸cão absolutamente cont´ınua x(t) definida em algum intervaloI da reta, tal que (x(t), t)₂G_✓Rn+1_,_{para todo}_t₂_I,_{é uma solu¸cão}

(20)

x0(t) = f(x, t) (1.2)

sex(t) satisfaz (A.1) quase sempre emt.Seja (x0, t0)2G.Associado a (A.1) e a (x0, t0)

temos o problema de valor inicial

(

x0₍_t_{) =} _f₍_{x, t}₎

x(t0) = x0.

(1.3)

Defini¸cão 1.7. Dizemos que uma fun¸cão f : G _! Rn _{está nas condi¸cões de}

Ca-rath´eodory sobreG se:

(i) f(x, t) ´e mensur´avel emt para cada xfixado;

(ii) f(x, t) ´e cont´ınua em x para cada t fixado;

(iii) Para cada compacto K contido em G existe uma fun¸c˜ao real integr´avel mK(t)

tal que,

|f(x, t)_{| }mK(t), para todo (x, t)2K.

Consideremos o retˆangulo

R =_{(x, t)₂Rn+1_,

|x₋x0| b,|t−t0| a;b >0e a >0}.

Teorema 1.11 (Carathéodory). Seja f : G _! Rn _{nas condi¸cões de Carathéodory}

sobre G, ent˜ao existe uma solu¸c˜ao x(t) de (A.2) sobre algum intervalo _|t₋t0|  ↵,

onde ↵ >0.

Corolário 1.12. SejamG_✓Rn+1 _e_f _{satisfazendo as condi¸cões de Carathéodory sobre}

G,ent˜ao o problema (A.2) tem solu¸c˜ao para qualquer (x0, t0).

Prova: Ver Rincon [17], Teorema 3.15, p. 15.

Defini¸c˜ao 1.8. Seja '(t) uma solu¸c˜ao de (A.1) sobre I e I _✓ I1. Dizemos que '(t)

tem um prolongamento at´eI1, se existe 'i(t) solu¸c˜ao de (A.1) sobre I1 e 'i(t) ='(t),

para todot₂I.

Teorema 1.13 (Prolongamento). Sejam G _✓ Rn+1 _{aberto e limitado e} _f _: _G _! _Rn

satisfazendo as duas primeiras condi¸c˜oes de Carath´eodory sobreGe suponha que existe

uma fun¸c˜ao integr´avel m(t) tal que

(21)

para todo (x, t) ₂ G. Seja ' uma solu¸cão da equa¸cão (A.1) sobre o intervalo (a, b). Então

(i) existem '(a+), '(b−);

(ii) Se ('(b−), b)2 G; ent˜ao ' pode ser prolongado at´e (a, b+δ), para algum δ >0.

De modo an´alogo para a;

(iii) '(t) pode ser prolongada at´e um intervalo (γ, !) tal que('(γ+), γ), ('(γ−), !)2

@G, (@G ´e fronteira de G.)

Corol´ario 1.14. Sejam G =U _⇥[0, T], T >0, U =_{x₂ Rn_;_|_x_{| }_{b, b >} ₀_} _e_f _nas

condi¸c˜oes do Teorema 1.13. Seja'(t) uma solu¸c˜ao de

(

x0₍_t_{) =} _f₍_{x, t}₎

x(t0) = x0, |x0| b.

(1.4)

Se em qualquer intervalo I onde '(t) est´a definida tivermos _|'(t)_{| } M, para todo

t ₂ I, com M sendo uma constante que independe de I e M < b, ent˜ao ' tem um prolongamento at´e [0, T].

Prova: Ver Rincon [17], Lemas 3.18 e 3.19, p. 16, Corol´ario 3.23 e Teorema 3.24, p. 18.

1.4 Sobre a An´

alise de Fourier.

Nessa se¸c˜ao recordaremos alguns resultados da teoria das s´eries e transformadas de Fourier.

Defini¸c˜ao 1.9. Sejam _H um espa¸co de Hilbert e (xα)α2J um conjunto ortonormal em

H. A fam´ılia (_hxα, xi)α2J ´e chamada de coeficientes de Fourier dex2 H e a soma

X

α2J

hxα, xixα

é chamada de série de Fourier de x em rela¸cão à (xα)α2J.

Teorema 1.15. Seja (xα)α2J um conjunto ortonormal em H. Ent˜ao as seguintes

afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(22)

(ii) Se x _{2 H}, então a série de Fourier de x, em rela¸cão à (xα)α2J, converge em H

para x e independe da ordem na soma, ou seja,

x=X

α2J

hxα, xixα, para todo x2 H;

(iii) [Identidade de Parseval]: Para todo x_{2 H} temos

||x_||2 =

X

α2J

|hxα, xi|.

Prova: Ver Oliveira [16], Teorema 21.12, p. 154.

Consideremos os espa¸cos de Hilbert B0 ✓ B ✓ B1 sendo estas imers˜oes cont´ınuas

e além disso, a imersão B0 ✓B sendo compacta. Para uma fun¸cão v deR em B1,sua

transformada de Fourier ˆv ´e representada por

ˆ

v(τ) =

Z +1

−1

e−2πiτ tv(t)dt

cuja transformada inversa ´e dada por

v(t) =

Z +1

−1

e2πiτ tvˆ(τ)dτ.

Sejan um n´umero natural eDn

t o s´ımbolo de deriva¸c˜ao de ordem n em rela¸c˜ao at.

Derivando formalmente a igualdade anterior obtemos

D_tnv(t) =

Z +1

−1

(2πiτ)ne2πiτ tvˆ(τ)dτ.

Motivados por isso, quandoγ for um n´umero real, definimos a derivada fracion´aria

D_tγ de ordem γ de v(t), com sendo a transformada inversa de (2πiτ)γ_v_ˆ₍_τ₎_, _{isto ´e,}

\

Dγtv(t) = (2πiτ)γˆv(τ).

Para γ >0, definimos o espa¸co

Hγ(R_{, B}₀_{, B}₁_{) =}_{_v ₂_L2₍_R_{, B}

0);|τ|γˆv(τ)2L2(R, B1)}

munido com a norma

||v_||2_Hγ₍R,B0,B1) =||v||

2

L2₍_R_,B

0)+|||τ|

γ_v_ˆ₍_τ₎

||2L2₍_R_,B 1).

Resulta desta defini¸c˜ao que Hγ₍_R_{, B}

0, B1) ´e um espa¸co de Hilbert. Dado K ✓ R,

(23)

contido em K.

Teorema 1.16. Sejam B0, B e B1, espa¸cos de Hilbert, com B0 ✓ B ✓ B1, sendo

estas imersões cont´ınuas e a imersão B0 ✓ B compacta. Então para todo γ > 0 e

qualquer conjunto limitado K _✓R_, _{a imers˜ao de}

H_Kγ(R_{, B}₀_{, B}₁₎ _em _L2₍_R_{, B}₎

´e compacta.

Prova: Ver Medeiros [13], Apˆendice II, Teorema 4, p. 145.

Teorema 1.17 (Plancherel). Sejam

F :L2(Rn₎_!_L2₍Rn₎

uma aplica¸c˜ao e

ˆ

F :L2(Rn₎

!L2(Rn₎

a sua transformada de Fourier. Ent˜ao _F e _Fˆ s˜ao isomorfismos de espa¸cos de Hilbert

tais que

(_F(u),_F(v))L2₍_Rn₎ = (u, v)_L2₍_Rn₎ = ( ˆF(u),Fˆ(v))_L2₍_Rn₎,

para todou, v ₂L2₍_Rn₎_.

Prova: Ver Yosida [22], p. 153.

1.5 Resultados cl´

assicos sobre os espa¸

cos vetoriais

normados.

Nessa se¸cão iremos enunciar alguns resultados clássicos sobre os espa¸cos vetoriais normados que serão úteis no desenvolvimento do trabalho.

Teorema 1.18 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). O conjunto _BE0 = {f 2E0;kfk 1} ´e

compacto pela topologia fraca * σ(E0_{, E}₎_, _onde _E _{´e um espa¸co de Banach.}

Teorema 1.19 (Representa¸c˜ao de Riesz). Sejam X um espa¸co vetorial normado, 1<

p <₁ e '₂(Lp₍_X₎₎0_. _{Ent˜ao existe um ´}_unico _u₂_Lq₍_X₎_, _com 1

p+

1

q = 1 tal que

h', f_i=

Z

(24)

al´em disso,

||u_||Lq₍_X₎ =||'||₍_Lp₎0₍_X₎.

Prova: Ver Brezis [3], Teorema 5.5, p. 135 .

Defini¸c˜ao 1.10. SejaH um espa¸co de Hilbert. Uma forma bilinearb :H_⇥H _!R_´e

dita

(i) Cont´ınua se existe uma constante C > 0 tal que

|b(u, v)_{| }C_|u_||v_|, ₈u, v ₂H;

(ii) Coerciva se existe uma constante ↵ >0 tal que

b(v, v)_≥↵_|v_|2, ₈v ₂H.

Teorema 1.20 (Lax-Milgram). SejamH um espa¸co de Banach e a:H_⇥H _!R _uma

forma bilinear, cont´ınua e coerciva. Para toda '₂H0 existe um ´unico u₂H tal que

a(u, v) =_h', v_i, ₈ v ₂H.

Além disso, se a é simétrica, u se caracteriza pela propriedade

u₂H e 1

2a(u, u)− h', ui=M inv2H

⇢

1

2a(v, v)− h', vi

<

.

Teorema 1.21. Sejam X e Y espa¸cos de Hilbert tal que X ,_! Y e µ ₂ Lp(0, T, X),

µ0 ₂Lp(0, T;Y), 1_p_{ 1}, ent˜ao µ₂C0([0, T] ;Y).

Prova: Ver Teman [21], Lema 1.2, p. 260.

Teorema 1.22 (Compacidade Aubin-Lions). Suponhamos X _⇢ B _⇢ Y com imers˜ao

compacta X _! B onde X, Y e B s˜ao espa¸cos de Banach e 1 _ p _{ 1}, 1 _ r _{ 1}.

Seja F limitado em Lp(0, T, X)_\Ws,r(0, T, Y), onde s > 0 se r _≥ p e s > 1_r ₋ 1_p se

r_p. Ent˜ao,F ´e relativamente compacto emLp₍₀_{, T, B}₎_{(e em} _C₍₀_{, T, B}₎_se _p₌₁_).

Prova: Ver Medeiros [13], Apˆendice I, Teorema 2, p. 127.

Defini¸c˜ao 1.11. Seja X um espa¸co normado. Dizemos que uma sequˆencia (xn)✓ X

converge fraco para x₂X se

(25)

para todof ₂X0_._{Neste caso denotemos} _x

n*x2Σ(E0, E).

Proposi¸c˜ao 1.23. Sejam E um espa¸co de Banach, E0 seu dual e (xn) uma sequˆencia

em E. Se xn*x em σ(E0, E) e fn!f em E0, ent˜ao hfn, xni ! hf, xi.

Prova: Ver Brezis [3], Proposi¸c˜ao 3.5.iv, p. 58.

Defini¸c˜ao 1.12. Seja X um espa¸co normado. Dizemos que uma sequˆencia (fn)✓X0

convergef raco₋⇤ para f ₂X0 se

fn(x)!f(x), quando n! 1,

para todox₂X.

Proposi¸c˜ao 1.24. Sejam E um espa¸co de Banach, E0 _{seu dual e (}_f

n) uma sequˆencia

deE0_{. Se} _f

n!f fraco−⇤ em σ(E0, E), ent˜ao kfnk C ekfk limkfnk.

Prova: Ver Brezis [3], Proposi¸c˜ao 3.13.iii, p. 63.

Proposi¸c˜ao 1.25. Sejam E um espa¸co de Banach, E0 seu dual e (fn) uma sequˆencia

deE0. Se fn!f fraco−⇤ em σ(E0, E) e xn!x em E, ent˜ao hfn, xni ! hf, xi.

Prova: Ver Brezis [3], Proposi¸c˜ao 3.13.iv, p. 63.

Teorema 1.26 (Banach-Steinhaus). SejamE e F dois espa¸cos de Banach. Seja (Tn)

uma sequˆencia de operadores lineares cont´ınuos deE em F tais que para cada x₂E,

Tnx converge quando n ! 1 a um limite que denotamos por Tx. Ent˜ao temos:

(i) sup

n k

Tnk_L₍_E,F₎<1,

(ii) T _{2 L}(E, F),

(iii) _kT_k_L₍_E,F₎ _lim_kTnk_L₍_E,F₎.

Teorema 1.27 (Ponto fixo de Brouwer). Seja F um espa¸co de dimens˜ao finita e seja

Q_✓F um subconjunto compacto, convexo e n˜ao-vazio. Sejaf :Q_!Quma aplica¸c˜ao

cont´ınua ent˜ao f possui ponto fixo.

Prova: Ver Brezis [3], p. 179.

(26)

(i) _|en|= 1 para todo n e (em, en) = 0, para todo m6=n;

(ii) O espa¸co linear gerado pelos en´e denso em H.

Teorema 1.28. Todo espa¸co de Hilbert separ´avel possui uma base ortonormal.

Prova: Ver Brezis [3],Teorema 5.11, p. 143.

Teorema 1.29 (Teorema Espectral). Seja H um espa¸co de Hilbert separ´avel e seja T

um operador compacto e auto-adjunto, ent˜ao existe uma base hilbertiana composta por

autovetores de T.

Prova: Ver Brezis [3],Teorema 6.11, p. 167.

Lema 1.30 (Gronwall). Sejax(t) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa em [0, T] que satisfaz:

x(t)_C1

Z T

0

x(s)ds+C2, para C1 C2 ≥0. 8t2[0, T].

Ent˜ao

x(t)_C2(1 +C1teC1t), para todo0tT.

Em particular se

x(t)_C1

Z T

0

x(s)ds, para todo0_t_T

ent˜ao

x(t) = 0. Prova: Ver Evans [5], Apˆendice C, p. 625.

Lema 1.31(Lions). Sejam Ω um aberto deRn_⇥_R_,_g

negfun¸c˜oes deLq(Ω),1< q <1,

tais que

||gn||Lq_(Ω) < C, g_n!g, quase sempre em Ω. Ent˜ao

gn *g, em Ω.

(27)

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes em

dom´ınios limitados do

R

2

Neste cap´ıtulo mostraremos que a formula¸cão variacional das equa¸cões de Navier-Stokes é bem posta, no caso den= 2.Para maiores detalhes ver: Adams [1], Aubin [2],

Coddington-Levinson [4], Ladyzhenskaya [6], Leray [7], Lions [8],[9],[10] e [11],

Lions-Magenes [12],Tartar [20] e Temam [21].

2.1 Espa¸

cos Funcionais

Definiremos espa¸cos funcionais apropriados para análise matemática das equa¸cões de Navier-Stokes. Primeiro analisaremos um problema estacionário associado a estas equa¸cões sobre um dom´ınio limitado e convexo Ω doRn _{com fronteira Γ regular.}

Consideremos inicialmente o problema que consiste em determinar uma fun¸c˜ao u(x) = (u1(x), u2(x), ..., un(x)), com x= (x1, x2, ..., xn) em Ω satisfazendo:

! ! ! ! ! ! ! ! !

−⌫∆ui+

@p

@xi

=fi em Ω, i=1,2,...,n,

div v = 0 em Ω,

ui = 0 sobre Γ,

(2.1)

sendof(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x)) ´e uma aplica¸c˜ao conhecida.

(28)

Consideremos (H1

0(Ω))n =H01(Ω)⇥...⇥H01(Ω),munido do produto interno:

((u, v)) =

n

X

i=1

(ui, vi)H1

0(Ω), (2.2)

onde u = (u1, u2, ..., un)ev = (v1, v2, ..., vn) 2 (H01(Ω))n. Mostremos que a aplica¸c˜ao

definida em (2.2) ´e um produto interno em (H1

0(Ω))n. De fato, dadosu, v, w 2(H01(Ω))n

temos

• ((u, v)) =

n

X

i=1

(ui, vi)_H1 0(Ω) =

n

X

i=1

(vi, ui)_H1

0(Ω) = ((v, u));

• ((λu+v, w)) =

n

X

i=1

(λui+vi, wi)H1

0(Ω) =λ((u, w)) + ((v, w));

• ((u, u)) =

n

X

i=1

(ui, ui)_H1

0(Ω) ≥0, e se u6= 0 ent˜ao

((u, u)) =

n

X

i=1

(ui, ui)H1

0(Ω) >0,

pois para algum i, temosui 6= 0.

Portanto (H1

0(Ω))n ´e um espa¸co de Hilbert, pois ´e um espa¸co de Banach munido

com o produto interno definido em (2.2) e a norma proveniente deste produto interno. Em (H1

0(Ω))n usando a desigualdade de Poincar´e, podemos considerar a norma||u||da

seguinte forma:

||u_||2 =

n

X

i=1

|rui|2_L2_(Ω), (2.3)

pois

||u_||2 =

n

X

i=1

(ui, ui)H1 0(Ω)=

n

X

i=1

||ui||2 = n

X

i=1

|rui|2L2_(Ω), (2.4)

onde a última igualdade decorre da desigualdade de Poincaré. Além disso, podemos escrever a norma_|rui|L2_(Ω) como sendo:

|rui|2 =

Z

Ω

(_rui)2dx=

Z

Ω

@ui

@x1

, ..., @ui

@xn

!

@ui

@x1

, ..., @ui

@xn

! dx= Z Ω n X j=1

@ui

@xj

!2

dx,

(29)

Consideremos tamb´em (L2_(Ω))n₌_L2_(Ω)_⇥_..._⇥_L2_(Ω)_,_{munido do produto interno:}

(u, v) =

n

X

i=1

Z

Ω

uividx. (2.5)

Mostremos que a aplica¸c˜ao definida em (2.5) ´e um produto interno em (L2(Ω))n_. _De

fato, dados u, v, w ₂(L2(Ω))n_, _temos

• (u, v) =

n

X

i=1

Z

Ω

uividx= n

X

i=1

(ui, vi)L2_(Ω) =

n

X

i=1

(vi, ui)L2_(Ω) = (v, u);

• (λu+v, w) = λ(u, w) + (v, w);

• (u, u) =

n

X

i=1

Z

Ω

u2_idx _≥0, e se u₆= 0 ent˜ao

(u, u) =

n

X

i=1

Z

Ω

u2_idx >0,

pois para algum i, temosui 6= 0.

A norma induzida em (L2_(Ω))n _{´e dada por:}

|u_|2 =

n

X

i=1

Z

Ω

u2_idx. (2.6)

Consideremos os espa¸cos:

V =_{v ₂(H₀1(Ω))n;div v = 0 em Ω_}

e

V =_{'₂(_D(Ω))n;div ' = 0 em Ω _},

comV sendo um subspa¸co fachado de (H₀1(Ω))n_,_D_{(Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes testes em}

Ω e representemos porH o conjunto de aderência de _V. Proposi¸cão 2.1. O espa¸co _V é denso em V.

Prova: Com efeito, seja ('m) uma sequˆencia em V, com 'i 2(D(Ω))n. Desta forma,

podemos escrever 'i = ('i1, 'i2, ...,'in), onde 'ij 2 D(Ω), i = 1,2, ..., m, .... Como

D(Ω) ´e denso emH1

0(Ω) ent˜ao para ('ij)i ⇢ D(Ω) existe'j 2H01(Ω) tal que'ij !'j,

quando i_!+₁, seja qual for j _{2 {}1,2, ..., n_}. Portanto

(30)

e

div ' =div lim

i!+1'i = limi!+1div 'i = 0.

Logo o espa¸co_V ´e denso em V, como quer´ıamos mostrar. ⌅

Procurando uma formula¸c˜ao variacional para o sistema linearizado de Stokes, mul-tipliquemos ambos os membros de (2.1) por um vetor vi 2H01(Ω), integremos sobre Ω

e assim temos a seguinte igualdade:

−

Z

Ω

⌫∆uividx+

Z

Ω

@p @xi

vidx=

Z

Ω

fividx,

ou seja, −⌫ Z Ω n X j=1

@2_u

i

@x2

j

vidx−

Z

Ω

p@vi @xi

dx=

Z

Ω

fividx,

e portanto, usando o fato que vi 2H01(Ω) e pela f´ormula de Green, obtemos

⌫ n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx₋ Z Ω

p@vi @xi

dx=

Z

Ω

fividx.

Somando a igualdade anterior emi, e ordenando os termos convenientemente temos

n

X

i=1

Z

Ω

fividx = ⌫

n X i=1 n X j=1 Z Ω

@ui

@xj

@vi

@xj

dx₋ n X i=1 Z Ω

p@vi

@xi

dx = ⌫ n X i=1 n X j=1 Z Ω

@ui

@xj

@vi

@xj

dx₋ Z Ω p n X i=1

@vi

@xi

dx = ⌫ n X i=1 n X j=1 Z Ω

@ui

@xj

@vi

@xj

dx₋

Z

Ω

p div vdx.

Considerando v ₂V, temos div v = 0, logo da igualdade anterior temos a seguinte equa¸c˜ao: ⌫ n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx = n X i=1 Z Ω

fividx, para todo v 2V. (2.7)

Da´ı, reduzimos nosso problema a encontrar u ₂ V que satisfa¸ca (2.7), para todo

v ₂ V. Para demonstrarmos a existˆencia e a unicidade de u ₂ V, solu¸c˜ao de (2.7) aplicaremos o lema de Lax-Milgram, para isto consideremos uma forma bilinear da seguinte maneira:

a(u, v) = ⌫

n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj

dx, u, v ₂V. (2.8)

(31)

Prova: De fato, dadosu, v ₂V temos

a(u, v) = ⌫

n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx  = = = = = ⌫ n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx = = = = = = ⌫ = = = = = n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx = = = = = ,

haja vista que, parau, v ₂(H1

0(Ω))n temos a igualdade

((u, v)) =

n

X

i=1

(ui, vi)H1 0(Ω)

=

n

X

i=1

(_rui,rvi)L2_(Ω)

= n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj dx,

obtemos assim a seguinte desigualdade

a(u, v)_⌫_|((u, v))_|.

Usando a desigualdade de Schwarz conclu´ımos:

a(u, v)_⌫_||u_||||v_||.

Provando assim a continuidade de a(u, v) em V. Al´em disso, a(u, v) ´e coerciva, pois dadou₂V obtemos

a(u, u) =⌫

n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj !2

dx=⌫

n

X

i=1

|rui|2 =⌫||u||2.

Portantoa(u, v) ´e cont´ınua e coerciva em V. _⌅

Para todo f ₂H definimos a aplica¸c˜ao

f _7! n X i=1 Z Ω

fividx= (f, v), f ixado v 2V. (2.9)

(32)

cont´ınua e usando a Proposi¸c˜ao 2.2,a forma linear a(u, v) ´e cont´ınua e coerciva em V,

ent˜ao do lema de Lax-Milgram existe um ´unico u₂V tal que

a(u, v) = (f, v), para todo v₂V. (2.10)

Relacionemos agora a equa¸cão (2.10) com o problema original formulado para as equa¸cões (2.1), no entanto, antes mostremos um resultado no qual nos permitirá ca-racterizar as formas lineares cont´ınuas sobre (H₀1(Ω))n _{que se anulam em} _V_.

Proposi¸c˜ao 2.3 (De Rham). Seja L ₂(H−1(Ω))n_{, que identificamos como o dual de}

(H1

0(Ω))n, tal que Lv = 0, para todov 2V, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao

p₂L2₀(Ω) =

(

g ₂L2(Ω);

Z

Ω

g(x)dx= 0

)

,

tal que L=_rp, ou seja,

Lv =

Z

Ω

pdiv vdx; para todo v ₂V.

Prova: Afim de provarmos a Proposi¸cão 2.3 consideremos d(x) a distância de um ponto x de Ω à fronteira Γ. Sabemos que d(x) é uma fun¸cão lipschitziana em Ω. Consideremos então a equa¸cão:

div(d(x)_rφ(x)) =g em Ω.

Usando resultados de equa¸c˜oes el´ıticas degeneradas ´e poss´ıvel mostrar que existe

φ ₂H2(Ω), solu¸cão do problema acima e que a aplica¸cão g _7! φ é cont´ınua de L2₀(Ω) em H2_(Ω).

Logo existe uma aplica¸c˜ao linear e cont´ınua p:L2

0(Ω)!(H01(Ω))n definida por:

p(g) =d(x)_rφ,

pois, comoφ₂H2(Ω), temos d(x)@φ

@xi 2

H₀1(Ω) e pg₂(H₀1(Ω))n_. _{Al´em disso,}

div pg=g. (2.11)

Procedendo de maneira semelhante ao que foi feito para chegar a (2.10), usando o lema de Lax-Milgran ´e poss´ıvel mostrar que existe um ´unico u₂V tal que

a(u, v) = (f, v)V0

(33)

Aproximaremos a solu¸cão de (2.12) por solu¸cões de um problema penalizado em (H₀1(Ω))n_{, para isto definamos para cada}_↵_>_{0 a aplica¸cão bilinear, cont´ınua e coerciva}

(uα, v)7!a(uα, v) +

1

↵(div uα,div v).

Usando o lema de Lax-Milgram obtemos para cada ↵>0, uα 2(H01(Ω))n tal que

a(uα, v) +

1

↵(div uα,div v) = (f, v)V0⇥V, para todo v 2(H

1

0(Ω))n. (2.13)

Nosso objetivo agora ´e mostrar queuα converge fraco em (H01(Ω))n para a solu¸c˜ao

ude (2.12).

De fato, fazendov =uα 2(H01(Ω))n em (2.13) obtemos a igualdade:

a(uα, uα) +

1

↵(div uα,div uα) = (f, uα)V0⇥V,

ou seja,

⌫

n

X

i,j=1

Z

Ω

@uαi

@xj

!2

dx+ 1

↵(div uα)

2 _{= (}_{f, u}

α)V0_⇥V,

tendo assim a desigualdade

⌫_||uα||2+

1

↵(div uα)

2

 |f_|V0||u_α||_V.

Usando o fato que f ₂V0,segue a estimativa abaixo

||uα|| C, (2.14)

onde C independe de ↵ >0.

Fazendo,Pα =−_α1div uα, considerandov =uα e substituindo em (2.13) temos

a(uα, v) = (f, uα)V0_⇥V + (P_α,div v), para todo v2(H1

0(Ω))n. (2.15)

Observa¸c˜ao 2.1. Como uα 2(H01(Ω))n, Pα 2L20(Ω), temos pelo Teorema de Gauus

Z

Ω

Pαdx=−

1

↵

Z

Ω

div uαdx=−

1

↵

Z

Γ

uα⌘dΓ = 0, (2.16)

poisuα 2(H01(Ω))n,onde ⌘ = (⌘1, ⌘2, ...,⌘n) ´e o vetor normal unit´ario interior a Γ.

Observa¸c˜ao 2.2. Pα ´e limitado emL2(Ω).

(34)

garante a existˆencia de umvα 2(H01(Ω))n tal que

div vα =div p(Pα) =Pα, (2.17)

e visto que,p:L2

0(Ω)!(H01(Ω))n ´e cont´ınua, conclu´ımos a desigualdade:

||vα||=||p(Pα)|| C||Pα||. (2.18)

Tomandov =vα 2(H01(Ω))n em (2.13),obtemos:

(Pα,div vα) = a(uα, vα)−(f, vα)V0_⇥V.

Como de (2.17),div vα =Pα, a igualdade acima nos d´a a desigualdade:

|Pα|2 =a(uα, vα)−(f, vα)V0_⇥V ⌫||u_α||||v_α||+|f|_V0||v_α||.

Usando a estimativa (2.14) e a desigualdade (2.18) temos a estimativa

|Pα|2 ⌫||uα||||vα||+|f|V0||v_α||=||v_α||(⌫||u_α||+|f|_V0)< C. (2.19)

A Observa¸c˜ao 2.2 anterior garante que existe uma subsequˆencia de (Pα), a qual

ainda representaremos por (Pα) que converge fraco parapemL2(Ω).Novamente usando

a estimativa (2.14), existe uma subsequˆencia de (uα), denotada ainda por (uα), que

converge fraco para w em (H₀1(Ω))n_.

Tomando o limite na equa¸c˜ao penalizada (2.13) obtemos a seguinte igualdade:

a(w, v) = (f, v)V0

⇥V + (p,div v), para todo v 2(H01(Ω))n. (2.20)

Em particular, para v ₂V _✓(H₀1(Ω))n _{em (2}_.₂₀₎_{, w} _{ser´a solu¸c˜ao de}

a(w, v) = (f, v)V0

⇥V; para todo v 2V. (2.21)

Comparando as equa¸cões (2.12) e (2.21), u =w, pois u é solu¸cão única de (2.12). Conclu´ımos assim, que a solu¸cão u de (2.12) é obtida como limite de solu¸cões da equa¸cão penalizada (2.13).

Consideremos agora f ₂ (H−1_(Ω))n_, _{tal que (}_{f, v}_{) = 0}_, _{para todo} _v ₂ _V, _{ent˜ao a}

solu¸cãou de (2.12) é a solu¸cão u= 0. Retornando à equa¸cão (2.20) temos

(f, v)V0

(35)

ou ainda,

(f, v)V0_⇥V + (−rp, v) = 0, para todo v2(H1

0(Ω))n, (2.23)

provando assim que

f =_rp. Em particular p ₂ L2

0(Ω) resolve o nosso problema, assim sendo, existe p2 L20(Ω)

tal que f =_rp. Conclu´ımos de (2.23) que seL for uma forma linear e cont´ınua sobre (H₀1(Ω))n_,_{de modo que,} _Lv _{= 0, para todo}_v ₂_V _{ent˜ao existe um ´}_unico _p₂_L2

0(Ω) tal

que

Lv =

Z

Ω

p div vdx, para todo v ₂(H₀1(Ω))n. (2.24)

⌅

Claramente para qualquer p₂L2(Ω),(2.24) torna Lv uma forma linear e cont´ınua em (H₀1(Ω))n_, _{nula em} _V. _{Usaremos a caracteriza¸c˜ao (2}_._{24) para fazermos uma}

inter-preta¸c˜ao da solu¸c˜ao u de (2.10).

Seja u solu¸c˜ao de (2.10) e consideremos a forma linear cont´ınua Lv definida em (H₀1(Ω))n _{da seguinte forma:}

Lv =a(u, v)₋

n

X

i=1

Z

Ω

fividx; com f 2H. (2.25)

Sendo u solu¸c˜ao de (2.10), Lv = 0, para todo v ₂ V, com Lv definida por (2.25). Usando a caracteriza¸c˜ao dada por (2.24) existe p₂L2_{(Ω) tal que}

Lv =

Z

Ω

p div vdx, para todo v₂(H₀1(Ω))n.

Logo o par (u, p) de V _⇥ H ´e solu¸c˜ao da forma bilinear

a(u, v) =

n

X

i=1

Z

Ω

fividx+

Z

Ω

pdiv vdx, para todo v₂(H₀1(Ω))n. (2.26)

Como (_D(Ω))n_✓ ₍_H1

0(Ω))n, restringindo v `a (D(Ω))n na igualdade (2.26), existe uma

´

unicau₂V que satisfaz

n

X

i=1

Z

Ω

fividx+

Z

Ω

p div vdx = ⌫

n

X

i=1

n

X

j=1

Z

Ω

@ui

@xj

@vi

@xj

(36)

Como ⌫ n X i=1 n X j=1 Z Ω @ui @xj @vi @xj

dx = ₋⌫

n X i=1 n X j=1 Z Ω

@2_u

i

@x2

j

vidx

= ₋⌫ n X i=1 Z Ω n X j=1

@2ui

@x2

j

vidx

= ₋⌫ n X i=1 Z Ω

∆uividx,

obtemos a equa¸c˜ao:

n

X

i=1

Z

Ω

fividx+

Z

Ω

p div vdx = ₋⌫

n

X

i=1

Z

Ω

∆uividx,

resultando assim a seguinte igualdade

−⌫

n

X

i=1

h∆ui, vii = n

X

i=1

hfi, vii − n X i=1 Z Ω @p @xi

vidx

=

n

X

i=1

hfi, vii − n X i=1 * @p @xi

, vi

+

.

Logo u´e solu¸c˜ao de

! ! ! ! ! ! ! ! !

−⌫∆ui+

@p

@xi

=fi em Ω, i=1,2,...,n;

div u= 0 em Ω,

ui = 0 sobre Γ,

ou seja, solu¸c˜ao do sistema de Stokes.

2.2 Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes em dom´ınio

limita-dos do

R

2

Embora desejemos analisar as equa¸cões de Navier-Stokes no plano, os problemas serão formulados no caso geral. Iniciaremos com algumas nota¸cões e para isto consi-deremos,

(37)

Adotemos as seguintes nota¸c˜oes:

@u @t =

@u1

@t , @u2

@t , ...,

@un

@t

!

e

∆u= (∆u1,∆u2, ...,∆un).

As equa¸c˜oes de Navier-Stokes possuem a forma:

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

@u

@t +⌫∆u+

n

X

j=1

uj

@u

@xj

=f_{− r}p, ⌫>0, em Q,

div u= 0, em Q,

u= 0, sobre Σ,

u(x,0) = u0(x), em Ω,

(2.27)

sendo Σ a fronteira lateral de Q.

O problema a resolver consiste em determinaruepsatisfazendo (2.27),porém antes de fazermos a sua formula¸cão variacional, estabeleceremos mais algumas nota¸cões.

Para u, v ₂ V, consideremos a forma linear cont´ınua e coerciva a(u, v) definida anteriormente, ou seja,

a(u, v) = ⌫

n

X

i=1

n

X

j=1

Z

Ω

@ui

@xj

@vi

@xj

dx,

e agora consideremos a forma trilinear b(u, v, w) definifida por:

b(u, v, w) =

n

X

i,j=1

Z

Ω

uj

@vi

@xj

widx.

A seguir daremos algumas propriedades desta forma trilinear mencionada acima.

Lema 2.4. A forma trilinear b:V _⇥V _⇥V _!R _{definida por:}

(u, v, w)_7!b(u, v, w) =

n

X

i,j=1

Z

Ω

uj

@vi

@xj

widx

´e cont´ınua.

Prova: De fato, usando o teorema da imers˜ao de Sobolev temos

H₀1(Ω),_!Lq(Ω), para 1

q =

1 2−

1

(38)

Comon = 2, obtemos a seguinte imers˜ao cont´ınua

H₀1(Ω),_!Lq(Ω), para todo q ₂[1,+₁).

Assim sendo, da defini¸c˜ao de b(u, v, w) chegamos a desigualdade

|b(u, v, w)_{| }

2 X i,j=1 Z Ω = = = = = uj @vi @xj wi = = = = = dx. (2.28) Notemos que Z Ω = = = = = uj

@vi

@xj

wi = = = = = dx_ Z Ω|

ujwi|

= = = = =

@vi

@xj

= = = = = dx

e usando a desigualdade de H¨older generalizada, com 1 4 +

1 4 +

1

2 = 1, obtemos a desigualdade Z Ω = = = = = uj @vi @xj wi = = = = = dx _ Z Ω|

uj|4dx

!1/4 Z

Ω|

wi|4dx

!1/4 Z Ω = = = = = @vi @xj = = = = = 2 dx

!1/2

, ou seja, Z Ω = = = = = uj @vi @xj wi = = = = =

dx_{ |}uj|L4_(Ω)

= = = = = @vi @xj = = = = =

L2_(Ω)

|wi|L4_(Ω), (2.29)

combinando as desigualdades (2.29) e (2.28) conseguimos

|b(u, v, w)_{| }

2 X i=1 2 X j=1

|uj|L4_(Ω)

= = = = = @vi @xj = = = = =

L2_(Ω)

|wi|L4_(Ω). (2.30)

Em particularH₀1(Ω) ,_!L4(Ω) e assim sendo, de (2.30)

|b(u, v, w)_{| } C1 2 X i=1 2 X j=1

||uj||H1 0(Ω) = = = = = @vi @xj = = = = =

L2_(Ω)

||wi||H1 0(Ω)

 C1

2

X

i=1

||wi||H1 0(Ω)

2

X

j=1

||uj||H1 0(Ω) = = = = = @vi @xj = = = = =

L2_(Ω)

!

.

Usando a desigualdade de H¨older temos a seguinte desigualdade:

|b(u, v, w)_{| } C1 2

X

i=1

||wi||H1 0(Ω)

2

X

j=1

||uj||2H1 0(Ω)

!1/2 ₂ X j=1 = = = = = @vi @xj = = = = = 2

L2_(Ω)

!1/2

(39)

Pela desigualdade de Poincar´e chegamos a

|b(u, v, w)_{| }C (

2

X

j=1

||uj||H1 0(Ω)

!1/2 ₂ X

i=1

||wi||H1

0(Ω)||vi||H 1 0(Ω)

!

.

Portanto, conclu´ımos que_|b(u, v, w)_| satisfaz a desigualdade:

|b(u, v, w)_{| } C

2

X

j=1

||uj||2_H1 0(Ω)

!1/2 ₂ X

i=1

||wi||2_H1 0(Ω)

!1/2 ₂ X

i=1

||vi||2_H1 0(Ω)

!1/2

= C_||u_||V||w||V||v||V.

Provando assim que b(u, v, w) ´e cont´ınua em V _⇥V _⇥V. _⌅

Usando o Lema 2.4, temos que fixados u e v, a aplica¸cão w _7! b(u, v, w) é uma forma linear e cont´ınua em V. Por esta razão podemos definir uma aplica¸cão B(u, v) deV _⇥V em V0 de modo que

hB(u, v), w_i=b(u, v, w),

sendoB(u, v) bilinear e cont´ınua.

Lema 2.5. Seja b(u, v, w) a forma trilinear definida anteriormente ent˜ao

b(u, v, w) +b(u, w, v) = 0, para todos u, v, w ₂V.

Prova: Dadosu, v e w ₂V ent˜ao

b(u, v, w) +b(u, w, v) =

n X i,j=1 Z Ω uj @vi @xj

widx+ n X i,j=1 Z Ω uj @wi @xj

vidx

= n X i,j=1 Z Ω uj @vi xj

wi+

@wi xj vi ! dx = n X i,j=1 Z Ω uj @ @xj

(wi, vi)dx.

Integrando por partes o ´ultimo termo da igualdade acima temos:

b(u, v, w) +b(u, w, v) = ₋

n X i,j=1 Z Ω @uj @xj

(40)

Comou₂V

−

n

X

i,j=1

Z

Ω

@uj

@xj

(wi, vi)dx = − n

X

i=1

Z

Ω

n

X

j=1

@uj

@xj

(wi, vi)dx

= ₋

n

X

i=1

Z

Ω

(wi, vi)div udx= 0.

Ent˜ao

b(u, v, w) +b(u, w, v) = 0,

como quer´ıamos. _⌅

Notemos que, sendo b(u, v, w) +b(u, w, v) = 0, segue b(u, v, w) = 0 sempre que

v =w.

Problema 2.6. Dados f ₂ L2(0, T; (H−1(Ω)2₎_{, u}

0 2 H, determine u e p, sendo p 2

D0₍_Q_{) tais que:}

u₂L2(0, T;V)_\L1(0, T;H); (2.31)

u0₋⌫∆u+

n

X

j=1

uj

@u @xj

=f _{− r}p em _D0(Q); (2.32)

u(0) =u0. (2.33)

A solu¸c˜ao do Problema 2.6 satisfaz as condi¸c˜oes do sistema (2.27).

Problema 2.7. Dados f ₂ L2(0, T; (H−1(Ω))2₎_{, u}

0 2 H. Determine u e p, sendo

p_{2 D}0(Q) tais que:

u₂L2(0, T;V)_\L1(0, T;H); (2.34) (u0(t), v) +⌫a(u(t), v) +b(u(t), u(t), v) = (f(t), v) em _D0(0, T), (2.35) para todov ₂V e

u(0) =u0. (2.36)

Mostremos que os Problemas 2.6 e 2.7 são equivalentes. De fato, seja u solu¸cão do Problema 2.6 e ' _{2 V}, multiplicando ambos os membros da equa¸cão (2.32) por ' e integrando em Ω obtemos a seguinte igualdade

Z

Ω

u0(t)'dx₋⌫

Z

Ω

∆u(t)'dx+

2

X

j=1

Z

Ω

uj(t)

@u(t)

@xj

'idx−

Z

Ωr

(41)

ou ainda, podemos reescrever a igualdade acima da seguinte forma:

(u0(t), ') +⌫

2 X i=1 Z Ω 2 X j=1

@2_u

i(t)

@x2

j

'idx+b(u(t), u(t), ') = (f(t), ')−(rp, '),

ou seja,

(u0(t), ') +⌫a(u(t), ') +b(u(t), u(t), ') = (f(t), ')₋(_rp, '). Como

(_rp, ') =

Z Ωr p'dx= 2 X i=1 Z Ω @p @xi

'idx=−

Z Ω p 2 X i=1 @'i @xi

dx=₋

Z

Ω

pdiv 'dx= 0,

conclu´ımos que, para todo' _{2 V}, ´e satisfeita a igualdade

(u0(t), ') +⌫a(u(t), ') +b(u(t), u(t), ') = (f(t), ') em _D0(0, T).

Visto que, _V é denso em V =_{v ₂(H₀1(Ω))2_; _{div v} _{= 0}_}_{, u}_{é solu¸cão do Problema}

2.7. Provando assim que, se u for solu¸cão do problema 2.6 então também será do Problema 2.7. Mostremos agora que vale a rec´ıproca, para isto consideremos na equa¸cão (2.35) v =' _{2 V}, para n= 2 e assim sendo

(u0(t), ') +⌫a(u(t), ') +b(u(t), u(t), ') = (f(t), ').

ComoR

Ω pdiv 'dx= 0, podemos reescrever a igualdade acima da seguinte forma:

(u0(t), ') +⌫a(u(t), ') +b(u(t), u(t), ') = (f(t), ') +

Z

Ω

pdiv 'dx,

ou ainda, 2 X i=1 Z Ω

u0_i(t)'idx+⌫

2 X i=1 2 X j=1 Z Ω

@ui(t)

@xj @'i @xj dx+ 2 X i=1 2 X j=1 Z Ω uj @ui @xj

'idx=

2

X

i=1

Z

Ω

fi(t)'idx+

Z Ω p 2 X i=1 @'i @xi dx.

Usando o teorema de Green em alguns termos da equa¸c˜ao acima obtemos

2

X

i=1

Z

Ω

u0_i(t)'idx−⌫

2 X i=1 2 X j=1 Z Ω

@2_u

i(t)

@x2_j 'idx+

2 X i=1 2 X j=1 Z Ω uj

@ui

@xj

(42)

2

X

i=1

Z

Ω

fi(t)'idx−

Z Ω 2 X i=1 @p @xi

'idx,

implicando 2 X i=1 Z Ω

u0_i(t)'idx−⌫

2

X

i=1

Z

Ω

∆ui(t)'idx+

2 X i=1 2 X j=1 Z Ω uj @ui @xj

'idx=

2

X

i=1

Z

Ω

fi(t)'idx−

2 X i=1 Z Ω @p @xi

'idx,

resultando assim

*

u0₋⌫∆ui +

2

X

j=1

uj

@ui

@xj −

fi+

@p @xi

, 'i

+

D0₍_Q₎_,D₍_Q₎

= 0, para todo 'i com, i= 1,2.

Portanto

u0₋⌫∆u+

n

X

j=1

uj

@u

@xj

=f _{− r}p em _D0(Q).

Teorema 2.8. Dados f ₂ L2(0, T;V0) e u0 2 H. Então existe uma única solu¸cão u

satisfazendo as condi¸c˜oes:

u₂L2(0, T;V)_\L1(0, T;H); (2.37)

u0 ₂L2(0, T;V0); (2.38) (u0(t), v) +⌫a(u(t), v) +b(u(t), u(t), v) = (f(t), v) em _D0(0, T), (2.39)

para todov ₂V;

u(0) =u0. (2.40)

Na demonstra¸cão do Teorema 2.8 usaremos o método de Faedo-Galerkin que con-siste em obter a solu¸cão do problema por meio de solu¸cões aproximadas de proble-mas análogos em dimensão finita. É fundamental a obten¸cão de estimativas sobre as solu¸cões aproximadas permitindo a obten¸cão de sequências convergentes. Porém, antes mostraremos alguns lemas técnicos que ajudarão na demonstra¸cão do Teorema 2.8.

Lema 2.9. Seja Ω_✓R2 _{aberto, limitado e regular, ent˜ao para todo} _u₂_H1

0(Ω) temos

||u_||2_L4_(Ω) 

p

2_||u_||_H1 0(Ω)|u|L

2_(Ω).

Prova: Sejau_{2 D}(Ω), consideremos ˜u=u em Ω e nula em R2_\_{Ω ent˜ao}

˜

u2(x1, x2) =

Z x1

−1

@u˜2(s, x2)

@s ds=

Z x1

−1

2˜u(s, x2)

@u˜(s, x2)

(43)

e assim sendo temos a desigualdade abaixo

|u˜2(x1, x2)| 2

Z x1

−1|

˜

u(s, x2)|

= = = = =

@u˜(s, x2)

@s = = = = =

ds_2

Z +1

−1 |

˜

u(s, x2)|

= = = = =

@u˜(s, x2)

@s = = = = =

ds=v(x2).

Procedendo analogamente ao que foi feito anteriormente obtemos

|u˜2(x1, x2)| 2

Z +1

x2

|u˜(x1, s)|

= = = = =

@u˜(x1, s)

@s = = = = =

ds_2

Z +1

−1 |

˜

u(x1, s)|

= = = = =

@u˜(x1, s)

@s = = = = =

ds=v(x1).

Multiplicando membro a membro as duas desigualdades acima chegamos a desigualdade

|u˜4(x1, x2)| v(x1)v(x2), para todo (x1, x2)2R2.

Observando que v1, v2 2 L1(Ω) ent˜ao pelo teorema de Tonelli temos (v1, v2) 2

L1₍_R2_{) e}

Z

R2|

˜

u(x1, x2)|4dx

Z

R2

v(x1)v(x2)dx <+1, x= (x1, x2).

Usando a desigualdade acima e o teorema de Fubini obtemos

Z

R2|

˜

u(x1, x2)|4dx

Z

R

v(x1)dx1

Z

R

v(x2)dx2. (2.41)

No entanto, da defini¸c˜ao de v(x2) e da desigualdade de H¨older conclu´ımos

Z

R

v(x2)dx2 = 2

Z

R

Z

R| ˜

u(x1, x2)|

= = = = =

@u˜(x1, x2)

@x1 = = = = =

dx1dx2

 2

Z

R2|

˜

u(x1, x2)|2dx1dx2

!1/2 Z R2 = = = = =

@u˜(x1, x2)

@x1 = = = = = 2

dx1dx2

!1/2

= 2_|u˜_|L2₍_R2₎

= = = = =

@u˜

@x1 = = = = =

L2₍_R2₎

. (2.42)

Analogamente temos

Z

R

v(x1)dx1 2|u˜|L2₍_R2₎

= = = = =

@u˜

@x2

= = = = =

L2₍_R2₎

. (2.43)

Usando as desigualdades (2.41), (2.42) e (2.43) conclu´ımos

Z

R2|

˜

u(x1, x2)|4dx4|u˜|2L2₍_R2₎

= = = = =

@u˜

@x1 = = = = =

L2₍_R2₎

= = = = =

@u˜

@x2 = = = = =

L2₍_R2₎

(44)

O que implica, aplicando na desigualdade acima a desigualdade 2ab_a2₊_b2_, _que

Z

R2|

u(x1, x2)|4dx2|u˜|2L2₍_R2₎

"= = = = =

@u˜

@x1

= = = = =

2

L2₍_R2₎

+

= = = = =

@u˜

@x2

= = = = =

2

L2₍_R2₎

#

,

ou seja,

||u˜_||4_L4₍_R2₎ 2|u˜|2_L2₍_R2₎||u˜||2_H1 0(R2).

Considerando ˜u₂Ω temos

||u_||4_L4_(Ω) 2|u|2_L2_(Ω)||u||2

H1 0(Ω).

Implicando em

||u_||2_L4_(Ω) 

p

2_|u_|L2_(Ω)||u||_H1 0(Ω).

Como_D(R2_{) ´e denso em} _H1₍_R2₎_,_{segue o que desej´avamos.} _⌅

Lema 2.10. Se u, v ₂L2₍₀_{, T}_;_V₎_\_L1₍₀_{, T}_;_H₎_,_ent˜ao _B₍_{u, v}₎₂_L2₍₀_{, T}_;_V0₎_.

Prova: Para toda w ₂ V, pelo Lema 2.5 e pela desigualdade de Hölder, procedendo de forma análoga ao que foi feito na demonstra¸cão do Lema 2.4,obtemos

|hB(u(t), v(t)), w_i| = _|b(u(t), v(t), w)_|=_|b(u(t), w, v(t))_|  C1||u(t)||(L4_(Ω))2||w||_V||v(t)||₍_L4_(Ω))2,

onde

B(u(t), v(t))₂V0

e

||B(u(t), v(t))_||V0 C

2||u(t)||(L4_(Ω))2||v(t)||₍_L4_(Ω))2.

Por outro lado, em virtude da desigualdade de H¨older chegamos a

||u(t)_||(L4_(Ω))2 =

2

X

i=1

||ui(t)||L4_(Ω) 

p 2

2

X

i=1

||ui(t)||2L4_(Ω)

!1/2

.