Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transformac ¸˜ oes de Markov

(1)

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´

ujo

Salvador — Bahia

(2)

Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para

Transformac

¸˜

oes de Markov

Rolando Restany Gomes de Ara´

ujo

Disserta¸cão apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Ma-temática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

(Universidade do Porto – Portugal)

Prof. Dr. Alberto Adrego Pinto

(3)

Ara´ujo, R. R. G. “Medidas Invariantes Absolutamente Cont´ınuas para Transforma¸c˜oes de Markov”.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Pinheiro.

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-gradua¸cão em Matemática

da Universidade Federal da Bahia, 38 p´aginas, Salvador-Ba, 2006.

(4)

Dedicado `a Fausta Maria da

Concei¸c˜ao (in memorian) e

(5)

“Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de

consciˆencia que o criou. ´E preciso ir mais longe. Eu penso

99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num

grande silˆencio e a verdade me ´e revelada!”

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co às duas pessoas diretamente responsáveis por mais esta vitória, minha mãe,

Francisca de Assis Gomes e minha avó materna, Fausta Maria da Concei¸cão; que não mediram

esfor¸cos nem sacrificios, durante toda minha vida para oferecer o que de melhor estava ao seu

alcance e sem sombra de dúvidas, não teria chegado à conclusão deste curso se não fosse pelo

ajuda, carinho, aten¸c˜ao exclusiva e o amor delas. Agrade¸co aos meus familiares pelo apoio e ajuda

durante todo esse per´ıodo.

Aos professores do Instituto de Matem´atica, pela aten¸c˜ao e disponibilidade em atender,

mesmo na resolu¸c˜ao de pequenos problemas. Em especial, aos professores Jos´e Ferreira Alves

(Faculdade de Ciˆencias do Porto), que sempre se mostrou prestativo e atencioso na resolu¸c˜ao de

dúvidas e o Prof. Vilton Jeovan pela orienta¸cão, paciência e transmissão do conhecimento; que

certamente ´e o bem mais precioso que pode ser dado `a outra pessoa. A estes serei eternamente

grato.

Aos amigos professores do munic´ıpio de Catu: Profa. Jeane Chiam, Profa. Anaci, Prof.

Acimar, pelo incentivo e apoio, principalmente nos momentos de maior desˆanimo. N˜ao poderia

deixar de mencionar a Profa. Julieta Bezerra, que com extrema compreens˜ao e carinho possibilitou

minha dedica¸c˜ao durante todo o per´ıodo do curso de mestrado, bem como a Profa. Giselda Fr´oes

pela compreens˜ao e apoio na reta final do curso.

Aos amigos do curso: Ab´ılio Souza, Adriano Cattai, Elisˆangela Farias, Rosane Funato,

Gilcl´ecio Dantas, Silvia Costa, Maur´ıcio Porto, Tailsom Jeffersom, os quais pelo objetivo comum

que nos uniu, tem a sua parcela de contribui¸c˜ao durante este per´ıodo de convivˆencia.

Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica pela boa vontade e gentileza em atender.

Aos demais amigos n˜ao citados.

(7)

Resumo

Neste trabalho estudaremos a dinˆamica das transforma¸c˜oes de Markov. Mostraremos que

tais transforma¸cões admitem medidas invariantes que são absolutamente cont´ınuas com respeito à

medida de Lebesgue. Verificaremos esse fato, via operador de Perron-Frob¨enius; pois seus pontos

fixos s˜ao densidades de medidas invariantes. Veremos que sob a hip´otese de controle forte de

dis-tor¸c˜ao, tais transforma¸c˜oes exibem medidas invariantes absolutamente cont´ınuas, com densidades

limitadas no espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas. Em particular, mostraremos que para uma

transforma¸c˜ao markoviana expansora por partes, de classeC2_{, definida numa variedade compacta}

(8)

Abstract

In this work we study the dynamics of the transformations of Markov. We show that

such transformations admit invariant measures that are absolutely continuous with respect to the

measure of Lebesgue. We verify that fact, through operator of Perron-Frob¨enius; because such

measures are their fixed points. We see that under the hypothesis of strong distortion control,

such transformations exhibit invariant measures absolutely continuous with limited densities in

the space of the functions continuous lipschitz. In particular, we show that for a C2 piecewise

expanding markovian map, defined in a compact varietyM, one exists finite set of such measures, that we prove to be ergodics and that Lebesgue almost whole point belongs the basin of one of

those measured.

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Dinˆamica do Operador de Perron-Fr¨obenius 10

2.1 Existˆencia da probabilidade . . . 10

2.2 Transforma¸c˜oes de Markov . . . 12

2.3 A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas . . . 16

2.4 Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade . . . 22

3 Teoremas A e B 25

Apˆendice 32

Bibliografia 36

(10)

Introdu¸

c˜

ao

Os Sistemas Dinˆamicos munidos de medidas invariantes ´e o principal objeto de estudo

da Teoria Ergódica. Em termos simples um sistema dinâmico é qualquer sistema cujo

compor-tamento se modifica com o tempo; na verdade o mundo `a nossa volta pode ser visto como um

sistema dinˆamico complexo. Mesmo os sistemas ditos simples, podem apresentar um

comporta-mento a longo prazo que apenas podem ser descritos de maneira probabil´ıstica, esses sistemas s˜ao

denominados ca´oticos.

Nesse trabalho de disserta¸c˜ao, provaremos a existˆencia de probabilidades invariantes

fi-sicamente relevantes para a dinˆamica de uma transforma¸c˜ao de Markov, a qual definiremos mais

adiante.

Se um dado sistema apresenta infinitos pontos periódicos, ele também apresentará infinitas

medidas invariantes, no entanto, desejamos encontrar medidas invariantes que sejam relevantes

em termos de medida de lebesgue. Queremos que a probabilidade de encontrar algum iterado

da transforma¸cão que reje o sistema em um conjunto mensurável seja não nula apenas quando a

medida de lebesgue nesse conjunto mensurável também seja não nula. Para tal é suficiente que essas

medidas invariantes sejam absolutamente cont´ınuas em rela¸c˜ao `a medida de lebesgue. Propriedades

adicionais dessas medidas ser˜ao verificadas, como por exemplo ergodicidade, que nos diz num certo

sentido que o sistema n˜ao pode ser decomposto em termos probabil´ısticos em mais de um sistema

n˜ao trivial.

Dividimos essa disserta¸c˜ao em trˆes cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, que chamamos de

Prelimi-nares, apresentaremos algumas defini¸c˜oes e resultados gerais da Teoria da Medida. Omitiremos as

demosntra¸c˜oes na maioria das vezes por se tratarem de resultados conhecidos, no entanto, citaremos

a fonte utilizada e p´agina, para os leitores que desejarem uma consulta mais detalhada.

No Cap´ıtulo 2, onde construiremos as condi¸c˜oes necess´arias para chegarmos ao resultado

(11)

principal do nosso trabalho, estudaremos a dinˆamica do Operador de Perron-Frobenius, tamb´em

conhecido como operador de transferˆencia. Inicialmente, sem nos preocuparmos com o espa¸co de

atua¸c˜ao do operador, provaremos que os pontos fixos do operador s˜ao probabilidades invariantes

absolutamente cont´ınuas `a medida de lebesgue. Definiremos transforma¸c˜oes de Markov e

mostra-remos que para essas transforma¸c˜oes, existem probabilidades invariantes absolutamente cont´ınuas

limitadas no espa¸co das fun¸cões integráveis. Em seguida introduziremos o espa¸co das fun¸cões

Lips-chitz cont´ınuas e estudaremos o comportamento do operador de Perron-Frobenius neste espa¸co.

Um dos principais resultados desse cap´ıtulo ´e:

Lema(2.4) Seja (T,P₎ _{uma transforma¸c˜}_{ao de Markov tal que para todo} _~_p _∈ Pe _com

inf{µ(T(~s));~s ∈P_}_>_{0; ent˜}_{ao existe uma probabilidade}_T_-invariante _q _{absolutamente cont´ınua}_a_`

µ tal que dq

dµ ∈L

∞₍_µ_).

Finalmente, no Cap´ıtulo 3, apresentaremos os resultados principais deste trabalho, no qual

provaremos a existˆencia de um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas e

erg´odicas para umaC2 transforma¸c˜ao markoviana expansora por partes definida numa variedade

compactaM, e que são limitadas no espa¸co das fun¸cões lipschitz cont´ınuas. Este resultado é obtido a partir da prova doTeorema A, abaixo publicado porJon Aaronson, emAn Introduction to Infinite

Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Monographs 50, American Math. Society, 1997, 168.

Teorema A.Suponha que(T,P₎_{uma transforma¸c˜}_{ao de Markov; tal que para todo cilindro}

~

p∈Pe _{tenham forte controle de distor¸c˜}_{ao. Se} _#_T₍P₎ _<_∞_{; ent˜}_{ao existe uma densidade invariante}

µ, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal quelog dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes

Lipschitz cont´ınuas (L).

Outro Teorema que demonstraremos ´e:

Teorema B.SeT :M → Mé umaC2 aplica¸cão markoviana expansora por partes, com um número limitado de imagens, então existe um conjunto finito de medidas invariantes

absoluta-mente cont´ınuas àLebesgue e ergódicas tal que m−q.t.p.pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente

limi-tada por alguma constante.

Por ´ultimo, no Apˆendice, faremos um breve estudo dos shifts, onde exibiremos um

resul-tado de menor importância, mas de alguma relevância para a obten¸cão do resultado principal do

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nosso principal objetivo neste cap´ıtulo é estabelecer as nota¸cões necessárias à compreensão

dos cap´ıtulos subseqüentes e apresentar defini¸cões e resultados que serão úteis para o entendimento

da teoria que ser´a desenvolvida no decorrer deste trabalho. Citaremos alguns teoremas de An´alise

Funcional e da Teoria da Medida. Por se tratarem de resultados conhecidos na literatura vigente

omitiremos ou simplificaremos suas demonstra¸c˜oes.

Admitimos que X é um espa¸co topológico e B denota a σ-´algebra de Borel. Seja µ uma aplica¸cão com dom´ınioB,µ:B →[0,+∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) µ(∅) = 0

(ii) µ(

∞

[

i=1

Ai) =

∞

X

i=1

µ(Ai), com A′is disjuntos dois a dois eAi ∈ B ∀i.

Dizemos que a aplica¸c˜ao µ acima ´e uma medida sobre os borelianos de X e chamamos

a terna (X,B, µ) de espa¸co de medida. Quando µ(X)=1, dizemos que se trata de um espa¸co de probabilidades.

Dizemos que T :X → X é uma transforma¸cão mensurável se T−1₍_A₎ _{∈ B ∀}_A _{∈ B}_{. No}

caso em que µ(T−1(A)) = µ(A) ∀A ∈ B, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ

é T-invariante. A transforma¸cão mensurávelT :X → X no espa¸co (X,B, µ) é dita não singular seµ(T−1(A)) = 0, ∀A∈ B tal queµ(A) = 0. Note que toda transforma¸cão preservando medida é necessariamente não singular.

(13)

Preliminares

conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

A transforma¸cão não singular T : X → X é chamada q.t.p. invert´ıvel se T é invert´ıvel em algum Y ∈ B com µ(X \Y) = 0 e é dita q.t.p. localmente invert´ıvel se existem conjuntos mensuráveis disjuntos {Aj;j ≥ 1} tal que µ(X \

[

j≥1

Aj) = 0 e T ´e invert´ıvel em cada Aj, com

Aj ∈ B, ∀j.

Um conjuntoA∈ B ´e dito T-invariantese temos T−1₍_A_{) =}_A_.

Um espa¸co de medida (X,B, µ) ´e chamado finito se µ(X) < ∞. No caso em que existe

uma seq¨uencia {Ak}k>1,Ak∈ B, satisfazendoX =

∞

[

k=1

Ak eµ(Ak)<∞ ∀k; ent˜ao (X,B, µ) ´e dito

σ-finito.

Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida, (X′,B′) um espa¸co mensurável e T :X → X′ uma aplica¸cão mensurável. A medida transportada de µ por T é a medida µ′ := T∗µ : B′ → [0,+∞]

definida por:

µ′(A′) :=µ(T−1(A′)), A′ ∈ B′.

Enunciaremos alguns Teoremas, dos quais faremos uso no decorrer do nosso trabalho:

1.1 Teorema(Mudan¸ca de Vari´aveis). Seja(X,B, µ)um espa¸co de medida,(X′,B′₎_{um espa¸co}

mensur´avel e T :X→X′ _{uma aplica¸c˜}_{ao mensur´}_{avel. Considere} _ν ₌_µT−1 _{a medida transportada}

de µpor T. Então g:X′→R _é_ν_-integr´_{avel se e somente se} _g_◦_T _:_X _→R_é _µ_-integr´_{avel e:}

Z

X′

g dν=

Z

X

g◦T dµ.

Prova. Ver demonstra¸c˜ao em [3], p´ag. 121.

¤

Sejamµeν duas medidas num espa¸co mensurável (X,B). Dizemos queνéabsolutamente cont´ınuacom respeito aµseµ(A) = 0 implicaν(A) = 0, qualquer que sejaAo conjunto mensurável.

Neste caso escrevemosν ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente seν(A) = 0, dizemos queµ

´e equivalentea ν e escrevemos µ∼ν.

Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem

(14)

Preliminares

´e invariante para T a baciade µa qual denotamos porB₍_µ_{) ´e o conjunto dos pontos tais que}

lim

n→∞

1

n

n−1

X

j=0

ϕ(Tj(x)) =

Z

ϕ dµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınuaϕ:X→R_{. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.}

Uma probabilidade invarianteµdiz-seerg´odicase todo subconjunto invariante porT, tem

medida é 0 ou 1. Seµé ergódica então B₍_µ_{) tem}_µ_{-medida total.}

1.2 Teorema (Radon-Nikodym). Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida σ-finita. Seja ν:B →R

uma medidaσ-finita absolutamente cont´ınua com respeito aµ. Então existe uma fun¸cão mensurável

n˜ao negativa f :X→R _{tal que:}

ν(A) =

Z

A

f dµ, ∀A∈β.

¤

A fun¸cão f ∈ L1(µ) obtida no Teorema de Radon-Nikodym é chamada de derivada de Randon-Nikodym ou densidade da medidaν em rela¸cão a medida µe denotada por f = dν

dµ.

1.3 Lema (Fatou). Seja {fn}∞n=1 uma seqüencia de fun¸cões mensuráveis não negativas e f =

lim

n→∞fn q.t.p. sobre um conjunto mensur´avel E, ent˜ao:

Z

E

f dµ≤ lim

n→∞inf

Z

E

fn dµ.

¤

1.4 Teorema(Convergência Dominada). Seja{fn}∞n=1uma seqüencia de fun¸cões mensuráveis

e |fn |≤ g sobre um conjunto E, onde g é uma fun¸cão integrável sobre E. Se f = lim

n→∞fn q.t.p.

em E ent˜ao: _Z

E

f dµ≤ lim

n→∞

Z

E

fn dµ.

¤

(15)

Preliminares

1.5 Teorema (Ascoli-Arzelá). Seja (X, d) um espa¸co métrico compacto. Seja F uma fam´ılia equicont´ınua de fun¸cõesψ:X→R_{. Isto é, para todo}_{ǫ >}₀_existe_{δ >}₀_{tal que se}_|_x₋_y_|_{< δ}_ent˜_ao

|ψ(x)−ψ(y)|< ǫ para toda ψ∈ F. Se F é uniformemente limitada; isto é, existe M >0 tal que |ψ |< M para toda ψ ∈ F, então toda seqüencia {ψn} de elementos de F tem uma subseqüência

{ψnk} uniformemente convergente emX.

¤

DenotamosLp(X,B, µ); 1≤p <∞ ou simplesmenteLp(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes, tais que |f |p _{´e integr´}_{avel. Em}_Lp₍_µ_{) definimos a norma} _{k · k}

p como:

kf kp=

µZ

X

|f |p dµ

¶1

p

Definimos L∞(µ) o espa¸co das fun¸c˜oes tais que existe M > 0 tal que |f(x) |≤ M para q.t.p. x ∈ X, e escrevemos L∞₍_µ_{) =} _{_f _: _X _→ _R_;_∃_{M >} _0; _µ₍_{_x_;_f₍_x₎ _{> M}_}_{) = 0. Em} _L∞₍_µ₎

definimos a normak · k∞ como:

kf k∞= inf {M >0; µ({x;f(x)> M}) = 0}.

Uma parti¸cão P _{de um espa¸co de probabilidades (}_X,_B_{, µ}_{), que chamaremos de uma} parti¸cão com respeito a medida µ, é uma fam´ılia de subconjuntos de B de medida não nula; tais que:

(i) Ai, Aj ∈P, i6=j ⇒µ(Ai∩Aj) = 0

(ii) µ(X\ [

Ai∈ P

Ai) = 0

Chamamos de densidade de probabilidade a uma fun¸c˜aoρ∈L1₍_µ_{) tal que}_ρ_≥_{0 e}_k_ρ_k_{= 1,}

de fato observe que ρ induz uma medida de probabilidadeνρ dada por

0≤νρ(A) :=

Z

A

ρ dµ≤1 ∀A∈ B.

Dizemos que νρ´eT-invariante seνρ(T−1(A)) =νρ(A); ∀A∈ B.

Seja (X,B, µ) um espa¸co de medida. Se T :X →X é uma transforma¸cão não singular, definimos o operadorP :L1₍_µ₎_→_L1₍_µ_{) por}

Z

A

Pf dµ=

Z

(16)

Preliminares

Observe que o operador est´a bem definido, ou seja, se νf ´e a medida definida por νf :=

R

T−1₍_A₎f dµ, temos pela n˜ao singularidade de T que νf ≪ µ. Logo, pelo teorema de

Randon-Nikodym existe uma ´unica gf ∈ L1(µ), tal que νf(A) :=

R

Agf dµ, ∀A ∈ B. Assim Pf ´e, por

defini¸c˜ao nossa gf dada pelo Teorema de Randon-Nikodym.

O operadorPé chamado dePerron-Fröbeniuscorrespondente paraT. A importância deste operador para o estudo de medidas invariantes segue do fato que seus pontos fixos são densidades

de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas. Para verificarmos esta afirma¸c˜ao, suponha que

h ∈ L1(µ) seja um ponto fixo de P, ou seja, Ph = h. Assim, definindo ν por ν(A) = R_Ah dµ, veremos queν ≪µe, al´em disto

ν(T−1(A)) =

Z

T−1₍_A₎

h dµ=

Z

A

Ph dµ=

Z

A

h dµ=ν(A).

Logo, ν ´e absolutamente cont´ınua e invariante.

1.6 Proposi¸c˜ao. Seja P :L1₍_µ₎_→_L1₍_µ₎ _{o operador de Perron-Fr¨}_{obenius de uma transforma¸c˜}_ao

T como dita anteriormente. Ent˜ao valem:

1. P ´e um operador linear,

2. P ´e positivo: f ≥0 ⇒ Pf ≥0,

3. P preserva a m´edia:

Z

X

Pf dµ=

Z

X

f dµ,

4. P ´e uma contra¸c˜ao fraca: k Pf k1 ≤ kf k1,

5. Se Tn ₌

n vezes

z }| {

T ◦...◦T e P é o operador de Perron-Fröbenius correspondente para T então Pn _{é o}

operador correspondente para Tn e

Z

A

Pnf dµ=

Z

T−n₍_A₎

f dµ.

Prova.

1. Seja A ⊂X um conjunto mensur´avel e sejam λ1 e λ2 constantes. Ent˜ao, se f1, f2 ∈

(17)

Preliminares

L1(µ),

Z

A

P(λ1f1+λ2f2)dµ =

Z

T−1₍_A₎(λ1f1+λ2f2) dµ

= λ1

Z

T−1₍_A₎

f1 dµ+λ2

Z

T−1₍_A₎ f2 dµ

= λ1

Z

A

Pf1 dµ+λ2

Z

A

Pf2 dµ

=

Z

A

(λ1Pf1+λ2Pf2)dµ.

Logo,

P(λ1f1+λ2f2) =λ1Pf1+λ2Pf2 ∀ f1, f2 ∈L1(µ)e λ1, λ2 ∈R.

2. Qualquer que sejaA mensur´avel, tem-se

Z

A

Pf dµ=

Z

T−1₍_A₎

f dµ≥0.

Logo, sef ≥0, ent˜ao Pf ≥0.

3. O resultado decorre diretamente de

Z

X

Pf dµ=

Z

T−1₍_X₎

f dµ=

Z

X

f dµ

4. Sejaf ∈L1₍_µ_{). Sejam}_f+ ₌_max₍_f,_{0) e} _f−₌₋_min₍₀_{, f}_{). Ent˜ao,}_f+ _e _f− _∈_L1₍_µ_),

f =f+−f− e |f|=f++f−. ComoP ´e um operador linear, tem-se

Pf =P(f+−f−) =P(f+)− P(f−).

Consequentemente,

|Pf| ≤ |P(f+)|+|P(f−)|=P(f+) +P(f−) =P|f|

e

k Pf k1=

Z

X

|Pf|dµ≤

Z

X

P|f|dµ=

Z

X

|f|dµ=kf k1.

5. A prova segue por indu¸c˜ao em n. Para n= 1, ´obvio, admitindo que vale paran=k;

paran=k+ 1 obtemos

Z

A

Pk+1f dµ=

Z

A

Pk(Pf) dµ=

Z

T−k₍_A₎

Pf dµ=

Z

T−1₍_T−k₍_A₎₎

f dµ=

Z

T−(k+1)₍_A₎f dµ.

Logo,

Z

A

Pnf dµ=

Z

T−n₍_A₎

f dµ.

(18)

Preliminares

1.7 Corol´ario. P ´e cont´ınuo.

Prova. Segue da contra¸c˜ao fraca.

¤

Uma cole¸cão F ⊂L1(µ) é chamada uniformemente integrável, se para todoǫ > 0, existe

M >1 tal que,

Z

{|f|≥M}

|f |dµ≤ǫ, ∀f ∈ F,

em que {| f |≥ M} = {x ∈ X,| f(x) |≥ M}. Uma cole¸cão F é uniformemente integrável, se e somente se, éfracamente pré-compacta em L1₍_µ_{), ou seja toda seq¨}_{uência de fun¸c˜}_{oes em}_F _possui

subseq¨uˆencia {fnk}k≥1 que convergente fracamente para alguma h∈L

1₍_µ_{). Escrevemos} _f

nk ⇀ h,

significando

Z

A

fnkdµ−→

Z

A

h dµ, ∀A∈ B.

O préfixo pré é usado porque tomamosh∈L1(µ), ao invés deh∈ F.

(19)

Cap´ıtulo 2

Dinˆ

amica do Operador de

Perron-Fr¨

obenius

Neste cap´ıtulo, provaremos a existˆencia de pontos fixos para o Operador de Perron-Fr¨

obe-nius, quando T for uma Transforma¸c˜ao de Markov. Ademais, analisaremos o comportamento do

Operador de Perron-Fr¨obenius no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas e concluiremos que existe

um ponto fixo para o mesmo, sendo este uma densidade de uma medidaT-invariante.

2.1 Existˆ

encia da probabilidade

Dada f ∈L1₊(µ), vamos definir Anf por Anf := 1

n

n−1

X

k=0

Pkf e provaremos nesta se¸c˜ao, a

existência de uma probabilidade T-invariante cuja densidade é o limite de uma subseqüência de

Anf.

2.1 Proposi¸cão. Seja T uma transforma¸cão não singular de (X,B, µ). Se existe f pertencente a

L1(µ)+ tal que {Anf}n≥1 é uma fam´ılia uniformemente integrável, então existe uma probabilidade

T-invariante que ´e absolutamente cont´ınua a µ.

Prova. Segue da integrabilidade uniforme, que existe subsequˆencia{Ankf}k≥1 e uma h pertencente a L1(µ), tal que Ankf ⇀ hsignificando que

Z

A

Ankf dµ−→

Z

A

(20)

Existˆencia da probabilidade

Por hip´otese, temos que

lim

nk→∞

  1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf

 =h,

ent˜ao, devido a continuidade do operador vale

Ph= lim

nk→∞ P

  1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf

 .

Por outro lado,

P

  1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf



 = 1

nk n_Xk−1

j=0

Pj+1f

= 1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf− 1

nk

P0f + 1

nk

Pnf

como as duas últimas parcelas são limitadas, vão para zero quandonk→ ∞. Segue então que,

Ph= lim

nk→∞ P

  1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf



= lim

nk→∞ 1

nk n_Xk−1

j=0

Pjf =h

e ent˜ao,

Z

A

Ph dµ=

Z

A

h dµ=ν(A); ∀A∈ B.

Como j´a foi observado ν, tendo a densidade como ponto fixo deP, ´eT-invariante.

¤

2.2 Proposi¸cão. Seja T uma transforma¸cão não singular de (X,B, µ). Se existe M > 0 e 1 ≤

p ≤ ∞ tal que k Pnf kp≤ M ∀ n, ent˜ao existe uma probabilidade T-invariante ν absolutamente

cont´ınua `a µ tal que h= dν

dµ ∈L

p₍_µ_).

Prova. Segue daProposi¸c˜ao (2.1)que para qualquerf ∈Lp(µ)+temosAnf :=

1

n

n−1

X

k=0

Pkf ∈

Lp(µ), de fato,

kAnf kp = k

1

n

n−1

X

k=0

Pkf kp

≤ 1

n

n−1

X

k=0

k Pkf kp

≤ 1 n n−1 X k=0 M

(21)

2.2. TRANSFORMAC¸ ˜OES DE MARKOV

a ´ultima desigualdade decorre dek Pnf kp ≤M ∀ n.

Assim {Anf}n≥1 é uma fam´ılia uniformemente integrável e isto já prova a existência

da probabilidade T-invariante ν. Decorrente da integrabilidade uniforme, temos que existe uma

subsequˆencia {Ankf}k≥1 satisfazendoAnkf ⇀ h; ent˜ao:

khkp_p =

Z

|h|pdµ

=

Z

lim

k→∞|Ankf |

p_dµ

≤ lim

k→∞inf

Z

|Ankf |

p _dµ

= lim

k→∞inf kAnkf k

p p

e portanto, h= dν

dµ ∈L

p₍_µ_).

¤

2.2 Transforma¸

c˜

oes de Markov

SejaT uma transforma¸cão não singular localmente invert´ıvel eP_{uma parti¸c˜}_{ao enumerável} de X. Nessas condi¸cões, dizemos que P_{é uma} _Parti¸c˜_{ao de Markov} _{para a transforma¸c˜}_ao_T _{se :}

(i) T(A) ´e a reuni˜ao de elementos de P_,_∀_A_∈P

(ii) T :A→T(A) ´e invert´ıvel,∀A∈P

(iii) P _gera_B _sob_T_{, no sentido de que}W∞

k=0T−k(P) =B, em que: ∞

_

k=0

T−k(P_{) =}

( _∞ \

k=0

T−kAk, Ak ∈P, ∀k

)

Dada uma transforma¸c˜aoT n˜ao singular localmente invert´ıvel eP_{uma parti¸c˜}_{ao de Markov;} chamamos o par (T,P_{) de}_{Transforma¸c˜}_{ao de Markov.}

ChamamosConjunto Cilindro e denotamos por~p, o conjunto

~

p= [p0, ..., pn−1] =

n_\−1

i=0

T−ipi,

(22)

Transforma¸c˜oes de Markov

Consideraremos queµ(~p)>0, ∀~p ∈P_{. Chamamos de} _gn _{o ramo inverso de} _Tn_, satisfa-zendoTn_◦_gn₍_x_{) =}_x, _∀_x_∈_p_~_{. A fim de simplificar nossa nota¸c˜}_{ao, denotaremos o ramo inverso de}

Tn restrito ao cilindro ~p por gp~ := gp0 ◦...◦gpn−1 = (T

n¯_¯ ~ p)

−1_{. Ademais; designaremos o dom´ınio}

de g_~_p, que ´eTn₍_~_p_{), por}_Dom₍_g ~ p).

Vamos denotarPe _:= [

n∈N

Pn−1_{. Como (}_Tn¯¯

~

p) ´e uma bije¸c˜ao com sua imagem escreveremos

o Jacobiano de (Tn¯¯_~_p) com respeito a µpor JµTn, ou seja,

µ(Tn(~p)) :=

Z

~ p

JµTn dµ.

Diremos que uma Transforma¸c˜ao de Markov (T,P_{) tem distor¸c˜}_{ao limitada em todo cilindro} (ou controle fraco de distor¸c˜ao), se existe C >0, tal que

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµg~p(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤C; ∀x, y∈Dom(g~p), ∀p~∈Pe

2.3 Lema (Lema da distor¸c˜ao). Sejam p~ = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro e ~q ∈ Pe e

suponhamos que (T,P₎ _{tem distor¸c˜}_{ao limitada em todo cilindro, ent˜}_ao:

µ(g~q∩~p)

µ(~p) ≤C

2_·µ(~q∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

.

Prova. Temos que Tn(~p) =T(pn−1) e paraµ−q.t.p. x∈~p:

µ(~p) = µ(g_~_p◦T(pn−1))

=

Z

x∈ T(pn−1))

Jµ g~p(x) dµ

≤

Z

x∈ T(pn−1))

kJµ g~p k∞ dµ

<

Z

x∈ T(pn−1))

(|Jµ g~p(yǫ)|+ǫ) dµ

<

Z

x∈ T(pn−1))

((C+ 1)· |Jµ gp~(z)|+ǫ) dµ ∀ǫ,∀z

≤

Z

x∈ T(pn−1))

(C+ 1)· |Jµ g~p(z)|dµ

= C· |Jµ g~p(z)|µ(T(pn−1)), ∀z.

(23)

Por outro lado, procedendo da mesma forma temos:

µ(g~q∩~p) =

Z

~

q ∩ Tn₍_~_p₎

Jµ g~p(x) dµ

=

Z

~

q ∩ T(pn−1)

Jµg~p(x) dµ

≤ C· |Jµg~p(x)| ·µ(~q∩T(pn−1))

< C2·µ(~p)·µ(~q∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

e ent˜ao, temos o resultado desejado.

¤

2.4 Lema. Seja (T,P₎ _{uma Transforma¸c˜}_{ao de Markov com distor¸c˜}_{ao limitada em todo cilindro e}

inf{µ(T(~s));~s ∈ P_} _>_{0; ent˜}_{ao existe uma probabilidade}_T_-invariante _ν _{absolutamente cont´ınua} `

a µ tal que dν

dµ ∈L

∞₍_µ_).

Prova. Segue do Lema (2.3) que∀n≥1, ~p = [p0, ..., pn−1] ∈Pn−1 um cilindro e A um

conjunto mensur´avel,A∈ B vale:

µ(T−n(A)∩~p)

µ(~p) ≤C

2_·µ((A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

Seja Γ ={T(~s);~s∈P_}_{e suponhamos que}_µ₍_T₍_~s₎₎_≥_{ǫ >}_0;_∀_T₍_~s₎_∈_{Γ. Assim n´os temos,}

µ(T−n(A)) = X

~ r∈Pn

µ(T−n(A)∩~p)

µ(~p) ·µ(p~)

≤ C2· X

~ r∈Pn

µ(A∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

·µ(~p)

≤ C

2

ǫ ·

X

~ r∈Pn

µ(A∩T(pn−1))·µ(~p)

≤ C

2

ǫ ·

X

~ r∈Pn

µ(A)·µ(~p)

≤ C

2

(24)

Observamos que seg∈L1(µ)+e

1

µ(A)

Z

A

g dµ≤M, ∀A∈ B, isto implica quekgk∞≤M.

Tomando agora a densidadef ≡1e A∈ B temos,

Z

A

Pk1 dµ =

Z

T−n₍_A₎ 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

x∈(~r∩T−n₍_A₎₎ 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

x∈g~p(A∩T−n(~r)) 1 dµ

= X

~ r∈ Pn

Z

A

Jµg~p(~r)dµ

= X

~ r∈ Pn

µ(g~p(A∩Tn(~r)))

= X

~ r∈ Pn

µ(~r∩T−n(A))

= µ(T−n(A))

≤ C

2

ǫ ·µ(A)

portanto, encontramos

k Pn1k∞≤

C2 ǫ ∀ n.

Assim, pelaProposi¸c˜ao (2.2)existe uma probabilidadeT-invariante ν≪µem X e nk →

∞ tal que dν

dµ ∈L

∞₍_µ_{) e}

1

nk n_Xk−1

j=0

Pj1⇀ dν dµ

emL∞(µ), significando

Z

A

1

nk n_Xk−1

j=0

Pj1 dµ−→

Z

A

dν

dµ dµ ∀A∈ B.

¤

2.5 Lema. Seja (T,P₎ _{uma Transforma¸c˜}_{ao de Markov com distor¸c˜}_{ao limitada em todo cilindro e}

inf{µ(T(~s));~s ∈ P_} _>_{0; ent˜}_{ao existe uma probabilidade}_T_-invariante _ν _{absolutamente cont´ınua} `

a µ tal que inf

~ q∈ T(~s)

µ

dν dµ

¶

>0.

Prova. Inicialmente, observemos que para ~p e~q∈P _temos,

µ

C2

ǫ

¶−1

·µ(~p)

µ(~q) ≤

µ(gp~(x))

µ(g_~_p(y)) ≤

µ

C2

ǫ

¶

·µ(~p)

µ(~q),

(25)

2.3. AÇ ÃO DO OPERADOR NO ESPAÇ O DAS FUNÇ ÕES LIPSCHITZ CONTÍNUAS

de fato, observemos que

µ(g~p(x))

µ(g_~_p(y)) =

R

~

pJµg~p dµ

R

~

qJµg~q dµ

.

Do Lema anterior e da h´ıp´otese de distor¸c˜ao limitada, podemos escrever

logJµg~p

Jµg~q

≤

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµg~q(y)

−1

¯ ¯ ¯ ¯≤C.

Ademais, pelo Lema da Distor¸c˜ao, encontramos

R

~

pJµg~p dµ

R

~

qJµg~q dµ

≤ C

2

ǫ ·

Jµg~p(x)µ(~p)

Jµg~q(y)µ(~q)

Portanto, paraA∈ B

µ

C2 ǫ

¶−1

·µ(A)≤µ(T−n(A))≤

µ

C2 ǫ

¶

·µ(A),

assim; µ C2 ǫ ¶−1 ≤ 1 nk n_Xk−1

j=0

Pj1≤

µ C2 ǫ ¶ como 1 nk n_Xk−1

j=0

Pj1⇀ dν

dµ, temos ent˜ao

µ C2 ǫ ¶−1 ≤ dν dµ ≤ µ C2 ǫ ¶ . ¤

2.3 A¸

c˜

ao do Operador no espa¸

co das fun¸

c˜

oes Lipschitz cont´ınuas

Nesta se¸c˜ao analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fr¨obenius no espa¸co

das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas, que definiremos adiante e para tal faremos uso de alguns lemas

auxiliares, que fornecer˜ao subs´ıdios para podermos concluir que existe algum ponto fixo do Operador

nesse mesmo espa¸co.

(26)

A¸c˜ao do Operador no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas

de x e y, definido a seguir. Se x e y estão em elementos distintos de uma parti¸cão P _de _X _então

s(x, y) = 0. Se x e y estão num mesmo elemento da parti¸cão entãos(x, y) é o maior inteiro n≥0 tal queTk_x _e _Tk_y _{estão no mesmo elemento da parti¸c˜}_{ao para}_k_{= 0}_{, ..., n}_.

Aqui trabalharemos com o conceito de fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua com respeito aos

elemen-tos da parti¸c˜ao P_de _X_{. Assim no nosso contexto, dizemos que uma fun¸c˜}_ao _f _:_X _→R_´e _Lipschitz

cont´ınuaem A⊂X se:

DAf := sup x6=y∈A

|f(x)−f(y)|

dβ(x, y)

<∞

e Lipschitz cont´ınua em x∈X se é Lipschitz cont´ınua em alguma vizinhan¸ca dex. Uma fun¸cão é localmente Lipschitz cont´ınuaem A⊂X se é Lipschitz cont´ınua em cada ponto deA. Dada uma fun¸cão f :X→R_{, dizemos que}_f _éP_{-Lipschitz cont´ınua por partes em}_X_{, se é Lipschitz cont´ınua} em cada A∈P _e _D_P_f _{:= sup}

A∈P

DAf <∞. Note que qualquer fun¸c˜ao limitada P-Lipschitz cont´ınua

por partes é Lipschitz cont´ınua emX. SejaP′ _{uma parti¸c˜}_{ao definida como segue}P′ _:=_{_X_\_T₍_X₎_∪ parti¸cão de T(X) gerada porT(P₎_}_{, a cole¸c˜}_{ao das fun¸c˜}_oes P′_{-Lipschitz cont´ınua por partes em}_X é denotada por L e equipada com a norma:

kf kL:=kf k1+DXf.

Por simplicidade nos referiremos ao espa¸co L, como o espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

No nosso contexto oTeorema (1.5) acima ser´a enunciado da seguinte forma:

2.6 Teorema. Se {fn}∞n=1 é uma sequência de fun¸cões Lipschitz cont´ınuas e sup

n≥1

k fn kL < ∞,

ent˜ao existe uma subsequˆencia {fnk}

∞

k=1 e uma fun¸c˜aog lipschitz cont´ınua tal que

fnk(x)→g(x), quando k→ ∞ ∀x∈X,

kgkL ≤ lim

n→∞inf kfnkL

e

kfnk −gk1→0, quando k→ ∞.

Prova. Tomemos uma sequˆencia{fn}∞n=1 emL(espa¸co das fun¸c˜oes lipschitz cont´ınuas).

Por hip´otesekfnkL≤K;n≥1 eK >0. Podemos tomar|fn(x)| ≤2K,x∈X, n≥1 e sabemos

que|fn(x)−fn(y)| ≤K·dβ(x, y); ∀x, y∈X; n≥1.

(27)

Seja Γ ⊂ X um subconjunto enumerável denso; logo existe uma subsequência {fnk} tal que (fnk(x))k≥1 é uma sequência de Cauchy ∀x ∈ Γ. De fato (fnk(x))k≥1 é uma sequência de

Cauchy ∀x∈X e ent˜ao existeg∈ L,g:X →R_{tal que lim}

k→∞fnk(x) =g(x) ∀x∈X. E decorrente

do Lema de Fatou, temos que

kgk1≤ lim

k→∞infkfnk k1 .

SejaP′_{uma parti¸c˜}_{ao definida como anteriormente; tomemos um elemento qualquer}_B _∈P′_, ent˜ao parax, y∈B, comx6=y

DP′g=

|g(x)−g(y)|

dβ(x, y) ←

|fnk(x)−fnk(y)|

dβ(x, y) ≤

DP′f_n_k

portantoDP′g≤ lim

k→∞ infDP′fnk e isto ´e suficiente para mostrar que g∈ L.

Por outro lado,

kgkL = kgk1 +DP′g

≤ lim

k→∞infkfnk k1+ limk→∞ infDP′fnk

e portanto,

kgkL ≤ lim

k→∞infkfnk kL.

Por ´ultimo, como | fnk(x) | ≤ g(x); ∀x ∈ X, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada kgk1≤ lim

k→∞kfnk k1 e ent˜ao temos kfnk−gk1−→0, quando k→ ∞.

¤

A fim de simplificar a nota¸c˜ao escreveremos d(x, y) =dβ(x, y) para representar a m´etrica

dβ(x, y) =βs(x,y), onde 0< β < 1 fixado e s(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y.

Considerare-mos que as transforma¸c˜oes de Markov trabalhadas nesta se¸c˜ao satisfazem inf{µ(T(~p));p~ ∈ P_}_> 0, ∀p~ ∈P_.

2.7 Lema. Seja ~p um cilindro e h :~p −→ R _{tal que} _h _{´e uma fun¸c˜}_{ao Lipschitz cont´ınua e} _g_~_p _{´e o}

ramo inverso de (Tn¯_¯ ~

p), ent˜ao para 0< β <1 fixado e x, y∈Dom(g~p) vale:

|h(gp~(x))| ≤

1

µ(~p)

Z

~ p

(28)

Prova.

|h(g_~_p(x))| ≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+

¯ ¯ ¯

¯h(g~p(x))−

1

µ(~p)

Z

~ p

h(x) dµ

¯ ¯ ¯ ¯

≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+¯¯h(g~p(x))−h(g~p(y))

¯ ¯

≤ 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D~ph·d(g~p(x), gp~(y))

= 1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D~ph·βn

¤

Para o Lema e Proposi¸c˜ao a seguir consideraremos o conjunto Ωβ abaixo; o qual

desem-penhará papel importante na próxima se¸cão. Em que

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe_;

¯ ¯ ¯ ¯

Jµg~p(x)

Jµgp~(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤Cdβ(x, y); ∀(x, y)∈~p∈Dom(g~p)

¾

comC ∈R₊_.

2.8 Lema. Suponha h uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e ~p = [p0, ..., pn−1] ∈ Pn−1 um cilindro.

Ent˜ao parax, y∈~p∈Ωβ temos:

|Jµg~p(x)·h(gp~(x))−Jµg~p(y)·h(g~p(y))| ≤M′′·d(x, y)·

µ

M

Z

~ p

|h|dµ+ (M+ 1)µ(~p)βnD~ph

¶

Prova. Inicialmente, da desigualdade triangular obtemos

|Jµg~p(x)h(gp~(x))−Jµg~p(y)h(gp~(y))| ≤

≤ Jµg~p(x)|h(g~p(x))|

¯ ¯ ¯ ¯

Jµgp~(x)

Jµg~p(y) −

1

¯ ¯ ¯ ¯+

+ Jµg~p(y)|h(gp~(x))−h(gp~(y))|

= (I) + (II)

Analisando os fatores da parcela (I), observamos que:

(i) Jµg~p(x)≤M′′·µ(~p), ∀x∈~p, decorre diretamente do Lema da Distor¸c˜ao

(ii)|h(g~p(x))| ≤

1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+βn·Dp~h; peloLema (2.7)

(iii)

¯ ¯ ¯ ¯

Jµgp~(x)

Jµg~p(y)

−1

¯ ¯ ¯

¯≤M·d(x, y); pois por hip´otese∀p~ ∈Pe; temos que ~p∈Ωβ

(29)

e, portanto,

(I) ≤ M′′·µ(~p)·M·d(x, y)·

µ

1

µ(~p)

Z

~ p

|h|dµ+D_p_~h·βn

¶

≤ M·d(x, y)·

µZ

~ p

|h|dµ+µ(~p)·D~ph·βn

¶

Analisando a parcela (II), basta verificarmos que

|h(g~p(x))−h(g~p(y))| ≤ d(gp~(x), gp~(y))·D~ph

≤ d(x, y)·βn·D~ph

e, portanto,

(II)≤M′′·µ(p~)·d(x, y)·βn·D_~_ph

Assim, podemos concluir que

(I) + (II) ≤ M′′·M·d(x, y)·

µZ

~ p

|h|dµ+µ(~p)·D~ph·βn

¶

+M′′·µ(~p)·d(x, y)·D~ph·βn

≤ M′′·d(x, y)·

µ

M

Z

~ p

|h|dµ+ (M+ 1)·µ(~p)·D_~_ph·βn

¶

chegando ent˜ao ao resultado desejado.

¤

A próxima Proposi¸cão estabelece um estimativa para o Operador de Perron-Fröbenius no

espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

2.9 Proposi¸cão. Sejah uma fun¸cão Lipschitz cont´ınua eP o Operador de Perron-Fröbenius para

T, ent˜ao vale:

k Pn hk ≤M′′·(DP′h·βn +khk₁)

Prova. Inicialmente, podemos deduzir uma representa¸cão do Operador de Perron-Fr¨ obe-nius que será útil na demostra¸cão desta proposi¸cão.

Sabemos que T ´e invert´ıvel em cada~p ∈Pn−1_, _T−1 _:_T₍_~_p₎_→_p_~ _e _g_p_~ _{ramo inverso de} _Tn_, restrito a p~; que estamos denotando por g~p, e que satisfaz Tn◦gp~(x) = x ∀x ∈ ~p, dessa forma

podemos escrever

T−n(X) = [

~ p∈Pn−1

~ p

= [

~ p∈Pn−1

(30)

agora, pela defini¸c˜ao do operador

Z

X

Pn h dµ =

Z

T−n₍_X₎

h dµ

=

Z [

~ p∈Pn−1

Im(gp~)

h dµ

= X

~ p∈Pn−1

Z

Im(g~p)

h dµ

= X

~ p∈Pn−1

Z

Dom(gp~)

Jµg~p·h◦g~p dµ

e, portanto, temos

Pn h= X

~ p∈Pn−1

Jµg~p·h◦gp~.

Segue ent˜ao que parax∈Dom(g_~_p)

|Pnh(x)| ≤ X

~ p∈Pn−1

µ

1

µ(~p)

Z

~ p

|h(x)|dµ+D_~_ph·βn

¶

·M′′·µ(~p)

≤ M′′· X

~ p∈Pn−1

µ(~p)·

µ

1

µ(p~)

Z

~ p

|h(x)|dµ+DP′h·βn

¶

, poisD~ph≤DP′h

≤ M′′·(khk1 +DP′h·βn)

Por ´ultimo, parah uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua e x, y ∈~q∈P′_{, temos}

|Pnh(x)− Pnh(y)| ≤ X

~ q∈Pn−1

|Jµg~q(x)·h(g~q(x))−Jµg~q(y)·h(g~q(y))|

= M′′·d(x, y)· X

~ q∈Pn−1

µ

M

Z

~ q

|h|dµ+ (M+ 1)·µ(~q)·βn·D~qh

¶

,peloLema(2.8)

≤ M′′·d(x, y)·(M khk1 + (M+ 1)·DP′h·βn) ;

ou seja,

|Pn_h₍_x₎_{− P}n_h₍_y₎_|

d(x, y) ≤M, em que basta tomarmos

M =M′′·(M· khk1 + (M+ 1)·DP′h·βn).

Dessa forma, segue por defini¸cão que DP′Pnh < M, sendo então o próprio Operador P Lipschitz

cont´ınuo.

¤

(31)

2.4. PROPRIEDADES DE DISTORC¸ ˜AO E ERGOCIDADE

2.4 Propriedades de Distor¸

c˜

ao e Ergocidade

Um subconjunto aberto mensur´avel W ⊂ X, tal que W(T) = {x;∀ aberto U ∋ x,∃n >

0 comTn(U)∩U 6=∅}é chamadoconjunto erranteparaT uma transforma¸cão não singular. Deno-tamos porW(T) a cole¸cão dos conjuntos errantes. Dessa forma chamamos a parteDissipativa da transforma¸cãoT e denotamos porD₍_T_{) =}S₍_W₍_T_{)) a união mensurável das cole¸c˜}_{oes de conjuntos} errantes paraT. Dessa forma, a transforma¸cão T é chamada totalmente dissipativa seD₍_T_{) =}_X mod µ.

O conjunto C₍_T_{) :=}_X_\D₍_T_{) é chamado parte}_Conservativa _de _T_{. A transforma¸c˜}_{ao não} singularT é chamada ConservativaseC₍_T_{) =}_X _mod _µ_.

Se podemos particionar o dom´ınioX da forma{C₍_T₎_,D₍_T₎_}_{, então dizemos que}_T _possui uma decomposi¸cão deHopf. (Ver em [1], pág. 15)

Seja o conjunto

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe_;

¯ ¯ ¯ ¯

JµTn(x)

JµTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯≤Cdβ(Tn(x), Tn(y)); ∀(x, y)∈~p∈Pn−1

¾

em que C ∈R₊_{. Nós dizemos que uma transforma¸c˜}_{ao de Markov (}_T,P_{) possui} _{controle forte de} distor¸cãose existeC >1 tal que para todo~p∈Pe_,_~_p _∈_Ω_β_{. Observe que por questão de conveniência} estamos reescrevendo o conjunto Ωβ, definido anteriormente, mas são de fato os mesmos.

Seja (T,P_{) uma Transforma¸c˜}_{ao de Markov e} _{C >} _{0. Uma cole¸c˜}_{ao Θ} _⊂ Pe _{é chamada} Cole¸cão SchweigerparaT se todos os elementos da cole¸cão possuem distor¸cão limitada para algum

C >0, e

[

B∈Θ

B =X modµ.

Uma Transforma¸c˜ao de Markov (T,P_{) possui} _{controle fraco de distor¸c˜}_ao _{se existe uma} Cole¸c˜ao Schweiger paraT.

2.10 Lema. Suponha que (T,P₎ _{é uma Transforma¸c˜}_{ao de Markov com controle fraco de distor¸c˜}_ao eΘé uma Cole¸cão Schweiger para T. Se A∈Θ; então

∞

X

n=1

µ(T−n(A)) =∞ ⇒ A⊂C_{mod µ}

e

∞

X

n=1

(32)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

em particular C_e D_s˜_{ao ambos uni˜}_{oes de conjuntos em}_Θ.

Prova. Da segunda implica¸c˜ao temos que dado um ponto x ∈ A, x volta a A finitas vezes, n˜ao retornando a partir de um certon≥n0 fixado, ou seja,A⊂D=X\C. Para a primeira

implica¸c˜ao suponhamos que µ(A\C₎_>_{0 ent˜ao} _∃_B _{∈ B ∩}_A_:=_{_B_{∈ B}_;_B _⊂_A_}_,_µ₍_B₎_>_{0 tal que}

∞

X

n=1

µ(T−n(B))<∞

portanto, pelo Lema (2.4)

∞

X

n=1

µ(T−n(A))<∞

¤

Ao estudarmos a dinˆamica de certas transforma¸c˜oes a longo prazo, desejamos saber onde

os pontos do espa¸co s˜ao levados por iterados futuros da transforma¸c˜ao que reje o sistema, assim

definimos o ω −limite de um ponto x ∈ X, como sendo o conjunto dos pontos y ∈ X, tais que para toda vizinhan¸caV de y a rela¸c˜ao Tn(x)∈V,n >0 ´e satisfeita para infinitos valores de n.

Dizemos também que uma transforma¸cão cont´ınua T de um espa¸co topológico X é

tran-sitiva se existe x∈X tal que ωT(x) =X. A transforma¸c˜ao T ´e dita topologicamente transitiva se

para todo par de conjuntos abertos, n˜ao vaziosU, V ⊂X existen≥1 tal que Tn(U)∩V 6=∅.

Lembremos queT ´e dita erg´odica, se para todoA ∈ B, invariante (T−1₍_A_{) =}_A _mod _µ_),

implicaµ(A) = 0 ouµ(Ac) = 0

2.11 Lema. Seja T uma transforma¸cão não singular localmente invert´ıvel e X um conjunto T -invariante, se existe φinvert´ıvel tal que φ conjuga(T, X) e(σ,Σ), onde σ é shift e Σé invariante

por σ; ent˜ao(T, X)´e topologicamente transitivo.

Prova. Este Lema é um corolário da Proposi¸cãoA.5. (Ver Apêndice)

¤

2.12 Lema. Suponha que T é topologicamente transitivo com controle fraco de distor¸cão, entãoT

é conservativo ou totalmente dissipativo. Se T é conservativo então T é ergódico.

Prova. Assumamos que

[

B∈Θ

B =Xmod µ;

(33)

Propriedades de Distor¸c˜ao e Ergocidade

da´ı peloLema (2.10) temos

C₌ [

B⊂Θ∩C

B mod µ.

Assim, segue pela irredutibilidade que T ´e conservativo ou totalmente dissipativo.

Supo-nha queT é conservativo. Já que Θ geraB; segue pelo Lema de Distor¸cãoque

µ(T−n(A)∩~p)

µ(p~) ≤C

2_·µ(A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

∀n∈N_; _~_p_∈₍Pn−1_∩_Θ); _A_{∈ B}_.

Agora, suponha que T−1(A) =A e µ(A)>0, ent˜ao para A∈ B,

µ(A∩~p)

µ(~p) ≤C

2_·µ(A)∩T(pn−1))

µ(T(pn−1))

∀n∈N_; _~_p_∈₍Pn−1_∩_Θ)_.

Para µ-q.t.p. x∈X, temos que,

µ(A∩~p)

µ(~p) =

µ(A∩[po(x), ..., pn−1(x)])

µ(T(pn−1)) −→

χA(x) quando n→ ∞

em qur paran≥1,pn−1(x) ´e definido porTn(x)∈pn−1(x)∈P.

Por conservatividade de T, se ~p = [po, ..., pn−1]∈ Θ ent˜ao para µ-q.t.p. x ∈ ~p, Tkx ∈ ~p

para infinitosk′s, portanto,

χA(x)· µ(T(pn−1))

µ(A∩T(pn−1))

≤C2.

E segue que,

A= [

B∈Θ, µ(A∩B)>0

B mod µ.

J´a que µ(A)> 0,∃ B ∈Θ tal que B ⊂A; por irredutibilidade seB′ ∈Θ, ent˜ao ∃k ≥0 tal que µ(B∩T−k_B′₎ _>_{0, portanto} _B′ _⊂ _A_{. Assim} _A ₌ _X_mod _µ_{, logo} _µ₍_Ac_{) = 0 e concluimos}

queT ´e ergodico.

(34)

Cap´ıtulo 3

Teoremas A e B

Neste cap´ıtulo demonstraremos os dois Teoremas Principais deste trabalho, provaremos

que uma C2_{–Transforma¸c˜}_{ao Markoviana Expansora por Partes possui uma medida invariante} _µ

que é absolutamente cont´ınua com respeito à medida de Lebesgue m, isto é µ = hm, onde h é

densidade acotada longe do zero e portanto logh tamb´em ´e limitado. De fato, mostraremos que

h pertence ao espa¸co das fun¸cões P′_{-Lipischitz cont´ınuas por partes. Esta condi¸c˜}_{ao implica que a} medidaµé equivalente à de Lebesgue no sentido de que possuem os mesmos conjuntos de medida

Lebesgue zero.

Lembramos que dado um cilindro~p= [p0, ..., pn−1]∈Pn−1 ⊂Pe, denotamos o ramo inverso

de Tn restrito ao cilindro ~p, por g~p :=gp0 ◦...◦gpn−1 = (T

n¯_¯ ~ p)

−1_{. Ademais, n´os dizemos que uma}

transforma¸c˜ao de Markov (T,P_{) possui controle forte de distor¸c˜}_{ao se existe} _{C >} _{1 tal que para} todo ~p∈Pe_,_~_p _∈_Ω_β_{. Onde}

Ωβ :=

½

~ p ∈Pe_;

¯ ¯ ¯ ¯

JµTn(x)

JµTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯≤C·dβ(Tn(x), Tn(y)); ∀ (x, y)∈~p∈Pn−1

¾

comC ∈R₊_.

Teorema A. Suponha que(T,P₎ _{uma transforma¸c˜}_{ao de Markov; tal que para todo cilindro} _~_p_∈Pe tenham forte controle de distor¸c˜ao. Se #T(P₎ _< _∞_{; ent˜}_{ao existe uma densidade invariante} _µ_, absolutamente cont´ınua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ

dm pertence ao espa¸co das fun¸c˜oes

(35)

Teoremas A e B

Prova. Sabemos que (T, X) e (σ,Σ) são conjugados, então peloLema (2.11)nos podemos assumir que (T,P_{) é topologicamente transitivo. Pela}_Proposi¸c˜_{ao (2.2)}_e_{Lema (2.4)}_existe_h_:_X _→

R_{, tal que}_P_h₌_h_{. Pelo}_{Lema (2.5)}_{conclu´ımos que log}_h_∈_L∞₍_µ_{); e isto ´e suficiente para mostrar}

queh∈ L. Pela ergodicidade de T, nos temos que

1

n

n−1

X

k=0

Pk1−→h= dµ

dm em L

1₍_µ_{) quando} _n_{→ ∞}_.

PelaProposi¸c˜ao (2.8); existeq ≥1, 0< β <1 eM >0 tal que

k Pqf kL ≤ M·DP′f·βn+M kf k₁

≤ θkf kL+M kf k1 ∀ f ∈ Le0< θ <1.

Agora, iterando n´os temos

k Pqnf kL = k Pq(Pq...qf)kL

≤ θk Pq...qf kL+M k Pq...qf k1

≤ θ(θn−1 kf kL+(θn−2+...+ 1)M kf k1) +M kf k1

= θnkf kL+(θn−1+...+θ)M kf k1+M kf k1

= θnkf kL+(θn−1+...+θ+ 1)M kf k1

tomandoM′ =

∞

X

n=0

θn·M, obtemos:

k Pqnf kL≤θnkf kL+M′kf k1<∞; ∀ f ∈ L; n≥1 e0< θ <1.

ConsidereAn1:=

1

n

n−1

X

k=0

Pk1. N´os mostramos que sup

n≥1

k Pk1kL <∞; de fato lembremos

quek Pk₁_k

L=k Pk1k1 +DXPk1. PeloLema(2.4),k Pk1k1 ≤

C2

ǫ ·µ(A);A∈ B e pelaProposi¸c˜ao

(2.9), parag uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua valeDP′Pkg < M, assim D_XPk1<∞.

Considerando An1:=

1

n

n−1

X

k=0

Pk1 parak≥1, temos

kAn1kL=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n n−1 X k=0

Pk1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ L ≤ 1 n

n_X−1

k=0

(36)

Teoremas A e B

reescrevendo k=a·q+b, em que a≥0 e 0≤b < q obtemos

kAn1kL ≤

1

n

n−1

X

k=0

k Paq+b1kL

≤ 1

n

n−1

X

k=0

k Paq(Pb1)kL

≤ θak Pb1kL+M′k Pb1k1<∞, conforme exposto acima.

Por último, reca´ımos nas hipóteses dadas pelo Teorema de Ascoli-Arzelá, (Teorema 2.6) e

por-tanto, An1 possui subsequência convergente em L1(µ) cujo limite é h, fun¸cão lipschitz cont´ınua.

Portanto, µ=hm ´e uma medida finita T-invariante absolutamente cont´ınua, com logh limitado.

¤

SejaT uma transforma¸cão definida num subconjuntoX ⊂ M, em queMé uma variedade compacta e X possui medida Lebesgue total. Dizemos que T é uma Transforma¸cão Markoviana

Expansora por Partesse existir uma parti¸c˜ao enumer´avelP_{, com respeito a medida de lebesgue, do} dom´ınio X e conjuntos cilindros tais que:

(i) k(DT(x))−1 k−1≥λ >1∀ x∈~p∈P_,

(ii) log

¯ ¯ ¯ ¯

det DT(x) detDT(y)

¯ ¯ ¯

¯≤C·d(x, y); ∀ x, y∈~p, ∀ ~p∈P,

(iii) Para cada pk∈P;T

¯ ¯

pk ´e um difeomorfismoC

2 _{com uma extens˜ao ainda} _C2 _a _p

k.

Dizemos que um conjuntoA⊂ M ´e positivamente invariantepara T, seT(A) =A. Um conjunto invariante (T−1(A) =A) ´e em particular um conjunto positivamente invariante.

Para provar o pr´oximo Teorema, necessitaremos do seguinte Lema:

3.1 Lema. Se A⊂ M ´e um conjunto positivamente invariante, ent˜ao existe uma bolaB de raio

δ/4tal quem(B\A) = 0.Em particular, sendo a medida deMfinita, teremos somente um n´umero finito de conjuntos invariantes distintos.

Prova. E suficiente mostrarmos que existe uma bola de raio´ δ/4, onde a medida relativa de A está próxima de 1. Sejak >0 um número pequeno. Sejam Ac um compacto contido emA e

Av uma vizinhan¸ca deActal que m(A\Ac) em(Av\Ac) sejam ambos menores que k·m(A). Para

x ∈Ac seja Vn(x) a vizinhan¸ca dex; ademais Vn(x) ´e enviada com distor¸c˜ao limitada porTn na

(37)

Teoremas A e B

bola de raioδ em torno deTn₍_x_{). Podemos escolher}_n_{sufiucientemente grande de a que para todo}

x ∈ Ac se tenha Vn(x) ⊂ Av. Seja Un(x) ⊂Vn(x) a pr´e imagem por Tn de Bδ/4(Tn(x)). Sejam

x1, ..., xN ∈Ac tais queUn(x1), ..., Un(xN) cubramAc.

Podemos ainda se necess´ario for, reordenar os ´ındices, de forma tal que param≤N termos uma subfam´ılia maximal Un(x1), ..., Un(xm), cujos elementos s˜ao disjuntos dois a dois. Notemos

que Vn(x1), ..., Vn(xN) cobrem Ac, uma vez que a uni˜ao deste conjunto cont´emUn(xi), para todo

1 ≤ i ≤ N. De fato, cada Un(xi) deve intersectar algum Un(xk) com k ≤ m e , deste modo, a

sua imagem por Tn, uma bola de raio δ/4em torno de Tn(xi), intersecta a bola de raio δ/4 em

torno de Tn(xk), estando assim contida na correspondente bola de raio δ. Em particular temos

Un(xi)⊂Vn(xk).

Pela distor¸c˜ao limitada, existe uma constante uniforme C > 0, independente de x e de

n, tal que m(Un(x)) ´e maior que C·m(Vn(x)). Assim sendo, a medida de lebesgue de Un(x1)∪

...∪Un(xm) ´e maior queC·m(Ac). Se θ > 0 ´e tal quem(Un(xi)\Ac)≥ θ·m(Un(xi) para todo

1≤i≤m, ent˜ao

m(Un(x1)∪...∪Un(xm)\Ac)≥θ·Cm(Ac)≥θ·C(1−k)m(A).

Por outro lado, dado queUn(xi)⊂Av eAc⊂A, esta medida tem que ser inferior ak·m(A)

k·m(A)≥m(Un(x1)∪...∪Un(xm)\Ac)≥θ·C(1−k)m(A).

Podemos deste modo reduzirk >0, aumentandon, de forma tal que θseja for¸cosamente pequeno.

Desta forma podemos encontrar ne Un(xi) tais que a medida de lebesgue relativa de Un(xi)∩Ac

em Un(xi) seja arbitrariamente próxima de 1. Então, pela distor¸cão limitada e pelo fato de A se

positivamente invariante a medida de lebesgue relativa deTn(Ac)⊂Ana bola de raioδ/4 em torno

de Tn(xi) também está arbitrariamente próxima de 1.

¤

Um conjunto compacto positivamente invariante A ´e chamado atrator se sua bacia de

atra¸c˜ao B₍_A_{) =}_{_x_{∈ M}_{, w}₍_x₎_⊂_A_} _{possui medida lebesgue positiva.}

TeoremaB. SeT :M → M´e umaC2 _{Transforma¸c˜}_{ao Markoviana expansora por partes, com um}

(38)

Teoremas A e B

Prova. Sejamxeypertencentes ao cilindrop~n= [p0, ..., pn−1], comdβ(x, y)≤ǫ, ou seja,

x ey est˜ao muito pr´oximos.

Lembramos que d=dβ =βs(x,y), ondes(x, y) ´e o tempo de separa¸c˜ao de x e y. Sex e y

estão em elementos distintos de uma parti¸cãoP_de_X _então_s₍_{x, y}_{) = 0. Se}_x _e_y_{estão num mesmo} elemento da parti¸cão então s(x, y) é o maior inteiro n ≥ 0 tal que Tkx e Tky estão no mesmo elemento da parti¸cão parak= 0, ..., n. Ademais, por

(i) k(DT(x))−1 _k−1_≥_{λ >}₁_∀ _x_∈_~_p_∈_P

(ii) log

¯ ¯ ¯ ¯

det DT(x) detDT(y)

¯ ¯ ¯

¯≤C·d(x, y); ∀ x, y∈~p, ∀ ~p∈P

temos,

d(Tj(x), Tj(y)) ≤ λ−(n+s(Tn(x),Tn(y))−j)·d(Tn+s(Tn(x),Tn(y))(x), Tn+s(Tn(x),Tn(y))(y))

≤ λ−(n−j)·λ−s(Tn(x),Tn(y))·r, onde r = diam~p

e pondoβ =λ−1 _{e fazendo}_k₌_n₋_j _obtemos,

d(Tj(x), Tj(y))≤βn−j·βs(Tn(x),Tn(y))

Agora, tomando logaritmos encontramos

log

¯ ¯ ¯ ¯

det DTn₍_x₎

det DTn₍_y₎

¯ ¯ ¯ ¯ =

n_Y−1

k=0 log ¯ ¯ ¯ ¯

detDT(Tk₍_x₎₎

detDT(Tk₍_y₎₎

¯ ¯ ¯ ¯ = n−1 X k=0

(log|detDT(Tk(x))| −log|detDT(Tk(y))|)

≤ C·

n

X

k=0

βn−k·r·βs(Tn(x),Tn(y))

= C′·dβ(Tn(x), Tn(y))

em que C′ = C·

n

X

k=0

βn−k·r. Conv´em observar que como m ´e a medida de Lebesgue, temos que

JmTn= detDTn.Agora, utilizando o fato de que para todo x >0 tem-se logx≤ |x−1|; obtemos,

log

¯ ¯ ¯ ¯

detDTn₍_x₎

detDTn₍_y₎

¯ ¯ ¯ ¯= log

¯ ¯ ¯ ¯

JmTn(x)

JmTn(y)

¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯

JmTn(x)

JmTn(y) −

1

¯ ¯ ¯

¯ ≤Cdβ(Tn(x), Tn(y))

portanto, reca´ımos nas hip´oteses doTeorema A e ent˜ao, existe densidade invarianteµ;

absoluta-mente cont´ınua a Lebesgue e limitada no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas.

(39)

Teoremas A e B

Para provar a existência de um número finito dessas medidas, suponhamosA⊂X algum conjuntoT-invariante com medida Lebesgue positiva, dado pelo Lema anterior, então pelo exposto

temos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para alguma hA que ´e limitada no espa¸co das

fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µA = hAm; temos µA densidade T-invariante

absoluta-mente cont´ınua. Observe que escrevendo Ac₌_X_\_A _temos

µA(Ac) =

Z

Ac

hAdm= lim n→∞

1

n

n−1

X

k=0

Z

AcP

k_χ

A dm= lim n→∞

1

n

n−1

X

k=0

Z

X

χAc◦Tk·χ_Adm= 0.

Dessa forma, µAd´a peso total ao conjunto A, ou sejaµA= 1. Ent˜ao X pode ser

decom-posto numa quantidade finita de conjuntos T-invariantes como acima e logo teremos

necessaria-mente uma quantidade finita de medidas invariantes absolutanecessaria-mente cont´ınuas e erg´odicas.

Sabemos que µ(supp µ) = 1 ∀µ probabilidade, em particular µj(supp µj) = 1, como

µj ≪mtemos entãom(supp µj)>0. Sabemos também quesupp µj é um conjunto positivamente

invariante. Pelo que acabamos de comentar e pelo Lema(3.2), temos que existe uma bola contida

no supp µj, ou sejaint(supp µj)6=∅ ∀j.

Seja K = {x, w(x) ∩(int(supp µ1)∪...∪(int(supp µj))} = ∅, observamos que K ´e

positivamente invariante. Logo sem(K)>0, temos pelo Teorema anterior que existe uma medida

ν, absolutamente cont´ınua a lebesgue tal queν(K) = 1.

Observemos queK∩int(supp µj) =∅, dessa formaµj ≤1−µj(int(supp µj))<1 e assim

ter´ıamos µj 6=ν ∀j. Absurdo poisµ1, ..., µn, com 1 ≤j≤n, s˜ao todas as medidas absolutamente

cont´ınuas `a lebesgue. Dessa forma, temos necessariamente m(K) = 0

Logo param−q.t.p. x∈ M teremos algumaµj tal quew(x)∩int(supp µj)6=∅; mas isto

implica que existe n0 tal que Tn0(x) pertence ao int(supp µj) e logo Tn0(x) pertence ao supp µj,

comosupp µj´e um conjunto positivamente invarianteTn(x) pertence aosupp µj para todon≥n0,

ent˜ao conclu´ımos que w(x) ⊂ supp µj. Ou seja, lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de

uma dessas medidas.

¤

3.2 Corol´ario. Se #T(P_{) = 1, ent˜}_{ao existe uma ´}_{unica medida} _µ _{absolutamente cont´ınua com} respeito `a medida de lebesgue.

(40)

Teoremas A e B

que T(A) = X, assim pelo Teorema Atemos que 1

n

n−1

X

k=0

PkχA converge na norma L1(m) para a

densidade hA que ´e limitada no espa¸co das fun¸c˜oes Lipschitz cont´ınuas. Escrevendo µA = hAm;

temosµA medidaT-invariante absolutamente cont´ınua e erg´odica, comµA(T(A)) =µ(X) = 1.

SuponhamosB ⊂X conjunto positivamente invariante. Ent˜ao,

µ1(B) =

µA(A∩B)

µA(A)

e µ2(B) =

µA(Ac∩B)

µA(Ac)

s˜ao duas medidas absolutamente cont´ınuas, com densidades h1 = dµ1/m e h2 = dµ2/m que s˜ao

fun¸cões lipschitz cont´ınuas. Dessa forma, A eActem interior não vazio, contradi¸cão.

¤

(41)

Apˆ

endice

Shift

Os shifts s˜ao um importante objeto no estudo em Sistemas Dinˆamicos. Parte de sua

importância provêm do fato de que certos difeomorfismos contém na sua dinâmica transforma¸cões

que se assemelham ao de uma transforma¸cão shift. Isto é, sob certas condi¸cões um difeomorfismo

f de uma variedade compactaM possui um conjunto X ⊂ M, tal que fN(X) =X, para algum

N e fN¯¯_X é conjugado a um shift, ou seja, é dinâmicamente equivalente a algum shift.

Seja S um conjunto enumer´avel e seja B a σ-´algebra pelos conjuntos cilindros da forma [s1, ..., sn] := {x ∈ SN;xk = sk,1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1}; onde s1, ..., sn ∈ S. Chamamos de shift a

aplica¸c˜ao σ :SN

−→SN

, dada por (σx)n =xn+1; onde SN´e um espa¸co m´etrico compacto quando

equipado com a topologia produto ( topologia gerada pelos conjuntos cilindros),B(SN

) ´e a cole¸c˜ao

de Borel conjuntos e σ:SN

−→SN

´e cont´ınua.

Shift de Markov

SejaS um conjunto enumerável como anteriormente. Uma matrizestocástican×né uma matriz P :S×S −→[0,1], cujos coeficientesps,t satisfazem

X

t∈S

ps,t= 1, ∀s∈S.