1 Orientação, Espaços de recobrimento e homotopia 1
1.1 Teoria do Grau . . . 1 1.2 Recobrimentos e Variedades orientáveis. . . 27
1.1 Levantamento de g . . . 29 1.2 Levantamento de f . . . 30
Orientação, Espaços de
recobrimento e homotopia
Nesta seção são apresentados conceitos e resultados relativos à teoria de ho-motopia e espaços de recobrimento.
Para se classificar objetos matemáticos, dependendo se no sentido analítico, geométrico, algébrico, etc., em geral, faz-se uso de classes.
Por exemplo, em Topologia, essencialmente se discute a conexidade dos ob-jetos geométricos chamados espaços topológicos. Entre tais espaços, basicamente, consideramos dois tipos de aplicações contínuas que são os homeomorfismos e as equivalências homotópicas. A escolha de um destes tipos de classificação de-pende do quão forte esta deve ser.
Existem muitos espaços não homeomorfos que têm o mesmo tipo de homo-topia, logo esta última é uma noção mais fraca.
1.1
Teoria do Grau
Homotopias e Isotopias
Sejam X e Y espaços topológicos. Duas funções f, g : X → Y dizem-se
homo-tópicas quando existir uma função contínua F com
F : X × [0, 1] → Y tal que F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x) para todo x∈ X.
Neste caso, F chama-se uma homotopia entre f e g. Para indicar que f é 1
homotópica a g escrevemos f ≃ g.
Quando a F for diferenciável dizemos que f e g são diferenciavelvemente
ho-motópicas e F é chamada de homotopia diferenciável.
Seja C0(X, Y )o conjunto de todas as funções contínuas de X em Y .
1.1 Proposição. A relação de homotopia é uma relação de equivalência em C0(X, Y ).
Demonstração. Devemos verificar que
(i) (Reflexividade) para toda f ∈ C0(X, Y )temos que f ≃ f.
(ii) (Simetria) Sejam f, g ∈ C0(X, Y ). Se f ≃ g então g ≃ f.
(iii) (Transitividade) Sejam f, g e h ∈ C0(X, Y ). Se f ≃ g e g ≃ h então
f ≃ h.
(i)Seja f ∈ C0(X, Y )contínua. Definimos F : X × [0, 1] → Y como
F (x, t) = f (x)para todo x ∈ X e t ∈ [0, 1], segue que F é uma homotopia entre f e f .
(ii)Seja F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g, definimos G : X × [0, 1]→ Y como G(x, t) = F (x, 1 − t), assim G é também contínua. Note que
G(x, 0) = F (x, 1) = g(x)e G(x, 1) = F (x, 0) = f (x) logo G é uma homopotia entre g e f .
(iii)Suponha que f ≃ g e g ≃ h com F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre
f e g, e G : X × [0, 1] → Y a homotopia entre g e h. Considere uma função diferenciável ϕ : [0, 1]→ [0, 1] com
ϕ(t) = 0se t∈ [0,13]
ϕ(t) = 1se t∈ [23, 1]
Consideremos ˜F (x, t) := F (x, ϕ(t))que é contínua. Observe que ˜F é uma homotopia entre f e g pois:
˜ F (x, t) := F (x, ϕ(t)) = f (x)se t∈ [0,1 3] ˜ F (x, t) := F (x, ϕ(t)) = g(x)se t∈ [2 3, 1] Note que ˜F (x, 2t) = g(x)se t∈ [13,12].
De modo análogo, tomamos ˜G(x, t) := G(x, ϕ(t))que é contínua. Observe que ˜Gé uma homotopia entre g e h pois:
˜ G(x, t) := G(x, ϕ(t)) = g(x)se t∈ [0, 13] ˜ G(x, t) := G(x, ϕ(t)) = h(x)se t∈ [2 3, 1] Note que ˜G(x, 2t− 1) = g(x) se t ∈ [12,23]. Definimos agora H : X × [0, 1] → Y como
H(x, t) = ˜F (x, 2t)se t∈ [0,1 2]
H(x, t) = ˜G(x, 2t− 1) se t ∈ [12, 1]
Note que H é contínua, H(x, t) = g(x) para t∈ [1 3,
2
3], H(x, 0) = ˜F (x, 0) :=
F (x, 0) = f (x)e H(x, 1) = ˜G(x, 1) := G(x, 1) = h(x) portanto H é uma homotopia entre f e h, temos o desejado.
1.2 Observação. A demonstração anterior também prova que a relação das homo-topias diferenciáveis também é de equivalência.
1.3 Definição. Duas funções f, g : X → Y são ditas diferenciavelmente
isotópi-cas se existir uma homotopia diferenciável F : X× [0, 1] → Y tal que para cada
t ∈ [0, 1] temos que Ft : X → Y dada por Ft(x) = F (x, t)é um difeomorfismo. Denotamos por f ∼= g.
Segue da definição que se f e g são isotópicas temos que f e g são difeomor-fismos. Pode-se mostrar também que a relação ∼=de isotopia é uma relação de equivalência.
1.4 Proposição. Sejam X, Y e Z espaços topológicos com f, f′ : X → Y funções
e g, g′ : Y → Z funções.
Se f é diferenciavelmente homotópica a f′e g é diferenciavelmente homotópica a g′então g◦ f é diferenciavelmente homotópica a g′◦ f′.
Resultado análogo vale no caso em que as funções são diferenciavelmente isotó-picas.
Demonstração. Sejam F : X × [0, 1] → Y homotopia diferenciável entre f
e f′, G : Y × [0, 1] → Z homotopia diferenciável entre g e g′. Defina H :
X × [0, 1] → Z como H(x, t) = G(F (x, t), t). Note que H é diferenciável, e
temos que H(x, 0) = G(F (x, 0), 0) = G(f (x), 0) = g(f (x)) = (g◦ f)(x) e
H(x, 1) = G(F (x, 1), 1) = G(f′(x), 1) = g′(f′(x)) = (g′◦ f′)(x). Assim H é uma homotopia diferenciável entre g◦ f e g′◦ f′.
No caso diferenciavelmente isotópico, consideremos o que fizemos acima e suponha agora que Ft : X → Y e Gt : Y → Z são difeomorfismos para
todo t ∈ [0, 1] onde Ft(x) = F (x, t) e Gt(x) = G(x, t). Fixe t ∈ [0, 1] e
considere Ht(x) = H(x, t), note que H(x, t) = G(F (x, t), t) = G(Ft(x), t) = Gt(Ft(x)) = (Gt◦ Ft)(x), assim Ht(·) é um difeomorfismo, pois é a composição
de difeomorfismos, e temos o desejado.
Lembre que Bn+1 ={x ∈ Rn+1 :|x| ≤ 1}.
1.5 Proposição. Seja X espaço topológico qualquer. Uma função contínua f : Sn → X admite uma extensão contínua f : Bn+1 → X se, e somente se, f é homotópica a uma função constante Sn → c, com c ∈ X.
Demonstração. Se f admite uma extensão contínua f : Bn+1 → X então a
aplicação F : Sn × [0, 1] → X definida como F (x, t) = f(tx) é contínua e
constitui uma homotopia entre f e a aplicação constante Sn → c onde c = f(0).
Suponha agora que f é homotópica a uma função constante Sn → c, com c ∈ X. Seja F : Sn× [0, 1] → X essa homotopia, definimos f : Bn+1 → X
como f (x) = F (x
|x|, 1− |x|) se 0 ̸= x ∈ Bn+1e f (0) = c, assim f é contínua e
estende f .
1.6 Proposição. Seja X espaço topológico qualquer com f, g : X → Rncontínuas. Então as aplicações f e g são homotópicas.
Demonstração. Basta definir F : X× [0, 1] → Rncomo F (x, t) = (1− t)f(x) + tg(x). Segue que F é contínua e que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x). Assim F é uma homotopia entre f e g.
1.7 Proposição. Seja X espaço topológico qualquer com f : X → Sn contínua não-sobrejetora onde Sn é a esfera n-dimensional. Então f é homotópica a uma aplicação constante de X → q ∈ Sn.
Demonstração. Como f não é sobrejetora, existe p∈ Sntal que p /∈ f(X). Seja q a antípoda do ponto p. Então qualquer que seja y ∈ Sn \ {p} temos que o
segmento de reta qy não contém a origem 0∈ Sn. Como f (x) ∈ Snsegue que o
ponto qt + (1− t)f(x) ∈ qf(x) é distinto da origem para todo t ∈ [0, 1]. Definimos F : X× [0, 1] → Sncomo F (x, t) = qt+(1−t)f(x)
|qt+(1−t)f(x)|contínua. Note
que F (x, 0) = |f(x)|f (x) = f (x) pois f (x) ∈ Sn e F (x, 1) = q
|q| = q pois q ∈ Sn,
assim F é uma homotopia entre f e a função constante X → q ∈ Sn.
1.8 Proposição. Sejam f, g : X → Snaplicações diferenciáveis tais que f (x) ̸= −g(x) para todo x ∈ X. Então as aplicações f e g são diferenciavelmente homo-tópicas
Demonstração. Afirmamos que f (x)t + (1− t)g(x) ̸= 0 para todo x ∈ X e t∈ [0, 1] onde 0 ∈ Rn.
De fato, tome x ∈ X fixo e arbitrário. Suponha, por absurdo, que exista
t∗ ∈ [0, 1] tal que f(x)t∗+ (1− t∗)g(x) = 0segue que
f (x)t∗ =−(1 − t∗)g(x)
|f(x)t∗| = | − (1 − t∗)g(x)|
t∗ = 1/2
Mas f (x)t∗ + (1− t∗)g(x) = 0daí f (x)12 + 12g(x) = 0no que segue que
f (x) =−g(x), o que é um absurdo pela hipótese, e vale a afirmação.
Definimos F : X×[0, 1] → Sncomo F (x, t) = f (x)t+(1−t)g(x)
|f(x)t+(1−t)g(x)|. Segue que F
é contínua , F (x, 0) = |g(x)|g(x) = g(x)e F (x, 1) = |f(x)|f (x) = f (x)pois g(x), f (x)∈
Sn. Assim F é uma homotopia entre g e f , o que prova a proposição.
Equivalência homotópica
Uma aplicação contínua f : X → Y é chamada de equivalência homotópica quando existe g : Y → X contínua tal que g ◦ f ≃ idX e f ◦ g ≃ idY.
Neste caso, diz-se que g é um inverso homotópico de f e que os espaços to-pológicos X, Y têm o mesmo tipo de homotopia, denotando-se por X ≡ Y ou
f : X ≡ Y .
Evidentemente, tipo de homotopia é uma classe de equivalência.
Todo homeomorfismo é uma equivalência homotópica, mas o contrário não vale.
Homotopia de pares e relativa
Dizemos que (X, A) é um par de espaços topológicos quando A for subespaço de X.
Dados dois pares de espaços (X, A), (Y, B), dizemos que uma aplicação f : (X, A)→ (Y, B) é contínua se f : X → Y é contínua tal que f(A) ⊂ B.
1.9 Definição. Dadas duas aplicações contínuas f, g : (X, A) → (Y, B), uma
homotopia de pares entre f e g é uma aplicação contínua
H : (X× I, A × I) → (Y, B)
tal que H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x), para todo x ∈ X. Assim, deve-se ter Ht(A)⊂ B, para todo t ∈ I.
Relembramos que um espaço topológico X é dito contrátil quando tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto.
1.10 Proposição. X é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade idX : X →
Xé homotópica a uma aplicação constante X → X.
Demonstração. Se f : X → {p} é uma equivalência homotópica e g : {p} → X
é um inverso homotópico de f , entçao g◦ f ≃ idX. Mas, g◦ f é uma aplicação constante.
Por outro lado, se idX ≃ cte então elas são equivalências homotópicas,
inver-sas entre si.
Exemplo: A aplicação identidade id : [0, 1] → [0, 1] é homotópica a uma
constante. Entretanto, se considerarmos o bordo de I = [0, 1], ∂I = {0, 1}, a aplicação de pares id : (I, ∂I) → (I, ∂I) não é homotópica a uma constante. Isto significa que I pode ser deformado continuamente a um ponto mas, durante o processo, ao menos um dos extremos deve passar pelo interior de I.
De fato, qualquer homotopia H entre duas aplicações de pares f, g : (I, ∂I)→ (I, ∂I) deve satisfazer Ht(0) ∈ ∂I e Ht(1) ∈ ∂I, para todo t ∈ I. Como
∂I = {0, 1} é discreto, Ht(0)e Ht(1)independem de t, i.e., os extremos ficam
fixos durante a homotopia. ♢
1.11 Definição. Dizemos que duas aplicações contínuas f, g : X → Y são homo-tópicas relativamente a um subespaço A ⊂ X, f ≃ g(relA), quando existe uma homotopia H : f ≃ g tal que H(t, x) = f(x) = g(x), para todo x ∈ A.
Grupo fundamental
De agora em diante, exceto menção contrária, I = [0, 1]. Observe que, como
I é contrátil, todo caminho α : I → X é homotópico a uma constante. Assim, exigiremos que durante a homotopia os extremos do caminho sejam fixos. Ou seja, as homotopias de caminhos serão todas relativas ao subespaço ∂I.
Dizemos que a, b : I → X são caminhos homotópicos quando a ≃ b(rel∂I) e denotaremos por a ∼= b. Logo, uma homotopia H : a ∼= bentre caminhos é uma aplicação contínua H : I× I → X tal que
H(s, 0) = a(s), H(s, 1) = b(s),
H(1, t) = a(1) = b(1),
quaisquer que sejam s, t∈ I.
Caminhos fechados a, b são homotópicos se existe uma aplicação contínua
HI× I → X tal que, fazendo-se a(0) = a(1) = x0, tem-se
H(s, 0) = a(s), H(s, 1) = b(s), H(0, t) = H(1, t) = x0
Para quaisquer s, t∈ I.
Dois caminhos fechados a, b : I → X são livremente homotópicos se existe aplicação contínua H : I× I → X tal que
H(s, 0) = a(s), H(s, 1) = b(s), H(0, t) = H(1, t)
Para quaisquer s, t ∈ I. Note que, para todo t ∈ I, o caminho Ht : I →
X, Ht(s) = H(s, t)é fechado.
As relações de homotopia entre caminhos e livre são de equivalência. Deno-taremos por α = [a] à classe de homotopia do caminho a : I → X.
Definimos o produto dos caminhos a, b, cujo fim de a coincide com a origem de b, como o caminho ab consistindo em percorrer primeiro a e depois b. Ou seja,
ab(s) =
{
a(2s) se 0≤ s ≤ 12
b(2s− 1) se12 ≤ s ≤ 1
O caminho inverso de a : I → X é dado por a−1 : I → X, a−1(s) =
a(1− s), 0 ≤ s ≤ 1.
o caminho constante será denotado por ex(s) = x.
O conjunto dos caminhos em X com a lei de composição e do inverso não cumpre nenhum dos axiomas de grupo. Ora, ab não está definido para qualquer par de caminhos, mas apenas quando a(1) = b(0).
1.12 Observação. a≃ a′, b ≃ b′ ⇒ ab ≃ a′b′e a−1 ≃ (a′)−1. (exercício)
Num espaço topológico X, considere as seguintes classes: α uma classe de homotopia de caminhos que têm origem num ponto x ∈ X e terminam num ponto y ∈ X, e β uma classe de homotopia de caminhos que começam em y e terminam em z ∈ X. Define-se o produto αβ, de modo natural, como αβ = [ab]. Logo, por definição, [a][b] = [ab], qual está bem definida pela observação1.12.
Também está bem definida a classe inversa de α, α−1 = [a−1].
Sejam a : I → X um caminho e φ : I → I uma reparametrização de I (função contínua tal que φ(∂I)⊂ I).
O caminho b = φ◦ a : I → X é chamado de reparametrização de a.
Diz-se que φ é positiva se φ(0) = 0 e φ(1) = 1, negativa se φ(0) = 1 e
φ(1) = 0e trivial se φ(0) = φ(1).
1.13 Observação. Se b = φ◦ a e a parametrização φ é positiva, então b ≃ a. Se for negativa, então b≃ a−1. E se for trivial, b ≃ constante. (exercício)
Considerando o produto b = a1a2· · · ak, como esta operação não é
associa-tiva, devemos especificar a ordem em que são efetuadas. Por convenção usa-se
b = (((a1a2)a3)· · · )ak.
Pela última observação, qualquer outra distribuição de parênteses daria um caminho homotópico a b (com extremos fixos).
1.14 Proposição. Sejam a, b, c : I → X caminhos tais que cada um termina onde o seguinte começa. Sejam α = [a], β = [b], γ = [c] suas classes de homotopia, x = α(0)a origem de a, y = a(1) seu fim, ex, ey os caminhos constantes sobre esses pontos e ϵx = [ex], ϵy = [ey]as sua classes de homotopia. Então:
1. αα−1 = ϵx; 2. α−1α = ϵy; 3. ϵxα = α = αϵy; 4. (αβ)γ = α(βγ). Demonstração. Exercício.
O conjunto das classes de homotopia com extremos fixos dos caminhos num espaço topológico X, provido da lei de composição da Proposição1.14e chamado de grupoide fundamental de X, denotado por Π(X).
Grupo fundamental
Considere pares (X, x0),com x0 ∈ X, chamado de ponto básico de X. Os
cami-nhos fechados a : (I, ∂I) → (X, x0)são chamados de caminhos fechados com
O subconjunto π1(X)do grupoide fundamental, formado pelas classes de
ho-motopiade caminhos fechados com base em x0, constitui o grupo fundamental de
Xcom base no ponto x0. O elemento neutro desse grupo é a classe de homotopia
ϵ = ϵx0 do caminho constante em x0.
1.15 Proposição. Se x0e x1pertencem à mesma componente conexa por caminhos
de X, então π1(X, x0)e π1(X, x1)são isomorfos. Precisamente, cada classe de
ho-motopia γ de caminhos que ligam x0a x1induz um isomorfismo γ : π1(X, x1)→
π1(X, x0), dado por γ(α) = γαγ−1.
Demonstração. exercício.
1.16 Corolário. Se X é conexo por caminhos então, para quaisquer pontos básicos x0, x1 ∈ X, os grupos fundamentais π1(X, x0)e π1(X, x1)são isomorfos.
Em geral, variando-se a classe γ, o isomorfismo γ também varia. Exceto no caso em que π1(X, x0)é abeliano. (exercício)
Homomorfismo induzido
Uma aplicação contínua f : X → Y induz um homomorfismo
f♯ : π1(X, x0)→ π1(Y, y0), y0 = f (x0),
dado por f♯(α) = [f ◦ a], com α = [a].
1 Exercício. Verifique que f♯é um homomorfismo.
1.17 Definição. Um espaço topológico X é dito simplesmente conexo quando é conexo por caminhos e, para todo x0 ∈ X tem-se π1(X, x0) = {0}.
Isto quer dizer que, para todo caminho fechado a : I → X, com ponto base
x0, tem-se a≃ ex0. Também pode-se definir por X conexo por caminhos e todo
caminho fechado a é livremente homotópico a um caminho constante.
Assim, X é simplesmente conexo se, e somente se, duas aplicações contínuas quaisquer f, g : S1 → X são homotópicas. Ainda, X conexo por caminhos e
toda aplicação contínua f : S1 → X estende-se continuamente ao disco D =
{z ∈ R2 :|z| ≤ 1}.
Todo espaço contrátil é simplesmente conexo, em particular Rn e as bolas
abertas e fechadas o são.
Para que um espaço X, conexo por caminhos, seja simplesmente conexo, é necessário e suficiente que dois caminhos quaisquer com as mesmas extremida-des sejam homotópicos (com extremos fixos).
Grau módulo 2
1.18 Proposição. Sejam X e Y variedades diferenciáveis de mesma dimensão, onde X é uma variedade compacta com f, g : X → Y funções diferenciáveies. Então existe y ∈ Y tal que y é valor regular para f e g.
Demonstração. Pelo teorema de Sard, existe z valor regular de f em Y . Pela
de-monstração da proposição ??, existe V aberto tal que z ∈ V ⊆∩ri=1f (Ui)onde f|Ui é um difeomorfismo com Ui vizinhança aberta de pi em X e f (Ui) = Vi
aberto de Y com Ui’s dois-a-dois disjuntos. Onde vale que para todo w ∈ V ⊆
∩r
i=1f (Ui)temos que #f−1(w) = #f−1(z). Assim, todo ponto de V é valor
regular para f .
Como V é aberto em Y pelo teorema de Sard existe y ∈ V tal que y é valor regular para g, logo y é um valor regular para f e g.
1.19 Proposição. Sejam f, g : X → Y funções diferenciavelmente homotópicas entre variedades de mesma dimensão, onde X é uma variedade compacta sem fron-teira.
Seja F : X× [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Então vale que (i) Se y é valor regular de F então #f−1(y)≡ #g−1(y) (mod 2). (ii) Se z é valor regular de f e g então #f−1(z)≡ #g−1(z) (mod 2).
Demonstração. Seja F : X× [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Como [0, 1] é
uma variedade com bordo, segue da proposição ?? que X×[0, 1] é uma variedade com bordo onde seu bordo é dado por ∂(X × [0, 1]) = X × {0} ∪ X × {1}.
(i) Suponha que y é valor regular de F . Segue que y também é valor re-gular para F|∂(X×[0,1]). Como F−1(y) ⊆ X × [0, 1] é fechado, e X e [0, 1]
são compactos, temos que X × [0, 1] é compacto, e segue que F−1(y)é com-pacto. Como X × [0, 1] é uma variedade com bordo, e y é valore regular para
F e F|∂X×[0,1], pelo lema ?? temos que F−1(y) é uma variedade diferenciável
1−dimensional, logo F−1(y)é uma variedade diferenciável 1−dimensional com-pacta. Além disso:
∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂(X × [0, 1]) = F−1(y)∩ (X × {0} ∪ X × {1}) = = f−1(y)× {0} ∪ g−1(y)× {1}
Segue que #∂F−1(y) =#f−1(y) +#g−1(y). Como F−1(y)é uma variedade diferenciável 1−dimensional compacta pelo teorema ?? temos que F−1(y)possui
um número finito de componentes conexas homeomorfas a círculos ou a inter-valos fechados. Mas os extremos das componenetes conexas homeomorfas a in-tervalos fechados constituem o bordo ∂F−1(y). Daí ∂F−1(y)possui um número par de pontos então #f−1(y)e #g−1(y)são finitos. Como #f−1(y) +#g−1(y)é um número par segue que se #f−1(y)é par (ímpar), temos que #g−1(y)é par (ímpar). Assim, #f−1(y)≡ #g−1(y) (mod 2)como desejado.
(ii)Vimos na proposição1.18que existe tal valor regular z. Suponha que z é valor regular de f e g. Se z é um valor regular de F pelo item (i) temos o desejado. Suponha que z não é um valor regular de F . Pela proposição ?? existem V1 e V2
abertos de Y tais que para todo a em V1 temos que #f−1(a) = #f−1(z)e para
todo b em V2temos que #g−1(b) =#g−1(z). Segue que V1∩ V2é um aberto de Y ,
assim pelo teorema de Sard, existe y valor regular de F tal que y∈ V1∩V2. Segue
do item (i) que #f−1(y) ≡ #g−1(y) (mod 2). Mas y ∈ V1 ∩ V2 obtemos que
#f−1(y) = #f−1(z)e #g−1(y) = #g−1(z). Obtemos portanto que #f−1(z) ≡ #g−1(z) (mod 2), como desejado.
O lema a seguir é exatamente o item (ii) da proposição anterior, destacamos ele abaixo por tradição.
1.20 Lema (Homotopia). Sejam f, g : X → Y funções diferenciavelmente homo-tópicas entre variedades de mesma dimensão, onde X é uma variedade compacta sem fronteira. Se y é valor regular de f e g então #f−1(y)≡ #g−1(y) (mod 2). 1.21 Proposição. Se z ∈ B(0, 1) ⊆ Rnentão existe um difeomorfismo ξ :Rn →
Rncom ξ(0) = z tal que ξ é diferenciavelmente isotópica a identidade doRn, Id
Rn. Demonstração. Existe uma função diferenciável ψ :Rn → R tal que
ψ(x) > 0se x ∈ B(0, 1)
ψ(x) = 0se x /∈ B(0, 1)
Seja c∈ Sn−1fixo e arbitrário, e considere a E.D.O. x′(t) = ψ(x(t))c. Como
o campo ψ(·)c : Rn → Rn é limitado, temos que pelo teorema de existência
e unicidade, existe solução x(t) para o problema de Cauchy dada por x′(t) =
ψ(x(t))ce x(0) = x0qualquer que seja x0 ∈ Rn, e além disso a solução é global,
fora da bola B(0, 1), temos que ϕ(t, x) = x para x fora da bola qualquer que seja
temR.
Pelo teorema do fluxo local podemos considerar o fluxo ϕc :R × Rn → Rn
diferenciável do campo ψ(·)c que possui as seguintes propriedades: ϕc
t : Rn →
Rné um difeomorfismo para todo t∈ R, e ϕc
t+s = ϕct◦ ϕcs. Observe que a função ϕc
0 :Rn → Rné a identidade doRn, pois ϕc(0, x) = x.
Agora, fixado t ∈ R arbitrário, definimos G : Rn × [0, 1] → Rn com G(x, s) = ϕc(ts, x), segue que G é diferenciável. Note que G(x, 0) = ϕc(0, x) = x = IdRn(x)e G(x, 1) = ϕc(t, x), assim G é uma homotopia diferenciável entre ϕcte a identidade doRn, mas como ϕc
r:Rn → Rné um difeomorfismo para todo r∈ R, temos que ϕc
t é diferenciavelmente isotópica a identidade doRn.
Afirmação: Seja z ∈ B(0, 1) então existem d ∈ Sn−1 e t∗ ∈ R tal que ϕd(t∗, 0) = z. Ou seja, dado um ponto z em B(0, 1) existe um d em Sn−1tal que zpertence a órbita que passa pela origem.
Assim, pela afirmação, dado z ∈ B(0, 1) existem d ∈ Sn−1e t∗ ∈ R tal que ϕd(t∗, 0) = z. Pelo que fizemos segue que ϕd(t∗,·) é diferenciavelmente isotópica
a identidade doRn, e temos o desejado.
1.22 Lema (Homogeneidade). Sejam y e z pontos arbitrários no interior de uma variedade diferenciável e conexa Y . Então existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z que é diferenciavelmente isotópica a identidade.
Demonstração. Afirmação (1) : Seja a um elemento fixo e arbitrário da
varie-dade Y então existe uma vizinhança V de a tal que para todo a′ ∈ V existe um difeomorfismo g com g(a) = a′que é diferenciavelmente isotópica a identidade.
De fato, seja a ∈ N, como Y é diferenciável existe U vizinhança aberta de a em Y tal que h : U → Rné um difeomorfismo. S.p.g podemos supor h(a) = 0.
Seja V = h−1(B(0, 1))aberto em U , como U é aberto em Y , temos que V é aberto em Y .
Seja a′ ∈ V fixo e arbitrário segue que h(a′) ∈ B(0, 1). Pela proposição anterior, temos que existe ξ : Rn → Rntal que ξ(0) = h(a′)tal que ξ é
diferen-ciavelmente isotópica a identidade doRn, ξ ∼= Id.
Agora, lembre que h(a) = 0, assim
ξ(h(a)) = ξ(0) = h(a′) (h−1◦ ξ ◦ h)(a) = a′
Mas ξ ∼= Id, h ∼= he h−1 ∼= h−1segue da proposição1.4que h−1◦ ξ ◦ h ∼=
h−1◦ h = Id. Definindo g := h−1 ◦ ξ ◦ h, pelo que fizemos acima temos que g(a) = a′ e g ∼= Id. Por fim, g é um difeomorfismo pois é a composição de difeomorfismos, e vale a afirmação.
Dizemos que w1 e w2 pontos de Y são pontos isotópicos se existe g
difeo-morfismo com g(w1) = w2tal que g é diferenciavelmente isotópica a identidade,
g ∼= Id. Denotamos por w1 ∼ w2quando w1 e w2são pontos isotópicos.
Afirmação (2):∼ é relação de equivalência
(Reflexividade) Seja w ∈ Y considere g = Id assim g(w) = w e g ∼= Id, e portanto w∼ w.
(Simetria) Sejam w1 e w2 em Y com w1 ∼ w2, assim existe g difeomorfismo
tal que g(w1) = w2com g ∼= Id. Como g−1 ∼= g−1segue da proposição1.4que
Id = g−1◦ g ∼= g−1 ◦ Id = g−1, e portanto Id ∼= g−1mas g−1(w2) = w1e g−1
também é difeomorfismo, temos que w2 ∼ w1.
(Transitividade) Sejam w1,w2 e w3 em Y e suponha w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3.
Assim existem g1e g2difeomorfismos tais que g1(w1) = w2e g2(w2) = w3 com
g1 ∼= Ide g2 ∼= Id. Pela proposição1.4temos que g2◦ g1 ∼= Id◦ Id = Id, daí
g2◦ g1 ∼= Id. Defina g := g2◦ g1temos que g(w1) = w3e g é um difeomorfismo
portanto w1 ∼ w3 e temos o desejado. Vale a afirmação.
Assim∼ quocienta Y em classes de equivalências, digamos [w] := {x ∈ Y :
x∼ w}. Como Y é conexo basta mostrar a seguinte Afirmação (3): [y] é um aberto fechado de Y .
([y] é aberto) Seja w ∈ [y] fixo e arbitrário, temos que w ∼ y. Como w ∈ Y pela afirmação (1) temos que existe Vw aberto de Y tal que para todo w′ ∈ Vw
w∈ Vw ⊆ [y]. Como w foi tomado arbitrariamente temos que [y] é aberto.
([y] é fechado) Seja b ∈ [y] assim bn → b quando n → ∞ onde bn ∈ [y] logo
bn ∼ y para todo n ∈ N. Pela afirmação (1) existe Vb aberto de Y tal que para
todo b′ ∈ Vb temos que b′ ∼ b. Por definição de convergência, existe n0 ∈ N tal
que para n ≥ n0 temos que bn ∈ Vb, assim bn ∼ b. Como bn ∼ y temos que b∼ y, e b ∈ [y]. Portanto [y] é fechado. Vale a afirmação.
Pela conexidade de Y , temos que Y = [y], e temos o desejado.
1.23 Teorema. Sejam f : X → Y função diferenciável entre variedades de mesma dimensão onde X é uma variedade compacta sem fronteira e Y conexo.
Se y e z são valores regulares de f então #f−1(y)≡ #f−1(z) (mod 2).
Essa classe de resíduo é denominada grau módulo 2 da função f denotamos como deg2f e depende apenas da classe de homotopia de f .
Demonstração. Devemos mostrar que
(i) Se y e z são valores regulares de f então #f−1(y)≡ #f−1(z) (mod 2). (ii) Se f é homotópica a g então deg2f ≡ deg2 g (mod 2).
(i)Sejam y e z valores regulares de f . Pelo lema de Homogeneidade, existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z tal que h é diferenciavelmente isotópica a identidade, id, em particular, h e id são homotópicas, assim h ≃ id. Como h é um difeomorfismo, z é um valor regular de h◦ f, segue que z é um valor regular de f e h◦ f. Note que h ≃ id e f ≃ f então pela proposição1.4 temos que h◦ f ≃ id ◦ f = f, i.e., h ◦ f e f são homotópicas. Estamos nas condições do lema de Homotopia, assim
#(h◦ f)−1(z)≡ #f−1(z) (mod 2)
Mas (h◦f)−1(z) = (f−1◦h−1)(z) = f−1(y). Daí #f−1(y)≡ #f−1(z) (mod 2), como desejado.
Definamos deg2f :≡ #f−1(y) (mod 2)para um y valor regular qualquer de
f, o qual está bem definido pelo que acabamos de fazer.
(ii)Suponha f homotópica a g, pela proposição1.18temos que existe z valor regular para f e g, pelo lema de Homotopia temos que #f−1(z)≡ #g−1(z) (mod
2). Agora, z é valor regular para f , assim deg2f :≡ #f−1(z) (mod 2); por outro
lado z é valor regular para g logo deg2g :≡ #g−1(z) (mod 2)portanto deg2f ≡
deg2g (mod 2).
Vejamos algumas consequências desse teorema.
1.24 Proposição. Sejam X e Y variedades de mesma dimensão tais que X é com-pacta e sem fronteira e Y é conexa. Valem os seguintes resultados:
(i) A função constante f : X → Y tal que f(x) = c ∈ Y para todo x em X possui grau módulo 2 par, i.e., deg2 f ≡ 0.
(ii) Se X é conexo, então a função identidade Id : X → X possui grau módulo
2ímpar, i.e., deg2Id≡ 1.
(iii) Se X é conexo, então a função constante f : X → X e a função identidade Id : X → X não são homotópicas.
Demonstração. (i) Basta observar que #f−1(y) = 0para todo y valor regular de
f. Pelo teorema anterior, deg2f ≡ 0 (mod 2).
(ii)Como Id é uma bijeção, temos que #Id−1(y) = 1para todo y ∈ X. Pelo teorema anterior, deg2Id ≡ 1 (mod 2).
(iii)Suponha, por absurdo, que f e Id sejam homotópicas, pelo teorema an-terior, teríamos que deg2 f ≡ deg2 Id (mod 2), o que não ocorre por (i) e (ii).
Logo f e Id não são homotópicas.
Seja Bn+1a bola fechada de raio unitário e centrada na origem doRn+1.
Mos-tramos utilizando o teorema de Sard que não existe retração da bola fechada na esfera. Vejamos a demonstração desse mesmo teorema pela teoria de homotopia.
Lembre que dado F ⊆ E dizemos que uma função r : E → F é uma
retra-ção se r é contínua e r(x) = x para todo x em F . 1.25 Teorema. Não existe retração r : Bn+1→ Sn.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que exista retração r : Bn+1 → Sn
con-tínua. Assim, r(x) = x para todo x ∈ Sn, logo r|S
IdSn(x) = x. Note que r é uma extensão de IdSn. Tomando X = Sn, pela
propo-sição1.5temos que IdSné homotópica a uma aplicação constante Sn → c ∈ Sn,
o que é um absurdo pelo item (iii) da proposição anterior. Portanto não existe tal retração, e temos o desejado.
O grau de Brouwer
Sejam X e Y variedades orientáveis de mesma dimensão em que X é uma variedade compacta. Seja x um ponto regular de f , assim dfxé um isomorfismo, e
portanto det(dfx)̸= 0. Definimos o sinal de um ponto regular x de uma aplicação
como sendo Sinal(dfx):
Sinal(dfx) = 1se det(dfx) > 0, e dizemos que dfxpreserva a orientação;
Sinal(dfx) = −1 se det(dfx) < 0, e dizemos que dfxnão preserva a orientação.
Dado um valor regular y ∈ Y para f definimos o grau de f em y como sendo
deg(f ; y) :=∑x∈f−1(y)Sinal(dfx)
Iremos mostrar que quando Y é uma variedade conexa o número inteiro
deg(f ; y)não depende da escolha do valor regular y, mas sim da classe de ho-motopia de f . A idéia geral para demonstrar isso é a mesma do grau módulo 2, contudo existem cuidados a serem tomados devido as orientações das variedades. Vejamos alguns resultados preliminares:
1.26 Proposição. Sejam X e Y variedades orientáveis de mesma dimensão onde Xé uma variedade compacta e f : X → Y contínua. O inteiro deg(f; y) é uma função localmente constante quando y percorre os valores regulares y de f .
Demonstração. Seja y valor regular de f fixo e arbitrário. Temos que f−1(y) é finito, digamos{p1, ..., pr}.
Note que os seguintes conjuntos são abertos em X
{x ∈ X : dfxpreserva a orientação}
pois o determinante é uma função contínua.
Assim, para cada pi ∈ f−1(y)existe Wi vizinhança aberta de pital que para
todo ponto z∈ Witemos que Sinal(dfz) = Sinal(dfpi).
Pela demonstração da proposição ??, existe V aberto tal que y∈ V ⊆∩ri=1f (Ui)
onde f|Uié um difeomorfismo com Uivizinhança aberta de piem X e f (Ui) = Vi
aberto de Y com Ui’s dois-a-dois disjuntos. S.p.g., podemos supor Ui ⊆ Wipara
todo i ∈ {1, ..., r}. Onde vale que para todo w ∈ V ⊆ ∩ri=1f (Ui)temos que
#f−1(w) =#f−1(y).
Como Ui ⊆ Wi e para todo w ∈ V ⊆
∩r
i=1f (Ui)temos que #f−1(w) =
#f−1(y)então deg(f ; y) = deg(f ; w), e temos o desejado.
1.27 Lema. Sejam M, Z, Y variedades diferenciáveis em que M é a fronteira de Z, M e Z são compactas, Y é conexa, Z e Y são orientadas, e a variedade M possui a orientação induzida pela variedade Z. Suponha também que dim(Z) = dim(Y ) + 1e dim(Y ) = dim(M ) = n.
Se uma aplicação diferenciável f : M → Y admite extensão diferenciável F : Z → Y então deg(f; y) = 0 para todo valor regular y ∈ Y .
Demonstração. Suponha que y é um valor regular de F . Assim, F−1(y)é uma variedade compacta de dimensão 1 cuja fronteira é ∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂Z =
F−1(y)∩ M. Sabemos que F−1(y)possui um número finito de componentes conexas homeomorfas a círculos ou a intervalos fechados. Sejam Ai as
compo-nenetes conexas homeomorfas a intervalos fechados, com i∈ Λ com Λ conjunto de índices finito.
Agora, deg(F|∂Z; y) =∑x∈(F |∂Z)−1(y)Sinal((dF|∂Z)x).
Note que (F|∂Z)−1(y) = ∂F−1(y)decorre da igualdade ∂F−1(y) = F−1(y)∩
∂Z.
Assim, deg(F|∂Z; y) =∑x∈∂F−1(y)Sinal((dF|∂Z)x) =
∑
x∈∂F−1(y)Sinal((df )x) =
deg(f ; y)
Mas os extremos das componentes conexas Aiconstituem a fronteira de F−1(y).
Ou seja, sejam ai e bi os extremos de Ai daí ∂Ai = {ai} ∪ {bi} ⊆ ∂F−1(y), e
portanto ∂F−1(y) = {a1, ..., ar} ∪ {b1, ..., br} em que #Λ = r.
Temos, portanto, deg(f ; y) =∑x∈∂F−1(y)Sinal((df )x) =
∑
∑r
i=1(Sinal(df )ai+Sinal(df )bi).
Afirmação: Para todo i∈ Λ vale que Sinal(df)ai+Sinal(df )bi = 0.
Fixe i ∈ Λ. As orientações de Z e Y determinam uma orientação no arco Ai da seguinte forma:
Lembre que Ai ⊆ F−1(y)⊆ Z, onde dim(Z) = n + 1. Seja p ∈ Ai
compo-nente conexa homeomorfa a um intervalo fechado, seja{v1, ..., vn+1} uma base
positiva de TpZcom v1tangente a Aiem p.
Definimos agora a orientação induzida no arco Ai, dizemos que v1é positivo
em TpAise, e somente se, (dF )ptransforma{v2, ..., vn+1} em uma base positiva
de TyY.
Seja p ∈ Ai, definimos naturalmente Sinal dfp = 1 se, e somente se, v1 é
positivo em TpAi; e Sinal dfp =−1 se, e somente se, v1não é positivo em TpAi.
Seja v1(p)o único vetor unitário tangente ao arco Ai no ponto p na
orienta-ção induzida. Como o arco Aié homeomorfo ao intervalo [0, 1] conexo, temos
que esse homeomorfismo preserva a orientação, ou reverte a orientação para todo ponto de Ai. Em particular, os pontos da fronteira de Aipossuem a mesma
orien-tação (ou contrária) de seu ponto correspondente. Basta argumentar no intervalo [0, 1].
Temos que ao induzirmos a orientação no intervalo [0, 1] um de seus pontos de fronteira é orientado positivamente e o outro é orientado negativamente. Daí Sinal dfai =− Sinal dfbi. Vale a afirmação.
Segue da afirmação que deg(f ; y) = 0.
Suponha, agora, que y não é valor regular de F . Como y é valor regular para
f, pela proposição1.26temos que existe V aberto em Y tal que para todo z ∈ V temos que deg(f ; z) = deg(f ; y). Como V é aberto em Y pelo teorema de Sard, existe q ∈ V valor regular de F . Segue que deg(f; q) = 0 = deg(f; y), e temos o desejado.
1.28 Lema (Homotopia). Sejam f, g : X → Y contínuas e homotópicas. Se y é um valor regular de f e g então deg(f ; y) = deg(g; y)
Demonstração. Seja F : X× [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Como [0, 1] é
com bordo onde seu bordo é dado por ∂(X×[0, 1]) = X ×{0}∪X ×{1}. Consi-derando orientação produto em X× [0, 1] temos que X × {0} possui orientação oposta e X× {1} possui orientação positiva.
(Caso 1) Suponha que y é valor regular de F . Segue que y também é valor regular para F|∂(X×[0,1]). Como F−1(y) ⊆ X × [0, 1] é fechado, e X e [0, 1] são compactos, temos que X × [0, 1] é compacto, e segue que F−1(y) é com-pacto. Como X × [0, 1] é uma variedade com bordo, e y é valore regular para
F e F|∂X×[0,1], pelo lema ?? temos que F−1(y) é uma variedade diferenciável 1−dimensional, logo F−1(y)é uma variedade diferenciável 1−dimensional com-pacta. Além disso:
∂F−1(y) = F−1(y)∩ ∂(X × [0, 1]) = F−1(y)∩ (X × {0} ∪ X × {1}) = = f−1(y)× {0} ∪ g−1(y)× {1}
Considere h = F|∂(X×[0,1]) : ∂(X × [0, 1]) → Y função com y valor regular de h. Pelo lema anterior, temos que deg(h; y) = 0. Note que:
deg(h; y) = deg(F|∂(X×[0,1]); y) =∑(x,t)∈(F |∂(X×[0,1]))−1(y)Sinal(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)
Mas (F|∂(X×[0,1]))−1(y) = F−1(y)∩∂(X ×[0, 1]) = f−1(y)×{0}∪g−1(y)× {1}. Segue que
deg(h; y) =∑(x,t)∈f−1(y)×{0}Sinal(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)+
∑
(x,t)∈g−1(y)×{1}Sinal(dF|∂(X×[0,1]))(x,t)
Agora, ∂(X × [0, 1]) = X × {0} ∪ X × {1}, e portanto dF |∂(X×[0,1]) =
dF|(X×{0}∪X×{1}).
Segue que
deg(f ; y) =∑(x,t)∈f−1(y)×{0}Sinal(dF|(X×{0}∪X×{1}))(x,t)
deg(g; y) =∑(x,t)∈g−1(y)×{1}Sinal(dF|(X×{0}∪X×{1}))(x,t)
positiva temos que
deg(h; y) =−deg(f; y) + deg(g; y)
mas deg(h; y) = 0 logo deg(g; y) = deg(f ; y).
(Caso 2) Suponha que y não é valor regular de F . Como y é valor regular para
fe g pela proposição1.26temos que existem V1e V2abertos em Y tais que y∈ V1
e y∈ V2onde vale que para todo z∈ V1temos que deg(f ; z) = deg(f ; y), e para
todo w ∈ V2temos que deg(g; w) = deg(g; y). Tome V = V1 ∩ V2 aberto
não-vazio em Y pois y ∈ V , assim para todo x ∈ V temos que deg(f; x) = deg(f; y) e deg(g; x) = deg(g; y). Como V é aberto em Y pelo teorema de Sard, existe
q ∈ V valor regular de F . Pelo caso (1), temos que deg(f; q) = deg(g; q), e
portanto deg(f ; y) = deg(g; y), como desejado.
1.29 Lema. Sejam X e Y variedades diferenciáveis orientadas em que X é com-pacta e Y é conexa. Sejam y e z pontos de Y , sabemos pelo lema de Homogeneidade que existe um difeomorfismo h : Y → Y com h(y) = z que é diferenciavelmente isotópica a identidade, IdY. Então h preserva a orientação.
Demonstração. Primeiro, note que como IdY é difeomorfismo que preserva a orientação temos que deg(IdY, p) = 1, e portanto qualquer que seja p ∈ Y .
Assim, todo ponto de Y é valor regular para IdY.
Agora, h é um difeomorfismo, e portanto todo ponto q de Y é valor regular para h
Seja w um ponto qualquer de Y segue que w é valor regular para h e IdY.
Como h e Id são homotópicas temos que deg(h; w) = deg(IdY, w), portanto
obtemos que para todo w ∈ Y vale que deg(h; w) = 1, logo h preserva a orien-tação.
1.30 Teorema. Sejam X e Y variedades diferenciáveis orientadas em que X é com-pacta e Y é conexa. Seja f : X → Y contínua com y valor regular de f. Então o inteiro deg(f ; y) não depende da escolha do valor regular y, mas sim da classe de homotopia de f .
Como independe do valor regular y de f , denotamos o grau de f com deg f . Demonstração. Seja F : X × [0, 1] → Y a homotopia entre f e g. Sejam y e z
h : Y → Y com h(y) = z que é diferenciavelmente isotópica a identidade, pelo
lema anterior, h preserva orientação.
Como h é um difeomorfismo, segue que z é um valor regular de h◦ f. Assim
zé valor regular para f e para h◦ f. Como h é homotópica a identidade, h ≃ id, e f ≃ f então pela proposição1.4temos que h◦f ≃ id◦f = f, i.e., h◦f e f são homotópicas. Estamos nas condições do lema de Homotopia, assim deg(f ; z) =
deg(h◦ f; z). Agora note que:
deg(h◦ f; z) = deg(h ◦ f; h(y)) =∑x∈(h◦f)−1(h(y))Sinal(d(h◦ f))x= deg(h◦ f; z) =∑x∈(h◦f)−1(h(y))Sinal(dhf (x) ◦ dfx)
Mas (h◦ f)−1(h(y)) = (f−1 ◦ h−1)h(y) = f−1(y). Como dhf (x) preserva
a orientação para todo f (x) temos que det(dhf (x)) > 0, e portanto Sinal(dhf (x)◦ dfx) = Sinal(df )xpois Sinal(det((dhf (x)◦dfx))) =Sinal(det(dhf (x)).det(dfx)) =
Sinal(det(dfx)). Segue que
deg(h◦ f; z) =∑x∈f−1(y)Sinal(df )x = deg(f ; y)
Portanto deg(f ; z) = deg(f ; y) qualquer que sejam z e y valores regulares de
f.
Agora, suponha f e g homotópicas. Existe w um valor regular para f e g pela proposição 1.18. Pelo lema de homotopia, temos que deg(f ; w) = deg(g; w). Daí deg f = deg(f ; w) = deg(g; w) = deg g, e portanto deg f = deg g, temos o desejado.
1.31 Proposição. Sejam f : X → Y e g : Y → Z funções diferenciáveis definida entre variedades orientáveis de mesma dimensão com X compacta, Y compacta e conexa, e Z conexa. Então deg (g◦ f) = deg g · deg f
Demonstração. Pelo teorema de Sard existe p ponto regular de g e (g◦ f). Assim, g−1(p) = {p1, ..., pr} são pontos regulares de Y para g, e (g ◦ f)−1(p) = f−1◦
g−1(p) = f−1{p1, ..., pr} são pontos regulares de X para (g ◦f). Seja f−1(pi) := {pi1, ..., pisi} para todo pi ∈ g−1(p), note que f (pij) = pi.
Afirmação: Para todo pi ∈ g−1(p)temos que pié um valor regular para f .
isomorfismo, e d(g◦ f)pijtambém é isomorfismo. Agora,
d(g◦ f)pij = dgf (pij)· dfpij = dgpi · dfpij donde
dg−1pi ◦d(g◦f)pij = dfpijé um isomorfismo, e portanto pijé um ponto regular
de f , no que segue pié um valor regular para f . Vale a afirmação.
Como (g◦f)−1(p) = f−1◦g−1(p) = f−1{p1, ..., pr} e f−1(pi) := {pi1, ..., pisi}
temos que
(g◦ f)−1(p) = {pij : i = 1, .., re j = 1, ..., si}. Logo
deg (g◦f) = deg(g◦f; z) =∑x∈(g◦f)−1(z)Sinal(d(g◦f))x =
∑r i=1
∑si
j=1Sinal(d(g◦ f ))pij
deg(g◦ f; z) =∑ri=1∑sij=1Sinal((dg)f (pij)◦ (df)pij)mas f (pij) = pi. deg(g◦f; z) =∑ri=1∑sij=1Sinal((dg)pi)◦(df)pij) =
∑r i=1
(∑si
j=1Sinal(dg)pi · Sinal(df)pij
)
pois det(A· B) = det(A) · det(B), logo Sinal(det(A · B)) = Sinal(det(A) ·
det(B)) =
=Sinal(det(A))· Sinal(det(B)). Segue que
deg(g◦ f; z) =∑ri=1Sinal(dg)pi
(∑si
j=1Sinal(df )pij
)
Como pié um valor regular para f temos que deg f = deg(f ; pi) =
∑si
j=1Sinal(df )pij.
Logo
deg(g◦ f; z) =∑ri=1Sinal(dg)pi· (deg f) = deg f ·
∑r
i=1Sinal(dg)pi = deg f· deg g
E portanto deg (g◦ f) = deg f · deg g, como desejado.
hiperplano xi = 0, assim Ri(x1, ..., xn+1) = (x1, ..., xi−1,−xi, xi+1, ..., xn+1). Afirmação: deg Ri =−1
Dado p∈ Sn, temos que (dR i)p = 1 0 ... ... 0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 −1 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 ... 0 1 (n+1×n+1)
Primeiro, observe que para todo ponto p ∈ Sn, temos que det(dR
i)p = −1
e note que Ri é contínua e injetora. Como para todo ponto p ∈ Sn, temos que det(DRi(p)) = −1, segue que todos os pontos de Snsão pontos regulares. Seja
p∈ Snqualquer, como a R
ié injetora, obtemos Ri−1(Ri(p)) ={p}, assim Ri(p)
é valor regular.
Daí deg Ri = deg(Ri; Ri(p)) =Sinal(dRi)p =−1. Vale a afirmação.
A aplicação antípoda A : Sn → Snpode ser escrita como a composição de n + 1reflexões, assim A(p) =−p = (R1◦ R2 ◦ ... ◦ Rn+1)(p).
Pela proposição1.31temos que deg A = deg R1· ... · deg Rn+1= (−1)n+1.
Logo deg A = (−1)n+1, segue que se n é par, obtemos que deg A = −1, e
portanto a aplicação antípoda A não é homotópica a identidade de Sn.
Vejamos as seguintes aplicações da teoria do grau:
Nossa primeira aplicação da teoria do grau será o Teorema da Bola Cabeluda devido a Brouwer.
1.32 Teorema (Teorema da Bola Cabeluda - Brouwer). A esfera Sn admite um campo de vetores tangentes não-nulo se, e somente se, n é ímpar.
Demonstração. (⇒) Suponha que exista X : Sn → Rn+1campo de vetores
tan-gente a Sn tal que para todo p ∈ Sn temos que X(p) ̸= 0 e ⟨X(p), p⟩ = 0.
S.p.g., podemos supor que X é unitário, caso contrário como X(p) ̸= 0 para todo p∈ Snpoderíamos considerar ˜X(p) = X(p)
|X(p)|. Assim, X é unitário, e
por-tanto temos que X : Sn → Sncontínua.
Seja h : [0, 1] → [0, π] tal que h(0) = 0 e h(1) = π com h uma bijeção contínua. Definimos F : Sn × [0, 1] → Sn como F (p, t) = pcos(h(t)) + X(p)sin(h(t)), que é contínua. Note que
F (p, 0) = pcos(h(0)) + X(p)sin(h(0)) = pcos(0) + X(p)sin(0) = pe
F (p, 1) = pcos(h(1)) + X(p)sin(h(1)) = pcos(π) + X(p)sin(π) =−p.
Agora, F está bem definida, pois F (x, t)∈ Sn. De fato, veja que
|F (p, t)|2 =⟨F (p, t), F (p, t)⟩ = ⟨pcos(h(t)) + X(p)sin(h(t)), pcos(h(t)) +
X(p)sin(h(t))⟩ =
|F (p, t)|2 =⟨pcos(h(t)) + X(p)sin(h(t)), pcos(h(t)) + X(p)sin(h(t))⟩ =
|F (p, t)|2 = cos2(h(t))|p|2+2cos(h(t))sin(h(t))⟨p, X(p)⟩+sin2(h(t))|X(p)|2 =
|F (p, t)|2 = cos2(h(t)) + sin2(h(t)) = 1
Assim, F é uma homotopia entre a antípoda e a identidade de Sn. Pelo que
fizemos acima, isso só ocorre se n é ímpar, e temos o desejado.
(⇐) Suponha n ímpar, assim n = 2k − 1. Definimos a aplicação X : Sn →
Rn+1por
X(x1, ..., x2k) = (x2,−x1, x4,−x3, ..., x2k,−x2k−1). Segue que X é
contí-nua. É imediato ver que⟨p, X(p)⟩ = 0 para todo p ∈ Sn. Por fim, note que para
todo p = (p1, ..., p2k) ∈ Sntemos que X(p) ̸= 0, caso contrário, |X(p)| = 0 e
portanto
(p2,−p1, p4,−p3, ..., p2k,−p2k−1) = (0, ..., 0), daí p = 0, o que é uma
con-tradição, pois p∈ Sn. Vale o desejado. O que prova o teorema.
1.33 Teorema. Sejam X e Y variedades orientadas e diferenciáveis de mesma di-mensão em que X é compacta e Y é conexa. Considere f : X → Y contínua e injetora, vale que:
(i) Se f é sobrejetora então o determinante do jacobiano de f não pode mudar de sinal.
(ii) Se f não é sobrejetora então o determinante do jacobiano de f é identica-mente nulo.
Demonstração. (i) Seja f : X → Y contínua e bijetora. Suponha, por absurdo,
que o determinante do jacobiano de f muda de sinal, assim existem x e y em X tais que det(J(x)) > 0 e det(J(y)) > 0. Pela continuidade do determinante existem U1e U2 vizinhanças abertas de x e y respectivamente tais que para todo
z ∈ U1temos det(J(z)) > 0 e para todo w ∈ U1temos det(J(w)) > 0. Sejam V1
e V2vizinhanças abertas de f (x) e f (y) respectivamente em Y tais que f−1(V1)⊆
f tais que z1 ∈ V1 e z2 ∈ V2. Segue f−1(z1) ∈ U1 e f−1(z2) ∈ U2. Como
f é bijeção, temos que f−1(z1) = {w1} e f−1(z2) = {w2} onde w1 ∈ U1 e
w2 ∈ U2. Segue que det(J(w1)) > 0e det(J(w2)) > 0, assim Sinal(dfw1) = 1e
Sinal(dfw2) =−1. Como a f é bijeção, temos que deg(f; w1) =Sinal(dfw1) = 1
e deg(f ; w2) = Sinal(dfw2) =−1, o que é um absurdo, pois pelo teorema anterior
deveríamos ter deg(f ; w1) = deg(f ; w2). Portanto o determinante do jacobiano
de f não pode mudar de sinal.
(ii)Como f não é sobrejetora, existe a ∈ Y tal que f−1(a) = ∅. Note que
aé um valor regular, segue que deg f = deg(f ; a) = 0. Suponha, por absurdo, que o determinante do jacobiano de f não é identicamente nulo, assim existiria
p∈ X tal que det(J(p)) ̸= 0, digamos por exemplo que det(J(p)) > 0 . Como Xe Y possuem a mesma dimensão, temos que p é um ponto regular. Agora, f é injetora, segue que f (p) é valor regular, pois f−1(f (p)) ={p}. Logo deg(f; p) = Sinal(dfp) = 1, o que é um absurdo. Portanto o determinante do jacobiano de f
é identicamente nulo.
1.34 Teorema. Sejam X e Y variedades orientadas e diferenciáveis de mesma di-mensão em que X é compacta, Y é conexa, e suponha f : X → Y contínua. Se o determinante do jacobiano de f não é identicamente nulo e nem muda de sinal então f é sobrejetora.
Demonstração. S.p.g podemos supor que det(J(p)) ≥ 0 para todo p ∈ X, já
que o determinante do jacobiano não muda de sinal. Mas o determinante do jacobiano não é identicamente nulo, assim existe z ∈ X tal que det(J(z)) > 0. Pela continuidade do determinante, existe U1 vizinhança aberta de z em X tal
que para todo w∈ U1temos que det(J(w)) > 0.
Como X e Y possuem a mesma dimensão, temos que z é um ponto regular. Pelo Teorema da Aplicação Inversa para variedades (teorema ??), temos que existe
U2aberto em X com z ∈ U2 e f (U2) = V2aberto em Y tal que f|U2 : U2 → V2
é um difeomorfismo. Tomando U = U1∩ U2, temos que f|U : U → V em que
f (U ) = V aberto em Y é também um difeomorfismo.
Agora, como V é um aberto de Y . Pelo Teorema de Sard, existe y ∈ V tal que y é valor regular de f , assim #f−1(y)é finito, mais ainda como y ∈ V existe
x ∈ U = U1 ∩ U2 e portanto det(J(x)) > 0. Segue que deg(f ; y) ≥ 1 pois
#f−1(y)é finito e det(J(p))≥ 0 para todo p ∈ X.
f−1(b) = ∅. Note que b é um valor regular, segue que deg f = deg(f; b) = 0, o que é uma contradição, pois deg f = deg(f ; y) ≥ 1 > 0 = deg(f; b) = deg f. Logo a f é sobrejetora.
1.2
Recobrimentos e Variedades orientáveis
Orientabilidade
Em espaços vetoriais dizemos que duas bases ordenadas{v1,· · · , vn}, {w1,· · · , wn}
deRn(ou de um espaço vetorial de dimensão n, V ) têm a mesma orientação se
a matriz de mudança de bases A = (aij) tem determinante positivo. Isto
im-plica que existem duas classes de equivalência de bases ordenadas, chamadas de
orientação de V .
Exemplo: A base canônica{e1, e2, e3} determina uma orientação em R3, à
qual chamamos positiva. ♢
Em variedades, uma orientação em M é a escolha de orientações em TxM, o
espaço tangente a M em um ponto x, para todo x ∈ M, que sejam compatíveis entre si:
Para todo x∈ M, existe uma carta coordenada (φ, U) tal que dφ(x)v1,· · · , dφ(x)vn
é uma base positiva emRnpara qualquer base{v
1,· · · , vn} que determine a
ori-entação escolhida em TxM para todo x∈ M
1.35 Observação. 1. Uma variedade M orientável tem um atlas{(φi, Ui)} tal que∀x ∈ Ui∩ Uj, tem-se det((Dφj ◦ Dφ−1i )(φi(x))) > 0.
2. Se M é conexa e orientável, admite duas orientações.
3. Existe um fibrado (duplo orientável) E → M, (x, o(x)) 7→ x, o(x) orienta-ção em TxM, tal que M é conexa e orientável se, e somente se, E tem duas componentes conexas.
4. Existem variedades não orientáveis: Faixa de Mobius.
5. O conceito de orientação é análogo em variedades com bordo. De fato, se x ∈ ∂M, TxM ainda é um espaço m-dimensional. Teremos três tipos de vetores: i) aqueles em Tx∂M;
iii)os que apontam para dentro de M .
6. A orientação de uma variedade unidimensional é o sentido do percurso. 2 Exercício. 1. T M é sempre orientável.
2. Toda curva complexa é orientável (superfície de Riemann).
Grau
Sejam Mmcompacta, sem bordo, Nnconexa, variedades orientadas. m = n.
Seja f : M → N aplicação C∞e y ∈ N valor regular (VR), cujo número de pré-imagens é localmente finito, pois M é compacta, digamos,{x1,· · · , xk} ∈
f−1(y).
1.36 Observação. Se M não é compacta, pedimos que f seja própria e valem os mesmos resultados.
1.37 Definição. O sinal Sinal(Df (xi)) = 1se, e somente se, Df preserva orienta-ção em xi, i.e., se (v1,· · · , vn)é uma base positiva, então (Df (xi)v1,· · · , Df(xi)vn) é uma base positiva em N .
O sinal Sinal(Df (xi)) =−1 se, e somente se, Df muda orientação em xi.
O grau de f é dado por deg(f, y) =∑x∈f−1(y)Sinal(Df (x)), se y ∈ V R(f).
Recobrimentos
Levantamentos
Considere dois espaço topológicos X, Y .
Se f : X → Y é um homeomorfismo local, então f é localmente injetiva. Entretanto, existe exemplo de funções localmente injetivas que não são home-omorfismos locais.
A próxima proposição trata de características da imagem inversa.
1.38 Proposição. Se a aplicação f : X → Y é contínua e localmente injetiva (em particular, um homeomorfismo local), então a imagem inversa f−1(y)de cada y∈ Y é um conjunto discreto em X.
Demonstração. Cada ponto x∈ f−1(y)tem uma vizinhança U , onde x é o único ponto em U tal que f (x) = y. Então, U ∩ f−1(y) = {x}. Logo, todo ponto
x∈ f−1(y)é isolado em f−1(y).
1.39 Corolário. Seja X um espaço compacto, Y um espaço Hausdorff e f : X → Y uma aplicação contínua localmente injetiva. Então, f−1(y)é finito para cada y∈ Y .
Seja f : X → Y, g : Z → Y duas aplicações contínuas. Um levantamento de
g(com respeito a f ) é uma aplicação contínuaeg : Z → X tal que f ◦ eg = g.
Y X g eg f Z Figura 1.1: Levantamento de g
Mostraremos que se f é localmente injetiva então o levantamento de g, se exis-tir, é único, desde que Z seja conexo, X de Hausdorff e fixemos um valoreg(z0).
Note que nem toda aplicação g tem um levantamento, mesmo quando f é um homeomorfismo local.
1.40 Proposição. Seja X um espaço de Hausdorff e f : X → Y aplicação con-tínua e localmente injetiva. Se Z é conexo e g : Z → Y é contínua, então dois levantamentoseg, ˆg : Z → X de g, que coincidem num ponto z0 ∈ Z, são iguais.
Demonstração. O conjunto A ={z ∈ Z, eg(z) = ˆg(z)} é não vazio, pois z0 ∈ A.
Já que X é espaço Hausdorff, A é fechado em Z. Para concluir queeg = ˆg, basta ver que A é aberto em Z.
Seja a ∈ A. Existe uma vizinhança V de eg(a) = ˆg(a) tal que f|V é injetiva. Por continuidade deege ˆg, existe uma vizinhança U de a com eg(U) ⊂ V e ˆg(U) ⊂
V. Daí, para todo z ∈ U temos feg(z) = g(z) = f ˆg(z) e, por injetividade de f em V ,eg(z) = ˆg(z). Portanto, U ⊂ A.
Seja f : X → Y uma aplicação contínua. Uma seção de f é uma aplicação contínua σ : Y → X tal que f ◦ σ = idY.
Com o intuito de obter uma seção σ, devemos escolher continuamente, para cada ponto y ∈ Y , um ponto σ(y) na imagem inversa ou fibra f−1(y). Isto nem sempre é possível. Primeiramente, f deve ser sobrejetiva, mas só isto não resolve o problema.
Se σ : Y → X é uma seção de f, então a restrição de f a σ(Y ) é um homeo-morfismo sobre Y .
A seguinte consequência da proposição anterior fala sobre seções de uma apli-cação localmente injetiva.
1.41 Corolário. Seja X um espaço Hausdorff conexo. Uma aplicação contínua localmente injetiva f : X → Y que admite uma seção σ : Y → X é um homeo-morfismo e sua inversa é σ.
De fato, neste caso as aplicações σ◦ f, idX : X → X são levantamentos de f (com respeito a f ). Y X σ idX σ◦ f f X Figura 1.2: Levantamento de f
Já que σ◦f coincide com idXno conjunto σ(Y ), da Proposição1.40, conclui-se que σ◦ f = idX, daí σ = f−1.
Segue deste último resultado que, uma aplicação contínua localmente injetiva e não injetiva, cujo domínio é um espaço Hausdorff conexo, não admite seção. Por exemplo, f :S1 → S1, f (z) = z2.
1.42 Corolário. Seja X um espaço Hausdorff, Y conexo e f : X → Y uma aplicação contínua localmente injetiva. Se σ : Y → X é uma seção de f, então σ(Y )é uma componente conexa de X.
Demonstração. De fato, seja C uma componente conexa de X que contém o
con-junto conexo σ(Y ). Pelo Corolário1.41, f|C é um homeomorfismo de C sobre
Y. Já que f|σ(Y )já é um homeomorfismo sobre Y , temos σ(Y ) = C.
1.43 Corolário. Sejam A, B subconjuntos abertos conexos num espaço Hausdorff X = A∪ B e f : X → Y uma aplicação contínua tal que f|Ae f|B são homeo-morfismos sobre Y , então A∩ B = ∅ ou A = B.
Demonstração. Com efeito, f é localmente injetiva, Y = f (A) é conexo e (f|A)−1 :
Y → X é uma seção. Pelo Corolário1.42, A = (f|A)−1(Y )é uma componente conexa de X. De modo análogo, mostramos que B é componente conexa de X. Daí, segue o resultado.
1.44 Observação. O Corolário1.43seria falso sem a hipótese de A, B serem aber-tos. Por exemplo, f : S1 → [−1, 1], definida por f(x, y) = x, A = {(x, y) ∈
S1; y ≥ 0}, B = {(x, y) ∈ S1; y ≤ 0}
Aplicações de recobrimento
O instrumento clássico para investigar se um dado homeomorfismo local é global e, mais geralmente, obter regiões onde o homeomorfismo local é injetivo, é o método de continuação analítica.
Dado um homeomorfismo local f : X → Y , seja y ∈ f(X). Para cada
x∈ X com f(x) = y, existem vizinhanças U de x e V de y tais que f : U → V é
um homeomorfismo; g = (f|U)−1 : V → U é uma inversa local de f, chamada de ramo de f−1.
O problema consiste em estender o ramo g a uma região maior do que V . Dado um outro ponto y′ ∈ f(X), conectamos y′ a y por um caminho a e tentamos estender g ao longo deste caminho. Isto é possível desde que a tenha um levantamento, isto é, exista um caminhoea em X, com ponto inicial x, tal que
f (ea(s)) = a(s), ∀s ∈ I. Assim, já que y′ = a(1), definimos g(y′) =ea(1). Entretanto, a existência do levantamento ea não pode ser garantida. P. ex., seja f : (0, 3π) → S1 o homeomorfismo local sobrejetivo dado por f (t) =
(cos t, sin t). É fácil obter no círculo caminhos que não podem ser levantados com respeito a f .
1.45 Definição. Uma aplicação p : eX → X é de recobrimento quando cada ponto x∈ X pertence a um conjunto aberto V ⊂ X tal que
é a união de conjuntos abertos Uαdisjuntos entre si, tais que, pra cada α, a restrição p|Uα : Uα → V é um homeomorfismo.
O conjunto aberto V é chamado de vizinhança distinguida. O espaço eXé cha-mado de espaço de recobrimento de X e, para cada x∈ X, a aplicação p−1(x)é chamada de fibra sobre x. X é chamado de espaço base do recobrimento.
Uma aplicação recobrimento p : eX → X é um homeomorfismo local de eX
sobre X.
3 Exercício. Mostre que nem todo homeomorfismo local é um recobrimento.
Quando o espaço Y é discreto, a projeção p : X × Y → X é aplicação de recobrimento.
Todo subconjunto aberto de uma vizinhança distinguida também o é. Assim, quando X é localmente conexo, localmente compacto, etc., podemos escolher as vizinhanças distinguidas de modo que sejam conexas, com suporte compacto, e assim por diante.
Se X é um espaço localmente Hausdorff localmente conexo, cada vizinhança distinguida pode ser escolhida conexa e Hausdorff.
O conceito de recobrimento é uma ferramenta que permite usar o método de continuação analítica.
Recobrimento duplo orientável
Dois sistemas de coordenadas φ : U → Rme ψ : V → Rm, em uma
varie-dade M ,são ditos compatíveis quando U ∩ V = ∅ ou U ∩ V ̸= ∅ e a mudança de coordenadas ψ◦ φ−1 : φ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ) tem determinante jacobiano positivo em todo ponto de φ(U ∩ V ).
Um atlas é dito coerente se quaisquer duas cartas são compatíveis.
Sabemos que um espaço vetorial orientado é um par (E, O), onde E é um espaço vetorial sobre um corpo e O é uma orientação de E.
Uma transformação linear T : Rm → Rm é um isomorfismo positivo se, e
somente se, sua matriz com respeito à base canônica tem determinante positivo. Quando um isomorfismo f : E → F entre espaços vetoriais orientados é positivo, dizemos que f preserva orientação.