Funções do Plano Complexo(MAT162) Notas de Aulas Prof Carlos Alberto S Soares

Fun¸

c˜

oes do Plano Complexo(MAT162)

Notas de Aulas 2 - 2019

Prof Carlos Alberto S Soares

1

O Plano Complexo

Considerando a nossa defini¸c˜

ao de n´

umero complexo, ´

e claro que existe uma correspondˆ

enca

biun´ıvoca entre o conjunto C e o plano R

2

_{. Logo ´}

_{e natural utilizarmos a representa¸c˜}

_{ao de}

um n´

umero complexo z = a + bi atrav´

es do ponto (x, y) no plano.Nesta correspondˆ

encia, o

n´

umero real x = x + 0i corresponde ao ponto (x, 0) no eixo x e o imagin´

ario puro yi = 0 + yi

corresponde ao ponto (0, y) no eixo y e, portanto, chamamos os eixos x e y, neste caso, de

eixos real e imagin´

ario, respectivamente. Um plano, com os eixos real e imagin´

ario ´

e chamado

plano complexo ou plano Gaussiano ou, ainda, plano de Argand-Gauss. Vide figura abaixo.

... . . . . . . . . ... . ... ... •

z=a+bi

a

b

R

I

Consideremos, agora, a soma de dois n´

umeros complexos no plano Gaussiano. ´

E claro que,

tal como no caso de vetores, a soma de dois complexos ´

e obtida via a regra do paralelogramo,

isto ´

e, a soma dos n´

umeros complexos ´

e dada pelo vetor diagonal do paralelogramo cujos lados

s˜

ao os vetores definidos pelos complexos z e w.

... . . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... .. . . . ... . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

z

w

z+w

R

I

Vale ressaltar as interpreta¸c˜

oes geom´

etricas para −z, z e |z|. Temos que o complexo −z ´

e

o sim´

etrico de z em rela¸c˜

ao `

a origem. J´

a z ´

e o sim´

etrico de z em rela¸co ao eixo real e |z| ´

e o

comprimento do segmento de reta determinado por z e 0. (m´

odulo do vetor determinado por

z). Estas interpreta¸c˜

oes est˜

ao representadas abaixo.

... . . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .. .. . . . . . . ... . . . . . . . . ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ... • • •

z=a+bi

|z|

z = a − bi

R

I

-z=-a-bi

|z| = |−z| = |z|

a

-a

b

-b

Figura 3

2

Representa¸

c˜

ao Polar de um N´

umero Complexo

A interpreta¸c˜

ao geom´

etrica para o produto e divis˜

ao de n´

umeros complexos se tornar´

a clara

ap´

os introduzirmos uma nova representa¸c˜

ao para um n´

umero complexo z = a + bi, qual seja

a chamada representa¸c˜

ao trigonom´

etrica ou polar. Sabemos que a representa¸c˜

ao de um ponto

no plano, al´

em de ser dada por suas coordenadas cartesianas(abscissa e ordenada) tamb´

em

pode ser dada em coordenadas polares. No caso do plano Gaussiano, a nova representa¸c˜

ao de

um n´

umero complexo z ser´

a caracterizada pela distˆ

ancia ponto `

a origem e um ˆ

angulo, dito

argumento de z(arg(z)) medido a partir do semi-eixo positido real at´

e o segmento de reta

determinado pelo n´

umero z e 0. Tal como em trigonometria, estes ˆ

angulos ser˜

ao considerados

positivos quando tomados no sentido anti-hor´

ario e negativo caso contr´

ario. Vide figura a

seguir.

... . . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... • • •

z=a+bi

ϕ

r

R

I

a

b

Figura 4

´

E importante dizer que o argumento de um n´

umero complexo z = a + bi n˜

ao ´

e ´

unico, mas

diferem entre si por m´

ultiplos inteiros de 2π e, portanto, o argumento de um n´

umero complexo

z assume infinitos valores!

1

_{Para o n´}

_{umero 0(zero) n˜}

_{ao definimos o argumento, j´}

_{a que neste}

caso, o n´

umero fica definido somente pelo m´

odulo, 0 = |0|.

´

E claro que, pela representa¸c˜

ao polar de um ponto, ou mesmo, usando a figura anterior,

sendo z = a + bi 6= 0, teremos:

a = rcos ϕ e b = rsen ϕ

onde r =

√

a

2

_{+ b}

2

_{. Logo, teremos}

z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ)

e cada n´

umero complexo estar´

a representado de maneira ´

unica na forma acima. Esta

repre-senta¸c˜

ao ´

e denominada representa¸c˜

ao trigonom´

etrica ou representa¸c˜

ao polar de z = a + bi.

Exemplo 1 Determine a forma polar do n´

umero z =

−1+i

√

3

2

.

Solu¸

c˜

ao 2 Em sala!

O teorema abaixo enfatiza a importˆ

ancia da representa¸c˜

ao trigonom´

etrica de um n´

umero

complexo.

Teorema 3 Sejam z

1

, z

2

dois n´

umeros complexos n˜

ao-nulos cujas representa¸

c˜

oes trigonom´

etricas

s˜

ao dadas por

z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

) e z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

).

Ent˜

ao

z

1

z

2

= r

1

r

2

[cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)],

ou ainda,

|z

1

z

2

| = |z

1

| |z

2

| e arg(z

1

z

2

) = arg(z

1

) + arg(z

2

).

Prova. Em sala!

Corol´

ario 4 Sendo z

1

, z

2

, . . . , z

n

n´

umeros complexos n˜

ao nulos, teremos

|z

1

z

2

. . . z

n

| = |z

1

| |z

2

| . . . |z

n

| e arg(z

1

z

2

. . . z

n

) = arg(z

1

) + arg(z

2

) + . . . + arg(z

n

).

Prova. Indu¸c˜

ao sobre n.

Corol´

ario 5 (DeMoivre - Primeira F´

ormula) Sendo z 6= 0 um n´

umero complexo tal que

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) e n ∈ Z temos

z

n

= r

n

(cos nϕ + i sin nϕ),

isto ´

e,

|z

n

| = |z|

n

e arg(z

n

) = n arg(z).

Prova. Em sala!

Corol´

ario 6 Sendo z

1

, z

2

n´

umeros complexos n˜

ao nulos temos

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

e arg

 z

1

z

2



= arg(z

1

) − arg(z

2

).

Prova. Exerc´ıcio!

3

Radicia¸

c˜

ao

Defini¸

c˜

ao 7 Sejam z um n´

umero complexo e n ≥ 2 um n´

umero natural. Um n´

umero complexo

w ´

e dito uma ra´ız en´

esima de z, indicado por

√

n

_{z, se w}

n

_{= z, isto ´}

_e,

n

√

=w ⇔ w

n

= z.

2

Inicialmente, trataremos o caso z = 1,isto ´

e, fixado n ≥ 2 um n´

umero natural determinemos

os n´

umeros complexos w tais que w

n

_{= 1. Como w ´}

_{e um n´}

_{umero n˜}

_{ao nulo, podemos supor}

w = r(cos ϕ + i sin ϕ) e, da´ı, teremos w

n

_{= r}

n

_{(cos nϕ + i sin nϕ). Para que tenhamos w}

n

_{= 1}

devemos ter r

n

= 1 e nϕ = 2kπ para algum k inteiro, isto ´

e, r = 1 e ϕ =

2kπ

_n

. Mostremos que

existem exatamente n valores para k que nos levam a n ra´ızes en´

esimas distintas da unidade,

ou seja, temos o teorema abaixo.

Teorema 8 Existem exatamente n n´

umeros complexos distintos w

1

, w

2

, . . . , w

n

tais que

w

n

_k

= z para k = 1, 2, . . . , 1,

ou seja, 1 possui exatamente n ra´ızes en´

esimas as quais s˜

ao dadas por

w

k

= cos k

2π

n

+ i sin k

2π

n

, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

2

_{Note a diferen¸}

_{ca entre a defini¸}

_c˜

_{ao de radicia¸}

_c˜

ao neste caso e no caso real, por exemplo, em R, temos

√

Prova. ´

E simples verificar que cada w

k

dado pela f´

ormula acima ´

e tal que w

n

k

= 1. Note

que, sendo 0 ≤ k < n, teremos 0 ≤ k

2π

_n

< 2π e, portanto, os n´

umeros w

k

s˜

ao distintos para

valores de k distintos no intervalo considerado. Suponhamos k um n´

umero inteiro maior que

n − 1, isto ´

_{e, k = qn + j com 0 ≤ j < n e q ∈ N. Da´ı, teremos,}

k

2π

n

= (qn + j)

2π

n

= 2qπ + j

2π

n

o que nos leva ao mesmo n´

umero complexo de argumento j

2π

_n

com 0 ≤ j < n e, da´ı, o resultado

segue.

Antes de considerarmos o caso geral, vejamos a interpreta¸c˜

ao geom´

etrica das ra´ızes en´

esimas

da unidade. Comecemos observando que, independente de n, todas as ra´ızes estar˜

ao sobre um

c´ırculo de raio 1 e centro na origem. Al´

em disso, w = 1 sempre ser´

a uma ra´ız en´

esima.(k = 0 na

f´

ormula acima.) Como obtemos as demais ra´ızes? Simplesmente, a partir da ra´ız 1 e estando

sobre o c´ırculo unit´

ario, somamos o ˆ

angulo

2π

_n

sucessivas vezes at´

e retornarmos ao ponto inicial

(1, 0) obtendo assim um pol´ıgono regular de n lados inscrito no c´ırculo de raio 1. As figuras

abaixo ilustram os casos n = 3, n = 4, n = 5 e n = 6.

... . . . . . ... . . ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • •

R

I

2π/3

4π/3

Figura 5

... . . . . . ... . ... ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..._... ... ..._... ... ..._... ... ..._... ..._....... .... .... .... .... .... .... .... ...

Figura 6

R

I

1

1

-1

-1

... . . . . . ... . . ... ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..._... ... ..._....... .... .... .... .... .... .... .

Figura 7

R

I

1

1

-1

-1

2π/5

... . . . . . ... . ... ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .._.. .._.. .. .._.. .._.. .._.. ... .... .... .... .... .... .... . . . . . . . . . ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...•...

Figura 7

R

I

1

1

-1

-1

2π/6

Feito o caso das ra´ızes da unidade, o caso geral se torna simples.

Teorema 9 (DeMoivre - Segunda F´

ormula) Sejam z um n´

umero complexo n˜

ao nulo e n

um n´

umero inteiro positivo. Existem exatamente n n´

umeros complexos distintos w

1

, w

2

, . . . , w

n

tais que

ou seja, z possui exatamente n ra´ızes en´

esimas distintas. Al´

em disso, se z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

as ra´ızes en´

esimas de z s˜

ao dadas por

w

k

=

n

√

r[cos(

ϕ

n

+ k

2π

n

) + i sin(

ϕ

n

+ k

2π

n

)], k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

3

Prova. Tal como o anterior!

Observa¸

c˜

ao 10 ´

E simples ver que se desejamos encontrar as ra´ızes en´

esimas de um n´

umero

complexo z, e conhecemos as ra´ızes en´

esimas da unidade, basta determinarmos uma ra´ız

en´

esima de z e obtemos as demais multiplicando esta ra´ız conhecida por cada ra´ız en´

esima

da unidade. Tal como no caso das ra´ızes da unidade, temos que as ra´ızes en´

esimas de um

n´

umero complexo z est˜

ao localizadas sobre um c´ırculo de raio r =

p|z| e os argumentos

n

podem ser obtidos partindo de uma dada ra´ız e somando sempre 2π/n.

Abaixo temos representadas as ra´ızes de ordem 4 de z = −8 + i8

√

3.

... . . . . . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ..._... ... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..._... ..._... ..._........ .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... . . . . . . . . . . . . . ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ...

Figura 9

R

I

2

2

-2

-2

π/6

π/2

z

1

z

2

z

3

z

4

z

_k

4

= −8 + i8

√

3

Defini¸

c˜

ao 11 Sendo θ um n´

umero real, definimos

e

iθ

= cos θ + i sin θ.

.

Exemplo 12

e

i

π4

= cos

π

4

+ i sin

π

4

=

√

2

2

+ i sin

√

2

2

.

Observa¸

c˜

ao 13 ´

E simples ver que:

(1) e

iθ

1

_e

iθ

2

_{= cos(θ}

1

+ θ

2

) + i sin(θ

1

+ θ

2

)

(2) |e

iθ

_{| = 1}

(3) Multiplicar um n´

umero complexo z por e

iθ

_{significa, geometricamente, girar o n´}

_umero

complexo de um ˆ

angulo θ, sem alterar seu m´

odulo.

... . . . . . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ... ..._... ..._... ..._... ..._... ..._...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ..._... ..._... ..._... ... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ... ... • • • •

θ

R

I

Figura 10

e

iθ

z

ϕ

θ + ϕ

ze

iθ

1

1

-1

-1

Exerc´ıcio 14 1) Determine a representa¸

c˜

ao polar dos n´

umeros:

(a) 1 + i

(b) 4 − 31

(c)−2 − 5i

2) Assinale, no plano complexo, as ra´ızes de ordem 4 de 81.

3) Represente, no plano complexo, as olu¸

c˜

oes da equa¸

c˜

ao (z − 1 = i)

4

_{= 1.}

4) Mostre que a soma das ra´ızes de ordem 2n(n ∈ N) de um n´umero complexo qualquer ´e

zero.

5)

(a) Escrever o n´

umero 1 + i

√

3 na forma polar

(b) Determine (1 + i

√

3)

1991

+ (1 − i

√

3)

1991

6) Sendo z um n´

umero complexo tal que z

5

_{= 1, mostre que:}

(a)

_1+z

z

2

+

z

2

1+z

4

+

z

3

1+z

+

z

4

1+z

3

= 2

(b)

_1−z

z

2

+

z

2

1−z

4

+

z

3

1−z

+

z

4

1−z

3

= 0(z 6= 1)

7) Resolva as equa¸

c˜

oes:

(a) z

3

_{− 1 = 0}

(b) z

4

+ 1 = 0

(c) z

5

_{+ 32 = 0}

8) Prove que:

(a) Se z ´

e ra´ız de um polinˆ

omio com coeficientes reais, ent˜

ao z ´

e tamb´

em uma ra´ız deste

polinˆ

omio.

(b) Um polinˆ

omio de grau ´ımpar com coeficientes reais possui pelo menos uma ra´ız real.

9) Resolva as seguintes equa¸

c˜

oes:

(a)

1

₂

z

2

_{+ (1 − i)z + i = 0 (b) (1 − i)z}

2

_{− 3z − (1 + i) = 0.}

10) Sejam z, w, z

0

n´

umeros complexos tais que |z| = |w| = |z

0

| = 1 e z + w + z

0

_{6= 0. Mostre}

que:

(a)





zw+wz

0

_+z

0

_z

z+w+z

0





= 1 (b)

(w+z

0

_)(w+z)(z+z

0

₎

zwz

0

∈ R

11) Represente no plano complexo os seguintes conjuntos:

(a) <(z) ≥ =(z)

(b) |z − 1 + 3i| < 4

(c) |z − 1| + |z + i| = 2

12) Sendo |w| < 1 e |z| ≤ 1, mostre que









z + w

1 + wz









≤ 1.

4

Retas e Semirretas no Planos Complexo

No que se segue, dados os n´

umeros complexos z e w no plano complexo, indicaremos por:

f

zw, o segmento de reta definido por z e w;

−

→

zw, a semirreta tendo origem em z e passando por w,

←

→

zw, a reta que passa pelos pontos z e w.

Proposi¸

c˜

ao 15 Sejam z 6= w dois n´

umeros complexos. Ent˜

ao |z − w| = comprimento do

segmento

zw.

_f

Prova.

... . . . . . ... . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • •

z

w

a

b

c

d

c-a

d-b

k

R

I

Figura 3.1

... . . . . . ... . ... ... ... ... ... ...•. • •

R

I

a

b

c

d

e

f

z

w

z1

Figura 3.2

Seja k=comprimento do segmento

zw(4). Ent˜

_f

ao, temos

k

2

= (d − b)

2

+ (c − a)

2

⇒ k =

p(d − b)

2

_{+ (c − a)}

2

_{= |z − w|.}

Proposi¸

c˜

ao 16 Seja z um n´

umero complexo n˜

ao nulo. Um n´

umero complexo w pertence `

a

reta

←

Oz(as retas

→

←

0z e

→

←

0w s˜

→

_{ao coincidentes) se, e somente se, existe t ∈ R tal que w = tz, isto}

´

e, se, e somente se,

w

_z

_{∈ R.}

Prova.

Sejam z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) e w = |w|(cos θ + i sin θ). ´

E claro que w ∈

←

0z se, e somente

→

se, w ∈

−

→

0z ou w ∈

−−−→

0(−z), isto ´

e, θ = ϕ + kπ para k um n´

umero inteiro. Ent˜

ao, temos

w = |w|(cos(ϕ + kπ) + i sin(ϕ + kπ)) =

|w|

|z|

|z|(cos ϕ + i sin ϕ)(cos kπ + i sin kπ) = (−1)

k

|w|

|z|

z.

Proposi¸

c˜

ao 17 Sejam z e w n´

umeros complexos distintos n˜

ao nulos. As retas

←

0z e

→

←

0w s˜

→

ao

perpendiculares se, e somente se, existe t ∈ R tal que w = itz, isto ´e, se, e somente se,

w

z

´

e

um imagin´

ario puro.

Prova.

Sejam z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) e w = |w|(cos θ + i sin θ). ´

E claro que

←

0w⊥

→

←

0z se, e somente

→

se, θ = ϕ + 2kπ ± π/2 para k um n´

umero inteiro. Ent˜

ao, temos

w = |w|(cos(ϕ + 2kπ ± π/2) + i sin(ϕ + 2kπ ± π/2)) =

=

|w|

_|z|

|z|(cos ϕ + i sin ϕ)(cos(2kπ ± π/2) + i sin(2kπ ± π/2)) = (±1)i

|w|

_|z|

z.

A prova da pr´

oxima proposi¸c˜

ao ser´

a deixada como exerc´ıcio.

Proposi¸

c˜

ao 18 Sejam z 6= w dois n´

umeros complexos n˜

ao nulos. As retas ←

zw e

→

←−−−−→

0(z − w) s˜

ao

paralelas.

Proposi¸

c˜

ao 19 Sejam z

1

6= z

2

e w

1

6= w

2

n´

umeros complexos. As retas ←→

z

1

z

2

e ←−→

w

1

w

2

s˜

ao

paralelas se, e somente se, existe t ∈ R tal que z

1

− z

2

= t(w

1

− w

2

), isto ´

e, se , e somente se,

z

1

− z

2

w

1

− w

2

∈ R.

Prova. Pela proposi¸c˜

ao anterior, as retas ←→

z

1

z

2

e ←−→

w

1

w

2

s˜

ao paralelas se, e somente se, as retas

←−−−−−→

0(z

1

− z

2

) e

←−−−−−−→

0(w

1

− w

2

) s˜

ao paralelas. Usando a proposi¸c˜

ao 2, temos que as retas

←−−−−−→

0(z

1

− z

2

) e

←−−−−−−→

0(w

1

− w

2

) s˜

ao paralelas se, e somente se,

_w

z

1₁

−z

_−w

2₂

∈ R..

Corol´

ario 20 Trˆ

es n´

umeros complexos distintos z, z

1

, w s˜

ao colineares se, e somente se, z −

z

1

= t(w − z

1

), t ∈ R ou ainda,

z − z

1

Prova. ´

E claro que os trˆ

es pontos considerados s˜

ao colineares se, e somente se, as retas

←

→

zz

1

e ←→

z

1

w s˜

ao paralelas(coincidentes). O resultado segue diretamente da proposi¸c˜

ao anterior.

Proposi¸

c˜

ao 21 Sejam z e w n´

umeros complexos distintos. Um n´

umero complexo z

1

pertence

ao segmento de reta

_{zw se, e somente se, existe t ∈ R com 0 ≤ t ≤ 1 tal que}

_f

z

1

= tz + (1 − t)w.

Prova. Seja z ∈

zw tal como representado na figura 3.2 acima.

_f

Ent˜

ao, temos

d−b

_c−a

=

d−f

_c−e

, ou ainda,

0 <

d − f

d − b

=

c − e

c − a

< 1.

Seja, ent˜

ao, t =

d−f

_d−b

=

_c−a

c−e

. ´

E simples ver que f = t(b − d) + d e e = t(a − c) + e, o que nos

leva a z

1

= t(z − w) + w = tz + (1 − t)w.. Suponhamos, agora, que z

1

= tz + (1 − t)w com

0 < t < 1. Ent˜

ao, temos <(z

1

) = t<(z) + (1 − t)<(w), o que nos mostra que rez

1

est´

a entre

<(z) e <(w). De maneira an´

aloga mostramos que =(z

1

) est´

a entre =(z) e =(w), o que nos leva

a z

1

∈

zw.

f

A demonstra¸c˜

ao da proposi¸c˜

ao abaixo ser´

a deixada como exerc´ıcio.

Proposi¸

c˜

ao 22 Sejam z, w n´

umeros complexos distintos. O ponto m´

edio so segmento de reta

f

zw ´

e o n´

umero complexo z

1

=

z+w

₂

.

Aplica¸

c˜

ao 23 Mostre que, num triˆ

angulo qualquer, o segmento de reta unindo os pontos

m´

edios de dois lados opostos ´

e paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste.

Solu¸

c˜

ao 24 Em sala!

Aplica¸

c˜

ao 25 Sejam z, w n´

umeros complexos distintos. Determine um n´

umero complexo z

1

pertence ao segmento de reta

zw que divide eeste segmento na raz˜

_f

ao

p

_q

, onde p, q s˜

ao n´

umeros

reais positivos.

Solu¸

c˜

ao 26 Em sala!

Aplica¸

c˜

ao 27 Mostre que as medianas de um triˆ

angulo qualquer se encontram num ponto.

Solu¸

c˜

ao 28 Em sala!

Exerc´ıcio 29 1) Sejam z 6= w n´

umeros complexos n˜

ao nulos. Mostre que as retas

←

0z e

→

←

0w

→

s˜

ao paralelas, se e somente se, as retas

←

0z e

→

←

0w s˜

→

ao paralelas. O resultado ainda ´

e verdadeiro

se substitu´ımos paralelas por perpendiculares? Justifique!

2) Mostre que trˆ

es n´

umeros complexos z, z

1

, w s˜

ao colineares se, e somente se, existem

n´

umeros reais a, b, c n˜

ao todos nulos, tais que az + bz

1

+ cw = 0 com a + b + c = 0.

3) Qual a condi¸

c˜

ao necess´

aria e suficiente para as retas ←→

z

1

z

2

e ←−→

w

1

w

2

serem perpendiculares?

4) Qual a condi¸

c˜

ao necess´

aria e suficiente para que o n´

umero complexo z

1

perten¸

ca `

a

mediatriz do segmento

zw?

_f

5) Fazer a demonstra¸

c˜

ao da proposi¸

c˜

ao 7 no caso dos n´

umeros z e w pertencerem,

respec-tivamente, ao segundo e terceiro quadrantes. (0 6∈

zw).

_f

6) Represente no plano complexo o conjuntos dos n´

umeros z tais que <(

1

_z

) <

1

₂

.

7) Represente no plano complexo o conjuntos dos n´

umeros z tais que |z − 4| > |z|.

8) Represente no plano complexo o conjuntos dos n´

umeros z tais que =(z

2

_{) > 0.}

9) Sejam z e w n´

umeros complexos tais que 0 ≤ arg(w) − arg(z) < π. Mostre que a ´

area

do triˆ

angulo de v´

ertices 0, z e w ´

e dada por

1

2

=(zw).

10) Para qualquer n´

umero complexo z 6= 0, mostre que z, −z,

1

_z

, −

1

_z

, 0 s˜

ao colineares.

11)

(a) Mostre que 1 + z + z

2

+ . . . + z

n

=

1−z

_1−z

n+1

(z 6= 1)

(b) Suponha z um n´

umero complexo tal que z

17

_{= 1 (z 6= 1). Mostre que}

1 + z

k

+ z

2k

+ . . . + z

16k

= 0

onde k ´

e um n´

umero inteiro qualquer n˜

ao divis´ıvel por 17.