Simulação numérica para análise de instabilidades hidrodinâmicas em escoamentos bifásicos

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

SIMULAÇÃO NUMÉRICA PARA ANÁLISE DE

INSTABILIDADES HIDRODINÂMICAS EM

ESCOAMENTOS BIFÁSICOS

Autor(es):

JOÃO MAGNUS BAILUNI DE BRAGANÇA

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Orientador(es):

DANIEL RODRÍGUEZ ÁLVAREZ, Ph.D.

SIMULAÇÃO NUMÉRICA PARA ANÁLISE DE

INSTABILIDADES HIDRODINÂMICAS EM ESCOAMENTOS

BIFÁSICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador(es):

DANIEL RODRÍGUEZ ÁLVAREZ, Ph.D.

Niterói

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

B813 Bragança, João Magnus Bailuni de

Simulação numérica para análise de instabilidades

hidrodinâmicas em escoamentos bifásicos / João Magnus Bailuni de Bragança. – Niterói, RJ : [s.n.], 2018.

72 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) – Universidade Federal Fluminense, 2018.

Orientador: Daniel Rodríguez Álvarez.

1. Escoamento bifásico. 2. Fluidodinâmica computacional. 3. Simulação numérica. 4. Hidrodinâmica. I. Título.

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:

SIMULAÇÃO NUMÉRICA PARA ANÁLISE DE INSTABILIDADES

HIDRODINÂMICAS EM ESCOAMENTOS BIFÁSICOS

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

− Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

− Grau atribuído ao grupo nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor(es) Orientador(es):

Nome e Assinatura do Professor(es) Orientador(es):

Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez.

Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

Projeto Aprovado Sem Restrições

Projeto Aprovado Com Restrições

Prazo concedido para cumprimento das exigências:

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

(continuação)

Aluno: João Magnus Bailuni de Bragança.

Grau:

Composição da Banca Examinadora:

Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez, Ph.D.

Assinatura:

Prof.: Fabio Toshio Kanizawa, Ph.D.

Assinatura:

Prof.: Roger Matsumoto Moreira, Ph.D.

Assinatura:

Data de Defesa do Trabalho:

Dedico este trabalho aos educadores que, diante de todas as dificuldades encontradas nas universidades públicas do Brasil, resistem para garantir a difusão de seus conhecimentos.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Dr. Daniel Rodríguez Álvarez, por toda a assistência e disponibilidade em transmitir seu conhecimento adiante.

Agradeço também aos meus pais pelo esforço e incentivo em manter meu acesso à edu-cação.

Agradeço o apoio emocional dos meus amigos, em especial, Ana Luísa, Bruno, Daniel, Eduardo, Flávio, Joel, Leão, Lucas Campos, Lucas Dutra, Pedro Duarte, Pedro Parreira, Rodrigo, Taynan e Victor. Agradeço ao Derek e Adrian da CADFEM UK e Rodrigo, Antônio e Jovani, da Wikki Brasil, por permitirem minha percepção do CFD na indústria. Por fim, agradeço à CAPES pela oportunidade de estudar no exterior, e ao CNPq pelo fomento à pesquisa na UFF.

O presente trabalho objetiva o estudo de instabilidades interfaciais à partir da análise nu-mérica aplicada a escoamentos bifásicos em dutos. A busca constante do desenvolvimento de novos métodos para predição da transição dos padrões (ou regimes) de escoamento é a sua principal motivação. O escopo se resume em validar os resultados numéricos de esco-amentos bifásicos estratificados em canais bidimensionais com resultados na literatura para que, a partir daí, se possa estudar a propagação de ondas interfaciais com base na teoria de estabilidade linear, excitando o escoamento com perturbações de amplitude, comprimento e frequência previamente calculados. Para tal, utiliza-se o método Volume of Fluid (Volume de Fluido, ou VOF) para o tratamento das fases e das tensões interfaciais, considerando escoamento isotérmico. Este projeto conta com o auxílio do software de fluidodinâmica computacional (CFD) OpenFOAM, de código aberto, para simulação dos casos.

ABSTRACT

The present work is a study of the numerical analysis applied to two-phase flows in ducts. Its main motivation is the constant search on creating new methods for the flow patterns prediction. Results achieved for two-dimension numerical analysis of two-phase stratified channel flows are validated with literature, followed by a study of interfacial wave propaga-tion based in the linear stability analysis, exciting the flow with disturbances of amplitude, length and frequency previously calculated. The Volume of Fluid method will be used to both phases and the interface stress treatment. The Computational Fluid Dynamics (CFD) open source software OpenFOAM is used to run all the cases.

1.1 Mapa de regimes para escoamentos bifásicos proposto por [1] e modificado

por [22]. Fonte: [25] . . . 20

1.2 Representação esquemática dos padrões de escoamentos bifásicos em canais horizontais. Fonte: [12] . . . 21

2.1 Malha computacional estruturada. Fonte: http://www.innovative-cfd.com/cfd-grid.html. Acessado em: 12/05/2017 . . . 23

2.2 Fração volumétrica α para um arco circular numa malha estruturada. Fonte: [21] . . . 29

2.3 Duas fases separadas por uma interface. Fonte: [11] . . . 30

2.4 Volume de controle contendo a interface. Fonte: [11] . . . 31

2.5 Reconstrução da interface pelo esquema PLIC. Fonte: [16] . . . 33

2.6 Volume de controle centrado em xP. Fonte: [10] . . . 33

2.7 Interpolação em uma das faces do volume VP. Fonte: [10] . . . 36

2.8 Algoritmo PIMPLE de acoplamento pressão-velocidade. . . 42

3.1 Imagem indicativa dos contornos na geometria do canal. . . 56

3.2 Representação esquemática do campo escalar α para o caso A em regime permanente (exagero horizontal 1:10). . . 56

3.3 Representação esquemática do campo de velocidade para o caso A em re-gime permanente (exagero horizontal 1:10). . . 57

3.4 Validação do caso A em regime estacionário pra altura da interface H ao longo do canal. . . 58

3.5 Validação do caso A em regime estacionário para velocidade máxima ao longo do canal. . . 59 3.6 Malhas computacionais com 120 (esquerda) e 160 (direita) elementos na

direção transversal. . . 60 3.7 Representação esquemática do campo escalar α a jusante para o caso B. . . 61 3.8 Representação esquemática do campo de velocidade na direção y a jusante

para o caso B em t = 200.6 (acima) e t = 202.6 (abaixo). . . 61 3.9 Gráfico ωix αrda análise de estabilidade temporal. . . 62 3.10 Gráfico −αi x ωrobtido pela relação de Gaster. . . 63 3.11 Variação do termo forçante SF em função da altura do canal y, para A

cons-tante. . . 64 3.12 Teste de convergência do periodograma obtido na análise por PSD para a

componente v da velocidade à meia altura do canal à jusante com termo forçante de amplitude 10−3. . . 66 3.13 Perfil da componente de velocidade na direção y à jusante do canal no

ins-tante t = 1160 para perturbação de amplitude 10−3. . . 66 3.14 Periodograma obtido na análise por PSD para a componente v da velocidade

à meia altura do canal à jusante com termos forçantes de amplitudes 10−3, 1 e 10. . . 67 3.15 Perfil da componente de velocidade na direção y à jusante do canal no

ins-tante t = 1000 para perturbação de amplitude 10. . . 67 3.16 Perfil da fração volumétrica α à jusante do canal no passo de tempo t = 1000

para perturbação de amplitude 10. . . 68 3.17 Perfil da componente de velocidade na direção y à jusante do canal para os

passos de tempo t = 756, 849 e 922 respectivamente, para perturbação de amplitude 1. . . 68

Símbolos Alfabéticos

n vetor unitário normal à superfície g vetor aceleração da gravidade H altura do canal

p pressão

F r número de Froude Re número de Reynolds W e número de Weber q vetor de variáveis fluidas t tempo

u vetor velocidade

u, v, w componentes da velocidade em x, y and z x, y, z coordenadas Cartesianas

x vetor posição k constante

Símbolos Gregos

α difusividade térmica média ou número de onda β número de onda

 parâmetro de perturbação ν viscosidade cinemática σ tensão superficial φ variável genérica

ρ massa específica ω frequência angular

Subscritos l líquido g gasoso

i interface ou parte imaginária m médio

r parte real

Sobrescritos

∗ variáveis adimensionais

Lista de Siglas

CF D Computational Fluid Dynamics V OF Volume of Fluid

M U LES Multidimensional Universal Limiter with Explicit Solution SIM P LE Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations P ISO Pressure Implicit with Splitting of Operator

CSF Continuous Surface Force P SD Power Spectral Density DF T Discrete Fourier Transform

1. INTRODUÇÃO . . . 18 1.1 OBJETIVO . . . 18 1.1.1 Regimes de Escoamento . . . 19 1.2 ABORDAGENS . . . 22 2. METODOLOGIA . . . 23 2.1 FLUIDODINÂMICACOMPUTACIONAL . . . 23

2.1.1 Método de Volumes Finitos . . . 23

2.1.2 Métodos de Solução para Escoamentos Bifásicos . . . 28

2.1.3 Abordagem Numérica . . . 33

2.2 OPENFOAM . . . 42

2.2.1 interFoam . . . 43

2.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADELINEAR . . . 44

2.3.1 Estabilidade Hidrodinâmica . . . 44

2.3.2 O cenário modal . . . 47

2.3.3 Perturbações em um escoamento paralelo . . . 48

3. RESULTADOS . . . 55

3.1 TESTES DE VALIDAÇÃO POR CFD . . . 55

3.2 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR PARA ESCOAMENTOS BIFÁSICOS EM DUTOSBIDIMENSIONAIS . . . 62

3.3 ESTUDO DEONDASFORÇADAS . . . 63

3.3.1 Definição do Termo Forçante . . . 64

3.3.3 Discussão dos Resultados . . . 68

4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES DE TRABALHOS FUTUROS . . . 70

1 INTRODUÇÃO

Escoamentos bifásicos são aqueles onde dois fluidos interagem entre si. Podem ser es-coamentos compostos por dois fluidos diferentes (miscíveis ou não), ou o mesmo fluido em dois estados diferentes. Tais escoamentos se fazem presentes na natureza ao nosso redor, como chuvas, mares, ciclones, etc. e também são recorrentes em diversos setores da indús-tria. Alguns exemplos podem ser encontrados em destiladores, misturadores siderúrgicos, reatores químicos e nucleares, entre outros. O campo a ser explorado neste projeto diz res-peito ao transporte de água e óleo em dutos, escoamento típico de extrações na indústria de óleo e gás. Durante a produção de petróleo, é comum a produção simultânea de água advinda da jazida subterrânea de petróleo (reservatório petrolífero). O uso de simulações numéricas com complemento dos cálculos teóricos para previsão desses escoamentos é de extrema complexidade devido à ausência de um modelo que represente com precisão a inte-ração entre as fases, e requerem elevado custo computacional. Por sua vez, o estudo destes escoamentos tem crescido cada vez mais devido à sua capacidade de otimizar os processos de produção. Especificamente, a transição dos padrões de escoamento são de suma importância no cálculo das forças de arrasto interfacial. O pacote de CFD OpenFOAM é utilizado para realização das simulações bidimensionais - além das ferramentas de análise de estabilidade linear - na intenção de se estudar as instabilidades hidrodinâmicas presentes no escoamento estratificado de fases separadas em canais, como o mecanismo responsável pela transição de regime.

1.1 OBJETIVO

O objetivo geral deste projeto é estudar, a partir de ferramentas numéricas, a predição e o comportamento de perturbações capazes de provocar a transição de padrão (estratificado

19

para ondulado e golfadas) a partir dos artigos científicos de [7] e [19]. Também vale observar o custo computacional das análises, que é um obstáculo hoje em dia na simulação de esco-amentos bifásicos. Para o estudo detalhado deste tipo de escoamento são analisados dois casos em um canal bidimensional, cada um deles com uma altura de entrada diferente para a interface. O domínio computacional é definido com a finalidade de validar resultados por comparação de acordo com [7].

1.1.1 Regimes de Escoamento

Entende-se como escoamento bifásico o fluxo simultâneo de dois fluidos que podem ser imiscíveis ou não. O conceito estende-se ao escoamento de fluidos de fase única, por exem-plo, o escoamento água-óleo, onde ambas as fases são líquidas, porém ainda assim considera-se fluxo bifásico devido à imiscibilidade dos componentes. A transição entre regimes considera-se dá pela condição de instabilidade interfacial de um certo padrão para dadas condições do escoa-mento. Um dos pioneiros no avanço do estudo dos padrões de regime foi [1]. O mesmo foi o primeiro a desenvolver um mapa de regimes de escoamento em função dos fluxos mássicos de cada fase. [22] atualizou este mapa, que serviu como base para muitas das pesquisas por vir durante o fim do século XX.

A Figura 1.1 ilustra o mapa de regimes para escoamentos bifásicos em dutos horizontais, documentado em [25].

Figura 1.1: Mapa de regimes para escoamentos bifásicos proposto por [1] e modificado por [22]. Fonte: [25]

Onde Gg representa o fluxo mássico da fase gasosa e GL o da fase líquida. As demais variáveis adimensionais são:

ϕ =  ρg 0.075  ρl 62.3 1/2 ; k =  73 σ  µl  62.3 ρl 21/3 (1.1)

Pelos seguintes anos, alguns pesquisadores investiram seu tempo na proposição de novos modelos para determinar os limites de transição destes regimes com maior precisão, como [23], [26] e [2]. Estes trabalhos apresentam métodos semi-analíticos para a previsão destes limites: teorias simplificadas com constantes calibradas através de experimentos.

Os regimes (ou padrões) de escoamentos bifásicos podem ser classificados de acordo com sua disposição geométrica em canais, o que seria análogo à classificação dos regimes de turbulência em escoamentos monofásicos. A Figura 1.2 ilustra os possíveis padrões en-contrados em canais horizontais.

21

Figura 1.2: Representação esquemática dos padrões de escoamentos bifásicos em canais ho-rizontais. Fonte: [12]

Tais regimes podem ser separados em três padrões primários, a saber: separado, intermi-tente e disperso [12].

Regimes Separados

Em escoamentos separados, as fases possuem corrente de fluxo contínuo e estão se-paradas por uma interface bem definida. Este tipo de padrão pode ser subclassificado em estratificado liso, ondulado, semi-anular e anular. Suas diferenças podem ser associadas às características físicas do sistema como a vazão de cada fase e as dimensões do canal.

Regimes Intermitentes

Os regimes intermitentes são caracterizados pela combinação dos dois demais regimes (disperso e separado) respeitando determinado período entre eles. Este tipo de regime pode ser subclassificado como golfadas e bolha alongada.

Regimes Dispersos

Escoamentos com fase dispersa possuem um dos componentes em forma de bolhas ou partículas dispersas em uma fase contínua. As formas e trajetórias das bolhas são resultantes de efeitos de tensão superficial, viscosidade, inércia e empuxo [25]. Também podem ser subclassificados em bolhas uniformes e distorcidas.

1.2 ABORDAGENS

Durante as últimas décadas do século XX, alguns autores consideraram o estudo de ins-tabilidades interfaciais a partir de abordagens unidimensionais para escoamentos bifásicos, como [23], [13] e [3]. Tais métodos assumiam simplificações do perfil de velocidades a partir de médias das propriedades dos fluidos nas seções transversais. O sucesso de tais métodos se deu por conta de correlações heurísticas adicionais para derivação dos termos de arraste interfaciais e de parede, além de seu baixo custo computacional. Estes termos eram calibrados à partir de uma série de experimentos que promoviam resultados razoáveis para determinada variedade de escoamentos. Contudo, com o passar dos anos e o desen-volvimento da tecnologia, modelos de previsão mais realistas começaram a ser abordados. Modelos apresentados por [18] e [4], por exemplo, consideram a discretização da equação de momentum do sistema separadamente para cada fase, acoplados por condições de interface, resultando em um problema de auto-valores para perturbações unidimensionais. Apesar de sua aplicabilidade limitada (como escoamentos em canais planos e anulares concêntricos), estas modelagens abrem as portas para o estudo e desenvolvimento de novas abordagens para lidar com o crescimento/decaimento das ondas de instabilidade.

2 METODOLOGIA

2.1 FLUIDODINÂMICACOMPUTACIONAL

As simulações em CFD fundamentam-se na solução das equações conservativas advindas da teoria de fenômenos de transporte a partir de técnicas computacionais, matemáticas e numéricas. São inúmeras as utilidades industriais e acadêmicas que as análises por CFD trazem, e estão cada vez mais robustas e acuradas.

2.1.1 Método de Volumes Finitos

Devido à inviabilidade de se estudar escoamentos molécula por molécula, sem um tra-tamento estatístico, a análise por CFD assume a hipótese do contínuo para sua solução. Tal hipótese admite que os fluidos são meios contínuos, partindo do princípio que suas pro-priedades são constantes para um pequeno volume. Este é o ponto de partida do método de volumes finitos: a decomposição do domínio computacional em pequenos volumes de controle os quais alojam as variáveis de estudo na denominada malha. Os nós onde são armazenadas as variáveis localizam-se no centro ou nos vértices dos volumes de controle.

Figura 2.1: Malha computacional estruturada. Fonte: http://www.innovative-cfd.com/cfd-grid.html. Acessado em: 12/05/2017

Equações Conservativas

As equações conservativas que regem o problema, partem da conservação de um campo (escalar ou vetorial) φ(x, t) num volume genérico V através da seguinte integral:

d dt

Z

V (t)

ρφdV (2.1)

Segundo o Teorema de Transporte de Reynolds, esta integral pode ser definida como:

d dt Z V (t) ρφdV = Z V (t) ∂ρφ ∂t dV + Z A(t) ρφ(u · n)dA (2.2)

Onde u é a velocidade deste volume e n o vetor normal à superfície A.

Definindo-se u como sendo a velocidade de um volume de fluido Vf e uc a velocidade de um volume de controle Vc, pode-se reescrever a equação 2.1 pra cada um desses volumes num instante t onde os volumes coincidam e subtraí-las, chegando à seguinte expressão:

d dt Z V (t) ρφdV = d dt Z Vc(t) ρφdV + Z Ac(t) ρφ[(u − uc) · n]dA (2.3)

Sabe-se que pelos princípios de conservação, a massa de um volume de fluido não se altera no tempo. Sendo assim:

dmVf dt = 0 ⇒ d dt Z Vf(t) ρdV = 0 (2.4)

Pela definição verificada anteriormente (2.2):

d dt Z Vc(t) ρdV + Z Ac(t) ρ[(u − uc) · n]dA = 0 (2.5)

25

Esta então é a forma integral da lei de conservação mássica, que por sua vez representa o balanço global de massa por unidade de tempo. Para se obter o princípio de conservação integral para o momentum, parte-se da segunda lei de Newton aplicada a um sistema de partículas discretas.

P = ΣFext= d

dtΣimiui (2.6)

Onde P é o momentum e ΣFexté o somatório das forças externas agindo sobre as partículas. Analogamente, para um volume de fluido, estende-se a interpretação para um número infinito de partículas de massa dm = ρdV de modo que:

P = d dt

Z

Vf(t)

ρudV (2.7)

Inicialmente, desconsiderando-se a tensão superficial, as forças externas que agem sobre um sistema fluido são forças de superfície e de corpo:

ΣFext= Z Af(t) fAdA + Z Vf(t) ρfmdV (2.8)

Onde fAsão as forças de superfície que, no caso, podem ser descritas pelo produto escalar do tensor tensão τ com a normal exterior, n, e fmsão as forças de corpo (ou de campo) presentes no problema - em geral representado pela aceleração gravitacional fm = (0, 0, −g). Logo, pode-se reescrever as equações acima da seguinte forma:

d dt Z Vf(t) ρudV = Z Af(t) τ · ndA + Z Vf(t) ρfmdV (2.9)

d dt Z Vc(t) ρudV + Z Ac(t) ρu[(u − uc) · n]dA = Z Ac(t) τ · ndA + Z Vc(t) ρfmdV (2.10)

Esta equação indica que a taxa de variação no tempo da quantidade de movimento em um volume de controle Vcacrescida do fluxo líquido da quantidade de movimento através da superfície equivale à ação das forças de corpo e de superfície sobre este mesmo volume.

Deve-se então reescrever a equação 2.9 transformando as integrais de superfície em inte-grais de volume. De acordo com o Teorema de Gauss:

Z V ∇ · F dV = Z A F · ndA (2.11)

sendo V um subconjunto compacto de R, com uma fronteira A, C∞por partes. Uma curva é dita C∞ por partes se ela pode ser separada em segmentos infinitamente diferenciáveis. Isto é, se ela tem derivadas contínuas de todas as ordens. Por fim, F representa um campo vetorial continuamente diferenciável definido em uma vizinhança de V .

Desta forma, recorrendo-se novamente ao teorema do transporte (2.2) para o lado es-querdo da equação 2.9, em conjunto com a definição explicitada acima, tem-se que:

Z Vc(t) ∂ρu ∂t dV + Z Vc(t) ∇ · (ρuu)dV = Z Vc(t) ∇ · τ dV + Z Vc(t) ρfmdV (2.12)

O que equivale a dizer que:

Z Vc(t)  ∂ρu ∂t + ∇ · (ρuu) − ∇ · τ − ρfm  dV = 0 (2.13)

Por se tratar de um volume de controle arbitrário, pode-se dizer que esta integral só é nula se seu integrando for nulo, ou seja:

27

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) − ∇ · τ − ρfm = 0 (2.14)

Para um campo de velocidade u, nulo, o tensor tensão τ é considerado isotrópico, e assume o valor da tensão estática p.

τ =       −p 0 0 0 −p 0 0 0 −p       = −pI

Contudo, na presença do campo de velocidade, este tensor apresenta termos adicionais devido às tensões viscosas, τ0, então o tensor tensão é generalizado da seguinte forma:

τ = −pI + τ0 (2.15)

O tensor τ0, também conhecido como tensor tensão viscosa é responsável pela força de fricção a qual o fluido é submetido.

Para fluidos Newtonianos, tem-se a seguinte equação constitutiva:

τ0 = µ∇u + (∇u)T − 2

3(∇ · u)I 

(2.16)

Por fim, apresenta-se a equação que descreve a conservação de momentum de um sistema para escoamento de uma única fase:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ 0

+ ρfm (2.17)

Os detalhes desta demonstração podem ser encontrados em [17] e [8].

2.1.2 Métodos de Solução para Escoamentos Bifásicos

Tratando-se de escoamentos isotérmicos de dois fluidos genéricos, as grandezas físicas analisadas são a massa e o momentum. O maior desafio dos escoamentos multifásicos está no tratamento da interface, ou seja, na captura do local onde ocorrem as descontinuidades de propridades e tensões. Existem diferentes métodos para se abordar o problema, os quais podem convergir a uma solução mais exata dependendo das condições a nível de escoa-mento. A abordagem Euleriana-Lagrangiana calcula a solução da fase contínua com base na abordagem Euleriana (resolve as equações conservativas de massa e momentum), enquanto calcula-se o movimento da fase dispersa (podendo conter particulas sólidas em suspensão ou gasosa) com base na 2alei de Newton. Então, os efeitos das partículas sobre o campo de escoamento da fase contínua são calculados em um procedimento iterativo. A abordagem Euleriana-Euleriana por sua vez faz uso das equações de conservação de massa e momen-tum médias para descrever os campos dinâmicos de ambas as fases, dispensando a escala molecular. Ela é baseada na promediação das equações de conservação usando médias volu-métricas. O presente projeto terá ênfase na metodologia VOF, que nada mais é do que uma adaptação do modelo de dois fluidos Euler-Euler. Ela se trata de uma modelagem que captura a interface por meio de um campo escalar α que indica a fração volumétrica de determinada fase em cada célula do domínio. Assim sendo, dispensa-se a necessidade de resolução de duas equações conservativas de momentum, uma para cada fluido, considerando-se um único fluido que altera suas propriedades ao cruzar a interface. Num caso bifásico, α = 1 representa a fase 1 e α = 0 representa a fase 2. Valores intermediários a esses correspondem às celulas que contém a interface entre os 2 fluidos. A Figura 2.2 ilustra a representação de dois fluidos imiscíveis numa malha ortogonal.

29

Figura 2.2: Fração volumétrica α para um arco circular numa malha estruturada. Fonte: [21]

A interface é construída por meio do cálculo da fração volumétrica média, sendo sua direção definida pela interpolação entre as células vizinhas. Além disso, se a interface for minimamente curva, a tensão interfacial produzirá um salto de pressão entre as fases. Essa tensão é acrescida como termo fonte na equação de conservação de momentum.

O balanço de massa para cada fase tem a seguinte forma:

∂ρ

∂t + ∇ · (ρu) = 0 (2.18)

Para a equação do momentum nesta modelagem, é necessário que se entenda alguns conceitos de interface.

Seja S uma superfície entre fluidos representada por todos os pontos que satisfazem a função L(x, t) = 0. Ou seja, refere-se a uma das fases para L > 0 e a outra para L < 0. Por convenção, considere para o primeiro caso a fase 1 e para o segundo a fase 2. O vetor unitário n (Figura 2.3), normal à interface é dado por:

n = − ∇L

Figura 2.3: Duas fases separadas por uma interface. Fonte: [11]

Para casos onde não há transferência de massa entre as fases, a única entidade capaz de mover a interface S é o próprio movimento do fluido. Vale ressaltar que apenas a velocidade normal à interface é capaz de alterar sua forma. Tais fatores equivalem a dizer que a derivada material da função L é nula.

DL Dt = ∂L ∂t + u · ∇L = 0 (2.20) Aplicando a equação 2.19 em 2.20: ∂L ∂t − u · n|∇L| = ∂L ∂t − us|∇L| = 0 (2.21)

sendo usa componente da velocidade u normal à superfície.

Considerando-se um volume de controle de espessura infinitesimal δS → 0 (Figura 2.4) cobrindo parte da interface, fino o suficiente para impossibilitar o acúmulo de massa, pode-se assumir pelo princípio de conservação da massa que:

ρ(u1· n − uS) = ρ(u2· n − uS) = 0 (2.22)

31

uS = u1 · n = u2· n (2.23)

Ou seja, em escoamentos viscosos onde não há transferência de massa, nota-se que não há deslizamento entre as fases e as componentes tangenciais das velocidades são equivalen-tes.

Figura 2.4: Volume de controle contendo a interface. Fonte: [11]

O balanço de momentum segue a mesma modelagem discutida na equação 2.17, com o acréscimo de um termo fonte representando as interações interfaciais:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ 0

+ ρfm+ fσ (2.24)

Segundo [16], a força fσ que age sobre uma interface é proporcional à tensão superficial σ (constante) tangente a esta superfície. A grosso modo, baseado nas condições de contorno da interface, pode-se dizer que esta força representa o salto de tensão na mesma:

[(p1− p2)I + (τ20 − τ 0

1)] · n = σκn (2.25)

por:

κ = ∇ · n (2.26)

Portanto, a equação conservativa de momentum assume a seguinte forma:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ 0

+ ρfm+ σκnδ(n) (2.27)

Na equação 2.27, o termo δ(n), ou delta de Dirac, é uma função que assume valor nulo para qualquer ponto localizado fora da interface, enquanto assume valor unitário para pontos localizados dentro da mesma. Trata-se de uma modelagem baseada na Força de Superfície Contínua (CSF) proposto por [5] para representar o salto de pressão de forma mais suave, proporcionando melhor solução numérica. Deste modo o termo fonte de tensão atua apenas na região interfacial, apontando na direção normal à interface.

Vale ressaltar que o cálculo das propriedades nos locais onde a interface se faz presente é baseado na média das propriedades de ambos os fluidos, ponderada pelo campo escalar α:

ρi = αρ1+ (1 − α)ρ2, (2.28)

µi = αµ1+ (1 − α)µ2 (2.29)

Maiores detalhes destas deduções podem ser encontrados em [17] e [16].

Na modelagem VOF, um dos principais esquemas de captura da interface é o PLIC (Piecewise-Linear Interface Calculation). Primeiramente este método estima o vetor normal à interface dentro de uma célula computacional baseado nas frações de fase α do contorno desta célula. A interface é então projetada linearmente na célula (Figura 2.5), e a fração de fase atualizada devido à advecção da interface.

33

Figura 2.5: Reconstrução da interface pelo esquema PLIC. Fonte: [16]

2.1.3 Abordagem Numérica

Com base no método de volumes finitos, as equações conservativas que regem o pro-blema são integradas com relação ao espaço e ao tempo. No caso, são realizadas discreti-zações temporal e espacial em volumes de controle a fim de calcular tais integrais numeri-camente. Para melhor entendimento deste cálculo, considere o volume de controle centrado em xP da Figura 2.6:

Figura 2.6: Volume de controle centrado em xP. Fonte: [10]

Em que N é um ponto centralizado num volume vizinho e Sf o vetor normal à face f , com magnitude equivalente à área desta face.

A fim de se discretizar um campo genérico φ por um método de segunda ordem, o cálculo deste campo num ponto qualquer no espaço x, num instante qualquer t tem a seguinte forma:

φ(xN) = φp+ (xN − xP).(∇φp), (2.30) φ(t + ∆t) = φt+ ∆t ∂φ ∂t t (2.31) Onde φp = φ(xp), (2.32) φt= φ(t) (2.33)

Estes, apesar de lineares, são termos considerados de segunda ordem pois quando com-parados com a expansão de Taylor verifica-se que os erros de truncamento são de ordem (x − xp)2 e (∆t)2respectivamente.

Para uma boa convergência dos resultados, é recomendado que a ordem de discretização seja igual ou maior que a ordem da equação a ser discretizada. Em contrapartida, sabe-se também que métodos de menor ordem são considerados mais estáveis - apesar da introdu-ção de difusão numérica - portanto esta escolha deve ser ponderada pela complexidade dos cálculos e o grau de acurácia que se deseja obter das simulações.

[15] discutiu sobre a formulação das equações conservativas de forma generalizada:

∂(ρφ) ∂t | {z } Derivada temporal + ∇ · (ρφu) | {z } Termo convectivo = ∇ · (Γ∇φ) | {z } Termo difusivo + S |{z} Termo fonte (2.34)

Onde Γ é o coeficiente de difusão da variável transportada φ.

À seguir, encontram-se as principais formulações para cálculo dos termos da equação de conservação generalizada [10] - equação tal considerada de segunda ordem devido ao laplaciano de φ presente no termo de caráter difusivo para Γ constante.

35

Discretização Espacial

Termo de Derivada Temporal

A idéia é que se integre os termos com relação ao volume VP. Assumindo-se que os volumes estão fixos no domínio (não variam com o tempo), pode-se dizer que:

Z VP ∂(ρφ) ∂t dV = ∂(ρφ) ∂t Z VP dV = ∂(ρφ) ∂t VP (2.35) Termo Convectivo

Primeiro aplica-se o Teorema de Gauss à integral do termo sobre o volume VP:

Z VP ∇ · (ρφu)dV = Z SP ∇ · (ρφu)dS (2.36)

Em seguida, obtém-se o fluxo F na interface entre volumes interpolando o valor dos campos dos centróides vizinhos.

F = Sf · (ρu)f (2.37)

A integral é então aproximada para o somatório do valor dos campos médios no centro de cada face: Z SP ∇ · (ρφu)dS ≈X f Sf · (ρu)fφf = X f F φf (2.38)

Existem diferentes métodos para interpolação dos valores das propriedades na face. A Figura 2.7 apresenta o esquema de diferença central, caracterizado pela interpolação linear dos campos.

Figura 2.7: Interpolação em uma das faces do volume VP. Fonte: [10]

[15], por sua vez, notou que este esquema causa oscilações não-físicas na solução de problemas dominados pelo termo convectivo. Sendo assim, um dos esquemas de maior sucesso propostos devido à sua estabilidade numérica chama-se Upwind Differencing. Nele, o valor do campo no volume é replicado para a face onde aponta o fluxo. Ou seja, para F ≥ 0, φf = φP, enquanto que para F < 0, φf = φN (F aponta no sentido de P para N ).

Termo Difusivo

De maneira equivalente, o termo difusivo pode ser aproximado para a seguinte forma discretizada: Z VP ∇ · (Γ∇φ)dV = Z SP (Γ∇φ) · dS ≈X f Γf(Sf · ∇fφ) (2.39) Termo Fonte

O termo fonte parte da expansão de Taylor em função de φ truncada nos termos de se-gundo grau:

S = SU+ SRφ (2.40)

Integrando sobre o volume VP, portanto:

Z

VP

37

É recomendado que sejam atribuídos apenas valores negativos a SRpara garantir a esta-bilidade da simulação [15] e que este termo seja tratado de forma implícita [10].

Discretização Temporal

Uma vez realizada a discretização espacial dos termos considerados nesta seção, pode ser apresentada a forma semi-discretizada da equação de transporte:

Z t+∆t t  ∂(ρφ) ∂t VP + X f F φf  dt = Z t+∆t t  X f Γf(Sf · ∇fφ) + SUVP + SRφVP  dt (2.42)

Se tratando de discretizações de volumes finitos, os métodos de discretização temporal mais utilizados dentre os contidos na literatura são os de Euler e Crank-Nicolson.

Termo de Derivada Temporal

De acordo com a equação 2.31, tratando a densidade ρ como uma constante, tem-se que:

Z t+∆t t ∂(ρφ) ∂t VPdt = ρ(φ n+1_{− φ}n )VP (2.43) Termo Convectivo Considerando que: Z t+∆t t φ(t)dt = 1 2(φ n_{+ φ}n+1_)∆t (2.44)

Então a integral do termo convectivo no tempo pode ser discretizada da seguinte forma:

Z t+∆t t X f F φfdt = 1 2  X f F φn+1_f +X f F φn_f  ∆t (2.45)

Termo Difusivo

Seguindo a mesma linha de raciocínio empregada na derivação do termo convectivo:

Z t+∆t t X f Γf(Sf · ∇fφ)dt = 1 2  X f ΓfSf · (∇fφ)n+1+ X f ΓfSf · (∇fφ)n+1  ∆t (2.46) Termo Fonte Analogamente: = Z t+∆t t SUVP + SRφVPdt = 1 2[SUVP + SRVP(φ n+1_{+ φ}n_{)]∆t (2.47)}

O agrupamento destes termos representa a discretização temporal de segunda ordem de Crank-Nicolson: ρ(φn+1− φn_)V P ∆t + 1 2  X f F φn+1_f +X f F φn_f  = 1 2  X f ΓfSf · (∇fφ)n+1+ X f ΓfSf · (∇fφ)n  +1 2[SUVP + SRVP(φ n+1_{+ φ}n_)] (2.48)

Como φf e ∇fφ dependem unicamente do valor de φ no ponto P e seus N vizinhos, a equação 2.48 resulta na seguinte equação algébrica:

aPφnP + X

N

aNφN = RP (2.49)

39

Aφ = R (2.50)

Onde aP representa a contribuição de todos os termos associados à variável φ no ponto P, enquanto aN refere-se aos coeficientes relacionados à φ na vizinhança. Já RP é o termo explícito o qual independe de φ. [A] é uma matriz esparsa (dominada pelos elementos dia-gonais e seus adjacentes), [φ] é o vetor das variáveis e [R] o vetor dos termos fonte.

Apesar do método de Crank-Nicolson ser incondicionalmente estável, ele ainda pode apresentar oscilações não-físicas do campo. Em contrapartida, o método de Euler implícito é de primeira ordem, porém incondicionalmente estável e imune às oscilações:

ρ(φn+1− φn_)V P ∆t + X f F φn_f =X f ΓfSf · (∇fφ)n+ SUVP + SRVPφn (2.51) Solução do Escoamento

Para a solução do escoamento deve-se atentar à não linearidade da equação de momentum devido ao termo convectivo ∇ · (uu). Neste termo, pode-se dizer que a velocidade “está sendo transportada por ela mesma“. Sua discretização portanto é quadrática na velocidade, resultando num sistema algébrico de equações não-lineares. Existem duas formas de tratar este obstáculo. Uma delas é linearizar o termo convectivo, a outra é usar métodos de solução não-lineares. A complexidade e o elevado custo computacional das soluções não-lineares faz com que seja preferível a linearização do termo, implicando que um campo de velocidades já existente num passo de tempo anterior seja utilizado para a solução no passo de tempo presente. Este método de solução (iterativo) tem a seguinte forma:

∇ · (uu) ≈ ∇ · (unun+1) (2.52)

soluções. O campo de pressão deve ser conhecido para se obter o campo de velocidades a partir da equação discretizada de momentum. No entanto, não existe uma equação separada que calcule explicitamente a pressão. Para contornar este problema, a solução é inicializada com um ”chute“ inicial para os campos de pressão e velocidade. Uma vez calculado o novo campo de velocidades no instante seguinte, verifica-se o erro de continuidade. Se este erro for maior do que a tolerância proposta, a pressão é corrigida e por conseguinte, a velocidade [6]. Para recalcular a pressão dado o novo campo de velocidades determinado, a forma semi-discreta da equação do momentum (2.49) é disposta em função do gradiente de pressão:

aPuP = H(u) − ∇p (2.53)

O termo H(u) inclui a matriz dos coeficientes de todos os volumes vizinhos (aN) multi-plicados pelas suas respectivas velocidades (uN) e todos os termos fonte inclusos na mode-lagem à excessão do gradiente de pressão.

Este processo iterativo é denominado acoplamento pressão-velocidade. Diversos méto-dos de acoplamento pressão-velocidade foram propostos, dentre eles os mais revelantes são SIMPLE, PISO e PIMPLE [24].

SIMPLE

O método SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) proposto por [14] é um algoritmo iterativo proposto para solução de escoamentos em regime permanente que opera da seguinte forma:

• Dada uma estimativa inicial, um campo de velocidades é aproximado pela equação do momentum - a qual conta com um parâmetro de relaxação.

• Determina-se H(u) e um novo campo de pressão é então estimado a partir da equação 2.53.

41

pn+1 = pn+ αp(pp− pn) (2.54)

Onde pn+1é a nova aproximação do campo de pressão que será utilizada na próxima iteração (n+2), pné o campo de pressão usado no cálculo da velocidade no instante n, pp é a solução da equação 2.53 no instante n+1 e αp o parâmetro de relaxação da pressão, (0 < αp ≤ 1).

O campo de velocidades neste algoritmo não necessariamente obedece a continuidade. Por isso a pressão deve ser recalculada (apesar de se tratar de uma contribuição não-física) [10]. Nota-se que, apesar de ser um algoritmo para regimes estacionários, o mesmo segue um processo iterativo no tempo que não necessariamente satisfaz as condições de acoplamento - de fato, só há interesse na solução convergida.

PISO

O algoritmo para solução de escoamentos transientes PISO (Pressure Implicit with Split-ting of Operatorsproposto por [9] segue o seguinte passo a passo:

• Dada uma estimativa inicial, um campo de velocidades é aproximado pela equação do momentum.

• Calcula-se H(u) para resolver a equação da pressão (2.53). • Os fluxos do instante n+1 são calculados à patir da nova pressão. • O campo de velocidades é corrigido explicitamente.

Se o quarto item não estiver convergido, é feito um loop do segundo ao quarto item até que a solução convirja. Este método visa uma melhor estimativa para correção do fluxo, utilizando dois níveis de correção por meio de iterações internas. Por isso ele é recomendado para regimes transientes.

O presente trabalho faz uso do algoritmo PIMPLE para acoplamento pressão-velocidade. O mesmo se trata de um híbrido entre os dois algoritmos citados anteriormente. Sua essência é basicamente convergir para um estado estacionário para cada instante de tempo, através de

fatores de relaxação e loopings não só para a correção da pressão, mas também para a solução como um todo. A Figura 2.8 ilustra o algoritmo PIMPLE, considerando que os loops cessam somente se os erros dos campos são menores que as tolerâncias pré-estabelecidas.

Figura 2.8: Algoritmo PIMPLE de acoplamento pressão-velocidade.

Colocação de Variáveis

Existem diferentes formas de se tratar uma malha no que diz respeito ao alojamento de variáveis. Cada uma delas tem sua peculiaridade quanto à estabilidade e a memória de ar-mazenamento que demanda. Para o método de volumes finitos, malhas do tipo colocada são aquelas onde todas as variáveis são alojadas no centro do volume de controle. Este tipo de colocação pode gerar instabilidades no campo de pressão, fazendo com que seja preferível a malha deslocada (staggered grid). Este tipo de colocação permite um forte acoplamento en-tre os campos de pressão e velocidade, pois são dispostas em lugares diferentes (deslocados) na malha.

2.2 OPENFOAM

O presente projeto fez uso do pacote de CFD OpenFOAM (Open source Field Operation And Manipulation) para realização das simulações computacionais. Trata-se de um grama em linguagem C++ de código aberto capaz de solucionar uma vasta variedade de

pro-43

blemas de CFD. Mais especificamente, o solver interFoam [27] desenvolvido para cálculo de escoamentos multifásicos com fases separadas representa a aplicação da metodologia VOF.

A plataforma emprega o uso de malhas colocadas e o método de volumes finitos para malhas estruturadas ou não. O mesmo dispõe diferentes métodos de solução para o sistema de equações algébricas, além da paralelização, onde as simulações podem ser distribuidas entre os processadores da máquina.

2.2.1 interFoam

No interFoam, o algoritmo para solução do transporte do escalar α é conhecido como MULES (Multi-Dimensionsal Limiter for Explicit Solution). Trata-se de um esquema al-gébrico para advecção de α, iterativo, baseado na técnica FCT (Flux Corrected Transport) para garantir o amortecimento de oscilações na solução de problemas hiperbólicos. No caso, [27] adiciona um termo de compressão artificial na equação do transporte de α para que a interface seja o menos dispersa possível, resultando em:

∂α

∂t + ∇ · (uα) + ∇ · [ucα(1 − α)] = 0 (2.55)

Onde o termo de compressibilidade ucatua somente na região interfacial. Também denomi-nado ”velocidade de compressão”, este termo é definido da seguinte forma:

uc = minCα|u|, max(|u|)  ∇α

|∇α| (2.56)

Por conveniência, a pressão neste solver é tratada separadamente da carga hidrostática, desta forma a inicialização do campo é facilitada. Assim sendo, a variável calculada na equações de momentum e pressão é:

Onde x é o vetor posição. O que permite reescrever a equação de momentum da seguinte forma:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = ∇ · (µ∇u) + ∇µ · ∇u − ∇prgh− gx∇ρ + fσ (2.58)

A força de tensão superficial que age interface tem forma

fσ = σκ∇α (2.59)

E a curvatura κ nada mais é do que o divergente do vetor normal à superfície, modelado em termos de α:

κ = ∇ · ∇α |∇α|



(2.60)

A fim de produzir perturbações locais contínuas no escoamento, o solver foi modificado para incluir um termo forçante na equação de momentum:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = ∇ · (µ∇u) + ∇µ · ∇u − ∇prgh− gx∇ρ + fσ+ SF (2.61)

Onde SF é o termo a ser acrescentado para provocar perturbações controladas no escoa-mento. Este termo será melhor descrito no capítulo de resultados.

2.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR

2.3.1 Estabilidade Hidrodinâmica

A teoria da estabilidade hidrodinâmica diz respeito à resposta de um escoamento laminar para uma perturbação de amplitude pequena ou moderada. Se a perturbação cresce de forma

45

a alterar o estado laminar do escoamento define-se o mesmo como instável. Esta teoria lida com a análise matemática da evolução de perturbações superpostas em um escoamento base laminar. Assumindo perturbações iniciais suficientemente pequenas, pode-se linearizar as equações que governam o fenômeno, o que resulta em um problema de autovalores.

Muitos dos conceitos usados em estabilidade linear têm sido herdados ou desenvolvidos conjuntamente com a teoria matemática de sistemas dinâmicos. Neste contexto, um sistema dinâmico é definido por um conjunto de equações diferenciais acopladas, e o estado do sistema é definido pelo vetor q que contém as variáveis dependentes do problema e verifica as equações. De acordo com Lyapunov, um estado de referência ¯q é chamado estável se, após a introdução de uma perturbação q qualquer, retorna a seu estado original.

Os princípios da análise de instabilidade linear aplicada ao movimento fluido se desen-volvem nesta seção considerando um escoamento de um único fluido incompressível e new-toniano, mas a teoria pode ser extendida a problemas mais complexos, como escoamentos bifásicos, que será abordada adiante.

Consideram-se as equações de conservação de momentum e massa:

∂u ∂t + u · ∇u + ∇p = 1 Re∇ 2_{u, (2.62)} ∇ · u = 0,

onde Re é o número de Reynolds baseado em um comprimento e velocidade caracterís-ticas do escoamento e na viscosidade cinemática. O estado é definido então pelo vetor q = (u, p)T_{. Como estado de referência, se toma uma solução estacionária das equações} (2.62), ¯q = (¯u, ¯p)T_{, também chamado escoamento base. Um campo fluido qualquer pode ser} agora escrito como a soma do escoamento base e uma perturbação q0:

Introduzindo esta decomposição nas equações (2.62), obtemos: ∂u0 ∂t + ¯u · ∇¯u + ¯u · ∇u 0 + u0· ∇¯u + u0· ∇u0+ ∇p0 = 1 Re∇ 2 u0, (2.64) ∇ · u0 = 0.

Separando os termos em uma parte linear e uma parte não linear em q0

NS0

(¯q, q0) = L(¯q, Re)q0+NL(q0), (2.65)

chega-se as chamadas equações em perturbações:

R∂q 0

∂t + L(¯q, Re)q 0

+NL(q0) = 0. (2.66)

Aqui, L é um operador função do escoamento base ¯q e suas derivadas espaciais e do nú-mero de Reynolds, que atua linearmente na perturbação q0, enquanto queNL(q0) contém as interações não-lineares entre as perturbações, que no caso de fluido incompressível aconte-cem unicamente através dos termos de advecção. As equações em perturbações juntamente com condições iniciais e contorno adequadas definem um sistema dinâmico, e governam a evolução no tempo das perturbações superpostas ao escoamento base.

No estudo da instabilidade hidrodinâmica, objetiva-se conhecer o comportamento de per-tubações de pequena magnitude comparadas com o escoamento base, considerando que estas são de amplitude infinitesimal no instante em que são introduzidas. Neste caso, q0 = O(ε) com ε  1, e então os termos não-lineares em (2.66) são da ordem ε2 e podem ser despre-zados:

q(x, y, z, t) = ¯q(x, y, z) + q0(x, y, z, t) para   1 (2.67)

Resultam assim as equações de Navier-Stokes linearizadas (Linearized Navier-Stokes Equations- LNSE), que podem ser escritas em forma matricial:

R∂q 0

∂t = L(¯q, Re)q 0

47

2.3.2 O cenário modal

A solução geral do sistema definido na equação 2.68 pode ser escrito como uma com-binação linear de seus respectivos modos próprios. O operador linear L contém, além de derivadas espaciais de primeira e segunda ordem, coeficientes dependentes do escoamento base. No caso mais geral possível, o escoamento base será uma função das três coorde-nadas espaciais, por exemplo ¯q = ¯q(x, y, z) para um sistema cartesiano. Para simplificar o problema, é possível separar o comportamento das perturbações com respeito ao tempo. Consequentemente, se introduz a forma modal das perturbações:

q0(x, y, z, t) ∼ ˆq(x, y, z)e−iωt. (2.69)

Substituindo a forma modal em (2.68), tem-se

−iωRˆq = Lˆq. (2.70)

Este é um problema de autovalores generalizado que governa a evolução temporal das per-turbações. As soluções não-triviais (ˆq 6= 0) deste problema estão relacionados com uma série de valores possíveis de ω (autovalores). Em geral, os autovalores são números complexos cuja parte real ωr é uma frequência circular relacionada com a frequência física de oscila-ção através de 2πf = ω e a parte imaginária ωi é uma taxa de crescimento temporal. Cada autovalor é associado a um autovetor (ou autofunção) ˆq que descreve a estrutura espacial do campo de perturbação relativa ao mesmo. O conjunto de autovalores e seus respectivos autovetores constituem os modos próprios do problema.

Todo escoamento para o qual os limites do domínio considerado no problema matemá-tico (2.70) sejam determinados por uma fronteira física, por exemplo paredes sólidas, terá um número infinito de modos próprios cujos autovalores tomarão valores discretos. À exces-são de alguns casos particulares, a solução de (2.68) deve ser obtida através da discretização do sistema de equações governantes. Independentemente do método numérico escolhido, a discretização requer um truncamento do domínio espacial. O espectro de autovalores do problema discretizado estará formado unicamente por um número finito de autovalores

dis-cretos os quais serão uma aproximação melhor ou pior do problema inicial, dependendo de uma escolha adequada do método numérico, dos parâmetros da discretização e das condições de contorno impostas.

A seguir, serão consideradas unicamente soluções numéricas do problema discretizado correspondente a (2.70). A solução geral para uma perturbação arbitrária, escrita como uma expansão das autofunções, será:

q0(x, y, z, t) =X j

ajˆqj(x, y, z)e

−iωjt_{+ c.c. (2.71)}

Aqui c.c. denota o complexo conjugado que deve ser incluído para obter uma solução no domínio real.

Se Im(ωj) < 0 para todos os modos próprios solução da equação 2.70, então qualquer perturbação arbitrária introduzida no instante t = 0 decai assintoticamente, e o escoamento total converge de volta para o escoamento base; então o escoamento base é estável. Porém, se ao menos um dos modos próprios tem Im(ω) > 0, então a amplitude associada a este modo crescerá com o tempo. Este modo próprio é então instável,tal como o escoamento base, pois a evolução num tempo posterior do campo fluido evoluirá para um estado dife-rente. Esta é a definição de instabilidade linear: uma vez que as amplitudes das pertubações sejam suficientemente pequenas para que as equações 2.68 sejam válidas, o comportamento assintótico das perturbações será determinado pela autofunção do modo próprio com maior parte imaginária.

2.3.3 Perturbações em um escoamento paralelo

A simplificação a seguir assume que o escoamento base depende unicamente de uma direção espacial y. Todo escoamento base que verifique isto é necessariamente um escoa-mento paralelo. Esta hipótese é estritamente correta para alguns escoaescoa-mentos simples, como os escoamentos de Poiseuille ou Couette.

Se o escoamento base é unicamente dependente de y, então a equação de continuidade impõe que a componente transversal da velocidade deve ser nula. O escoamento base então

49

toma a forma ¯u = (¯u(y), 0, ¯w(y))T_{, e as perturbações modais correspondentes são da forma:}

q0(x, y, z, t) ∼ ˆq(y)ei(αx+βz−ωt), (2.72)

onde α e β são números de onda relacionados com os comprimentos de onda Lx = 2π/α e Lz = 2π/β respectivamente. A forma modal nas direções x e z é equivalente a realizar uma transformação de Fourier nestas direções. Com estas hipóteses, o problema de autovalores (2.70) toma a forma: L =          L1D −¯uy 0 −iα 0 L1D 0 −∂y 0 − ¯wy L1D −iβ −iα −∂y −iβ 0          , R =          1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0          , (2.73)

com L1D = −iα¯u − iβ ¯w + (∂xx+ ∂yy− α2− β2)/Re.

Escoamento bifásico estratificado

Considerando as fases separadamente, podemos escrever um conjunto de equações de conservação de massa e momentum para cada fase [(ρ1, µ1), (ρ2, µ2)]:

∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 (2.74) ρ∂u ∂t + ρu ∂u ∂x + ρv ∂u ∂y + ∂p ∂x = µ Re  ∂2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2  − ρg F r2sen β (2.75) ρ∂v ∂t + ρu ∂v ∂x + ρv ∂v ∂y + ∂p ∂y = µ Re  ∂2_v ∂x2 + ∂2v ∂y2  − ρg F r2 cos β. (2.76) Linearizando as equações ∂u0 ∂x + ∂v0 ∂y = 0 (2.77) ρ∂u 0 ∂t + ρ¯u ∂u0 ∂x + ρv 0∂ ¯u ∂y + ∂p0 ∂x = µ Re  ∂2_u0 ∂x2 + ∂2_u0 ∂y2  (2.78)

ρ∂v 0 ∂t + ρ¯u ∂v0 ∂x + ∂p0 ∂y = µ Re  ∂2_v0 ∂x2 + ∂2_v0 ∂y2  (2.79) na forma modal para a perturbação

iαˆu +∂ ˆv

∂y = 0 (2.80)

−iωρˆu + iαρ¯uˆu + ρ∂ ¯u

∂y + iα ˆp = µ Re  −α2_{u +ˆ} ∂2uˆ ∂y2  (2.81)

−iωρˆv + iαρ¯uˆv + ∂ ˆp ∂y = µ Re  −α2_{v +ˆ} ∂2vˆ ∂y2  . (2.82)

Os parâmetros das equações anteriores são adimensionalizados em relação a fase 1 de forma que ρ1 = µ1 = 1, ρ2 = χ e µ2 = η. Também é necessário impor as seguintes condições de contorno na interface:

a) continuidade das velocidades na interface

u1 = u2, v1 = v2; (2.83)

b) continuidade da tensão cisalhante na interface

t · τ1· n = t · τ2· n, (2.84)

onde t e n são, respectivamente, os vetores unitários tangencial e normal a curva que define a interface e τ é o tensor de tensões;

c) salto da tensão normal devido à tensão superficial, dependente da curvatura da superfície local

n · τ1· n = n · τ2· n + n 1

W ekn, (2.85)

onde a curvatura é definida como k = ∇ · n;

d) condição cinemática impondo que os pontos na interface são partículas fluidas

∂h ∂t + u

∂h

51

Linearizando e substituindo a forma modal também para as condições de interface obtem-se  ∂ ¯u1 ∂y − ∂ ¯u2 ∂y  ˆ h + ˆu1− ˆu2 = 0 (2.87) ˆ v1− ˆv2 = 0 (2.88)  ∂2_u¯ 1 ∂y2 − η ∂2_u¯ 2 ∂y2  ˆ h +∂ ˆu1 ∂y − η ∂ ˆu2

∂y + iαˆv1− ηiαˆv2 = 0 (2.89)

 −2iα Re ∂ ¯u1 ∂y − ∂ ¯p1 ∂y + 2iαRe ∂ ¯u2 ∂y − ∂ ¯p2 ∂y − α2 W e  ˆ h + 2 Re ∂ ˆv1 ∂y − 2η Re ∂ ˆv2 ∂y − ¯p1 + ¯p2 = 0 (2.90)

−iα¯uˆh + ˆv = −iωˆh. (2.91)

Também são necessárias as condições artificiais para a pressão na interface:

∂ ˆp1 ∂y =

∂ ˆp2

∂y = 0 (2.92)

Para um escoamento de Poiseuille tem-se as seguintes condições de contorno em ambas as paredes:

ˆ

u = ˆv = ∂ ˆp

∂y = 0 (2.93)

Problema espacial e relação de Gaster

O problema de autovalor correspondente ao cenário modal pode também ser escrito para a abordagem espacial, que estuda a amplificação ou amortecimento de perturbações periódi-cas no tempo, enquanto estas são advectadas pelo escoamento base. Assim, a freqüencia ω vira um parâmetro real e o número de onda α é o autovalor complexo. Se Im(αj) < 0, a am-plitude da onda de perturbação cresce com a coordenada x, e o escoamento base é instável. Se Im(αj) > 0 para todos os modos próprios, então o escoamento base é estável e recuperará

assintóticamente seu estado inicial.

Em geral, as perturbações da forma (2.72) com β real podem expressar crescimento e decaimento, tanto no tempo como no espaço, permitindo valores complexos para α e ω simultaneamente. A relação de dispersãoD(α, ω, β) = 0 contém esta informação. Para uma onda monocromática (com frequência real constante), introduz-se a chamada “velocidade de fase” como aquela correspondente ao raio x/t para o qual a fase da parte exponencial na equação 2.94 é constante: Re(αx − ωt) = constante → x t = cp = ωr αr . (2.94)

Por x e t serem reais, na definição da velocidade de fase, somente são consideradas as partes reais de α e ω. Esta velocidade é a correspondente ao movimento das cristas das ondas. Geralmente, a velocidade de fase é função de ω (ou α), as ondas de distintas frequências propagam-se a velocidades distintas, e o resultado é uma dispersão das ondas.

Uma vez que a relação de dispersãoD(α, ω, β) = 0 é uma função implícita de variáveis complexas, é possível relacionar os resultados dos problemas temporal e espacial através desta. Considerando a forma explicita ω = ω(α, β), faz-se uma expansão de Taylor de primeira ordem ao redor de (ω0, α0):

ω = ω0+  ∂ωr ∂αr + i∂ωi ∂αr  (α − α0), (2.95)

onde as derivadas parciais são avaliadas em (ω0, α0, β). Esta expansão permite aproximar o comportamento da relação de dispersão na vizinhança do ponto de avaliação com α e ω complexos. Para o problema temporal, tem-se:

53

enquanto que para o problema espacial:

ωS = ωS_r, αS = αS_r + iα_iS. (2.97)

Tomando como referência (ω0, α0, β) ao problema temporal, substituindo em (2.95) e separando a parte real, resulta:

ω_rS− ωT r = ∂ωr ∂αr     T (αS_r − αT r) − ∂ωi ∂αr     T (αS_i − αT i ). (2.98)

No entanto, a parte imaginaria é:

−ωT i = ∂ωi ∂αr     T (αS_r − αT r) + ∂ωr ∂αr     T α_iS. (2.99)

A expansão de Taylor anterior é válida na proximidade da curva neutra, onde αS

i ∼

ω_iT  ωr, αr. Consequentemente, ∂ωi/∂αr ≈ 0. Ficando com os termos dominantes em (2.98-2.99), e substituindo a definição de velocidade de grupo, resulta

ω_rS− ωT r ≈ cg(αSr − α T r), (2.100) e −ωT i ≈ cgαSi. (2.101)

A equação 2.100 recupera a definição da velocidade de grupo cg = ∂ωr/∂αr como a quantidade que melhor representa a propagação dos pacotes de ondas. Perto da curva neutra, resulta que αS_r ≈ αT

da curva neutra, as taxas de crescimento do problema espacial e temporal são diretamente proporcionais, e que a constante de proporcionalidade é a velocidade de grupo cg, que pode ser avaliada indistintamente pelo problema espacial ou temporal. Esta equação é conhecida como relação de Gaster.

3 RESULTADOS

Primeiramente são apresentados os resultados de validação realizados a fim de se ve-rificar a metodologia numérica. Em seguida são apresentados os resultados da análise de estabilidade através de curvas que correlacionam parâmetros espaço-temporais, e posteri-ormente a captura de dados relativos aos pontos críticos para dada combinação de parâme-tros. Por fim é feita uma análise do espectro de frequência na simulação para reconhecimento dos modos próprios de instabilidade dominantes do problema. Será utilizado o ponto como separador decimal.

3.1 TESTES DEVALIDAÇÃO POR CFD

Como passo prévio ao estudo de instabilidades hidrodinâmicas de escoamentos bifásicos em canais bidimensionais, foram simulados dois casos para validação. As variáveis foram admensionalisadas, baseado na largura característica D∗ = 1 e t∗ = 1. O canal possui comprimento L∗ = 60. Como convenção, a fase menos densa (óleo) é referenciada com índice 1, enquanto a outra (água), 2.

Os grupos adimensionais do problema são:

Re1 =

ρ∗₁u∗₁D₁∗

µ∗₁ = 241.5; W e =

ρ∗₁u∗2₁ D∗₁

σ = 9.22; (3.1)

onde a razão entre densidades e viscosidades entre fluidos vale ρ2/ρ1 = 1.218 e ν2/ν1 = 0.1874, e a tensão interfacial é σ = 0.1085.

Neste trabalho, o número de Froude (F r) será assumido como infinito, portanto não será considerada a aceleração da gravidade. As condições iniciais e de contorno são:

C.I. : u(t = 0) = 1, v(t = 0) = 0 C.C. : u(x = 0) = 1, v(x = 0) = 0, ∇p(x = 0) = 0 ∇u(x = 60) = 0, p(x = 60) = 0 u(y = 0) = u(y = 1) = 0

(3.2)

Figura 3.1: Imagem indicativa dos contornos na geometria do canal.

As simulações ajustam o passo de tempo baseado no Courant pré-estabelecido, no caso, Co = 0.5.

Os dois casos analisados possuem alturas de entrada da interface (H) diferentes, sendo HA= 0.725 (caso A) e HB = 0.9 (caso B). O caso A já em regime estacionário (estratificado liso) pode ser visto nas Figuras 3.2 e 3.3:

Figura 3.2: Representação esquemática do campo escalar α para o caso A em regime perma-nente (exagero horizontal 1:10).

57

Figura 3.3: Representação esquemática do campo de velocidade para o caso A em regime permanente (exagero horizontal 1:10).

Os dados das simulações numéricas foram comparados com resultados obtidos na análise de [20]. O mesmo fez uso da abordagem de equações de Navier-Stokes Parabolizadas (PNS) no estudo de escoamentos bifásicos confinados em dutos. As Figuras 3.4 e 3.5 apresentam a comparação dos valores obtidos para a altura da interface e a velocidade máxima ao longo do canal entre os resultados obtidos com o OpenFOAM e os da análise por PNS.

0 0.5 0.725 1.0 0 10 20 30 40 50 60

H

coord x

Figura 3.4: Validação do caso A em regime estacionário pra altura da interface H ao longo do canal.

59 1 1.25 1.5 1.75 2 0 10 20 30 40 50 60

Umax

coord x

Figura 3.5: Validação do caso A em regime estacionário para velocidade máxima ao longo do canal.

Para testar a convergência de malhas (estruturadas), duas análises foram feitas para cada caso. A primeira com 120 elementos na direção transversal (864,000 elementos quadrados) e a segunda com 160 (1,536,000 elementos quadrados). Para visualização das malhas, a Figura 3.6 ilustra uma seção ampliada do canal, onde ∆x1 = 8.33 × 10−3 e ∆x2 = 6.25 × 10−3.

Figura 3.6: Malhas computacionais com 120 (esquerda) e 160 (direita) elementos na direção transversal.

A diferença entre os resultados do OpenFOAM e dos obtidos em [20] deve-se ao uso de diferentes conjuntos de equações. As equações PNS são uma simplificação das equações de Navier-Stokes que não considera algumas derivadas espaciais. Portanto, é esperado que existam diferenças nas primeiras larguras de evolução do escoamento, mas que convirjam à mesma resposta assintoticamente. Devido ao elevado custo computacional, não foi possível que se realizassem mais testes, e, por apresentarem resultados muito próximos um do outro, o caso menos refinado foi escolhido para estudo da propagação das perturbações.

A máquina utilizada para tais simulações possui processador Intel Core TM i7-2600K CPU @ 3.40GHz x 8 e memória RAM de 8GB. O tempo total de simulação do caso A menos refinado foi de 2,487,253 segundos (aproximadamente 24 dias) rodando em paralelo com 4 processadores.

O caso B é naturalmente instável. As Figuras 3.7 e 3.8 ilustram a estimativa do compri-mento de onda de aproximadamente 2.8 e do período de aproximadamente 2.0.

61

Figura 3.7: Representação esquemática do campo escalar α a jusante para o caso B.

Figura 3.8: Representação esquemática do campo de velocidade na direção y a jusante para o caso B em t = 200.6 (acima) e t = 202.6 (abaixo).

O resultado destas análises quanto à formação ou não de ondas espontâneas no escoa-mento dos dois casos são qualitativamente idênticos aos encontrados em [7], onde o mesmo utiliza a abordagem level-set em suas análises. A partir de então o estudo se baseará na aná-lise do caso A, pela facilidade de se estudar o efeito de casos forçados em relação ao caso B.

O próximo passo para a análise por CFD é a reprodução de ondas de baixa amplitude através da introdução de um termo forçante na equação de momentum.

3.2 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR PARAESCOAMENTOS BIFÁSICOS EM

DUTOSBIDIMENSIONAIS

A análise de estabilidade linear neste problema fornece os dados necessários para a me-lhor escolha da perturbação inicial em termos de crescimento transiente de onda com am-plitude finita. A partir da análise em formulação temporal, dados os números de onda reais αr (Im(α) = 0), obtém-se a taxa de crescimento ωi. A Figura 3.9 representa essa análise, onde a linha tracejada representa os valores à montante do canal (x = 10) e a linha contínua valores a jusante (x = 50).

Figura 3.9: Gráfico ωi x αrda análise de estabilidade temporal.

O valor do número de onda αr = 2.25 à jusante indica a maior taxa de crescimento ωi = 0.2063. Assim, pode-se definir o comprimento de onda mais instável:

Lx = 2π

2.25 ≈ 2.8 (3.3)

A região definida para o termo forçante na simulação por CFD, portanto, encontra-se à montante, com metade do comprimento de onda Lx.

63

A relação de Gaster (2.101) permite transformar a taxa de crescimento temporal ωi em espacial −αi, de modo a obter as seguintes curvas:

Figura 3.10: Gráfico −αi x ωr obtido pela relação de Gaster.

Para o valor de ωi em questão, o ponto que faz referência à esta taxa de crescimento possui −αi = 0.1328 (e velocidade de grupo cg ≈ 1.6). Logo, pela Figura 3.10, a frequência à jusante tem valor ωr ≈ 3.1. Desta forma, deriva-se o período:

T = 2π

3.1 ≈ 2.03 (3.4)

3.3 ESTUDO DEONDASFORÇADAS

Dados os valores obtidos na análise de estabilidade, agora se faz necessário aplicá-los à simulação de CFD a fim de estudar a formação e propagação de ondas interfaciais provocadas pelo modo instável.

3.3.1 Definição do Termo Forçante

O termo forçante SF na Equação 2.61 é modelado de modo a empregar o valor de ωr encontrado.

SF = α1(1 − α1)A sen(2πωrt) (3.5)

Aqui, α1(1 − α1) é o termo responsável pela adição de momentum apenas na interface, visto que só apresenta valores não nulos para 0 < α1 < 1. A é a amplitude do termo forçante, aplicado a montante, e 2πωrt representa a frequência de oscilação do termo forçante.

A Figura 3.11 ilustra como o termo forçante SF varia em função da altura do canal y para dada amplitude A, supondo que a interface se encontra à meia altura do canal (y = 0.5).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A

y

S

Figura 3.11: Variação do termo forçante SF em função da altura do canal y, para A constante.

computaci-65

onal, centrado em x = 10 com metade do valor de Lx correspondente a onda mais instável para a frequência imposta (ωr = 3.1), ou seja:

Lc = Lx

2 = 2.8

2 = 1.4 (3.6)

Esta região inclui toda a altura do canal, pois sabe-se que a Equação 3.5 só age na inter-face.

3.3.2 Análise por Densidade Espectral de Potência (PSD)

Esta análise consiste no processamento de sinais discretos no tempo para avaliação do espectro de frequência que rege as oscilações do problema. A análise por PSD representa, em suma, a transformada de Fourier discreta (DFT) da covariância destes sinais. Para tal, é utilizado o método de Welch para se obter um periodograma, que nada mais é do que o agrupamento dos dados amostrais em janelas a fim de se propôr uma estimativa espectral baseada em médias.

Os dados para esta análise foram extraídos à meia altura do canal (y = 0.5), à jusante (x = 50). Mais precisamente, registrou-se a componente vertical da velocidade no ponto em questão, v, ao decorrer da propagação de ondas.

Os parâmetros da análise são:

• Variação temporal: ∆t = 2.4 × 10−3_. • Variação de frequência: ∆f = 1

∆t ≈ 414. • Tamanho da janela de frequência: 0.05. • Overlap: 50 %.

Vale ressaltar que a existência de um transiente inicial quando são geradas as perturba-ções faz com que seja necessário um estudo de convergência dos resultados. Uma rotina disponível no Matlab provê os argumentos necessários para tal estudo, ilustrado na Figura 3.12.

Figura 3.12: Teste de convergência do periodograma obtido na análise por PSD para a com-ponente v da velocidade à meia altura do canal à jusante com termo forçante de amplitude 10−3.

Neste caso, o termo forçante possui amplitude 10−3. As três curvas descritas representam o teste de convergência dos resultados, onde são analisados os últimos 20, 40 e 60 mil valores de v da simulação. Esta análise comprova a presença de dois modos instáveis, um de baixa frequência (próximo a 3.1, como previsto) e outro de alta frequência, próximo a 80. Ambos podem ser vistos na Figura 3.13:

Figura 3.13: Perfil da componente de velocidade na direção y à jusante do canal no instante t = 1160 para perturbação de amplitude 10−3.

67

Outros dois casos foram simulados com perturbações de amplitudes 1 e 10. A Figura 3.14 dispõe uma análise por PSD comparativa entre esses 3 casos simulados.

Figura 3.14: Periodograma obtido na análise por PSD para a componente v da velocidade à meia altura do canal à jusante com termos forçantes de amplitudes 10−3, 1 e 10.

Da mesma forma, percebe-se a presença das duas frequências dominantes, porém no caso mais forçado (momentum de amplitude 10),

Figura 3.15: Perfil da componente de velocidade na direção y à jusante do canal no instante t = 1000 para perturbação de amplitude 10.