As dobraduras e o ensino de matemática: construindo sólidos geométricos
Folding and teaching mathematics: building geometric solids
DOI:10.34117/bjdv6n8-249
Recebimento dos originais: 14/07/2020 Aceitação para publicação: 17/08/2020
Emilly da Silva Nunes
Graduada em Licenciatura em Matemática
Instituição: Universidade Estadual do Paraná, Unespar – Campus de Campo Mourão e-mail: emillysn11@hotmail.com
Talita Secorun dos Santos
Doutora em Educação Matemática
Instituição: Universidade Federal de São Carlos, Unespar – Campus de Campo Mourão Fundação Araucária
e-mail: tsecorun@hotmail.com
Luciano Ferreira
Doutor em ensino de Ciência e Matemática
Instituição: Universidade Federal de São Carlos, Unespar – Campus de Campo Mourão Fundação Araucária
e-mail: lulindao66@hotmail.com
RESUMO
O objetivo desse trabalho foi analisar a relação das dobraduras na construção de sólidos geométricos com o ensino de geometria. A pesquisa pretendeu colaborar na aprendizagem e ensino de geometria por meio de materiais manipuláveis, visando romper com a ideia de ensino de geometria que utiliza listas de exercícios e fórmulas, buscando estimular a criatividade, o diálogo e o raciocínio dos alunos. A pesquisa foi dividida em quatro etapas. Na primeira, foi realizado um levantamento dos trabalhos na área de Educação Matemática que tratam do ensino de geometria e dobraduras. Em seguida, fizemos um estudo axiomático dos termos poliedros, poliedros regulares e poliedros de Platão, acerca da geometria espacial. Na terceira etapa, fotografamos todo o processo das dobraduras para construir os poliedros de Platão. Na última etapa, discutimos como a construção desses poliedros pode contribuir para o aprendizado de alguns conceitos de geometria, como ângulos, simetria e medidas, e também de estimular a criatividade e o diálogo. Desse modo, percebemos que usar esses materiais manipuláveis é uma maneira lúdica, investigativa e artística de ensinar geometria que pode contribuir para o processo de aprendizagem dos alunos.
Palavras-chave: Poliedros de Platão. Dobraduras. Educação Matemática. ABSTRACT
The objective of this work was to analyze the relationship between folding in the construction of geometric solids and the teaching of geometry. The research intended to collaborate in the learning and teaching of geometry through manipulable materials, aiming to break with the idea of teaching geometry that uses lists of exercises and formulas, seeking to stimulate creativity, dialogue and reasoning of students. The research was divided into four stages. In the first, a survey of the works
in the area of Mathematics Education that deals with the teaching of geometry and folding was carried out. Then, we made an axiomatic study of Plato's polyhedra, regular polyhedra and polyhedra, about spatial geometry. In the third stage, we photographed the entire folding process to build Plato's polyhedra. In the last step, we discussed how the construction of these polyhedra can contribute to the learning of some concepts of geometry, such as angles, symmetry and measures, and also to stimulate creativity and dialogue. Thus, we realize that using these manipulable materials is a playful, investigative and artistic way of teaching geometry that can contribute to the students' learning process.
Keywords: Plato's polyhedra. Folds. Mathematical Education. 1 INTRODUÇÃO
Neste artigo, iremos apresentar os resultados de uma pesquisa que teve por objetivo analisar a relação das dobraduras na construção de sólidos geométricos que podem ser utilizadas nas aulas de geometria. O trabalho pretendeu colaborar na aprendizagem e ensino de geometria por meio de materiais manipuláveis, visando romper com a ideia de ensino que utiliza listas de exercícios e fórmulas, procurando estimular a criatividade, o diálogo e o raciocínio dos alunos.
A pesquisa foi dividida em quatro etapas. Na primeira realizamos um levantamento de trabalhos na área da Educação Matemática que envolvem o ensino de geometria por meio de dobraduras. Nessa etapa fizemos buscas em revistas de Educação Matemática, usando para as buscas as palavras: dobraduras, origami, origami modular, poliedros, poliedros regulares, poliedros de Platão. Nessa etapa compreendemos que o uso de dobraduras pode estimular o raciocínio e possibilitar a compreensão dos conceitos matemáticos, de uma maneira lúdica, artística e investigativa.
Na segunda parte, realizamos um estudo axiomático dos termos poliedros, poliedros regulares e poliedros de Platão. Foi necessário compreender o conceito de cada um desses termos e entender a diferença entre ambos.
Com esse estudo acerca da geometria espacial, esclarecemos esses termos para conseguirmos realizar a terceira etapa, na qual, pesquisamos sobre a arte de dobrar papéis, Origami, e escolhemos dentre suas características o Origami modular, para construir os poliedros de Platão. Nessa etapa fotografamos e construímos uma apostila com todo o processo de construção dos poliedros de Platão por meio dos origamis.
Na última etapa, argumentamos sobre como o processo das dobraduras para a construção dos módulos dos poliedros podem ser exploradas para o ensino de geometria. Destacamos alguns conceitos, como simetria, ângulos e medidas.
2 ORIGAMI E SUA RELAÇÃO COM GEOMETRIA
Inicialmente devemos pensar, o que é origami? Segundo Souza (2012, p. 12) as dobraduras são descritas como a arte de dobrar papéis que, nada mais é que o significado da palavra Origami. A palavra, de origem japonesa, surgiu em 1880 e é formada por “ori” que significa dobrar, e “kami”, que significa papel.
Conforme Aschenbach (2006, p. 24) a arte de dobrar papéis é milenar:
Alguns historiadores acreditam que ele é decorrente da antiguíssima arte de dobrar tecido, pouco conhecida no mundo ocidental. É certo que essa arte teve sua origem na China a partir do manuseio do papel. Mas, ao que se sabe sua prática não se tornou muito popular nesse país. Deve-se ao Japão a primazia de ter codificado, aprimorado e divulgado a prática do Origami, como ele é conhecido hoje no mundo todo (ASCHENBACH, 2006, p. 24).
Os chineses faziam o origami para enfeitar suas casas e os altares de suas celebrações, porém foram os japoneses que passaram a desenvolver técnicas e dobras mais complexas transmitidas de pais para filhos.
De acordo com Souza (2012, p. 13), somente no ano de 1797, com a publicação de Senbazuru Orikata (Como Dobrar Mil Garças), as instruções para fazer os origamis foram conhecidas por mais pessoas, até que em 1876 passou a fazer parte do currículo escolar no Japão.
Segundo Silva (2016, p. 16), o origami foi trazido ao Brasil por meio dos colonizadores portugueses e conforme os séculos passavam mais livros ensinando a fazer dobraduras foram escritos. Com isso essa arte se espalhou pelo mundo com diferentes nomeações:
O crescimento do Origami no Ocidente teve início na década de 1950. Em sua viagem pelo mundo o Origami recebeu diversos nomes. No Brasil é mais conhecido como “dobradura”; nos países de língua inglesa recebe também o nome de “paperfolding”; em espanhol esta arte é conhecida como “papiroflexia”; em alemão como “faltenpapier” e, em francês, “pliage” (RÊGO, RÊGO e GAUDÊNCIO, 2004, p. 25).
Hoje o Origami é conhecido mundialmente, as formas criadas são várias, desde os animais que possuem um significado especial na cultura do Japão, até na criação de figuras geométricas para desenvolvimento e aprendizado de Geometria.
Conforme Santos; Silva; Santos (2013 p. 4), tanto a linguagem matemática quanto a linguagem do Origami são universais. Além disso o Origami pode ser classificados em três tipos: Origami simples, as dobraduras são feitas em somente um papel. Origami composto, formado por vários origamis simples e o Origami Modular é um origami composto com os módulos com a mesma forma geométrica.
As dobraduras podem ser utilizadas de maneira lúdica ou matemática. O modo lúdico está relacionado com a criação de formas como animais, barquinhos, aviões entre outros. Trabalhando no contexto matemático é possível explorar os conceitos de geometria tais como, retas paralelas e perpendiculares, ângulos, simetria. Cada passo da dobradura faz com que o aluno aos poucos perceba esses conceitos.
O Origami pode representar para o processo ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo de objetos e forma s que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte, tem-se a oportunidade de representar e discutir uma grande variedade de conteúdos matemáticos, relacionando-os a outros campos de conhecimento (RÊGO, RÊGO e GAUDÊNCIO, 2004, p. 18).
Por meio do origami é possível explorar diversos conceitos geométricos, pois em cada dobra para elaborar determinado objeto será possível mostrar, explicar definições e fazer com que o aluno participe junto dessa construção, além de estimular o raciocínio. Segundo Genova (2009, p. 15), alguns desses conceitos são: ângulos, congruência, frações, medida, simetria, proporção e relação. Além disso é possível desenvolver no aluno concentração, coordenação, memória e socialização.
Segundo SILVA, (2016, p. 17) para confeccionar as dobraduras primeiro é preciso pensar no papel, na maioria das vezes sua forma inicial é um quadrado, além disso o papel deve ter uma textura que seja possível realizar várias dobras sem rasgá-lo.
Podem ser feitas com somente um papel, ou usando módulos que encaixados formam a figura.
Para fazer as dobraduras há uma sequência de passos que devem ser explicados pelo professor, de maneira simples para que todos consigam compreender.
Corroboramos com RÊGO; RÊGO; GAUDÊNCIO (2003, p. 26), segundo os quais:
a) verificar se o formato de papel está adequado ao solicitado pela atividade;
b) efetuar os vincos com firmeza e precisão para criar os eixos de simetria corretamente; c) realizar tentativas antes de executar a versão final do origami para auxiliar na compreensão dos passos;
d) escolher um papel com espessura e textura adequadas para a realização faz dobraduras; e) determinar as dimensões iniciais do papel para facilitar a execução das dobras pelos alunos (RÊGO, RÊGO e GAUDÊNCIO, 2003, p. 26).
Para o professor ensinar seus alunos a desenvolver o origami é preciso considerar alguns pontos antes colocar em prática:
1- As construções realizadas pelos alunos devem ser acompanhadas, passo-a-passo, por um instrutor, que pode ser o próprio professor ou algum aluno-monitor que possua maior facilidade e treinamento prévio;
2- O instrutor deve utilizar um papel com dimensão maior do que os alunos para que todos visualizem os detalhes dos procedimentos;
3- A escolha da dobradura deve obedecer a uma graduação de dificuldade progressiva, pois mesmo as dobraduras mais simples podem conter diversos conceitos matemáticos a serem explorados;
4- Durante a confecção do Origami, o instrutor deve sempre utilizar a linguagem matemática adequada para favorecer a compreensão correta dos conceitos geométricos por parte dos alunos;
5- A organização da sala é importante e deve valorizar o trabalho em grupo para que os alunos comparem os trabalhos executados e elaborem diagramas detalhados sobre suas próprias construções;
6- Devem-se respeitar os diferentes níveis de aprendizagem durante a execução das dobraduras, sendo freqüente que determinados alunos necessitem de maior prática para realizar os origamis do modo desejado;
7- Sempre ter em mente os objetivos pretendidos com a execução do origami: quais conteúdos matemáticos serão abrangidos, que tipo de estrutura será utilizado (diagramas, orientações dirigidas, etc.), como a sala será organizada, etc (RÊGO; RÊGO; GAUDÊNCIO, 2003, p. 33).
Dessa maneira, percebemos que relacionar Geometria e Origami pode trazer importantes contribuições para o aprendizado dos alunos, uma vez que o processo de construção dos sólidos platônicos por meio de dobraduras é dinâmico, o que pode vir a facilitar a visualização dos alunos e possibilitar a exploração de vários outros conceitos de geometria plana e espacial.
2.1 POLIEDROS DE PLATÃO E ORIGAMI MODULAR
Com o estudo axiomático desenvolvido acerca da geometria espacial, esclarecemos os termos poliedros, poliedros regulares e por fim, poliedros de Platão.
De acordo com GERÔNIMO; FRANCO, (2010, p. 254), para entendermos o que são os poliedros é preciso iniciar com a definição de figura poliédrica e superfície poliédrica.
Uma figura poliédrica é a reunião de um número finito de polígonos planos tais que: a) A interseção de dois polígonos quaisquer ou é vazia, ou é um vértice ou é um dos lados dos polígonos;
b) Dois polígonos contendo um lado em comum não são coplanares; (GERÔNIMO, FRANCO, 2010, p. 254).
Já a definição de superfície poliédrica.
Uma superfície poliédrica é uma figura poliédrica reunida com as regiões poligonais (não necessariamente todas) determinadas pelos polígonos, denominadas faces da superfície poliédrica, com as seguintes condições adicionais:
c) Cada aresta pertence a no máximo duas faces.
d) Existindo arestas que pertençam a uma só face elas devem formar uma única poligonal fechada denominada contorno.
Quando a superfície não tiver contorno é dita fechada, caso contrário ela será dita aberta (GERÔNIMO, FRANCO, 2010, p. 255).
De acordo com França (2017), os poliedros são figuras geométricas formadas por polígonos que possuem três dimensões, ou seja, cada face do poliedro é um polígono.
Conforme Silva (2017), existem três elementos básicos que formam os poliedros: arestas, faces e vértices. As arestas são segmentos de reta em que as faces se encontram, e pertencem somente a duas faces diferentes. As faces: no poliedro cada face é um polígono e podemos dizer que duas faces estão no mesmo espaço e em planos distintos. Já os vértices são os pontos nos quais as arestas se encontram.
Segundo Gerônimo; Franco (2010, p. 256), os poliedros podem ser chamados de convexos quando a superfície deste é convexa. Para esses poliedros é válida a relação de Euler que é descrita como:
V – A + F = 2
Sendo A o número de arestas, F o número de faces e V o número de vértices. Os poliedros que satisfazem essa relação são denominados poliedros Eulerianos.
De acordo com Albino (2011, p. 30), o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), realizou essa descoberta, sendo que todo poliedro convexo satisfaz essa relação, porém não podemos afirmar que todo poliedro que satisfaz a relação de Euler é convexo.
Após essas informações podemos estabelecer as três condições para um poliedro ser denominado poliedro de Platão, de acordo com Gerônimo; Franco (2010, p. 262) são elas:
a) Todas as suas faces possuem o mesmo número n de arestas; b) Todos os seus vértices possuem o mesmo número m de arestas;
c) Satisfaz à relação de Euler (é euleriano) (GERÔNIMO, FRANCO, 2010, p. 262).
Os poliedros de Platão existentes são cinco: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Segundo Santos; Silva; Santos (2013 p. 4), para a construção dos poliedros utilizamos o Origami Modular. Como já explicado anteriormente, essa forma de origami é composta por módulos com a mesma forma geométrica e quando encaixados formam a figura desejada.
Os poliedros: tetraedro, octaedro e icosaedro foram construídos com os módulos triangulares, visto que suas faces são triângulos equiláteros. Para o tetraedro foram utilizados dois módulos, para o octaedro, quatro módulos e para o icosaedro, dez módulos.
Figura 1: Módulo Triangular
Fonte: Os autores
O hexaedro foi construído a partir do modulo sonobê, que de acordo com Fusè (1990, p. 80), o mesmo é feito por meio de um papel no formato de um quadrado, em que é possível obter após as dobraduras um quadrado com duas pontas triangulares, sendo esses triângulos que encaixados formam o hexaedro.
Figura 2: Módulo de Sonobê
Fonte: Os autores
O dodecaedro é construído com um módulo que possui a forma de um pentágono, com duas pontas triangulares que são usadas para o encaixe dos módulos.
Figura 3: Módulo do dodecaedro
Fonte: Os autores
Figura 4: Módulos triangulares do tetraedro
Fonte: Os autores
Figura 5: Tetraedro
Figura 6: Módulos de Sonobê
Fonte: Os autores
Figura 7: Hexaedro
Fonte: Os autores
Figura 8: Módulos do dodecaedro
Figura 9: Dodecaedro
Fonte: Os autores
2.2 CONSTRUÇÃO DO MÓDULO TRIANGULAR
Iremos apresentar a seguir o passo a passo para a construção do módulo triangular e, por fim, o resultado do encaixe dos módulos formando o tetraedro.
Figura 10: Tetraedro de dois módulos
Fonte: Os autores
Para construir o tetraedro utilizamos duas folhas retangulares com medidas de 14 centímetros de comprimento e 8 centímetros de largura. Para construção dos módulos realizamos as mesmas dobraduras com as duas folhas mudando somente o passo 14. Realizamos a confecção de todos os módulos dos cinco poliedros, porém escolhemos apresentar o passo a passo do modulo triangular que também é utilizado no octaedro e icosaedro.
Figura 11: Primeira etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
1. Dobrar a folha retangular ao meio de modo que a dobra fique bem aparente ao abrir o papel.
Figura 12: Segunda etapa da confecção do módulo triangular
2. Abrir a folha.
Fonte: Os autores
Figura 13: Terceira etapa da confecção do módulo triangular
3. Com a parte da dobra para cima fazer com que as duas pontas se encontrem na marca do centro.
Figura 14: Quarta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
4. Abrir o papel novamente de modo que possua quatro divisões iguais.
Figura 15: Quinta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
5. Dobrar a ponta superior direita de maneira que o vértice do triângulo que será formado coincida com a reta que determina ¼ do retângulo.
Figura 16: Sexta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
6. Repetir o processo do passo anterior com a ponta superior esquerda do papel.
Figura 17: Sétima etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
7. Ao abrir o papel será possível visualizar um triângulo feito através das dobraduras do passo anterior.
Figura 18: Oitava etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
8. Virar o papel fazendo com que o vértice do triângulo fique para baixo.
Figura 19: Nona etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
9. Dobrar novamente a ponta superior direita de maneira que o vértice do triângulo que será formado coincida com a reta que determina ¼ do retângulo.
Figura 20: Décima etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
10. Repetir o processo do passo anterior com a ponta superior esquerda do papel.
Figura 21: Décima primeira etapa da confecção do módulo triangular
11. Abrir o papel.
Figura 22: Décima segunda etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
12. Dobrar o canto superior esquerdo formando um pequeno triângulo.
Figura 23: Décima terceira etapa da confecção do módulo triangular
13. Dobrar o canto inferior direito formando um pequeno triângulo.
Figura 24: Décima quarta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
14. Dobrar o outro retângulo seguindo os passos anteriores e nesse passo, dobrar o canto superior direito e o canto inferior esquerdo, do segundo retângulo.
Figura 25: Décima quinta etapa da confecção do módulo triangular
15. Utilizando o primeiro retângulo, dobrar a ponta inferior direita até a reta que determina um dos lados do triângulo.
Figura 26: Décima sexta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
16. Dobrar a ponta superior esquerda até a reta que determina um lado do outro triângulo.
Figura 27: Décima sétima etapa da confecção do módulo triangular
17. Dobrar a ponta superior esquerda até a reta que determina um lado do triângulo.
Figura 28: Décima oitava etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
18. Dobrar a ponta inferior direita até a reta que define um dos lados do outro triângulo.
Figura 29: Décima nona etapa da confecção do módulo triangular
19. Virar o verso do papel para cima.
Figura 30: Vigésima etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
20. Dobrar as pontas para dentro e visualizar um paralelogramo.
Figura 31: Vigésima primeira etapa da confecção do módulo triangular
21. Dobrar a ponta superior direita até a base do paralelogramo.
Figura 32: Vigésima segunda etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
22. Dobrar a ponta inferior esquerda até a parte de cima do paralelogramo, sendo possível visualizar um losango.
Figura 33: Vigésima terceira etapa da confecção do módulo triangular
23. Abrir o papel, de modo que seja possível perceber nas dobraduras quatro triângulos.
Figura 34: Vigésima quarta etapa da confecção do módulo triangular
Fonte: Os autores
24. Repetir esse processo com o segundo triângulo a partir do passo 15 e assim obter os dois módulos triangulares.
Figura 35: Dois módulos triangulares para construção do tetraedro
25. Encaixar uma das pontas do módulo vermelho nos módulos amarelos até fechá-lo formado o tetraedro.
Figura 36: Tetraedro confeccionado por meio de dois módulos triangulares
Fonte: Os autores
Após a montagem, além dos conceitos para dobrar o módulo, podemos explorar a análise do poliedro de determinadas perspectivas, como por exemplo, mostrar ao aluno uma das faces e perguntar a ele o que vê, rotacionar o objeto mostrando uma de suas arestas ou um de seus vértices e fazer a mesma pergunta.
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com esses estudos, discutimos uma das possíveis maneiras de se ensinar geometria dessa maneira lúdica, artística, desafiadora ou investigativa. O processo de construção dos sólidos platônicos por meio de dobraduras é dinâmico, pois não será somente a construção de um sólido, o que pode vir a facilitar a visualização dos alunos e também pode possibilitar a exploração de vários outros conceitos de geometria plana e espacial.
A construção dos poliedros através de dobraduras possibilitará o diálogo entre alunos e professores. Desse modo, com a ajuda do professor o aluno participará de todas as etapas de construção dos sólidos geométricos, o que irá desenvolver sua criatividade e irá causar curiosidade estimulando o aluno a buscar o conhecimento.
Assim como o uso das dobraduras, devemos dar atenção as novas metodologias de ensino que buscam diferentes maneiras de ensinar matemática, visando sempre contribuir como aprendizado do aluno estimulando o raciocínio lógico e a criatividade.
REFERÊNCIAS
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ASCHENBACH, Maria Helena Costa V. et al. A arte – magia das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1992.
FRANÇA, Michele Viana Debus. Poliedro. Disponível em:
<https://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm >. Acesso em: 05 de julho de 2017, 15h51min.
FUSÈ, Tomoko. Unit origami. Tokyo, New York: Japan Publica-tions, 1990.
GENOVA, Carlos. Origami – Dobras, Contas e Encantos. São Paulo: Escrituras Editora, 2009.
GERÔNIMO, João Roberto, FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial: Um Estudo
Axiomático. Maringá – PR: EDUEM, 2006.
RÊGO, R. G. do; RÊGO, R. M.; GAUNDECIO JÚNIOR, S. A Geometria do Origami –
Atividades do ensino através de dobraduras. João Pessoa: Editora Universitária da UFPB, 2004.
SANTOS, Anayara Gomes dos, SILVA, Marília Rocha de Oliveira, SANTOS, Vívia Dayana Gomes dos. A utilização do Origami como material didático para o ensino de Geometria
Espacial no Ensino Fundamental. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 2013, Curitiba
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SILVA, Luiz Paulo Moreira. Elementos de um poliedro. Disponível em:
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/elementos-um-poliedro.htm>. Acesso em: 06 de julho de 2017, 14h57min.
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Estadual da Paraíba – Campus de Campina Grande, Campina Grande, 2016.
SOUZA, Ana Kely de Albuquerque Sousa e. A arte do origami no ensino e aprendizagem da
matemática: Construções de poliedros. f. (41) Monografia (Departamento de Matemática Curso
