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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Sonia Maria da Silva Junqueira
EXPERIÊNCIAS DE ESTUDANTES NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO DE DERIVADA EM AULAS DE CÁLCULO 1
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Sonia Maria da Silva Junqueira
EXPERIÊNCIAS DE ESTUDANTES NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO DE DERIVADA EM AULAS DE CÁLCULO 1
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATÉMÁTICA
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Ana Lúcia Manrique.
Ivani Catarina Arantes Fazenda.
3 Banca Examinadora:
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Ao distanciar-se do mundo, constituindo-se na objetividade, surpreende-se, ela, em sua subjetividade. Nessa linha de entendimento, reflexão e mundo, subjetividade e objetividade não se separam: opõem-se, implicando-se dialeticamente.
5 Dedicatória
Aos meus pais, Antonio e Margarida, pelo afeto, dedicação e generosidade, exemplos para minha vida;
A minha filha Mariana, pelas críticas despretensiosas e paciência com as leituras;
A meu filho Gabryel, pela compreensão, carinho e disponibilidade de sempre;
6 Agradecimentos
À Deus, pelo sentido da vida, por esse momento e pela experiência.
À professora Ana Lúcia Manrique, pela amizade, orientação, dedicação, e por acreditar nas possibilidades.
Aos professores Benedito Antonio da Silva, Maria Cristina Bononi Baruffi, Alessandro Jacques Ribeiro e Sandra Lúcia Ferreira Acosta Soares, pelos direcionamentos no exame de qualificação.
Aos professores Arlindo José de Souza Junior, Armando Traldi Junior, Benedito Antonio da Silva e Sandra Lúcia Ferreira Acosta Soares, por aceitarem o convite para banca examinadora e pelas preciosas sugestões.
Aos estudantes investigados, os sujeitos da experiência, pela confiança e fundamental colaboração.
À Universidade Federal do Pampa – Unipampa, pelo tempo concedido em afastamento das atividades profissionais para conclusão desse estudo.
Aos colegas da Unipampa, em especial para Dionara, Cristiano e Guilherme, pela disponibilidade assumindo as minhas funções, tornando possível o afastamento.
Aos coordenadores, professores e colegas do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, pela especial convivência e contribuições.
À Suzanne, Secretária do Programa, pela competência e cordialidade de sempre.
Aos caros, Amarildo, Thais e Yara, pelas colaborações com a revisão do texto e tradução. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa concedida.
Aos amigos, em especial à Rosana, por acreditar sempre e pelas palavras de incentivo em diferentes momentos.
À minha família, pelo amor, apoio e compreensão nas frequentes ausências.
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SONIA MARIA DA SILVA JUNQUEIRA
A PRÁTICA INTERDISCIPLINAR NO MESTRADO ACADÊMICO: IMPLICAÇÕES NO DESENVOLVIMENTO PESSOAL E PROFISSIONAL DOS ESTUDANTES
RESUMO
Com o objetivo de apontar possibilidades de experiências de estudantes em aulas de Cálculo 1, especificamente, em relação ao conteúdo Derivada, as escolhas teóricas foram conduzidas em torno da relação dialógica de Buber, a relação inter-humana, também das escolhas que conduzem a vida humana Bauman e May e da dimensão da experiência de Larrosa, o campo de subjetividades no qual se assenta a problemática do Cálculo 1. Delineou-se uma pesquisa qualitativa com dados quantitativos, com aspectos interpretativos e descritivos, por meio dos quais se planejou uma análise de conteúdo constituída junto a 186 estudantes de cursos de Engenharias e Licenciaturas, matriculados em uma Universidade Pública Federal. A coleta de dados ocorreu em três abordagens, sendo a primeira e segunda reveladoras de hipóteses subjetivas identificáveis a partir dos relatos dos sujeitos investigados, e a terceira, conduzida por representações exteriorizadas em Mapas Conceituais Iniciais. Concluiu-se que a experiência em aulas de Cálculo 1 tem sentidos de reciprocidade, na ação de mão dupla que engloba conteúdos e sujeitos da experiência; de unicidade, pela subjetividade e identidade de cada sujeito; de imprevisibilidade, pelas incertezas, perigos e possibilidades da experiência; de temporalidade, pois prescinde o reconhecimento de tempos e espaços distintos aos sujeitos da experiência. Os sujeitos investigados deixaram transparecer aspectos aparentemente contraditórios, que, todavia, denotaram complementaridades. Apontaram que estudantes com uma base “mais fraca” em Matemática alcançaram
tanto resultados positivos quanto negativos, e que buscas pessoais contribuíram em favor da adaptação e desenvolvimento na disciplina, demonstrando aspectos de corresponsabilidades, embora não unânimes entre os sujeitos, revelando também marcas de um processo particular de escolhas. Ainda, evidenciou-se que o fortalecimento de mecanismos de transparência e de comunicação institucionais pode contribuir para o processo de formação desses sujeitos. Diante do Cálculo 1, os estudantes revelaram emoções, sentimentos. Diante da Derivada se mostraram incipientes, entretanto, revelaram marcas de experiências que se consolidam na construção desse conhecimento.
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SONIA MARIA DA SILVA JUNQUEIRA
THE INTERDISCIPLINARY PRACTICE IN ACADEMIC MASTERS: IMPLICATIONS IN PERSONAL AND PROFESSIONAL DEVELOPMENT OF STUDENTS
ABSTRACT
Aiming to point the possibilities of students’ experiences in Calculus 1 classes,
specifically regarding the derivative content, the theoretical choices were conducted around the dialogic relationship of Buber, the inter-human relationship, and also from the choices that lead the human life according Bauman e May and the dimension of the experience of Larrosa, the field of subjectivity in which the problematic Calculus 1 lies. A qualitative with quantitative data survey was delineated having interpretative and descriptive aspects through which a content analysis was planned Bardin and carried out with 186 students majoring engineering, mathematics, physics and chemistry enrolled in a Public Federal University. The data collection was done through three different approaches, the first and the second revealed subjective
hypothesis identified from the investigated subjects’ talk, and the third, conducted by
representations shown in Initial Concept Maps. It was concluded that the experience in Calculus 1 classes has been of reciprocity, in a two-way action that includes contents and subjects of the experience; of singleness, by the subjectivity and identity of each subject; of unpredictability, by the uncertainties, dangers and possibilities of the experience; of temporality, because it dispenses the recognition of distinct time and space to the subjects of the experience. The investigated subjects showed aspects apparently contradictory that however, denoted complementarities.
They showed that students who had a “weaker base” in mathematics reached as many positive results as the negative ones, and that personal goals contributed to the adaptation and development in the school subject, showing aspects of co-responsibilities although they were not the same among the subjects, revealing marks of a process particular in choices as well. Yet, it was highlighted that the strengthening of the transparency mechanism and institutional communication could contribute to the process of development of those subjects. Facing Calculus 1, the students showed emotions, feelings. Facing the derivative they were incipient. However, they revealed marks of experiences that consolidate themselves in the construction of knowledge.
9 SUMÁRIO
1 A PROBLEMÁTICA DO CÁLCULO 1 ... 13
1.1 Por que Cálculo 1? Por que Derivada? ... 13
1.2 A questão e o objetivo da pesquisa ... 21
1.3 Revisão de Literatura ... 23
1.3.1 A pesquisa de Rezende ... 25
1.3.2 A pesquisa de Traldi ... 28
1.3.3 A pesquisa de Dall’Anese ... 31
1.3.4 A pesquisa de Vieira ... 33
1.4 O Dimensionamento da pesquisa ... 37
2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS ... 40
2.1 A Relação dialógica ... 40
2.1.1 A relação dialógica de Buber ... 41
2.1.2 Liberdade, escolhas e a relação “alguém com os outros” ... 46
2.1.3 As presenças “Eu-Tu”, “Eu-Isso” e “Alguém-Outros” ... 51
2.2 O sujeito e a experiência de si – o Eu ... 57
2.2.1. Ver a si próprio... 60
2.2.2 Procedimentos discursivos ... 61
2.2.3 Ver além das evidências ... 63
2.3 “A experiência é isso que me passa” ... 65
2.3.1 A experiência e as aulas de Cálculo 1 ... 69
3 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS ... 73
3.1 A Análise de Conteúdo e as fases da análise ... 74
3.1.1 Aproximação do objeto de pesquisa ... 76
3.1.2 Os sujeitos e a Instituição em pesquisa ... 78
3.1.3 O instrumento de coleta de dados ... 82
3.2 Mapas Conceituais e Mapas Conceituais Iniciais ... 84
4 PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ... 91
4.1 Aspectos teóricos na condução das unidades de análise ... 91
4.2 Unidades de análise textuais ... 94
4.2.1 Unidade 1: O estudante e a sua formação básica ... 95
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4.2.2 Unidade 2: O estudante e o professor de Cálculo 1 ... 107
4.2.2.1 Considerações sobre a unidade 2 ... 108
4.2.3 Unidade 3: O estudante e a Instituição ... 116
4.2.3.1 Considerações sobre a unidade 3 ... 117
4.2.4 Unidade 4: O estudante e o Cálculo 1 ... 126
4.2.4.1 Considerações sobre a unidade 4 ... 127
5 MAPAS CONCEITUAIS E OS SUJEITOS DA EXPERIÊNCIA ... 136
5.1 Sobre Mapas Conceituais e Mapas Conceituais Iniciais ... 137
5.2 MCIs e o enfoque Regras de Derivação ... 143
5.2.1 A análise para Regras de Derivação ... 146
5.3 MCIs e o enfoque Conceito da Derivada ... 160
5.3.1 A análise para Conceito de Derivada... 165
5.4 MCIs e o enfoque Aplicação da Derivada ... 174
5.4.1 A análise para Aplicação de Derivada ... 178
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 189
REFERÊNCIAS ... 202
APÊNDICE 1 – Instrumento de Coleta de Dados ... 206
ANEXO I – Parecer Comitê de Ética ... 210
ANEXO II - Termo de Consentimento Livre Esclarecido ... 212
11 LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Relação Dialógica ... 52
Figura 2 – Relação Dialógica em Aulas de Cálculo 1 ... 54
Figura 3 – Interação em Processo de Ensino e Aprendizagem de Cálculo 1 ... 56
Figura 4 – O lugar da experiência em aulas de Cálculo 1 ... 71
Figura 5 – Proposições com diferentes níveis de clareza semântica ... 86
Figura 6 – Três estruturas típicas de MCs: (a) radial, (b) linear e (c) rede ... 88
Figura 7 – Exemplos de proposições com diferentes níveis de clareza semântica quanto ao termo de ligação no contexto da Derivada. ... 139
Figura 8 – Exemplo de OM... 140
Figura 9 – Exemplo de NM ... 140
Figura 10 – (EP005/MCI)... 148
Figura 11 – (EC013/MCI) ... 149
Figura 12 – (LM013/MCI) ... 152
Figura 13 – (EP030/MCI)... 155
Figura 14 – (LM002/MCI) ... 159
Figura 15 – Taxa de variação instantânea ... 163
Figura 16 – (EA001/MCI)... 167
Figura 17 – (EA009/MCI)... 169
Figura 18 – (LM012/MCI) ... 171
Figura 19 – (LM034/MCI) ... 172
Figura 20 – (LF005/MCI) ... 179
Figura 21 – (EQ045/MCI) ... 181
Figura 22 – (EP004/MCI)... 183
Figura 23 – (ER007/MCI) ... 184
12 LISTA DE QUADROS
13 1 A PROBLEMÁTICA DO CÁLCULO 1
A problemática do Cálculo 1 intitula o primeiro Capítulo deste trabalho e abre o caminho para uma apresentação não convencional para a Educação Matemática, por meio da qual se pretende conduzir o leitor a uma experiência única, submergida por escolhas, ressignificações, descobertas e possibilidades em um constante movimento dialógico. Para tanto, sabe-se, inconcluso ao longo de toda essa construção.
1.1 Por que Cálculo 1? Por que Derivada?
O Cálculo 1,que representa um curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral, foi escolhido como pano de fundo para esta investigação1; tal escolha se deve em parte, pela constatação de que, em um grande número de cursos em que essa disciplina é ministrada ocorre certa recorrência estrutural, seja na forma como é ministrada, na abrangência dos objetivos geral e específicos e do ponto de vista da linearidade dos conteúdos. Aspectos confirmados em levantamento inicial2 realizado a partir da análise de Planos de Ensino de Cálculo 1 de diferentes Universidades públicas e privadas brasileiras.
Ao longo dessa etapa inicial de investigação, que se pode nomear de pré-análise, elegeram-se oito Planos de Ensino elaborados para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1, objetos esses, acessados por meio da rede mundial de computadores e que foram disponibilizados por diferentes instituições públicas e particulares brasileiras, ou por professores da disciplina Cálculo Diferencial e Integral
1 Projeto de pesquisa aprovado no Comitê de Ética em Pesquisa PUC/SP, Parecer nº 265654 em data: 10/12/2012 (Anexo I)
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1. A referência a essa pré-análise corrobora a justificativa na escolha pelo tema de investigação. Optou-se, então, por apresentar algumas considerações a respeito.
Nesse estudo preliminar foram encontrados aspectos que demonstraram que disciplinas de Cálculo 1, em geral, são ministradas atendendo a um número variado de cursos, tais como, as Licenciaturas em Matemática, Física e Química e as Engenharias da Computação, Produção, Elétrica, entre outros cursos correlatos. Uma especial atenção foi dada ao fato de um dos Planos de Ensino destinar-se a 25 cursos diferentes, entre eles, Ciências da Computação, Ciências Autuárias, as Engenharias Ambiental, Civil, Cartográfica, de Controle e Automação, de Produção, aos Bacharelados em Química, Física, Estatística, Matemática e as Licenciaturas em Química, Física, Matemática, destacando que, em algumas modalidades, as turmas se apresentavam em diurnas ou noturnas. Essa pré-análise revelou também uma aproximação na comparação realizada sobre os conteúdos programáticos, as formas de abordagem e os métodos de avaliação, atribuindo certa uniformidade à disciplina de Cálculo 1.
Encontrou-se na estrutura desses planos a recorrência de uma etapa inicial de estudo e aprofundamento sobre os vários tipos de Funções Reais, anteriormente estudadas com maior ênfase no Ensino Médio, para em seguida, uma abordagem dos estudos introdutórios de Limites, seguido de Derivada e, em alguns casos, chegando a uma introdução às Integrais.
Desse modo, ao fazer-se a escolha pela disciplina de Cálculo 1, como pano de fundo da investigação, considerou-se uma estrutura que apresenta certa uniformidade pedagógica e curricular; e portanto, algum aspecto encontrado na investigação que se pretende realizar poderia contribuir para a pesquisa na área da Educação Matemática, no âmbito da investigação dos processos de ensino de Cálculo Diferencial e Integral 1 e da formação de professores que ministram aulas dessa disciplina, embora se reconheça que a presente investigação ocorra em um campo pontual3 de pesquisa.
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Outro importante aspecto que favoreceu a opção pelo Cálculo 1 foi motivado pela pesquisa de mestrado realizada por Junqueira (2010). Na ocasião, entendeu-se que a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, em sua constituição histórica, mantinha uma estrutura “solidificada” com uma abordagem bastante favorecida por elementos da racionalidade técnica, sob a qual se verificou uma espessa massa de alunos reprovados. Procurou-se, nessa perspectiva, mostrar que o trabalho com o Cálculo 1 tem seguido uma estrutura sólida no sentido dado por Bauman, que insiste em manter a forma original, mesmo diante dos desafios e dilemas a superar no decorrer dos cursos de Cálculo 1. Assim, a disciplina de Cálculo 1 pareceu inserida em um contexto pedagógico e institucional que pouco se modificou ao longo de décadas, mantendo sua forma inalterada (JUNQUEIRA, 2010) e que, embora revele explicitamente em seus próprios resultados, corroborados por pesquisas (BARUFI, 1999; REZENDE, 2003; DALL’ANESE, 2006; VIEIRA, 2013), a necessidade de alguma ação transformadora parece obstinada em permanecer com a mesma composição inicial.
Não se pretende, com o presente estudo, discutir se a mudança de “forma”
dos cursos de Cálculo Diferencial e Integral é necessária ou não, assim como, se trará benefícios, ou não, aos processos de ensino e/ou aprendizagem de Cálculo 1. No entanto, a solidificação no sentido de (BAUMAN, 2001) entendida como uma abordagem bastante favorecida por elementos da racionalidade técnica4, destaca-se como cenário provável do ensino e aprendizagem do Cálculo 1 que, abordagem essa nem sempre assumida por professores e estudantes dessa disciplina; além de constituir-se, ao longo de décadas, como objeto de interesse e investigação para pesquisadores da área da Educação Matemática.
Embora se perceba grande desenvolvimento de pesquisas nesse campo de investigação, intenções parecem convergir pouco para uma efetiva inovação na forma como são conduzidas as aulas de Cálculo 1. Em geral, destacam-se os estudos que sugerem como inovação a implantação ou aplicação de alguma Tecnologia de Informação e Comunicação, como softwares matemáticos, ambientes
4 A racionalidade técnica, conforme Ramalho, Nuñes e Gauthier (2004) está vinculada as relações de poder, interesses e hábitos específicos, e atinge, em diferentes proporções, tanto os professores formadores/formados quanto o próprio processo formativo. Baseia-se no “treinamento das
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virtuais de aprendizagens, entre outros, com algum fim didático e/ou epistemológico. Pesquisas na área contribuem para a transformação da estrutura pedagógica e/ou curricular da disciplina de Cálculo 1, ou seja, sinalizam para possibilidades de avanço, testam resultados e sugerem formas de trabalho com vistas à inovação. Há indícios de que se está avançando, porém, lentamente.
Nesse contexto, buscou-se com o intuito de definir o problema de pesquisa por estudos exploratórios sobre os processos que envolvem a disciplina de Cálculo 1, especialmente, pelos dos altos índices de reprovação, de evasão e de queixas dos estudantes em relação às dificuldades encontradas ao cursarem essa disciplina.
Reconhece-se que o caráter multifacetado da disciplina de Cálculo 1 deva afetar não apenas a vida acadêmica dos estudantes, mas também as expectativas destes e de seus professores, de forma nem sempre positiva. Acredita-se que em algum momento, os sujeitos, que passaram por essa disciplina, possam dar pistas de como aconteceu essa passagem e das implicações nos processos de sua formação. Contudo, na presente pesquisa, opta-se por focar os sujeitos em formação, assim, não se pretende analisar os sujeitos formadores. E para dar uma maior sustentação a essa escolha, recorreu-se a um estudo exploratório inicial.
O estudo exploratório apontou Silva (2011) que destaca a Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI) que em 1997 decidiu organizar um estudo sobre o ensino e aprendizagem da Matemática no nível universitário. Esse autor aponta que em 2001, Derek Holton publicou o trabalho “The Teaching and Learning of mathematics at University Level”, em que apresenta reflexões pessoais a
partir de tal estudo. Um dos pontos ressaltados por Holton (2001 apud SILVA, 2011), refere-se aos esforços para se ensinar Matemática e manifesta a intenção de
enfatizar a importância tanto da palavra ‘ensinar’ quanto da palavra ‘Matemática’.
Nessa perspectiva, ensinar significa uma troca que se baseia na tomada de consciência dos conhecimentos e necessidades dos estudantes, o que possibilita o estabelecimento de algum diálogo5. Em relação ao processo de ensino, o professor identifica este processo e tenta aplicar teorias de aprendizagens atualizadas. Quanto à Matemática, julga que devem ser feitas tentativas a fim de encorajar os alunos
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para que descubram resultados por eles próprios, permitindo que percebam que essa ciência é mais do que um conjunto de habilidades/algoritmos cuja reprodução é tradicionalmente solicitada nas avaliações.
Para Silva (2011), a comunidade científica está atenta às questões que envolvem o processo de ensino e aprendizagem da Matemática e, em particular, do Cálculo no nível universitário e ressalta que este processo se compõe de diversas dimensões como: as dificuldades inerentes aos próprios conceitos da Matemática, as expectativas dos atores envolvidos no processo (aluno ingressante na universidade, professor do ensino superior, professor da educação básica), dentre outras.
Em continuidade, na dimensão da afetividade6, em tese realizada com ingressantes no ensino superior e estudantes na disciplina de Cálculo 1, Garzella (2013) fala acerca dos impactos negativos ocasionados pelas práticas pedagógicas adotadas por docentes da disciplina de Cálculo 1 e da notória taxa de reprovação no processo de ensino e/ou aprendizagem e na vida acadêmica e pessoal dos estudantes, sujeitos de investigação em seu estudo. Segundo essa pesquisadora, tais impactos negativos ocorrem de maneira indiscriminada nas instituições e responde pela oferta de um número crescente de turmas por semestre, na tentativa de atender aos reprovados, por atrasos na conclusão dos cursos e ainda por elevado número de evasões da disciplina e, consequentemente, da universidade. Embora reconheça também o perfil multifacetado do problema, os resultados dessa pesquisa apontam para as formas de organização da disciplina e a qualidade da mediação desenvolvida pelo professor em sala de aula como fortes determinantes do aproveitamento insatisfatório de parcela significativa de alunos, além dos impactos afetivos dessa experiência, marcadamente negativos em suas vidas acadêmicas.
Sob outra perspectiva, mas de igual importância, Reis (2001) em sua tese doutoral, analisa entrevistas semiestruturadas realizadas junto a autores de livros de Cálculo e de Análise. Por meio de seu trabalho revela a tensão que se estrutura entre o que se poderia chamar de extremos do ensino dessas disciplinas – o rigor e
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a intuição. O autor levanta aspectos que revelam como o ensino de Cálculo está organizado, e destaca duas vertentes de caracterização do pensamento diferencial que dialogam com os seus objetivos: o pensamento intuitivo, presente na busca pela produção de significados, e o pensamento rigoroso, presente na busca por justificações e afirmações. Considera, ainda, que encontrou maior interlocução na constatação de que a transição do pensamento matemático elementar para o avançado7 não deve vir necessariamente acompanhada de uma transição do pensamento intuitivo para o rigoroso. Afirma ainda, que pesquisadores 8defendem que atividades intuitivas devem preceder atividades que contenham definições e provas formais. Os impactos na formação e a estrutura rígida da disciplina de Cálculo 1 são notadas por Reis (2001), para o qual, os professores universitários reproduzem em suas aulas a sua formação técnico-formal, que também será reproduzida pelos alunos, futuros professores quando formados. Nesse caso, a relação dialógica pode ser identificada também na subjetividade construída pela
ação pedagógica: “façam como eu faço” ou “eu faço como meu professor”.
Acredita-se que as argumentações e inquietações de Reis (2001), Silva (2011) e Garzella (2013) abonem a decisão e escolha pela disciplina de Cálculo 1 como cenário da presente pesquisa, pois nelas se reconhece as próprias inquietações diante das problemáticas que se colocam.
Tais posicionamentos dão indícios de uma relação dialógica constituída por contra sensos em aulas de Cálculo 1. Assim, pode-se admitir que se há esse conflito, então, estão em jogo identidades que devam ser respeitadas. Alcançar o conhecimento de um objeto matemático requer o diálogo entre essas identidades, diálogo esse, que permite a experiência entre os vários sujeitos da experiência e os saberes em jogo.
7 Tall (1995) expressa que o pensamento matemático avançado, faz uso de estruturas cognitivas produzidas a partir de um grande número de atividades matemáticas, buscando um sistema sempre crescente de teoremas demonstrados. Como hipótese, se aceita que, no indivíduo, o crescimento cognitivo do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado ocorra a
partir da “percepção de” objetos do mundo exterior e da “ação sobre” esses mesmos objetos,
construindo estruturas de conhecimento segundo dois desenvolvimentos paralelos, do visual-espacial para o verbal-dedutivo; o outro é constituído por encapsulações sucessivas de processo-para-conceito, acompanhadas do uso de símbolos manipuláveis.
8 Pesquisadores dos grupos do aporte teórico do Modelo dos Campos Semânticos; os do Professor
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Diante desse processo de experiência, discutido em (LARROSA, 2002, 2011), busca-se a descrição do diálogo que permeia a construção do objeto matemático em aulas de Cálculo 1.
É dessa forma que se faz necessária a definição de ao menos um conteúdo a ser explorado nesse contexto, pois a abrangência do Cálculo 1 tornaria o trabalho exaustivo. Optou-se, então, pela Derivada. No entanto, por que Derivada?
Optar por Derivada se deve também ao fato de tal conteúdo constar em cursos iniciais de Cálculo Diferencial e Integral. O estudante de Cálculo 1, em geral, tem contato com a Derivada depois de certo período de aulas da disciplina. Na maioria das vezes a Derivada é apresentada após a discussão de Limite. Assim, ao optar por Derivada, tem-se a possibilidade de contar na investigação com um sujeito capaz de trazer elementos de um período maior de contato com essa disciplina, pois interessa também, o percurso desse estudante em aulas de Cálculo 1.
Da mesma forma, a Derivada contribui pelo elemento sintetizador que esse conteúdo assume, verificado também nos Planos de Ensino da disciplina de Cálculo 1 da Instituição lócus desta investigação. Em geral, em um curso inicial de Cálculo 1, a partir do estudo da Derivada é que os alunos são levados às resoluções de problemas e às aplicações do conhecimento que deveria ser construído ao longo da disciplina, e talvez até à consciência do motivo de ter que estudar Cálculo 1.
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Segundo a pesquisa realizada por Ramos (2009) junto a estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática, os que passaram por um curso de Cálculo e que estudaram aplicações da Derivada, em sua maioria, sabem calcular Derivadas por meio de regras, mas não conseguem estabelecer as relações entre a função f e a função Derivada de f. Segundo esse autor, esses estudantes apresentam dificuldade tanto na manipulação dos resultados obtidos, como no âmbito conceitual sobre as relações existentes entre uma função e sua Derivada; assim como no entendimento do conceito de Derivada para efetuar o tratamento de questões propostas.
Nessa direção, de acordo com Costa e Alvarenga (2010), em relação ao conceito de Derivada, os estudantes apresentam dificuldades na definição e não fazem associações em relação às propriedades da Derivada. Os estudos desses autores foram aplicados a estudantes dos cursos de Ciências Exatas da Universidade Federal do Sergipe com o objetivo de identificar os erros cometidos e as dificuldades desses sujeitos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1, nos cursos em que essa disciplina é ministrada.
Nos apontamentos de Pereira Filho, Kaiber e Lélis (2012), realizados com estudantes de Cálculo Diferencial e Integral 1, do primeiro ano de um curso de Engenharia Civil no Tocantins, foram relatados que os estudantes pesquisados não dominam as habilidades esperadas para o trabalho com essa disciplina, principalmente no que diz respeito a desenvolver atividades algébricas baseadas em regras. Esses autores acreditam que seja possível engajar os estudantes nos procedimentos algébricos para que cresça a compreensão dos conceitos, e ressaltam que mais importante que detectar e apontar os estudos feitos sobre análise de erros em Matemática é, apossar-se das contribuições dos mesmos estudos, para indicativos de outros estudos que possam traduzir a realidade e caminhos que contribuam na construção do conhecimento.
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conceito de Derivada para efetuar o tratamento de uma questão e têm dificuldades na associação de algumas das propriedades da Derivada de uma função.
Segundo Rezende (2003), para muitos estudantes a definição formal de Derivada não terá sentido se não for consubstanciada com redes de significações deste conceito; não apenas, como por exemplo, na relação física (velocidade) e Derivada (taxa de variação), mas, a partir das ideias geradoras e construtoras do campo semântico da noção de Derivada. Nesse sentido, esse pesquisador argumenta que não é meramente assistindo a uma demonstração de um teorema/proposição que o estudante construirá sua rede de significações. Para muitos, o sentido pode estar até na simples interpretação do resultado da demonstração.
Se tais dificuldades são apontadas nos estudos apresentados há que se considerar que a experiência que fazem estudantes ao passar pela disciplina de Cálculo 1, e ao depararem-se com um conteúdo novo, no caso a Derivada, possa talvez levá-los a atingir outras significações nessa passagem, e que não unicamente a construção do conhecimento do novo. Nesse sentido, aponta-se que há frequentes conflitos.
1.2 A questão e o objetivo da pesquisa
De fato, é possível que estudantes, mesmo depois de concluída a disciplina de Cálculo 1, não consigam uma associação entre o conceito de Derivada e o tratamento de um problema, ou apresentem dificuldades em associar as propriedades da Derivada de uma função à função que foi diferenciada, entre tantas outras formas que possam apresentar-se como frequentes dificuldades na relação entre esses sujeitos e tal objeto.
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sujeito da experiência tem à disposição, os meios para atingir essa ressignificação; contudo, esses meios não são os mesmos e nem prescindíveis da mesma magnitude para que cada um deles atinja a compreensão esperada do conceito de Derivada. Assim, tem-se como objetivo de pesquisa, apontar possibilidades da experiência nos processos de construção do conhecimento em aulas de Cálculo 1, especificamente neste estudo, para o conteúdo Derivada.
Nessa acepção, inquieta-se em alguns questionamentos: Que experiência ocorre na passagem dos estudantes pela disciplina de Cálculo 1? Que transformações decorrem dessa experiência e o que essa produz na forma como encaram a Matemática a partir de então? O que se modifica no estudante de Cálculo 1 após a conclusão dessa disciplina? Algo acontece? Nada acontece?
Assim, ao tentar constituir a questão de pesquisa, percorre-se um longo caminho. Entende-se que o sujeito da experiência (LARROSA, 2011) se transforma
ao ser atravessado por um “algo novo”, que pode ser um conhecimento novo; e nesse processo de ressignificação o sujeito modifica sua forma anterior, é transformado, e leva em si uma marca dessa passagem. Não obstante, nem sempre a marca que acompanha esse sujeito da experiência é a marca que se espera que seja deixada, por exemplo, pelas aulas de Cálculo 1, e nesse aspecto, esse é um campo de incertezas e perigo.
Segundo Larrosa (1994), uma determinada experiência de si é o que visa todo processo de formação dos sujeitos, ou seja, de formação da identidade desse
sujeito; por esse lado, o que se espera de um “sujeito formado” é que tenha
determinados comportamentos a partir de uma determinada relação consigo mesmo.
Parte do comportamento esperado, no caso do Cálculo 1, pode incluir que o sujeito tenha domínio do conceito de Derivada, assim como, que ele seja capaz de fazer uso de regras de derivação, de relações entre a função e sua Derivada, de aplicações e de formas de tratar questionamentos relacionados à compreensão desse conceito.
23 “O que estudantes revelam sobre o estudo do conteúdo Derivada na
disciplina de Cálculo 1 e sobre suas experiências nesta disciplina?”
Os sujeitos deixam transparecer elementos ligados às regras, à definição ou às aplicações da Derivada, ou, nada deixam transparecer, nesse contexto. Contudo, também deixam transparecer elementos que apresentam indícios de uma complexa relação com a disciplina de Cálculo 1.
É desejável, por meio desta investigação, contribuir para a área de pesquisa que se insere a partir do campo da Educação Matemática, quer seja nos processos de formação de professores, bem como, na estrutura curricular, como forma de fortalecer mecanismos que tornem o ensino de Cálculo 1 um processo menos conturbado que o estado atual encontrado na problemática em que se coloca essa disciplina.
Desse modo, é relevante suspeitar que os sujeitos da experiência, em aulas Cálculo 1, possam ser transformados, seja na sua compreensão de um novo objeto de conhecimento, como exemplo, a Derivada, ou em relação a outros aspectos dialógicos e subjetivos que permeiam essa experiência específica. E nesse terreno conflitante, pode constituir-se a contribuição almejada.
1.3 Revisão de Literatura
Na presente etapa deste trabalho, apresenta-se a Revisão de literatura realizada, como meio de estruturar e de demonstrar uma intenção de contribuição acadêmica em torno do Cálculo 1, especificamente do estudo da Derivada, tendo em vista a experiência que os estudantes vivem na passagem por essa disciplina.
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Nessa intenção, recorreu-se a uma busca seletiva por trabalhos que indicassem familiaridade com o tema mencionado; ou seja, que tivessem relação com a investigação de compreensões sobre o Cálculo Diferencial e Integral e, de modo mais específico, à Derivada.
Foram encontradas e selecionadas algumas publicações na temática do ensino e/ou aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, que apresentam certa ênfase na importância da compreensão dos conceitos e na valorização de aplicações desses conceitos, assim como, a sugestão para buscar o enfraquecimento das abordagens que desenvolvam habilidades manipulativas e algorítmicas. Além de estudos relativos aos conceitos fundamentais e clássicos do Cálculo, em alguns trabalhos se verificam a predominância do uso de recursos tecnológicos, como uso de tecnologias informáticas. Embora não se tenha intenção nessa direção de pesquisa, os contextos em que tais trabalhos foram desenvolvidos em muito contribuem para a pesquisa que se pretende realizar.
Assim, para a presente revisão se elegeram quatro pesquisas nacionais devido à familiaridade de contextos e possibilidades de comparações dentre essas produções, as quais levam em conta o ensino de Cálculo Diferencial e Integral e esta investigação. Entende-se que, do ponto de vista do conteúdo programático, o curso inicial de Cálculo embora semelhante, dentro ou fora do Brasil, se depara com fatores que interferem na aprendizagem dos conteúdos abordados em aulas dessa disciplina, e que são estruturalmente distintos nos contextos nacional e internacional; tais como: a formação básica dos estudantes; a infraestrutura física e humana das universidades; os projetos pedagógicos dos cursos de graduação e a formação dos professores desses cursos.
Nesse sentido, pela aproximação e familiaridade com a temática do Cálculo Diferencial e Integral e objetivo da presente pesquisa, que considera o processo de experiência (LARROSA, 2002, 2011) dos estudantes em aulas de Cálculo 1 a partir da descrição do diálogo que permeia a construção do objeto matemático em aulas de Cálculo 1, especificamente, a Derivada; foram selecionados os estudos de Rezende (2003), Traldi (2006), Dall’Anese (2006) e Vieira (2013). Nesse processo
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investigação, ou pelas evidências decorrentes dos contextos em que se desenvolvem.
1.3.1 A pesquisa de Rezende
Segundo Rezende (2003) muitas pesquisas apontam que um dos grandes
desafios no ensino superior de Matemática ainda é o “fracasso” no ensino de
Cálculo; o que, segundo esse autor, é devido às dificuldades de natureza epistemológica desse ensino. Nesse sentido, esses aspectos não se restringem à ordem cultural, econômica ou social brasileira, pois são também vivenciados em países desenvolvidos.
A pesquisa de Rezende foi elaborada a partir do entrelaçamento dos fatos históricos e pedagógicos, por meio de um mapeamento das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo, tendo como pano de fundo as dualidades essenciais e os mapas históricos conceituais do Cálculo. Assim, apresentou cinco macro-espaços de dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica do ensino de Cálculo, identificados pelas cinco dualidades fundamentais do Cálculo e do seu ensino: discreto/contínuo; variabilidade/permanência; finito/infinito; local/global; sistematização/construção.
Em vista do interesse de pesquisa, apresenta-se uma síntese dos macro-espaços de dualidades apontados por esse autor; pois em cada uma dessas dimensões foram evidenciados elementos que possam estar relacionados com a perspectiva de análise pretendida nesse estudo, que também parece colocar-se em dualidades.
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apud REZENDE, 2003), não conhecem o conceito de continuidade de seu processo de construção.
No que tange à dualidade variabilidade/permanência, no âmbito do ensino superior de matemática, há predominância da abordagem estática sobre a abordagem dinâmica das ideias básicas do Cálculo. No conceito de Derivada, por exemplo, prevalecem os seus aspectos formal (como sua definição em termos de limite) e geométrico (como o coeficiente angular da reta tangente) sobre a sua interpretação em termos de taxa de variação instantânea. Nesse sentido, interpretar o conceito de Derivada unicamente como “coeficiente angular da reta tangente” significa ignorar o problema histórico essencial da “medida” instantânea da
variabilidade de uma grandeza, ocorrendo o mesmo com a noção de função. No
estudo das funções reais a variável “x” é assumida tacitamente como a “variável independente universal”. A ideia de função é estabelecida não no contexto da “variabilidade”; mas em termos de uma correspondência estática entre os valores
das variáveis “x” e “y”. O gráfico da função é, em geral, “plotado” através de uma tabela em que valores “notáveis” atribuíveis e a curvatura das curvas, que compõem
o gráfico da função, são geralmente induzidos pelo professor que tenta convencer o aluno, pelo acréscimo de mais pontos, ou mesmo através de um sofisticado programa computacional, que a única possibilidade é a dele - professor. Nessa direção, são estudadas as propriedades algébricas do conceito construído. Estudam, por exemplo, os zeros de uma função, mas não os seus pontos críticos. Dessa forma, assegura que a razão principal para as dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas de taxas relacionadas e de otimização é, efetivamente, o desvio epistemológico do conceito função dado na educação básica.
27 indeterminação presentes em cada um dos limites e procuram traduzir e “resolver”
as indeterminações através de uma espécie de álgebra do infinito, por meio da qual o infinito passa a se comportar como número. Não realizam suas interpretações e tipificações no contexto da dualidade discreto/contínuo; não reconhecem, enfim, as especificidades do infinito matemático contínuo. Ainda, a ideia de infinito não participa e nem contribui de forma significativa na construção das redes de significações estabelecidas num curso usual de Cálculo.
O macro-espaço local/global invadiu o campo matemático e estabeleceu com este uma relação de simbiose que possibilitou o desenvolvimento de novas interpretações e significações no campo da epistemologia. É um produto da percepção humana do espaço, mas que não se esgota nela. No desenvolvimento histórico da geometria, Petitot (1985, apud REZENDE, 2013) localizou a contribuição essencial do Cálculo para o surgimento das primeiras relações solidárias entre o local e o global. E, é a partir do conceito de função, introduzido no núcleo semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, que vai constituir, junto à noção de limite, a nova estrutura do Cálculo, que começa a preocupar-se com as questões essenciais dessa dualidade. De tais correlações inerentes à dualidade local/global se originam algumas das maiores dificuldades de aprendizagem dos alunos de Cálculo. No ensino de Matemática, em geral, a participação dessa dualidade é retardada ao máximo. No entanto, ao ingressar no curso superior e fazer um curso inicial de Cálculo, o estudante se depara com diversas situações do contexto dessa dualidade, uma imersão que suscita nos alunos dificuldades de interpretação dos
conceitos e resultados “normalmente” apresentados em um curso de Cálculo.
Os conceitos do Cálculo são definidos, na sua maioria, localmente –
continuidade num ponto, diferenciabilidade num ponto etc.– e estendidos, em geral,
de forma “natural” para o seu estado global – a função é diferenciável se ela o for em cada ponto do seu domínio; mas, por outro lado, muitos dos seus resultados são de natureza global - “se f’ > 0 em um intervalo I, então f é crescente em I”. As
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Quanto ao macro-espaço da dualidade sistematização/construção, esse par constitui, via de regra, a realização didática do ensino de Cálculo. Em livros textos, por exemplo, os conceitos são definidos formalmente e os resultados são demonstrados passo a passo segundo um modelo axiomático que parte da definição
formal de limite e de alguns “postulados fundamentais”, oriundos da Álgebra
Moderna e da Análise Matemática. Nesse sentido, exercícios de cálculos e de fixação são acrescentados ao final de cada tópico do conteúdo programático para
que o “treinamento” possa ser realizado. Nesta etapa, a influência das técnicas
algébricas é facilmente evidenciada: fatorar polinômios, por exemplo, torna-se imprescindível para que se efetuem os cálculos de limites. A definição formal de Derivada não terá sentido algum para o aluno, se não for consubstanciada com as redes de significações deste conceito com a geometria e com a física. Contudo, para uma inversão de tal polaridade é preciso trazer à tona a discussão fundamental
acerca da oposição entre o “conhecimento sistematizado” (o dos livros didáticos e notas de aulas do professor) e o “conhecimento real” (o que traz consigo a sua
história e o seu campo de significações) do Cálculo.
Segundo Rezende para resolver o problema do ensino de Cálculo é preciso fazer o conhecimento do Cálculo emergir de onde foi submetido pelos atuais ensinos de Matemática.
1.3.2 A pesquisa de Traldi
A pesquisa de Traldi (2006) destaca que diferentes estudos discutem o processo de ensino e aprendizagem de conceitos relacionados ao Cálculo Diferencial e Integral (CDI), como Função, Limite, Números Reais, Continuidade, Derivadas e Integrais, permitindo a possibilidade de diferentes propostas fundamentadas nos processos cognitivos abordados por essas investigações.
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pela explicitação também das suas dúvidas, prática letiva e entendimento de conceitos não discutidos ao longo de sua formação formal, processo que esse autor sugere levar a uma reelaboração de suas concepções acerca do processo ensino-aprendizagem.
Os resultados dessa pesquisa apontam para diferentes possibilidades de transição do trabalho coletivo para o colaborativo, e entre elas, Traldi destaca: os objetivos em comum, a troca de experiência necessária e de discussão de conhecimentos didáticos específicos do CDI, a busca de apoio para enfrentar mudanças curriculares, o clima de camaradagem e a busca de conhecimentos específicos.
Traldi considera que a didática deve ajudar o professor a tomar decisões que influenciarão a outros; decisões que devem, portanto, ser acertadas, sobretudo, na forma como influencia na formação do aluno, com uma totalidade pessoal e social.
As decisões não podem ser atos impositivos, mas partidos de reflexões sobre o processo ensino-aprendizagem, não presos de forma categórica a uma única alternativa (TRALDI, 2006, p. 48).
E sobre esses aspectos didáticos relativos ao CDI destaca contribuições acerca da revisão das questões relacionadas ao Pensamento Matemático Avançado, e também de diferentes teóricos, em relação ao que classifica como riqueza da área. Os elementos apontados por Traldi são pontos que evidenciam a complexidade e fragilidades das relações envolvendo a área do CDI.
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Em relação ao conceito de limite, concorda-se com Traldi, que Cornu (1991) e Sierpinska (1985) após estudos acerca das concepções dos alunos, afirmam que a grande dificuldade envolvendo o processo de ensino e aprendizagem desse conceito, se encontra no fato de tratar-se de um conceito extremamente amplo, que impossibilita a generalização de aspectos cognitivos a partir da sua definição Matemática. Ou seja, saber o que diz a definição do conceito de limite não garante que ocorra a construção da concepção fundamental desse conceito pelos alunos. A primeira ideia é intuitiva, os estudantes acreditam ter adquirido o conhecimento do conceito formal, sendo capazes de realizar atividades que exijam propriedades e a ideia intuitiva de limite. Nesse aspecto, o processo ensino-aprendizagem do conceito de limite produz professores conscientes de que a maior parte dos alunos seja incapaz de dominar o conceito; no entanto, a fim de evitar grande número de reprovações, propõem exercícios e ensinam os alunos a resolvê-los, buscando a garantia de alunos aprovados, mesmo que não tenham construído compreensão do conceito.
A posição desses autores, apresentada por Traldi demonstra que as escolhas dos professores frente à iminência da reprovação em massa, aparentemente, evidenciam como agentes externos ao processo ensino-aprendizagem do Cálculo podem limitar a liberdade de ação dos professores, e consequentemente, a qualidade do trabalho realizado.
E, sobre o processo de ensino e/ou aprendizagem da Derivada, aponta três diferentes níveis dos aspectos cognitivos dos alunos e sua evolução, segundo Azcárate e outros (1996, apud TRALDI, 2006); i) o nível “primitivo” correspondente a
alunos que apresentam uma incapacidade de interpretação do conceito de variação instantânea de uma função; ii) o nível “aproximação”, correspondente a alunos que
para o conceito de velocidade instantânea têm generalizado sua concepção da noção de velocidade média entre pontos, e que por coerência se utilizam dessa apropriação para resolução de situações pontuais por aproximação e; iii) o nível
“limite” relativo a alunos que já têm construídas as concepções de velocidade
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Corroborando o caráter da complexidade do processo de ensino-aprendizagem do CDI e dos apectos didáticos relacionados nesse processo, concorda-se com a posição de Traldi, fundamentada em Elbaz (1983, apud Traldi, 2006), de que todas as espécies de conhecimento do professor estão integradas e filtradas pelos valores e crenças pessoais, constituindo-se em um saber que orienta a prática profissional e que é de natureza essencialmente prática, mais implícito do que explícito. Dessa forma, concorda-se também que o conhecimento profissional dos professores, como dos futuros profissionais, seja tanto pessoal, quanto social.
1.3.3 A pesquisa de Dall’Anese
A pesquisa de Dall’Anese (2006) objetivou identificar e analisar argumentos e
metáforas utilizadas por um grupo de alunos de um curso de pós-graduação em Educação Matemática para taxa de variação, com a finalidade de entender como aprendem esse tópico. A análise realizada se baseou na Teoria da Cognição Corporificada e no Modelo da Estratégia Argumentativa.
Embora esse estudo não tenha sido conduzido em um curso inicial de Cálculo, esse pesquisador destaca que o tópico sobre taxa de variação é conteúdo programático do Calculo Diferencial e Integral I, curso oferecido, geralmente, no primeiro semestre de cursos de graduação da área de Ciências Exatas e, nesse sentido, se aproxima do foco de interesse desta investigação.
Dall’Anese expõe que indicadores estatísticos apontam para os problemas de
ensino e aprendizagem da disciplina de CDI, tanto no âmbito nacional, quanto no internacional. E, nesse aspecto, destaca intenções de melhoria9 nesse ensino no cenário nacional, como a proposta de reestruturação a partir da implantação de módulos de aprendizagem virtual e emprego de recursos computacionais. No âmbito
internacional, destaca o movimento que ficou conhecido como “Cálculus Reform
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Moviment”10, com propostas de mudanças para o ensino de Cálculo; com atividades propostas para o uso de computadores em exercícios, prática e ideias do Cálculo.
Por meio de seu estudo, propõe-se a olhar para a fala dos alunos de um curso de Pós-graduação em Educação Matemática, na medida em que informam sobre os objetos matemáticos que estão sendo constituídos em suas atividades em aula e em tarefas que envolvam a Derivada de uma função real. Em sua análise busca compreender o discurso do aluno, que é um recorte das falas e interações de um grupo de alunos sobre a taxa de variação, sejam essas falas, gestuais, escritas ou pictóricas. Nesse contexto, pretende-se, na presente investigação, encontrar aspectos sobre o que deixam revelar os depoimentos dos sujeitos investigados, estudantes de graduação, em relação ao estudo da Derivada em aulas de Cálculo 1.
Dall’Anese destaca a pesquisa de Nascimento (2001), acerca de professores
que constatam as dificuldades de alunos em curso inicial de CDI, devido ausência de conceitos naturais e intuitivos embutidos nas estruturas numéricas, geométricas e variacionais, decorrente da forma como professores da educação básica cumprem o conteúdo matemático.
Nessa direção, desenvolve uma importante síntese de resultados de pesquisas, que também são pertinentes a investigação que se pretende realizar; resultados esses, obtidos a partir de publicações em encontros internacionais como PME, ICME, ICTM11 e de artigos em periódicos; e dos quais se destacam: 1) Que a ênfase no aspecto processual pode levar os estudantes à associar a aplicação de regras e procedimentos ao conceito de Derivada, o que não impede o sucesso nas tarefas, mas contribui para as falhas em tarefas que envolvem aspectos conceituas (MANRIQUE; ALMOULOUD, 1998; TALL, 1991, 1997; EVEN; SCHHWARZ, 2003; AMIT; WINNER, 1990; ARTIGUE, 1991; ORTON, 1983; CASSOL, 1997); 2) A dificuldade dos alunos em relacionar a ideia de reta tangente à uma circunferência
10 Calculus Reform (Reforma do Cálculo) foi um movimento internacional iniciado na década de 1980, motivado por vários fatores, dentre os quais se destacam a compreensão conceitual dos temas inerentes à disciplina, as questões pragmáticas ligadas à sua aplicabilidade em outros campos profissionais e aos baixos índices de aproveitamento constatados em sua aprendizagem. Tinha como características para o aprendizado de conceitos, teoremas e resolução de problemas; o uso de tecnologias, softwares e calculadoras gráficas (TUCKER e LEITZEL, 1995).
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com reta tangente a outras curvas; para estes, a reta tangente à curva é aquela que tem em comum a esta curva apenas o ponto de tangência (SIERPINSKA, 1995;
VINNER, 1991; DALL’ANESE, 2000); 3) As dificuldades dos alunos em estabelecer
relações entre diferentes formas de representação da Derivada, como exemplo entre o coeficiente angular da reta tangente e a Derivada num ponto (MEYER, 2003).
O processo de compreensão da taxa média e taxa instantânea de variação,
segundo Dall’Anese não se restringe a passagem de uma fórmula analítica a outra
ou de um gráfico para uma fórmula. Nesse sentido, apontou que existe uma diferença entre os mecanismos cognitivos para compreensão do gráfico e da fórmula analítica que contribui para a dificuldade dos alunos com esse tópico e, dessa forma, a definição formal não é a única responsável por essa dificuldade.
A partir do auxílio da tecnologia informática sugeriu um ambiente onde o movimento fictivo12, intrínseco da linguagem, se transformou em um movimento factivo, quando retas secantes coincidiam com uma reta tangente por sucessivas aproximações e quando a reta tangente à curva num ponto podia se mover, ao mesmo tempo em que podiam ser vistos os valores do coeficienteangular dessas retas.
1.3.4 A pesquisa de Vieira
Destaca-se da pesquisa de Vieira (2013) o primeiro Capítulo de sua investigação, em que apresenta as dificuldades no Ensino de Cálculo Diferencial e Integral decorrentes de quatro naturezas distintas. A primeira relacionada com a Educação de uma forma geral; a segunda, oriunda das dificuldades no ensino da Matemática; a terceira associada aos livros didáticos e uma quarta, de natureza epistemológica. A sua direção de investigação contribui para esta pesquisa no sentido de que vai a paralelo às hipóteses que se têm sobre alguns mecanismos que diretamente influenciam o desenvolvimento dos estudantes em aulas de Cálculo 1.
12 Movimento fictivo é um mecanismo cognitivo nas quais cenas estáticas são descritas em termos dinâmicos, estudado pela primeira vez por LenTalmy (2000) e, especificamente na matemática, por
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Vieira argumenta que educar é um processo social cuja busca resulta na aproximação entre o conhecimento do professor e do aluno, e que existem diferentes formas de análise dessas relações sociais em um contexto escolar. Segundo esse autor, a sociedade atual parece não mais enxergar a Educação como uma promessa de melhoria das condições de vida, e não é raro encontrar professores desiludidos com o processo de degradação de sua imagem social.
A escola do século XXI, segundo esse pesquisador, embora constituída de pessoas, seres que interagem e que buscam incessantemente novos conhecimentos; mantém-se ainda muito ligada à base tradicional dos processos de ensino.
Destaca ainda, que os problemas gerados em sala de aula em sua maioria são considerados de responsabilidade do professor, ocasionando crise e conflitos escolares, de fundo social e de valores humanos. E menciona que um grande passo para a melhora do sistema educacional fundamental, médio ou superior no Brasil, pode ser dado com o uso das novas e atuais tecnologias de informação. Nesse sentido, ressalta que um novo desafio docente na educação no estudo do Cálculo Diferencial e Integral será a construção de uma melhor apropriação do objeto de estudo por meio do uso das novas tecnologias.
Das dificuldades no ensino da Matemática coloca, entre outros fatores, as metodológicas, as de elaboração e da linguagem dos livros didáticos e as de formação de professores. Nesse aspecto, destaca a Matemática ser considerada vilã (VITTI, 1999 apud VIEIRA, 2013) e o problema do contexto (BRASIL, 1998 apud VIEIRA, 2013). Acrescenta que o ensino da Matemática parece estar dividido entre conceituação, manipulação e aplicação; e dessa maneira coloca também a forma como se enquadra o ensino do Cálculo.
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Em relação às dificuldades associadas aos livros didáticos, destaca que, em geral, estes se constituem na apresentação do Cálculo sistematizado, formal e logicamente organizados, como resultado do trabalho de pensadores, filósofos e matemáticos em mais de vinte séculos, frequentemente apresentada pela sequência: Números Reais, Funções, Limites, Derivadas e Integrais. Ou o Cálculo em construção, apresentado por uma temática que não obedece necessariamente à estruturação lógica; mas o desenvolvimento do Cálculo ou a sua contemporaneidade, baseado numa metodologia problematizada, com situações que deflagram o processo de construção do conhecimento. O livro didático, segundo esse autor, tenta mostrar um caminho com vistas à viabilizar a concepção de como o conhecimento no Cálculo pode ou deve ser construído.
No ambiente da universidade, ressalta que muitos cursos de Cálculo Diferencial e Integral sob a influência desses recursos, permanecem os mesmos, trazendo abordagens idênticas às realizadas há décadas; e aponta que as Tecnologias da Informação poderiam representar fortes mediadoras na negociação dos significados do Cálculo Diferencial e Integral.
Sobre as dificuldades de natureza epistemológica destaca Tall (1976 apud VIEIRA, 2013) no sentido de que o cérebro humano não é uma entidade puramente lógica. Seu funcionamento é complexo e, usualmente, é uma variação da lógica matemática; sendo que a lógica pura nem sempre é a razão das inspirações, nem a causadora de erros.
Aplicando essa reflexão ao estudo do CDI, principalmente, no que se refere ao estudo da Função, e a fim de evitar ideias erroneamente formadas sobre o significado de função, propõe trabalhar a relação da variabilidade, da variação de dependência, de taxa de variação, já a partir do ensino fundamental.
36 significação desse conceito, que sequer é lembrado diante do “fato” de a função
constituir-se como uma fórmula. Acredita que, frente aos problemas usualmente propostos, são por vezes utilizados procedimentos parecidos que levam à sensação
de “bem conhecer” um determinado assunto; porém, a partir de pequenas
mudanças, esse entendimento de como agir se torna ausente.
Destaca, também, que um conflito pedagógico frequentemente encontrado nos cursos de Cálculo é o descompasso entre o que o professor faz - em geral demonstrar resultados, e o que pede que o aluno faça - exaustivas listas de exercícios. Ainda destaca que, a fim de tentar minimizar os resultados catastróficos dos cursos de Cálculo no ensino superior, é comum a realização de cursos preparatórios, como Pré-Cálculo, Cálculo Zero, Matemática Básica, entre outros. No entanto, os resultados apresentados em tais disciplinas niveladoras é similar aos obtidos nos cursos de Cálculo que com ou sem elas continuam a apresentar resultados preocupantes.
Nesse sentido, Vieira aponta que Rezende (2003) reflete sobre a responsabilidade dos professores de Cálculo em explicitar as concepções epistemológicas que perpassam suas ações docentes, ao discutir sobre as dualidades sistematização/construção; variabilidade/permanência; global/local; discreto/contínuo; finito/infinito e construção/significação.
Viera deseja ir além em sua pesquisa e mostrar que as TI’s medeiam e
facilitam quaiquer dessas dualidades em cursos de CDI, pois se constituem como uma nova teconologia da inteligência13 e como protagonistas na construção do conhecimento, o humano midiático14 da atualidade.
Na presente investigação, não se orienta para a direção das TI’s, mas as
contribuições de Vieira corroboram a intenção de pesquisa, pois dão a dimensão do cenário que envolve o encontro com o objeto novo em aulas de Cálculo 1 pelos sujeitos da experiência.
13 Levy (1994).
37 1.4 O Dimensionamento da pesquisa
Na presente introdução, Capítulo 1 desta pesquisa, apresentam-se a motivação, o problema e objetivo de pesquisa, assim como a questão central desta investigação, que busca a partir da lógica do Diálogo e da Experiência encontrar indícios dos conhecimentos, inquietações e experiências que os estudantes de Cálculo 1 deixam revelar a partir de sua passagem por essa disciplina, e apresentar os aspectos desse estudo, que se interpõem a partir desse encontro. Inclui-se também, a revisão da Literatura que procurou levantar pesquisas direcionadas para a investigação no âmbito do Cálculo Diferencial e Integral.
A respeito das escolhas teóricas, no Capítulo 2, apresentam-se a interpretação da relação dialógica do sujeito com o outro e com o objeto, baseada nas concepções de Buber (2009) e de Bauman e May (2010), admitindo-se ainda um interlocução dessa perspectiva teórica com a concepção de Larrosa (2002, 2011) acerca da experiência. A partir dessas perspectivas, fundam-se a construção teórica desta investigação.
As escolhas metodológicas serão apresentadas no Capítulo 3, incluindo o método escolhido; a forma de seleção dos sujeitos; a caracterização desses sujeitos da experiência e da Instituição que os representa – representante dessa comunidade plural; além da justificativa pela opção de uso de Mapas Conceituais como um dos instrumentos de coleta dos dados.
Os procedimentos de análise dos dados e a apresentação de resultados a partir das abordagens que coletam relatos dos sujeitos investigados, classificados em unidades de análise textuais, serão apresentados no Capítulo 4.
No Capítulo 5, apresenta-se a análise dedicada aos Mapas Conceituais, assim como a discussão em torno do que se denominou de Mapas Conceituais Iniciais.
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40 2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS
Neste Capítulo são apresentados os pressupostos teóricos sustentados nas contribuições filosóficas de Buber (2009) acerca da relação dialógica representada pelo modo fenomenológico da existência humana, o modo do Eu-Tu, e o modo coisificado, reflexivo, da atitude Eu-Isso. Valem-se também das contribuições de Bauman e May (2010) acerca das escolhas, como presenças em uma relação dialógica. Ainda, das contribuições de Larrosa (1994, 2002, 2011) sobre a experiência dos sujeitos na interação dialógica, que embora envolva escolhas nem sempre pessoais, sustenta a experiência que é individual e intransferível.
2.1 A Relação dialógica
Considera-se uma perspectiva filosófico-sociológica, posta diante da complexa rede de subjetividades que compreende uma relação dialógica, uma relação de reciprocidade, de um compartilhar em mão dupla, e que não acolhe apenas um encontro impessoal e desprovido de afetividade, pois ocorre em meio a intrincada interação entre professores, estudantes, Instituição e conteúdo nos processos de ensino e aprendizagem de Cálculo 1.
Admite-se que essa relação dialógica compreenda um contexto histórico; um encontro denominado de diálogo humano, em que alguns limites à liberdade se posicionem como entraves ao fato de o homem ser o sujeito da própria prática, portanto, corresponsável nesse processo, e no qual se aceita como sujeito cuja liberdade é estranhamente limitada, tendo em vista que suas ações subjazem a certo grau dessa liberdade.
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mundo em transformação, com a finalidade de contribuir para essa transformação, o que implica que também esteja submetido às limitações do mundo. Assim, a aprendizagem e o ensino devem pautar-se em uma pedagogia que leve à superação da relação opressor-oprimido, não havendo restrições formais da instrução, ou seja, uma pedagogia baseada na dialogicidade – o diálogo entre professor e aluno que possa levar à ação fundante de uma educação problematizadora focalizada no desvelamento da realidade que se presta ao aluno - ou seja, o reverso da educação bancária.
Enquanto na prática “bancária” da educação, antidialógica por essência, por isso não comunicativa, o educador deposita no educando o conteúdo programático da educação, que ele mesmo elabora ou elaborada para ele, na prática problematizadora, dialógica por excelência, este conteúdo, que jamais é
“depositado”, se organiza e se constitui na visão do mundo dos educandos, em que se encontram seus temas geradores (FREIRE, 1987, p. 102).
Não se desconsidera a relação que Freire (1979) expõe, e sim, consideram-se as várias nuances de uma relação entre indivíduos, uma relação que assume comportamentos supostamente contraditórios, perpassando todos os aspectos presentes nesse processo, até mesmo, opressão, medo, intolerância, como também, motivação, fortalecimento, incentivo, encorajamento.
Concorda-se que a dialogicidade é uma questão básica para essa abordagem sociocultural; e que a relação “professor – aluno – instituição – conteúdo” deveria ser horizontal, com o objetivo de desenvolvimento de uma consciência crítica e libertadora, que valoriza a linguagem, pela qual os elementos dessa relação procuram a superação da consciência ingênua para a percepção das contradições sociais.
Nessas circunstâncias, a relação dialógica que ora se apresenta, é uma abordagem que coloca cada indivíduo no centro da condução de seu próprio processo de construção de conhecimento e que procura preconizar a experiência desses sujeitos. E, nessa direção, elegem-se as perspectivas de Buber (2009), Bauman e May (2010) e Larrosa (1994, 2002, 2011) para encaminhar essa construção teórica.
