FunçõesEspeciais

(1)

1

AULA 01

FUNÇÕES

Definição: Sejam dois conjuntos A e B diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função se , e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f , a um único elemento de B.

Notação: y = f(x) Exemplos:

Domínio: Conjunto dos valores de x que satisfazem a função, conjunto de partida. Imagem: Subconjunto do conjunto de chegada.

Contra –Domínio: Conjunto de chegada.

EXERCÍCIOS

1) Dar o domínio das seguintes funções reais: a)_{f(x) = 4x-6} b) ( ) 5 3 x f x x − = + c) 3 ₃ ) (x = x− f d) 3 ₂ ₈ 1 ) ( + = x x f

Valor Funcional: Seja f: R → R, definida por ( ) 2 2 4 3 − + = x x x f . Calcular: a)_{f(2) c) f( 2 )} b) f(2x) d) f(x+3)

IMPORTANTE!

Cálculo do Domínio:

I. Se na função houver uma fração, o denominador não poderá ser zero, porque a divisão por zero não existe. Exemplo: 1 0 1 1 3 ≠ → ≠ − → − = x x x y ➘ D = R-{1}

II. Se na função houver um radical de índice par, o radicando não pode ser negativo, porque neste caso o resultado não é um valor real, ou seja, o radicando deve ser maior ou igual a zero.

(2)

2 Gráfico de uma Função: Identificamos o gráfico de uma função traçando retas paralelas ao eixo das ordenadas (y), se elas cortarem o gráfico em apenas um ponto, então ele representa uma função.

Exemplo: y y

É função Não é função

x x

Tipos de Função: Temos três diferentes tipos de funções:

Função Sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora quando a imagem é o próprio conjunto B. • •

• •

• B

A

Função Injetora: É a função que a elementos distintos do conjunto de partida associa sempre imagens distintas do conjunto de chegada.

• •

• • •

• •

A B

Função Bijetora: Seja a função f : A → B. Ela é dita bijetora se, e somente se, ela for sobrejetora e injetora, isto é, todos os elementos do conjunto B recebem uma única flecha.

• •

A B

Existem funções que não são nem injetora nem bijetoras. Função Crescente e Decrescente

Função crescente: É toda função tal que, para quaisquer x’ > x” implicar f(x’) > f(x”). Exemplo: f(x) = 3x – 7

Função decrescente: É toda função tal que, para quaisquer x’ > x” implicar f(x’) < f(x”). Exemplo: f(x) = -2x +5

Função Constante: É toda função tal que, para quaisquer x’ ≠ x” implicar f(x’) = f(x”).

Exemplo: f(x) = 8

Função Composta

Seja f uma função definida de A em B, e seja g uma função definida de B em C. então, definimos h como função composta de f com g definida de A em C, da seguinte forma:

(

f g

)( )

x = f g x

(

( )

)

(3)

3 Exemplo: Sejam as funções f x( )=x2−3 e g x( ) 2= x+1, então podemos definir a função composta f(g(x)) através da seguinte função f g x( ( )) 4= x2+4x−2.

Função Modular –

Denomina-se função modular a função f x( )= x definida por:

, se 0 ( ) , se 0 x x f x x x ≥  = − <

 , para todo x real.

Função Inversa

É uma função definida por: f -1 = { (b,a) / (a,b) ∈ f}

Exemplo: Se f = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} então f -1={(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)} D(f) = {1,2,3,4} D(f -1) = {2,4,6,8} Im(f) = {2,4,6,8} Im(f -1) = {1,2,3,4}

Cálculo da Função Inversa:

Calcula- se a função inversa de uma função definida por uma expressão algébrica procedendo da seguinte maneira:

➘ Isolamos o valor de x; ➘ Trocamos x por y e y por x. Exemplo: Sendo a função f(x) = 5x - 6. Determine f –1_{(x) e esboce o gráfico de f(x) e f} –1_(x). ➘

➘➘

➘ Só existe a função inversa se:

➘ D(f) = Im(f –1), Im(f) = D(f –1) e (f –1)–1=f. ➘

➘➘

➘ Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares.

EXERCÍCIOS

1) Determine o domínio, a imagem e a inversa da função f(x) = (3x – 2)/ (5x).

2) Verifique graficamente se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou inversível: a) f :R→R b) f :R₊ →R

f(x)=x f(x)=x2

c) f :R→ R₊ d) f :R→ R

f(x)= x2 f(x)=2

FUNÇÃO DO 1° GRAU OU FUNÇÃO AFIM

Definição: Chama-se função afim ou função do 1º grau a toda função f: R→R definida por: f(x) = ax + b, a ∈R* e b ∈ R.

Gráfico: Sempre será uma reta.

(4)

4 Significados dos Coeficientes:

➘ O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular ou declividade da reta.

Se a > 0, então f(x) é crescente. Se a < 0, então f(x) é decrescente

➘ O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear, e é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Seja a função do 1º grau f(x)=ax+b, com a ∈R* e b ∈R:

➘ Se b = 0 e a ≠≠≠≠ 0 , então f(x) = ax + b recebe o nome de função linear.

➘ Se b = 0 e a = 1, então y = x recebe o nome de função identidade.

➘ Se a = 0 e b ≠≠≠≠ 0, então f(x) = b recebe o nome de função constante.

Raízes da Função do 1º Grau: Determinar as raízes ou zeros da função é fazer y = 0. Assim, para a função f(x) = ax + b, temos que x=−b/a é a única raiz e representa a intersecção da função com o eixo x.

Sinal da Função do 1º Grau: O gráfico de f(x) = ax + b intercepta o eixo x no ponto de abscissa −b/a (raiz).

Para o sinal da função, temos dois casos a considerar:

Exemplos: Estude a variação do sinal das seguintes funções: a) f(x) = −3x + 9 b) f(x) = 2x + 5

Inequações do 1º Grau: São desigualdades envolvendo funções do 1º grau. Resolve-se seguindo os passos abaixo: 1º) Determinar as raízes ou zeros das funções.

2º) Esquematizar as retas reais, bem como o sinal das funções. 3º) Verificar as condições de existência.

IMPORTANTE IMPORTANTEIMPORTANTE

(5)

5 Exemplos: a) Resolva a inequação (3x + 8) > 0 b) Resolva a inequação − x2 +4≤3

c)(UPF)– Analise as afirmativas referentes à função linear no gráfico:

I) A função é crescente. II) Se x > r então f(x) < 0. III) s representa o termo independente da função. IV) A declividade da reta é dada por r.

A alternativa que corresponde às alternativas corretas é: y a)_{I e III}

b)_I

c)_{I e IV} x

d)_{II e III} e)_{III e IV}

FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU

Definição: A função f: R→ R dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c reais e a ≠ 0 denomina-se função do 2

º

grau ou função quadrática .

Gráfico: O gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola.

Concavidade da parábola:

O coeficiente ‘a’ determina a concavidade da parábola.

Se a > 0, a concavidade voltada para cima, se a < 0, a concavidade voltada para baixo.

Observação: O coeficiente ‘c’ determina o ponto onde a parábola intercepta o eixo y.

Zeros da Função Quadrática: As raízes ou zeros da função quadrática representam, graficamente, as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Encontramos estas raízes ou zeros fazendo f(x) = 0, e resolvendo a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 pelo método de Bhaskara

a b x 2 ∆ ± − = com ∆ = b2 – 4ac. ATENÇÃO: ➘➘➘ Se ∆➘ ∆∆∆ > 0, então a função possui 2 raízes reais e diferentes.

r•

(6)

6 ➘

➘➘

➘ Se ∆∆∆∆ = 0, então a função possui 2 raízes reais e iguais.

➘ ➘➘

➘ Se ∆∆∆∆ < 0, então a função não possui raízes reais.

Coordenadas do Vértice:

Vértice é o ponto onde a parábola deixa de crescer e decresce, ou vice- versa; também chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da sua concavidade. Este ponto é calculado da seguinte forma: a b x_v 2 − = Abscissa do _vértice a yv 4 ∆ − = Ordenada do _vértice Imagem, Valor Máximo ou Mínimo:

➘ Se tivermos a > 0 , a parábola terá a concavidade voltada para cima e por conseqüência disto, ela terá um valor mínimo. Sua imagem será dada por: Im = { y ∈ R / y ≥ -∆/4a }

➘ Se tivermos a < 0 , a parábola terá a concavidade voltada para baixo e por conseqüência disto, ela terá um valor máximo. Sua imagem será dada por: Im = { y ∈ R / y ≤ -∆/4a }

(7)

7 Estudo do Sinal da função quadrática:

Estudar o sinal da função _{f(x) = ax + bx + c , com a, b, c ∈ R e a ≠ 0, é determinar os valores reais de x}2

a) que tornem positiva a função; b) que tornem negativa a função; c) que tornem nula a função.

Inequações do 2º Grau:

São inequações semelhantes as inequações de 1º grau. Elas são resolvidas graficamente, estudando-se o sinal da função quadrática, estudando-seguindo os passos seguintes:

1º) Determinar as raízes ; 2º) Estudar o sinal da função quadrática utilizando seu gráfico cartesiano.

3º) Verificar os intervalos que satisfazem a inequação.

Exemplo

Resolver a seguinte inequação (em R): -x2 +x +2 ≤≤≤≤ 0

Inequação Produto – As inequações produto se

x 3

)

. Observando a inequação proposta, vemos que para f x g x( ). ( ) ser positivo ou nulo devemos ter: f x ≥( ) 0 e g x ≥( ) 0 ou

( ) 0

f x ≤ e g x ≤( ) 0. Para melhor visualização, usamos

(8)

8

Logo, o conjunto solução é dado por S = − ∞ −] , 1] ou

[ ]

1,3 .

Inequação Quociente - Já as inequações quociente se

apresentam da seguinte forma: 2 0

3 6 x x + ≤ − . Para resolver

este tipo de inequação consideramos h x( )=x+2 e

( ) 3 6

g x = x− , em seguida, devemos observar que para

( ) ( )

h x

g x ser negativo ou nulo devemos ter: h x ≥( ) 0 e

( ) 0

g x ≤ ou h x ≤( ) 0 e g x ≥( ) 0. Para melhor visualização, usamos intervalos na resolução do problema.

Logo, o conjunto solução é dado por

{

/ 2 2

}

S= x∈R − ≤x< .

EXERCÍCIOS

1)_{(UFSM)– Assinale a alternativa que apresenta} valores dos coeficientes a, b e c ou do discriminante em relação à função y = ax2 + bx + c , cujo gráfico possui a concavidade voltada para cima:

a)_{a, b, c < 0 c) a < 0 e c > 0 d) 4ac > b}2 b)_{b < 0 e c < 0 e)b > 0 e c > 0}

2)_{Para que valores de m a função}

m x x x

f( )= 2−3 + é positiva para qualquer x real ?

3)_{(Vunesp) O conjunto solução da inequação} 1

2 ) 2

(x− 2 < x− , considerando como universo o conjunto R, está definido por: a) 1 < x < 5 b) 3 < x < 5 c) 2 < x < 4 d) 1 < x < 4 e) 2 < x < 5

4)_{(Cesgranrio) O conjunto dos valores de p para} os quais a inequação x2+2x+ p> 0 é

verdadeira para qualquer x pertencente a R é dado por:

a) p > -9 b) p < 11 c) p > 11 d) p < -9 e) n.d.a.

5) (UFSM) – O trinômio –x2 + 3x –4:

a)_{muda de sinal quando x percorre o conjunto dos} reais.

b)_{é positivo para todo x real.} c)_{é negativo para todo x real.} d)_{é positivo para 1 < x < 4.} e)_{é positivo para x < 1 ou x > 4.}

EXERCÍCIOS

E01 - Considere a função y=ax+b, com f(1) 4= e

( 2) 10

f − = . Calcule f(2).

E02 – Dada a função ( ) 3 6 2

f x = − x+ , determine o ponto em que a função intercepta o eixo das abscissas.

E03 – Determine o intervalo em que a função

( ) 2 5

f x = x− é crescente.

E04 – Encontre as raízes das funções: a) _{( )} 2 ₈

f x =x −

b) _{( )} 2 ₂ ₃

f x =x − x−

E05 – Estabelecer o conjunto imagem da função

2

( ) 2 5 3

f x = x + x+ .

(9)

9 a) 2 1 ( ) 5 x f x x x − = − b) ( ) 1 5 3 f x x x = − + +

E07 – Sabendo que _{( ) 4} 2 ₃

f x = x + , encontre g x( ) de

modo que _{( ( ))} 2 ₁₀ ₂₈

f g x =x + x+ . E08 – Mostre que se f x( ) x 1

x

−

= , então sua inversa será dada por 1( ) ₂1

1 f x x − − = − . TESTES

T01 - Sabendo que a função y =f(x) = mx + n.admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:

T02 - A função custo de certa empresa é 40 2 ) (x = x+ C , e a função receita é 4 3 ) (x x

R = , nas quais x é o número de

unidades produzidas. A partir de que quantidades x a empresa passa a ter lucro? Interprete graficamente a questão.

T03 – Calcule o domínio das funções: a) f x( ) 2x 6 x + = b) ( ) ₂ 2 9 x f x x − = − c) 2 1 ( ) 4 3 f x x x = − +

T04 – Determine o valor de k, sabendo que x = −2 é raiz

da função _{( )} 2 _{5 +2}

f x =kx − x .

T05 – Dada à função _{( )} 2 _{4 +5}

f x = −x + x , determine o conjunto imagem da função.

T06 – Determine o valor de k, para que a função

2

( ) 4

f x =x −kx+ tenha 9

4

− como valor de mínimo. T07 – Determine o valor de k, para que

2

( ) 6 ( 5)

f x =x − x+ k− tenha duas raízes reais e iguais. T08 – Dada à função ( )g x = − −x 5 e ( (( ))g f x = −2x−8, calcule f g −( ( 1)).

T09 – Determine a lei de formação da função quadrática f, sabendo que 3 é raiz da função e que esta tem vértice no ponto V(1,4).

T10 – Determine o intervalo de crescimento e decrescimento das funções:

a) _{( ) 2} 2 ₁₀ f x = x + x b)

g x

( )

= −

x

2

+

6 x

−

5

T11 – Sabendo que _{( )} 2 ₁ f x =x + e ( ) ( 1) ( ) g x = f x+ − f x , determine 1_{( )} g− x .

T12. A figura seguinte representa a função y=ax + b.

Pode-se concluir que as constantes a e b valem, respectivamente: T13. Dadas às funções f x( ) 2= x−1 e 3 ( ) x g x x + = ,calcule: a) 1₍₂₎ g− b) g f −( ( 1)) T14. Seja a função 2 ₈ ₁₆ ( ) 3 x x

f x =− + − ; mostre que sua inversa é f−1( ) 4x = + −3x.

T15. Determine o valor de m para que a função

(

)

( ) 4 2 . 2 f x = m− x+ seja crescente. T16 – Dada f x( ) x 1 x = + , calcule f a( ) f 1 a   − _{ }  .

T17 – Dada à função f x( )=x2, determine g(x) sabendo que g x( ) f x( h) f x( )

h

+ −

= .

T18 – Seja a função f(x) definida por

2 2, 3 ( ) 3, 4 3 , 4 x se x f x x se x x se x + ≥   = − − < <  ≤ −  . Calcule o valor da expressão y=[ (4)f − f( 5)− + f( 2)]− . x y 2 -2 ₀

(10)

10

T19 – A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em P t( ) 30 4

t

= − milhares de pessoas. Durante o 5° ano, qual o crescimento da população.

T20. Dada a função f x( ) 2= x−1, determine g(x) sabendo que _{( ( )) 2} 2 ₅

f g x = x + .

T21. Determine o domínio de função modular a seguir,

1 ( ) 3 5 2 f x x = − − .

T22. Dada a função f x( )= 3x− +1 2, calcule

(5) ( 1)

f − f − .

RESPOSTAS DOS TESTES.