SOBRE REVESTIMENTOS CÍCLICOS E RAMIFICADOS DE ENLAÇAMENTOS

Texto

(1)ºm"M&wprw. SOBRE REVESTIMENTOS. CÍCLICOS. E. RAMIFICADOS DE ENLACAMENTOS. Pedro Luiz Fagundes. Orientador:. Prof. Dr. Oziride ManzoZi Neto Dissertação apresentada ao Instituto de. Ciências Matemáticas de São Car105 da , Universidade de São Pau1o, para & obteg ção do Título de Mestre em Matemática.. SÃO CARLOS. 1987. «;*-_ _.

(2) Dedico eóta Dióóeatação avó meuó paió, Luiz & Odeth ; & minha noiva Simone e aaa meu/5. Mamão/s Paulão. e. Mai/La..

(3) —. _. A. _. Ao. Deuó pon maiô. Pnoó.. A. G. R. A. D. E C. I. eóta aeaâização. M. em. E. N. T 0 S. —. minha vida.. Ozinide ManzaZi Neto peZa dedicação, incentivo. paia conótanteó na oaientaçãa deóte Iaabatho, não. teaia. Aem. 04. e &. quaLA,. condiçõeó de coneKuZ-ia.. Paoóeóóoneó do Depaatamento de Maiemãtáca, do ICMSC, da UFSCaa, paineipalmenze aoA Pnoóeóóoaeó Janey Antonio Daccach, Pedao Luiz de Queinoz Penghen e Bnaóiz Teana Leme; pela dedá cação nOÁ tempoA de gaaduação.. -. AOA. ?. A. todaó peóóoaó que coiaboaanam dineta ou indiaezamente paaa a aeaiização deóte taabaâho, panticuianmenze. & Paoóª Maaikda Eahaadi Domingoó.. Secnetaãia de TnabaZhoa pelo excelente Inabalho datilogaãóico.. - FÁnaZmenie,. &. CLentZáLcoA. do. - EAIQ inabakho contou com o apoáo ao do CNPq e FAPESP em óua óaóe. ICMSC ,. ginaneeá. Lniciaâ..

(4) CICLIC. AND. BRANCHED. COVERINGS OF LINKS. Pedro Luiz Fagundes. Adviser: Oziride ManzoZi Neto. ABSTRACT. The. purpose of. between the We. proving. ciclic. focus. this. and. works. is to present. some. the branched coverings of Iinks.. attention. on. k-splitabIe. and. q—simple. that the homology of those coverings. properties.. reIationship. have. links,. specia].

(5) I. INTRODUÇÃO. CAP.. I. -. N. D. I. C E. ................................................. PRELIMINARES ..................................... .......... e Eniaçamentos .. 1.2 - Materia] Básico da Teoria de 1.3 - Requisitos Aigêbricos ........................... RAMIFICADO CAP. II REVESTIMENTOS CICLICO .............. 11.1 - Revestimento Ciciico de ................... 11.2 Revestimento Ciciico de Eniaçamento .......... e 11.3 - Reiacionamento entre iiik .................. e 11.4 - Reiacionamento entre ................. k-ESPLITAVEIS CAP. III q—SIMPLES .......... 111.1 - Eniaçamento k-Espiitãve] ........................ 111.2 - Eniaçamento q-Simpies ........................... RESULTADO GENERALIZAÇAO CAP. ....... BIBLIOGRAFIA ............................................... 1.1 - Material Básico de Topoiogia Aigêbrica NS. E. —. 7. UMA. 11. 13 15. um. 25 26 26. E. DO. 1. 15. Xk. IV. 1. um Nõ. É. ENLAÇAMENTOS. 1. DE. CROWELL. 31 31. 42 51. 62.

(6) INTRODUÇÃO. teoria. nõs, os espaços de revestimentos são muitos Úteis para o cálculo de alguns invariantes do tipo de nõ. As hg mologias desses espacos tornam-se mõdulos sobre certos anéis e, o relacionamento geométrico entre eles refletem nos mõdulos cor Em. de. respondentes de forma natural. Isto nos permite, através do cg nhecimento prévio da álgebra destes mõdulos, a tirar conclusões Uteis no estudo dos nõs.. Isto, dade. ,. também pode. para enlacamentos Apresentaremos. no. ser feito,. com um. pouco mais de. dificul. (links). definições longo do trabalho.. Capitulo. sicos que serão utilizados ao. I ,. e. resultados. bg. Capitulo II, apresentaremos as definições dos espaços de revestimentos ciclicos infinito, finito e ramificado com os quais iremos trabalhar, bem como alguns dos relacionamentos en No. tre eles,. em. especial. [3] que nos fornece. ciclico finito. e. um. uma. resultado análogo ao pnwamipor Crowell relação entre os espaços de revesthmnto. ramificado para. o. caso de nõs.. Capitulo III, daremos as definições de duas classes par ticulares de enlaçamentos, (K-esplitãvel e q-simples), bem como alguns resultados sobre a homologia dos espaços de revestimaúns No. dos seus complementares..

(7) -11_. No. Capítulo. IV ,. faremos. de Crowe11 para os enlaçamentos. uma. genera1izacão. definidos. no. do. resu1tado. Capítulo III. ,. bem. reIacíonamento entre as homologias dos espaços de reves timentos cíc11co finito e ramificada em dimensões maioresque1. como o.

(8) C A P. I T. L. U. 0. I. PRELIMINARES. I.] A. MATERIAL BÁSICO DE TOPOLOGIA ALGÉBRICA. GRUPOS DE HOMOTOPIA. —. Seja xo 6. -—. (X,xº). par, onde. um. ê um. espaço topo]õgico. e. X. Denotaremos por X. X. ponto base. com. n1(X,X0). xo. Os. .. grupo fundamental. o. do. espaço. elementos deste grupo são as c1as. ses de homotopia de aplicações. isto e, aplicações contínuas Para cada n—êsimo. n. 6. m. ,. >. grupo de homotopia de. constituído pe1as c1asses. f: Se. n. f. xO. e. então temos que. x1. S. :. 1. , X. -+X. tais. pertencem. f(p. ). =. x. denotaremos por wn(X,x0) com ponto base x0 , o qual. de homotopia de. (s",po). que. +. o (Dl. ap1icações. (X,xº). ã mesma componente conexa de. X,.

(9) w1(x,xo>. assim se X-ê. um. tos bãsicos,. X0. &. “HUN. ,. espaço conexo por caminhos, para quaisquer pon e. x1. em. ,. w1(x,xº). facilitar. desse modo, para. a. temos. X. ,. &. vr1(x,x1). ,. notação, sempre que. X. for. um. es. paço conexo por caminhos, denotaremos seu grupo fundamental por n. 1(X). .. Diremos que. te conexo se TEOREMA. espaco. um. W1(X). &. X. conexo por caminhos ê simpiesmen. 0. I.1.1 (xº,yº)). W1(X><Y ,. para todo. n e. m. n a 2. ,. ",(X,xº). %. ><. nn(X,xo). ,. e, além disso, sempre abeiiano.. “(Yu/0) é. Consideremos, agora, dois pares de espaços e uma. apiicacão f. tinua f 1-. +. (Y,yo). ... +. Y. como. &. X. (X,xº)-+(Y,yo). :. tal. que. f(xº). __. ,. yo. (X,xº),(Y,yº) isto_ê, uma aplicação con n . , definimos G#(S ,po) + .. composta. (Snap). —'+ ». »Gt. (X,)(O). if. “(Y,yo) desse modo, toda apiicacão continua f : (X,xo) + (Y,yo) induz n ª um homomorfismo f* : ”"(X,x0) + ""(Y,y0) , para todo 1. mo. Diremos que dois espaços topoiõgicos tipo de homotopia (X % Y) se existirem. tais. que. fogwIY. e. gofgIX. X. e. Y. têm. o. mes. apiicações conthmas.

(10) onde "IM: M + M" é & apiicação identidade do espaço "M",f e 9 são chamadas equivalências de homotopia; decorre desta defini. f. ção que se. +. X. :. E. Y. equivaiência. uma. f*z ““(X,xº). Dada uma. f. e o. espaço. I. x. X. Y. Uh. %. Por. X. +. Y. (1,x). -+. f(x). x. 1. com. par de espaços. um. If. e. ,. (X,A,B). ,. (X,A). ,. subconjunto. com um. dois súbconjuntos. TEOREMA. entendemos 5. B. A. todo par de espaços ionga exata em homotopia. -+ «MMA). decorre desta definição. 5. entendemos A. 5. X. e. ,. um. topºtripla. espaço. por. uma. espaço topoiõgico. um. X. junto. X. &. wn<A>. (X,A) ,. _». corresponde. «nm. chamada, sequência de homotopia do par. sequência. uma. «nomo. —». &. (X,A).. 1.1.3. Dado uma uma. 'Mapphm Cy1HMer". I.1.2. A. TEOREMA. o. X. “lógico. X' junto de espaços. X-+Y ,. onde. ,. Este espaço será denotado por. If. f:. aplicação continua. h :. que. “"(Y,Yº). +. isomorfismo.. é um. de. então. de homotopia,. tripla. de espaços. sequência longa exata. em. (X,A,B). homotopia. ,. tambêm. associa -se.

(11) vn<A,B). —». «num. —+. —». -. trabalhar somente com os grupos seja, com coeficientes no anel dos. Iremos ou. TEOREMA. I.1.4. Seja mações são. No. (Hurewciz Theorem um. X. _1(A,B>. —». SINGULAR. HOMOLOGIA. grais,. «. tripIa (X,A,B).. chamada sequência de homotopia da B. -ª—->. wn(x,A). —. de. homoIogia. números. inte. inteiros.. Whitehead [18], pág. 178). espaco simplesmente conexo.. As. seguintes afir. equivaientes:. caso de. uma. :. A ><. v. 8?. O. I. A ><. v. 33. o. ' ». _A. IIA. (... IIA. ..-. IIA. (_!. IIA. |ª :| =. _-. das duas condições acima. estar verificada,. temos:. TEOREMA. I.1.5 H1(x). onde. € 0. [n1(X),n1(X)]. TEOREMA. 1.1.6. Hq(X><Y). &. um. ————.——. cmxmuxn. subgrupo comutador de. (Fórmula de Kunneth &. [. &. p+n=q. HPIX). —. n1(X).. Vick [17], pág. 108). 8 HnIYIJ 9 [. r+s. ?. _q-I. Tor(Hr(X) ,HS(Y)]. -.

(12) I.].7. COROLÃRIO. todos os mõdulos de homologia de. Se. Iivres,. para dimensões menores que H. go. f:. :. Hq(X) + Hq(Y). f. :. X. morfismo. +. X. H. p+n =q. f*. Sejam que'. e. % %. Y). +. e. Y. q. :. +. Z. esteja definida,. Z. (go f)*= Hq(X) (go f)*. e, a1êm disso,. f,g. Sejam f*. :. f. I.1.8. Sejam que. +. X. :. A. =. e. A. O. X. obtemos .. JL. H. q. forem. (x) e. H. f. n. (Y). :. X. +. q. ª. 0. induz. Y. um. hg. ap11cações contínuas tais então go f induz um homº. Y. u. uma. + Hq(Z). g*o f*. =. homotopias, então f* = g* e , desse e uma equíva1ência de homotopía , então é um isómorfismo, para todo q a 0 +. Y. (Sequência de Mayer Vietoris - Vick [17],pág.25) 0. B. ,. ,. subconjuntos do espaço topo]õgico X tais . . ., podemos def1n1r um homomorf1smo natura] entao B. º. H. 3 :. e. X. :. Hq(X) + Hq(Y). TEOREMA. X ). então:. para todo Y. (ou de. homo1ogia. em. modo, se. p. ,. toda aplicação contínua. Temos que. momorfismo. (Xx. q. q. Y. q. (X) +. H. q_1(A. B). o. ,. Y. q. ª. 1. ,. sequência exata. (AIWB) JL Hq(A) e Hq(B). 3;. Hq(X). E+. H. q-1. onde a. :. Hq(A. o. B). +. Hq(A) e Hq(B). (An B) 3».

(13) definida por. ê. o(x) w. í. são. O. A. :. 0. A. -. j. ,. HOMEOMORFISMO. berta f x e. um. A. :. n. =. k*(y). B. +. B. [*(z). +. k. ,. Hq(X). :. Av+. Z. e. X. ap1icações. as. e. B. :. +. X. +. Y. C. Y. um. f'1(y). =. X. é um. X. local, entenderemos. aplicação a. uma. entre espaços topo1õgiCOS, tal que, para ca e exista um aberto U c X com x e U flu : U +. X. : X. dírmos. E LEVANTAMENTOS. LOCAL. homeomorfismo. f(U). +. w(y,z). +. e. ,. inclusões naturais.. Por da. +. B. Hq(A) 9 Hq(B). 3. definida por. (Dl. (Í*(x), -j*(X)). =. ,. homeomorfismo. Podemos mostrarquetmracada. subconjunto discreto de. compacto. e. SY,. disso se pg. f'1(y). Hausdorff, então. de. Y. e a1êm. X. y. fi. serã. nito; Dadas duas funções contTnuas. por uma. levantamento de aplicação contínua. um. seja, f 05 :. ou. fismo 1oca1,. X. g. cídem. D. -. em. nenhum. :. X. (re1ativamente. g &. :. 2 +. +. g. ª. de. ponto.. ESPAÇOS DE REVESTIMENTOS. g. f). que comute. X. provar que se espaco de Hausdorff e ,. e. Y. a. Podemos. .. ê um. dois levantamentos. f. ,. ou são. o. g. Z. :. +. Y. ,. entenderemos. ,. diagrama. f. e-. Z. 5. um. homeomoí. conexo, então. iguais,. ou não. coin.

(14) Neste parãgrafo, vamos assumir que todos os espaços topo iõgicos são conexos, ]ocaimente conexos por caminhos e de. Hausdorff, saivo menção. i) Para cada. tal p (X. se. a. +. existe. , =. U. um. c. V. X. com. ,. reunião de abertos. homeomorfismo sobre. x e. V. Uu. ,. imagem para cada. a. é o. X. vizinhanças elementares,. são chamados. Ua's. espaço de revestimento de x e. X. ,. fismo local de. sobre. X. X. ,. X. E. X. ,. p'1(x). conjunto. o. Vê-se 1090 da definição que. p'1(x). aberto. um. 6 uma. Ud. oc. E. V. abertos. para cada. e. X. revestimento se:. é um. X. .. Os. espaço. U. :. x 6. +. X. :. dois disjuntos.. a. um. p. p'1(V). que. dois. ii). ..,. apiicação. Uma. contrãrio.. em. revestimento. um. logo para cada. espaço ba sobre x.. o. fibra. € a. E. x e. um X. o. ,. homeomor. fibra. a. espaço discreto e, aiêm disso, se X for compacto, então p'1(x) ê finito. Podemos mostrar que o número cardinai de quaiquer fibra ê.sempre iguai e chamaremos a .este nãmero, o é um. número de. pacto e1e tem ê. revestimento. E fãci] ver que se X nãmero de foihas finito e, neste caso,. folhas. €. do. um. X. com. =p(X). compacto. Além. disso,. to de folhas E. -. e. X. REVESTIMENTO. Diremos que. mostrar que se compacto, então X. podemos &. E'. um. SUBGRUPO DE. revestimento. tem. X. um. ê. compacto.. +. X. fini. número. “1 ..,. p. :. X. ê. universa] se. «.. X. for simpiesmente conexo. Podemos. mostrar que, se. X. tem uma. cobertura [Uai. ,. por.

(15) subconjuntos abertos, conexos por caminhos tais que, cada inciu SãO. MU“) ê. nula, então caso. ve que no. X. tem. um. em. que. X. tisfaz, naturalmente,. a. um. +. espaço de revestimento universa1.0bser. variedade conexa, então propriedade anterior. uma. E. I.1.9. TEOREMA. revestimento Universa] subgrupo, então existe um revestimento p : Se. tem. VX. ... se. xD 6 p. _1. um. Observe que, neste caso,. revestimento. ê. a.. são,. Com. TEOREMA. F. —. ponUabª. p*. G). é. injetivo.. ... +. X. :. ta]. G. revestimento. um. X. Dizemos que. e. A. um. subespa. componente conexa por caminhos. =. plÃ. &. :. um Ã. +. revestimento de e. A. i. :. A. +. A. .. a. X. p'1(A). de. Sejam. 5 e. Ã. ,. apiicação inciu. estas hipõteses temos 1.1.10. subgrupo. subgrupo. p. (Ã,p|Ã) p. ,. p'1(A) o. uma. A. Desse modo,. p(ã). e um. X. e um. locaimente conexo por caminhos.. X. Seja =. +. X. 8. determinado peio subgrupo. Seja, agora,. a. Gc W1(X,xº). e. tal que... (xº). maxmen. ço de. sa. X. (Massey ê conexo. [11], pág.. (isto. E,. 178). p'1(A). =. Ã. ),. se. e. somenhase,. i*(n1(A,a)) encontra todas as ciasses laterais p*(w1(X,ã)).. AUTOMORFISMOS DE REVESTIMENTOS. E REVESTIMENTO REGULAR. do.

(16) p:. Seja. 1:. +. X. 1ação). será. X. X. +. X. chamado. se comutar. revestimento. um. —. seguinte diagrama:. o. X. A. menos que. Exemplo: O. gum em. x 6. X. ,. =. Ii. ,. ele. seguinte espaço. de. 362). revestimento de. diferente. eSpaço de revestimento. w1(X,X). -. p'1(x). X. de. 5. subgrupo. x. ,. esta definição independe. ,. o. 5. 1. v 51. não tem au. IR. dito regular,. e. E. fixos.. não tem pontos. (Rtosen [13], pág.. X. /p. é. r. tomorfismo de revestimento. Um. x. determinado por sua ação a qual em_particuiar, por sua ação sobre uma fibra.. provar que T. ... T. px. quer ponto de. homeomorfismo. automorfismo de revestimento(OU'Uens. um. >?. Podemos. um. ,. se para. p*(w1(X,i)) do. ponto base.. ê. al. norma].

(17) I. Z. 21. TEOREMA. espaço de revestimento. reguiar, se e somente se, para quaisquer dois pontos ã1 ,ãz na fibra p"1(x) , existir um automorfismo de revestimento r , tai que Um. Consideremos, agora, cw—compiexo e. X. um. 10. nicieo. X. um. grupo fundamenta] de. revestimento de. X. determinado pg. X. 7T1(X)—>-+Z, sobre. Z. ,. o. grupo ciciico infhúto.. revestimento será chamado, revestimento. Ta]. nito. seguinte situação geométrica. Seja. de algum homomorfismo. 4ª: do. a. ê. X. ciciico infi. associado ao epimorfismo $ . Assim Z atua livre mente como o grupo de transformações de revestimento do compig X/z pode ser identi xo infinitº” X , e o complexo quociente de. ficado. X. com. ExempZa: Se. reta. com. X. (Milnor [12], pág. 117) X. =. $. 1. V. S" ,. então. X. pode. infinitas n-esferas acopiadas.. ser visuaiizado. como. uma.

(18) ..A. sobre. A. transformação de revestimento. a. prõxima.. .». Seja. se,. o. X. Seja. .. A. :. X. se,. somente. e. t. e. esfera. 1eva cada. Z. I.].ZZ. TEOREMA. a. _à. revestimento de subespaço de. um. X. aplicação Óoi*. a. associado ao epimomorfismo então p'1(A) ê conexo ,. X. w1(A). :. for. 2. —+. epi. um. morfismo. prova segue de. A. I.2. MATERIAL BÁSICO DA TEORIA DE NO E ENLAÇAMENTOS. —. link. Um. 1.1.10.. (ou. enlacamento). reunião disjunta de u homeomorfismo sobre Ln .. de uma e um. componente de. uma o. n. No. qua] iremos denotar por n+1. ou. I. caso. em. k |_.. =. que. então. ;. '. n+3 ,. (D. nuio, desse. k. =. n+2. n-esferas. ,. o. em E. .. que. além. disso, dada. deve. preservar. uma a. u. =. 1. ê chamada. S?. temos. ,. que. nõ,. um. possivel mostrar que se. grupo fundamenta]. modo. apiica. uma. k-esfera Sk,. na. imagem de cada. A. caso K". € a imagem de. nosso estudo se. do. k. :. complementar. restringirã. ao. .. Diremos que dois 1inks L? , Lg sn+2 + sn+2 h : um difeomorfismo. tir h. L. Ln ,. são. equivaientes se exig. tai. que. indexação dos componentes de ordem. fixada.. No. h(LÇ) L?. e,. L?. =. e. caso de nõs, basta. Lª. ,. que.

(19) h(KT). :. nõ de. tipo O. X. Sn+2. :. sui. uma. lho. t. Kg. tipo. de nõ.. de. link. link. L". .. 5 o. vizinhança tubular :. Ln x. D. 2. + Sn+2. existe. r:. Sn+2. uma. retração. Diremos que X. X. x. =. Ln. C. % x. ,. link. “,. R$. 1. ou. do complementar. 5 imagem de E. Sn+2. pos. um. mergª. L“. V(Ln). _. - V(Ln)). 5 menos de um. L"). um. ,. variedade diferenciável.. ê uma. _. Sn+2. _+. ms“2. &. (Sn+2. t(x,0). de. (mn+2_. e. Como. ponto, vemos que Ln). ,. L" c Rn+2. se considerarmos. tem (isto é, x [-1,1] + b:. 1. Ln. _. IRn+2. ê homeomorfo a. qual. a. que. Sn+2 - V(Ln). ,",. V(L"). tal. mx). temos. neste caso,. equivalência. de. grupo fundamental Podemos mostrar que cada link. do. Ln. ou. Assim, como. sn+2. classe. Chamaremos. grupo —. &. .. subconjunto. um. X. bicolar). ,. Y. tal. b(x,0). dade compacta conexa. Mn+1. se. Sn+2. C. possui colarinho duplo. Y. existir. um. que. c. ,. x. =. V x. ,. mergulho. um. possuindo. E. X. .. Uma. varie. colarinho duplo. serã chamada uma superficie de Seifert do link Ln , a existência de tal_variedade estã provada em [Levine [8], pág. 11 ] e, da definição, concluimos que existe tal. um. que. aMn+1. mergulho. J. =. :. L" ,. “n+1. [_1,1] .* 5n+2. x. Por Último, temos: Se. Ln. ê um. link. com. u. componentes, então. 2“. ,.. se. 0. ,. se. j j. ,. se. "j. L?“. =. 1. >. 1. =. n+1. e. j. =. n+1.

(20) _;. está demonstrado. Como. I.3. em. 16].. [Saab [15], pág.. REQUISITOS ALGÉBRICOS. ——. Estaremos trabalhando sobre. anel. o. Laurent. E, o anel dos polinômios de. A. Z[t,t' 1]. =. variável. na. t. ,. com. isto coefici. entes inteiros. Kn. Sejam &. nõ e. um. revestimento de. um. X. X. Sn+2. =. _. Definição: Matriz Apresentação de. rado. em. A. ê. ,. um. Uma. matriz. dita apresentar. A M. A. Levine. em. [6], pág.. 2. Módulo:. grupo abeliano. A-mõdulo.. como um. mentos. um. seja. associado ao kernel da aplicação abe H1(X) k'Z então Hq(Í) ê UH] A-mõdulo. lianização A : n1(X) + finitamente gerado como pode ser visto. Consideremos. seu complementar,. Kn. que é. , =. finitamente gg. (mlj(t))mx. n. como um mõdulo,. ,. se. ele. com. existir. sequência exata de A-mõdulos. uma. d. onde. (r l. e. F1. ,.... r. F2 ). são. livres sobre. respectivamente,. d(ri) LEMA. I.5.1. (Lema da. "cobra”. e MS. =. j II —. os elementos. 1. (x1. ,.... x. ). e. mij(t)xj. Bourbaki [1], pág. 19). Suponhamos que, no diagrama. comutativo. sejam sequências exatas de A-mõdulos:. &. seguir,as linhas.

(21) _14_. 0—+A—u—>B-v—>C———>0. lº íª“. uv, B' A' C'. ——+. O. ——+. Consideremos, agora,. ——+. 0. ——+. diagrama abaixo:. o. «1 a u 0—+A—ª3—»B—V+c-—+0. aªi-Lâx-uãeo b. a. pl. onde,. i. ,j. e. que. aIêm. disso,. ker(a) ê. exata.. v(y). u1. ——+. a. que. o. cok(c). naturais,. p. induzidas de. ,v1 (u2 ,v2). u1. d. tais. ——+. r i. ,q u. prº. r. e. (u'. ,v. ,v'). diagrama acima se torne comutativo,. homomorfismo. um. &. cok(b). ——+. respectivamente, tais. satisfazendo. V2. são as inclusões. k. jeções naturais,. 'então existe. ql. U2. cok(a). c. ker(c). :. propriedade: =. k(x). e. cok(a). ——+. se. u'(t'). x 6 =. ker(c). b(y). y. ,. então. E. e. B. d(x). =. t'e. A'. p(t'). e,. sequência. ker(b). v1. ——+. ker(c). d ——+. cok(a). u2. ——+. cok(b). v ——+. cok(c).

(22) CAPÍTULO. 11. REVESTIMENTOS CÍCLICO E RAMIFICADO. Neste capitulo daremos as definições dos espaços de reves timentos que iremos utilizar, bem como suas construções geomêtni. equivalências entre as descrições algébricas e_ geomg tricas podem ser vistas em Marar [10] Cap.II. Além disso, mos traremos alguns relacionamentos entre eles) cas.. '. As. Por. simplicidade denotaremos. lembrando que. saltar. suas componentes nõs de dimensão n ,. u. :. L. K1. U. U. Kz. .. II.] A. —. —. U. 0. denotaremos. por. L. ,. quando quisermosreg. e. como uma wúão. disjunta. de. seja,. ou Ku. Ln c Sn+2. link dois. é sempre. co-dimensão. a. um. ,. n. Ki. C. S. n+2. .. ,. 1. .EEVESTIMENTO CÍCEICO DE. UM. =. 1,2,. .... “. NÓ. REVESTIMENTO CÍCLICO INFINITO. Seja Consideremos. C. K. a. Sn+2. um. nõ e. X. = 5. n+2_ K.. seguinte sequência exata:. Como. vimos H1(X)% Z..

(23) —>. (). L. _» «,(x). N. __». H1(X). o. ?? Z. onde. A. E. a. abeiianizacão. e. N. ker. =. subgrupo comutador. 5 o. A. [“1(X),“1(X)] 0. ê. espaço de revestimento. X. ,. ciciico infinito. chamado, espaço de revestimento. Observe que X. isomorfo A.]. —. o. H1(X). K. Z. &. ... X. Seja. K,C Sn+2. um. Seja. Mn+1. superficie. Capitulo. uma. nõ e. X. Seja .V(K). I .. : sn+2 de uma. _. K. .. Seifert para. Sn+2 ,. em. K. vizinhança tubular de. K. Sn+2. Consideremos. a. 1ustrada na figura. 1. parte .. de. Cortemos. até tocar. M. X. conforme. V(K) ,. ao iongo de. M. ,. que possui no bordo duas cópias de espaço quais denotaremos por M+ e' M' (Fig. 2). sim. nõ. ,. espaço de revestimento abeiiano universaide seu grupo de automorfismos de revestimento ê. CONSTRUÇÃO GEOMETRICA DE. como no em. a. do. N. é o. X. neste caso. e. associado ao subgrupo. um. Y. i. obtendº-aí M. ,. as.

(24) -17-. -. Consideremos, agora, infinitas cópias da indexadas nos inteiros (Fig. 3) . &.. Desse modo, M.. G. Y-. com. X. Mª.". <=. € 0. espaço obtido peia i e. Y.. Z. .. Veja. +. tripla. ,M'.. Mi*). identificação. de. (Y].. ilustração abaixo (Fig.4).. “'I—AI. 4—4. q.;. ti» A +qo4. Fig. Denotaremos cada folha de. ><!. 4 >?. por. )?].. (&. i-êsima folha de. ;(. ).. Exemp Za :. Seja de. Seifert. K. o. o. nõ. disco. trivia]. em. (Fig.. 5). M. S. .. 3. Tomaremos como. superficie.

(25) _]8V(K) X. =. $. 3. 5. um. Cortemos. finito (Fig.. X. 7). Fig. o. mergu1hado. ao 1ongo de. M. obtendo assim. ,. Fig.. 6. espaço. X. será. um. c111ndro :. '. —,. +. <*>. “2. "7/////I£><'"“Mã ;». MT. ,. Y. Fig.. REVESTIMENTO. Seja. K. um. cilindro. 8. CÍCLICO FINITO. c Sn+2. um. nõ e. X. =. 7. infinito (Fig. 8). .“1 Yª. !. —. donde. .. l. B. ,. 6).. toro sõlido (Fig.. é também um. —V(K). Assim. toro sõ1ido triviaImente. ..

(26) 5.19—. Consideremos. seguinte sequência:. &. L. mx). H,(x>. &». zk. ?? Z. onde. ra] de. Z. 0. abelianização. 5 a. A. ,em. e. p. projeção natº. € a. H1(X) + Zk. :. Zk. espaço de revestimento associado ao Kernel. apiicação. da. composta. ciciico. ê chamado,. espaço de revestimento será denotado por ik. B.]. —. CONSTRUÇÃO. Basicamente. alteração. tripla ªk e. 5. construção. que tomamos apenas. (Y 1.,M17,r—11?). identificando MTi identificamos M£_1. ,. i. c Y.1 com. =. 5 a mesma. i+1. ,. C. a. finito. k-1.. M+.. com. que. nãmero. um. 0,1,2, M+. folhas. k. de. K. e. ik. GEOMETRICA DE a. de. Y .. 1+1. ... de. X. de. a. ,. Única. cõpias. da. ºbtemos, então,. para todo. 0. gi. <. conforme i1ustração abaixo.. k-1.

(27) Exemplo:. caso. anterior;. E. toro sõiido,. No. ãk. que. C. —. 0.1. um. E. K. V k. —. REVESTIMENTO Mn+2. prõprias. cado,. 2. &. nõ. trivia]. (Fig. 9). 53. em. temos. ,. .. 'A". RAMIFICADO e. C. M. Nn+ 2. . variedades compactas. B". e. C. Uma. função continua. com. conjunto de ramificação. f. ii) OBS.:. if(M-A). .. :. M. +. N-B. N. ê um. A. em. de. revestimento ramifl. cima. abertos. e. de. embaixo se:. B. formarem. N. e, aiêm disso,. =. E. revestimento, chamado revestimento associado.. um. Como. B. M. ,. E. de. =. M-A—>N-B. f|M_A:. compacto, este revestimento ramificado tem. ramificação. ramificação sentido em que f. Cada ponto de k. ,. no. uma. ;. f(A). finitas foihas.. indice. subvarieda. com. N. i) Componentes das pré-imagens base para a topologia de M. pre. o. REVESTIMENTO CÍCLICO E RAMIFICADO. Sejam des. onde. E. &. é. tem. A. k. &. 1. sem um. prº.

(28) _21_. ximo de. a .. Exemplo:. Este nõmero. ê. constante. a. ap1icacão compiexa. disco unitário compiexo recobre. indice Uma. A.. (Rolfsen [13], pág. 293). Consideremos do com. sobmaas componentes de. k. na. si. a. 2. + zk. mesmo. k. ,. com a. vezes,. quai. o. ramifica. origem.. apTicacão anãioga. €. 2 +. ——————. &. qua], portanto, pre. serva norma. Esta mesma apiicacão se estende a um revestimento ramificado de 52 , c.+w + C-+w , ramificada sobre dois pon. tos,. cada. um com. indice. k. (Fig. 10).. (Cada "gomo" ê "esticado" p. até dar em. Fig.. 10. 52). uma. voita toda.

(29) agora, desenvolver uma construção de um revestimen to ramificado, cujo conjunto de ramificação embaixo seja um da Vamos,. K". do nõ. 0.2. cima. e em. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA. —. Como. mostrar que. a. também é. "toro". um. ie. Snx. S1. com. &. k. vezes por podemos. 0. pré-imagem de. Xk. ,. longitudes. um. de. Sn+2. embaixo. é o nõ. com. tai. que as. de. axk. um. dado. variedade de dimensão Denotaremos. iremos. ,. que. é um. meridiano. de. an. um. em. exk. aX. sao. meridia. uni. .. "toro sõiido". que. reveâ. o. "toro" Snx 81,. enquanto que. um. NU. seguir,. a. ,. iongitudes. meridiano de. coiar. construir. UM. Sn. x02. meridiano *x. 51. em. cg. .. revestimento ciciico ramifi folhas, onde o conjunto de ramificação. k. K. X. ax,. espaço assim construido ã. cado de. podemos. ,. tai maneira. bordo ã bordo, de. ,. K. do bordo. k. isso,. Mostrado Xk. folhas. k. pré-imagem. revestidas por no é revestido. Sn+2_. =. X. CTÉLICÓ EMMTFICADO DE. REVESTIMENTO. DO. vimos, dado. timento ciciico de. Iink.. novo nõ ou. um. e em. o. cima. novo nõ ou. um. link,. em. aiguma. (n+2).. . este revestimento por. "k. Tk X. revestimento ciciico de k foihas de X': Sn+2— K , X ê uma variedade compacta com p'1(aX) ê tam aX & Snx 51 . Vamos mostrar que a pré—imagem é a projeção Snx S1 em Xk , onde p : bém um "toro" + X Sejam. :. K. Sn+2. um. nõ e. o. X. X. de. revestimento. -Seja. p'. revestimento de .. e. assim,. an. =. p BX. :. ,. ou ê'um. an. como. “toro”. + ax «k. X. Sn. e-. xS. sabemos que. ,. » finito entao .. 1. .. "k ex. ou-ê desconexo.. an. é um. 5. finito.

(30) Z. _,. o. __». N. n1(x). _A_+. i,]. ,. n1(3X) onde da. N. ker. =. ínc1usão. A. í. :. E. tal +. BX. atinge. o. p'1(aX). A :. ê. conexo,. Vamos, do. E. bordo Como. H1(X) o. .. vimos,. %. i*. e. N. &. Z. ,. o. uma. vez que pela abe. gerador. &. de. W1(8X). 1.1.12. ,. "toro" Snx DZ, bor. c01agem do. a. ik aãk. %. o. Snx. 51. =. p'1(aX). revestimento. p'. :. aãk + ax. maneira esquematizada abaixo:. 11. induzida. &. que conclui nossa afirmação.. Geometricamente,. Fig.. é. Desse modo, pe1o teorema. agora, descrever. com. Z. %. epimorfísmo,. ê um. $. H1(X) + H1(X). gerador de. o. X. Observemos que. lianízacão,. __,. 7'. p*("1(i)). que. :? H1(x). lp. ax. ê dado da.

(31) horizontai,. Cada curva. horizontais distintas. vas. vezes por. p'1(a). verticai,. curva. uma. e. recoberta por k CUE cada curva vertical 6 recoberta k Fig. 11,. na. seja,. ou. E. se. meridiano, en é um vezes, se. € um. a. reveste k paraieio, então p'1(8) são k paraieios disjuntos. Podemos ver isso geometricamente, pois uma curva horizontal (paraieio). tão. onde. E. BX. em. meridiano que. 5 um. superficie. a. assim temos. ax ,. Xk. em. ,. o. B. de. Seifert. k. cõpias de. M. de. K. toca. o. bordo. M. tocando. o. bordo. curvas horizontais distintas. Agora, uma em um ponto, 1090 seu levan curva verticai (meridiano) corta em um ponto, por outro 13 tamento deve cortar cada cópia de aik. portanto,. em,. k. M. M. do, eia representa &. "1(Xk,ã). do em. natura]. e. um. permanece. um. com. em. w1(X,a). em. p'1(a). 5 €. H1(Ík,ã). ,. iogo eia. ,. se ê. inciui. vamos. de maneira. fechada.. o. Sn xD 2. Sn x 5. ao longo de seu bordo. isso, consideremos o toro aberto como dividir seu bordo em k partes (Fig. 12). Para. BX. incluí. quando. que,. revestimento ciciico ramificado Xk de k conjunto de ramificação K embaixo, iremos colar. "toro sõiido". “k. a. para aigum. ,. Para obtermos. foihas,. laço. um. 1. ciiindro. em. e. U;“;. _.. N. Fig. Cada. tes. p'1(aX). de. do bordo deve. parte ,. 12. ser identificada. correSpondentes. &. cada secção. em. da. uma. das par. construção. descrita anteriormente, É. neira. possive] mostrar que ta] coiagem pode ser feita de ma Cºn uma variedade diferen ou seja, o resuitado ainda , &.

(32) Mn+2. Ciavel .—-. que. reveste. cação embaixo sendo. II.2 A. —. u. nõ. esfera. K. dado,. .n 5. com um número. REVESTIMENTO CÍCLICO DE. —. ... . de ramifi conJunto. com. UM. k. de. foihas.. ENLAÇAMENTO. REVESTIMENTO CÍCLICO INFINITO. Seja de. o. a. sºª-L. x =. onde. ,. n-1ink de muitipiicida. é um. L. .. Este revestimento que, também. total. de. do ao Kernei. M. número. enlaçamentos,. revestimento. é chamado. do. espaço de revestimento associa. 5 o. aplicação composta. da. .. A ——+. W1(X). 2. H1(X). ——+. Z. ??. 2“. onde. abeiianizacão. é a. A. e. E. E. somatõria das coordenadas.. a. Este espaço serã denotado por B. —. &. REVESTIMENTO CÍCLICO FINITO. mesma forma que em. Da. clico de k folhas de a apiicação composta. X. ,. Ik. ,. definimos. ik. ,. como sendo. pkoZoA:“1(X) onde. ra] de. e. A Z. 2. são como acima. sobre. Zk. e. pk. ——->. :. Z. Zk. + Zk. o. revestimento Cí aquele. associado. , € a. projeção nat!.

(33) construção geométrica de. A. trução geométrica de. 0,1,... ,k-1). Z. (i. =. berta. ao. longo de. i. e. X(X. ). X(X. construindo. ,. onde cada. ,. superficie. uma. E. os. espacos. de. cons Yi. ,. X. ª. cópia de. é uma. Yi. Seifert. de. mesma que a. a. coiados de. e. L. maneira conveniente. Note que, 5". meomorfas. a. Snx 02. ,. bordo. partir. de. k. folhas. bordo. &. ),. Xk. de. X. u =. 1. fazendo. R ,. x. Xk. a. obtemos. disjunta. união. ê uma. BX. uma. de. variedades hg. u. colagem adequada de u'Woroy'. (como fizemos para. obter. espaço de revestimento. o. ramificado ao longo de. que. L. Tk. a. ciciico. de. será. denotado. Xk. por. OBS.: Se. assim. X. II.3 A. &. X. ,. ,. então. Xk. &. entre. 2. =. 12. e. Xk. %. A. “k. E. X. (MILNOR. X. [12], pág. 118). sequência exata tk-i. C*(X). —-——+. os complexos. cia ionga -——». II.4. Xk. e. RELACIONAMENTO ENTRE. —. 0. Xk. e, neste caso,. é um nõ. L. —. em. C*(X,k. A. C*(X). ————+. simpliciais. ————+. de. e. X. X. ,. induz. sequên. a. homoiogia ,. H].(X). k. L'L. ,. ,. A. ——->-H1.(Xk). H1-(X). ik. RELACIONAMENTO ENTRE. e. ik. 1(). (UM RESULTADO DE CROWELL). Neste parágrafo vamos dar uma prova "geométrica“ +2 _ exata existe a sequenc1a , para um no- K c Sn .. t k- '. .. de que,.

(34) 0—>Z—>H1(X além. disso, esta sequência cinde. Daremos. z. :. ,. tambêm. interpretação. uma. gerador. do. encontrada. em. do. H1(>“<k) .. demonstração mais rigorosa pode ser. Uma. [3].. Croweii. vimos,. na. maneira adequada,. um. Como. do. ,. ik. revestimento. dos meridianos. H1(X...k). é. un]. como vimos ê um. "toro". Sn. xS1. Este gerador. obtido,. na. construção. Um. que,. construção geométrica de Xk , coiamos, de "toro sõiido" Sn x02 ao iongo do bordo. gerador de ê. *k. deste bordo. seguinte. da. X. maneira.. tubular. nhança. a'. gerador. Temos o. de. em. K. de Sn+2. H1(Sn+2. -T). onde. ê uma. T. vizi. (Fig. 13).. cortamos, ao iongo da superficie de Seifert, abri mos este gerador que passa a ser um segmento. Tomamos, então, k cõpias deste espaço (Fig. 14) e identificamos a Última com a primeira. Neste ponto temos k segmentos obtidos de a que, Quando. através. da Gitima. que recobre. a'. vezes. se torne. disso. e, além. 1aço. um. ,. é. um. a. em. gerador. ik. ,. de. (Fig. 15).. H1(Í(k) Ao. co. k. identificação,. efetuarmos. *xDZ. em. 7k x. Consideremos. a. coiagem, "k. a. :X u(s"xD 2) a. sequência. passa. a. ser bordo de. um. diª. .. de. Mayer. Vietoris. do. par.

(35) Hzãk). ». H1(>”<k. n. (s"xoºn. e H1(SnxD2). + H1(>"<k). &. Desse modo, um. gerador. 0. 5. o. gerador. 1'. ——+. [a']. H1(Ík). de. a. =. 2. ——+. ,. M)?). + o. &. _. 'H1(Snx 51) x z. +. o. a'. "k. de. 1090. H1(Ík). a. J. H1(X. (Sn xD2)). “. sequência:. ——+. H1(í. ). ——+. exata.. Fig. 13,. _Fig-. Fig.. 15. 14. 0. ,"athge".

(36) [3], mostra. Croweil. cinde, onde. 9: que. seguinte sequência exata,. (Ver esquema. c H0(A1n 81). Z. a. abaixe).. existem. Logo. tais. que. —+. 2. og. 8*. =. Desse modo,. H1(>“<k). '. IZ a. h:. e. e. h. ow. |I. H1()2). ——+. H1()Ík). o—c. sequência. 9 0—»—+'z—->H. cinde. Vamos. definir. aplicação. a. ta] forma que Inlg : nossa sequência exata, cinde. 8*o. g =. Iz. :. Z. Im i. (ik). definida por: foi descrito anteriormente. Seja. a. de. 9. g. :. Z. +. H. 1. Precisamos mostrar que Como em. [3] sejam. A1. 8* e. tal. +. H1(Ík). ,. e. assim. Imri= hnj. e. g((1,—1)) =[a] ,onde. og : Iz B1. que. esquematizados abaixo:.

(37) Logo. tipo. mesmo. A1. A. 1. 0. B. 1. em. A1. superfície. da ,. mesmo. o. tipo ... de homotopia que. 3*([a]) cópia. tem. uma com. de. X1. ... .... X2 u. U. P1. e. Seífert. ,. que. e. +. do nõ. K. outra. com. e. X0. B1. 0. kk-1. u. são dois pontos,. va1or. ... de homotopia que. homeomorfa. E. va1or. cada. um em. P2 ;. —. ,. &. conforme es—. quematizado abaixo: Superfície de. Seifert. Além. de. Superchíe de Seífert de_ K. K. disso, a*([a]). sinais trocados. em. B1. re1ação ao. 3*([a]). Assim. em. =. (1,4). ,. também. ,. dois pontos. E. a*([a]). em. (ou. 3*([a]). com. A1 =. (-1,1)). ,. em. Z. '. e, desse modo, Temos,. ã*o. g =. IZ. então, que esta função. 9. possíveis homomorfismos que faz cíndir caso,. Img. =. [Logo a. cinde.. Imi. sequência exata. + H1(K. ). é. um. dos. :. Z. &. sequência (1) e, neste.

(38) P Í T. A. C. L. U. O. -. III. K—ESPLITÃVEIS E Q—SIMPLES. ENLACAMENTOS. Neste capítulo definiremos duas classes n. -links. e veremos. particulares. alguns resultados, obtidos através. do. de. reves. timento ciclico infinito. Estaremos sempre trabalhando sobre com a. III.] n-link. L. =. K1. u. .... u. K2. U. n. L. =. p. L. =. p. ,. Iii). as. iii). s"+2 - (Bn. iv). k. a. A. =Z[t,t'. 1. ]. e. LINK k—ESPLITÃVEL. —. u. K“. de. dito ser geometricamente k-esplitãvel (0 é n+2 n+2 B BE+2 , u uma coleção 82 : BI Sn+2 mutualmente disjuntas satisfazendo: 1) BÇ+2. anel. integral.. homologia. Um. o. L). 5 maximal. 1. ,. =. com. p. IIA. _J. IIA. 7?. multiplicidade u e k u-I) se existir %. de. k. sub-bolas de. ». ,. respeito ãs propriedades acima..

(39) Se. e, se. k. k. =. p—1. = O. dizemos que. ,. dizemos que. ,. L. =. L].. L. “. Bi. Sejam. n. (sn+2 -. espIitãveis. X. _-. X1. S. v X2 v. n+1. espaço de revestimento de E. L. A. X. consiste. de uma. W1(X) +. cópia de. ievantamento. wedge. n+1 v X2 v S. ,. X1. cada. um. dos pontos. com &. Z. ,. H1(X1). H1(X2). &. % %. Z. ><). ,. associado ao homomorfismo. X. A :. o. com. ao longo do. em. de. B). . ». tificadas da. espiitãvei.. III.].Z .. então. espiitãvei. ,. L. =. k+1. são os componentes não. o. 5 não. L. compietamente. disso, dizemos que:. 'Aiêm. LEMA. ê. L. A. X1. ;. Z. , e uma. do. cõpias de. cõpia de. ponto Sn+1. *. cada. 22. iden. dado uma. no. coig. conforme esquematizado abaixo:.

(40) Prova:. ii. Sejam. rais, E. o. A. fãcii. ê 0. :. i2*. +. X1. observar. W1(X2). :. que. :. 2. +. X2 A. o. i1*. 0. abelianizacão, atingem, respectivamente, componente de. H1(X). Logo, sendo. p. %. Z. e. 2. :. 2 +. X. a. apiicação. 1.1.12, temos que p'1(X1) revestem, respectivamente, X1 e. Teorema. de. são. segunda. e a. conexos. e. X2. revestimento de. Vamos. mostrar que este espaço de revestimento. p'1(X1). +. o. X1. é. o. correí. 1H(X1) +. H1(X1).. apiicacão: W 1. portanto. e. revestimento, pelo. p' : pl P—1(X1). ã. Z. vez que, peia. Seja. pondente. e. uma. primeira. a. +. "1(X1). :. p'1(X2). e. inciusões natª. as. X. são epimorfismos,. Z. -+. i2. e. X. p. _1. (X1). Observemos. o. (x «. __ X1. ,. lí; onde. H. 1. (X. A. ,. 1. ). m. “. Z. -_ Ahq(X1). núcleo da aplicação. K1. Vamos. mostrar que. Temos o. ). seguinte diagrama abaixo:. Seja. o. 1. p;("1(p'1(X1))). =. seguinte diagrama comutativo:. K1. ...

(41) _34,. —íi+. w,(p'1<x,» ip,,. «1çi> lpa-. “* ª. —. A“. Seja 1.1* , e. por. é. A. Como o. ievado. (?. ievado. primeira. 5. A(i*(p;(a))). mento. em. K. p;(a). A. &. w1(x1). ,. A'. = E. ,. e. K1. H1(x1). desse modo, por W1(X)%W1(X1)*Tr1(X2). o A. Z.. $. Como. assim A'(p;(a». i1*(p;(a)). o. i*(p;(a)) E i*(p;(a)) e K1. donde. ,. =>. K1. %. assim. e. 0. = A. 4 z. componente de. ker. E. p;(n1<p'1(x1))). Logo. Seja. ker. =. " “. e. diagrama ê comutativo temos. logo. Z .. primeira componente de H1(X)R:Z. 5. tem que. a61W(p'1(X1)). ª ª. n1(p"(x1))=» p;,(a). a e. pua). A. "1(X1). f;(a). =>. =. ... e. E. =D. .. 0. ,. um. ele. K1. c K, e w1(X1). i1*(A). mais. ,. precisamente. 5. "primeira componente"- de W1(X) & n1(x1) * "1(X2) , anaiogamen te ao caso anterior, temos que Elo AH*(A))= 0, logo i*(A)e K, assim eie se ievanta tado sobre. X1. j*(a') :. e. e. a. existe. 1090. ,. 1aço. a um. assim,. =. pi. portanto,. K1. =. p'1(X1). donde. u. p"(x2). p'1(Sn+1) Seja. L. =. U. Seja X=S n+2-L. K2. e. a. W1(Í) ,. ievan. w1(p'1(X1)) tai oue temos que. p;(a')=. A. f;<«1(p'1(x1>)). c. X2. p'1<s"+1). desconexo,. ê K1. u. e. p'1(X1). Analogamente mostramos para 2. a'. laço. um. p'. como. pertencente. a. o. Assim, como. p'1<*). u. e. w1(s"+'>. =. o. ,. resuitado segue. n-iink. um X. o. .. de. muitipiicidade. 2. revestimento ciciico infhúto [. de. X. ..

(42) Seja. nito. de. TEOREMA. Xi. Xi. =. ,. i. e. i. o. Xi. revestimento ciciico infi. 1,2. =. III.].Z. Se. de duas componentes, Como acima,. L. compietamente. 5. espiitãve], então: H].()2). mA. H1(X) Hn+1(X). H1()21)€BH1()22) %A. &:A. ,. 251“. H1(X1) $ H1(X2). º. Hn+1(x1). &. A. ,. ,. ª. Hn+1(X2). A. Prova: Vamos. mostrar qúe 'Sn+2 -L. Seja. T2. Como. L. uma E. %. X1. v X2 v Sn+1. vizinhança tubular de. compietamente esp1itãve1, podemos considerar. Bç+2 c Sn+2 - T2 , contendo ma bola K1 8B2+2 contido em Sn+2 - BT+2 , ta] que 'Vamos. Sn+2. em. K2. denotar. o. bordo. exterior. de. e LC. C. um. C. n. colar sobre. T2 =. D. aC. &. por. B?+2. B1. aC. “W“. «2 'T2. ª. por.

(43) conectar. Podemos. que seu. com. aC. por. uma. TÃ. ,. de. tal. i). TA. n. aC. ii). TA. n. GTZ. iii). TA. c. 5“2. vizinhança tubular de. Dn+1. % %. -. Dn+1. n+2. -. do. atê. aTz. (B1. e. uCuTZ). sobre os pontos interiores de x. TÃ. aC. ao. K2. por. 881. mostrar que ta] configuração tem S. ,. ,. Conectemos, agora, que. de forma. n+2 S. - (T 2 UC UB1).. em. A. A. forma que:. Dn+1. Vamos. arco. um. interior esteja inteiramente contido. Seja aC. aT2. o. um. arco. mesmo tipo de. A1. c. C. homotopia.

(44)

(45) Desse modo, Vamos. X2 v B1. %. S. mostar, agora, que. Primeiro; lembremos que Observemos as. n+2. - T2. Bç+2 X1. v. &. K1. Sn+1. w. X1 X1. V. S“1 (Sn+1x I). figuras abaixo: Bg+2 "Oca". Ao o. mesmo. mais. centro temos uma Bg+2 "oca" . Esta configuração tem tipo de homotopia que a configuração abaixo , que nada. 5 que. X1. - Bg+2.

(46) Bn+2. _. Então, se n+2. =S"+2 -L =(s"+2-T2) n+2. -r1 : n+1. _T1)mx2VX1-Bz. “IX2VX1VS. .. A. identificados. com. .. = w1. Sn+1. UA w2. “. -_. w1. cada. ,. Consideremos. .. uma. n+1 51. 82. U; i. X1. levantamento ª. do. ao 1ongo. cõpias de. Z. Sejam, R. n+2. )—T1WX2V(B1. x. Denotaremos por * o ponto base neste Hedge. Logo, pe1o III.1.1 , Í consiste de uma cõpia de X1 , uma cõpia de. Lema. iz. 1. for esp1itãve1,. L. =X 2 —T1N(x2VB1. Bn+2. %. a. colada e. sobre. _ X2. sequência de. ª.. dos pontos. em um “. w2. junto. *. Desse. .. modo. Mayer-Vietoris. da. triada (x,w1,w2). '. Se. 2. _». 0. s. i. g. ==>. n. Hi($). %. H].(w1) $ H1-(W2). ——>. logo. O. ———>. —>. H'Í(X). 0. —->. É?. e?. donde. Hi(Í)Q:Hi(w1)ôtH(w2)%tH(X1U;_lJ e a. sª”) oH.(ã2)x Hí(i1). o. Hí(22). primeira parte está provada. Se. 1. :. Hn+1(*) " n+1. temos:. n+1. =. O. º. ª. (“z) : Hn+1(22). Hn+1(w1). Logo,. :. H. n+1. (&. Hn+1(x). 1. &. uh. U. *-iez. sº+1) 1. &. Hn+1(21) e ZEZ]. Hn+1(X1) $ Hn+1(X2) 9. A. &. H. n+1<x1). ª. A.

(47) Consideremos 0. Como. Seja. e. A. tal. A. A. ——+. ê um. Z. sequência exata abaixo:. &. ——+. domínio,. que. A. ser. deve. 0. ——+. um. ideal primo. em. A. (A). =. [9]). Segundo (Oziride. A. Z. ——+. A. ideais primos. os Únicos. em. são. A. tipo:. do. i). (0). ii) (p(t)). iii). (p. ,g(t)). que. E. um. A. E. A. p 6. ê um número primo e. Z. Zp[t,t'1]. então teríamos,. 0. =. (p. ,g(t)). então. A. ,. A. =. (p(t)). em. pela sequência,. seria finito. A/A. Assim. p(t). onde. a imagem de. f. :. A. —+. (à). 1. —+. A. em. A. Vo1tando ao nosso Teorema, se —>. H1(w1)©H1(w2). irredutível. ê. basta considerar. como um A-mõdu10,. f1. H1(;). irredutíve]. &. g(t). 6. 5. A. Zp[t,t'1] Amix. Z. 0. mas. A/A. &. Z. infinito. Logo. (A) *A. E. írredutTve]. ê. absurdo.. Se. que. =. onde. g(t). ta] que Se. p(t). onde. ,. &. ê um 1. H1()2). =. A. 1. _». a. em. A. .. Mas. aplicação. p(t).. gerado por temos:. Hºm. _». 2. -+. o. “2? A. desse modo, pelo qoeacMmmosde demonstrar, podemos desviar esta.

(48) sequência. seguinte. do. modo: n+1 51. *. A. H,(*). H,(x1 Uªigz. —f. 22. à?. (). H1(x1). como. é um módulo. A. Iivre sobre ,. ,. H1(X1). o,. _». A. A. nosso teorema estã demonstrado.. e. OBS.:. verdade. Na. o. visto. acima. A. agora, supor. Vamos,. sejam. e. A. Xi. L.1 ,. muItipIicidade 1. IIA. X. ,. 1. mas. A. A. X'. =. X1. U. X2. U. IIA. i. 5. ,. os com. k+1. Sn+2 Xi = k+1. u. "Li. ,. suponha. e. A. .... U. X. k-1. º. seja, HÍ(X'). mA. H1(X1) o HÍ(X2) o. .... o H1(Xk_1),. H1(í'). mA. H1(ã1) o H1(ã2). .... o. H1(ik_1). o. (k. º. Hn+1(Xk-1). º. (k ". “n+1(x')ªA. lidade n+2 n. de. Hn+1(x1). Bç+2 ,. Sejam. ii. de. = Sn+2 -L espiitãveis de L , 5 i o revestimento ciciico sobre Xi , que o resultado anterior seja válido para. ponentes não. ou. (t-I).. é. n-Iink. um. L. geometricamente k-espIitãveI. S. ,. H1(X2) o. &. -». H1(X). temos:. A. A. m. H1(X). “. -+. o H1(X2). ). k+1. Aj. =. 0. ,. v. i. 1,2, ...k+1. =. A1. tais. - 191 Bi. ª Hn+1(X2) ª i. e. L. &. ,. que. i. =. 1,2,. .... k. conecte. Xi. ;. n. ;. -1)A. ;. '“. k-espIitabi. dadas peIa. ,. i. 2 g. arcos contidos Bi. a. em. Bi+1. e. : j. Conectemos, assim, as. k-1. primeiras boias. Bn+2 1. ,.

(49) vizinhança tubular. Tomemos uma. até. 381. 38 i+1. te novo espaço do. anterior. teorema. bola. é uma. Bn+-1. i. 1,2. =. 1. demonstração. como na. ,. TX. , do. teorema. ...k-2. do. anterior.. Es. estamos, novamente,. e. caso. no. A. A. assim, denotando Í*=Í1LJX2u ”.IJXk_1U ik. e. temos: k—1. A. a;). H-(X. ). ,. A. [(1621Hj(X1-)$(k—1)A)(BAHJ-(XkHª. =. A. ©=r. %. $ kA , . . HJ(X1). 'N:. i"1. A. ã. 2. m. '. 1. < =. n. Analogamente:. ii). iii). k. H(X*)% 1. Hn+1. H(>2.)okA. &). 1. i=1. (%*)k. H. "(ax. i. 1. Seja, agora, e uma. outra boia. e. 1. n+1(xi). uma. ª. “. Única boia. B.n+1. Bn+1. contendo. Lk+1. contendo ,. segue. [.1 u L2 u. o. ...u. Lk. seguinte rg. sultado:. III.1.3. COROLÃRIO. Se. L. ,. como k+1. ª HJ(X)«,1_G=31 A. .. acima, for A. H.J(x1) .. III.2 Seja. L. um. n-iink. ,. —. de. k-espiitãve], então:. 2—5 J'. ;. LINK. q—SIMPLES. n. muitipiicidade. u. ,. L. ê. chamado.

(50) q-simples (:. 11,". =(. ª. (q. 0). se 'WÍ(X) u-1. n v 1'=1. “(Cu "). para. ,. í. ;. q. onde. ,. S1.)v(V srl“). J=1 J 1. Observe que todo link. ples para todo LEMA. %. q. ª. o-simples.. 0. mu1t1plicídade. u. 5. trivial. 1ink. qsíg. ê. O. III.2.1 Se um n-11nk. de. L. q-simp1es,. 5. q. ã1,. então: 75). ii) iii). H1()Í),'k(u-1)A. ;. então,. ;. n. ,. n+1. ,. então,. Se. 2. 5 q. Se. q. ;. HÍ(Í). Hn+1(Í). = %. O. ,. 2. g. 1. ;. q. ,. (u-1)A. Prova:. “1Sj. Seja. Eu. Vamos. construir f. =. V1. como. ,. :. C. +. . esquemat1zado aba1xo: —.. X. ,. geometricamente,. como segue:.

(51) _44_. Como. de. 5;. Cu. tubular o. ª. q. n1(X). correspondente. ,. ponto base. do Wedge. *. em. algum ponto. interior. um. caminho. X. '=. A. , J. em. 1,2,. J. do. W. M. X. :. +. Cu. induz. X. *. ,. levado. ao. meridiano. v,(M,Cu) :. «,(x). ——+. f. e. 0. If. =. M. ,. “i(M'Cu) : “1(X). ª. i. ,. Desse. .. o. M. Ll. Sabemos que. disso,. donde. a. H1(Eu). H1(êu). i*. inclusão. jª+. são isomorfos, então seus. Se. ta,. i. ). ;. 2. e 2. que as. ª. i. ,. 2. X. .. ,. ",(Cu) + n1(X) E um isomorfismo, um isomorfismo, pois se dois grupos. abelianizados. também. são. o. q. então. s n ,. temos,. assim. e. :. 0. #. ,. lª Tl'1-+1(Cu). i. ;. q. é. são isomorfismos:. p*. lª. lª + TTi+1(M). pois. ,. diagrama abaixo, onde cada linha. no. aplicações. n1(M,õp). A. A. +. o. =. ,. i).. provamos. sendo. Hi(ê. e. M. :. 5. H1(X). (u—1)A. &. mg. 2. revestimento ciclico infinito de de C e X de temos assim, induzidos os revestimentos C A. Seja, agora,. além. a. isomorfismo. um. "Mapping Cylinder" de. o. M. ,. ªj. imagem do ponto. ). Seja. ,. u. f. Assim. cada segmento. e. a. j=1,2...u. L,. de. Lj. acima esquematizado, ê levado. ,. X. ligando. ,. um. ,. ã componente. Cu. de. assim, a cada circulo meridiano Aj da vizinhança. "1(Cu). &. associar. fazemos. ,. Tj. =>. 1. ”*. W1+1(M9Cu) + E?. TTi+l (X). lr». lm—. ”'(C. ). + TT'Í(M). +. exa.

(52) Iogo, peIo Iema dos cinco, Pl 5 um. ª. "“ª. ”i+1IMºõu). isomorfismo,. ni(É,êu) :. 0. ,. 2 g i. 5 q. H1(n,õu). =. o. ,. 2 g. ;. Consideremos. a. sequência. H,(n). ii) está. 1. 2. ,. 5 q 5 n. Como, &. "n+1(Cu n). SQ+I. ,. por. h. i .i. .. =. o. =. do. par. (&ºêu). 2 g. ,. 0. i 5 q. H.(. =>. ;. n+1. «,(x) %. M. ,. "i(cu,n). %. Z“.1. 1,2,... ,u-I. Sn+1 +. X. ,. i =. ,. ,. i. um. dos. e no. (n+1)-esque1eto,. em. X. II. CD. N. o. u—geradores do grupo. ..:. IIA. IIA. .D. ). Temos, então,. sequência exata:. e. CLl. q. ;. ,. denotemos. n. +. é geomg. X. n+1 ,. nn+1(X). (u—I). cada. circulo. &. esferas. esas apIicaCões do Wedge. u-1 V. i=1. Iivre nãJabeHano,7H(X)%. Sª. ?ª,. aplica cada (n+1)-esfera de Cu n , hi , f assim definida induz um isomorfií e “1(X) , i ; n+1 ; q. apIicação. entre n.(C. é q. :. 1,2,... ,u-I associa. f. sobre. mo. v. gerado por aplicações de. I-esqueIeto,. a. > ><. provado.. No. segundo. donde. ,. q. = seja If onde f tricamente definido da seguinte maneira:. q. ”i+1IX). 0. Logo,. Se. *. “i+1IMººu). seja,. ou. 0. e. [16], pág. 53). (Vick. o. f. seguinte diagrama, onde cada Iinha. é. uma.

(53) ,. A. nn+2(M). _+ wn+1(cu,n) _+ “. ih.. l ,. , ,. J*. n+2(M) _+ Hn+2(M”Cu,n). mostrar que 0. (M,C. par. i* Msn. E. ). A. Hn+1(cu,n). —+. ([18], pãg.178). Segundo Whitehead Vamos. lºi ,. 5. _º "n+2(MºCu,n). comutativo abaixo, onde cada linha. iªi:. "+. íb-k. diagrama. +. +. “n(M). lª-k. lpa— .*. no. sequência exata,. 5 uma. TTn+1(Mªcu,n),+ “n(cu,n). “*. TTn+1<cu,n) '* "n+1(M). epimorfismo.. um. conexo, assim sendo,. n+1. "n+1(Cu,n) + “n+1(M). 5. h. H. isomorfismo.. um. (“Dl. —+. 1(M) _». íbae. 7Tn+1(MºCu,n) .* “n(c &”. 0. aplicações. as. a*. (. =. Plô. )*. IJ,". b*. e. PIM )*. (. =. são. fismos (Whitehead, [18] pãg.178), Pelo lema dos cinco, A. isomorfismo, iogo. um. n+1. conexo, donde Seja. a. &. A. “n+1(M'Cu,n). i*. :. ker(i*). Hn+1'(Cp. "). entao. 3. ,. 0. &. ou. ,. e. p*. seja,. (M,Cu,n). + Hn+1(M) B. isomor. 6. e e. sobre.. tai. Hn+2(MºCu,n). que. sobre, 3 Y nn+2(Mªcu,n) com h(y)= B, , , » mas 6 e- a aplicacao nula, uma vez que n "HW“,n ) ª n+1 (M) , assim a(y) = 0 => g(ô(y)) = 0 . Como o diagrama comuta, temos a. =. j*(6). ,. como. 5. h. &. TT. 0. Logo. = A. g(õ(Y)). i*ºHn+1(Cu,n ). morfismo e, com. isso,. =. j*(h(v)). + Hn+1(É). obtemos. o. ê. =. a. injetora. donde. seguinte diagrama:. é. um. iso.

(54) Wn+1(x) %*. :. :ê. % &. A. —+_+. Wn+1(cu,n). O. | +. 9. -—+. 0. __+. 0. J A. Hn+1(. O. A. nn+1(M). 1*. u,n). A. Hn+1(M). “Égª )º,. %. + l. &'. I. :a l. A. Hn+1(x). f. Como. sobre e um. Çª. :. C“,". :. +. 1nduz. X. 1somorf1smo de. um. A. nn+1(X) entao seu 1evantamento f*z me(Cu,n)——+1m+1 (X) isomorfismb, segundo Whitehead ( [18], pág. 181) , temos Hn+1(Cu,n) —+ Hn+1(X) um isomorfismo. Desse modo, A. “"+1(X). iii) está. e. “n+1(cu,n). TEOREMA. Hn+1(x). &. Hn+1(M)%. (U'1)A. provado.. III.2.2. Suponha. Seja. A. e. Wn+1(M). %. *k. x. o. um. L. n-Iink. multiplicidade. de. revestimento cTc11co de. u. fo1has de. k. q. , X. -simp1es. =. sª+2. —L.. Então: a). “ cok(tk-1) e H1(ik) Wz. ii). Se. q. 1. =>. iii). Se. 2 5 q. 5 n. 'v). Se. 1. 7,. onde. ;. =q= <. <. (tk-1). H1(Ík). n :. z , &. (tk-1). A. H1(ik) :. =. H. (ik). 0. 'N:. ,. 2. g. 1. cok(tk-1). Hq+1<i) + Hq+1(i). A. H1(X) + H1(X). :. [k(u-1) +1]z. =>. q+1. onde. 5 q a.

(55) -l+º-. v). Se. ;. q. Hn+1(Xk). =>. n+1. K(u-1)Z. &. .. Prova:. cathulo II, parágrafo. vimos no. Como. 2, temos. sequência. a. longa exata:. Hi(i). -——-+. Se. =. 1. 1. ——l-+. H-(X). temos:. ,. Z. tk—1 ——+. H1(X). ————+. (tk-1). Logo. temos. H1(X). ——+. k. H1(X ). (Í). H. :. Hi(x. ————+. Z. ãêA. 8. H0(X). ——+. —+'H (X). -—-+. ). tk'1. ————+. Z. 88. HO(X). aík. (X ). ——+ H. ——+. 0. homomorfismo nu10 donde. E o. sequência. a. ,.. H1(x>. ——+. k-1 t ——. A. A. H1(xk). —-». H1(x>. i—. H0(X ). ——+. 0. & Z. e. assím,como. A. HO(X). 2. %. é. Iivre sobre. 2 ,. esta sequência. ciª. de, donde H1(Í. ). q a. 1. Se O. ———+. ou. seja. (u-1)A. kz cok(tk—1) 6. temos, pe10 tk—1 ————+. -(u-1)A. t. k. assim provamos. ———+. H. -1. 1). III.2.1. Lema. (u-1)A. 0. e. Z. 1. (ik). H1(Ík). ————+. ———+. Z. Z. ————+. ———+. 0. 0. aa. k(u—1)Z. desse H. (ik). modo &. k(u-1)Z a. z. =. [k(u—1). +. 112. e. 11). está provado..

(56) H1(í). Como. 0. =. ;. i. 2 g. ,. q. pe10. ,. III.2.1. Lema. temos. a. sequência exata: O. 0. 0. u. n. u. Ak_ É-—l+. -+ Hi(X). Hi(i. donde. Se. i. ). =. o. =. 2. ,. A. v. ,. H.(Xk. -+. HÍ(X) 3. ª. A. g. ;. 1. 0. Ak_ t. .. " A. 1. q. temos: cok(tk—1). W). il» ngm. &. k. ||. n. 0. 0. ——+. H2<í<k>. 2. ee. k. mx). &. ———+. Him —. H,(>“<'<>. ,. +. z +. 0. iii). e. foi provada.. Provemos agora. ra. q. ª. iv). segue da parte. 2. Se. q. :. 1. então. ,. .. Basta mostrar para. q. =. 1. iii). (tk-1). H1(Í). :. —+. H1(Í). ê. ,. pois pg. injetora. e. assim temos que na sequência exata: 0 A. . —-+ H3(Xk). &. ã o. lí». A. H2(x). ,.. A. -—+ H2(Xk). a. ——+. A. H1(X). tk_1 ————+. homomorfismo nu10, donde H2(XAk). e. k_ Ll+ H2(X). isto prova iv). ê. ísomorfo. ao. cok(tk-1). ,. A. H1(X)-——+....

(57) Se. q. ;. n+1. pelo. ,. H. Como. (tk-1). :. Lema. n+1. (>?). Hn+1(Í). —+. III.2.1. ,. temos:. (u-1)A. &. Hn+1(Í). ê. injetora,. temos. &. quêncía exata: . ___» o. _» (ll-m. k-. t—1>(p—1)A. _». A. Hn+1(Xk). 3.». A. Hn(X) —->. a 0. Logo. Hn+1. ªk). «». %. (u-1)A. tk-1. %. k(u—1)Z ,. o. que prova. v). sg.

(58) CAPÍTULO. GENERALIZACÃO DO RESULTADO DE CROWELL. UMA. generalização do resultado 11.4, para n-links L de, multiplicidade ser completamente-esplitãvel ou q-simples.. Neste Capitulo faremos Crowell visto função de. em. LEMA. em L. e sejam ik e n-link de multiplicidade revestimentos de k folhas ciclico e ciclico ramificado. os ,. de. uma. u. ,. IV.] Seja. L. IV. L. um. 11. X. de. respectivamente. Então:. i). ii). H].(í<'ª,í<k)luz para nas outras dimensões. Na. e. i=n+2. e. H1(>“<k). .». H.(>“<. ,xwlo. sequência exata de pares:. ., a. 1=2. 6 um. Hzãk). _+. H2(>“<. k. ,ãk). L. monomorfismo.. Prova: Consideremos. o. seguinte diagrama:. H1(>“<k). _». o.

(59) 0. O. é?. 88. H2(Sn xDz)——>H2( [_] s ",xoª an)-—+H (axk. ). ——+H1(SnxD2)——>.... i=1. '. &fExisão __». H. 2. (>?. i*. Como. injetora,. -—-». ). Aiêm. 2. H1(3Ík). :. provamos. e. H. -ª_». (íkjk) H1(Í. —+. ii). ). onde. a. Ii,]. H. _». (ik). 1. H. 1. (ik). —-». injetora, temos que Exisão é feita no aberto ê. E. a O. Xk.. disso, temos:. _. u. H2(Xk,Xk). .. .. H2( [_[ s'“><D2 , axk). &. i=1. [. H1(axk). —í—+. %. uZ. ). 'N;. ,. «,. ,. exisão. anaiogamente, T|<. Hn+2(X. Vamos. quencia. “. ,xªk ). do. 'N:. Hn+2( [T[1s. %. verificar par. (. n. xo ,aX*k ) 2. &'. 1(ax. %. uz. %. nas demais dimensões. Consideremos. H. LJ 5". i=1. se_. a. ,an). x02. A. ...—>H2(L_[Snx02, axk1)+H(an1"21)—>H(SxD)+H([_]Sn>< Dº, aík) i=1. ——+. i=1. & (). —>. A. í*. Hº(axk)—-*+ €?. &. Hº"(5xoª) º([_]sªªxo ,axk)—+0.. 8801=1 2. 2. Como. H1(s"x02). &. o. 14:. e. morfiSmo, “temos que H1(L]S i. 2. <. j. Logo, da sequência. g+1 a. Hº(a>2k). —+. H0(Sn><D2). =11=1. [J. Para. A. temos. seguir:. U. A. 02,3Xk). &. HJ.(Sn. O. x. e. DZ). é“. A. Ho( L] Sn><D2,3Xk). R;. 0. e. iso. um. Hj_1(aík). &. O... & 0. ..

(60) —+. Hj(S. n. xD. 2. —+. ). “ [_]. (. H. “k. s n xD. 2. 2. Ak. i=1 “. conc1uímos que. Para. j. Snx. Hj( LJ. D. 1=1. ). k. 0. ). ªk ). —+. Hj_1(ax. —+. temos:. n+2. >. BX. ,. ,ax. H.(s"x J. DZ). &. o. H.. e. J-1. (aik). 0. %. Logo, da sequência abaixo: .. —+. n H.(S xo J. 2. “. ). “. 4 conc1u1mos que. n. x. D. 2. ,. sx“k ). 5" xD2 ,aXAk ) k. LJ. Hj(. 5. i=1. A. —+. H.. (ax. ,. & J. a o. J—1. ). —+. 0. por Exisão,. Como. Tk *k. Hj(X ,x o. LJ H.( J 1_1. —+. “. &. ). HJ( LJ. 5n x. D. 2. *k , ax. ). ,. resultado segue.. TEORE'MA. IV.. 2. n-Jink de multip1icidade u e ik ,ik vestimentos cíclico e cíclico ramificado de k-foIhas, de = Sn+2 -L , respectivamente. Então: Seja. i). 0. -+. de se. ii) iii). :. o. —+. ta,. uZ L. e. H1(Í. —+. é. Hi(Ík). -+. (u—1)Z. cinde se. -símp1es.. —+. completamente. Hi(Ík). 1*. os. um. L. —+. -H. L. E. n+1. esplitãvel é um. (ik). —+. E. 0. X. =. e. cin. 51. gn,. exata,. 1-simp1es,. ou. ísomorfismo para Hn+1(Í. rg. ). _+. completamente esp1itãve1. 2 0. ou. é exa. (n+1)-.

(61) _54_. Prova: Seja dade. u. um. L. n-iink compietamente esplitãvei. observemos. ,. 0. ltki. u. *A. “3. tk-1. b. “º. c. ªv:. "k. *º. ”ck-1. a. lc. 11. 0. “3. A. ]:. muitipiici. diagrama comutativo abaixo:. o. 0. i=1. de. ". b*. "Ak. C*. ]: 0. linhas são sequências exatas dadas pelo Corº. Onde as duas. iãrio III.1.3 , a primeira coiuna é uma soma de u sequências exatas vistas em II.3 e a segunda coiuna também E uma sequêª cia exata vista em 11.3 Peio ê. "cobra" 1.3.1 temos que. Lema da. a. seguinte sequência. exata o. e. —+. H1(X1.). Mostremos que. Seja. 'tai b(y). =. 6. k(u-1)Z. a e. C*(B). que. assim. b*. como o. Logo, temos. a. ,. como. a ,. =. :. __». H1(Ík). —+. como. C*. b. diagrama. —-*—>. H1(Xk). sobre. é ê. k(u-1)Z. ê. sobre.. sobre,. 5 3. y'E H1(Í). comutativo. sequência exata:. k(u-1)Z. temos. 3. B. &. (u-1)A. tal b*(cbn). que =. a.

(62) k. &. *. A. H. b. k). —*—>. 1-. Como. é. L. espiitãvei,. compietamente. k(u-1)Z. 0. ——->. cada componente. é um. isoiado por uma boia Bn+1 das outras componentes. Para ums truirmos seu revestimento ramificado procedemos da mesma forma coiando um "toro sõiido" Snx 02 , bordo a bordo,em cada varie nõ. A. dade. X?. e. ta] colagem. ponentes,pois. bordo de. perturba a geometria dos demais com tudo feito isoiadamente (dentro da bola Bn+1. E. esplitabiiidade).. dada peia. ridiano. não. aí?,. de um. que era. disco. que no caso de. D2. Desse modo,. vai. zero. a. em. Unico nõ. Assim temos. um. cada componente,o me. dos geradores de. um. e. em. H1(ÍÉ). H1(ÍÉ). do. ,. ,. se torna. mesmo. modo. aseguinte sequência exª. ta: '. 0. '. uZ. Vamos,. ck. H1(X. ). agora, considerar. o. ——+. ,. ——+. '. U. &. ——+. i=1. A. H1(X. 6. -. a*. f. ——+. ——+. A|<. o. "'. f*. 0. Lb. H1(X. cok. %%. ). g. ——+. ——+. 0. ——+. 0. b# ). k(u-1)Z. o. '# -»o 7 oH(xk)iH(X)——+-cokf # i=1 U. kerf”ªº —. Sendo. ). g*. pZ. ——+. b* 0. “. f'k. uZ. 0. ——». ker. 0. .. ——+. ). seguinte diagrama comutativo:. O. ker f*. 7k H1(X. ——+. ". f. 7. L. a. LTk. %%. 1. i. '. O. O. compietamente. a. cok. ir. %%. espiitãvei, peia descrição ante.

(63) rior, ker f*. =. :. uZ =. ,. uZ. —+. cok f*. e. O. Como. pelo. f*. vemos que. e. isomorfismo. um. assim,. 0. primeiras coiunas (ã esquerda) são exatas, "cobra" 1.3.1 , temos que a seguinte sequência € e. as duas. Lema da. xata: 0. 0. ker f*. ———+. ker. 0 ———+. ———+. 2%. eok. %% ———+. 2%. k(u-1)Z. ª#. ———+. cok. ——+. 0. ——+. 0. 2%. Assim nosso diagrama se transforma em:. o. o. r. o. L. “. $. ——+. H1(X. k. ). ªk H1(X ). f. ——+. E. %%. um. 0. O. b. 6. Logo. ªí“-+. uz. 0. b,, 0. “L. 1.“. -1'—». uz. ——>. o. %%. '. 9. ——+. k(u-1)Z. cok. 0. %%. monomorfismo. Vamos mostrar que e1e. E. um. epimorfismo. . Seja. existe. a. E. cok. É$. _—>. 3. 6. B. Tk. H1(X. ). com. %%(e). __. a. 1090. e assim temos a(y) : $$(g(y)) = a, pe1a comutatividade do diagrama, assim %% é um isomorfismo e peio Lema da "cobra" 1.3.1 a sequência abaixo 5 exata: y e. H1(Xk). com. B.

(64) _57_. 33». H1(-)A(—k). E. assim, temos. A. primeira coluna (5 esquerda). o. 9ª». k(u-1)Z. -—>. o. seguinte diagrama comutativo:. 5 uma soma. direta. de. li. sg. quências que cindem,conforme II.4,e assim a coluna do meio que é uma sequência exata, conforme o que acabamos de provar, chúe.. ê um. Como no Lema. III.2.1. i:. X. ——+. E“. isomorfismo, iogo. morfismo onde. n1(ôt) um. ta]. M. =. no. temos que. a. ap1icação. i*:. n1(Cu). LDL. H1(Ó:). H1(Mk). ——+. &. W1(X). H1(X. Ii. é um grupo. ponto base. ,. iivre. com. levantamento ;. k.u geradores do. ponto. *. ,. escoihendo. do Hedge. Cu. e. geradores de n1(êt) que são exatamente os dados pe1as sequências de "segmentos" que recobrem cada gerador de esco1hendo. Cu'.. No. “. desenho. a. volta acompanhando. seguir esquematizado, são caminhos e. que dão a.

(65) k—superffciesxxx. de Seifertãxx“*. (“fiu_. &,. ),. 310. L___ Cada segmento deg. tes recobre. 53. uma. vez. uma.

(66) Assim fixado. ;o. circuios. ponto base de. como. temos. & 4127?. outro. um. ta] que cada c1rcu10 Sl de C'u _ reveste k—vezes um dos circuios de Cu . Na construção de Xk, Sn xD 2 temos que cada 51 ,assim ao coiarmos os u "toros" , descrito, torna-se um bordo de um disco D2 , iogo anulam—se em. Wedge de. 7k. H1(X. Cú. 65. em. ). Desse modo, ao abeiianizarmos. "1(EE). «1(Hk). %. este suª. ,. geradores de "1(Ék) serã um somando dire to de H1(Ík) que é abeliano livre com u.k geradores, exata mente a imagem da inc1usão uZ —+ H1(XAk) obtida na sequência grupo 1ivre. com. u. exata 0——>uZ——>H1()A()———>H1( “). __). ><>|. Assim, esta sequência cinde, Se. 2. s n ,. i. g. na. e. sequência. 0. estã provada.. i) do. (ik,2k). par. ,. '. 7k *k Hn+2(x ,X ). a. —_+. «k ). Hn+1(X. 7|<. —_+. Hn+1(X. ). Tk «k. Hn+1(x ,X. ——+. -ª—+. &. n. º. '. 1.12. H. “_º. ea. 8?. —ª>. ). (kk). Hzoik). —. -+. H. n. Hzoik). (ik). -—». _». H. n. (ãkjk). H2(>“<'<,x'<>. 0. nas. —+. -—». H. 3. (ikjk). 28. é?. 0. 0. &» mod). _». H1(>“<'<>. outras dimensões. —». ª—».

(67) temos Hi(Ík) IV.1 ,. aplicação. a. H2(Ík). logo. mo,. H.(Ík). &. k). H. células. o. Tk ). 0 ——>. Hn+2(x. z. donde temos. __,. (. J'*. Tk «k ). __) Hn+2(x. ª u-)12 __,. H. _). de. classe,. i=1. o. somando. “_k. Hn+1(x. __). ). 0. [. Sºr;. folha de ã. ik. ,. num. produto Wedge,. sçfª. .... +. 52+1. além. de. E. disso,. +. o. ]. 321 SÇ+1. sendo. ,. incluidos. cada componente do bordo, como. Íkno caso de Nõ,. ou. seja,. onde cada. ;. i*([5?+1 +sç+ª. disso,. de uma É?. na. +.... em. ca. ê gg. ). Além. .. bordo de. Sºjª. como no. Hn+1(i Ík. em. "interior". no. temos que. ,. (1). 0. —-—». esplitãvel, então. ZZ; SÇ+1. link estã +. Hn+1(X). Hn+1(ã5) o k(u-1)Z. do Wedge. L. ?. íª“. —->. direto k(u-1)Z. levantamentos da esfera 2. Í* __+. Hn+1(x. completamente 3“:. &. pela esplitabilidade de. ><D. WH2(%SÍk)Q:uZ,. ze(u_1)z. &. E. L. como cada componente do. Sn. anterior,. mº. todas as. da soma de. “k ). 3. ,X. (ik ) n+1. rado pelo levantamento. lamos. monomorfis. seguinte sequência exata:. pitulo anterior,. íj—êsima. classe. a. pelo lema. onde, ao decompormos nosso espaço. os. é um. Lema. diagrama:. uh,,(ik). a. pelo. ,. estã provado.. gerador. n+2 ,. Suponhamos que. logo. H1(Ík). —+. i). e. tem como. Z. _(_1_º1_"_'_1_)_,,uz. a. ). H2(. :. H2(Ík). %. de dimensão. temos assim. o. %. a. disso. além. ,. variedade orientãvel (n+2)-dimensional, desse. ê uma do. n. sg+1 , é. homo. Sºf;. são. SQÍÉ. na. ªk,. co. construção. +S?+ª]). =. 0.

(68) em. Hn+1. (u-1)Z. (ik). logo estas classes estão. ,. do somando. quência (1) cinde.. existe. direto k(u-1)Z caso de. No. de. na H. Im Ak. n+1(X. e. &. ). representam donde. ,. ser (n+1)-simples, sabemos. L. se. a. que. 1. s. aplicação f : C Uan + X que induz isomorfismos nos i ; n+1 e temos Hn+1(ôu “) & H n+1 (ik) % k(u-1)Z ,. segundo. o. Lema. n. 1. ,. uma. Agora,. livres (u-1)Z. em. 65. III.2.2. a soma. ,". somando. ,. .... 52+1 + 52+ª +. para cada. direto. de. 1. g. i. Hn+1(Ík). IIA. +. 52+l. u-l. ,. que ê. €. de. logo. livre. Im e. geradores &. assim. e. .. um. a. se. quência (1) cinde.. generaliza, portanto, para o Crowell feito para o caso de Nós.. Este teorema. resultado. de. caSo de. links. 0.

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