Introdução aos Métodos Numéricos

Introdução aos Métodos

Numéricos

Instituto de Computação UFF

Departamento de Ciência da Computação

Conteúdo temático

Conteúdo específico

● Fórmula de Lagrange

● Método de Newton-Gregory ● Custo computacional

Fórmula de Lagrange

Fórmula de Lagrange

Se não necessitamos do polinômio na forma canônica podemos usar a fórmula de Lagrange

Parece simples... Mas...

p_n(x)=L₀(x) y₀+L₁(x) y₁+L₂(x) y₂+⋯+ L_n(x) y_n=

∑

i=0 n

Fórmula de Lagrange

Se não necessitamos do polinômio na forma canônica podemos usar a fórmula de Lagrange

Parece simples... Mas...

p_n(x)=L₀(x) y₀+L₁(x) y₁+L₂(x) y₂+⋯+L_n(x) y_n=

∑

i=0 n

Fórmula de Lagrange

Mas é simples mesmo! Para facilitar o entendimento...

L₀(x)= (x−x1)(x−x2)⋯(x−xn−1)(x−xn) (x₀−x₁)(x₀−x₂)⋯(x₀−x_n−1)(x₀−x_n) L1(x)= (x−x₀)(x−x₂)⋯(x−x_n−1)(x−x_n) (x₁−x₀)(x₁−x₂)⋯(x₁−x_n−1)(x₁−x_n) L₂(x)= (x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)(x−xn) (x₂−x₀)(x₂−x₁)⋯(x₂−x_n−1)(x₁−x_n) ⋮ (x−x )(x−x )(x−x )⋯(x−x )

Fórmula de Lagrange

Não confunda simples com fácil e fácil não é o oposto de trabalhoso

Fórmula de Lagrange

Um exemplo

Já sabemos que teremos um polinômio de grau 2 Escrevamos o caso geral para este grau

x f(x)

0 0

π/2 1

Fórmula de Lagrange

Um exemplo L₀(x)= (x−x1)(x−x2) (x₀−x₁)(x₀−x₂); L1(x)= (x−x₀)(x−x₂) (x₁−x₀)(x₁−x₂) ; L2(x)= (x−x₀)(x−x₁) (x₂−x₀)(x₂−x₁) p₂(x)=L₀(x) y₀+L₁(x) y₁+L₂(x) y₂

Fórmula de Lagrange

Um exemplo ou L₀(x)=(x−π/2)( x−π / 4) (0−π/ 4)(0−π /2) ; L1(x)= (x−0)(x−π /4) (π /2−0)(π/2−π /4); L2(x)= (x−0)( x−π /2) (π /4−0)(π /4−π /2) p₂(x)=L₀(x)0+ L₁(x)×1+ L₂(x)

√

2 2

Fórmula de Lagrange

Um exemplo logo L₀(x)= 8 π2(x−π/2)( x−π /4); L1(x)= 8 π2(x−0)( x−π /4); L2(x)=− 16 π2 (x−0)( x−π /2)

Fórmula de Lagrange

Um exemplo logo L₀(x)= 8 π2(x−π/2)( x−π /4); L1(x)= 8 π2(x−0)( x−π /4); L2(x)=− 16 π2 (x−0)( x−π /2) p₂(x)= 8 π2 x(x−π/ 4)− 16 π2 x(x−π/2)

√

2 2 = 8 π2

[

x(x−π/ 4)−x (x−π/2)

√

2

]

Fórmula de Lagrange

Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3

p₂(x)= 8

Fórmula de Lagrange

Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3

p₂(x)= 8 π2

[

x (x−π/4)−x(x−π/2)

√

2

]

p₂(π /6)= 8 π2[π/6(π /6−π /4)−π/6(π /6−π /2)√2]=8

[

1 6

(

1 6− 1 4

)

− 1 6

(

1 6− 1 2

)

√2

]

=0,517428 p₂(π /3)= 8 π2 [π /3(π/3−π /4)−π /3(π/3−π /2)√2]8

[

1 3

(

1 3− 1 4

)

− 1 3

(

1 3− 1 2

)

√2

]

=0,850761

Fórmula de Lagrange

Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3

p₂(x)= 8 π2

[

x (x−π/4)−x(x−π/2)

√

2

]

p₂(π /6)= 8 π2[π/6(π /6−π /4)−π/6(π /6−π /2)√2]=8

[

1 6

(

1 6− 1 4

)

− 1 6

(

1 6− 1 2

)

√2

]

=0,517428 p₂(π /3)= 8 π2 [π /3(π/3−π /4)−π /3(π/3−π /2)√2]8

[

1 3

(

1 3− 1 4

)

− 1 3

(

1 3− 1 2

)

√2

]

=0,850761

Fórmula de Lagrange

Observação importante:

deixe a expressão deste polinômio neste formato. É trabalho inútil e sujeito a erros tentar “desenvolver“ o polinômio até ficar na forma canônica.

Fórmula de Lagrange

Observação importante:

deixe a expressão deste polinômio neste formato. É trabalho inútil e sujeito a erros tentar “desenvolver“ o polinômio até ficar na forma canônica.

Fórmula de Lagrange

Também não precisamos calcular o polinômio como fizemos Podemos substituir os valores dos pontos mais o valor do ponto no qual queremos calcular o polinômio

Fórmula de Lagrange

A Fórmula de Lagrange pode ser obtida teoricamente usando a regra de Cramer

Fórmula de Lagrange

Fórmula de Lagrange

Qual a vantagem desta fórmula? ● Não resolvemos um sistema

Fórmula de Lagrange

Qual a vantagem desta fórmula? ● Não resolvemos um sistema

Fórmula de Lagrange

Qual a vantagem desta fórmula? ● Não resolvemos um sistema

Qual o problema?

● O cálculo do polinômio não é tão simples e barato como no caso anterior

Fórmula de Lagrange

Qual o custo computacional de calcular um ponto?

É fácil: observe que temos (n+1) L_i(x) e em cada um fazemos n multiplicações, 2(n-1) somas e uma divisão

Interpolação

Quais são os problemas dos dois algoritmos que conhecemos até agora?

Vários, mas estudaremos um:

● Não há um procedimento simples se quisermos adicionar mais pontos

Fórmula de

Newton-Gregory

Fórmula de Newton-Gregory Construamos o método

Fórmula de

Newton-Gregory

Um ponto

Qual o polinômio que passa por este ponto? ● p

0(x0) = y0

● É interpolador somente para este ponto (x_0, y₀)

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Qual o polinômio que passaria por estes pontos? Sugestão:

(x_0, y₀),(x_1, y₁)

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Qual o polinômio que passaria por estes pontos? Sugestão:

(x_0, y₀),(x_1, y₁)

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro

(x_0, y₀),(x_1, y₁)

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro

(x_0, y₀),(x_1, y₁)

p₁(x₁)=p₀(x₁)+ A( x₁−x₀)= y₁⇒ y₀+ A (x₁−x₀)=y₁⇒ A= y1− y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro

Logo

(x_0, y₀),(x_1, y₁)

p₁(x₁)=p₀(x₁)+ A( x₁−x₀)= y₁⇒ y₀+ A (x₁−x₀)=y₁⇒ A= y1− y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Observe que o polinômio obtido interpola estes dois pontos (x_0, y₀),(x_1, y₁)

p₁(x)= p₀(x)+ y1− y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Observe que o polinômio obtido interpola estes dois pontos (x_0, y₀),(x_1, y₁)

p₁(x)= p₀(x)+ y1− y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições:

Fórmula de

Newton-Gregory

Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições:

● Os pontos estarão ordenados em relação a x

Fórmula de

Newton-Gregory

Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições:

● Os pontos estarão ordenados em relação a x

Fórmula de

Newton-Gregory

Dois pontos

Assim o polinômio obtido será escrito como (x_0, y₀),(x_1, y₁)

p₁(x)= p₀(x)+ y1− y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Três pontos

Preservando o que obtivemos, vamos experimentar o polinômio (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂)

Fórmula de

Newton-Gregory

Três pontos (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂)

p₂(x₂)=p₁(x₂)+B( x₂−x₀)(x₂−x₁)=y₂⇒ p₀(x₂)+ y1−y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Três pontos (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂) p₂(x₂)=p₁(x₂)+B( x₂−x₀)(x₂−x₁)=y₂⇒ p₀(x₂)+ y1−y0 h (x2−x0)+B(2h)(h)= y2 y₀+ y1−y0 h 2h+2h 2_{B= y} 2⇒B= y₂−2 y₁+ y₀ 2h2

Fórmula de

Newton-Gregory

Três pontos Então (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂) p₂(x₂)=p₁(x₂)+B( x₂−x₀)(x₂−x₁)=y₂⇒ p₀(x₂)+ y1−y0 h (x2−x0)+B(2h)(h)= y2 y₀+ y1−y0 h 2h+2h 2_{B= y} 2⇒B= y₂−2 y₁+ y₀ 2h2 y −2 y + y

Fórmula de

Newton-Gregory

Quatro pontos

Já parece natural experimentar o polinômio

que funciona como interpolador dos três primeiros pontos. (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂),(x_3, y₃)

Fórmula de

Newton-Gregory

Quatro pontos (x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂),(x_3, y₃) p₃(x₃)=p₂(x₃)+C (x₃−x₀)(x₃−x₁)(x₃−x₂)=y₃ p₁(x₃)+ y2−2 y1+ y0 2h2 (x3−x0)(x3−x1)+C (3 h)(2 h)(h)= y3 p₀(x₃)+ y1−y0 h (x3−x0)+ y₂−2 y₁+ y₀ 2h2 6 h 2 +C 6 h3=y₃ y −3 y +3 y −y

Fórmula de

Newton-Gregory

Quatro pontos

que interpola os pontos dados

(x_0, y₀),(x_1, y₁),( x_2, y₂),(x_3, y₃)

p₃(x)= p₂(x)+ y3−3 y2+3 y1−y0

Fórmula de

Newton-Gregory

Observe que temos padrões surgindo

y −3 y +3 y −y p₂(x)= p₁(x)+ y2−2 y1+ y0 2 h2 (x−x0)(x−x1) p₁(x)= p₀(x)+ y1−y0 h (x−x0) p₀(x)= y₀

Fórmula de

Newton-Gregory

Fórmula de Newton-Gregory Temos algo como

p_i(x )= p_i−1(x)+ ?

i! hi(x−x0)(x−x1)(x−x2)⋯(x−xi−1) p₀(x)= y₀

Operador de diferenças

progressivas

Vamos definir o operador

que é linear. Assim, observe que

Δ f (x)=f (x+δ x)−f (x)

Operador de diferenças

progressivas

Vamos definir o operador

que é linear. Assim, observe que

Δ f (x)=f (x+δ x)−f (x)

Operador de diferenças

progressivas

Vamos definir o operador

que é linear. Assim, observe que

Δ f (x)=f (x+δ x)−f (x)

Δ2f (x)=Δ Δ f (x)=Δ

[

f (x+δ x)−f (x)

]

=Δ f (x+δ x)−Δ f ( x) Δ2f (x)=f (x +δ x+δ x)−f (x+δ x)−

[

f (x+δ x)−f (x)

]

Operador de diferenças

progressivas

Da mesma forma, podemos escrever

Δ3f (x)=Δ Δ2f ( X )=Δ

[

f (x+2 δ x)−2 f (x+δ x)+f (x)

]

Δ3f (x)=Δ f (x+2 δ x)−2 Δ f ( x+δ x)+Δ f (x)

Operador de diferenças

progressivas

Da mesma forma, podemos escrever

Então

Δ3f (x)=Δ Δ2f ( X )=Δ

[

f (x+2 δ x)−2 f (x+δ x)+f (x)

]

Δ3f (x)=Δ f (x+2 δ x)−2 Δ f ( x+δ x)+Δ f (x)

Operador de diferenças

progressivas

Observe que podemos continuar a calcular as aplicações múltiplas do operador de diferenças progressivas o quanto quisermos.

No entanto, pararemos por aqui pois já dá para perceber o que queremos

Operador de diferenças

progressivas

Vamos substituir nas expressões encontradas

Δ f ( x₀)=f ( x₀+h)−f ( x₀)=f ( x₁)−f ( x₀)=y₁− y₀

Operador de diferenças

progressivas

Vamos substituir nas expressões encontradas

Δ2 f ( x₀)=f ( x₀+2h)−2 f ( x₀+h)+f ( x₀)=f ( x₂)−2 f ( x₁)+f ( x₀)=y₂−2 y₁+ y₀

Δ f ( x₀)=f ( x₀+h)−f ( x₀)=f ( x₁)−f ( x₀)=y₁− y₀

Operador de diferenças

progressivas

Vamos substituir nas expressões encontradas

Δ3f ( x₀)=f ( x₀+3 h)−3 f ( x₀+2h)+3 f ( x₀+h)−f ( x₀)=f ( x₃)−3 f ( x₂)+3 f (x₁)+f ( x₀)

Δ3f (x )= y −3 y +3 y + y

Δ2 f ( x₀)=f ( x₀+2h)−2 f ( x₀+h)+f ( x₀)=f ( x₂)−2 f ( x₁)+f ( x₀)=y₂−2 y₁+ y₀

Δ f ( x₀)=f ( x₀+h)−f ( x₀)=f ( x₁)−f ( x₀)=y₁− y₀

Fórmula de

Newton-Gregory

Observando o que obtemos

p₃(x)= p₂(x)+ y3−3 y2+3 y1− y0 (x−x₀)(x−x₁)(x−x₂) p₂(x)= p₁(x)+ y2−2 y1+ y0 2 h2 (x−x0)(x−x1) p₁(x)= p₀(x)+ y1−y0 h (x−x0) p₀(x)= y₀

Operador de diferenças

progressivas

vemos que o fator “?“ é exatamente dado pelos valores que encontramos aqui com as diferenças progressivas.

Fórmula de

Newton-Gregory

Fórmula de Newton-Gregory p_i(x )= p_i−1(x)+ Δ i f ( x₀) i! hi (x−x0)(x−x1)(x−x2)⋯(x−xi−1) p₀(x)= y₀

Fórmula de

Newton-Gregory

A fórmula parece simples mas o cálculo das diferenças parece um problema.

Fórmula de

Newton-Gregory

A fórmula parece simples mas o cálculo das diferenças parece um problema.

Fórmula de

Newton-Gregory

Observe a tabela abaixo

x y Δf(x) Δ2_{f(x) Δ}3_{f(x) ... Δ}n_f(x)

x₀ y₀ y₁-y₀ y₂-2y₁+y₀ y₃-3y₂+3y₁ -y₀ . x₁ y₁ y₂-y₁ y₃-2y₂+y₁ .

x₂ y₂ y₃-y₂ . .

x₃ y₃ . . .

Fórmula de

Newton-Gregory

● Colocamos duas colunas em uma tabela contendo os valores de x e y

● Criamos uma nova coluna subtraindo os valores de y progressivamente. Obtemos a primeira diferença

● Criamos outra coluna subtraindo os valores da primeira

Fórmula de

Newton-Gregory

Fórmula de

Newton-Gregory

Experimentando... Três pontos: _{x f(x)} 0 0 π/2 1 π/4 √2/2

Fórmula de

Newton-Gregory

Experimentando... Três pontos:

Podemos usar os pontos como estão?

x f(x)

0 0

π/2 1

Fórmula de

Newton-Gregory

Experimentando... Três pontos:

Podemos usar os pontos como estão?

Certamente não: os pontos são igualmente espaçados mas não

x f(x)

0 0

π/2 1

Fórmula de

Newton-Gregory

Ordenando: h = π/4 Tabela _{x y Δf(x) Δ}2_f(x) 0 0 π/4 √2/2 π/2 1

Fórmula de

Newton-Gregory

Ordenando: h = π/4 Tabela Inicialmente temos x y Δf(x) Δ2_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 p₀(x)= y₀=0

Fórmula de

Newton-Gregory

Ordenando: h = π/4 Tabela Inicialmente temos Daí obtemos x y Δf(x) Δ2_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 p₀(x)= y₀=0

Fórmula de

Newton-Gregory

Ordenando: h = π/4 Tabela Inicialmente temos x y Δf(x) Δ2_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 p₀(x)= y₀=0

Fórmula de

Newton-Gregory

Claramente é um polinômio que interpola os dois primeiros pontos

Calculemos em x=π/6

idêntico aos cálculos anteriores, como era de se esperar. Adicionemos mais um ponto

p₁(π /6)= p₀(π /6)+ 2_π

√

2 π

6 =0+

√

2

Fórmula de

Newton-Gregory

h = π/4 Tabela Já temos x y Δf(x) Δ2_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 p₀(x)= y₀=0; p₁(x)= p₀(x)+ _π2

√

2 x

Fórmula de

Newton-Gregory

h = π/4 Tabela Já temos E assim x y Δf(x) Δ2_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 p₀(x)= y₀=0; p₁(x)= p₀(x)+ _π2

√

2 x Δ2f (x ) ₁₋

_√

₂

Fórmula de

Newton-Gregory

É este polinômio que interpola os três pontos

Calculemos em x=π/6

Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro

grau. Assim...

p₂(π /6)= p₁(π /6)+ 8

Fórmula de

Newton-Gregory

É este polinômio que interpola os três pontos

Calculemos em x=π/6

Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro

grau. Assim,

p₂(π /6)=

√

2 3 +8(1−

√

2) 1 6 ( 1 6− 1 4 )=

√

2 3 − 1−

_√

2 9 =0,517428 p₂(π /6)= p₁(π /6)+ 8 π2(1−

√

2) π6 ( π6 − π4 )

Fórmula de

Newton-Gregory

É este polinômio que interpola os três pontos

Calculemos em x=π/6

Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro

grau. Assim,

p (π /6)=

√

2+8(1−

√

2)1 ( 1−1 )=

√

2−1−

√

2=0,517428

p₂(π /6)= p₁(π /6)+ 8

Fórmula de

Newton-Gregory

O mesmo ocorrerá se calcularmos o polinômio em

x=π/3

Fórmula de

Newton-Gregory

Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um

ponto

x y Δf(x) Δ2_{f(x) Δ}3_f(x) 0 0 √2/2 1-√2 π/4 √2/2 1-√2/2 π/2 1 3π/4 √2/2

Fórmula de

Newton-Gregory

Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um

ponto

e construirmos uma tabela ampliada! Vejamos o

polinômio de terceiro grau

x y Δf(x) Δ2_{f(x) Δ}3_f(x)

0 0 √2/2 1-√2 2√2-3

π/4 √2/2 1-√2/2 √2-2

π/2 1 √2/2-1

Fórmula de

Newton-Gregory

Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um

ponto

e construirmos uma tabela ampliada! Vejamos o

x y Δf(x) Δ2_{f(x) Δ}3_f(x)

0 0 √2/2 1-√2 2√2-3

π/4 √2/2 1-√2/2 √2-2

π/2 1 √2/2-1

Fórmula de

Newton-Gregory

Ou dando uma arrumada

Calculando em x=π/6

p₃(x)= p₂(x)+ 32

3 π3 (2√2−3) x ( x−π/ 4)( x−π/2)

p₃(π/6)= p₂(π/6)+ 32

Fórmula de

Newton-Gregory

Ou dando uma arrumada

Calculando em x=π/6

p₃(x)= p₂(x)+ 32

3 π3 (2√2−3) x ( x−π/ 4)( x−π/2)

p₃(π/6)= p₂(π/6)+ 32

Fórmula de

Newton-Gregory

As vantagens desta fórmula se tornam evidentes:

●

Adicionar um ponto novo é de custo baixo (O(n))

●

Podemos aproveitar todos os cálculos anteriores

Fórmula de

Newton-Gregory

E o custo total disto?

Construir a tabela

Fazemos n-1 subtrações na primeira coluna, n-2 na

segunda, n-3 na terceira, etc. Ou seja, (n-1)(n)/2

Fórmula de

Newton-Gregory

E o custo total disto?

Cálculo de um valor do polinômio

p₀(x)= y₀; p₁(x)= p₀(x)+Δ f ( x0) h (x−x0); p2(x)= p1(x)+ Δ2f ( x₀) 2 h2 (x−x0)(x−x1) p₃(x)= p₂(x)+ Δ 3 f ( x₀) 6 h3 (x−x0)(x−x1)(x−x2)

Fórmula de

Newton-Gregory

E o custo total disto?

●

Construir a tabela custa O(n

2

)

●

Cada cálculo do polinômio custa O(n

2

)

●

Só é válida para pontos ordenados e igualmente