Geometria do Espaço-Tempo
de um par de Buracos-Negros
de Reissner-Nordstrom
Hanna Nencka
Laurindo Sobrinho
Universidade da Madeira
Setembro de 1996
1-Introdução
No presente trabalho procedemos ao estudo de algumas das características de um sistema de dois buracos negros de Reissner-Nordstrom.
Vamos considerar os dois buracos negros como dois centros de massa fixos. Para isso atribuímos a ambos cargas do mesmo sinal de modo que a atracção Newtoniana seja perfeitamente equilibrada pela repulsão Coulombiana.
O sistema tem simetria axial, pelo que podemos utilizar a solução de Majumdar-Papapetrou das equações de Einstein-Maxwell.
Começamos por introduzir a métrica a utilizar e mostramos que esta reduz-se à solução de Reissner-Nordstrom quando temos apenas um dos buracos negros. Deduzimos as equações das geodésicas com particular destaque para as geodésicas nulas sobre o eixo de simetria.
Finalizamos com uma incursão ao interior dos buracos negros, com o objectivo de localizar singularidades e horizontes de acontecimentos.
A solução de Majumdar-Papapetrou é obtida considerando soluções estáticas das equações de Einstein-Maxwell para um espaço-tempo, com simetria axial, cuja métrica, na sua forma mais geral, é dada por
(1
onde n e y são funções das coordenadas espaciais x, y e z.
No caso em que as equações do problema resultam profundamente simplificadas, obtendo-se a solução de Majumdar-Papapetrou
(2)
onde U=Exp(y). Podemos escrever a métrica (1) na forma
(3) Qualquer U que verifique a equação de Laplace pode ser usado conjuntamente com (3). No entanto, a solução que nos interessa é aquela que representa uma associação de buracos negros. Nesse caso U deve ser derivado do potencial Newtoniano de um par de pontos de massa
(4)
A adição da unidade tem por objectivo garantir que a métrica seja assimptoticamente plana, obtendo-se assim, para pontos muito afastados dos dois centros de massa, a métrica de Minkowski.
3-Concordância com a solução de Reissner-Nordstrom
No caso em que temos apenas um buraco negro os resultados anteriores devem conduzir à solução de Reissner-Nordstrom para buracos negros com carga.
Fazendo M2=0 obtemos
(5)
Considerando coordenadas esféricas centradas em M1
Fazendo a substituição
(7)
onde rf representa o raio com significado físico, obtemos
(8)
que de facto corresponde à solução de Reissner-Nordstrom para um buraco negro com carga, sendo neste caso Q1=M1, o que é uma consequência da condição de estabilidade assumida na
introdução.
Num buraco negro de Reissner-Nordstrom temos de considerar dois horizontes de acontecimentos, normalmente designados por R+ e R-. Neste caso temos R+=R-=M1 o que
significa que estamos a lidar com buracos negros de Reissner-Nordstrom extremos.
4-As Geodésicas em coordenadas cilíndricas
Consideremos os dois buracos negros, sobre o eixo Z, nas posições z=-1 e z=+1. Logo
(9)
É conveniente introduzir coordenadas cilíndricas
(10)
Agora U tem a forma
(11)
e a métrica (3) escreve-se
As equações das geodésicas podem ser derivadas do Lagrangiano
(13)
onde os pontos representam a diferenciação em ordem a um parâmetro afim. A constância do Lagrangiano conduz ao integral
(14)
Podemos escalonar o parâmetro afim de tal forma que
(15)
O facto do Lagrangiano não depender explicitamente das coordenadas t e q, conduz aos integrais
(16)
(17)
Usando os dois últimos resultados podemos eliminar as derivadas ponto de t e q em (14) obtendo-se
(18)
A partir de (13) e fazendo uso de (16), (17) e (18) obtemos as equações que governam as geodésicas
(19)
Estes dois resultados devem ser combinados com as derivadas ponto de
(21)
(22)
de modo a termos as equações de Euler-Lagrange.
5-Geodésicas nulas
Vamos considerar geodésicas nulas (d=0) num plano meridiano (q=const., Lq=const.). Neste caso as equações (18), (19) e (20) simplificam e temos
(23)
(24)
(25)
De seguida consideramos o caso em que um fotão viaja sobre o eixo de simetria do sistema , isto é, sobre o eixo Z com r=0. Assim temos a partir de (23)
(26)
Vamos tomar apenas a raiz positiva, o que equivale a considerar que o fotão desloca-se no sentido positivo do eixo Z.
Fazendo uso de (16) podemos escrever (26) como
(27)
(28) Integrando (27) obtemos
(29)
onde K é uma constante de integração.
No gráfico da fig1 está representada a linha do universo do fotão descrita por (29) para os 3 casos: z<-1; -1<z<1; z>1.
fig1-Linha do Universo para o fotão sobre o eixo de simetria do sistema.
6-Fotão equidistante dos dois buracos negros
Consideremos um sistema de dois buracos negros de Reissner-Nordstrom com a mesma massa M e separados por uma distância 2a como se mostra na fig2.
fig 2
Consideremos também um fotão viajando sobre o eixo X. Como as massas dos dois buracos negros são iguais então o fotão deve manter-se sobre o eixo X.
(30)
com
(31)
A partir de (30) temos
(32)
Vamos tomar apenas a raiz positiva, o que equivale a considerar o fotão a viajar no sentido ascendente do eixo X.
Integrando (32) logo obtemos
(33)
onde K é uma constante de integração. Se no instante t=0 o fotão estiver na origem dos eixos então K=0. No gráfico da fig3 está representado o resultado (33) no caso em que a=1, K=0 e M assume vários valores.
fig 3-Linha do Universo do fotão equidistante dos dois buracos
negros, em função da respectiva massa, quando os dois têm a mesma massa
No gráfico da fig4 está representado o resultado (33) para várias distâncias de separação entre os buracos negros, com M=1 e K=0.
fig 4-Linha do Universo do fotão equidistante dos dois buracos
negros, em função da distância de separação entre estes, quando os dois têm a mesma massa
7-Singularidades e horizontes
A solução de Majumdar-Papapetrou na sua forma geral (3) não nos fornece qualquer informação sobre o horizonte de acontecimentos do sistema.
Para obtermos tal informação comecemos por considerar (3) em coordenadas esféricas
(34)
centradas em M1 como se mostra na fig5.
fig 5-Coordenadas esféricas centradas no buraco negro de massa
M1
O ângulo j é medido em relação ao eixo de simetria axial e por isso podemos considerar sem qualquer problema j=0.
Pela figura temos que
(35)
(36) Logo temos
(37)
(38)
É possível mostrar que o ponto r1=0 é uma singularidade aparente. Para isso vamos seguir
Hartle e Hawking.
Seja a transformação de coordenadas
(39) onde a função F é tal que
(40)
Para simplificar a escrita vamos considerar
(41) Substituindo (39) e (41) em (38) obtemos (42) Atendendo a que (43) (44)
(45) resulta
(46)
Podemos então concluir que quando r1 tende para zero a métrica é perfeitamente regular.
Assim sendo, faz sentido estender a métrica (38) aos valores negativos de r1.
A extensão pode fazer-se sem qualquer problema até que a função U(r1,q1), definida por
(37), se anule, caso no qual voltamos a ter uma singularidade, desta vez real.
Para mostrar esse facto, podemos avaliar um invariante como FabFab e mostrar que este
diverge para U=0. Resulta como uma consequência da solução de Majumdar-Papapetrou que
(47)
Como no caso geral grad(U) não deve ser necessariamente nulo, concluímos que, para U=0, o resultado anterior diverge, pelo que, a singularidade correspondente é real.
A interpretação física dos dois resultados anteriores é a seguinte
O ponto r1=0 representa na realidade uma superfície: o horizonte de acontecimentos do
buraco negro de massa M1.
A superfície U=0 representa na realidade um ponto: a singularidade do buraco negro de massa M1.
Isto torna-se particularmente claro quando consideramos apenas um dos buracos negros. Assim façamos M2=0 e consideremos a substituição
(48) em que rf é o raio com significado físico como já havíamos considerado em (7). Assim
(horizonte de acontecimentos) (49)
(singularidade) (50)
Um corpo viajando inicialmente no universo exterior aos dois buracos negros, seguindo uma trajectória que o leve a r1=0, penetrará a partir dai num novo universo interior ao buraco negro de
massa M1, "detendo-se" na singularidade representada pela superfície U=0.
fig 6-Extensão da métrica aos valores negativos de r1.
Encontrando uma transformação de coordenadas adequada, talvez possamos dar uma visão mais realista do problema que a apresentada nas figuras e no texto anteriores.
Nota: Todo o estudo feito neste capítulo em relação a M1 e r1 é logicamente aplicável a M2
e r2.
Bibliografia
Chandrasekhar, S. 1983 The mathematical theory of black holes. Oxford: Clarendon Press Chandrasekhar, S. 1989 Proc. R. Soc. Lond. A421,227-258
