Parte I Restrição orçamentária

(1)

Teoria do Consumidor:

Equilíbrio e demanda

(2)

Estrutura geral da aula

Parte 1: Restrição orçamentária

(3)

Parte I

(4)

Restrição orçamentária

(5)

(6)

Notação:

x= (x1,x2, . . . ,xL): elemento genérico deX; p= (p1,p2, . . . ,pL): vetor de preços;

(7)

O valor da cesta de bens escolhida não pode ultrapassar a renda monetária:

p1x1+p2x2+_{· · ·}+pLxL ≤m,

ou

L X

i=1

pixi ≤m,

ou ainda,

(8)

Conjunto e linha de restrição orçamentária

Conjunto de restrição orçamentária (B)

é o conjunto das cestas de bens compatíveis com a restrição orçamentária:

Bp,m={x∈X:p·x≤m}.

Linha de restrição orçamentária (LRO)

É o conjunto das cestas de bens que atendem a restrição orçamentária com igualdade:

(9)

Conjunto e linha de restrição orçamentária

Conjunto de restrição orçamentária (B)

é o conjunto das cestas de bens compatíveis com a restrição orçamentária:

Bp,m={x∈X:p·x≤m}.

Linha de restrição orçamentária (LRO)

É o conjunto das cestas de bens que atendem a restrição orçamentária com igualdade:

(10)

LRO: representação gráfica paraX=R2+

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p

m

x1 x2

m p1

(11)

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p_,

m

x1 x2

m p1

(12)

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p_,

m

x1 x2

m p1

(13)

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p_,

m

x1 x2

m m

(14)

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p_,

m

x1 x2

m p1

m p2

(15)

p₁ x₁

+ p₂_x

2₌

m

LRO

p_,

m

x1 x2

m m

p2

p1

(16)

Bp,m: representação gráfica paraX=R 2

+

m p1

m p2

x1 x2

p1x1+p2x2<m Bp,m

p1

(17)

LRO: efeito de variações na renda

Aumento de renda

x2

m p2

m p1

m p2

Redução na renda

x1 x2

m p1

m p2

m p1

(18)

Aumento de renda

x1 x2

m p1

m p2

m′

p1

m′

p2

Redução na renda

x1 x2

m p1

m p2

m p1

(19)

Aumento de renda

x2

m p2

m′

p2

Redução na renda

x2

m p2

m p1

(20)

Aumento de renda

x1 x2

m p1

m p2

m′

p1

m′

p2

Redução na renda

x1 x2

m p1

m p2

m′′

p1

m′′

(21)

LRO: efeito de variações emp1

Efeito de um aumento emp1

x1

x2

m p0 1

m p2

Efeito de uma redução emp1

x1

x2

m p0 1

(22)

x1

x2

m p0 1

m p2

m p1 1

x1

x2

m p0 1

(23)

x1

x2

m p0 1

m p2

m p1 1

x1

x2

m p0 1

(24)

x1

x2

m p0 1

m p2

m p1 1

x1

x2

m p0 1

m p1 1

(25)

x1

x2

m p1

m p0 2

x1

x2

m p1

(26)

x1

x2

m p1

m p0 2

m p1 2

x1

x2

m p1

(27)

x1

x2

m p1

m p0 2

m p1 2

x1

x2

m p1

(28)

x1

x2

m p1

m p0 2

m p1 2

x1

x2

m p1

m p0 2

(29)

Renda como valor de uma dotação inicial

Por vezes, é adequado modelar

m =p_·w

em quewé chamadadotação inicialda consumidora.

Nesse caso, a restrição orçamentária pode ser reescrita como:

p1x1+p2x2+_{· · ·}+pLxL≤p1w1+p2w2+_{· · ·}+pLwL

ou, mais sucintamente,

(30)

Renda como valor de uma dotação inicial: consequências

A linha de restrição orçamentária sempre passa sobre a dotação inicial.

(31)

LRO com dotação inicial

x1 x2

w1 w2

LRO

p w

p1 p w

p2

(32)

x1 x2

w1 w2

−pp12

p₁_x

1₊

p₂_x

2₌

p₁_w

1₊

p₂ w

2

LRO

p w

p1 p w

p2

(33)

x1 x2

w1 w2

p1

p2

LRO

p w

p1 p w

p2

(34)

x1 x2

w1 w2

p1

p2

LRO

p w

p1 p w

p2

(35)

x1 x2

w1 w2

p1

p2

LRO

p·w

p w

p2

(36)

x1 x2

w1 w2

p1

p2

LRO

p·w

p1 p·w

p2

(37)

CRO com dotação inicial

x1 x2

w1 w2

p1

p2 p·w p·w

p2

w

(38)

LRO com dotação inicial: efeito de uma elevação emp1/p2

x1 x2

w1 w2

(39)

LRO com dotação inicial: efeito de uma elevação emp1/p2

x1 x2

w1 w2

(40)

LRO com dotação inicial: efeito de uma redução emp1/p2

x1 x2

w1 w2

(41)

LRO com dotação inicial: efeito de uma redução emp1/p2

x1 x2

w1 w2

p0₁ p0₂

(42)

(43)

Homogeneidade de grau zero do CRO

Para qualquerα >0, se

p1x1+p2x2+· · ·+pnxL≤m

então

αp1x1+αp2x2+_{· · ·}+αpnxL≤αm.

Mais sucintamente, se 0,

p x mse, e somente se,p x m

Portanto, para qualquer 0,

B p m Bpm

Por essa razão, dizemos queBp méhomogêneo de grau zeroem

(44)

então

Mais sucintamente, seα >0,

αp_·x_≤αmse, e somente se,p_·x_≤m

B p m Bpm

(45)

então

Portanto, para qualquerα >0,

Bαp,αm =Bp,m.

(46)

então

Bαp,αm =Bp,m.

Por essa razão, dizemos queBp,méhomogêneo de grau zeroem

(47)

Homogeneidade de grau zero da LRO

p1x1+p2x2+· · ·+pLxL=m

então

αp1x1+αp2x2+_{· · ·}+αpLxL=αm.

Mais sucintamente, se 0,

p x mse, e somente se,p x m

LRO p m LROpm

Por essa razão, dizemos que a LRO éhomogênea de grau zeroem

(48)

então

αp_·x=αmse, e somente se,p_·x=m

LRO p m LROpm

(49)

então

LROαp,αm =LROp,m.

(50)

então

LROαp,αm =LROp,m.

(51)

Escolhendo um bem como unidade de conta

Fazendoα= _p1

1,

Bp1,p2,...,m =B1_,p2

p₁,...,pL_p

1, m p₁

Façamospi pi

p1,i 1 L, em

m p1.

Bp1p2 m B1p2 pLm

Assim, qualquer restrição orçamentária pode ser representada por um sistema de preços no qual a unidade de contas é um dos bens. O bem usado como unidade de conta (no caso o bem 1) é chamado

(52)

Escolhendo um bem como unidade de conta

Fazendoα= _p1

1,

Bp1,p2,...,m =B1_,p2

p₁,...,pL_p

1, m p₁

Façamospi˜ = pi

p1,i =1, . . . ,L, em˜ =

m p1.

Bp1,p2,...,m =B1,˜p2,...,˜pL,m˜

Assim, qualquer restrição orçamentária pode ser representada por um sistema de preços no qual a unidade de contas é um dos bens. O bem usado como unidade de conta (no caso o bem 1) é chamado

(53)

Linha de restrição orçamentária quando o bem 2 é o numéraire

x1 x2

(54)

Parte II

(55)

Equilíbrio: análise gráfica

(56)

(57)

Solução interior

x1 x2

m m

p2

p1

(58)

Solução interior

x1 x2

m p1

m p2

p1

p2

p1

(59)

Solução interior

x1 x2

m m

p2

p1

p2

x∗

2 _x_∗

p1

(60)

Propriedades da solução interior

Assumindo não saciedade local, o equilíbrio ocorre na linha de restrição orçamentária:

p1x1∗+p2x2∗ =m.

Condição de tangência: se a solução é interior (x₁ x₂ 0), e aTMS

é definida, então

TMS x UMg1 x

UMg₂ x

(61)

Propriedades da solução interior

Assumindo não saciedade local, o equilíbrio ocorre na linha de restrição orçamentária:

p1x1∗+p2x2∗ =m.

Condição de tangência: se a solução é interior (x∗

1,x2∗ >0), e aTMS

é definida, então

|TMS(x∗)_|= UMg1(x∗)

UMg₂(x∗₎ =

(62)

Interpretação_|TMS_|>p1/p2

|TMS| unidades do bem 2 que a consumidora está disposta a deixar

de consumir para consumir uma unidade adicional do bem 1.

p1

p2 unidades do bem 2 que a consumidora precisa deixar de

consumir para poder comprar uma unidade adicional do bem 1.

Se|TMS|> p1

p2, para consumir uma unidade adicional do bem 1 a

(63)

Interpretação: _|TMS_|>p1/p2

x2

m p2

x′

Na cesta(x)′_,

|TMS|>p1/p2.

(64)

Interpretação: _|TMS_|<p1/p2

|TMS| quantidade mínima do bem 2 que a consumidora aceita em

troca da redução de um unidade de consumo do bem 1.

p1

p2 unidades adicionais do bem 2 que a consumidora pode

adquirir caso reduza o consumo do bem 1 de uma unidade.

Se|TMS|< p1

p2, ao deixar de consumir uma unidade do bem 1, a

(65)

Interpretação: _|TMS_|<p1/p2

x2

m p2

Na cesta(x)′_,

|TMS|>p1/p2.

(66)

Utilidade marginal do gasto

UMg_i

pi indica de quanto cresce a utilidade da consumidora por

unidade monetária em virtude de um pequeno aumento no gasto

com a aquisição desse bem aquisição do bemi. Essa taxa é chamada

(67)

Condição de equilíbrio reinterpretada

Condição de tangência:

UMg₂(x∗₎ =

p1 p2

Rearranjando:

UMg₁ x

p1

UMg₂ x

p2

(68)

UMg₂(x∗₎ =

p1 p2

Rearranjando:

UMg₁(x∗)

p1 =

UMg₂(x∗)

p2

(69)

UMg₂(x∗₎ =

p1 p2

Rearranjando:

UMg₁(x∗)

p1 =

UMg₂(x∗)

p2 =λ.

(70)

Casos mal comportados: TMS indefinida.

x1 x2

m p1

m p2

p1

p2

x∗

p1

(71)

Casos mal comportados: infinitos equilíbrios

x1 x2

m m

(72)

Casos mal comportados: infinitos equilíbrios

x1 x2

m p1

(73)

Casos mal comportados: múltiplos equilíbrios

x1 x2

(74)

Casos mal comportados: múltiplos equilíbrios

x1 x2

m p2

m p1

x∗

(75)

Casos mal comportados: ponto de mínimo

x1 x2

m p2

m

(76)

Casos mal comportados: máximos locais não globais

x1 x2

m p2

(77)

x1 x2

m p2

m

x∗∗

(78)

x1 x2

m p2

x∗∗

Máximo local, mas não global

x∗

(79)

Casos mal comportados: solução de canto (x∗

2 =0)

x1 x2

m p2

(80)

Casos mal comportados: solução de canto (x∗

1 =0)

x1 x2

m p2

m p1

(81)

Solução de canto sobre o eixo horizontal

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

2 =0

UMg₂(x∗₎ ≥

p1 p2

UMg₂ x

p2

UMg₁ x

(82)

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

2 =0

UMg₂(x∗₎ ≥

p1 p2

UMg₂(x∗)

p2 ≤

UMg₁(x∗)

(83)

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

2 =0

UMg₂(x∗₎ ≥

p1 p2

UMg₂(x∗)

p2 ≤

UMg₁(x∗)

(84)

Solução de canto sobre o eixo vertical

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

1 =0

UMg₂(x∗₎ ≤

p1 p2

Reescrevendo a última condição:

UMg₁ x

p1

UMg₂ x

(85)

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

1 =0

UMg₂(x∗₎ ≤

p1 p2

UMg₁(x∗₎

p1 ≤

UMg₂(x∗₎

(86)

p1x∗

1 +p2x2∗ =m, x∗

1 =0

UMg₂(x∗₎ ≤

p1 p2

UMg₁(x∗₎

p1 ≤

UMg₂(x∗₎

(87)

(88)

O problema de maximização de utilidade

Maximizar

U(x)

dadas as restrições

p_·x_≤m

(89)

Existência de solução

(90)

Solução — condições de primeira ordem

O lagrangeano desse problema é

L ₌U₍x₎₋_λ₍p_·x₋m_{) +} L X

i=1

µixi

Assumindo não saciedade local, as condições de primeira ordem são

UMg_i x pi _i

(91)

O lagrangeano desse problema é

L ₌U₍x₎₋_λ₍p_·x₋m_{) +} L X

i=1

µixi

Assumindo não saciedade local, as condições de primeira ordem são

UMg_i(x∗) =λ∗pi−µ∗i

comµ∗

(92)

Sex∗

i >0 exj∗>0, então,

UMg_i(x∗)

pi =λ∗ =

UMg_j(x∗)

pj ,

ou ainda,

UMg_i(x∗₎

UMg_j(x∗₎ =

pi

pj.

Sex∗

i =0 exj∗>0, então,

UMg_i(x∗₎

pi =λ ∗₋µ∗i

pi ≤λ

∗₌ UMgj(x∗)

pj , ou ainda,

UMg_i(x∗₎

UMg_j(x∗₎ ≤

pi

(93)

Sex∗

UMg_i(x∗)

pi =λ∗ =

UMg_j(x∗)

pj ,

ou ainda,

UMg_i(x∗)

UMg_j(x∗₎ =

pi pj.

Sex∗

UMg_i(x∗₎

pi =λ ∗₋µ∗i

pi ≤λ

∗₌ UMgj(x∗)

(94)

Sex∗

UMg_i(x∗₎

pi =λ

∗ ₌ UMgj(x∗)

pj , ou ainda,

UMg_i(x∗₎

UMg_j(x∗₎ =

pi

pj.

Sex∗

UMg_i(x∗)

pi =λ∗−

µ∗_i

pi ≤λ∗=

UMg_j(x∗₎

pj ,

ou ainda,

UMg_i(x∗₎

UMg_j(x∗₎ ≤

pi

(95)

Sex∗

UMg_i(x∗₎

pi =λ

∗ ₌ UMgj(x∗)

pj , ou ainda,

UMg_i(x∗₎

UMg_j(x∗₎ =

pi

pj.

Sex∗

UMg_i(x∗)

pi =λ∗−

µ∗_i

pi ≤λ∗=

UMg_j(x∗₎

pj ,

(96)

Sex∗

UMg_i(x∗)

pi =λ∗ =

UMg_j(x∗)

pj ,

ou ainda,

UMg_i(x∗)

UMg_j(x∗₎ =

pi pj.

Sex∗

UMg_i(x∗)

pi =λ∗−

µ∗_i

pi ≤λ∗=

UMg_j(x∗₎

pj ,

ou ainda,

UMg_i(x∗)

UMg_j(x∗₎ ≤

(97)

Condição suficiente de segunda ordem

Se as preferências forem convexas então, as condições de máximo condicional de segunda ordem estão garantidas.

(98)

Condição suficiente de segunda ordem

Se as preferências forem convexas então, as condições de máximo condicional de segunda ordem estão garantidas.

(99)

Parte III

(100)

Função de demanda

Exemplos

Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos

Complementares perfeitos Preferências CES

Representações gráficas

(101)

Função de demanda

Exemplos

(102)

Correspondência de demanda

Função que tem por argumentos o vetor de preços e a renda de uma consumidora e retorna o conjunto das cestas de equilíbrio dessa

consumidora, ou seja, o conjunto das cestas de bensxtais que

x_∈Bp,m

e, para qualquer cesta de bensx′ _∈_B_p

,m,

x%x′_.

Notação:

(103)

Função de demanda

No caso em que, para quaisquerp≫0 em >0,x∗₍_p_,_m₎_{é um}

conjunto unitário, podemos definir uma função de demanda,

também notada porx∗₍_p_,_m₎_{, que associa a cada vetor de preços}

positivos e renda, uma única escolha ótima do consumidor.

O componentei da função de demanda,x∗

i (p,m), é chamado de

(104)

Função de demanda

Exemplos

(105)

Função de demanda

Exemplos

Preferências Cobb-Douglas

Substitutos perfeitos

(106)

Função de utilidade:U(x1,x2) =xa

1x2b, coma,b>0.

Condições de máximo de 1ª ordem:

TMS p1

p2 a b

x2 x1

p1 p2

e

p1x1 p2x2 m

Solução:

x₁ p1 p2 m a

a b

m

p1 e x2 p1 p2 m

b

a b

(107)

1x2b, coma,b>0.

|TMS|= p1

p2 ⇒

a b

x2 x1 =

p1 p2

e

p1x1+p2x2=m.

Solução:

x₁ p1 p2 m a

a b

m

p1 e x2 p1 p2 m

b

a b

(108)

1x2b, coma,b>0.

|TMS|= p1

p2 ⇒

a b

x2 x1 =

p1 p2

e

p1x1+p2x2=m.

Solução:

x∗

(109)

Demanda Cobb-Douglas: peculiaridades

O valor gasto com cada um dos bens é uma fração da renda que não depende dos preços e da renda:

p1x∗

1(p,m)

m =

p1_a₊a_bm_p₁

m =

a a+b.

A demanda de cada bem não é afetada pelo preço do outro bem (bens independentes).

(110)

Demanda Cobb-Douglas: peculiaridades

O valor gasto com cada um dos bens é uma fração da renda que não depende dos preços e da renda:

p1x∗

1(p,m)

m =

p1_a₊a_bm_p₁

m =

a a+b.

A demanda de cada bem não é afetada pelo preço do outro bem (bens independentes).

(111)

Exemplo específico 1

U(x1,x2) =√x1x2.

x₁ p1 p2 m 1

2

m

p1 e x2 p1 p2 m

1 2

(112)

U(x1,x2) =√x1x2.

x∗

(113)

U(x1,x2) =2lnx1+3lnx2.

ConsidereV x1 x2 eU x1x2 _x2

1x23

Solução:

x₁ p1 p2 m 2

5

m

p1 e x2 p1 p2 m

3 5

(114)

ConsidereV(x1,x2) =eU(x1,x2)₌x2

1x23

Solução:

x₁ p1 p2 m 2

5

m

p1 e x2 p1 p2 m

3 5

(115)

ConsidereV(x1,x2) =eU(x1,x2)₌x2

1x23

Solução:

x∗

(116)

Função de demanda

Exemplos

Substitutos perfeitos

(117)

Substitutos perfeitos.

U(x,y) =ax1+x2.

(118)

Primeira possibilidade p1

p2 >a

x1 x2

m p2

(119)

Primeira possibilidade p1

p2 >a

x x2

m p2

m

(120)

Segunda possibilidade p1

p2 =a

x1 x2

m p2

(121)

Segunda possibilidade p1

p2 =a

x x2

m p2

(122)

Terceira possibilidade p1

p2 <a

x1 x2

m p2

(123)

Terceira possibilidade p1

p2 <a

x x2

m p2

m

(124)

Exemplo: substitutos perfeitos — correspondência de demanda

x∗₍_p

1,p2,m) =     

   

n

0,_pm₂o casop1

p2 >a

{(x1,x2)_∈X:p1x1+p2x2=m} casop1

p2 =a

n m p1,0

o

casop1

(125)

Função de demanda

Exemplos

Complementares perfeitos

Preferências CES

(126)

Função de utilidade

(127)

x1 x2

m m

p2

p1

p2

a

x∗

p1

(128)

Complementares perfeitos: funções de demanda

Desde que os preços seja positivos o equilíbrio será em um vértice de curva de indiferença:

x2=ax1

e sobre a linha de restrição orçamentária:

p1x1+p2x2=m.

Assim, as funções de demanda dos bens 1 e 2, respectivamente serão

x∗

1(p1,p2,m) = _p m

1+ap2 e x

∗

(129)

Função de demanda

Exemplos

Preferências CES

(130)

A função de utilidade CES

U(x1,x2) = [ax1ρ+ (1−a)x2ρ]

1 ρ

Quatro possibilidades:

1. seρ >1 as curvas de indiferença são côncavas em relação à

origem;

2. seρ=1 os dois bens são substitutos perfeitos;

3. seρ <1 as preferências são convexas;

(131)

Exemplo: preferências CES comρ <1

U(x1,x2) = [axρ

1 + (1−a)x2ρ]

1

ρ, coma,b>0.

|TMS|= p1

p2 ⇒ a

1₋a

_x2 x1

1−ρ

= p1

p2

e

(132)

Exemplo: preferências CES comρ <1

Solução:

x∗

1(p1,p2,m) = _a

p1

σ _m

aσp1−σ

1 + (1−a)σp21−σ

e

x∗

2(p1,p2,m) = ₁

−a

p2

σ _m

aσp1−σ

1 + (1−a)σp21−σ

em que

σ = 1

(133)

Preferências CES: exemplo específico 1.

U(x1,x2) =√x1+√x2

Para transformar em um função CES, aplicamos transforação monotônica

V x1 x2 U x1₂ x2

2 ₁

2x

1 2

1 1₂x

1 2

2 2

Funções de demanda:

(134)

U(x1,x2) =√x1+√x2

V(x1,x2) = _U

(x1,x2)

2

=

₁

2x

1 2

1 +1₂x

1 2

2 2

(135)

U(x1,x2) =√x1+√x2

V(x1,x2) = _U

(x1,x2)

2

=

₁

2x

1 2

1 +1₂x

1 2

2 2

x∗

(136)

U(x1,x2) =

₁

2x1−1+

1 2x2−1

−1

x₁ p1 p2 m _p m

1 p2p1 e x2 p1 p2 m

(137)

U(x1,x2) =

₁

2x1−1+

1 2x2−1

−1

x∗

1(p1,p2,m) = _p m

1+√p2p1 e x

∗

(138)

Preferências CES comρ >1

Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são:

u1=U _m

p1,0 = a _m p1 ρ

+ (1−a)_×0ρ 1

ρ

=a1ρm

p1

e

u2 U 0 m

p2 a 0 1 a

m p2

1

1 a 1 m

p2

Comparando as duas utilidades, sabendo que 0 a 1 ep1 0:

u1 u2 a1 m

p1 1 a

(139)

u1=U _m

p1,0 = a _m p1 ρ

+ (1−a)_×0ρ 1

ρ

=a1ρm

p1

e

u2=U

0,m

p2

=

a×0ρ_{+ (}1₋a₎ _m

p2 ρ1

ρ

= (1−a)ρ1 m

p2

Comparando as duas utilidades, sabendo que 0 a 1 ep1 0:

u1 u2 a1 m

p1 1 a

(140)

u1=U _m

p1,0 = a _m p1 ρ

+ (1−a)_×0ρ 1

ρ

=a1ρm

p1

e

u2=U

0,m

p2

=

a×0ρ_{+ (}1₋a₎ _m

p2 ρ1

ρ

= (1−a)ρ1 m

p2

Comparando as duas utilidades, sabendo que 0<a<1 ep1>0:

u1Tu2

a1 m

p1 1 a

(141)

u1=U _m

p1,0 = a _m p1 ρ

+ (1−a)_×0ρ 1

ρ

=a1ρm

p1

e

u2=U

0,m

p2

=

a×0ρ_{+ (}1₋a₎ _m

p2 ρ1

ρ

= (1−a)ρ1 m

p2

(142)

u1=U _m

p1,0 = a _m p1 ρ

+ (1−a)_×0ρ 1

ρ

=a1ρm

p1

e

u2=U

0,m

p2

=

a×0ρ_{+ (}1₋a₎ _m

p2 ρ1

ρ

= (1−a)ρ1 m

p2

u1Tu2⇔aρ1 m

p1 T(1−a)

1 ρm p2 ⇔ p1 p2 S _a

1−a

1

(143)

x∗₍_p1_,_p2_,_m_{) =}

           n m p1,0

o

casop1

p2 <

a 1−a

1

ρ

n m p1,0

,0,_pm₂o casop1

p2 =

a 1−a

1

ρ

n

0,_pm₂o casop1

p2 >

a 1−a

1

(144)

Preferências CES com p1

p2 <

a

1−a

_ρ1

x1 x2

x′′

ótimo local

x∗ ótimo global

x′

(145)

p2 =

a

1−a

_ρ1

x1 x2

x∗

x′

(146)

p2 >

a

1−a

_ρ1

x1 x2

x′′

ótimo local x∗

ótimo global

x′

(147)

Função de demanda

Exemplos

(148)

As curvas de renda consumo e de Engel

Curva de renda consumo

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x1 x2

Curva de Engel

(149)

m0 p2 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(150)

Curva de Engel

(151)

m0 p2 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(152)

Curva de Engel

(153)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(154)

Curva de Engel

(155)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(156)

Curva de Engel

(157)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(158)

Curva de Engel

(159)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 x2

Curva de Engel

(160)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3

1 x1

x2

Curva de Engel

(161)

m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p₂ m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 x2

Curva de Engel

(162)

Curva de Engel

(163)

Curva de Engel

(164)

Curva de Engel

(165)

Curva de Engel

(166)

Curva de Engel

(167)

Curva de Engel

(168)

Possíveis sinais da resposta da demanda a variações na renda

Quando a renda de uma consumidora varia, sua demanda por um bem pode:

• variar na mesma direção que a renda, caso em que se diz que o

bem se comporta como umbem normal;

• variar na direção oposta à da renda, caso lem que se diz que o

bem se comporta como umbem inferior; ou

(169)

Exemplo: preferências quase-lineares

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(170)

x1 x2 m0 p2 m0 p₁ x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(171)

x2 m0 p2 m0 p1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(172)

x1 x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(173)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(174)

Curva de Engel

(175)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(176)

x1 x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p₁ x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(177)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(178)

Curva de Engel

(179)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(180)

Curva de Engel

(181)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(182)

Curva de Engel

(183)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1

Curva de Engel

(184)

Curva de Engel

(185)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(186)

Exemplo de um bem inferior

Curva de Engel

(187)

x2 m0 p2 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(188)

Curva de Engel

(189)

x2 m0 p2 m0 p1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(190)

Curva de Engel

(191)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(192)

Curva de Engel

(193)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(194)

Curva de Engel

(195)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(196)

Curva de Engel

(197)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 m4 p2 m4 p1 x4 1

Curva de Engel

(198)

Curva de Engel

(199)

x2 m0 p2 m0 p1 x0 1 m1 p2 m1 p1 x1 1 m2 p2 m2 p1 x2 1 m3 p2 m3 p1 x3 1 m4 p2 x4 1

Curva de Engel

(200)

Curva de Engel