EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ ao ` a Algebra Linear
1. Sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2), W = (z1, z2) vetores em V = R2. Determine se a express˜ao
< u, v >=x1y1−x2y1−x1y2 + 4x2y2 define um produto interno sobre V.
Solu¸c˜ao
Vejamos se as quatro condi¸c˜oes que definem um produto interno (pag.
176) s˜ao satisfeitas:
(a) A partir da comutatividade do produto e da soma (ab=ba;a+b =b+a para a, b∈R) temos que
< u, v >=<(x1, x2),(y1, y2)>=x1y1−x2y1 −x1y2+ 4x2y2 = y1x1−y2x1−y1x2+ 4y2x2 =<(y1, y2),(x1, x2)>=< v, u >
(b) Desenvolvendo o produto e associando temos que,
< u, v+w >=<(x1, x2),(y1+z1, y2+z2)>=
x1(y1 +z1)−x2(y1+z1)−x1(y2+z2) + 4x2(y2 +z2) = (x1y1−x2y1−x1y2+ 4x2y2) + (x1z1−x2z1−x1z2+ 4x2z2) =
=<(x1, x2),(y1, y2)>+<(x1, x2),(z1, z2)>=< u, v > +< u, w >
(c) Sejaα ∈R. Resulta que
< αu, v >=< α(x1, x2),(y1, y2)>=<(αx1, αx2),(y1, y2)>=
αx1y1−αx2y1−αx1y2+ 4αx2y2 =α(x1y1−x2y1−x1y2+ 4x2y2) = α <(x1, x2),(y1, y2)>=α < u, v >
(d) Temos que,
< u, u >=<(x1, x2),(x1, x2)>=x1x1−x2x1−x1x2+ 4x2x2 = x21−2x1x2+ 4x22 = (x1−x2)2+ 3x22 ≥0
De outro lado,
< u, u >= (x1−x2)2+ 3x22 = 0 ⇔x1 =x2 = 0⇔u= (0,0)
Sendo satisfeitas as quatro condi¸c˜oes concluimos que
<(x1, x2),(y1, y2)>=x1y1−x2y1 −x1y2+ 4x2y2 representa um produto interno em V =R2.
2. Sejam u = (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) vetores em R3. Considere a express˜ao
< u, v >=<(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)>=x1y1−x2y2+x3y3 E´ < , > um produto interno em R3 ?
Solu¸c˜ao
Vejamos se as s˜ao satisfeitas as condi¸c˜oes que definem um produto interno:
• Temos que,
< u, v >=<(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)>=x1y1−x2y2+x3y3 = y1x1−y2x2+y3x3 =<(y1, y2, y3),(x1, x2, x3)>=< v, u >
Desta forma, a primeira condi¸c˜ao ´e satisfeita.
• Sejaw= (z1, z2, z3). Ent˜ao
< u, v+w >=<(x1, x2, x3),(y1+z1, y2+z2, y3+z3)>=
x1(y1+z1)−x2(y2+z2) +x3(y3+z3) =
(x1y1−x2y2+x3y3) + (x1z1−x2z2+x3z3) =< u, v >+< u, w >
Assim, a segunda condi¸c˜ao ´e satisfeita.
• Sejaλ ∈R. Tem-se que,
< λu, v >=<(λx1, λx2, λx3),(y1, y2, y3)>=
λx1y1−λx2y2+λx3y3 =λ(x1y1−x2y2+x3y3) = λ < u, v >
Tamb´em esta condi¸c˜ao ´e satisfeita.
• Temos que,
< u, u >=<(x1, x2, x3),(x1, x2, x3)>=x21 −x22 +x23 Nem sempre < u, u >≥0. Por exemplo, se u= (1,3,2) teremos
< u, u >=<(1,3,2),(1,3,2)>= 12−32+ 22 =−4<0 A ´ultima condi¸c˜ao que define um produto interno n˜ao ´e satisfeita.
Concluimos que a express˜ao,
< u, v >=<(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)>=x1y1−x2y2+x3y3 n˜ao define um produto interno emR3.
3. Seja o espa¸co euclidiano R2. Determine o vetor w tal que
< u, w >= 8 e < v, w >= 10 dados u= (2,1) e v = (−1,3).
Solu¸c˜ao
Consideremos w= (x, y). das condi¸c˜oes dadas temos que,
< u, w >=<(2,1),(x, y)>= 2x+y= 8 (1)
< v, w >=<(−1,3),(x, y)>=−x+ 3y= 10 (2) De (2), x= 3y−10. Substituindo em (1):
2(3y−10) +y= 8 ⇒7y= 28 ⇒y= 4⇒x= 3(4)−10 = 2 Desta forma w= (2,4).
4. Seja V = P2(R). Sejam p, q ∈ V. Considere em V o produto interno,
< p, q >=< a0+a1x+a2x2, b0, b1x+b2x2 >=a0b0+a1b1+a2b2
(produto usual em P2(R)) Calcular
(a)||p||, (b)||p−q||, (c)d(p,2p)
Solu¸c˜ao
(a) Tem-se que
||p||=√
< p, p >= q
a20+b20+c20
(b) Temos quep(x)−q(x) = (a0−b0) + (a1−b1)x+ (a2−b2)x2. Ent˜ao
||p−q||=p
(a0−b0)2+ (a1−b1)2+ (a2−b2)2 (c) Temos que p(x)−2p(x) = −a0−a1x−a2x2. Ent˜ao
d(p,2p) =||p−2p||=p
(−a0)2+ (−a1)2+ (−a2)2 = q
a20+b20+c20 5. A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz (pag 181) veri-
fique que se cumpre
(a1 +a2) 1
a1 + 1 a2
≥4 quaisquer que sejam os reais positivos a1 e a2. Solu¸c˜ao
A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que se u, v s˜ao vetores num espa¸co euclidiano V, ent˜ao
||u||||v|| ≥ |< u, v >| (?) Tomando
u= (√ a1,√
a2); e v = 1
√a1, 1
√a2
resulta,
||u||=√
< u, u >= q
(√ a1,√
a2),(√ a1,√
a2)
= q
(√
a1)2+ (√
a1)2 =√
a1+a2
ou seja, √
Da mesma forma
||v||=√
< v, v >= r1
a1 + 1
a2 (2)
(verifique!) De outro lado
|< u, v > |=
(√ a1,√
a2),( 1
√a1, 1
√a2
=|1 + 1|= 2 ou seja,
|< u, v >|= 2 (3)
Substutuindo (1), (2) e (3) em (?),
√a1+a2× r 1
a1 + 1 a2 ≥2
Elevando ao quadrado ambos lados desta desigualdade, (a1 +a2)
1 a1 + 1
a2
≥4 Por exemplo, se a1 = 1 e a2 = 1/2 encontramos que
(a1+a2) 1
a1 + 1 a2
= (1 + 1
2)(1 + 2) = 9 2 >4
6. (a) Sejam V =R2 e u = (1,2), v = (3,4). Calcular e comparar as quantidades
||u+v|| e ||u||+||v||
(b) Sejam u, v e w vetores no espa¸co euclidiano V. A partir da desigualdade triangular (pag. 181) conclua que,
d(u, v)≤d(u, w) +d(w, v)
Solu¸c˜ao
(a) Temos que,
||u+v||=||(1,2) + (3,4)||=||(4,6)||=√
42+ 62 =√ 52 Tamb´em
||u||+||v||=||(1,2)||+||(3,4)||=√
12+ 22+√
32+ 42 =√ 5+√
25 Agora (√
52)2 = 52 e (5 +√
5)2 = 30 + 10√ 5.
Sendo 52−30 = 22 < 10√
5 j´a que 222 = 484 < 500 = (10√ 5)2 concluimos que||u+v||<||u||+||v||.
(b) Escrevemos
d(u, v) =||u−v||=||u−w+w−v||
Pela desigualdade triangular
||u−w+w−v|| ≤ ||u−w||+||w−v||=d(u, w) +d(v, w) Desta forma,
d(u, v)≤d(u, w) +d(v, w)
7. Sejam u, v, w vetores num espa¸co euclidiano V tais que
< u, v >= 2, < v, w >=−3, < u, w >= 5,||u||= 1, ||v||= 2,||w||= 7 Calcular
(a) <2v−w,3u+ 2w >
(b) ||2w−v||
Solu¸c˜ao
(a) Temos que
<2v −w,3u+ 2w >=<2v−w,3u >+<2v−w,2w >=
<2v,3u >−< w,3u >+<2v,2w >−< w,2w >=
6< u, v >−3< u, w >+4 < v, w >−2||w||2 = 6(2)−3(5) + 4(−3)−2(72) =−113
(b) Temos que
||2w−v||2 =<2w−v,2w−v >=||2w||2−2< v,2w >+||v||2 = 4||w||2−4< v, w >+||v||2 = 4(72)−4(−3) + 22 = 212 Consequentemente, ||2w−v||=√
212.
8. Seja V um espa¸co euclidiano. Verifique se os vetores u e v s˜ao ortogonais nos seguintes casos:
(a) V = R3, u = (2,1,−1), v = (0,1,1) e < , > produto interno usual.
(b) V =M2(R),u=
2 1
−1 3
, v =
1 1
−1 −1
e< , >produto interno usual.
(c) V =P2(R), u= 5−4x+ 4x2, v = 4 + 2x−3x2 e < , > produto interno usual.
Solu¸c˜ao
(a) Tem-se que,
< u, v >=<(2,1,−1),(0,1,1)>= 2·0 + 1·1 + (−1)·1 = 0 Ent˜ao os vetoresu e v s˜ao ortogonais.
(b) Tem-se que
< u, v >= 2 1
−1 3
,
1 1
−1 −1 = 2·1+1·1+(−1)·(−1)+3·(−1)6= 0 Ent˜ao os vetoresu e v n˜ao s˜ao ortogonais.
(c) Tem-se que
< u, v >= 5·4 + (−4)·2 + 4·(−3) = 0 Ent˜ao os vetoresu e v s˜ao ortogonais.
9. (a) Verifique que o conjunto
S ={(2,1,−1),(0,1,1),(1,−1,1)}
´e um subconjunto ortogonal em R3
(b) Divida cada vetor do conjunto S pela sua norma, para determinar um subconjunto ortonormal em R3.
Solu¸c˜ao
(a) Tem-se que,
<(2,1,−1),(0,1,1)>= 2(0) + 1(1) + (−1)(1) = 0
<(2,1,−1),(1,−1,1)>= 2(1) + 1(−1) + (−1)(1) = 0
<(0,1,1),(1,−1,1)>= 0(1) + 1(−1) + (1)(1) = 0 Ent˜ao o conjunto S ´e um subconjunto ortogonal deR3. (b) Exerc´ıcio.
10. Determinar uma base ortogonal para o subespa¸co W ={(x, y, z) :x−y+ 2z = 0}
Solu¸c˜ao Exerc´ıcio
11. Obtenha uma base ortornormal para R3 contendo o vetor unit´ario w1 = 2
3,1 3,1
3 . Solu¸c˜ao
Queremos determinar w2, w3 tais que o conjuntoB ={w1, w2, w3}seja uma base ortonormal para R3.
Seja (x, y, z) ortogonal ao vetor (2,2,1) (do qual w1 ´e seu versor). De- vemos ter que
<(x, y, z),(2,2,1)>= 2x+ 2y+z = 0 Da´ız =−2x−2y e
(x, y, z) = (x, y,−2x−2z) =x(1,0,−2) +y(0,1,−2) Observemos que,
Entretanto <(1,0,−2),(0,1,−2)>6= 0.
A partir do conjunto S = {(1,0,−2),(0,1,−2)}, pelo processo de Gram-Schmidt, determinemos T = {v1, v2} o conjunto ortogonal cor- respondente. Resulta que,
v1 = (1,0,−2)
v2 = (0,1,−2)− <(0,1,−2),(1,0,−2)>
||(1,0,−2)||2 (1,0,−2) =−1
5(4,−5,2) Tomando
w2 = (1,0,−2)
||(1,0,−2)||2 =
√5
5 ,0,−2 5
√ 5 e
w3 = (4,−5,2)
||(4,−5,2)||2 = − 4 15
√ 5,
√5 5 ,− 2
15
√ 5 resulta a base ortonormal B ={w1, w2, w3} procurada.
