Geometria Plana 2013

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Geometria Plana 2013

1. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a

circunferência C de equação x 1 2



y2



21. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

2. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações





2 2 2 2 x y 2x 0 3 1 x 1 y 2 4  _ _ _          _ _    

a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos ortogonais, a solução desse sistema de inequações.

b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações. 3. (Enem PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares.

Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são a) retas e círculos.

b) retas e circunferências.

c) arcos de circunferências e retas. d) coroas circulares e segmentos de retas. e) arcos de circunferências e segmentos de retas.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 19 4. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem que representa a nova figura é:

a)

b)

c)

d)

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 19 5. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um

momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m?

b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B?

6. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m

b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e) 2 6 m

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 19 7. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se ABs, demonstre que R s    R r r s.

8. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm.

9. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa.

Sabe-se do quadrilátero ABEF que: • Seus ângulos ˆABE e AFE são retos. ˆ • AF mede 9 m e BE mede 13 m. • o lado EF é 2 m maior que o lado AB .

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 19 10. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.

Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é

a) 3. b) 2. c) 4. d) 1. e) 5.

11. (Enem PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

(Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.) a) 30. b) 34. c) 50. d) 61. e) 69.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 19 12. (Enem PPL 2013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no quadro:

Tipo do piso Forma Preço do piso

(em reais)

I Quadrado de lado

medindo 20 cm 15,00

II Retângulo medindo 30 cm

por 20 cm 20,00

III Quadrado de lado

medindo 25 cm 25,00

IV Retângulo medindo 16 cm

por 25 cm 20,00

V Quadrado de lado

medindo 40 cm 60,00

Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

13. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é

especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.

A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: a) N 9 b) N 6 c) N 3 d) 3N e) 9N

14. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.

Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 19 15. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S

 

φ e T

 

φ ,

podemos afirmar que a razão S

   

φ T φ , quando φ π 2 radianos, é a) π 2.

b) 2 .π c) .π d) π 4.

16. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF15, AG12, AB6, CD3 e DF5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

a) 100 km2 b) 108 km2 c) 210 km2 d) 240 km2 e) 444 km2

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 19 17. (Fuvest 2013)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que AB4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD;

b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’.

18. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:

20, 15 e 10.

  

AB BC AC

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 19 19. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para

posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para 3.

O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0.

b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0.

20. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que AC 7BD 5

 e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão

BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?

a) 2 b) 14 5 c) 4 d) 24 5 e) 28 5

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 19 Gabarito:

Resposta da questão 1: [D]

A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo.

Como PQPQ' e AQAQ'1, vem

2 ₂ ₂ PA (3 1) (62) 20 e, portanto, 2 2 2 2 PQ PA AQ PQ 20 1 PQ 19 u.c.        Resposta da questão 2:

a) Reescrevendo o sistema, obtemos 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 x y 2x 0 (x 1) (y 0) 1 , 3 1 3 1 (x 1) y (x 1) y 2 4 2 2  _ _ _  _ _ _ _    _       _{ }          _ _  _ _  _{ }        

ou seja, a solução do sistema é a região do plano limitada pelas circunferências de centros em (1, 0) e 1, 3 , 2        

com raios respectivamente iguais a 1 e 1. 2

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 19 b) Considere a figura.

A área pedida corresponde à área do semicírculo de centro O e raio igual a 1,

2 subtraída da

área do segmento circular OBDC, ou seja,

2 2 1 1 3 sen 2 2 2 3 3 8 6 4 6 3 u.a. 24 π π π π π π        _{ }             Resposta da questão 3: [E]

É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são arcos de circunferências e segmentos de retas.

Resposta da questão 4: [E]

Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P ' tal que

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 12 de 19 Resposta da questão 5: a) ATD ~ ABC : x 20 x 60 m. 900 300 Δ Δ    b) AB



300

 

2 900



2 300 10

Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos: 300 10 1,5.t t 200 10.

Resposta da questão 6: [C]

É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,

AF AC AF 4 6 BF BD BF AF BF 2 3 2 AF AF 2 . 5 AF BF          

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem

AF EF AF EF 6 AB BD AF BF EF 2 6 5 EF 2,4 m.        

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 19 Resposta da questão 7:

Considere a figura.

Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo,

OC OD R r r R s BC BA R s r s R r R s R r r s.                 c.q.d. Resposta da questão 8: [B] o o 2 2 2 2 2 2 HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ 3 BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF 2 3 6 K 2 AGF~ QPF K 4 3 K 3 5 No GBH : GH 2 GH 2 2 No HPQ: HQ 4 3 HQ 5 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ                  _{ }        

Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.

(14)

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos

2 ₂ ₂ AE 9 (AB2) e 2 2 ₂ AE AB 13 . Logo, 2 2 81 AB  4 AB 4 AB 169AB21m. Portanto, AB21m e EF23 m. Resposta da questão 10: [A]

Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido.

Resposta da questão 11: [D]

Considere a figura.

Do triângulo ACF, vem

AC 2,5

cos ACF cos ACF

5 CF

ACF 60 .

  

  

Logo, ECF180 ACF120 .

Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH, segue-se que a área pedida é dada por

2 ₂ 2 1 1 1 5 3 1 2 AC CF senA CF CF 2 5 5 2 3 2 2 2 3 25 1 2 1,7 3 25 8 3 61m . π  π    _       _ _       _   _ _    _     _   

(15)

[B]

A área do espaço é igual a 4 6 24 m2240.000cm .2

Cada quadrado do tipo I tem área igual a 202 400cm .2 Logo, o custo do piso I é

240000

15 R$ 9.000,00. 400  

Cada retângulo do tipo II tem área igual a 30 20 600cm .2 Assim, o custo do piso II é

240000

20 R$ 8.000,00. 600  

Cada quadrado do tipo III tem área igual a 252 625cm .2 Desse modo, o custo do piso III é

240000

25 R$ 9.600,00. 625  

Cada retângulo do tipo IV tem área igual a 16 25 400cm .2 Desse modo, o custo do piso IV é

240000

20 R$ 12.000,00. 400  

Cada quadrado do tipo V tem área igual a 4021.600cm .2 Então, o custo do piso V é

240000

60 R$ 9.000,00. 1600  

Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso II.

Resposta da questão 13: [A]

Seja S ' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como S N y ,2 S' X 9y2 e S'S, temos 2 2 N X 9y N y X . 9      Resposta da questão 14: [C]

Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 2

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[A]

Sejam φ π 290 , R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 2R x 2.R 1 R S( ) ₂ R R 1 T( ) _x _2R x x 2 π π φ π π φ       _ _       Resposta da questão 16: [E]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE.

Sabendo que AF15cm, AG12cm e ABEG6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 ₂ ₂ 2 ₂ EF GF EG EF 3 6 EF 3 5 EF 3 5 cm.          

Logo, dado que DF5 5 cm, obtemos ED5 53 52 5 cm. Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos

DH DE DH 2 5 6 EG EF 3 5 DH 4 cm.     

(17)

www.nsaulasparticulares.com.br Página 17 de 19 Desse modo, a área pedida, em cm ,2 é dada por

(15 12) (12 3) (ABEF) (BCDE) 6 4 2 2 81 30 111.          

Por conseguinte, se x é a área real da APP, então

2 10 10 10 2 111 10 1 x 111 10 4 10 x 200000 x 444km .      _ _{ } _ _{ }       Resposta da questão 17: a) A = 43 = 12.

b) No triângulo ADE, sen 3. x θ

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por: A 1 2x 4 sen 1 2x 4 3 12.

2 θ 2 x

        

c) Considerando que sen sen(180 ) 3. x

θ  θ 

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1.2x.4.sen( ) 1.2.4x.sen(180 ) 1.2x.4.sen( ) 1.2.4x.sen(180 ) 12

2 θ 2   θ 2 θ 2   θ

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 S(A’B’C’D’) = 60

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a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales: H 15

5. h  3 

b) H é a altura relativa ao lado AC.

Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos: p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2 2 2 45 45 45 45 A . 20 . 15 . 10 2 2 2 2 45 5 15 25 A 2 2 2 2 3 .5.5.3.5.5 A 4 3.5.5. 15 A 4 AC.H 75 15 2 4 10.H 75 15 2 4 15 15 H 4        _  _{ }  _{ }  _                =

(19)

[C]

Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro em C.

Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que

60 3 OC 34cm. 3   Portanto, R OC CD DE 34 30 10 74 cm.        Resposta da questão 20: [D]

Considere a figura, em que BDx e ACy.

Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter 24 7 2 (x y) 2 x x x. 5 5       _  _  

Portanto, o resultado pedido é dado por

24 x 24 5 _. x 5 BD 