Universidade Estadual de Campinas
Instituto Matemática Estatística e Computação Científica
Departamento de Matemática Aplicada
O Método de Galerkin Descontínuo com
Difusividade Implícita e
H-Adaptabilidade Baseada em Técnicas
Wavelet
Tese de Doutorado em Matemática Aplicada
Autor:
Jorge Lizardo Díaz Calle
Orientadores: Dr. Philippe R.
Bemard Devloo
Dra. Sônia Maria Gomes
Janeiro de 2002
São Paulo - Brasil
O MÉTODO DE GALERKE\ DESCO::\TÍNUO COM DIFUSIVIDADE IMPLÍCITA E H-ADAPTABILIDADE BASEADA EM TÉC::\ICAS
WAVELETS
Este exemplar corresponde à redação final da tese devidamente corrigida e defendida por Jorge
Lizar-do Díaz Calle e aprovada pela comissão julgaLizar-dora.
Campinas, 15 de fevereiro de 2002.
~
Dr. Philippe . Bernard Devloo
Banca Examinadora:
Dr. Alvaro Luiz Goyoso de Azeredo Coutinho Dr. Paulo Roberto lvlaciel Lyra
Dr. Marcelo Martins dos Santos Dr. Mario Conrado Cavichía
Dr. Philippe Remy Bernard Devloo
Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do Título de Doutor em Matemática Aplicada.
D543m
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP
Diaz Calle, Jorge Lizardo
O método de Galerkin descontínuo com difusividade implícita e h-adaptabilidade baseada em técnicas wavelet. I Jorge Lizardo Díaz Calle -Campinas, [S.P. :s.n.], 2002.
Orientadores: Philippe Remy Bemard Devloo; Sônia Maria Gomes
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica.
L Análise numérica. 2. Galerkin, Métodos de. 3. Leis da conservação (Física). 4. Wavelets (Matemática). !. Devloo, Philippe Remy Bemard. !L Gomes, Sônia Maria. IH. Universidade EstaduaJ de Campinas. Instituto de
Tese de Doutorado defendida em 25 de Janeiro de 2002 e aprovada
Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof (a). ~HlliPPE REMY BERNARD DEVLOO
Prof (a). Dr (a). ÁLVARO LUIZ GAYOSôDE AZEVEDO COUTINHO
Prof(a). Dr (a). PAULO ROBERTO MACIEL LYRA
Sede o nosso braço forte, ó Senhor, cada manhã,
e no tempo da aflição sede a nossa salvação!
Aos meus pais Guido e Isabel, a minha esposa Verónica e aos
meus queridos filhos Christian, Ingrid, Javier, Pamela, Susana e
Agradeço
Especialmente aos meus orientadores Dr. Philippe R. B. Devloo e Dra. Sô-nia Maria Gomes, pelo auxílio ao meu aprendizado.
À CAPES pelo apoio financeiro.
A minha ALMA MATER a Universidad Nacional de San Agustín que me forneceu fundamentos inavaláveis para enfrentar estudos especializados.
Aos queridos amigos do Cenapad-SP pelos momentos e experiências com-partilhadas que me permitiram enfrentar novos horizontes.
A todos os amigos do Labmec pela amizade e cooperação no desenvolvi-mento deste trabalho.
Aos amigos Flavio, João Marcos, Jorge, Roberto e todos aqueles que me apoiaram animando-me a culminar meu objetivo.
Aos meus colegas e grandes amigos Aldo, Jaime A. e Jaime B. com quens iniciei meus primeiros passos como matemático.
E a todos meus familiares, amigos, colegas e irmãos de fé que sempre me incentivaram e fizeram dos momentos difíceis mais leves de lidar.
Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de símbolos Resumo Abstract Capítulo 1. Introdução Proposta da Tese
Sumário
Importância do Trabalho e Contribuições Descrição
Capítulo 2. Esquemas Numéricos para Leis de Conservação 2.1. Introdução 2.2. Leis de Conservação X XV XVJ xviii XIX 1 5 5 7 10 10 10
2.3. Exemplos de Sistemas de Leis de Conservação 13
2.3.1. Equação linear. Rotação de um cone em tomo da origem 14
2.3.2. Equação de Burgers 14
2.3.3. Equação de Euler 14
2.4. Método do Resíduo Ponderado. Problema Generalizado e Formulação Fraca
2.4.1. O Problema Generalizado 2.4.2. Método do Resíduo Ponderado
2.5. Formulação Fraca para as Leis de Conservação
15 15 17 19
2.6. Caso Estacionário
2.6.1. Funções C0 -contínuas. Streamline Upwind Petrov-Galerkin
2.6.2. Galerkin Descontínuo
2.7. Caso Transiente: Discretização no Tempo 2.7.1. Esquema Runge-Kutta
2.7.2. Variante de Runge-Kutta: 2.7.3. Esquema de Euler
2.8. Esquema Runge-Kutta e Galerkin Descontínuo 2.8.1. Sobre a Estabilidade do Método RKGD
2.8.2. O Método de Volumes Finitos. Um Caso Particular. 2.9. Solvers de Riemann. Fluxo numérico
2.9.1. Regras de Quadratura para Integração Numérica 2.9.2. Fluxo Numérico. Solvers de Riemann
2.9.3. Esquemas de Fluxos Numéricos de Primeira Ordem 2.9.4. Esquemas de Fluxos Numéricos de Segunda Ordem 2.9.5. Fluxos Numéricos de Alta Ordem
Capítulo 3. Esquema Numérico com Termo Difusivo para Leis de Conservação
3.1. Introdução
3.2. Análise do Esquema Runge-Kutta e Galerkin Descontínuo com Limitador
3.3. Runge-Kutta e Galerkin Descontínuo com Termo Difusivo Interno. Estudo de Estabilidade
3.3.1. Análise de Estabilidade do Esquema Explícito com Difusividade 21 21 24 26 26 27 28 28 29 30 31 31 32 33 34 35 36 36 37 38 39 3.3.2. Considerações 41
3.4.1. Análise de Estabilidade do Esquema Implícito. Equação linear
3.4.1.1. Erros obtidos para espaço aproximante de funções contínuas
3.4.1.2. Erros obtidos para espaço aproximante de funções descontínuas
3.4.2. Análise de Estabilidade do Esquema Implícito. Equação Não Linear
3.4.3. Relação ótima Entre o CFL e o 5 para o Espaço Aproximante de Funções Contínuas
3.4.4. Relação ótima Entre o Número CFL e o 5 para o Caso de Funções Descontínuas
3.5. Convergência do Esquema.
3.6. Captura de Choques ou Descontinuidades. 3.6.1. Equações de Euler. Choque Refletido 3.6.2. Equações de Euler- Backward Facing Step
43 43 45 45 48
49
5156
56
60Capítulo 4. Esquema h-Adaptativo Baseado em Técnicas Wavelet 63 4.1. Introdução
4.2. Análise Multirresolução 4.2.1. Refinamento Uniforme
4.2.2. Exemplos de Refinamento Uniforme 4.2.2.1. Refinamento Uni-dimensional 4.2.2.2. Refinamento Bi-dimensional 4.2.3. Análise de Multirresolução
4.3. Técnica para Construir uma Análise Multiresolução: Enfoque de Harten 4.4. Base de Haar 63
65
65
6565
6667
70 714.4.1. Caso Uni-dimensional 4.4.2. Em Duas Dimensões 4.5. Base de Schauder 4.5.1. Em uma dimensão 4.5.2. Em duas dimensões
4.6. Estratégia de refinamento. Esquema h-adaptativo
73 74 76 77 78 80
4.6.1. Caso não estacionário 81
4.6.2. Caso estacionário 83
4.6.3. Técnica Wavelets e Estratégias de Refinamento do Método de Elementos Finitos
Capítulo 5. Exemplos Numéricos com h-adaptabilidade 5.1. Rotação de um Cone
5.2. Equações de Euler- Choque Refletido 5.2.1. Adaptabilidade a Cada Passo de Tempo 5.2.2. Adaptabilidade no Caso Estacionário
5.2.3. Tabela comparativa do esquema Galerkin Descontínuo implícito sem e com estratégias h-adaptativas 5.3. Equações de Euler- Backward Facing Step
Capítulo 6. Implementação computacional 6.1. Introdução
6.2. Geometria do Domínio 6.2.1. Utilitários:
6.3. Espaço Aproximante : Malha Computacional e Elemento
85 86 86 88 89 92 95
96
100 100 101 103 Computacional 1046.3.1. Classe para Elementos Interlace. TlnterlaceElement 105 6.3.1.1. Dados e Comportamento do Elemento Interlace 107
6.3.1.2. Construção do Elemento Interface 108 6.3.2. Elemento Interpolador: TPZinterpolatedE!ement 109
6.3.3. Nó de Conectividade. TPZConnect 111
6.3.4. Elemento Interpolado Contínuo: 113
6.3.5. Elemento Interpolado Descontínuo: 113
6.3.6. Elemento Interpolado Descontínuo com Interface: 113
6.4. Material- Abstração da Equação Diferencial 115
6.4.1. TPZMaterial 115
6.4.2. TConservationLaw 115
6.4.3. Classe TNumericalFlux 116
6.5. Wavelets 117
6.6. Análise- Algoritmo de Resolução. 118
6.6.1. TPZAnalysis 118
6.6.2. TTimeAnalysis 118
6.6.3. Análise para o Runge-Kutta e Galerkin Descontínuo 119 6.6.4. Análise para o Esquema Galerkin Descontínuo Implícito 119
Capítulo 7. Conclusões 121
Lista de Figuras
2.4.1 Projeções no Método do Resíduo Ponderado. 18
2.6.1 Visualização das funções descontínuas lineares sobre
duas células vizinhas e para o nó comum x. 25 3.3.1 Região de estabilidade relacionando C F L e i5. para
funções contínuas. Difusividade explícita. 40 3.3.2 Região de estabilidade relacionando CF L e i5, para
funções descontínuas. Difusividade explícita. 41 3.4.1 Região de estabilidade relacionando CF L e i5, para
funções contínuas. Difusividade implícita. 44 3.4.2 Região de estabilidade relacionando C F L e 5, para
funções descontínuas. Difusividade implícita. 46 3.4.3 Região de estabilidade relacionando CF L e 5, para
funções contínuas. Difusividade implícita. 47 3.4.4 Região de estabilidade relacionando C F L e 5, para
funções descontínuas. Difusividade implícita. 48 3.4.5 Relação ótima entre C F L e i5 para funções contínuas. 49 3.4.6 Relação ótima entre C F L e i5 para funções descontínuas. 50
3.5.1 Elevação do cone no tempo inicial t =O. 51
3.5.2 Relação entre o 6x da partição e o erro obtido nas
3.5.3 Triangulação e curvas de nível das aproximações em
t =O, t =r., t = 7r./5et = 2r.. 53
3.5.4 Elevações do cone em t =O, t =r., t = 7r. /5 e t = 2r.. 54
3.5.5 Aproximação numérica na base do cone em t = 2 r. e
parap = 1. 55
3.5.6 Aproximação numérica na base do cone em
t
= 2 r. eparap = 2. 55
3.6.1 Estado inicial e domínio do problema de Cauchy 56
3.6.2 Curvas de nível evoluindo no tempo. 57
3.6.3 Elevação da massa específica no momento da reflexão do choque e quando é atingido o estado estacionário. 58
3.6.4 Detalhe da captura do choque na elevação da massa
específica. 59
3.6.5 Domínio e condições iniciais do problema. 60
3.6.6 Curvas de nível da massa específica em
t
= 0.1,t
= 0.58,t
= 1. et
= 2. 613.6.7 Curvas de nível da pressão em
t
= 0.78 et
= 1.8. 61 3.6.8 Elevação da massa específica emt
= O. 7 et
= 1. 96 . 62 3.6.9 Elevações das quantidades conservadas: coordenadas Xe Y da velocidade, pressão e energia. 62
4.2.1 Dois níveis de refinamento uniforme uni-dimensional. 67
4.2.2 Refinamento uniforme em um triângulo. 67
4.4.1 Coeficientes wavelets na base de Haar uni-dimensional. 73
4.5.1 Coeficientes wavelets na base de Schauder
uni-dimensional. 77
4.5.2 Coeficientes wavelets na base de Schauder
bi-dimensional. 79
4.6.1 Seqüência de malhas refinadas na resolução do problema
do cone girando em tomo da origem. 82
4.6.2 Seqüência de malhas para o problema do degrau para as
equações de Euler. 84
5.1.1 Curvas de nível e malha adaptativa 87
5.1.2 Elevação da solução aproximada 88
5.2.1 Massa específica em t
=
0.1. Entrando segundo estadoconstante. 89
5.2.2 Massa específica em t
=
O. 7. Choque refletindo naparede. 89
5.2.3 Massa específica em t
=
1.2. Choque refletido. 90 5.2.4 Massa específica em t=
2. Choque em estadoestacionário. 90
5.2.5 Elevação da massa específica e da pressão do choque
refletido em t
=
0.8. 905.2.6 Elevação das velocidades Vx e vy respectivamente em
t
=
0.8. 915.2.7 Elevação da energia e da entalpia do choque refletido em
5.2.8 Massa específica em
t
= 0.17. Malha grossa h-adaptável apenas para um mínimo valor da diferença das normas dedois estados consecutivos. 92
5.2.9 Massa específica em
t
0.88, pouco antes dorefinamento. 92
5.2.10 Massa específica em
t
1.4, após dois níveis derefinamento. 93
5.2.11 Massa específica em
t
= 2.975, já em estado estacionário. 93 5.2.12 Massa específica aproximada utilizando interpolaçãoquadrática. 93
5.2.13 Estado estacionário das velocidades Vx e Vy em t = 3.5. 94 5.2.14 Estado estacionário da pressão e da energia em
t
= 3.5. 94 5.3.1 Malha adaptativa e curvas de nível (20) da massaespecífica para
t
= 0.1, t = 0.6, t = 0.9 e t = 1.96 96 5.3.2 Malha adaptativa e curvas de nível da pressão para t = 1,e
t
= 1.96. 965.3.3 Elevação da massa específica em t = 0.75,
t
= 0.85 et
= 1.96. 975.3.4 Elevações da velocidade em X, da velocidade em Y, da
pressão e da energia para t = 1. 96 . 98
6.2.1 Árvore de elementos geométricos no ambiente
computacional PZ. 101
6.2.2 Enumeração dos lados em um triângulo. 102
6.3.1 Elementos interface para um elemento finito
uni-dimensional. 106
6.3.2 Elementos interface para um elemento triangular. 107
6.3.3 Criação de interface entre um elemento e vizinhos de
diferente ou igual nível de sub-divisão. 109
6.3.4 Atribuição das funções de forma aos nós de conectívidade
de um elemento uni -dimensional. 112
6.3.5 Caso uni-dimensional 114
6.3.6 Caso bi-dimensional. 114
6.4.1 Árvore de classes para leis de conservação. 117
6.5.1 Árvore de classes para bases wavelets. 118
1
2
3
4
Lista de Tabelas
Coeficientes a;J e PiJ para os esquemas R unge-Kutta.
Coeficientes para R unge-Kutta. Forma simplificada.
Tabela comparativa da resolução do problema do cone com h-adaptabilidade e sem h-adaptabilidade.
Comparação numérica dos esquemas Galerkin Descontínuo implícito sem h-adaptabilidade e as duas estratégias h-adaptáveis.
27 28
87
Lista de símbolos
'" N dimensão do espaço. " fl uma região limitada em R2 '-., i)[l fronteira da região
n.
• D domínio espaço-tempo, i.e. D = [O, T] x fl em que T E R. • uh solução numérica das quantidades conservadas.
• f função fluxo da lei de conservação.
" s função fonte da lei de conservação.
" p, pu, P'J, E, p representam a massa específica, o fluxo de massa na direção x, o fluxo de massa na direção y, a energia total e a pressão de um gás.
• í ração entre o calor específico em pressão constante e o calor específico em volume constante de um gás poli trópico.
• t:.,
R operadores em derivadas parciais .• vh
espaço finito dimensional de aproximação.• V' espaço de funções peso. • $w base do espaço W.
• Mh
malha de elementos finitos que discretíza o domínio fl.• C
região poligonal (célula) que pertence alvh.
• fJ
vetor unitário na direção nas linhas de corrente de uma lei deconservação.
• u~ solução numérica em t = tk.
• L ordem do esquema Runge-Kutta.
• p ordem de interpolação.
• a11 , {J11 : j =O, ... , l-l; l = 1, ... ,L coeficientes para o esquema Runge-Kutta de ordem L.
<> Czj : j
=
O, ... , l - 1; l=
L ... , L coeficientes para a variante simplificada do esquema Runge-Kutta de ordem L.'" i7
vetor unitário normal exterior a fronteira de uma célula. • F função fluxo numérico.• C F L número para estabilidade da condição de Courant-Friedrichs-Lewi.
• 0
função base do espaço finito dimensional aproximante. • w função base do espaço de funções peso.• o
coeficiente do termo difusivo no esquema numérico proposto. • J.L( C) medida a Lebesgue da célula C.•
0~ k-ésima função escala no nível j de uma análise multiresolu-ção.•
1/J~ k-ésima função wavelet no nível j.• E valor threasholder, limite que identifica os coeficientes wavelets
significativos quando maiores.
• 7:i valor Iímite que identifica números quase zero quando menores.
• ri operador de restrição para uma análise multiresolução.
• pj operador de prolongamento para uma análíse multiresolução. • di coeficientes wavelets no nível j de uma análise multiresolução. • Ti algoritmo de análise multiresolução.
Resumo
O presente trabalho apresenta técnicas inovadoras para a aproximação numérica de leis de conservação sobre malhas não estruturadas. Implementa-se um algoritmo h-adaptativo que utiliza um esquema numérico baImplementa-seado em espaços de aproximação de funções polinomiais descontínuas. A escolha adaptável do refinamento h é feita mediante uma análise da regularidade da solução utilizando-se técnicas de análise wavelet. Esta análise permite determinar sub-domínios ou regiões de suavidade nos quais os elementos finitos são levados a níveis menos refinados, ou regiões de singularidade nas quais os elementos são refinados. Para evitar possíveis oscilações nu-méricas, um termo difusivo é aplicado no interior dos elementos finitos de uma região de singularidade ou próximo a ela. A análise wavelet também é utilizada para estabelecer a magnitude do termo difusivo. O esquema pro-posto aproveita idéias do método Runge-Kutta Galerkin descontínuo [16]
e o método streamline difusion [33]. Como resultado, o esquema, na sua forma mais simples, é o método de volumes finitos h-adaptativo, e no caso de usar ordem de interpolação p
2:
1, é o método Galerkin descontínuo h-adaptativo com esquema Euler no tempo e dispensando o uso de limita-dores. é apresentado um estudo para estabelecer uma relação adequada en-tre o valor do número CFL (condicão de estabilidade - Courant Friedrichs Lewi) e o coeficiente máximo do termo difusivo interno de tal forma aga-rantir a estabilidade do esquema e obter precisão numérica ótima. Quando o termo difusivo
o
--7 oo, o esquema tem comportamento similar ao esquemade volumes finitos. O esquema foi implementado em um ambiente com-putacional na filosofia de programação orientada para objetos [21]. Neste contexto, foi elaborada uma biblioteca de classes que permite implementar espaços aproximantes descontínuos e realizar análise de regularidade local utilizando wavelets.
Abstract
In this work an inovative technique is presented for the numericai ap-proximation of conservation laws on unstructured meshes. The numerical scheme uses a discontinuous piecewise polynomial approximation with h-adaptivity. The self-adaptive h-refinement strategy uses a regularity assess-ment of the solution based on wavelet techniques. This strategy determines the sub-domains or regions where the solution is smooth and where ele-ments can be coarsened and/or regions of singularity where the eleele-ments are refined. Numerical oscillations within the discontinuous element are controlled by adding a difusive term. The wavelet anaiysis is aiso used to determine the magnitude of the diffusive term. The resulting scheme is ba-sed both on the Runga-Kutta Discontinuous Galerkin method [16] and the streamline diffusion method [33] : when the order of interpolation within the elements is zero it is a cell centered finite volume method, and for in-terpolation order p
2':
1 , it is an h-adaptive discontinuous Gaierkin method, using Euler time-stepping. Internai oscillations are entirely controlled by the added streamline diffusion operator. An optimal relationship between the time step (in terms of the CFL condition) and the size of the diffusion coeficient is analysed for numericai precision. When the diffusive term5 -+ oo, the presented scheme reduces to the finite volume method. The scheme is implemented using the object oriented prograrnming philosophy based on the environment described in [21]. Within this context, a library of classes was developed which implements piecewise polynomiai disconti-nuous approximations and which analyses the regularity o f the approximate solution using the wavelet technique.
CAPITULO 1
Introdução
Este trabalho visa a aproximação numérica de leis de conservação as-sociadas a mecânica dos fluidos, principalmente as chamadas equações de Euler. Existem vários enfoques para resolver numericamente equações di-ferenciais parciais. Para leis de conservação, os mais conhecidos são o do método de diferenças finitas e o do método de resíduo ponderado [29][59]. O método de diferenças finitas baseia-se na substituição dos operadores diferenciais por operadores em diferenças. Em geral, aplica-se em domínios de geometria simples atingindo até segunda ordem de aproximação quando a solução é suave [43][49]. Por décadas o método de diferenças finitas foi analisado e aplicado às leis de conservação tendo sido dedicado muito es-forço na geração de esquemas com maior ordem de aproximação no cálculo dos fluxos numéricos.
Um enfoque mais abrangente é o do método do resíduo ponderado. Neste caso, o princípio fundamental consiste em aproximar a solução da equação diferencial por uma função pertencente a um espaço aproximante de dimensão finita. O método utiliza o conceito de projeção ortogonal do resíduo da equação diferencial sobre um espaço expandido por funções teste adequadas. Isto significa que o método de resíduo ponderado fica caracteri-zado pela escolha de dois espaços de funções, o espaço de funções aproxi-mantes e o espaço de funções teste (ou funções peso). Estritamente falando, este não é apenas um método mas uma família de métodos, dependendo da escolha das funções aproximantes e funções peso a serem utilizadas.
Denomina-se de método de Ga!erkin quando o espaço de funções apro-ximantes e de funções peso são iguais. A aplicação direta do método de Galerkin em problemas de fluidos tem mostrado ser altamente instável. A primeira tentativa de estabilizar o esquema utiliza um espaço de funções peso diferente do espaço aproximante, e é chamado de método de Petrov-Galerkin. Tipicamente, a base do espaço de funções peso, mesmo sendo diferente da base do espaço aproximante, é obtida tomando variações das funções base do espaço aproximante. Uma primeira sugestão foi introdu-zida em [58] e aplicada em [11] por Zienkiewicz e colaboradores.
O nome de método de elementos finitos está associado ao método de Galerkin para funções aproximantes contínuas e polinomiais por partes. O grande sucesso deste método deve-se às propriedades de continuidade, di-ferenciabilidade, de definição simples, entre outras, das funções polinomi-ais por partes, permitindo uma boa análise teórica do esquema numérico obtido. O método de elementos finitos foi originalmente desenvolvido no contexto da análise estrutural para aviões, na década de 1950. Seus funda-mentos teóricos foram estabelecidos nas décadas de 1960 e 1970. Poste-riormente, foi aplicado também, com sucesso, em problemas não estrutu-rais, como em aproximação de escoamento de fluidos [57]. O método de elementos finitos é frequentemente associado a princípios variacionais. No entanto, em problemas de fluidos isso não se aplica pois tais sistemas de equações diferenciais não são auto-adjuntas.
O método de resíduo ponderado combinado com espaços de funções descontínuas gera esquemas numéricos muito eficientes para resolver pro-blemas de fluidos. No caso específico em que as funções aproximantes e funções peso são constantes sobre as células da discretização do espaço, o método é conhecido como o método de volumes finitos ou volumes de
controle. Sua eficácia tem sido demonstrada principalmente na resolução númerica das equações diferenciais hiperbólicas, vide [10][41][53].
O método de Galerkin descontínuo pode ser considerado como uma ge-ralização do método de volumes finitos. Isto é, as funções aproximantes são funções polinomiais sobre as células da discretização, sem restrições de continuidade sobre as interfaces das células. O uso de funções aproxi-mantes descontínuas permite elaborar algoritmos compactos, considerando apenas valores da solução dentro do domínio de dependência, que é uma exigência física dos fluxos em uma lei de conservação.
Aplicando qualquer método de resíduo ponderado, a solução aproxi-mada obtida é dependente da discretização do domínio. Surge então a ne-cessidade de determinar o tamanho das células e a ordem de interpolação que proporcionem uma solução aproximada aceitável em uma determinada norma. Para atingir uma precisão desejada, é necessário adaptar a discre-tização da malha às características da solução. Esta adaptação baseia-se em estimadores de erro e na utilização de técnicas adequadas sobre as cé-lulas com maior erro de aproximação. Na técnica do tipo h-adaptativo, refinam-se as células construindo sequências de malhas em forma dinâmica e automática. Em outra técnica, tipo p-adaptativo, o que é modificado não é o tamanho das células, mas sim o grau dos polinômios no espaço aproxi-mante.
Uma outra possibilidade é refinar as malhas e adaptar a ordem de inter-polação, simultaneamente, conduzindo à idéia de hp-adaptabilidade. Um dos grandes desafios desta técnica é elaborar critérios no algoritmo que in-diquem quando é mais apropriado refinar a malha de modo h e quando utilizar o modo p, de forma automática. Neste sentido, o trabalho pioneiro
de Babuska e Rheinbo!dt [1] descreve as características apropriadas dos sis-temas de elementos finitos adaptativos, totalmente automáticos. Isso exige ter estimadores de erro confiáveis associados à equação diferencial, além de dispor de algoritmos flexíveis que permitam modificar a malha e/ou a or-dem dos espaços aproximantes. Tipicamente, os estimadores de erro são do tipo a-priori e a-posteriori. Um estimador de erro a-priori é utilizado para prever o comportamento do erro de acordo com os parãmetros das malhas. Por outro lado, uma estimativa de erro a-posteriori é utilizado para avaliar o erro na solução aproximada computada. Estimativas de erro a-priori e a-posteriori para uma classe de leis de conservação hiperbólicas lineares utilizando o método de Galerkin descontínuo foram inicialmente apresen-tadas em [3][4].
Em análise wavelet, as informações sobre um determinado fenômeno são organizadas em vários níveis de escala. O principal ingrediente consiste de um algoritmo de refinamento interpolador que, a partir da informação em um dado nível, fornece uma aproximação da informação no nível seguinte. As diferenças entre os valores exatos e aqueles aproximados são os coefi-cientes wavelets. Desta forma, como erros de interpolação, os coeficoefi-cientes wavelets são pequenos em regiões de suavidade e significativos próximo de singularidades. Nas aplicações de wavelets, o princípio básico é a utili-zação dos coeficientes wavelet como indicadores de regularidade local. O livro [18] é um texto que contém um estudo extensivo das aplicações das técnicas wavelet no contexto de análise numérica.
Proposta da Tese
O objetivo da presente tese é desenvolver um algoritmo h-adaptativo para resolver leis de conservação utilizando técnicas de análise wavelet na definição do estimador do erro de aproximação.
O esquema resultante deve ser uma combinação de várias técnicas nu-méricas, como o método de Galerkin descontínuo (volumes finitos), stream-line diffusion Petrov-Galerkin (SUPG) e Riemann-solvers, implementados em um ambiente computacional na filosofia de programação orientada para objetos.
Importância do Trabalho e Contribuições
As leis de conservação são o modelo para diversos problemas da ciên-cia e da indústria. O progresso alcançado neste tipo de modelagem e no desenvolvimento de técnicas numéricas eficientes e robustas tornam viá-veis a simulação de fluxos complexos em situações de interesse a um custo baixo. Em [12], pode-se apreciar a diversidade de áreas nas quais a mode-lagem de fenômenos conduz a leis de conservação, como em metereologia, oceanografia, dinâmica de fluidos, turbomecânica, reservatórios de petró-leo, problemas de fluxo turbulento, problemas de fluxo granular, eletro-magnetismo, entre outros. Isto, justifica por si só, a necessidade do desen-volvimento de métodos eficientes, precisos e robustos para resolver nume-ricamente estes modelos.
Nesta tese desenvolvem-se métodos numéricos e recursos computacio-nais avançados para modelagem e simulação de fluxos. Ferramentas como estas permitem abordar problemas complexos do mundo real e obter simu-lações computacionais cada vez mais aproximadas.
As contribuições mais importantes decorrentes do desenvolvimento da presente tese são expostas a seguir.
" Proposta de estabilização mais simples do esquema de Euler para o método de Galerkin descontínuo, através de um termo difusivo, com aplicabilidade em qualquer ordem de interpolação. O es-quema proposto permite utilizar passo de tempo compatível com
C F L = 1. Este é um ganho significativo se comparado com es-quemas explícitos Runge Kutta, cuja estabilidade depende da or-dem polinomial de interpolação, e que no caso de interpolação li-near,élimitadaaCFL
<
0.3.• Proposta de otimização do uso do termo difusivo, baseada na in-formação dos coeficientes wavelet.
• Definição de estratégias para ajuste de malha utilizando coeficien-tes wavelet como indicadores.
• Elaboração de um ambiente computacional para utilização do mé-todo de resíduo ponderado, utilizando funções aproximantes con-tínuas e/ou desconcon-tínuas, desenvolvido integralmente na filosofia de programação orientada para objetos.
• Elaboração de uma biblioteca orientada para objetos para análise de regularidade local usando wavelets.
• Elaboração de classes que abstraem a idéia de leis de conservação que permitem implementar facilmente sistemas de leis de conser-vação para problemas específicos.
• Elaboração de classes que abstraem a idéia de fluxo numérico, tendo implementado mais de vinte esquemas de fluxos numéricos, e permite incrementar na biblioteca novas e diversas implementa-ções de estes esquemas.
Descrição
O segundo capítulo contém um resumo das várias técnicas numéricas consideradas para o desenvolvimento do algoritmo proposto. Descreve-se o método do resíduo ponderado, o qual permite aproximar com um espaço de dimensão finita a solução do operador diferencial. Focaliza-se a atenção, entre os elementos desta farm1ia, no método de volumes finitos e no método de elementos finitos. Neste último método, especial atenção é dada à técnica chamada de Galerkin descontínuo, como em [12][14], e ao esquema SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) [8].
No terceiro capítulo, apresenta-se a formulação obtida aplicando o sim-ples método de Euler no tempo e o método de Galerkin descontínuo no domínio espacial, incrementado de um termo difusivo implícito, seguindo sugestão apresentada em [6]. O esquema de Galerkin descontínuo é ade-quado para representar descontinuidades sobre superfícies de co-dimensão
1. A principal diferença com o método de elementos finitos usual é que, no Galerkin descontínuo, os elementos finitos são tratados como entes inde-pendentes, que apenas necessitam do conhecimento do fluxo sobre a fron-teira: as funções aproximantes são locais ao elemento finito. Esta proprie-dade faz o método ser altamente paralelizável [2][5] e, tirando proveito da implementação orientada para objetos, permite definir classes de matrizes bloco-diagonais, cuja decomposição é eficiente, minimizando o processa-mento e os requeriprocessa-mentos de memória. Conclui-se o capítulo apresentando experimentos numéricos que validam o esquema e mostram a sua eficâcia.
O acréscimo do termo difusivo no esquema de Galerkin descontínuo estabiliza o esquema, não tendo necessidade de sucessivas iterações do tipo Runga-Kutta no tempo, bastando apenas o esquema de Euler. Além disso, é dispensada a utilização de limitadores. O termo difusivo implícito foi
deduzido a partir do estudo do esquema streamline diffusion, gerando assim um esquema de passo de tempo híbrido, onde a difusão é tratada de forma implícita e o termo convectivo de forma explícita.
No quarto capítulo, define-se a análise multírresolução (multinível) no contexto de wavelets. O interesse nas wavelets baseia-se principalmente na característica de serem bem localizadas em espaço e frequência, o que permite detectar características locais de uma função, como singularida-des. Pela representação em multirresolução da solução aproximada nas ba-ses wavelets adequadas, utilizando pelo menos dois níveis de refinamento, determinam-se os coeficientes wavelets. Os coeficientes significativos, acima de um dado parãmetro E, indicam uma possível presença de altos gradientes. Nas regiões correspondentes a estes coeficientes significativos é aplicada uma estratégia de refinamento, derivando assim, um esquema h-adaptativo. Nesta estratégia, além do refinamento, também é realizada a adaptabilidade do fluxo numérico, pela escolha do esquema mais adequado. Por exemplo, em regiões de suavidade utiliza-se um esquema simples de segunda ordem, enquanto que em regiões de singularidade utiliza-se um esquema de primeira ordem não oscilatório.
O quinto capítulo contém os experimentos numéricos do esquema Ga-lerkin Descontínuo implícito h-adaptativo em problemas bi-dimensionais. Mostram-se as soluções numéricas para as equações de Euler do conhecido problema do degrau estudado por Woodward e Colella [55]. Este problema é de difícil aproximação dado o forte choque que aparece quando o fluido bate no degrau, dada a alta velocidade inicial do fluido. Ele é considerado para validar o algoritmo.
No sexto capítulo, descreve-se a estrutura de classes utilizadas no al-goritmo. A implementação é feita seguindo o paradigma da programação
orientada a objetos. A linguagem de programação adotada é o C++. Neste contexto, a idéia é abstrair os conceitos envolvidos na resolução de uma lei de conservação definindo classes de objetos adequadas que focalizem os aspectos essenciais, ignorando propriedades acidentais. A partir do correto entendimento do problema, foram identificadas as classes necessárias a se-rem definidas, procurando fazer a implementação suficientemente geral a fim de permitir extensões para posteriores análises de novos métodos nu-méricos, estratégias, fluxos nunu-méricos, tratamento das condições fronteira, condições iniciais, etc.
O ambiente computacional PZ, desenvolvido pelo Prof. Dr. Philippe Devloo [21], é o ponto de partida para a presente implementação numérica. O PZ utiliza o paradigma da programação orientada para objetos, permi-tindo atingir um alto nível de abstração no desenvolvimento de programas de elementos finitos. As implementações realizadas permitem incrementar no PZ os elementos computacionais descontínuos para implementar algo-ritmos sobre espaços de interpolação descontínuos, que são altamente pa-ralelizáveis, além de inserir o método de volumes finitos como um caso particular.
No sétimo capítulo, apresentam-se as conclusões decorrentes da análise, implementação e experimentação numérica do algoritmo proposto para leis de conservação. Também são expostas as perspectivas de estudo futuro que darão continuidade ao presente trabalho.
CAPITtJLO 2
Esquemas Numéricos para Leis de Conservação
2.1. Introdução
Uma lei de conservação é uma relação integral obtida a partir da apli-cação do princípio de conservação. A lei de conservação pode ser satisfeita por funções mensuráveis e limitadas, embora não diferenciáveis no domínio todo. Isto leva a teoria das soluções fracas [19][37][50].
Na primeira seção apresenta-se a forma diferencial de um sistema de leis de conservação e define-se o problema em estudo na presente tese. A segunda seção mostra os três sistemas de leis de conservação utilizados ao longo da tese para validar o esquema proposto.
Nas próximas seções expõe-se brevemente o método de resíduo ponde-rado e apresenta-se uma formulação fraca para as leis de conservação. Dois esquemas desta fanu1ia são detalhados a seguir, o Galerkin descontínuo e o streamline diffusion Petrov-Galerkin, variantes sobre as quais baseou-se o
esquema proposto.
2.2. Leis de Conservação
Seja D C RN, N 2: 1, uma região limitada, isto é, um conjunto limitado conexo aberto e não vazio. Para uma região limitada, D, diz-se que a sua fronteira é suave por partes, se
&D
E C0•1. Isto intuitivamente representao fato que a fronteira pode ter um número finito de vértices mas com ângulos não nulos. Chama-se domínio a uma região limitada D
c
RN, N>
1,mensurável à Lebesgue, e cuja fronteira é suave por partes. Restringe-se o estudo a N
=
2.Seja S1 C RN, um domínio !V-dimensionaL Um sistema de leis de conservação é um sistema de equações diferenciais da forma
(2.2.1) Ut(t,x)
+v·
f(u(t,x)) = s t E [0,T],
x E !1,em que u
=
u(t, x), u : D -+ Rm, com D=
[0, T] x !1, onde T é um número real positivo fixo. E a função vetorial f = (h,h,,.,
hv) com fj : Rm -+ Rm, j=
1, ,., N, é chamada de função fluxo e atua sobre u [19], A função s : D x Rm -+ Rm, é chamada de função fonte. A lei representa o fato da quantidade u em um domínio !1 mudar em uma razão igual à soma dos fluxos def;
em !1.Utilizando os Jacobianos das funções fluxo, a lei de conservação assume a forma quase linear
(2,2,2)
N
Ut
+L
Jj(u) Oju=
sj=l
(t,x)ED,
onde &ju = %~. As fj(u) são matrizes m x m, supondo as funções fluxo diferenciáveis. Caso os autovalores das matrizes Jacobianas sejam todos reais, para todo valor do argumento u, o sistema é chamado hiperbólico. Se todos os autovalores são distintos o sistema é dito estritamente hiper-bólico.
Na teoria clássica da Mecânica dos Meios Contínuos, o comportamento físico dos materiais deve obedecer três princípios básicos de balanço: o de massa, o de momento linear e o da energia. A origem dos conceitos dos princípios de conservação está intimamente ligada à formulação dos modelos matemáticos para a dinâmica dos meios contínuos por Lagrange e
Euler no século XVIII. Muitas leis físicas são leis de conservação e nelas u é um vetor de m componentes, cada uma das quais é uma quantidade conservada, chamadas variáveis de estado, já que elas descrevem o estado do sistema físico. Diz-se que uma variável de estado Ui é conservada se
JRN
ui(t, x)dx permanece constante no tempo.Pontos básicos a considerar na resolução de uma lei de conservação, são
(1) O surgimento espontâneo de descontinuidades ou choques os quais levam a necessidade de uma formulação fraca.
(2) A existência de muitas soluções fracas matematicamente possí-veis, isto é, que satisfazem a condição de Rankine-Hugoniot. (3) A escolha de uma solução fraca fisicamente aceitável, portanto,
uma solução fraca que satisfaz a condição de entropia. [42][51].
Em geral, as questões básicas referentes à existência, unicidade e estabi-lidade das soluções entrópicas para sistemas de leis de conservação ainda estão em aberto [51]. A maioria dos resultados têm sido obtidos para leis de conservação escalares e uni-dimensionais. Em [50], capítulo 16, estuda-se a existência, unicidade e comportamento assintótico das soluções fracas para leis de conservação escalares em uma dimensão. Para alguns sistemas com propriedades particulares (como a existência de invariantes de Rie-mann [37][50]), estabeleceu-se resultados de existência e estabilidade das soluções. Na análise da unicidade, trocando a hipótese da contração pela da V-estabilidade, Bressan e os seus colaboradores provam unicidade e de-pendência contínua de soluções para uma classe de sistemas estritamente hiperbólicos 2x2 uni-dimensionais, com dado inicial em L00 [7].
O problema a considerar na presente tese é o problema de Cauchy, com condição de contorno (2.2.1 ), isto é, procura-se achar uma função
u E C1(D, Rm), que satisfaça a equação (2.2.1), sujeita à condição
ini-cial
(2.2.3) u(O, x) = uo(x) xE D,
e a condição de fronteira
(2.2.4) u(t, x) = u(t) x E éJfl, tE [0, T].
Por simplicidade assume-se
u(t)=O,
litE [O, T].
Uma função diferenciá-vel u solução do problema (2.2.1), (2.2.3) e (2.2.4) é chamada de solução clássica.A função fluxo f é determinante na análise de uma lei de conservação. No estudo de fluxos homogêneos a função fluxo não depende explicita-mente das variáveis
t
e x. No estudo de fluxos viscosos e condução do calor a função fluxo depende do gradiente da solução. Em fluxos aniso-trópicos, como no fluxo elástico em um cristal, a função fluxo depende da direção normal.Considera-se neste trabalho fluxos isotrópicos, homogêneos e não vis-cosos, assim sendo, a função fluxo apenas depende de u.
2.3. Exemplos de Sistemas de Leis de Conservação
Nesta seção são expostas as leis de conservação utilizadas para validar através de experimentação numérica o algoritmo proposto. Priorizam-se as equações de Euler que governam a dinâmica de fluidos quando é assumida viscosidade nula e ausência de condução de calor. As equações de Euler são a base e ponto de partida para todo estudo na mecãnica dos fluidos.
O algoritmo exposto é fortemente dependente da forma conservativa da equação diferencial. Acredita-se que, quando as equações estão na forma
conservativa, são obtidas soluções aproximadas corretas (fisicamente váli-das) de maneira natural, principalmente na presença de choques.
2.3.1. Equação linear. Rotação de um cone em torno da origem. Sejam D C
R
2 ex= (x,y) E íl. Dado u ER
considera-se as funções fluxo da forma!I(u)=-yu
h(u)
=
xu
A presente lei de conservação não tem aplicações práticas mas é muito útil para validar a aproximação do método numérico. é um problema de con-vecção pura, que descreve a rotação de um cone em torno da origem, além de ser uma equação diferencial de coeficientes variáveis [20].
2.3.2. Equação de Burgers. Seja í2
c
R
2. A equação de Burger é a
lei de conservação com funções fluxo [52][31]
h(u)
=
h(u)
=
~u
2•
A lei de conservação tem a forma
Ut
+
U llx+
U Uy = Ü.2.3.3. Equação de Euler. Seja í2
c
R2. Na dinâmica de gases, as
quantidades conservadas são a massa específica (p), o fluxo de massa na direção x (pu), o fluxo de massa na direção y (pv), e a energia total do gás
(E),
u=
p pu pv EO vetor velocidade do gás é dado por ( u, v). Para esta variáveis, nas equa-ções de Euler as funequa-ções fluxo assumem a forma
pu pv
h(u) = pu2
+
p fz(u) = pu vpu v pv2 +p
u(E
+
p) v(E+
p)em que pé a pressão, que está relacionada com as quantidades conservadas pela equação de estado (para o caso de gases poli trópicos)
p 1 2 2
E=--+-p(v +u).
í -1 2 . .
em que 1 é a razão entre o calor específico em pressão constante e o calor específico em volume constante do gás politrópico [44].
2.4. Método do Resíduo Ponderado. Problema Generalizado e Formulação Fraca
2.4.1. O Problema Generalizado. Seja L um operador em derivadas parciais, e considere o problema de contorno da forma:
(2.4.1) L (u(x)) =
s(x)
(2.4.2) u(x) =O X E
orJ,
em que s E Sé conhecida e ri
c
Rti N2:
1, é um domínio. Assume-se que L : D C V -+ S, em que V e S são espaços apropriados de funções definidas sobre fl e de valores reais. Além disso, Vc
L2(fl) eSC U(ll),são espaços de Hilbert com o produto interno
(2.4.3) (u, v),.,=
1
uv.n
Define-se o operador R: D
c
V--+ S, como sendo o resíduo(2.4.4) R(u)
=
L(u)- s.Então, achar u E D tal que satisfaz (2.4.1) e (2.4.2) é equivalente ao pro-blema de achar u E D tal que
(2.4.5) R(u(x))=O xEO
sujeito à condição de fronteira dada (2.4.2).
Considera-se o problema generalizado associado à equação diferencial (2.4.5) e (2.4.2) como resultado da aplicação do seguinte método heurístico:
(1) Escolher um sub-espaço (adequado) V'
c
S.(2) Calcular o produto interno da equação diferencial (2.4.5),
(2.4.6) (R(u),w),., =O
vw
E V'.A expressão acima representa o fato de exigir que R( u) seja ortogonal ao espaço V'. É de vital importância a escolha do espaço V', tal que uma
solu-ção suficientemente suave do problema generalizado u seja solução clássica da equação diferencial quando os dados (fronteira, condições fronteira, va-lores iniciais, coeficientes, funções fonte, etc) são suficientemente suaves.
A idéia principal na obtenção do problema generalizado é a mesma de substituir as derivadas clássicas por derivadas generalizadas ou distribui-ções. Daí o nome adotado de problema generalizado.
O espaço V* é chamado de espaço de funções peso. A expressão (2.4.6) no problema generalizado é chamada de formulação fraca da equação dife-rencial (2.4.5) e (2.4.2). A função u que satisfaz a formulação fraca (2.4.6) é chamada de solução fraca da equação diferencial original (2.4.1 ).
A solução fraca de uma lei de conservação não necessariamente é única e nem sempre é fisicamente válida. Uma vantagem da forma integral do problema generalizado sobre a forma diferencial original é que o espaço de funções admissíveis é maior.
2.4.2. Método do Resíduo Ponderado. Geralmente o espaço "V possui dimensão infinita, o que dificulta a análise numérica do problema. Dada a possibilidade de escolher o espaço de funções, é conveniente a idéia de Ga-lerk.in. Nela, procura-se obter em um sub-espaço de dimensão finita "Vh C V uma função uh que aproxime a solução considerando o problema generali-zado restrito ao sub-espaço "Vh.
Seja "Vh um sub-espaço n-dimensional de "V, e seja f3vh -
{\Oi}
uma base de "Vh. Para uh E Vh, escrevemos(2.4.7)
Se "V* é também de dimensão finita, (2.4.6) é um sistema finito de equa-ções. Se .Bv· é uma base de "V*, então basta que (2.4.6) seja verificada apenas para os w E (Jp .
DEFINIÇÃO 2.4.1. O método do resíduo ponderado consiste em buscar uma solução aproximada ao problema generalizado, considerando u e w
como elementos de espaços apropriados "Vh e "V*.
A definição é interpretada da seguinte forma. Dada uma função s E S,
FIGURA 2.4.1. Projeções no Método do Resíduo Ponderado.
tal que
(2.4.8) \fw E
f3v-.
O diagrama da Figura (2.4.1) ilustra este método.
Geralmente, nesta expressão integral é aplicada integração por partes para transferir as derivadas sobre os termos que dependem da variável u
para as funções w. A expressão (2.4.8), após aplicar integração por partes, será representada por
(2.4.9)
Se as bases
f3v·
de V* geram um conjunto completo para S, sob certas restrições R( uh) ---+ O quando n ---+ oo .Existe uma grande liberdade na escolha apropriada destes espaços de dimensão finita (veja-se [56]). O método do resíduo ponderado é muito abrangente, podendo ser aplicado tanto a problemas lineares quanto a não
lineares. A sua popularidade deve-se não somente pela sua facilidade prá-tica, mas também pela forte fundamentação teórica, principalmente no con-texto de elementos finitos.
Na maioria dos problemas, não é possível avaliar a solução exata. Daí segue que o erro de aproximação não pode ser computado. No entanto, a função resíduo R( uh). pode ser avaliada para a solução aproximada uh
e sua medida, em alguma norrna, pode ser considerada como medida de aproximação.
2.5. Formulação Fraca para as Leis de Conservação
Seja o problema de Cauchy escalar com condições iniciais e condições de contorno (2.2.1), (2.2.3) e (2.2.4). Considera-se o domínio temporal e espacial separadamente. Fixando o tempo t no problema acima, obtém-se uma relação diferencial na variável espacial, e nesta relação aplica-obtém-se o método do resíduo ponderado.
Seja 1/* um espaço de dimensão finita, de funções peso, suficientemente suaves sobre o domínio fl, que independe do tempo. Se B é uma base de 1/*, a expressão (2.4.6) para leis de conservação tem a forrna
(2.5.1)
1
(:tu+\7·f(u)-s) w=Opara todo w E B. Aplicando integração por partes, obtém-se a formulação fraca do tipo (2.4.9)
(2.5.2)
1
w~u=Jsw+j\7w·f(u)-
r
wf(u)·iin vt n n lan
para todo w E B, em que ij é o vetor unitário normal exterior à fronteira do domínio. Por simplicidade, assume-se o termo fonte s = O.
Discretiza-se o domínio S1 em uma malha 1vh tal que se C E lvh, C é uma região poligonal convexa mensurável à Lebesgue. Para a discretízação Nfh, definem-se dois espaços de funções de dimensão finita. O primeiro, denotado por Vi, tem como base
Bvh = {'Pj: S1
c
R2 --? Rjj
= 1,2, ... ,n},tal que todas as '{j são suficientemente suaves sobre as células C E Mh. O segundo espaço é V*, tendo como base o conjunto
Bv·={wi:Sl-?R]i=l, ... ,m}.
As funções de base wi são suficientemente suaves sobre o interior de todas as células C E 1\lh.
Aplicando o método de resíduo ponderado para leis de conservação, se-gundo (2.4.8), o problema é o seguinte: Dada a função fluxo f, e os espaços de funções Vh e V*, achar a função aproximante
n
uh(t,x)
=L
ui(t)
'Pi(x) i=lque satisfaz uh(O,
x)
= u~ (condição inicial) e a condição fronteira (2.2.4), tal que, para todo w E B11-.(2.5.3)
A formulação fraca (2.5.3) também é válida sobre qualquer sub-domínio de O. Se C E l'vh, vale a relação
(2.5.4)
em que E
c
é o número de arestas da região poligonal C, ôCe é a e-ésima aresta de C, para e=
1, ... , Ec, e fie é o vetor unitário normal exterior a C na aresta ôCe.2.6. Caso Estacionário
Para melhor ilustrar o método do resíduo ponderado e a escolha de di-ferentes espaços de funções, considera-se uma lei de conservação estacio-nária, isto é, que não depende do tempo.
A formulação fraca (2.5.4) para o problema estacionário toma a forma
(2.6.1)
2.6.1. Funções C0-contínuas. Streamline Upwind Petrov-Galerkin. Seja IJP (C) o espaço de polinômios de grau menor ou igual a p, definido sobre o elemento C E Afh. p será chamada de ordem de interpolação. O esquema clássico C0 de elementos finitos é obtido quando em (2.6.1)
utiliza-se o espaço aproximante igual ao das funções peso como sendo
(2.6.2)
O espaço Vh, pela sistemática do método clássico de elementos finitos, é construido a partir das funções base lagrangianas
em que Xk são nós associados à malha 1Yh. O número n de nós depende do
grau p dos polinômios.
O ambiente PZ fornece as ferramentas necessárias para implementar o esquema mencionado, gerando soluções C0 -contínuas a partir dos po-linômios de Chebyshev. Em [21], expõem-se as principais vantagens deste
enfoque. Definem-se os polinômios de Chebyshev por
Tn(x)
=
cos(n are cos(x)),
em quex = coBB,e-1f<
B<
1r.O cálculo das funções de forma para elementos uni-dimensionais, segue o seguinte algoritmo:
( 1) Para grau 1, as funções de forma são as funções Lagrangeanas de
grau um.
(2) Para grau 2, constroe-se uma função quadrática multiplicando-se as duas funções Lagrangeanas de grau um.
(3) Para grau maior do que 2, as funções de forma são calculadas a partir da multiplicação da função quadrática por uma função de Chebyshev.
A construção das funções de forma bidimensionais é similar.
O método de Galerkin, em que V'
=
v'h,
é instável quando aplicado a leis de conservação. Uma variante, que obteve grande sucesso, é o chamado método Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) [8], o qual utiliza um espaço de funções peso diferente do espaço de funções aproximantes. Com tal procedimento, o objetivo é incrementar difusão preferencialmente sobre as linhas de corrente.Seja uma lei de conservação escalar. Seguindo as idéias expostas por Claes Johnson [34], dado o espaço J,), de funções aproximantes polinomiais por partes , constroe-se o espaço de funções peso da forma
(2.6.3)
em que
o
é um número real, chamado coeficiente do termo difusivo, e.B
é um vetor unitário na direção das curvas características, no caso escalar,
sobre as quais é incrementado o termo difusivo. Obviamente, (3 depende dos valores da solução, pois utiliza informação do Jacobiano da função fluxo para determinar a direção na qual é incrementada a difusão.
Portanto, tem-se a formulação fraca
(2.6.4)
para todo i
=
1, ... , n. Daí,Comparando esta última equação com a equação (2.6.1), observa-se que a diferença é o termo
Este termo é chamado de termo difusivo da formulação fraca.
Quando a lei de conservação não é escalar (a ordem da lei de conserva-ção é maior que 1), utiliza-se a mesma nomenclatura, considerando que o vetor (3 é um vetor de matrizes. Para o caso unidimensional, (3 é uma matriz e interpreta-se a expressão 'V 'Pi · (3 como o produto de um escalar por uma matriz
Para o caso bi-dimensional, (3 é um vetor de duas matrizes, (3 =
(8
1 , fJ2),então a expressão 'V 'Pí ·
f3
é interpretada porExiste na literatura, diversas expressões para determinar (3. No presente trabalho a expressão de (3 segue o exposto na tese de Daryl Bonhaus [6].
Caso uni-dimensional:
No caso escalar, sendo
f'
=
a entãof3
=
6~ a.1 · 2ial Caso bi-dimensíonal:
p
=(j{T,
f~T) em que: T =ri
8Çf{
+
8Çf'
I
+
i
81)f' +
81)f'
IJ
-1l
8x
8y
21 18x
18y
2As expressões ~~, ~;, ~;, ~Z resultam da transformação de coordenadas desde o elemento mestre. A solução aproximada uh E Vh se expressa como
(2.6.7)
n
uh=
L
-u1
Cfíc·i=l,CEI\,fh
Uma substituição desta expressão na equação (2.6.1) gera um sistema de equações que depende da forma da função fluxo. Mesmo tendo um caso totalmente não linear, é possível resolver numericamente tal sistema utili-zando, por exemplo o método de Newton.
2.6.2. Galerkin Descontínuo. O esquema de Galerkin descontínuo é obtido quando em (2.6.1) utilizam-se os espaços, aproximante e de funções peso, como sendo
(2.6.8)
Uma base de Vh pode ser um conjunto de funções polinôrniais por partes 'P >., cada uma das quais é associada ao par .\
= (
xi, C), em que C é um elemento finito da malha, e xi é um dos nós associados a 1\Jh, com xi E C. Além disso, 'P>. satisfaz 'P>.(xk) = Dik e o suporte de 'P>. está contido em C.q;
A]
'
FIGURA 2.6.1. Visualização das funções descontínuas Une-ares sobre duas células vizinhas e para o nó comum x.
As funções cp;, são contínuas no seu suporte, mas podem ser descontínuas na fronteira do elemento finito. De fato, limy->xi 'PJJY) = 1, quando y E C, e limy->xi cp;,(y) =O, quando y '/.C.
O método de Galerkin descontínuo original foi apresentado em 1973 por W. Reed e T. Hill [46], na resolução da equação linear de transporte de um neutron Assumindo que a solução exata é suave, Le Saint e Raviart
[9] mostram que a taxa de convergência é da ordem h", para triangulações gerais. Posteriormente Johnson e Pitkaranta [32] mostraram que, para trian-gulações gerais e para equações lineares, a taxa de convergência é da ordem hJ'+~, (taxa de convergência ótima). Lin e Zhou [38] provaram a conver-gência do método mesmo se a solução admite descontinuidades.
O método de Galerkin Descontínuo é tamhém aplicado sobre o domínio espaço-temporal de uma lei de conservação. Lowríe e seus colaboradores [39], discretizam o espaço-tempo gerando um conjunto de sub-domínios poliédricos sobre os quais determina-se uma formulação fraca para o domí-nio todo. Igor Lomtev e George Karniadakis [22] utilizam esta abordagem aplicando a formulação Galerkin descontínua para as equações de Navier-Stokes. Naquele trabalho cada tetrahêdro contêm uma base ortogonal de polinômios de Jacobi os quais são descontínuos nas interfaces. Veja tam-bém [45].
2.7. Caso Transiente: Discretização no Tempo
A expressão obtida na fmmulação fraca para leis de conservação é uma equação diferencial ordinária na variável temporal. Expressa-se na forma
(2.7.1) d
dt
Para discretizar o tempo, podem-se aplicar diversos métodos numéricos para obter uma aproximação
uk(x)
da solução exatau(tk, x).
Pelas ca-racteristicas do deslocamento de informação no tempo, escolhe-se uma dis-cretização em diferenças finitas.Os esquemas de diferenças finitas de interesse nesta tese pertencem à farm1ia de esquemas explícitos do tipo Runge-Kutta. Um dos primeiros trabalhos desenvolvendo estes esquemas foi exposto em [47]. Discretiza-se o domínio [O, T] pela partição
Denota-se o k-ésimo passo de tempo por t::.tk
=
tk+l - tk, k=
O, ... K- 1.2.7.1. Esquema Runge-Kutta. A família de esquemas Runge-Kutta utilizada neste trabalho obedece o seguinte algmitmo. Dado um inteiro po-sitivo L (ordem do esquema Runge-Kutta) e dado k, outro inteiro positivo,
faz-se [48]
(1)
:uo
=
uk,
(?) -~ - u·
=
"'1~1 ~j=Or . _, , )
Af3
H(
.
!itk-jll
_aly UJ \X
+
!...itk 1 ij tk i- L~j+l, X, U ,parai= 1. . . ,L,
(3) uk+1
=
uLA Tabela (1) mostra os coeficientes aiJ e
PIJ
escolhidos para os esquemas tipo Runge-Kutta de ordem 2, 3 e 4. Observa-se que os coeficientes a11TABELA l. Coeficientes aiJ e PiJ para os esquemas Runge-Kutta.
Ordem 21 a2o a21
I
f3zo P21j=O l.
IL
j=l 1/2 1/2I
o.
1/2
Ordem 3 a3o a31 a32
I
f33o P31 (332i
j=O 1. I I 1.
I
j=1 3/4 l/4
o.
1/4j=2 1/3
o.
2/3o.
o.
2/3Ordem4 a4o a41
I
a42 a43 .840 P41 P42 P43j=O 1. I 1.
I
I j = 1 1/2 1/21 -1/4 l/2 !
j=2 1/9 2/9 12/3 I -1/9 -1/3 1.
I
j=3o.
1/3 ll/3 1/3!o.
I
1/6o.
1/6são não negativos e, para cada j, a sua soma é igual a 1. Isto garante a estabilidade do esquema. Para detalhes vide [14].
2.7.2. Variante de Runge-Kutta: A partir dos valores apresentados
para os coeficientes azj e f3ZJ, modifica-se o algoritmo utilizando apenas
coeficientes Czj para os termos do operador H, obtendo assim uma forma
simplificada para os esquemas do tipo Runge-Kutta dada a seguir. Dado um inteiro positivo L, ordem do esquema Runge-Kutta, e dado o tempo k-ésimo, então
(1) 1i0
=
uk,
(2)
u
1=
u
0o+
b.tk .z:::~:;,~ [clj H(tk+
b.tk Czj, X,uJ)J,
l=
1, ... ,L (3) uk+l =;;;LNo esquema Runge-Kutta, observa-se que os valores dos coeficientes
Czm, satisfazem Czo = ... = Cz(z- 2) = "(la sendo apenas diferente o Cz(l-l) =
TABELA 2. Coeficientes para Runge-Kutta. Forma simplificada.
Ordem2 '"'/2a !2b Ordem 3 í'3a '"'i3b Ordem 4 i 0
f 4a í'4b j - 0
o.
1. j-0o.
1. j-0O.
l. j - l 1/2 1/2 j -1 1/4i
1/4 . j - lo.
11/2I
j=2 1/6)2/31 j = 2o.
i 1. ' •i
j=3 1/31/6
Utilizando a Tabela (2) simplificada, o problema toma a forma: Dado
Uk no passo de tempo6tk, achar v} para l = 1, ... ,L, tal que
2.7.3. Esquema de Euler. O esquema Runge-Kutta de ordem 1 é o conhecido esquema de Euler progressivo (forward). Os coeficientes são
a10 = 1 e
Bw
= 1, ou seja,(2.7 .2) XE
51.
Propriedades de estabilidade para o esquema de Euler podem ser prova-das na norma de variação total, na norma do máximo e nas condições de entropia [47]. As discretizações utilizadas nos esquemas de Runge-Kutta para ordem maior do que um possuem a característica de serem combina-ções convexas do esquema simples de Euler de primeira ordem a futuro, como pode-se ver no último algoritmo. Dai propriedades de estabilidade são facilmente provados para estes esquemas de alta ordem. Os esquemas Runge-Kutta mais utilizados são os de terceira e de quarta ordem.
2.8. Esquema Runge-Kutta e Galerkin Descontínuo
O esquema Runge-Kutta e Galerkin descontínuo (RKGD) trata-se de uma formulação que utiliza a técnica de Runge-Kutta no tempo e Galerkin descontínuo no espaço.
Dada a expressão (2) da seção (2.7.2) e a formulação em (2.5.4), e se-guindo a nomenclatura das seções anteriores, tem-se a formulação fraca
O esquema numérico (2.5.4) toma a forma
Considerando o método de Ga!erkin [17], em que wi
=
'Pi· e substi-tuindo acima, tem-se(2.8.1)
n l-1 { }
Lu;
1
'Pi'Pj =1
u~
'Pi+!.:.tkL
Ctm1
\lcp;. f(u;;')-1
'Pi f(u;;').ii
j=l
C Cm=O
C oCem que
u;;'
=
'L]=l
uj
'Pj·O sistema explícito a resolver é
Kv=F,
em que K é a chamada matriz de massa e F é o vetor de carga na literatura de elementos finitos. Neste caso, v
=
(u;)
e os termos da matriz de massa e do vetor de carga são,Kij =
l
'Pi 'PjFi=
1
u~
'Pi+
!.:.tk~
Ctm{1
\lcpi · f(u;;')- { 'Pi f(u;;')·fi}
c
m~
c
hc
respectivamente.
2.8.1. Sobre a Estabilidade do Método RKGD. Para maiores
refe-rências sobre este tópico, indicam-se as notas de aula do Dr. Bernardo Cockburn [14]. No caso linear, Chavent e Cockburn [23] mostraram que,
