LEI DA GRAVITAÇÃO
UNIVERSAL
1- As leis de Kepler
2- A Lei da Gravitação de Newton 3- Energia Potencial Gravitacional
As Leis de Kepler
• 1ª lei – As órbitas dos planetas são
elípticas com o Sol ocupando um dos focos.
• 2ª lei – O raio vetor que une o Sol a
qualquer planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
• 3ª lei – O quadrado do período de
revolução de um planeta é
As Leis de Kepler
• A elipse é o lugar geométrico do
As Leis de Kepler
• A distância da Terra no periélio
(menor distância para o Sol) é de .
• A distância no afélio (maior
distância) é de .
As Leis de Kepler
• O comprimento do semi-eixo maior
da órbita terrestre representa a
distância média da Terra para o Sol e vale .
• Essa distância define a Unidade
Astronômica (UA):
As Leis de Kepler
• A 2ª Lei de Kepler também é
As Leis de Kepler
• A 3ª Lei de Kepler relaciona o período
orbital com a distância média para o Sol, ou seja, o semi-eixo maior.
A Lei de Gravitação
Universal
• Newton demonstrou que uma órbita
elíptica era consequência de uma
força que variava com o quadrado da distância: .
• Depois, ele generalizou para a
interação entre dois corpos quaisquer.
• Newton descobriu que o módulo da
força gravitacional é dada por
A Lei de Gravitação
Universal
onde (constante da gravitação universal).
• A força é uma grandeza vetorial,
assim em notação vetorial, temos
A Lei de Gravitação
Universal
• Pela 3ª Lei de Newton, a força que o
corpo 2 exerce sobre o corpo 1 tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto
A Lei de Gravitação
Universal
• Newton testou a validade da lei de
gravitação utilizando o movimento orbital da Lua.
– A aceleração centrípeta da Lua pode ser
calculada pela expressão
– Onde é o raio orbital da Lua.
– Considerando que a Lua descreve um
movimento circular uniforme, então a velocidade orbital pode ser obtida pela expressão
A Lei de Gravitação
Universal
• Newton testou a validade da lei de
gravitação utilizando o movimento orbital da Lua.
– O período orbital da Lua é igual ao seu período
sideral, ou seja, . Assim,
– Pela 2ª Lei de Newton, a aceleração de um
corpo é obtida por
A Lei de Gravitação
Universal
• Na superfície da Terra, e ,
• A uma distância igual a distância da
Lua, ,
A Lei de Gravitação
Universal
• Dedução das Leis de Kepler
– Newton mostrou que quando um corpo está
sujeito a ação de uma força que varia com , a trajetória do corpo é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole (seções cônicas).
– As órbitas parabólicas e hiperbólicas são órbitas
abertas. As elípticas são órbitas fechadas.
– Portanto, a 1ª Lei de Kepler é uma
consequência direta da Lei de Gravitação de Newton.
A Lei de Gravitação
Universal
• Dedução das Leis de Kepler
– A 2ª Lei de Kepler pode ser demonstrada da seguinte maneira: durante um intervalo de tempo , o planeta se desloca .
– A área varrida pelo raio vetor no intervalo é dado por
– Onde é o momento angular do planeta em relação ao Sol
A Lei de Gravitação
Universal
• Dedução das Leis de Kepler
– Como e são paralelos, o torque sobre o planeta é nulo, pois . Assim, o momento angular se
conserva, pois
– Como é constante, então
– Portanto, a 2ª Lei de Kepler é uma consequência do fato da força gravitacional ser uma força
A Lei de Gravitação
Universal
• Dedução das Leis de Kepler
– A 3ª Lei de Kepler pode ser deduzida
aproximando as órbitas planetárias para órbitas circulares
A Lei de Gravitação
Universal
• Equivalência entre massa gravitacional e massa inercial
– A massa de um corpo é responsável tanto pela força gravitacional quanto pela
resistência a aceleração.
– A consequência disso é que a aceleração de queda dos corpos não depende da massa.
– Se a massa responsável pela força fosse
diferente da massa responsável pela inércia, teríamos
Energia Potencial
Gravitacional
• A energia potencial é definida como
• Nas proximidades da superfície da Terra,
um corpo está sujeito a ação de uma força gravitacional,
• Integrando,
• Onde é uma constante de integração.
Energia Potencial
Gravitacional
• Como só tem importância as variações de
energia potencial, o valor de é arbitrário. Em alguns casos, na superfície da Terra.
• Em outros casos, quando . Assim,
• Nesse caso, a energia potencial é
máxima quando , para , e ela é mínima quando , ou seja,
Energia Potencial
Gravitacional
• Velocidade de escape
– Quando lançamos um objeto da superfície da Terra sua energia cinética se converte em energia potencial
gravitacional a medida que se afasta.
– Como a energia potencial gravitacional varia de até , sua variação total é
– Se a energia cinética inicial do objeto for maior do que , então a uma distância muito grande , o objeto ainda terá energia cinética.
Energia Potencial
Gravitacional
• Velocidade de escape
– Portanto, para escapar da superfície do planeta: – A velocidade mínima para que isso ocorra pode
ser obtida da seguinte maneira
Energia Potencial
Gravitacional
• Classificação das órbitas pela energia
– A energia total de um sistema é dado por
– Se a energia total for negativa, temos que
na superfície e, portanto, nunca será maior do que zero.
– Nesse caso, dizemos que o sistema é
ligado, ou seja, se um planeta ou cometa tiver energia total negativa, sua órbita será “fechada” com forma elíptica ou circular.
Energia Potencial
Gravitacional
• Classificação das órbitas pela energia
– Se , então , quando , e a órbita será “aberta” de forma parabólica.
– Finalmente, se , ou seja, , então e a
órbita será “aberta” de forma hiperbólica. – Resumindo:
• , órbita fechada (elíptica ou circular) • , órbita aberta (parabólica)
• , órbita aberta (hiperbólica)
O campo gravitacional
• Assim como o campo elétrico é
definido como , podemos definir o campo gravitacional como
• Assim, o campo gravitacional da
Terra é dado por
O campo gravitacional
• O campo gravitacional produzido por
um conjunto de massas puntiformes pode ser obtido pelo princípio da
superposição
• Quando temos uma distribuição
contínua de massa, o somatório torna-se uma integral
O campo gravitacional
• Campo de uma distribuição contínua
de massa em uma casca esférica
– É possível demonstrar que o campo no
exterior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de massa é dado por
– No interior da casca, o campo é nulo.
O campo gravitacional
• Campo de uma distribuição contínua
de massa em uma esfera maciça – O campo no exterior de uma esfera
maciça com uma distribuição uniforme de massa é dado por
– Esse resultado vale mesmo para
distribuições não uniformes, desde que a densidade dependa apenas de .
O campo gravitacional
• Campo de uma distribuição contínua
de massa em uma esfera maciça
– No interior, temos que lembrar que as
camadas acima de um determinado raio , não contribuem para o campo resultante. – Assim, apenas a fração da massa no
interior de uma superfície imaginária de raio é que irá provocar o campo a uma distância do centro.
Forças de Maré e Limite de Roche
• Como o campo varia com a distância, a
força gravitacional aplicada a corpos extensos não é constante.
• A força que a Lua exerce sobre a
superfície da Terra que está mais próxima vale
• A força que a Lua exerce sobre a
superfície oposta da Terra vale
Forças de Maré e Limite de Roche
• Assim, a variação da força exercida
sobre a Terra é
• Como , temos
Forças de Maré e Limite de Roche
• Se a força de maré for maior do que a força
gravitacional que mantem um corpo unido, esse corpo irá se fragmentar.
• Podemos determinar a distância mínima entre
dois corpos para que um deles permaneça íntegro (limite de Roche).
• Considere dois elementos de massa
puntiformes adjacentes de um dado corpo. Os elementos de massa possuem raios iguais e massa iguais , assim a força gravitacional que os mantem unidos é igual a
Forças de Maré e Limite de Roche
• A distância mínima é obtida quando a força
gravitacional entre os elementos de massa for igual a força de maré exercida pelo corpo de maior massa
Forças de Maré e Limite de Roche
• Em termos de densidade
Onde e são as densidades do planeta e do satélite, respectivamente, e é o raio do satélite.
• Assim, para densidade iguais, o
limite de Roche corresponde a o raio do planeta.
