Álgebra Linear e Aplicações

(1)

´

ALGEBRA LINEAR E APLICAC

¸ ˜

OES

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

(2)

Copyright c2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100808)

É proibida a reprodução desta publicação, ou parte dela, por qualquer meio, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revisão, Supervisor de Produção, Capa e Ilustraç ões: Reginaldo J. Santos

ISBN 85-7470-017-7 Ficha Catalogr´afica

Santos, Reginaldo J.

S237a Algebra Linear e Aplicaç ões / Reginaldo J. Santos - Belo´ Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2010.

1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

(3)

Conte ´udo

Pref´acio vi

1 Espa¸cos Vetoriais 1

1.1 Definic¸˜ao e Exemplos. . . 1

1.1.1 Os Espac¸osRn _{. . . .} ₁

1.1.2 Espac¸os Vetoriais Abstratos . . . 5

1.2 Subespac¸os. . . 14

1.2.1 Soma e Interseção de Subespaços . . . 24

1.2.2 Conjunto de Geradores . . . 31

1.3 Dependˆencia Linear. . . 44

1.3.1 Independência Linear de Funç ões . . . 56

1.4 Base e Dimens˜ao . . . 67

1.4.1 Base . . . 67

1.4.2 Dimens˜ao . . . 73

1.4.3 Aplicação: Fraç ões Parciais . . . 81

(4)

2 Espa¸cos com Produto Interno 99

2.1 Produto Escalar e Norma. . . 99

2.1.1 Produto Interno . . . 99

2.1.2 Norma . . . 106

2.1.3 Ortogonalidade . . . 110

2.1.4 Projec¸˜ao Ortogonal . . . 116

2.1.5 Coeficientes de Fourier. . . 124

2.2 Bases Ortonormais e Subespac¸os Ortogonais . . . 132

2.2.1 Bases Ortonormais . . . 132

2.2.2 Aplicação: Polin ômios de Legendre . . . 141

2.2.3 Complemento Ortogonal . . . 146

2.2.4 Distˆancia de um Ponto a um Subespac¸o . . . 156

2.2.5 Aplicação: Séries de Fourier . . . 164

3 Transforma¸c ões Lineares 203 3.1 Definição, Exemplos e Propriedades . . . 203

3.1.1 Definic¸˜ao e Exemplos . . . 203

3.1.2 Propriedades . . . 211

3.1.3 Aplicac¸˜ao: Matriz Jacobiana . . . 216

3.2 A Imagem e o N ´ucleo. . . 221

3.2.1 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna de uma Matriz . . . 226

3.2.2 Injetividade e Sobrejetividade . . . 229

3.3 Composição de Transformaç ões Lineares . . . 241

3.3.1 Matriz de uma Transformac¸˜ao Linear . . . 243

3.3.2 Invertibilidade . . . 252

3.3.3 Semelhanc¸a . . . 256

3.3.4 Aplicação: Equaç ões Diferenciais Lineares . . . 260

3.4 A Adjunta . . . 270

3.4.1 Aplicac¸˜ao: Problema de Quadrados M´ınimos. . . 277

(5)

Conte ´udo v

4.1 Diagonalizac¸˜ao de Operadores . . . 291

4.1.1 Motivação: Sistemas de Equaç ões Diferenciais Lineares . . . 291

4.1.2 Operadores e Matrizes Diagonaliz´aveis . . . 294

4.1.3 Autovalores e Autovetores . . . 297

4.1.4 Subespac¸os Invariantes e o Teorema de Cayley-Hamilton. . . 311

4.1.5 Aplicação: Cálculo das Potências de uma Matriz . . . 316

4.2 Operadores Auto-adjuntos e Normais . . . 329

4.3 Aplicação na Identificação de C ônicas . . . 345

4.4 Forma Can ˆonica de Jordan. . . 358

4.4.1 Autoespac¸o Generalizado . . . 360

4.4.2 Ciclos de Autovetores Generalizados . . . 372

4.4.3 Aplicação: Funç ões de Matrizes e Sistemas de Equaç ões Diferenciais Lineares . . . 384

Respostas dos Exerc´ıcios 398

Bibliografia 500

(6)

Pref´acio

Este texto cobre o material para um curso de Álgebra Linear ministrado para estudantes da área de Ciências Exatas. O texto pode, masnãoé necessário, ser acompanhado de um programa como o MATLABr _∗_{, SciLab}

ou o Maxima.

O conte údo é dividido em quatro cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1 o conceito de vetor doRn _{é introduzido e então} são definidos os espaços vetoriais abstratos. Dependência Linear, conjunto de geradores e base são definidos o mais geral poss´ıvel de forma a incluir espaços vetoriais que possuem uma base infinita, como o espaço dos polin ômios, por exemplo. Splines são estudados neste cap´ıtulo como uma aplicação dos conceitos apresenta-dos.

No Cap´ıtulo 2 são estudados os espaços com produto interno, bases ortonormais e complemento ortogonal. Contém também uma aplicação aos polin ômios de Legendre e uma aplicação às séries de Fourier.

O Cap´ıtulo 3 aborda transformaç ões lineares. Aqui é apresentada uma abordagem bastante geométrica deste tema. A matriz mudança de base aparece de maneira natural como a matriz da transformação identidade em relação a duas bases. A matriz jacobiana de uma transformação é apresentada como uma aplicação ao tema.

(7)

Conte ´udo vii

Aqui também é estudada a adjunta de uma transformação linear e é apresentada uma aplicação ao problema de quadrados m´ınimos.

O Cap´ıtulo 4 traz um estudo da diagonalização de operadores, incluindo a diagonalização de operadores normais e auto-adjuntos e uma aplicação na identificação de c ônicas. A última seção traz a forma can ônica de Jordan. Além de serem provados resultados sobre existência, é mostrado também como se obtém uma base de autovetores generalizados em relação a qual a matriz do operador está na forma can ônica de Jordan. Como aplicaç ões são apresentados: cálculo das potências de uma matriz, funç ões de matrizes e Sistemas de equaç ões diferenciais.

Os exerc´ıcios estão agrupados em três classes. Os “Exerc´ıcios Numéricos”, que contém exerc´ıcios que são resolvidos fazendo cálculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma máquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Te óricos”, que contém exerc´ıcios que requerem demonstraç ões. Alguns são sim-ples, outros são mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria e geralmente são acompanhados de sugest ões. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABr”, que contém exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABr ou outro software. Os comandos necessários a resolução destes exerc´ıcios são também forneci-dos juntamente com uma explicação rápida do uso. Os exerc´ıcios numéricos são imprescind´ıveis, enquanto a resolução dos outros, depende do n´ıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

O MATLABré um software destinado a fazer cálculos com matrizes (MATLABr= MATrix LABoratory). Os co-mandos do MATLABrsão muito pr óximos da forma como escrevemos express ões algébricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados às funç ões pré-definidas, pacotes de funç ões para tarefas es-pec´ıficas. Um pacote chamadogaalcom funç ões que são direcionadas para o estudo de Geometria Anal´ıtica e Álgebra Linear pode ser obtido na web na página do autor, assim como um texto com uma introdução ao MATLABre instruç ões de como instalar o pacotegaal. O MATLABrnão é um software gratuito, embora antes a versão estudante vinha grátis ao se comprar o guia do usuário. Atualmente o SciLab é uma alternativa gra-tuita, mas que não faz cálculo simb ólico. O Maxima é um programa de computação algébrica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Álgebra Linear. Na página do autor na web podem ser encontrados pacotes de funç ões para estes programas além de links para as páginas do SciLab e do Maxima e várias páginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.

(8)

Exerc´ıcios Numéricos e os Exerc´ıcios usando o MATLABrestão resolvidos ap ós o último cap´ıtulo utilizando o MATLABr. Desta forma o leitor que não estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABre do pacotegaal.

Gostaria de agradecer ao professor Helder C. Rodrigues pelas frut´ıferas discuss ões e aos professores que co-laboraram apresentando correç ões, cr´ıticas e sugest ões, entre eles Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Satuf, Hamilton P. Bueno e Ant ônio J. Engler.

Hist ´orico

Julho 2010 Várias correç ões. O texto foi completamente reformatado.

Mar¸co 2006 Várias correç ões. Foi acrescentado o Exemplo3.40na página282. Foram acrescentados diagramas para a formação da base de Jordan no Cap´ıtulo 4.

Julho 2004 Na página74o Exemplo 1.65 foi substitu´ıdo pela Proposição1.11com demonstração.

Julho 2003 Na página31foi definido espaço vetorial finitamente gerado. Foi acrescentado o Exemplo 1.65 na página 46. As Proposiç ões4.5na página306e4.20na página367foram reescritas, assim como as suas demonstraç ões. Foram adicionados dois exerc´ıcios te óricos à seção 4.1.

(9)

Pref´acio ix

Sugest˜ao de Cronograma

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 a 1.4 16 aulas

Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.2 12 aulas

(10)

(11)

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Vetoriais

1.1 Defini¸c˜ao e Exemplos

Os vetores no plano são definidos por pares ordenados de n úmeros reais e que veto-res no espaço são definidos por ternos ordenados de n úmeros reais. Muito do que é estudado sobre vetores em Geometria Anal´ıtica pode ser estendido paran-uplas de n úmeros reais, em quenpode ser um n úmero inteiro positivo.

(12)

Defini¸cão 1.1. O espaçoRn ₍_n _{é um inteiro positivo qualquer) é definido pelo conjunto de todas as}_n_-uplas ordenadasX= (x1, . . . ,xn)de n úmeros reais.

O conjuntoR1 _{é simplesmente o conjunto dos n úmeros reais. O conjunto} R2 _{é o} conjunto dos pares de n úmeros reais e o R3 _{é o conjunto dos ternos de n úmeros} reais.

NoR3 _{o terno de n úmeros} ₍_x_1,_x_2,_x₃₎ _{pode ser interpretado geometricamente de} duas maneiras: pode ser visto como um ponto, neste casox1,x2ex3são as coorde-nadas do ponto (Figura1.1), ou como um vetor, neste caso x1,x2ex3são as com-ponentes do vetor (Figura1.2). Também noRn _uma_n_{-upla pode ser pensada como}

um vetor ou como um ponto. Por exemplo, a qu´ıntuplaX= (1,−2, 3, 5, 4)pode ser pensada como um ponto noR5_{, quando consideramos}_X_{como um elemento do} con-juntoR5_{, ou como um vetor do}R5_{, quando fazemos operaç ões com}_X_{, como as que} iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos doRn_{de pontos ou de vetores} dependendo da situação.

Dois vetoresV = (v1, . . . ,vn)eW = (w1, . . . ,wn)noRn s˜ao consideradosiguaisse

v1 = w1, . . . ,vn = wn. As operaç ões de soma de vetores e multiplicação de vetor

(13)

1.1 Espa¸cos Vetoriais 3

Defini¸c˜ao 1.2. (a) Asomade dois vetoresV= (v1, . . . ,vn)eW= (w1, . . . ,wn)doRn ´e definida por

V+W = (v1+w1, . . . ,vn+wn); (1.1)

(b) Amultiplica¸c˜aode um vetorV= (v1, . . . ,vn)doRnpor um escalarα´e definida por

αV= (αv1, . . . ,αvn). (1.2)

O vetor nulo do Rn _{´e denotado por ¯0 e ´e definido por ¯0} _{= (}_{0, . . . , 0}₎_. _Se

V = (v1, . . . ,vn) é um vetor doRn, então osimétrico deV é denotado por −V

e ´e definido por−V= (−v1, . . . ,−vn). Adiferen¸cade dois vetores noRn ´e definida

porV−W=V+ (−W). SeVeWs˜ao vetores doRn_{tais que}_W₌_α_V_{, para algum}

escalarα, então dizemos queW é um m últiplo escalardeV.

Um vetorV= (v1, . . . ,vn)doRnpode também ser escrito na notação matricial como

umamatriz linhaou como umamatriz coluna:

V=    v1 .. . vn  

 ou V=

v1 . . . vn .

Estas notaç ões podem ser justificadas pelo fato de que as operaç ões matriciais

V+W=

   v1 .. . vn   +    w1 .. . wn   =   

v1+w1

.. .

vn+wn





, αV=α    v1 .. . vn   =   

αv1 .. .

αvn



(14)

ou

V+W= v1 . . . vn + w1 . . . wn = v1+w1 . . . vn+wn ,

αV=α v1 . . . vn = αv1 . . . αvn

produzem os mesmos resultados que as operac¸ ˜oes vetoriais

V+W= (v1, . . . ,vn) + (w1, . . . ,wn) = (v1+w1, . . . ,vn+wn),

αV=α(v1, . . . ,vn) = (αv1, . . . ,αvn).

No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de ve-tores e multiplicac¸˜ao de veve-tores por escalar noRn_.

Teorema 1.1. Sejam U = (u1, . . . ,un), V = (v1, . . . ,vn)e W = (w1, . . . ,wn)vetores doRn eαeβescalares. S˜ao

v´alidas as seguintes propriedades:

(a) U+V=V+U;

(b) (U+V) +W =U+ (V+W);

(c) U+¯0=U;

(d) U+ (−U) =¯0;

(e) α(βU) = (αβ)U;

(f) α(U+V) =αU+αV;

(g) (α+β)U=αU+βU;

(h) 1U=U.

Demonstraç ão. Segue diretamente das propriedades da álgebra matricial (ver por

(15)

1.1.2 Espa¸cos Vetoriais Abstratos

Podemos generalizar o conceito de vetores ainda mais. Vamos estabelecer um con-junto de axiomas, os quais se forem satisfeitos por um concon-junto de elementos, estes serão chamados de vetores. Os axiomas serão escolhidos abstraindo-se as proprie-dades mais importantes de vetores noRn_{. Assim, os vetores do}Rn_satisfarão auto-maticamente estes axiomas.

Defini¸c˜ao 1.3. Dizemos que um conjuntoV₆₌

_ø

_{, munido de duas operaç ões, uma soma e uma multiplicação} por escalar:

(0) SeV,W∈V_{, ent˜ao}_V₊_W _∈V_;

(0’) SeV∈V_e_α_∈R_(ouC_{), ent˜ao}_α_V_∈V_;

´e umespa¸co vetorial sobreR_(ouC₎_{se satisfaz os seguintes axiomas:}

(1) Para todos osV,W∈V_,_V₊_W₌_W₊_V_;

(2) Para todos osV,W,U∈V_,_V_{+ (}_W₊_U_{) = (}_V₊_W_{) +}_U_;

(3) Existe um elemento ¯0∈V_{, tal que}_V₊¯0₌ ¯0₊_V₌_V_{, para todo}_V_∈V_;

(4) Para cadaV∈V_{, existe um elemento}₋_V_∈V_{tal que}_V_{+ (}₋_V_{) = (}₋_V_{) +}_V₌ ¯0;

(5) Para todoV∈V_{e todos os escalares}_α_e_β_,_α₍_β_V_{) = (}_αβ₎_V_;

(6) Para todos osV,W∈V_{e todo escalar}_α_,_α₍_V₊_W_{) =}_α_V₊_α_W_;

(7) Para todoV∈V_{e todos os escalares}_α_e_β_,₍_α₊_β₎_V₌_α_V₊_β_V_;

(16)

(17)

Os elementos deV_{são chamados}_vetores_{. O vetor ¯0 é chamado} _{vetor nulo}_{e para} cadaV∈V_{o vetor}₋_V_{é chamado o}_simétrico_ou_{inverso aditivo}_de_V_{. A}_diferen¸ca de dois vetores é definida porV−W = V+ (−W). SeV eW são vetores tais que

W=αV, para algum escalarα, então dizemos queW é um m últiplo escalardeV.

Exemplo 1.1. Para n um n ´umero inteiro positivo, o conjunto V ₌ Rn _{com as}

operaç ões de soma e multiplicação por escalar definidas em (1.1) e (1.2) é um espaço vetorial sobreR_{, pelo}_Teorema_1.1_{na página}_{4. Em particular}R_{é um espaço vetorial} sobre ele mesmo.

Exemplo 1.2. O conjunto dos n úmeros complexos,C_{, com as operaç ões usuais é um} espaço vetorial sobre ele mesmo, mas é também um espaço vetorial sobreR_.

Exemplo 1.3. Segue-se das propriedades da ´algebra matricial, que o conjuntoMmn

de todas as matrizesm×ncom entradas que são n úmeros reais (n úmeros comple-xos) com as operaç ões usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço veto-rial sobreR_(sobreC_).

Exemplo 1.4. SejaX um conjunto não vazio qualquer. SejaF(X;R₎_{o conjunto das funç ões reais,} _f _:_{X →}R_. Paraf egfunç ões deF(X;R₎_e_α_{um escalar definimos a soma} _f₊_g_por

(f +g)(x) = f(x) +g(x), para todox∈ X

e a multiplicac¸˜ao de f pelo escalarαpor

(αf)(x) =αf(x), para todox∈ X.

(18)

(1) (f+g)(x) = f(x) +g(x) =g(x) +f(x) = (g+f)(x), para todox∈ X;

(2) [f+ (g+h)](x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + (g(x) +h(x)) = (f(x) +g(x)) +h(x) = = (f +g)(x) +h(x) = [(f+g) +h](x), para todox∈ X;

(3) Seja ¯0 a func¸˜ao identicamente nula.(f+¯0)(x) = f(x) +¯0(x) = f(x), para todox ∈ X;

(4) Dada a função f definimos a função−f por(−f)(x) =−f(x), para todox∈ X. [f+ (−f)](x) = f(x) + (−f(x) =0=¯0(x), para todox∈ X;

(5) [α(βf)](x) =α(βf)(x) =α(βf(x)) = (αβ)f(x) = [(αβ)f](x), para todox∈ X;

(6) [α(f+g)](x) = α(f+g)(x) = α(f(x) +g(x)) = αf(x) +αg(x) = (αf)(x) + (αg)(x) = (αf+αg)(x), para todox∈ X;

(7) [(α+β)f](x) = (α+β)f(x) =αf(x) +βf(x) = (αf)(x) + (βf)(x) = [αf+βf](x), para todox∈ X;

(8) (1f)(x) =1f(x) = f(x), para todox∈ X;

Variando o conjuntoX obtemos v´arios exemplos de espac¸o vetorial.

SeX é igual a{1, . . . ,n}, entãoF(X;R_{) =}Rn_{, pois podemos identificar cada vetor}₍_x_{1, . . . ,}_x_n₎_deRn _{com a} função f :{1, . . . ,n} →R_{definida por} _f₍₁_{) =}_x_{1, . . . ,}_f₍_n_{) =}_x_n_.

SeX é igual ao produto cartesiano{1, . . . ,m} × {1, . . . ,n}, entãoF(X;R_{) =}_M_mn_{, pois podemos identificar} cada matriz(aij)mncom a função f :{1, . . . ,m} × {1, . . . ,n} →Rdefinida por

f(1, 1) =a11, . . . ,f(1,n) =a1n, . . . ,f(m, 1) =am1, . . . ,f(m,n) =amn.

Exemplo 1.5. O conjuntoR∞_{das sequˆencias de n ´umeros reais, ou seja, o conjunto} das listas infinitas(x1,x2, . . . ,xn, . . .)tais quexn ∈ R, paran = 1, 2, 3, . . ., com as

operac¸ ˜oes

(x1,x2, . . . ,xn, . . .) + (y1,y2, . . . ,yn, . . .) = (x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn, . . .)

(19)

é um espaço vetorial sobreR_{. Pois}R∞ ₌ _F₍_{_{1, 2, 3, . . .}_}_;R₎_{, já que podemos} iden-tificar cada sequência (xn), com a função f : {1, . . . ,n, . . .} → R definida por

f(1) =x1, . . . ,f(n) =xn, . . ..

Exemplo 1.6. SejaP = R_[_t_]_{o conjunto dos polin ômios sobre}R_{em uma variável}_t_{, ou seja, o conjunto das} express ões da forma

p(t) =a0+a1t+a2t2+· · ·+antn+. . .=

∑

j_∈N

ajtj,

em que existe um inteiro positivontal queaj = 0, para todo inteiro j > nea0,a1, . . . ,an ∈ R. O polin ˆomio

identicamente nulo ´e aquele em queaj =0, para todoj∈N.

Sejamp(t) =a0+a1t+· · ·+amtm+. . .=

∑

j∈N

ajtjeq(t) =b0+b1t+· · ·+brtr+. . .=

∑

j∈N

bjtjdois polin ˆomios

quaisquer. A soma ´e definida por

p(t) +q(t) = (a0+b0) + (a1+b1)t+· · ·+ (ak+bk)tk+. . .=

∑

j_∈N

(aj+bj)tj.

A multiplicação por um escalarαé definida por

αp(t) = (αa0) + (αa1)t+· · ·+ (αan)tn+. . .=

∑

j∈N

(αaj)tj.

Vamos mostrar que o conjuntoP =R_[_t_]_{´e um espac¸o vetorial sobre}R_. Sejamp(t) =

∑

j_∈N

ajtj,q(t) =

∑

j_∈N

bjtj,r(t) =

∑

j_∈N

cjtjeα,βescalares.

(1) p(t) +q(t) =

∑

j∈N

ajtj+

∑

j∈N

bjtj =

∑

j∈N

(aj+bj)tj=

∑

j∈N

(20)

(2) p(t) + (q(t) +r(t)) =

∑

j∈N

ajtj+

∑

j∈N

bjtj+

∑

j∈N

cjtj

!

=

∑

j∈N

[aj+ (bj+cj)]tj=

∑

j∈N

[(aj+bj) +cj]tj=

∑

j∈N

ajtj+

∑

j∈N

bjtj

!

+

∑

j∈N

cjtj= (p(t) +q(t)) +r(t).

(3) Seja ¯0(t)o polin ˆomio nulo.

p(t) +¯0(t) =

∑

j∈N

ajtj+

∑

j∈N

0tj =

∑

j∈N

(aj+0)tj=

∑

j∈N

ajtj =p(t).

(4) Defina o polin ˆomio(−p)(t) =∑_j_∈N(−aj)tj.

p(t) + (−p(t)) =

∑

j∈N

ajtj+

∑

j∈N

(−aj)tj=

∑

j∈N

(aj+ (−aj))tj=

∑

j∈N

0tj =¯0(t).

(5) α(βp(t)) =α(

∑

j∈N

βajtj) =

∑

j∈N

(αβaj)tj = (αβ)p(t).

(6) α(p(t) +q(t)) =α

∑

j∈N

(aj+bj)tj =

∑

j∈N

[α(aj+bj)]tj=

∑

j∈N

(αaj+αbj)tj

=

∑

j∈N

(αaj)tj+

∑

j∈N

(αbj)tj=αp(t) +αq(t).

(7) (α+β)p(t) =

∑

j∈N

(α+β)ajtj =

∑

j∈N

(αaj+βaj)tj=

∑

j∈N

(αaj)tj+

∑

j∈N

(βaj)tj=αp(t) +βp(t).

(8) 1p(t) =

∑

j∈N

(1aj)tj=

∑

j∈N

ajtj =p(t).

Proposi¸cão 1.2. São válidas as seguintes propriedades em um espa¸co vetorialV_:

(21)

(b) α¯0=¯0, para todo escalarα;

(c) SeαV=¯0, ent˜aoα=0ou V= ¯0;

(d) (−1)V=−V, para todo V pertencente aV_.

Demonstraç ão. (a) Usando-se o axioma (2) de espaço vetorial, temos que

0V+0V= (0+0)V=0V.

Somando-se o sim´etrico de 0V ao primeiro e ao ´ultimo membro e usando os axiomas (2) e (4) temos que

(−(0V) +0V) +0V=−0V+0V= ¯0.

Aplicando-se novamente o axioma (4) no primeiro membro, chegamos a 0V = ¯0.

(b) Este item se prova de forma inteiramente an´aloga ao anterior, mas a partir de

α¯0+α¯0.

(c) Seα6=0, ent˜ao pelos axiomas (8) e (5) e pelo item (b), temos que

V=1V=

1

αα

V= 1

α(αV) =

1

α¯0=¯0.

(d) Usando-se os axiomas (8) e (7) e o item (a) temos que

(−1)V+V= (−1)V+1V= (−1+1)V=0V= ¯0

Somando-se−Vao primeiro e ao ´ultimo membro e usando os axiomas (2), (4), (3) temos que

(−1)V= ¯0+ (−V) =−V.

(22)

Exerc´ıcios Num´ericos

(respostas na p´agina

398)

1.1.1. Determine o vetorX, tal que 3X−2V=15(X−U), para vetoresVeUfixos dados.

1.1.2. Determine o vetorX, tal que

6X − 2Y = U

3X + Y = U+V , para vetoresVeUfixos dados.

1.1.3. Verifique que o polin ômiot2+2t+7 écombina¸cão linear(soma de m últiplos escalares) det2+1 et+3.

1.1.4. Verifique que a função constante igual a 3 é combinação linear deg(t) =5 tan2_t_e_h₍_t_{) =} 2 cos2_t.

1.1.5. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X1 = (4, 2,−3), X2 = (2, 1,−2) e

X3 = (−2,−1, 0)?

(a) (1, 1, 1); (b) (4, 2,−6);

(c) (−2,−1, 1); (d) (−1, 2, 3).

1.1.6. Verifique se s˜ao espac¸os vetoriais os seguintes conjuntos:

(a) OR2_{com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por}_α₍_x_,_y_{) = (}_α_x_{, 0}₎_.

(b) OR2_com₍_x_1,_y₁_{) + (}_x_2,_y₂_{) = (}_x₁₊₂_x_2,_y₁₊₂_y₂₎_{e a multiplicac¸˜ao por escalar usual.}

(c) OR2_com₍_x_1,_y₁_{) + (}_x_2,_y₂_{) = (}_y₁₊_y_2,_x₁₊_x₂₎_{e a multiplicac¸˜ao por escalar usual.}

(d) O conjunto dos n ´umeros reais positivos, comx+y=xyeαx=xα. Qual ´e o vetor nulo?

Exerc´ıcios Te ´oricos

1.1.7. Sejam X um conjunto não vazio e V _{um espaço vetorial. Mostre que, com as definiç ões naturais de} soma e multiplicação por escalar de funç ões, o conjunto das funç ões deX emV_,_F₍_X_;V₎_{, é um espaço} vetorial.

(23)

1.1.9. Prove que em um espac¸o vetorialV_,_X₊_W₌_X₊_U_{implica que}_W₌_U_.

1.1.10. Em um espac¸o vetorial,αX=βXimplica queα=β? E seX6= ¯0?

(24)

1.2 Subespa¸cos

Defini¸c˜ao 1.4. SejaV_{um espac¸o vetorial. Dizemos que um subconjunto}W₆₌

ø

_{, de}V _{é um}_subespa¸co_deV_, se ele também é um espaço vetorial com relação às mesmas operaç ões definidas emV_.

Para verificarmos se um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço não é necessária a verificação dos oito axiomas além dos dois que definem a soma e a multiplicação por escalar.

Teorema 1.3. SejaV_{um espa¸co vetorial. Um subconjunto n˜ao vazio,}W_⊆V_{, ´e um subespa¸co de}V_{se, e somente se, as}

opera¸cões de soma e multiplica¸cão por escalar estão bem definidas, ou seja, se

(0) Se V,W∈W_{, ent˜ao V}₊_W_∈W_;

(25)

1.2 Subespa¸cos 15

Demonstraç ão. SeW_{é um subespaço, então obviamente as (0) e (0’) são satisfeitas.}

Suponha, agora, que as condiç ões (0) e (0’) são verificadas paraW_{. Como}W _{é um} subconjunto deV_{, então os Axiomas (1), (2), (5), (6), (7) e (8) da}_{Definição}_1.3_na

página5são satisfeitos para os elementos deW_{, pois são satisfeitos para todos os} elementos deV_.

Vamos mostrar que os Axiomas (3) e (4) são também satisfeitos, se (0) e (0’) são verifi-cados. Para qualquer elementoVdeW_{, pela}_{Proposição}_{1.2, 0}_V₌¯0 e₋_V _{= (−}₁₎_V_, ou seja, o vetor nulo ¯0 e o simétrico deVsão m últiplos escalares deV, que por (0’) pertence aW_.

Exemplo 1.7. SeV _{é um espaço vetorial, então}V_{é um subespaço dele mesmo. E o} subconjunto formado apenas pelo vetor nulo,W₌_{¯0_}_{, é claramente um subespaço} deV_{. Assim, todo espaço vetorial}V₆₌_{¯0_}_{possui pelo menos dois subespaços.}

Exemplo 1.8. O conjuntoR2_não_{é um subespaço de}R3_{, pois}R2_não _{é um} subcon-junto deR3_.

Exemplo 1.9. Os subconjuntos

A={(x,y)∈R2_|_x_≥_0,_y_≥₀_}_e_B₌_{₍_x_,_y₎_∈R2_|_xy_≥₀_} nãosão subespaços deR2_{. Pois, para o primeiro, enquanto}

V= (1, 1)∈ A,−V = (−1)V= (−1,−1)6∈A.

Enquanto para o segundo,

(26)

x y

z

(x,y,z)

y x

z

Figura 1.1:Ponto(x,y,z)∈R3

x y

z

(x,y,z)

O y

x z

Figura 1.2:Vetor(x,y,z)∈R3

x y

V

(−1)V

Figura 1.3:A={(x,y)∈R2_|_x_≥_0,_y_≥₀_}

x y

V

W V+W

(27)

1.2 Subespa¸cos 17

Exemplo 1.10. SejaV ₆₌ _{¯0_}_{um espaço vetorial. Seja}_V _{um vetor não nulo de}V_. Vamos mostrar que o conjunto dos m últiplos escalares deV,

W₌_{_α_V_|_α_{´e um escalar}_}_,

´e um subespac¸o deV_.

(0) SejamV1eV2elementos deW. Ent˜ao existem escalaresα1eα2tais queV1=α1V eV2=α2V. Logo

V1+V2=α1V+α2V= (α1+α2)V.

Assim,V1+V2´e um m ´ultiplo escalar deVe portanto pertence aW.

(0’) SejaW um elemento deW_e _β_{um escalar. Ent˜ao existe um escalar}_α_{tal que}

W=αV. Logo

βW =β(αV) = (βα)V.

Assim,βW´e um m ´ultiplo escalar deVe portanto pertence aW_.

Exemplo 1.11. SejaN= (a1, . . . ,an)um vetor deRnfixo. O conjunto definido por

W₌_{(_x₁_{, . . . ,}_x_n₎_∈Rn_|_a₁_x₁₊_{. . .}₊_a_n_x_n₌₀_}

´e um subespac¸o deRn_.

(0) SeX= (x1, . . . ,xn)eY= (y1, . . . ,yn)pertencem aW, ent˜ao

a1x1+. . .+anxn = 0 eay1+. . .+anyn = 0 e portanto

X+Y= (x1+y1, . . . ,xn+yn)

tamb´em pertence aW_{, pois}

(28)

x y

z

X1

X2

X1+X2

Figura 1.5: Soma de vetores da retaX=αV

x y

z

X

αX

Figura 1.6: Multiplicac¸˜ao de vetor por escalar da retaX=αV

x y

z

X1

X2

X1+X2

Figura 1.7: Soma de vetores do plano a1x+ a2y+a3z=0

x y

z

X

αX

(29)

1.2 Subespa¸cos 19

(0’) SeX= (x1, . . . ,xn)pertence aW, ent˜ao

αX= (αx1, . . . ,αxn)

tamb´em pertence aW_{, pois}

a1(αx1) +. . .+an(αxn) =α(a1x1+. . .+anxn) =α0=0 .

Por outro lado, suponha que o conjunto definido por

W₌_{₍_x_{1, . . . ,}_x_n₎_∈Rn _|_a₁_x₁₊_{. . .}₊_a_n_x_n ₌_c_}

seja um subespaço deRn_{, em que}_c_{é um n úmero real fixado.}

SeW _{é um subespaço e}_X _∈ W_{, então 0}_X ₌ ¯0 também pertence a W_{, ou seja, o} subespaço tem que conter a origem. Substituindo-se ¯0 = (0, . . . , 0)na equação que define o conjunto, obtemos quea10+. . .+an0=c, ou seja,c=0.

SeN= (a1, . . . ,an) 6= ¯0, ent˜aoW´e chamado umhiperplano deRn. Paran =3 os

hiperplanos s˜ao planos e paran=2 os hiperplanos s˜ao retas.

Exemplo 1.12. O conjunto das matrizes sim´etricasn×n:

W₁₌_{_A_{∈ M}_nn _|_At₌ _A_}

e o conjunto das matrizes anti-sim´etricasn×n:

W₂₌_{_A_{∈ M}_nn_| _At₌₋_A_}

são subespaços do espaçoMnndas matrizes n×n, pois a soma de matrizes

(30)

Exemplo 1.13. O conjunto Pn dos polin ˆomios de grau (o maior ´ındice j tal que

aj 6= 0) menor ou igual an juntamente com o polin ômio nulo é um subespaço

do espaço dos polin ômiosP. Pois, a soma de polin ômios de grau menor ou igual ané um polin ômio de grau menor ou igual ane a multiplicação de um polin ômio por escalar é um polin ômio de mesmo grau.

Exemplo 1.14. Seja R(∞) _{o conjunto das listas infinitas} ₍_x_1,_x_{2, . . . ,}_x_n_{, . . .}₎ _de n úmeros reais tais quexi6=0 apenas para um n úmero finito de ´ındicesi.R(∞)é um

subespaço deR∞_{, pois a soma de duas listas com um n úmero finito de componentes} não nulas é uma lista que também tem somente um n úmero finito de componentes não nulas. O mesmo ocorre com a multiplicação por escalar.

Exemplo 1.15. O conjunto

W₁₌_{_f _{∈ F}₍R_;R₎_| _f₍₋_x_{) =} _f₍_x₎_{para todo}_x_∈R_}

das func¸ ˜oes, f :R_→R_{, pares e o conjunto}

W₂₌_{_f _{∈ F}₍R_;R₎_| _f₍₋_x_{) =}₋_f₍_x₎_{para todo}_x _∈R_}

das funç ões, f :R _→R_{, ´ımpares são subespaços, pois a soma de funç ões (´ım)pares} e a multiplicação de uma função (´ım)par por um escalar são também funç ões (´ım)pares (verifique!).

(31)

1.2 Subespa¸cos 21

Exemplo 1.17. SejaCn₍_I₎_{, para}_n_{inteiro positivo, o conjunto das func¸ ˜oes reais que}

possuem a n-ésima derivada cont´ınua no intervalo I. Cn₍_I₎ _{é um subespaço de} Cm₍_I₎_{, para 0} _≤ _m _≤ _n_{. E} _C∞₍_I₎_{, o conjunto das funç ões que possuem todas as} derivadas, é um subespaço deCn₍_I₎_{, para todo}_n_{inteiro positivo.}

Exemplo 1.18. Dados os n ´umeros reaisx1 < x2 < . . . < xn. SejaS o subconjunto

deC2_[_x_1,_x

n]formado pelas funç ões que são polin ômios de grau menor ou igual a 3

em cada subintervalo[xk,xk+1], parak = 1, . . . ,n−1. Este conjunto ´e chamado de splines (c ´ubicos) em[x1,xn]com pontos de quebrax2, . . . ,xn−1.∗

Vamos mostrar que o conjuntoS ´e um subespac¸o deC2_[_x

1,xn]. Sejam f,g ∈ S eα

um escalar. Ent˜ao

f(x) =

   

  

a₀(1) + a₁(1)x + a₂(1)x2 + a(₃1)x3, sex1≤x <x2,

..

. ...

a₀(n−1) + a₁(n−1)x + a₂(n−1)x2 + a₃(n−1)x3, sexn−1≤x≤xn,

g(x) =

   

  

b₀(1) + b₁(1)x + b(₂1)x2 + b(₃1)x3, sex1≤x <x2,

..

. ...

b₀(n−1) + b₁(n−1)x + b₂(n−1)x2 + b₃(n−1)x3, sexn₋1≤x ≤xn,

Assim as funç ões f egsão combinação linear de 4(n−1) =4n−4 funç ões. Mas, os coeficientes não são independentes, poisf,g, f′,g′,f′′eg′′são cont´ınuas nos pontos

∗_{A motivação para estudar este conjunto}_S_{vem do fato de que a equação da curva que descreve uma barra elástica que vai de}_x₁_a_x_n sujeita a forças externas localizadas nos pontosx2, . . . ,xn−1satisfazy(iv)(x) =0 nos subintervalos(xi,xi+1)e lim

x→xi+

y′′′(x)₋ lim

x→xi− y′′′(x)

(32)

de quebrax2, . . . ,xn₋1.

(f+g)(x) =

   

  

c₀(1) + c₁(1)x + c(₂1)x2 + c(₃1)x3, sex1≤x<x2,

..

. ...

c₀(n−1) + c₁(n−1)x + c₂(n−1)x2 + c₃(n−1)x3, sexn−1≤x≤xn,

em quec(_ij)=a(_ij)+b_i(j), parai=0, 1, 2, 3 ej=1, . . . ,n−1.

(αf)(x) =

   

  

αa(₀1) + αa(₁1)x + αa(₂1)x2 ₊ _α_a(1)

3 x3, sex1≤x<x2, ..

. ...

αa(₀n−1) + αa(₁n−1)x + αa₂(n−1)x2 + αa(₃n−1)x3, sexn−1≤x≤xn,

são splines, poisf+g,αf,(f+g)′,(αf)′,(f+g)′′e(αf)′′também são cont´ınuas nos pontos de quebrax2, . . . ,xn−1.

Exemplo 1.19. Uma equa¸cão diferencial é uma equação envolvendo pelo menos uma das derivadas de uma funçãoy=y(t). Considere a equação diferencial

y′(t) =ay(t), (1.3)

paraa∈R_,_a₆₌_0.

Vamos determinar o conjunto solução da equação (1.3). Em primeiro lugar, supo-nhamos que a funçãoy :R _→R_{seja solução de (1.3). Vamos supor também que a} função não se anula em nenhum ponto. Assim sendo, comoy é cont´ınua ela terá o mesmo sinal para todos os valores det∈R_{. Assim (1.3) é equivalente a}

y′(t)

(33)

1.2 Subespa¸cos 23

Integrando-se membro a membro obtemos

ln|y(t)|=at+k, para uma constantek∈R_.

Portanto,

y(t) =±ekeat=αeat.

Vamos mostrar que toda solução é desta forma, ou seja, que não existem outras soluç ões além das já encontradas. Sejay(t)uma solução qualquer de (1.3). Defina

z(t) =e−aty(t).

Derivandoz(t)obtemos,

z′(t) = (e−at)′y(t) +e−aty′(t) =−ae−aty(t) +ae−aty(t) =0.

O que implica quez(t)´e uma constante, ou seja,z(t) =e−at_y₍_t_{) =}_α_{. O que implica}

quey(t) =αeat. Portanto o conjunto solução de (1.3) é o conjunto

W₌_{_α_eat_|_α_∈R_}_,

que é um subespaço deC∞(R₎_{, pois é o conjunto dos m últiplos escalares da função}

f(t) =eat(Exemplo1.10na p´agina17).

Exemplo 1.20. Considere a equac¸˜ao diferencial

any(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y′+a0y= f, (1.4)

onde a0, . . . ,an e f são funç ões det e y(k), denota ak-ésima derivada de y. Esta

(34)

equação élinear com coeficientes constantes. Quando f é a função identicamente nula, a equação é chamadalinear homogênea.

any(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y′+a0y=0, (1.5)

Vamos mostrar que o conjunto solução de uma equação diferencial linear ho-mogênea com coeficientes constantes,W_{, é um subespaço de}_C∞₍R₎_{. Em primeiro} lugar,W_{é não vazio, pois a função identicamente nula é uma solução de (1.5)}

(0) Sejamy1(t)ey2(t)duas soluc¸ ˜oes de (1.5). Vamos mostrar quey(t) = y1(t) +

y2(t)é também solução de (1.5).

an(y1+y2)(n)+an−1(y1+y2)(n−1)+. . .+a1(y1+y2)′+a0(y1+y2) = (any₁(n)+an−1y₁(n−1)+. . .+a1y′1+a0y1) + (any(2n)+an−1y2(n−1)+. . .+a1y′2+a0y2) =

0+0= 0

(0’) Sejamy(t)uma solução de (1.5) eαum escalar. Vamos mostrar quez(t) =αy(t) também é solução de (1.5).

an(αy)(n)+an−1(αy)(n−1)+. . .+a1(αy)′+a0(αy) =

α(any(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y′+a0y) = α0=0

1.2.1 Soma e Interse¸c˜ao de Subespa¸cos

(35)

1.2 Subespa¸cos 25

(a) W₁_∩W₂_{´e um subespa¸co.}

(b) W₁_∪W₂_{´e um subespa¸co se, e somente se,}W₁_⊆W₂_ouW₂_⊆W₁_.

Demonstrac¸ ˜ao.

(a) SejamV,W ∈W₁_∩W₂_e_α_{um escalar. Então,}_V_,_W _∈W₁_e_V_,_W _∈W_{2. O que} implica queV+WeαVpertencem aW₁_{e a}W₂_{, ou seja, pertencem a}W₁_∩W₂_. (b) Por contradição, suponha que existaV∈W₁_{, que não pertença a}W₂_e_W_∈W₂_, que não pertença aW₁_{. Como a união}W₁_∪W_{2, por hip ótese, é um subespaço,} entãoU = V+W pertence a uniãoW₁_∪W_{2, ou seja,} _U_{pertence a}W₁ _{ou a} W_{2. Se}_U_∈W₁_{, então}_W ₌_U₋_V_{pertenceria a}W₁_{, contradizendo a hip ótese} feita inicialmente. Agora, seU ∈ W_{2, então}_V ₌ _U₋_W _{pertenceria a} W_2, contradizendo a hip ótese feita inicialmente.

Exemplo 1.21. O conjunto solução de um sistema linear homogêneo com m

equaç ões eninc ógnitas,

    

   

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

..

. . . . ... = ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

ondeaij s˜ao constantes reais, parai = 1, . . . ,me j = 1, . . . ,n, pode ser visto como

(36)

Exemplo 1.22. Considere os sistemas lineares

(a)





1 −2 3 2 −4 6 3 −6 9

    x y z  =   0 0 0   (b)  

1 −2 3

−3 7 −8 −2 4 −6

    x y z  =   0 0 0   (c)  

1 −2 3

−3 7 −8

4 1 2

    x y z  =   0 0 0  

Todos são sistemas homogêneos, portanto os conjuntos solução são subespaços de R3_.

(a) A solução geral do primeiro sistema éx=2s−3t,y=sez=toux =2y−3z, que é um plano que passa pela origem, com vetor normal N = (1,−2, 3) (verifique!);

(b) A solução geral do segundo sistema éx =−5t,y =−tez=tque é a equação de uma reta que passa pela origem, com vetor diretorV = (−5,−1, 1).

(c) A solução do terceiro sistema éx = 0,y = 0 ez = 0, que é somente a origem {¯0}.

O conjunto solução de um sistema homogêneo também é chamado deespa¸co solu¸cãodo sistema homogêneo.

Defini¸cão 1.5. SejamW₁_eW₂_{dois subespaços de um espaço vetorial}V_.

(a) Definimos asoma dos subespa¸cos,W₁₊W_{2, como sendo o conjunto de todos os vetores de}V_{que s˜ao} soma de um elemento deW₁_{com um elemento de}W_{2, ou seja,}

W₁₊W₂ ₌ _{_V₁₊_V₂_|_V₁_∈W₁_e_V₂_∈W₂_}

(37)

1.2 Subespa¸cos 27

(b) Se o espac¸oV_{´e tal que}

V₌W₁₊W₂ _e W₁_∩W₂₌_{¯0_}_,

dizemos queV_´e_{soma direta}_deW₁_eW₂_{e denotamos por}V₌W₁_⊕W_2.

Exemplo 1.23. Vimos no Exemplo1.12 na p´agina19 que o conjunto das matrizes sim´etricasn×n:

W₁₌_{_A_{∈ M}_nn _|_At₌ _A_} e o conjunto das matrizes anti-sim´etricasn×n:

W₂₌_{_A_{∈ M}_nn_| _At₌₋_A_}

são subespaços deMnn. Vamos mostrar queMnn =W1⊕W2. SejaAuma matriz qualquern×n. Sejam A1 uma matriz simétrica eA2 uma matriz anti-simétrica a serem determinadas tais que

A=A1+A2. (1.6)

Tomando a transposta da equac¸˜ao (1.6) e usando o fato de queAt₁=A1eA2t =−A2 obtemos

At=A1−A2. (1.7)

Tomando-se a soma e a diferença das equaç ões (1.6) e (1.7) obtemos

2A1= A+At e 2A2=A−At,

ou seja, A1 = 1₂(A+At)e A2 = 1₂(A−At). Assim obtemos que a matrizApode ser escrita como a soma de uma matriz sim´etrica e uma anti-sim´etrica da seguinte forma:

A= 1

2(A+A

t_{) +} 1

2(A−A

(38)

Assim,Mnn=W1+W2. Além disso, se uma matrizAé ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica, entãoA = At = −At = −A. O que implica que A = ¯0. Ou seja, W₁_∩W₂₌_{¯0_}_.

Exemplo 1.24. Vimos noExemplo1.15na p´agina20que o conjunto

W₁₌_{_f _{∈ F}₍R_;R₎_| _f₍₋_x_{) =} _f₍_x₎_{para todo}_x_∈R_} das func¸ ˜oes, f :R_→R_{, pares e o conjunto}

W₂₌_{_f _{∈ F}₍R_;R₎_| _f₍₋_x_{) =}₋_f₍_x₎_{para todo}_x _∈R_}

das funç ões, f : R _→ R_{, ´ımpares são subespaços.} _{Vamos mostrar que} F(R_;R_{) =} W₁_⊕W₂_{. Seja}_f _:R_→R_{uma função qualquer. Sejam} _f₁_{uma função} par e f2uma função ´ımpar a serem determinadas tais que

f(x) = (f1+f2)(x) = f1(x) +f2(x). (1.8) Calculando-se f(−x) usando a equac¸˜ao (1.8) e o fato de que f1(−x) = f1(x) e

f2(−x) =−f2(x)obtemos

f(−x) = f1(x)−f2(x). (1.9) Tomando-se a soma e a diferença das equaç ões (1.8) e (1.9) obtemos que

2f1(x) = f(x) + f(−x) e 2f2(x) = f(x)−f(−x),

ou seja, f1(x) = 1₂(f(x) +f(−x))e f2(x) = 1₂(f(x)− f(−x)). Assim, toda func¸˜ao

f pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ´ımpar da seguinte forma:

f(x) =1

2(f(x) + f(−x)) + 1

2(f(x)−f(−x)).

Ou seja, F(R_;R_{) =} W₁₊W_{2. Agora, se} _f _∈ W₁_∩W_{2, ent˜ao para todo} _x _∈ R_,

(39)

1.2 Subespa¸cos 29

Proposi¸c˜ao 1.5. SejamW₁_eW₂_{subespa¸cos de um espa¸co vetorial}V_{. Ent˜ao:}

(a) W₁₊W₂_{´e um subespa¸co que cont´em}W₁_eW₂_.

(b) V₌W₁_⊕W₂_{se, e somente se, todo elemento V}_∈V_{se escreve, de modo ´unico, como soma V} ₌_V₁₊_V₂_{, onde}

V1∈W1e V2∈W2.

Demonstrac¸ ˜ao.

(a) ClaramenteW₁_eW₁_{estão contidos em}W₁₊W_{2. Vamos mostrar que}W₁₊W₂ é um subespaço.

(0) SejamV = V1+V2 eW = W1+W2, ondeV1,W1 ∈ W1eV2,W2 ∈ W2. Ent˜ao,

V+W= (V1+V2) + (W1+W2) =

∈W₁

z }| {

(V1+W1) +

∈W₂

z }| {

(V2+W2).

(0’) SejamV=V1+V2, ondeV1∈W1eV2∈W2eαum escalar.

αV=α(V1+V2) =

∈W₁

z}|{

αV1 +

∈W₂

z}|{

αV2 .

Assim, peloTeorema1.3na página14,W₁₊W₂_{é um subespaço.}

(b) Suponhamos, em primeiro lugar, queV₌W₁_⊕W_{2. Ent˜ao,}W₁ _∩ W₂ ₌ _{¯0_}_. SejamV1,W1∈W1eV2,W2∈W2tais que

(40)

Somando-se−W1−V2, obtemos

∈W₁

z }| {

V1−W1=

∈W₂

z }| {

W2−V2.

O que implica queV1−W1 = W2−V2 ∈ W1∩W2 = {¯0}. Logo,V1 = W1e

V2=W2.

Por outro lado, suponhamos que todo elemento deV ∈V_{se escreve, de modo} ´unico, como somaV=V1+V2, ondeV1∈W1eV2∈ W2. SejaV ∈W1∩W2. Vamos mostrar queV=¯0. Mas,

V= V∈W1+ ∈

W₂

¯0 = ∈

W₁

¯0 + V∈W2.

Ou seja, seV6= ¯0, ter´ıamos duas formas de escreverVcomo uma soma de um elemento deW₁_{e um de}W_{2. Logo,}_V₌ ¯0 eW₁_∩W₂ ₌ _{¯0_}_{. Portanto, como} claramenteW₌W₁₊W_{2, temos que}W₌W₁_⊕W_2.

Na verdadeW₁₊W₂_{é o menor subespaço que contém}W₁_eW₂_{no sentido de que} qualquer subespaço que contenha W₁ _e W₂ _{tem que conter} W₁₊W_{2. Deixamos} para o leitor como exerc´ıcio a verificação deste fato.

Exemplo 1.25. SejamW₁_{o conjunto dos polin ômios da forma} _p₁₍_t_{) =}_a₊_at₊_at2_, paraa∈ R_eW₂_{o conjunto dos polin ômios da forma}_p₂₍_t_{) =}_b₊_ct_{, para}_b_,_c _∈ R_. Vamos mostrar queP2=W1⊕W2. Sejap(t) =α+βt+γt2um polin ômio qualquer deP2. Vamos determinar p1∈W1ep2∈W2tais que

(41)

1.2 Subespa¸cos 31

Agrupando os termos de mesmo grau obtemos

α+βt+γt2= (a+b) + (a+c)t+ (a)t2,

que ´e equivalente ao sistema

 



a + b = α

a + c = β

a = γ

que tem solução únicaa= γ,b =α−γec= β−γ. Como todo elemento deP2se escreve de maneira única como a soma de um elemento deW₁_{e um de}W_{2, então} pelaProposição1.5,P2=W1⊕W2.

1.2.2 Conjunto de Geradores

Defini¸cão 1.6. SejaX um subconjunto não vazio de um espaço vetorialV_.

(a) O conjunto [X] de todas ascombina¸c ˜oes lineares(somas de m ´ultiplos escalares) de vetores deX, ou seja,

[X] = {α1V1+. . .+αkVk |αis˜ao escalares eVi∈ X, i=1, . . . ,k}

= {V∈V_|_V₌_α₁_V₁₊_{. . .}₊_α_k_V_k_com_α_i_{escalares e}_V_i_{∈ X}_, _i₌_{1, . . . ,}_k_}

(42)

(b) Quando [X] = V_{, dizemos que}_X _{é um} _{conjunto de geradores de}V_{. Assim,} _X _{é um conjunto de} geradores de um espaço vetorialV_{, se todo vetor}_V_deV_{pode ser escrito como combinação linear}

V=α1V1+. . .+αkVk

de vetoresV1, . . . ,Vkpertencentes aX.

(c) Se o conjunto de geradoresX de um espaço vetorialV_{tem um n úmero finito de elementos dizemos que} o espaço vetorial éfinitamente gerado.

Observa¸c˜ao. A maior parte dos resultados que apresentaremos aqui refere-se a espac¸os vetoriais finitamente gerados.

Exemplo 1.26. Vamos verificar que os vetores V1 = (1, 1, 0), V2 = (0, 1, 1),

V3 = (1, 0, 1)eV4= (1, 2, 1)geram oR3. A equac¸˜ao vetorial

x1(1, 1, 0) +x2(0, 1, 1) +x3(1, 0, 1) +x4(1, 2, 1) = (a,b,c) (1.10)

ou

(43)

1.2 Subespa¸cos 33

é equivalente ao sistema de equaç ões lineares

  

x1 + x3 + x4 = a

x1 + x2 + 2x4 = b

x2 + x3 + x4 = c

, (1.11)

Escalonando a matriz aumentada deste sistema





1 0 1 1 a

1 1 0 2 b

0 1 1 1 c



 obtemos a matriz 



1 0 0 1 a+₂b−c 0 1 0 1 b+₂c−a 0 0 1 0 a+₂c−b



.

Assim, o sistema (1.11) e a equação vetorial (1.10) possuem solução

(x4=α,x3= a+c−b 2 ,x2 =

b+c−a

2 −α,x1=

a+b−c

2 −α, para todoα∈R). Portanto,V1,V2,V3eV4geram oR3.

Exemplo 1.27. Os vetores

E1 = (1, 0, . . . , 0),E2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,En = (0, . . . , 0, 1) geram o Rn. Vamos

encontrar um conjunto de geradores para oRn_{. Um vetor qualquer do}Rn _{´e da forma}

V= (a1, . . . ,an)e pode ser escrito como uma soma de vetores, sendo um vetor para

cada parâmetro e cada vetor depende apenas de um parâmetro, obtendo A equação

x1E1+. . .+xnEn=V

ou

x1(1, 0, . . . , 0) +. . .+xn(0, . . . , 0, 1) = (a1, . . . ,an)

ou ainda

(x1, . . . ,xn) = (a1, . . . ,an)

tem soluc¸˜aox1=a1, . . . ,xn =an. Em particular os vetores~i= (1, 0, 0),~j= (0, 1, 0)e

(44)

Exemplo 1.28. Parai=1, . . . ,mej= 1, . . . ,nsejaEija matrizm×ncujo elemento

na posiçãoij é igual a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Vamos mostrar que as matrizesEijgeram o espaço das matrizesm×n. Seja A = (aij)uma matriz

qualquerm×n. A equac¸˜ao

x11E11+. . .+x1nE1n+. . .+xm1Em1+. . .+xmnEmn = A.

tem soluçãoxij =aij. Assim toda matrizm×né combinação linear das matrizesEij,

que portanto geramMmn. Em particular as matrizes

E11 =

1 0 0 0

,E12 =

0 1 0 0

,E21 =

0 0 1 0

eE22=

0 0 0 1