θ(t) = A cos(ω c t + θ 0 ) θ t (t) = ω c t + θ 0

Departamento de Engenharia Elétri a

Prin ípios de Comuni ações

Edmar Candeia Gurjão

e andeiadee.uf g.edu.br

•

A informação pode ser transmitida pela

modi ação das ara terísti as de uma senóide.

•

Variando a amplitude dessa senóide de a ordo om a mensagem e mantendo sua frequên ia

onstante obtivemos a modulação em amplitude.

•

Podemos também modi ar a fase ou a

frequên ia dessa senóide em função da mensagem.

•

Modulação em frequên ia: variamos a frequên ia da portadora em função do sinal modulante

m(t)

.

•

A frequên ia da portadora será modi ada a ada instante, e isto nos leva ao on eito de frequên ia

instantânea.

•

Seja

φ(t) = A cos θ(t)

sendo

θ(t)

o ângulo generalizado que é função de

t

. Para

θ(t) = A cos(ω

c

t + θ

0

)

,

θ

t

(t) = ω

c

t + θ

0

, gra amente temos o ângulo generalizado

θ( )

t

ω + θ

_c

t

θ( )

t

qualquer

t

t

₁

t

₂

∆

t

θ

₀

Figura 1: Ângulo generalizado.

Em um pequeno intervalo

∆t

podemos dizer que

ω

c

t + θ

0

é a tangente de

θ(t)

. Dessa forma sob esse pequeno intervalo tem-se

θ(t) = ω

c

t + θ

0

ou

φ(t) = A cos(ω

c

t + θ

0

) t

1

< t < t

2

.

Assim podemos dizer que no pequeno intervalo

∆t

a frequên ia de

φ(t)

é

ω

c

, ou de outra forma, que a frequên ia de

φ(t)

é a in linação da tangente de

θ(t)

no intervalo

∆t

. Generalizando para qualquer

omo a in linação de

θ(t)

no tempo

t

, ou

ω

i

=

dθ

dt

e

θ(t) =

Z

t

−∞

ω

i

(α)dα.

Veremos omo transmitir

m(t)

variando

θ(t)

. Tal té ni a é hamada de modulação em ângulo ou

exponen ial. Para esse tipo de modulação existem

duas possibilidades:

1. Modulação em fase (PM)

2. Modulação em frequên ia (FM)

Na modulação em fase

θ(t)

varia linearmente om

m(t)

θ(t) = ω

c

t + θ

0

+ k

p

m(t)

sendo

k

p

uma onstante,

ω

c

a frequên ia da portadora e

θ

0

a fase de portadora que pode ser feita igual a

zero sem perda de generalidade, então

θ(t) = ω

c

t + k

p

m(t)

assim

e a frequên ia instantânea

ω

i

será

ω

i

=

d

dt

[ω

c

t + k

p

m(t)] = ω

c

+ k

p

m

′

(t).

Portanto, na modulação em fase a frequên ia

instantânea varia linearmente om a derivada do sinal

modulante.

Fazendo

ω

i

= ω

c

+ k

f

m(t)

(2) sendo

k

f

uma onstante, a frequên ia instantânea

varia linearmente om o sinal modulante e temos

modulação em frequên ia (FM), ou seja

θ(t)

=

Z

t

−∞

[ω

c

+ k

f

m(α)]dα

=

ω

c

t + k

f

Z

t

−∞

m(α)α

(3) donde,

s

F M

= A cos[ω

c

t + k

f

Z

t

−∞

m(α)dα].

(4)

As equações 1 e 4 dos sinais PM e FM

possível distinguí-los.

Isto sugere que podemos ter uma função generalizada,

na qual FM e PM são asos espe iais, esta função é

hamada de modulação exponen ial (EM

-Exponential Modulation) e é dada por

s

EM

(t) = A cos



ω

c

t + k

Z

∞

−∞

m(α)h(t − α)dα



sendo

k

uma onstante. Se

h(t) = δ(t) ⇒

Z

∞

−∞

m(α)δ(t − α)dα = m(t)

temos um sinal PM, se

h(t) = u(t) ⇒

Z

∞

−∞

m(α)u(t − α)dα =

Z

t

−∞

m(α)dα

temos um sinal FM.

Exemplo 1 Desenhe as ondas FM e PM para o sinal

m(t)

representado na Figura abaixo.

k

f

= 2π10

5

,

m(t)

1

−1

t(s)

2x10

−4

Figura 2: Função do Exemplo 1.

Solução: Em FM temos

ω

i

= ω

c

+ k

f

m(t)

que dividindo por

2π

é

f

i

=

f

c

+

k

f

2π

m(t)

=

100 × 10

6

+

2π10

5

2π

m(t) = 10

8

+ 10

5

m(t)

donde obtém-se

f

i

(min)

= 10

8

₋

₁₀

5

_{= 99, 9M Hz}

e

f

_i(max)

= 10

8

+ 10

5

= 100, 1M Hz

.

Como

m(t)

res e (ou de res e) linearmente om o tempo

f

i

res e (ou de res e) de 99,99MHz a

1

2x10

−4

m(t)

1

−1

t(s)

t(s)

−A

A

s (t)

_FM

Figura 3: Sinal do Exemplo 1 modulado em

fre-quên ia.

b) PM: temos que PM para

m(t)

é FM para

m

′

(t)

, de forma que

f

i

=

f

c

+

k

p

2π

m

′

(t)

=

10

8

+

10π

2π

m

′

(t) = 10

8

+ 5m

′

(t)

m

′

(t) = a

quando

m(t)

varia de -1 a 1 e

m

′

(t) = −a

quando

m(t)

varia de 1 a -1, sendo que

a

indi a a in linação da reta denida pelos pontos -1 a 1 em

t

,

a =

1 − (−1)

10

4

= 2 × 10

4

= 20.000

m’(t)

20.000

−20.000

t

2x10

−4

Figura 4: Derivada do sinal do Exemplo 1.

f

i

(min)

= 10

8

−

5 × 20.000 = 10

8

−

10

5

= 99, 99M H

f

_i(max)

= 10

8

+ 5 × 20.000 = 10

8

+ 10

5

= 100, 1M H

Como

m

′

(t)

omuta de 20.000 a -20.000 a ada

10

−

4

s

a

f

i

omuta de 100,1 e 99,9Mhz a ada

10

−

4

s

.

m’(t)

20.000

−20.000

t

2x10

−4

t

s (t)

PM

Figura 5: Sinal modulado em Fase do Exemplo 1.

Exemplo 2 Desenhar ondas FM e PM para um sinal

modulante digital

m(t)

abaixo.

k

f

= 2π10

5

,

k

p

= π/2

e

f

c

= 100M Hz

.

m(t)

1

t

−1

a) FM, temos

f

i

= f

c

+

k

f

2π

m(t) = 10

8

+ 10

5

m(t).

Como

m(t)

omuta de 1 a -1 e vi e-versa, a onda Fm também de 100,1 a 99,9MHz

t

100,1MHz

99,9MHz

Figura 7: Sinal do Exemplo 2 modulado em FM.

Este esquema de modulação é hamado de FSK

(Frequen y-Shift Keying) omutação por

deslo amento em frequên ia. b) Para PM, temos

f

i

= f

c

+

k

f

2π

m

′

(t) = 10

8

+

1

4

m

′

(t).

e não  a laro omo a

f

i

se altera. Portanto vamos onsiderar a abordagem direta.

t

m’(t)

Figura 8: Sinal do Exemplo 2 derivado no tempo.

s

P M

(t)

=

A cos[ω

c

t + k

p

m(t)]

=

Acos[ω

c

t +

π

2

m(t)]

s

P M

(t) =







A cos[ω

c

t +

π

₂

] = −A sin ω

c

t para m(t) = 1

A cos[ω

c

t −

π

₂

] = A sin ω

c

t para m(t) = −1

Figura 9: Sinal do Exemplo 2 modulado em fase.

pode ser visto omo uma modulação DSB-SC por

m(t)

.

A onda

s

P M

(t)

tem des ontinuidade nos instantes onde os impulsos em

m

′

(t)

estão lo alizados. Isto impli a que

ω

i

=

d

Θ

dt

nestes instates

→ ∞

.

É interessante notar que

k

p

deve ser es olhido de forma que a fase que restrita a faixa

(−π, π)

. Por exemplo, se

k

p

=

3π

2

em nosso exemplo

s

P M

(t) = A cos[ω

c

t +

3π

2

m(t)]

e

s

P M

(t) = A sin ω

c

t

quando

m(t) = 1

e

m(t) = −1/3

o que pode ausar ambiguidades no re eptor.

Se

m(t)

for ontínuo a restrição sobre

k

p

não é ne essária. Com isso podemos dizer que para

m(t)

limitado em faixa

k

p

não tem qualquer restrição.

Primeiro aso de FM, vamos ter

a(t) =

Z

t

−∞

m(α)dα

assim

s

_{F M}

(t) = A cos(ω

_c

t + k

_f

a(t))

= Re[Ae

[j(ω

c

t+k

f

a(t))]

]

= Re[ˆ

s

F M

(t)]

(5) agora

ˆ

s

_{F M}

(t) = Ae

jω

c

t

e

jk

f

a(t)

expandido em série este último termo

ˆ

s

_{F M}

(t) = Ae

jω

c

t

[1 + jk

f

a(t) −

k

2

_f

2!

a

2

_{(t) + ...}

+

j

n

_k

n

f

a

n

(t)

n!

+ ...]

(6)

ˆ

s

_{F M}

(t)

= A cos ω

_c

t[1 −

k

2

f

2!

a

2

_{(t) + ...]}

+ A sin ω

_c

t[−k

_f

a(t) +

k

3

f

a

3

(t)

3!

− ...]

= A[cos ω

c

t − k

f

a(t) sin ω

c

t

−

k

2

f

a

2

(t)

2!

cos ω

c

t +

k

_f

3

a

3

(t)

3!

sin ω

c

t + ...]

(7) Se

M (ω)

é limitado em faixa em

BHz

então

M (ω)

_jω

1

= A(ω)

(integral) também é limitada em

BHz

.

a

2

(t) ↔

A(ω) ∗ A(ω)/2π limitada em 2BHz

a

n

(t) ↔

A(ω) ∗ A(ω) ∗ ...A(ω)/(2π)

n−1

limitada em nBHz.

(8)

De modo que o espe tro total é o espe tro da

portadora mais o espe tro dos

a

n

entrados em

ω

_c

. É fá il notar que este espe tro é ilimitado em faixa.

onda FM seja innita, podemos notar que a maior

parte da potên ia do sinal está ontida numa

faixa nita. Usando essa informação tem-se dois

asos a onsiderar:

•

FM de faixa estreita, e

•

FM de faixa larga

Modulação em Ângulo em

Faixa Estreita

Agora se zermos

k

f

muito pequeno de modo qe

| k

_f

a(t) |<< 1

então na expansão em série os termos

k

_f

2

a

2

(t)

2!

,

k

_f

3

a

3

(t)

3!

, ...,

k

_f

n

a

n

(t)

n!

tendem a zero e  amos om

uma onda AM. Como

a(t)

é limitado em

BHz

,

s

_{F M}

(t)

terá apenas

2BHz

. Por esa razão, quando

| k

_f

a(t) |<< 1

este aso é hamado de FM de faixa estreita (NBFM, Narrow Band FM). O

PM de faixa estreita é similar

s

_{P M}

(t) ≈ A[cos ω

_c

t − k

_p

m(t) sin ω

_c

t].

As equações a ima sugerem um método possível

para gerar NBFM e NBPM usando moduladores

DSB-SC, omo está ilustrado na Figura 10.

DSB−SC

π/2

Σ

−Asen t

Acos t

NBPM

m(t)

ω

c

ω

_c

p

ω

−Ak m(t)sen t

c

m(t)

_a(t)

NBPM

NBFM

Figura 10: Método para gerar NBFM e NBPM via

espe tros de

s

F M

(t)

e

s

P M

(t)

onsiderando faixa estreita.

Se

| k

f

a(t) |

não é muito menor que 1, não

podemos desprezar os termos de mais alta ordem

da equação do sinal FM, e a análise se torna

bastante ompli ada.

Para obter uma estimativa vamos onsiderar

m(t)

limitado em

BHz

. Este sinal pode ser

aproximado por digamos

m(t)

ˆ

omo mostra a Figura 11.

t

k

m(t )

1/2B

t

_k

Figura 11: Aproximação do sinal

m(t)

por degraus.

Por onveninên ia ada pulso será hamado de

um élula. É relativamente fá il analisar FM pra

ˆ

élula. Para assegurar que

m(t)

ˆ

ontenha toda a informação de

m(t)

ada élula nao deve ser

maior que o intervalo de Nyquist

1/2B

segundos.

Vamos onsiderar uma élula típi a ome ando

em

t = t

k

, esta élula tem um amplitude onstante

m(t

k

)

, portanto o sinal FM

orrespondente a esta élula será uma senóide de

frequên ia

ω

i

= ω

c

+ k

f

m(t

k

) para t

k

< t < t

k

+

1

2B

omo mostrado na Figura 12.

1/2B

t

_k

ω = ω

_i

_c

+ k m(t )

_f

_k

t

Figura 12: Sinal FM orrespondente a uma élula.

O sinal FM onsiste de uma sequên ia de pulsos

orrepondentes a ada élula de

m(t)

ˆ

. O espe tro FM de

m(t)

ˆ

onsiste da soma das transformadas

de um pulso senoidal é uma função

sinc

, representado na Figura 13.

ω

4π

B

ω

_c

+ k m(t )

_f

_k

Figura 13: Transformada de Fourier de um pulso

senoidal

Note que o espe tro deste pulso é espalhado ao

redor de

ω

c

+ k

f

m(t

k

)

por

2π

T

=

2π

1/2B

= 4πB

. As amplitudes máxima e mínima das élulas são

respe tivamente

−m

p

e

m

p

. Portanto as

frequên ias máxima e mínima do sinal FM são

ω

_c

+ k

_f

m

_p

e

ω

c

− k

f

m

p

respe tivamente. O

espe tro de ada pulso om frequên ia máxima e

ω

4π

B

ω

_c

_f

4π

B

ω

_c

+ k m

_f

p

− k m

p

Figura 14: Transformada de Fourier de dois pulsos

senoidais.

Portanto as omponentes de frequên ias máxima

e mínima signi ativas serão

ω

c

+ k

f

m

p

+ 4πB e ω

c

− k

f

m

p

− 4πB

om uma largura de faixa de

2k

f

m

p

+ 8πB

onsiderando que a potên ia do sinal está ontida

no lóbulo prin ipal da função

sinc

.

As frequên ias máxima e mínima da portadora

são

ω

c

+ k

f

m

p

e

ω

c

− k

f

m

p

, mas suas

omponentes espe trais só estariam nessa faixa se

aso impulsos em

ω

c

+ k

f

m

p

e

ω

c

− k

f

m

p

. Para senóides om duração nita de

T

segundos o espe tro é espalhado por

2π/T

.

O desvio de frequên ia da portadora é de

±k

f

m

p

. Chamamos o desvio de frequên ia de

∆ω

, assim

∆ω = k

f

m

p

em Hertz

∆

_f

=

∆ω

2π

=

k

_f

m

_p

2π

.

A largura de faixa estimada para FM pode ser

expressa omo:

B

_{F M}

=

1

2π

(2k

f

m

p

+ 8πB) = 2(

k

_f

m

_p

2π

+

4πB

2π

)

= 2(∆f + 2B)

(9)

Esta estimativa é um pou o maior que o valor

real pois foi obtida para

m(t)

ˆ

e não para

m(t)

que é um sinal mais suave. Portanto vamos reajustar

a nossa estimativa.

NBFM, ou seja

k

f

muito pequeno, em outras

palavras

∆f

é muito pequeno em relação a

B

, de modo qu epodemos ignorá-lo, assim

B

F M

≈ 4B

.

Mas tinhamos visto anteriormente que para esse

aso a largura de faixa seria

2B

. Isto indi a que uma estimativa melhor é

B

F M

= 2(∆f + B) = 2

 k

f

m

p

2π

+ B



que é o resultado obtido por Carlson, que

investigou o problema rigorosamente para um

tom. Por isso esse fórmula é hamada de Regra

de Carlson.

Agora se

∆

f

>> B

, aso de um verdadeiro WBFM

B

F M

≈ 2∆

f

. Como

∆ω = 2π∆

f

=

2πk

_2π

f

m

p

= k

f

m

p

, para esse aso isso é pre isamente o que foi re onhe ido pelo

pioneiros. O úni o erro foi pensar que fun ionava

par qualquer aso, espe ialmente quando

∆f << B

.

Denimos a regra de desvio

β =

∆f

B

_{F M}

= 2B(β + 1)

β

ontrola a quantidade de modulação e tem um papel semelhante ao ínidi e de modulação do AM,

e por isso é também hamado de índi e de

modulação para FM.

Modulação em Fase

Todos os resultados derivados para o FM podem

ser apli ados ao PM. Vejamos:

ω

i

= ω

c

+ k

p

m

′

(t)

O desvio de frequên ia

∆ω = k

p

m

′

(t)

. Assumimos que

m

′

p

= [m

′

(t)]

_{M AX}

= [m

′

(t)]

_{M IN}

, portanto,

B

_{P M}

= 2(∆f + B) = 2



k

p

m

′

_p

2π

+ B



.

depende só do valor de pi o de

m(t)

,

m

p

, e não do espe tro de

m(t)

. Agora no aso da PM,

∆ω = k

p

m

′

p

, depende do valor de pi o de

m

′

(t)

que depende fortemente do espe tro e frequên ias de

m(t)

. Variações rápidas de

m(t)

impli am em

m

′

maiores.

Finalmente pode-se on luir que

•

WBFM (largura de faixa) independe do esp tro de

m(t)

(

B

é quase desprezível) e

•

WBPM é fortemente dependendente do espe tro de

m(t)

Exemplo 3 a) Estimar

B

F M

e

B

P M

para

m(t)

da Figura 2, om

k

f

= 2π10

5

e

k

p

= 5π

b) Repita o problema se a amplitude de

m(t)

dobrar

Solução:

a) Primeiro determinar a largura de faixa

Fourier

m(t) =

X

n

C

_n

cos nω

₀

t

onde ω

0

=

2π

T

=

2π

2 × 10

−

4

= 10

4

_π

C

_n

=







8

8π

2

_n

2

n

ímpar

0 n par

(10)

as amplitudes das harmni as de res em

rapidamente om

n

. Por exemplo a ter eira

harmni a tem apenas 11% da fundamental e a

quinta harmni a tem 4% da fundamental. Em

termos de potên ia a ter eira harmni a tem

0, 11

2

ou 1,21% da potên ia da fundamental e a quinta harmni a tem apenas 0,16%.

Assumindo então que a largura de faixa de

m(t)

ompreende até a ter eira harmni a,

ω

_m

= 3ω

₀

= 3 × 10

4

π

ou

B =

3×10

4

π

2π

= 15kHz

. Para FM temos que

m

p

= 1

e pela regra de

B

_{F M}

= 2(∆f + B) = 2(100 + 15) = 230kHz

de outra forma, o índi e de modulação

β =

∆f

B

=

100

15

e

B

_{F M}

= 2B(β + 1) = 2.15(

100

15

+ 1) = 230khz

Para PM já vimos que

m

′

= 20.000

então

∆f =

1

2π

=

1

2π

5π20.000 = 50kHz

e

B

P M

= 2(∆f + B) = 130KHz

. Pelo ínidi e de modulação

β =

∆f

B

=

50

15

B

_{P M}

= 2B(β + 1) = 2 × 15(

50

150

+ 1) = 130kHz

b) Dobrando

m(t)

,

m

p

= 2

e

B = 15KHz

omo antes. Para FM:

∆f =

1

2π

k

f

m

p

= 200kHz

B

F M

= 2(∆f + B) = 430kHz e β =

200

15

Para PM

m

′

= 40.000

∆f =

1

2π

k

p

m

′

p

= 100kHz

B

_{P M}

= 2(∆f + B) = 230kHz

β =

100

15

Observe que dupli ar

m(t)

quase dobra a largura de faixa para FM e PM.

Exemplo 4 Repetir o exemplo anterior para

T = 4 × 10

−

4

, duas vezes o período anterior

Solução:

Para determinar a nova largura de faixa essen ial

de

m(t)

, relembremos que uma expansão de 2 no tempo reduz o espe tro de 2.

ω

₀

=

2π

T

= 2, 5π10

4

_{ou f}

0

= 0, 25×10

4

= 2, 5KHz

Para FM,

m

p

= 1

tem-se

∆f =

_2π

1

k

f

m

p

= 100kHz

e

B

_{F M}

= 2(∆f + B) = 2(100 + 7, 5) = 215kHz

. Para PM,

m

′

p

= 10.000

metade do anterior tem-se

∆f =

_2π

1

k

_f

m

′

p

= 25kHz

e

B

_{P M}

= 2(∆f + B) = 2(25 + 7, 5) = 65kHz

. Observe que a expansão no tempo quase não

afetou

B

F M

, mas reduziu a metade

B

P M

. Isto rati a nossa armação que o espe tro do PM e

fortemente do espe tro de

m(t)

.

Exemplo 5 Um sinal modulado em ângulo om

ω

_c

= 2π × 10

5

e dado por

ϕ

_{F M}

(t) = 10 cos(ω

_c

t + 5 sin 3000t + 10 sin 2000t)

a) A he a potên ia,

b)

∆f

,

)

β

,

d)

∆φ

(desvio de fase)

em Ângulo

Potên ia de uma Onda Modulada em

Ângulo

Embora

ω

i

varie omo tempo, a amplitude

A

permane e sempre a mesma. Portanto

P

s

P M

= P

s

F M

=

A

2

2

independente de

k

p

e

k

f

.

Imunidade a Não Linearidades

Na modulação em ângulo a amplitude da

portadora é onstante, isto a torna menos

sus etível a não linearidades, vejamos

y(t) = a

1

x(t) + a

2

x

2

(t)

um dispositivo não linear, se

y(t)

= a

₁

cos[ω

_c

t + ψ(t)] + a

₂

cos

2

[ω

_c

t + ψ(t)]

=

a

2

2

+ a

1

cos[ω

c

t + ψ(t)] + a

2

cos[2ω

c

t + 2ψ(t)]

Pra FM

ψ(t) = k

f

R m(α)dα

, donde

y(t)

=

a

2

2

+ a

1

cos[ω

c

t + k

f

Z

m(α)dα]

+ a

2

cos[2ω

c

t + 2k

f

Z

m(α)dα]

Filtrando o nível DC (

a

2

/2)

e os termos de

frequên ia

nω

c

,

n > 1

, podemos re uperar

m(t)

.

Oserve que o último termo tem a frequên ia da

portadora e o desvio de frequên ia multipli ado

por 2, logo podemos fazer multipli adores de

frequên ia para sinais FM om dispositivos não

lineares sem distor ermos a informaçao. Qualquer

dispositivo não linear tais omo um diodo ou um

transistor pode ser usado para isso.

Dispositivos de ordem

n

produzem uma

faixas sintonizados em

nω

c

podem gerar um sinal FM nessa frequên ia omo um desvio

n∆f

em relação ao sinal original.

Em AM-DSB-SC não linearidades distor em o

sinal mensagem, por exemplo

y(t) = ax(t) + bx

3

(t)

sendo

x(t) = m(t) cos ω

c

t

produz

y(t) = [am(t) +

3b

4

m

3

_{(t)] cos ω}

c

t +

b

4

m

3

_{(t) cos 3ω}

c

t

Essa imunidade a não linearidades é a razão

primária para modulação em ângulo ser usada em

sistemas repetidores de mi roondas que

Dois métodos serão apresentados: indireto e

direto.

Método Indireto de Armstrong

Seja

ϕ

_{P M}

(t) ≈ A[cos ω

_c

t − k

_f

m(t) sin ω

_c

t]

Integrando

m(t)

antes de introduzí-lo no modulador em fase produz-se

ϕ

F M

≈ A[cos ω

c

t − k

f

a(t) sin ω

c

t]

sendo

a(t) =

R

t

−∞

m(α)dα

.

Um sistema WBFM pode ser gerado a partir de

um NBFM om a utilização de multipli adores de

frequên ia,que tanto a frequên ia da portadora

bem omo o desvio de frequên ia são

m(t)

NBFM

Frequência

de

Multiplicador

WBFM

Exemplo 6 Temos um gerador NBFM om

f

_c1

= 200KHz

. Nesta frequên ia é fá il onstruir os iladores de ristal estáveis. O desvio de

frequên ia

∆f

1

= 25Hz

, o espe tro do sinal de áudio para obter alta delidade, é de 50Hz a

15KHz. Desse modo

β =

∆f

₁

f

m

=

25

15.000

<< 1

, no

pior aso um sinal de voz

β = 25/50 = 0, 5

.

A saída do transmissor omer ial FM é de

91,2MHz e

∆f = 75KHz

.

Para onseguirmos

∆f = 75KHz

, pre isamos multipli ar de 75.000/25 = 3000 vezes

∆f

1

.

Isto pode ser feito por dois estágio de

multipli açao de 64 e 48, ou

64 × 48 = 3072

o que produz

∆f = 76, 8

. O valor exato

∆f = 75KHz

pode ser onseguido om

∆f 1 = 24, 41Hz

. Os multipli adores são projetados por meio de

Assim

64 = 2

6

(6 dupli adores),

48 = 2

4

_{× 3}

(4 dupli aores, 1 tripli ador).

O problema é essa multipli ação produz

f

c

= 3072 × f

c1

= 3072 × 200KHz ≈ 600M Hz

. Isto pode ser evitado pelo uso de onversores de

frequên ia. O esquema está representado na

Figura 15.

m(t)

a(t)

DSB−SC

Σ

+

+

−π/2

ω

−Asen t

_c

−Acos t

ω

c

Oscilador

a cristal

200KHz

(a)

x 64

(b)

frequência

Conversor

(c)

_{x 48}

(d)

Oscilador

a cristal

10,9MHz

Amp

Figura 15: Esquema do Gerador FM utilizando

onversor de frequên ia.

Vamos analisar o ir uito, em a) tem-se

f

c1

= 200KHz δf 1 = 25Hz

, em b) temos

f

_c2

= 64 × 200 = 12, 8M Hz

e

δf 2 = 64 × 25 = 1, 6kHz

.

Se multipli armos tudo por 48 a onte eria o que

f

c

= 91, 2M Hz

vamos abaixar

f

c2

e modo que após a multipli ação por 48 tenhamos

f

c

.

A frequên ia em ) terá que ser 91,2MHz/48 =

1,9MHz para onseguirmos

f

c3

, a frequên ia do os ilador do onversor deve ser

f

c2

∓ f

c3

,

es olhemos

f

c2

f

c3

= 12, 8 − 1, 9 = 10, 9M Hz

.

O onversor de frequên ia não altera

∆f

assim em ) temos

f

c3

= 1, 9M Hz

e

∆

f 3

= 1, 6KHz

.

A última multipli ação produz em d) então

f

c4

= 1, 9 × 48 = 91, 2M Hz

e

∆

f 4

= 1, 6 × 48 = 76, 8KHz

omo desejávamos. O resultado é então ampli ado e transmitido.

Este esquema apresenta boa estabilidade de

frequên ia, mas sofre pelo ruído inerente usado

pelo ex esso de multipli adores e da distorção nas

frequên ias mais baixas quando

∆f

m

não é tão pequeno.

Um os ilador ontrolado por tensão - VCO

(Voltage Controlled Os illator) é um dispositivo

que ontrola a frequên ia de saída por meio de

uma tensão de entrada. A frequên ia de os ilação

varia linearmente om o sinal de entrada.

Frequên ia de repouso (

ω

c

): quando a entrada é zero, então

ω

i

(t) = ω

c

+ k

f

m(t)

.

m(t)

VCO

ω

c

+ k m(t)

f

Um VCO pode ser onstruído om um

ampli ador opera ional e um omparador. Uma

outra maneira é através da variação dos

parâmetros reativos (

L

ou

C

) de um ir uito ressonante de um os ilador.

A informação em um sinal FM está na frequên ia

instantânea

ω

_i

(t) = ω

_c

+ k

_f

m(t)

portanto deve-se bus ar formas de extrair a

frequên ia instantânea do sinal modulado.

Isso normalmente é feito usando um dete tor de

frequên ia (dis riminador) que produz uma

tensão de saída que varia linearmente a frequên ia

instantânea da entrada. Normalmente

implementa-se esse dis rminador usando:

•

Conversão de FM para AM

•

Dis riminador de deslo amento de fase

•

Dete ção de passagens pelo zero

Qualquer ir uito que produza uma derivada no

tempo do sinal de entrada pode ser usado para

produzir essa onversão, pois

s

F M

(t)

= A cos(ω

c

t + k

f

Z

m(λ)dλ)

ds

F M

(t)

dt

= −A[ω

c

+ k

f

m(t)] sin(ω

c

t + k

f

Z

m(λ)dλ)

que é um sinal AM e pode ser demodulado por

envoltória,

Observações:

•

Usa-se um limitador de amplitudes: remover variações indesejadas.

•

Diferen iador ideal é dado por

de fase

Aproximação para a derivada no tempo de

x(t)

dx(t)

dt

≈

1

t

₁

[x(t) − x(t − t

1

)]

t

₁

pequeno omparado om as variações de

x(t)

. A demodulação pode ser obtida atrasando a

frequên ia do sinal modulado por

t

0

, tal que

ω

_c

t

₀

= 90

0

e a fase por

t

1

obtendo o sinal

s

₁

(t) = sin[ω

_c

t + φ(t − t

₁

)]

que em seguida é multipli ado por

s(t) = cos[ω

_c

t + φ(t)]

produzindo

sin[φ(t) − φ(t − t

1

)] ≈ [phi(t) − φ(t − t

1

)]

assumindo

t

1

pequeno para

| φ(t) − φ(t − t

1

) |<< π

obtend-se

y(t) = K

D

m(t)

zero

O sinal de entrada é apli ado a um limitador

brus o, que nsa saída priduzirá um sinal quadrado

om as mesmas passagens pelo zero do sinal de

entrada. O os ilador produz um pulso urto de

amplitude xa

A

e duração

τ

a ada subida (ou des ida) (passagem pelo zero) do sinal de entrada.

A saída do os ilador será um trem de pulsos om

período onstante

1/m(t)

. Existirão

n

T

≈ T m(t)

pulsos em um interevalo de integração, logo

1

T

Z

t−T

tv(λ)dλ =

1

t

n

T

A

T

≈ Aτ m(t)

Os PLLs (Phase-Lo k Loops) bus am sin rminar

o anglo instantâneo de um um VCO om o ângulo

instantâneo de um sinal externo.

Seja agora a estrutura representada na Figura

abaixo

A frequên ia livre do VCO é feita igual a da

portadora (

ω

c

) e a frequên ia instantânea do VCO será

ω

_{V CO}

= ω

_c

+ ce

₀

(t)

e a saída

2B cos[ω

_c

t + ce

₀

(t)]

logo a frequên ia instantânea será

ω

c

+ θ

′

0

(t)

e

θ

′

0

(t) = ce

0

(t)

e

₀

(t) = h(t) ∗

AB

2

sin[θ

i

(t) − θ

0

(t)]

=

AB

2

Z

t

0

h(t − x) sin[θ

i

(x) − θ

0

(x)]dx

(11) donde temos

θ

′

(t) =

ABc

2

Z

t

0

h(t − x) sin[θ

_e

(x)]dx

quando o sinal de entrada é FM

θ

i

(t) = k

f

Z

m(α)dα

logo

θ

0

(t) = k

f

Z

m(α)dα − θ

e

Assuminfo

θ

e

pequeno

e

₀

(t) =

1

c

θ

′

(t) ≈

k

f

c

m(t)